函数图像、图像变换、草图

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高中数学人教B版必修一课件2.x函数图像变换

(1)将解析式化简为熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数等，利用这些熟悉的函数特征，可以迅速作出图象。
(2)不能将解析式化简为熟悉的函数时，那么就先分析函数的定义域、值域、与坐标轴交点、奇偶性、单调性等，从总体把握曲线的范围和变化趋势，然后列表描点作图。
函数图像变换：
1，平移变换
(1) y=f(x) y f(x+a)
上加下减
例：画出y 1 +3 的函数图像 x1
例：画出y 1 3 的函数图像 x1
2，对称变换 (1) y=f(x) y f(x) ;将图像关于x轴作对称
பைடு நூலகம்
例，由y= 1 得y= 1
x+1
x+1
(2) y=f(x) y f( x) ; 将图像关于y轴作对称
a 0时,左移| a | 个单位 a<0时,右移| a | 个单位
左加右减
例,由y=x2 画出y ( x 2)2的函数图像
例,由y=x2 画出y ( x 2)2的函数图像
练习：画出y 1 的函数图像 x+3
(2) y=f(x) y f(x)+b
b 0时,上移| b | 个单位 b<0时,下移| b | 个单位
高中数学课件
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函数图象变换什么是函数图象？
点的集合{(x,y)|y=f(x),x∈A}叫做f(x)的图象。
函数图象能够形象直观地刻画出变量y与x的关系；定义域、值域、单调性，奇偶性等在图象上一目了然。
所以，函数图象是研究函数的重要工具，掌握函数图象是学习函数的捷径。
通过分析函数的特征画函数图象：
(2) y=f(x) y | f(x)| ;

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第7节：函数的图像(教师版)

