高中数学课下能力提升六空间图形的公理4及等角定理北师大版必修5
北师大版第6章3第2课时空间图形的基本事实4及等角定理课件(32张)
在同一平面内,
直线
没有公共点
a∥b
位置关系 文字语言
不同在任何一
异面直线
个平面内(不共
面),没有公共点
图示
符号表示
(3)定理(又称为等角定理)
文字语言:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这
两个角相等或互补.
符号表示:OA∥O'A',OB∥O'B'⇒∠AOB=∠A'O'B'或
∠AOB+∠A'O'B'=180°.
作用:判断或证明两个角相等或互补.
3.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于
.
解析:由题意知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°.根据等角定理,如
果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或
互补,所以∠PQR=30°或∠PQR=150°.
答案:30°或150°
二、异面直线所成的角
§3 空间点、直线、平面之间的位置关系
第2课时 空间图形的基本事实4及等角定理
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
一 题 多 解
一、基本事实4与等角定理
【问题思考】
1.观察图6-3-6中电线杆所在直线、电线
所在直线的位置关系.
回答下列问题.
图6-3-6
(1)在同一平面内,两直线有怎样的位置关系?
,
1
∴∠HEF或其补角就是异面直线DB1与EF所成的角.
连接HF,设AA1=1,
则 EF=
,HE=
.
取 A1D1 的中点 I,连接 IF,HI,则 HI⊥IF,
2018-2019学年高一数学课下能力提升五空间图形基本关系的认识与公理1_3北师大版必修18
课下能力提升（五）空间图形基本关系的认识与公理1-3一、选择题1．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行2．若点A在直线b上，b在平面β内，则A，b，β之间的关系可以记作( ) A．A∈b，b∈β B．A∈b，bβC．A b，bβ D．A b，b∈β3．如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR4．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )A．3 B．4 C．5 D．65．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则( )A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上二、填空题6．空间四点A，B，C，D，其中任何三点都不在同一直线上，它们一共可以确定平面的个数为________．7．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．8．有下面几个说法：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．其中正确的序号是__________(把你认为正确的序号都填上)．三、解答题9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．10．已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a，b，c，d共面．答案1. 解析：选B 若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB 与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．2. 解析：选B ∵点A在直线b上，∴A∈b，又∵直线b在平面β内，∴bβ，∴A∈b，bβ.3. 解析：选C ∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.4. 解析：选C 如图，与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．5. 解析：选A 因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．6. 解析：四点共面时，确定1个平面，任何三点不共线，四点不共面时，确定4个平面．答案：1或47. 解析：观察图形可知①③错误，②④正确．答案：②④8. 解析：①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．答案：③④9. 证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．10. 证明：①无三线共点情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQα，即bα.同理cα.∴a，b，c，d共面．②有三线共点的情况，如图所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且K∉a，∵K∉a，∴K与a确定一个平面，设为β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ.同理，cβ，dβ.∴a，b，c，d共面．。
高中数学课下能力提升六空间图形的公理4及等角定理北师大版必修5
课下能力提升（六）空间图形的公理4及等角定理一、选择题1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是( )A．异面B．相交C．平行 D．异面或相交2．如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有( )A．2对 B．3对C．4对 D．6对3．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )A．3条B．4条C．5条 D．6条4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是( )A．5 B．10 C．12 D．不能确定5．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( ) A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交二、填空题6．