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第7节函数的图像考试要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．1.利用描点法作函数的图像步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图像变换法作函数的图像(1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图像―——————―→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图像；y ＝f (x )的图像――——————→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图像；y ＝f (x )的图像―——————―→关于原点对称y ＝－f (－x )的图像；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像―——————————―→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像.(3)伸缩变换y ＝f (x )―——————————————————―→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a （a >0）倍y ＝f (ax ).y ＝f (x )―————————————————―→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ).(4)翻折变换y ＝f (x )的图像―————————————―→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图像；y ＝f (x )的图像―——————————————―→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图像.1.函数图像自身的轴对称(1)f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图像关于y 轴对称；(2)函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；(3)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a ＋b2对称.2.函数图像自身的中心对称(1)f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图像关于原点对称；(2)函数y ＝f (x )的图像关于点(a ，0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；(3)函数y ＝f (x )的图像关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x ).3.两个函数图像之间的对称关系(1)函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图像关于直线x ＝b －a2对称(由a ＋x ＝b －x 得对称轴方程)；(2)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图像关于直线x ＝a 对称；(3)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (－x )的图像关于点(0，b )对称；(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(a，b)对称.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图像相同.()(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图像相同.()(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于原点对称.()(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图像不同，(1)错误.(2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行横坐标与纵坐标伸缩变换得到，两图像不同，(2)错误.(3)y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于x轴对称，(3)错误.2.下列图像是函数y 2，x<0，－1，x≥0的图像的是()答案C解析其图像是由y＝x2图像中x<0的部分和y＝x－1图像中x≥0的部分组成.3.(2021·昆明质检)已知图①中的图像对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图像对应的函数为()A.y＝f(|x|)B.y＝f(－|x|)C.y＝|f(x)|D.y＝－|f(x)|答案B解析观察函数图像可得，②是由①保留y 轴左侧及y 轴上的图像，然后将y 轴左侧图像翻折到右侧所得，结合函数图像的对称变换可得变换后的函数的解析式为y ＝f (－|x |).4.(2021·天津卷)函数y ＝ln|x |x 2＋2的图像大致为()答案B解析设y ＝f (x )＝ln|x |x 2＋2，则函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，又f (－x )＝ln|－x |（－x ）2＋2＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除A ，C ；当x ∈(0，1)时，ln|x |＜0，x 2＋1＞0，所以f (x )＜0，排除D.5.(易错题)设f (x )＝2－x ，g (x )的图像与f (x )的图像关于直线y ＝x 对称，h (x )的图像由g (x )的图像向右平移1个单位得到，则h (x )＝________.答案－log 2(x －1)解析与f (x )的图像关于y ＝x 对称的图像所对应的函数为g (x )＝－log 2x ，再将其图像右移1个单位得到h (x )＝－log 2(x －1)的图像.6.(2022·西安调研)已知函数f (x )的图像如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________.答案(2，8]解析当f (x )>0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图像知满足f (x )>0时，x ∈(2，8].考点一作函数的图像例1作出下列函数的图像：(1)y ＝2|x |＋1；(2)y ＝|lg(x －1)|；(3)y ＝x 2－|x |－2.解(1)将y ＝2x 的图像关于y 轴作对称图像，取y ≥1的部分得y ＝2|x |的图像，再将所得图像向上平移1个单位长度，得到y ＝2|x |＋1的图像，如图①所示(实线部分).(2)首先作出y ＝lg x 的图像，然后将其向右平移1个单位长度，得到y ＝lg(x －1)的图像，再把所得图像在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图像，如图②所示(实线部分).(3)y ＝x 2－|x |－2x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，其图像如图③所示.感悟提升 1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点直接作出.2.图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.训练1分别作出下列函数的图像：(1)y ＝|x 2－5x ＋4|；(2)y ＝2x －1x －1.解(1)令y ＝x 2－5x ＋4＝0，解出两根为1，4，得到y ＝x 2－5x ＋4的图像.将x 轴以下的部分关于x 轴作对称图形，得到y ＝|x 2－5x ＋4|的图像，如图①所示(实线部分).(2)y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数的图像可由y ＝1x 的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图②所示.考点二函数图像的辨识1.函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x2在[－π，π]的图像大致为()答案D 解析∵f (－x )＝sin （－x ）－xcos （－x ）＋（－x ）2＝－f (x )，且x ∈[－π，π]，∴f (x )为奇函数，排除A.当x＝π时，f(π)＝π－1＋π2>0，排除B，C，只有D满足.2.已知函数f(x)，x≥0，x<0，g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图像是()答案D解析法一当x>0时，－x<0，所以g(x)＝－f(－x)＝1 x，当x≤0时，－x≥0，g(x)＝－x2，从而根据函数的取值正负情况可知D正确.法二也可先画出f(x)的图像，再关于原点对称得g(x)的图像.3.已知函数f(x)x，x≤1，13x，x>1，则函数y＝f(1－x)的大致图像是()答案D解析法一先画出函数f(x)x，x≤1，13x，x>1的草图，令函数f(x)的图像关于y轴对称，得函数f(－x)的图像，再把所得的函数f(－x)的图像，向右平移1个单位，得到函数y＝f(1－x)的图像(图略)，故选D.法二由已知函数f(x)的解析式，得y＝f(1－x)1－x，x≥0，log13（1－x），x<0，故该函数过点(0，3)，排除A；过点(1，1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C.4.(2021·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋14，g(x)＝sin x，则图像如图的函数可能是()A.y＝f(x)＋g(x)－14B.y＝f(x)－g(x)－14C.y＝f(x)g(x)D.y＝g（x）f（x）答案D解析易知函数f(x)＝x2＋14是偶函数，g(x)＝sin x是奇函数，给出的图像对应的函数是奇函数.选项A，y＝f(x)＋g(x)－14＝x2＋sin x为非奇非偶函数，不符合题意，排除A；选项B，y＝f(x)－g(x)－14＝x2－sin x也为非奇非偶函数，不符合题意，排除B；因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，且f(x)>0，当x 0，π2g(x)单调递增，且g(x)>0，所以y＝f(x)g(x)0，π2上单调递增，由图像可知所求函数0，π4上不单调，排除C.故选D.感悟提升 1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；(3)从周期性，判断图像的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图像的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.考点三函数图像的应用角度1研究函数的性质例2已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A.f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B.f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C.f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1)D.f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)答案C解析将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图像，如图，观察图像可知，函数f (x )的图像关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上是递减的.角度2在不等式中的应用例3(1)若函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c的大小关系为________.(2)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x<0的解集为________.答案(1)f （c ）c >f （b ）b >f （a ）a(2)(－1，0)∪(0，1)解析(1)由题意可得，f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c分别看作函数f (x )＝log 2(x ＋1)图像上的点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))与原点连线的斜率.结合图像可知，当a >b >c >0时，f （a ）a <f （b ）b <f （c ）c .(2)因为f (x )为奇函数，所以不等式f （x ）－f （－x ）x <0可化为f （x ）x<0，即xf (x )<0，f (x )的大致图像如图所示，所以原不等式的解集为(－1，0)∪(0，1).角度3求参数的取值范围例4(1)(2022·洛阳模拟)已知f (x )x |，x ≤1，2＋4x －2，x >1，若关于x 的方程a ＝f (x )恰有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是()[1，2)[1，2)C.(1，2)D.[1，2)(2)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________.答案(1)B(2)(0，1)∪(9，＋∞)解析(1)关于x 的方程a ＝f (x )恰有两个不同的实根，即f (x )的图像与直线y＝a 恰有两个不同的交点，作出f (x )的图像如图所示.由图像可得a[1，2).(2)设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|.在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图像如图所示.由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图像有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以＝－x 2－3x ，＝a （1－x ）(－3<x <0)有两组不同解.消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，该方程有两个不等实根x 1，x 2，＝（3－a ）2－4a >0，3<a －32<0，3）2＋（3－a ）×（－3）＋a >0，2＋（3－a ）×0＋a >0，∴0<a <1.＝x 2＋3x ，＝a （x －1）(x >1)有两组不同解.消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两不等实根x 3，x 4，∴Δ＝a 2－10a ＋9>0，又∵x 3＋x 4＝a －3>2，x 3x 4＝a >1，∴a >9.综上可知，0<a <1或a >9.感悟提升1.利用函数的图像研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图像研究，但一定要注意性质与图像特征的对应关系.2.利用函数的图像可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图像交点的横坐标；不等式f (x )<g (x )的解集是函数f (x )的图像位于g (x )图像下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.训练2(1)(2021·唐山模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若f (x )>g (x )恒成立，则实数k 的取值范围是________.(2)已知函数y ＝f (x )的图像是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是______.(3)已知f (x )x |，x >0，|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是______.答案(1)－1(2)(－1，0)∪(1，2](3)5解析(1)如图作出函数f (x )的图像，当－1≤k <12时，g (x )的图像恒在f (x )下方.(2)由图像可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )>－x .在同一平面直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图像，由图像可知不等式的解集为(－1，0)∪(1，2].(3)方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图像，由图像知y ＝f (x )与y ＝12有2个交点，y ＝f (x )与y ＝1有3个交点，故零点的个数为5.1.在2h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图像是()答案B解析依题意知，在2h 内血液中药物含量Q 持续增加，停止注射后，Q 呈指数衰减，图像B 适合.2.(2022·河南名校联考)函数f (x )＝x cos x ＋sin x x 2＋1的部分图像大致为()答案A 解析因为f (x )＝x cos x ＋sin xx 2＋1，所以f (－x )＝－x cos （－x ）＋sin （－x ）（－x ）2＋1＝－x cos x＋sin xx2＋1＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除选项C，D；又当x f(x)>0，所以排除B.选A.3.若函数f(x)＝a x－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝log a(|x|－1)的图像可能是()答案D解析由f(x)在R上是减函数，知0<a<1.又y＝log a(|x|－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x>1时，y＝log a(x－1)的图像由y＝log a x的图像向右平移一个单位得到.因此D正确.4.下列函数中，其图像与函数y＝ln x的图像关于直线x＝1对称的是()A.y＝ln(1－x)B.y＝ln(2－x)C.y＝ln(1＋x)D.y＝ln(2＋x)答案B解析法一设所求函数图像上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图像上，所以y＝ln(2－x).法二由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝ln x的图像上也在所求函数的图像上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.5.(2021·郑州模拟)已知函数f(x)＝－x＋1＋log2x，则不等式f(x)<0的解集是()A.(0，2)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(1，2)D.(0，1)∪(2，＋∞)答案D解析函数f (x )＝－x ＋1＋log 2x 的定义域为(0，＋∞)，且f (1)＝f (2)＝0，由f (x )<0可得log 2x <x －1，作出函数y ＝log 2x 与函数y ＝x －1的图像如图所示.则函数y ＝log 2x 与函数y ＝x －1图像的两个交点的坐标为(1，0)，(2，1)，由图像可知，不等式log 2x <x －1的解集为(0，1)∪(2，＋∞).故选D.6.(2022·大庆模拟)我们从某公司的商标中抽象出一个图像，如图所示.其对应的函数解析式可能是()A.f (x )＝1x 2－1B.f (x )＝1x 2＋1C.f (x )＝1|x －1|D.f (x )＝1||x |－1|答案D解析由题图可知，f (x )为偶函数，故C 错误；又f (x )>0恒成立，对于A ，f (x )＝1x 2－1>0不恒成立，故A 错误；由图知f (x )在x ＝－1和x ＝1处无定义，故B 错误.故选D.7.已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2.当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )()A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值答案C解析如图，画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图像，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x).综上可知，y＝h(x)的图像是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值.8.若函数y＝f(x)的图像恒过点(2，2)，则函数y＝f(5－x)的图像一定经过点________.答案(3，2)解析∵f(5－x)的图像可以看作y＝f(x)的图像先关于y轴对称，再向右平移5个单位长度得到，点(2，2)关于y轴对称的点(－2，2)，再将此点向右平移5个单位长度为(3，2)，∴y＝f(5－x)的图像一定过点(3，2).9.已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围是________.答案{－1}∪(0，＋∞)解析在同一平面直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图像和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图像有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点.10.已知函数f(x)在R上单调且其部分图像如图所示，若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1，2)，则实数t的值为________.答案1解析由图像可知不等式－2<f(x＋t)<4，即f(3)<f(x＋t)<f(0).又y＝f(x)在R上单调递减，∴0<x＋t<3，不等式解集为(－t，3－t).依题意，得t＝1.11.(2021·兰州质检)设函数y＝f(x)的图像与y＋a的图像关于直线y＝x对称，且f(3)＋4，则实数a＝________.答案－2解析设(x，y)是y＝f(x)图像上任意一点，则(y，x)在函数y＋a的图像上，所以x＋a，则y＝log13x－a.因此f(x)＝log13x－a.由f(3)＋4，得－1＋1－2a＝4，所以a＝－2.12.(2022·哈尔滨模拟)若函数f(x)2＋1，x<1，，x≥1的值域是(a，＋∞)，则a的取值范围是________.答案2 3，解析画出函数f(x)2＋1，x<1，，x≥1的图像，如图所示.f(x)＝x2＋1(x<1)的值域是[1，＋∞)，f(x)＝a(x≥1)，a＋13，要使函数f (x )的值域是(a ，＋∞)，＋13≥1，<1，解得23≤a <1，所以a 的取值范围是23，13.若直角坐标系内A ，B 两点满足：(1)点A ，B 都在f (x )的图像上；(2)点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ，B )是函数f (x )的一个“和谐点对”，(A ，B )与(B ，A )可看作一个“和谐点对”.已知函数f (x )2x （x <0），（x ≥0），则f (x )的“和谐点对”有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案B解析作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图像关于原点对称的图像(如图中的虚线部分)，看它与函数y ＝2e x (x ≥0)的图像的交点个数即可，观察图像可得交点个数为2，即f (x )的“和谐点对”有2个.14.(2021·上海卷)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，下列是f (x )无最大值的充分条件的是()A.f (x )为偶函数且图像关于点(1，1)对称B.f (x )为偶函数且图像关于直线x ＝1对称C.f (x )为奇函数且图像关于点(1，1)对称D.f (x )为奇函数且图像关于直线x ＝1对称答案C解析选项A ，B ，D 的反例如图1，2，3所示，故选项A ，B ，D 错误；对于选项C ，∵f (x )为奇函数且图像关于点(1，1)对称，∴f (x )＋f (－x )＝0，f (2＋x )＋f (－x )＝2，∴f (2＋x )－f (x )＝2，∴f (2k ＋x )＝f (x )＋2k ，k ∈Z ，又f (0)＝0，∴f (2k )＝2k ，k ∈Z ，当k →＋∞时，f (2k )＝2k →＋∞，∴函数f (x )无最大值，故选C.15.已知函数f (x )πx ，0≤x ≤1，2022x ，x >1，若实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________.答案(2，2023)解析函数f (x )πx ，0≤x ≤1，2022x ，x >1的图像如图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2022，所以2<a ＋b ＋c <2023.16.已知函数g (x )－1|，h (x )＝cos πx ，当x ∈(－2，4)时，函数g (x )与h (x )的交点横坐标分别记为x i (i ＝1，2，…，n )，则∑ni ＝1x i 等于________.答案7解析易知g (x )－1|的图像关于直线x ＝1对称，h (x )＝cos πx 的图像关于直线x ＝1对称.作出两个函数的图像，如图所示.根据图像知，两函数有7个交点，其中一个点的横坐标为x ＝1，另外6个交点关于直线x ＝1对称，因此∑7i ＝1x i ＝3×2＋1＝7.。

高中数学讲义：函数的图像

函数的图像一、基础知识1、做草图需要注意的信息点：做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。

在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点（1）一次函数：y kx b =+,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线特点：两点确定一条直线信息点：与坐标轴的交点（2）二次函数：()2y a x h k =-+，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图像，另一侧由对称性可得。

函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图像更为精确特点：对称性信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点（3）反比例函数：1y x=,其定义域为()(),00,-¥+¥U ，是奇函数，只需做出正版轴图像即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线信息点：渐近线注：（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。

渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，x 轴是渐近线，那么当x ®+¥，曲线无限向x 轴接近，但不相交，则函数在x 正半轴就不会有x 轴下方的部分。

（2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若x ®+¥（或-¥）时，()f x ®常数C ，则称直线y C =为函数()f x 的水平渐近线例如：2x y = 当x ®+¥时，y ®+¥，故在x 轴正方向不存在渐近线当x ®-¥时，0y ®，故在x 轴负方向存在渐近线0y =（3）竖直渐近线的判定：首先()f x 在x a =处无定义，且当x a ®时，()f x ®+¥（或-¥），那么称x a =为()f x 的竖直渐近线例如：2log y x =在0x =处无定义，当0x ®时，()f x ®-¥，所以0x =为2log y x =的一条渐近线。