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)∠DBC 的两边与________的两边分别平行且方向相同； (2)∠DBC 的两边与________的两边分别平行且方向相反．7．若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则直线a 与直线c 的位置关系是________． 8．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的中点．有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线 ②直线AM 与BN 是平行直线 ③直线BN 与MB 1是异面直线 ④直线AM 与DD 1是异面直线其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)． 三、解答题9．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点．(1)求证：D 1E ∥BF ； (2)求证：∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.10．如图，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AEAB＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ.(1)当λ＝μ时，求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH是梯形；②三条直线EF，HG，AC交于一点．答案1. 解析：选D a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A 矛盾，而a与c异面、相交都有可能．2. 解析：选B 据异面直线的定义可知共有3对．AP与BC，CP与AB，BP与AC.3. 解析：选B 由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．4. 解析：选B 如图所示，由三角形中位线的性质可得EH 12BD，FG12BD，再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.5. 解析：选D 若c与a、b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．6. 解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同；(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．答案：(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A17. 解析：如图，可借助长方体理解，令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．答案：平行、相交或异面8. 解析：由异面直线的定义知③④正确． 答案：③④9. 证明：(1)取BB 1的中点M ，连接EM ，C 1M .在矩形ABB 1A 1中，易得EM A 1B 1，∵A 1B 1C 1D 1，∴EM C 1D 1，∴四边形EMC 1D 1为平行四边形， ∴D 1E ∥C 1M .在矩形BCC 1B 1中，易得MBC 1F ，∴四边形BFC 1M 为平行四边形， ∴BF ∥C 1M ，∴D 1E ∥BF . (2)∵ED 1∥BF ，BB 1∥EA 1，又∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同， ∴∠B 1BF ＝∠D 1EA 1. 10. 证明：在△ABD 中，AE AB ＝AHAD＝λ，故EH λBD .同理FG μBD .由公理4得EH ∥FG ，又可得FG ＝μλEH .(1)若λ＝μ，则FG ＝EH ，故EFGH 是平行四边形． (2)①若λ≠μ，则EH ≠FG ，故EFGH 是梯形． ②在平面EFGH 中EF 、HG 不平行，必然相交． 设EF ∩HG ＝O ，则由O ∈EF ，EF 平面ABC ，得O ∈平面ABC .同理有O ∈HG平面ACD .而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，所以O ∈AC ，即EF 、HG 、AC 交于点O .。
高中数学 1.4.2 空间图形的公理(公理4、定理)多媒体教学优质课件 北师大版必修2
直线的平面的个数为( )
A．1
B．3
C．6
D．0
【解析】以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但不共面，显 然经过其中的两条直线(zhíxiàn)的平面有3个．
第二十一页，共23页。
1、空间直线的平行关系(guān xì)及相关定理.
2、异面直线(zhíxiàn)的定义及两条异面直线(zhíxiàn) 所成的角. 3、掌握求异面直线(zhíxiàn)所成的角的一般方法.
a
a
α
c bc
第九页，共23页。
例1 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与C1D1 ，AD1与 BC1 ， AA1与CC1，AC与A1C1是什么位置(wèi zhi)关系？为什么？
解: AB∥C1D1，AD1∥BC1 ， AA1 ∥ CC1，AC∥A1C1
D1 A1
D A
C1 B1
C B
4.2 空间图形的公理(gōnglǐ)（公理 (gōnglǐ)4、定理）
第一页，共23页。
1、掌握平面的基本性质、公理4和等角定理； 2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能 力、几何直观(zhíguān)能力.通过典型例子的学习和自主探索活 动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法； 3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映 出的辩证思维的价值观.
相交成60°
C C
A D
B
A B(D)
第十七页，共23页。
例4 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出(zhǐ chū)下列各对线段所成
的角：
1）AB与CC1； 3）A1B与D1B1.