函数图像的作法-含答案

【知识要点】一、函数图像的作法一般有三种：描点法、图像变换法和性质分析法.二、描点法作函数的图像的一般步骤是：列表→描点→连线，描点法一般是在知道函数的图像和性质的情况下使用，其使用对象一般是我们熟悉的初等函数，如2()23 1.f x x x =-+三、图像的变换法就是利用图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等作出函数的图像，其解题对象一般是复合函数，如12()log ||f x x =.1、平移变换（左加右减，上加下减）①把函数()f x 的图像向左平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a +的图像； ②把函数()f x 的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a -的图像； ③把函数()f x 的图像向上平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a +的图像； ④把函数()f x 的图像向下平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a -的图像. 2、伸缩变换①把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的ω倍得1()y f x ω= (1w >) ②把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的ω倍得1()y f x ω= (0ω<<1)③把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w 倍得()y f x ω= ( ω>1) ④把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w 倍得()y f x ω= (0<ω<1) 3、对称变换①函数()y f x =和函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；函数()y f x =和函数()y f x =-的图像关于y 轴对称；函数()y f x =和函数()y f x =--的图像关于原点对称；函数()y f x =和函数1()y fx -=的图像关于直线x y =对称；简单地记为：x 轴对称y 要变，y 轴对称x 要变，原点对称都要变,y=x 对称交换变.②对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2ba x +=. ③()y f x =的图像关于直线x a =对称⇔()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =- ；()y f x =的图像关于点(,)a b 对称⇔()()2f a x f a x b ++-=或()(2)2f x f a x b +-=； ()y f x =与()y g x =的图像关于直线x a =对称⇔ ()(2)f x g a x =-或 ()()f a x g a x +=-； ()y f x =与()y g x =的图像关于点(,)a b 对称⇔()()2f a x g a x b ++-=或 ()(2)2f x g a x b +-=.4、翻折变换①把函数()y f x =图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到x 轴上方，得到函数()y f x =的图像；②保留y 轴右边的图像，擦去y 轴左边的图像，再把右边的图像对称翻折到y 轴左边，得到函数()y f x =的图像.四、性质分析法一般指通过对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性的综合研究，再画出函数的图像.性质分析法一般是对那些较复杂的函数使用，如223ln 4y x x =--.学科#网五、作函数的图像，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法、图像变换法和性质分析法作函数的图像. 【方法讲评】【例1】用五点法作出函数3sin(2)6y x =+在一个周期的图像.【解析】列表得【点评】对于我们常见的初等函数（一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数等），由于我们知道函数的图像和性质，所以我们常用描点法直接作函数的图像.【反馈检测1】已知函数23[1,2]()3(2,5]x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩(1)在如图给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；,(2)写出()f x 的单调递增区间．【例2】作出下列函数的图象 (1)1||1y x =-； (2)|2|(1)y x x =-+； (3)2|log 1|y x =-； (4)1|2|x y -=【解析】(1)先作函数1y x =的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数11y x =-的图象(如图(a)所示)．再擦掉y 轴左边图像，保留y 轴右边图像，并把y 轴右边图像对称翻折到y 轴左边, 得1||1y x =-的图象(如图(b)所示)．(2)函数式可化为2219()(2)2419()(2)24x x y x x ⎧--≥⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩其图象如图所示．【点评】（1）要熟练地画出函数的图像，必须熟练掌握函数的图像变换的知识（见前面的基础知识），能灵活地利用平移变换、伸缩变换、对称变换和翻折变换画出函数的图像.（2）作函数的图像，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法、图像变换法和性质分析法作函数的图像.【反馈检测2】关于x 的方程2|43|x x a x -+-=恰有三个不相等的实数根，求实数a 的值.【例3】已知函数2()8f x x x =-+,()6ln g x x m =+，是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.∵当0x +→时，()x φ→-∞，当x +∞→时，()x φ→+∞ 函数()()()x g x f x φ=-= 286ln x x x m -++的草图如下图所示，∴要使()0x φ=有三个不同的正实数根，函数的草图必须如图1所示，所以必须且只须⎩⎨⎧<-=>-=,0153ln 6)(,07)(＋极小值极大值m x m x ϕϕ ∴7156ln3m <<-.【点评】对于较复杂的函数，一般先求函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等，再根据前面函数的性质画出函数的图像.【反馈检测3 】设函数)(x f =2ln x ax b x ++，曲线()y f x =过(1,0)P ，且在P 点处的切斜线率为2．（1）求a b 、的值；（2）证明：()22f x x ≤-．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第08讲：函数图像作法参考答案【反馈检测1答案】（1）见详细解析；（2）[1,0].[2,5]-．【反馈检测1详细解析】（1）函数的图像如下图所示：(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[1,0].[2,5]-．【反馈检测2答案】34a =-【反馈检测3答案】（1）1,3a b =-=；（2）证明见解析.。

正弦余弦函数图像1

– 第二级
• 第三级
– 第四级 1» 第五级
P 1

6
学习过程
2. 函数
y sin x, x 0,2 图象的几何作法
y
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
/ p1
(3) 平移 (4) 连线

2
o1
M -1 1
A
o
-1 -
6
3
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
•π 第三级-2π -4
1 -π
O
π
2π
3π
4π
-5π
– 第四级 -3π » 第五级
5π 6π x
-1
‹#›
二、学习探究
– 第二级
单击此处编辑母版标题样式
学习过程
数学必修4—第一章
• 单击此处编辑母版文本样式比较思考利用单位圆中的正弦线作 y sin x, x R 的图象与列表描点法作该函数的
• 单击此处编辑母版文本样式
– 第二级

• 第三级 cos x sin( x 2．根据关系
3.通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神；
2 – 第四级作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； » 第五级
) ，作出 y cos x, x R 的图象；用“五点法”
号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即： “读” 、 “挖” 、 “举” 、 “联” 、 “用” 、 “悟” 、 “听” 、 “问” 、 “通” 、 “总” 、 “研” 、 “会” ，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.