2）A1 B1与AC；
D1 A1
C1 B1
2018-2019学年高一数学课下能力提升五空间图形基本关系的认识与公理1_3北师大版必修18
课下能力提升（五）空间图形基本关系的认识与公理1-3一、选择题1．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行2．若点A在直线b上，b在平面β内，则A，b，β之间的关系可以记作( ) A．A∈b，b∈βB．A∈b，bβC．A b，bβ D．A b，b∈β3．如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR4．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )A．3 B．4 C．5 D．65．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则( )A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上二、填空题6．空间四点A，B，C，D，其中任何三点都不在同一直线上，它们一共可以确定平面的个数为________．7．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．8．有下面几个说法：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．其中正确的序号是__________(把你认为正确的序号都填上)．三、解答题9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．10．已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a，b，c，d共面．答案1. 解析：选B 若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．2. 解析：选B ∵点A在直线b上，∴A∈b，又∵直线b在平面β内，∴bβ，∴A ∈b，bβ.3. 解析：选C ∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.4. 解析：选C 如图，与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．5. 解析：选A 因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF 与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．6. 解析：四点共面时，确定1个平面，任何三点不共线，四点不共面时，确定4个平面．答案：1或47. 解析：观察图形可知①③错误，②④正确．答案：②④8. 解析：①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．答案：③④9. 证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．10. 证明：①无三线共点情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQα，即bα.同理cα.∴a，b，c，d共面．②有三线共点的情况，如图所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且K∉a，∵K∉a，∴K与a确定一个平面，设为β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ.同理，cβ，dβ.∴a，b，c，d共面．。
同步北师大高中数学必修二培优新方案课时跟踪检测五 公理4及等角定理 含解析
课时跟踪检测（五）公理4及等角定理一、基本能力达标1．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A．相交B．异面C．异面或相交D．平行解析：选C如图，有相交或异面两种情况．2．在三棱锥S -ABC中，与SA是异面直线的是()A．SB B．SCC．BC D．AB解析：选C如图所示，SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．3．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对解析：选B∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同．∴∠PQR ＝30°或150°.4．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形() A．全等B．相似C．仅有一个角相等D．无法判断解析：选B由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似．5．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A．平行或异面B．相交或异面C ．异面D ．相交解析：选B 假设a 与b 是异面直线，而c ∥a ，则c 显然与b 不平行．(否则c ∥b ，则有a ∥b ，矛盾)c 与b 可能相交或异面．6．如果两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥所在的12条直线中，异面直线共有________对．解析：六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两边相交，与另四条边异面，这样异面直线一共有4×6＝24(对)．答案：247．在空间四边形ABCD 中，如图所示，AE AB ＝AH AD ，CF CB ＝CG CD，则EH 与FG 的位置关系是________．解析：如图，连接BD ，在△ABD 中，AE AB ＝AH AD，则EH ∥BD ， 同理可得FG ∥BD .∴EH ∥FG .答案：平行8．已知∠ABC ＝120°，异面直线MN ，PQ 其中MN ∥AB ，PQ∥BC ，则异面直线MN 与PQ 所成的角为________．解析：结合等角定理及异面直线所成角的范围可知，异面直线MN 与PQ 所成的角为60°. 答案：60°9．如图所示，OA ，OB ，OC 为不共面的三条射线，点A 1，B 1，C 1分别是OA ，OB ，OC 上的点，且OA 1OA ＝OB 1OB ＝OC 1OC 成立．求证：△A 1B 1C 1∽△ABC .证明：在△OAB 中，因为OA 1OA ＝OB 1OB，所以A 1B 1∥AB . 同理可证A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC .所以∠C 1A 1B 1＝∠CAB ，∠A 1B 1C 1＝∠ABC .所以△A 1B 1C 1∽△ABC .10．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中的平面A 1B 1C 1D 1内有一点P ，经过点P 作棱BC 的平行线，应该怎样画？并说明理由．解：如图所示，在平面A 1B 1C 1D 1内过P 作直线EF ∥B 1C 1，交A 1B 1于点E ，交C 1D 1于点F ，则直线EF 即为所求．理由：因为EF ∥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以EF ∥BC .