几类常见函数草图的速画法

几类常见函数草图的速画法高中数学涉及了诸多函数问题，解这类题若能用图象辅助思考，往往有事半功倍之效。

但遗憾的是，学生要么对图象形状不熟悉，不知怎么画图；要么觉得画图程序繁琐，懒于画出图象。

下面简介高中数学中常见而学生又甚感困难的几类函数草图的速画法，以帮助提高作图速度，培养作图兴趣。

一、用“三点定形法”画单绝对值函数)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象)0()(≠+-=a k h x a x f 与)0()()(2≠+-=a k h x a x g 的图象类似，它们的顶点都是（k h ,），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。

所不同的是前者的图象是折线，在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。

所以可用“三点定型法”迅速绘出其草图。

三点中，顶点（k h ,）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，过另一点作出射线，即得)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象。

例：已知函数[)+∞+-=,02)(在b x a x f 上单调递增，则a 、b 的取值范围是。

分析：当a=0时，2)(=x f 为常数函数，不具单调性；当0≠a 时，其顶点(b,2)总在直线y=2上，若0<a ，图象开口向下(见图1)，总不满足条件；若0>a ，图象开口向上，当0>b 时，函数)(x f 在[)+∞,0不单调(见图2)；当0≤b ，函数)(x f 在[)+∞,0单调(见图3)。

所以a 、b 的范围应是.0,0≤>b a2可见其图象是由一条水平线段左端加一条向左上方延伸的射线(因其斜率为负)，右端加一条向右上方延伸的射线(因其斜率为正)组成的图形，而图象总是在绝对值代数式的零点处转折。

又联立以上分段函数两侧解析式⎩⎨⎧+-=++-=)(2)(2b a x y b a x y 解得，⎪⎩⎪⎨⎧=+=2y b a x ，可知左右两侧射线延长线必交于x 轴上的点)0,2(b a +。

高中数学之常用的函数作图方法大总结

高中常用的函数作图方法大总结函数作图是高中数学最重要的基本功之一。

能够顺畅的做出函数图像，在解题的时候非常重要。

往往我们只需要做出函数的简图即可，不要求严格的精确，追求的是图像的趋势和作图时的速度。

有个别十分基础的函数图像画法，在此就不再一一总结。

以下是较常用，也是学生较生疏的作图，在此做个汇总。

一、一元二次函数即()20y ax bx c a =++≠，做此函数的简图，求出三个要素，就能够迅速确定函数的大致图像。

即：（1）判别式的符号。

决定与x 轴是否有无交点（2）对称轴2ba-。

决定函数整体位于y 轴左侧还是右侧（3）确定f(0)的值。

决定函数与y 轴交与上方还是下方练习：做出下列函数的简图（答案略）（1）223y x x =+- （2）2232y x x =-+ （3）231y x x =--+二、幂函数()y x αα=为有理数y x α=在第一象限内大致图像如下：则画幂函数图像的步骤：（1）先画出第一象限内的图像（2）再根据有无奇偶性画出其余象限的图像（如无奇偶性，则图像只出现在第一象限）练习：做出下列函数图像（1）31y x=（2）34y x = （3）3y x = 解：（1）先画出第一象限，又函数是奇函数，故图像如下（2）函数非奇非偶，因此只有第一象限内的图像，如下（3）函数为奇函数，画出第一象限内，再补充第三象限的即可，如下继续练习作草图：答案：三、ax bycx d+=+图像形如ax bycx d+=+的函数，实际上是由最基本的反比例函数1yx=或者1yx=-经过平移变换得来的。

也是比较常考常用的。

下面就将该图像的画图方法以及图像的核心性质总结下来。

画图步骤：（1）先分离常数（2）确定渐近线的交点（即点（0,0）平移到了哪个点）注意这里的平移口诀是“左加右减，上加下减”（3）画出渐近线，并画出函数图像（注意分子的正负）下面以两道题为例，详细说明画图步骤。

练习（1）作321xyx+=+的图像（2）作341xyx-=-的图像解：（1）()2113212111xxyx x x+++===++++分离常数完成后，可以明显看到，原本的反比例函数的中心点（0,0），先向左平移1再向上平移2，变成了点（-1，2）。

二次函数的几种变换

解析二次函数的一般式的三种变换二次函数的一般式的用途非常广泛，其中与函数图像的对称变换相结合是一个亮点，经常在高考题中出现，考察了同学们的灵活应用能力。

为此，就常见几种形式归类如下：一. 2()||f x ax bx c =++ 1、变换过程：||2x x x 2c bx ax y c bx ax y ++=−−−−−−−−−−−−→−++=轴上方轴为对称轴翻折到轴下方的图像以把2、草图：以△>0为例,如图一。

3、性质：定义域为R ；值域:[0,+∞); 对称性：以abx 2-=为对称轴; 单调性：减区间（-∞,1x ）和（2,2x ab-）；增区间（1x ，ab2-）和（2x ,+∞）。

奇偶性：若0=b ，函数为偶函数；若0≠b ，函数为非奇非偶函数；例一.（08浙江卷）已知t 为常数，函数x x y --=22t=__ _解析：本小题主要考查二次函数问题。

对称轴为1,x =下方图像翻到x 轴上方.由区间[0，3]上的最大值为2，知max (3)32,y f t ==-=解得15,t =或检验5t =时,(0)52f =>不符,而1t =时满足题意.点评：二. 2()||f x ax b x c =++ 1、变换过程：cx b x a y c bx ax y ++=−−−−−−−−−−−−−→−++=||||2y 2轴为对称的图形侧图像关于保留右侧图像，再作右2、草图：以△>03. 性质：定义域为R ；值域:[a b ac 442-,+∞);对称性：以abx 2-=为对称轴;单调性：减区间（-∞, a b 2）和（0，-增区间（a b 2，0）和（ab2-,+奇偶性：函数为偶函数；例二．关于x 的方程()011222=+---k x x ，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】据题意可令21x t -=(0)t ≥①，则方程化为20t t k -+=②，作出函数21y x =-的图像如图2，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当0<t<1时方程①有4个根；（3）当t=1时，方程①有3个根。