二、综合能力提升1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB 与CD 的位置关系为( )A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直解析：选D 将展开图还原为正方体，如图所示，故AB 与CD 为不垂直的异面直线．2．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条( )A ．相交B ．异面C ．相交或异面D ．平行解析：选C 如图所示的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线AA 1与直线B 1C 1是异面直线，与B 1C 1平行的直线有A 1D 1，AD ，BC ，显然直线AA 1与A 1D 1相交，与BC 异面．3．异面直线a ，b ，有a α，b β且α∩β＝c ，则直线c 与a ，b 的关系是( )A ．c 与a ，b 都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形解析：选B如图，易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，同理可得FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．5.如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥A′-DEF，则HG与IJ所成角的大小为________．解析：如图所示，在三棱锥A′-DEF中，因为G，H，I，J分别为A′F，A′D，A′E，DE的中点，所以IJ∥A′D，HG∥DF，故HG与IJ所成角与A′D与DF所成角相等．显然A′D与DF所成的角的大小为60°，所以HG与IJ所成角的大小为60°.答案：60°6．已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；③若a 平面α，b 平面β，则a ，b 一定是异面直线；④若a ，b 与c 成等角，则a ∥b .其中正确的说法是________(填序号)．解析：由公理4知①正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可能相交、平行，也可能异面，故②不正确；当a 平面α，b 平面β时，a 与b 可能平行、相交或异面，故③不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可能相交、平行，也可能异面，故④不正确．答案：①7．如图所示，空间四边形ABCD 中，两条对边AB ＝CD ＝3，E ，F分别是另外两条对边AD ，BC 上的点，且AE ED ＝BF FC ＝12，EF ＝5，求AB 和CD 所成的角的大小．解：如图，过E 作EO ∥AB ，交BD 于点O ，连接OF ，所以AE ED ＝BO OD ，所以BO OD ＝BF FC ，所以OF ∥CD .所以∠EOF (或其补角)是AB 和CD 所成的角．在△EOF 中，OE ＝23AB ＝2，OF ＝13CD ＝1， 又EF ＝5，所以EF 2＝OE 2＋OF 2，所以∠EOF ＝90°.即异面直线AB 和CD 所成的角为90°.探究应用题8．在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧面都是矩形，底面ABCD 是菱形且AB ＝BC ＝23，∠ABC ＝120°，若异面直线A 1B 和AD 1所成的角为90°，试求AA 1.解：连接CD 1，AC ，由题意得四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角，因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，所以∠AD1C＝90°，因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AB＝BC＝23，所以△ACD1是等腰直角三角形．所以AD1＝22AC.又底面ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，所以AC＝23×sin 60°×2＝6，∴AD1＝22AC＝32，所以AA1＝AD21－A1D21＝()232＝ 6.322－()。
高中数学 必修2(北师大)6.3.2.2空间图形的基本事实4与等角定理
3．三棱锥 A -BCD 中，E、F、M、N 分别是 AB、AD、BC、CD 的中点，则 EF 与 MN 的位置关系( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．都有可能
解析：∵E，F 是 AB、AD 中点， ∴EF∥BD. ∵M，N 是 BC，CD 中点， ∴MN∥BD， ∴EF∥MN. 答案：A
∴BM∥CF1.又 BM∥A1F，∴A1F∥CF1. 同理，取 A1D1 的中点 N，连接 DN，E1N，则有 A1E∥CE1. ∴∠EA1F 与∠E1CF1 的两边分别对应平行，且方向都相反， ∴∠EA1F＝∠E1CF1.
方法归纳
(1)空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：①若一个角的 两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两 个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对 边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补．
故直线 GE，EF 所成的锐角即为 AB 与 EF 所成的角， 直线 GE，GF 所成的锐角即为 AB 与 CD 所成的角． ∵AB 与 CD 所成的角为 30°， ∴∠EGF＝30°或 150°. 由 AB＝CD，知 EG＝FG， ∴△EFG 为等腰三角形． 当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°； 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.故 EF 与 AB 所成的角为 15°或 75°.
4．已知正方体 ABCD -A′B′C′D′中： (1)BC′与 CD′所成的角为__6_0_°____； (2)AD 与 BC′所成的角为___4_5_°___． 解析：
连接 BA′，则 BA′∥CD′，连接 A′C′， 则∠A′BC′就是 BC′与 CD′所成的角．由△A′BC′为正三角 形． ∴∠A′BC′＝60°， 由 AD∥BC，∴AD 与 BC′所成的角就是∠C′BC. 易知∠C′BC＝45°.
《1.4.2 空间图形的公理公理4、定理》课件 2-优质公开课-北师大必修2精品
分别证明角的解答】(1)连接BD、B1D1， ∵E、F分别为AD、AB的中点， ∴在△ABD中有EF∥BD，
且 EF 1 BD.
2
∵E1 、F1分别为B1C1、C1D1的中点，
1 ∴在△C1D1B1中有E1F1∥B1D1且 E1F1 B1D1. 2
而在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，BB1 ∴四边形BB1D1D为平行四边形. ∴BD∥B1D1且BD=B1D1. ∴EF E1F1.
四边形EFGH为菱形. 理由：由(1)知，若
则四边形EFGH为平行四边形. 且 EF 3 AC，EH 2 BD.
5 5 2 3 2 若 AC BD， 则 EF AC BD EH. 3 5 5
∴平行四边形EFGH为菱形.