常用基本函数图像与性质

高中常用函数图像与性质一、常值（数）函数1.定义：一般地，形如为常数）（c c y =，那么叫做常值（数）函数.2.图像与性质：解析式)0(>=c c y 0=y )0(<=c c y 图像性质定义域R值域{}c y y =单调性不具单调性奇偶性偶函数对称性对称轴：y 轴（0=x ）二、一次函数1.定义：一般地，形如y=kx ＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x 的一次函数.特别地，当b=0时，y=kx ，此时y 叫做x 的正比例函数，正比例函数是一种特殊的一次函数.2.图像与性质：一次函数()0k kx b k =+≠k ，b 符号k >0k <0b >0b <0b =0b >0b <0b =图象性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小三、二次函数1.定义：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数.2.解析式：（1）一般式：)0(2≠++=c c bx ax y ；（2）顶点式：)0(442(22≠-++=a ab ac a b x a y ；（3）两点式：)0)()((21≠--a x x x x a ，其中)0,(,)0,(21x x 为图像与x 轴了两交点的坐标.3.二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较：从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．4.二次函数的系数c b a ,,对图像的影响（1）系数a ：①0>a ，开口向上；0<a ，开口向下；②a 越大，开口越大；a 越小，开口越小；（2）系数b ：b a ,的符号共同决定对称轴的位置，“左同右异”①b a 、同号：0>ab ，对称轴a bx 2-=在y 轴左侧，②b a 、异号：0<ab ，对称轴abx 2-=在y 轴右侧；（3）常数c ：与y 轴交点坐标),0(c ；5.二次函数2y ax bx c =++)0(≠a 的性质()()20f x ax bx c a =++≠0a >0a <图像定义域(),-∞+∞对称轴2bx a=-顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭值域),44(2∞+-ab ac 24,4ac b a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭单调区间)2,(ab--∞递减)2(∞+-，ab 递增)2,(ab--∞递增)2(∞+-，ab 递减6.二次函数2y ax bxc =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住5要素：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.7.二次函数与一元二次方程（1）当抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴两个交点时，公共点的横坐标21,x x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根.（2）①当240b ac ∆=->时，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点；②当042=-=∆ac b 时，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有1个交点（顶点）；③当042<-=∆ac b 时，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点；（3）当042<-=∆ac b 时：①当0a >时，图象落在x 轴的上方，0y >恒成立；②当0<a 时，图象落在x 轴的下方，0<y 恒成立；四、反比例函数1.定义：一般地，形如)0(≠=x xky 的函数，称为反比例函数.2.图像与性质：函数解析式>k 0<k五、指数函数1.定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且，x 为自变量，函数定义域为R .2.图像与性质：10<<a 1>a 图像定义域R 值域)0(∞+，性质（1）过定点（0，1），即1,0==y x 时（2）在R 上为减函数（2）在R 上为增函数六、对数函数1.定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且，x 为自变量，函数定义域为),0(∞+.2.图像与性质：10<<a 1>a图像定义域(0,+∞)值域R性质（1）过定点（1，0），即0,1==yx时（2）在),0(∞+上为减函数（2）在),0(∞+上为增函数七、幂函数1.定义：形如αxy=叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数.2.几种常见幂函数的图像3.几种常见幂函数.的图像与性质幂函数性质xy=2xy=3xy=21xy=1-xy=八、对勾函数1.定义：2.图像与性质：解析式)0,0()(>>+=b a xbax x f 图像性质定义域{}0≠x x 值域),2[]2,(∞+--∞ab ab 单调性单调增区间：),(,),(∞+--∞ab a b九、分式函数1.定义：一般地，形如：()()ax bf x ad cb cx d+=≠+叫做分式函数.2.图像与性质：图象是以直线,d a x y c c =-=（恰为系数之比）为渐近线的双曲线，对称中心(,d ac c-，通常用代点法确定两支双曲线的位置。

函数图像的变换及其应用.

函数图像的变换及其应用执教：嘉定区教师进修学院张桂明教学目标：1．熟练掌握常见函数图像的画法，记住它们的大致形状和准确位置． 2．掌握函数图像的几种类型的变换，能用图像变换法解决一些有关的函数问题．3．通过对函数图像变换与应用问题的探究及解决，提高分析问题和解决问题的能力，体会数形结合的思想方法在解决函数与方程问题中的重要作用并能初步加以应用．教学重点：1．常见函数的图像及其画法．2．函数图像的变换及变换后的对称性、单调性的变化．教学难点：应用数形结合的思想方法对问题进行分析思考，寻求解题策略．教学过程：一、引入课题问题：设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01,||1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（）(A) 0<b 且0>c (B) 0>b 且0<c (C) 0<b 且0=c (D) 0≥b 且0=c二、知识回顾1．函数图像的作法，你有哪些常用的方法？2．请说出常见函数图像的形状、位置，作出它们的草图．3．你会用哪些函数图像的变换方法来作函数的图像？在这些变换中，如果原来的函数图像具有某种对称性，那么变换后它们的对称性有什么变化？函数的单调性在变换后又有什么变化？4．函数)(x f 的图像关于直线a x =成轴对称图形的充要条件是什么？函数)(x f 的图像关于点),(b a 成中心对称图形的充要条件双是什么？三、问题探究1．若函数3)2(2+++=x a x y ，],[b a x ∈的图像关于直线1=x 对称，则=b ______________．2．已知函数|12|)(-=x x f 的图像与直线a y =有且仅有一个公共点，则实数a 的取值范围是___________________．3．已知函数222)(+=x x x f ，R x ∈．（1）求证：函数)(x f 的图像关于点)21,21(A 对称；（2）不使用计算器，试求)109()108()102()101(f f f f ++++Λ的值．4．讨论方程a x x =+-|3||4|2的实数解的情况．四、方法小结五、练习与作业学生练习与作业1．怎样变换函数x y =的图像，得到函数13+-=x y 的图像，并画出此函数的图像。

函数图像该如何理解和记忆？

函数图像该如何理解和记忆？哎呦喂，函数图像这玩意儿，说起来容易做起来难啊！很多同学一看到一堆符号和曲线就头大了，恨不得直接把脑袋塞进书里算了。

其实，理解函数图像的关键就两个字：联想！拿我自己的经历来说吧，前几天去逛花鸟市场，看到一盆特别漂亮的多肉植物，一串串肥嘟嘟的叶子，简直萌翻了！回家后就想画个草图，结果发现这多肉的形状，简直和一个函数图像一模一样！我当时就想，要是把这个函数图像和这串多肉联系起来，是不是就更容易记住了呢？首先，我们得先搞清楚函数图像到底代表什么？它就像是一张地图，每个点都对应着函数中x和y的值。

咱们以多肉为例，假设横轴代表多肉的生长时间，纵轴代表多肉的重量，那么函数图像上每个点，就代表某个时间点多肉的重量。

接着，我们可以用一些有趣的方式来记忆函数图像的特征。

比如，多肉开始生长的时候，重量很轻，所以图像一开始会比较平缓，就像多肉的底部一样。

随着时间推移，多肉越长越大，重量也越来越重，图像就开始逐渐向上倾斜，就像多肉的中间部分那样。

最后，多肉长到一定程度，重量基本不再增加，图像就变得平缓，就像多肉的顶部一样。

当然，不同的函数图像，对应不同的形状，我们需要根据不同的函数类型进行分析。

就像多肉的品种一样，有圆滚滚的，有长条形的，有带刺的，每个都有自己的特点。

比如，一次函数的图像是一条直线，就像一把尺子一样，平直向上；二次函数的图像是一个抛物线，就像一个笑脸一样，左右对称。

记住，不要死记硬背，要多联想、多思考，把函数图像转化成生活中的各种事物，这样理解起来就容易多了！就像我之前说的，把函数图像和多肉联系起来，每次看到多肉，就能想起对应的函数图像，是不是很有趣？哈哈，这样学习数学，再也不枯燥了！。

考点10 一次函数图像与性质【无答案】

考点十一次函数的图像与性质【命题趋势】在中考中，主要以选择题、填空题和解答题形式出现，主要考查一次函数的图像与性质，确定一次函数的解析式，一次函数与方程（组）、不等式的关系。