【互动探究】在本例中若条件不变，请回答下列问题并证
明
(1)满足什么条件时，四边形EFGH为矩形；
【例2】如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1 中，E、F、E1、F1分别 为所在边的中点. 求证：(1)EF E1F1；
(2)∠EA1F=∠E1CF1. 【审题指导】空间中证明线线平行，线段与线段长度相等，
可以利用平行关系和线段长度关系的传递性，选择“中间
线段”证明.空间中证明角与角相等，可以利用“等角定理”
(2)满足什么条件时，四边形EFGH为正方形. 【解题提示】解答本题一方面要应用公理4证明平行关 系，另一方面要利用异面直线所成角的定义证明垂直关系.
【解析】(1)当
AH CG 2 且AC⊥BD时，四边形EFGH HD GD 3
为矩形.
AH CG 2 时，四边形EFGH为平行四边 理由：由例题知 HD GD 3
由 AC BD 及AC⊥BD得四边形EFGH为正方形.
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课下能力提升（六）空间图形的公理4及等角定理
一、选择题
1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是( )
A．异面B．相交
C．平行 D．异面或相交
2．如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．6对
3．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )
A．3条B．4条
C．5条 D．6条
4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是( )
A．5 B．10 C．12 D．不能确定
5．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( ) A．c与a，b都相交
B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交
D．c至少与a，b中的一条相交
二、填空题
6．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，
(1)∠DBC 的两边与________的两边分别平行且方向相同； (2)∠DBC 的两边与________的两边分别平行且方向相反．
7．若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则直线a 与直线c 的位置关系是________． 8．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的中点．有以下四个结论：
①直线AM 与CC 1是相交直线 ②直线AM 与BN 是平行直线 ③直线BN 与MB 1是异面直线 ④直线AM 与DD 1是异面直线
其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)． 三、解答题
9．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点．
(1)求证：D 1E ∥BF ； (2)求证：∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.
10．如图，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE
AB
＝
AH AD ＝λ，CF CB ＝CG
CD
＝μ.
(1)当λ＝μ时，求证：四边形EFGH 是平行四边形；
(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH是梯形；②三条直线EF，HG，AC交于一点．
答案
1. 解析：选D a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A 矛盾，而a与c异面、相交都有可能．
2. 解析：选B 据异面直线的定义可知共有3对．AP与BC，CP与AB，BP与AC.
3. 解析：选B 由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．
4. 解析：选B 如图所示，由三角形中位线的性质可得EH 1
2
BD，FG
1
2
BD，
再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.
5. 解析：选D 若c与a、b都不相交，
∵c与a在α内，∴a∥c.
又c与b都在β内，∴b∥c.
由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．
如图，只有以下三种情况．
6. 解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同；
(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．
答案：(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A1
7. 解析：如图，可借助长方体理解，
令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是
平行、相交或异面．
答案：平行、相交或异面
8. 解析：由异面直线的定义知③④正确． 答案：③④
9. 证明：(1)取BB 1的中点M ，连接EM ，C 1M .
在矩形ABB 1A 1中，易得EM A 1B 1，
∵A 1B 1
C 1
D 1，∴EM C 1D 1，
∴四边形EMC 1D 1为平行四边形， ∴D 1E ∥C 1M .
在矩形BCC 1B 1中，易得MB
C 1F ，
∴四边形BFC 1M 为平行四边形， ∴BF ∥C 1M ，∴D 1E ∥BF . (2)∵ED 1∥BF ，BB 1∥EA 1，
又∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同， ∴∠B 1BF ＝∠D 1EA 1. 10. 证明：在△ABD 中，AE AB ＝
AH
AD
＝λ，故EH λBD .同理FG μBD .
由公理4得EH ∥FG ，又可得FG ＝μλ
EH .
(1)若λ＝μ，则FG ＝EH ，故EFGH 是平行四边形． (2)①若λ≠μ，则EH ≠FG ，故EFGH 是梯形． ②在平面EFGH 中EF 、HG 不平行，必然相交． 设EF ∩HG ＝O ，则由O ∈EF ，EF 平面ABC ，得O ∈平面ABC .
同理有O ∈HG
平面ACD .
而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，所以O ∈AC ，即EF 、HG 、AC 交于点O .。