一次函数与二次函数、反比例函数综合也是中考重点之一。

【中考考查重点】一、结合具体情景体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；二、利用待定系数法确定一次函数的表达式；三、根据一次函数画出图像，探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况；四、体会一次函数与二元一次方程的关系考点一：一次函数及其图像性质概念一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，当b=0十，即y=kx，这时称y是x的正比例函数（一次函数的特殊形式）增减性k＞0k＜0从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少图像（草图）b＞0b=0b＜0b＜0 b=0 b＜0经过象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四与y轴的交点位置b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上【提分要点】：1.若两直线平行，则；2.若两直线垂直，则1．（2021春•大安市期末）一次函数y＝2x﹣1图象经过象限（）A．一、二、三B．一、二、四C．二、三、四D．一、三、四2．（2021秋•肃州区期末）对于一次函数y＝x+6，下列结论错误的是（）A．函数值随自变量增大而增大B．函数图象与x轴正方向成45°角C．函数图象不经过第四象限D．函数图象与x轴交点坐标是（0，6）3．（2021秋•东港市期中）点A（﹣1，y1）和点B（﹣4，y2）都在直线y＝﹣2x上，则y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．y1≥y2 4．（2021秋•三水区期末）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（）A．B．C．D．考点二：一次函数解析式的确定5．（2021秋•尤溪县期中）已知一次函数y＝x+b过点（﹣1，﹣2），那么这个函数的表达式为（）A．y＝x﹣1B．y＝x+1C．y＝x﹣2D．y＝x+2 6．（2021春•海珠区期末）已知一次函数y＝mx﹣4m，当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m的值为（）A．3B．2C．﹣2D．2或﹣2 7．（2021秋•萧山区月考）已知y与x﹣2成正比例，且当x＝1时，y＝1，则y与x之间的函数关系式为．8．（2021春•古丈县期末）某个一次函数的图象与直线y＝x+6平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为（）A．y＝﹣x﹣5B．y＝x+3C．y＝x﹣3D．y＝﹣2x﹣8考点三：一次函数图像的平移平移前平移方式（m＞0）平移后简记y=kx+b 向左平移m个单位长度y=k（x+m）+bx左加右减向右平移m个单位长度y=k（x-m）+b向上平移m个单位长度y=kx+b+m等号右端整体上加下减向下平移m个单位长度y=kx+b-m9．（2021秋•金安区校级期中）将直线y＝2x向右平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得直线的表达式为（）A．y＝2x﹣1B．y＝2x C．y＝2x+4D．y＝2x﹣2 10．（2021春•米易县期末）一次函数y＝2x﹣4的图象由正比例函数y＝2x的图象（）A．向左平移4个单位长度得到B．向右平移4个单位长度得到C．向上平移4个单位长度得到D．向下平移4个单位长度得到11．（2021秋•长丰县月考）已知点A（2，4）沿水平方向向左平移3个单位长度得到点A'，若点A'在直线y＝x+b上，则b的值为（）A．1B．3C．5D．﹣1考点四：一次函数与方程（组）、不等式与一元一次方程的关系方程ax+b=0（a≠0）的解是一次函数y=ax+b(a≠0）的函数值为0时自变量的取值，还是直线y=ax+b(a≠0）与x轴交点的横坐标12．（2021秋•乐平市期中）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为（）A．x＝0B．x＝3C．x＝﹣2D．x＝﹣3 13．（2021秋•安徽期中）已知一次函数y＝ax﹣1与y＝mx+4的图象交于点A（3，1），则关于x的方程ax﹣1＝mx+4的解是（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝3D．x＝414．（2021春•沧县期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20B．x＝5C．x＝25D．x＝15 15．（2020秋•建湖县期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝2x的图象过点A，则不等式2x＜kx+b≤0的解集为（）A．x≤﹣2B．﹣2≤x＜﹣1C．﹣2＜x≤﹣1D．﹣1＜x≤0 16．（2021秋•兴宁区校级月考）如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣2，0），直线y＝mx+n交x轴于点B（5，0），这两条直线相交于点C（2，c），则关于x的不等式组的解集为（）A．x＜5B．1＜x＜5C．﹣2＜x＜5D．x＜﹣217．（2020秋•西林县期末）如图所示是函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象，则方程组的解是（）A．B．C．D．1．（2021春•扎兰屯市期末）将直线y＝﹣2x﹣2向右平移1个单位长度，可得直线的表达式为（）A．y＝2x B．y＝﹣2x﹣4C．y＝﹣2x D．y＝﹣2x+4 2．（2021春•玉田县期末）下列有关一次函数y＝﹣6x﹣5的说法中，正确的是（）A．y的值随着x值的增大而增大B．函数图象与y轴的交点坐标为（0，5）C．当x＞0时，y＞﹣5D．函数图象经过第二、三、四象限3．（2021春•红寺堡区期末）点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣4x+3图象上的两个点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＞y2＞0C．y1＜y2D．y1＝y2 4．（2021秋•运城期中）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A （2，﹣1），则这个一次函数的表达式是（）A．y＝﹣2x+3B．y＝x+3C．y＝2x+3D．y＝x+35．（2021秋•南海区期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，0）、（0，1），则下列结论正确的是（）A．k＝1B．关于x的方程kx+b＝0的解是x＝2C．b＝2D．关于x的方程kx+b＝0的解是x＝16．（2021秋•滕州市期中）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，2），B（1，0），则关于x 的方程ax+b＝0的解为（）A．x＝0B．x＝2C．x＝1D．x＝3 7．（2021秋•龙凤区期末）一次函数y＝mx﹣n（m，n为常数）的图象如图所示，则不等式mx﹣n≥0的解集是（）A．x≥2B．x≤2C．x≥3D．x≤3 8．（2020秋•开化县期末）如图，直线y＝2x+n与y＝mx+3m（m≠0）的交点的横坐标为﹣1，则关于x的不等式2x+n＜mx+3m＜0的整数解为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣3.59．（2021春•单县期末）已知方程组的解为，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．（2021春•武陵区期末）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b 时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max（2x﹣1，﹣x+2}，则该函数的最小值是（）A．2B．1C．0D．﹣1 11．（2020秋•成安县期末）如图，若直线y＝kx+b与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴正半轴交于B，且△OAB的面积为4，则该直线的解析式为（）A．B．y＝2x+2C．y＝4x+4D．12．（2021春•饶平县校级期末）已知2y﹣3与3x+1成正比例，则y与x的函数解析式可能是（）A．y＝3x+1B．C．D．y＝3x+2 13．（2021秋•榆林期末）已知直线l1交x轴于点（﹣3，0），交y轴于点（0，6），直线l2与直线l1关于x轴对称，将直线l1向下平移8个单位得到直线l3，则直线l2与直线l3的交点坐标为（）A．（﹣1，﹣4）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，﹣1）1．（2021•长沙）下列函数图象中，表示直线y＝2x+1的是（）A．B．C．D．2．（2021•嘉峪关）将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（）A．y＝5x﹣2B．y＝5x+2C．y＝5（x+2）D．y＝5（x﹣2）3．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m），则m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5 4．（2021•抚顺）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b ＝2的解是（）A．x＝B．x＝1C．x＝2D．x＝4 5．（2020•牡丹江）两个一次函数y＝ax+b和y＝bx+a，它们在同一个直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．6．（2021•乐山）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的解析式为（）A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝2x 7．（2021•娄底）如图，直线y＝x+b和y＝kx+4与x轴分别相交于点A（﹣4，0），点B （2，0），则解集为（）A．﹣4＜x＜2B．x＜﹣4C．x＞2D．x＜﹣4或x＞2 8．（2019•苏州）若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（）A．x＜0B．x＞0C．x＜1D．x＞19．（2021•德阳）关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k 的取值范围是（）A．k＞1B．k＞﹣1C．k＜1D．k＜﹣1 10．（2021•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（）A．y＝﹣x+4B．y＝﹣x+4C．y＝﹣x+4D．y＝4 11．（2019•江西）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，1），连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC．（1）求点C的坐标；（2）求线段BC所在直线的解析式．1．（2021•庐阳区校级一模）一次函数y＝﹣2x﹣3的图象和性质．叙述正确的是（）A．y随x的增大而增大B．与y轴交于点（0，﹣2）C．函数图象不经过第一象限D．与x轴交于点（﹣3，0）2．（2021•陕西模拟）平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+m沿x轴向右平移4个单位后恰好经过（1，2），则m＝（）A．﹣1B．2C．﹣4D．﹣3 3．（2021•商河县校级模拟）若一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，则一次函数y＝﹣bx+k的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（2021•萧山区一模）已知y﹣3与x+5成正比例，且当x＝﹣2时，y＜0，则y关于x的函数图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限5．（2021•陕西模拟）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，3），每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数表达式是（）A．y＝x+3B．y＝2x﹣3C．y＝3x﹣3D．y＝4x﹣4 6．（2021•蕉岭县模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+b（m，b均为常数）与正比例函数y＝nx（n为常数）的图象如图所示，则关于x的方程mx＝nx﹣b的解为（）A．x＝3B．x＝﹣3C．x＝1D．x＝﹣17．（2021•奉化区校级模拟）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x C．y＝﹣x D．y＝﹣x8．（2021•遵义一模）如图，直线y＝kx+b（k＜0）与直线y＝x都经过点A（3，2），当kx+b ＞x时，x的取值范围是（）A．x＜2B．x＞2C．x＜3D．x＞3 9．（2021•饶平县校级模拟）如图，函数y＝ax+b和y＝﹣x的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组中的解是（）A．B．C．D．10．（2021•杭州模拟）已知直线l：y＝kx+b经过点A（﹣1，a）和点B（1，a﹣4），若将直线l向上平移2个单位后经过原点，则直线的表达式为（）A．y＝2x+2B．y＝2x﹣2C．y＝﹣2x+2D．y＝﹣2x﹣2 11．（2021•南山区校级二模）我国古代很早就对二元一次方程组进行了研究，古著《九章算术》记载用算筹表示二元一次方程组，发展到现代就是用矩阵式＝来表示二元一次方程组，而该方程组的解就是对应两直线（不平行）a1x+b1y＝c1与a2x+b2y＝c2的交点坐标P（x，y）据此，则矩阵式＝所对应两直线交点坐标是．12．（2021•杭州模拟）已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．。

高中函数图像大全

指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。

即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。

4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幂式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log 101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的图像的特征和性质.见下表.比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比幂函数幂函数的图像与性质幂函数ny x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下．从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．②11,,1,2,332a=时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④任何两个幂函数最多有三个公共点．奇函数偶函数非奇非偶函数定义域 R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y xα=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。

人教版九年级数学上册第22章第1节二次函数的图像和性质(共46张PPT)

1.y=x2 8x 7
2.y=-2x2 9x 17
3.y=mx2 kx-4k2
x
⑶a，b决定抛物线对称轴的位置: 对称轴是直线x =
b 2a
① a，b同号＜＝＞对称轴在y轴左侧；
② b=0 ＜＝＞对称轴是y轴；
③ a，b异号＜＝＞对称轴在y轴右侧
y
左同右异
o
x
练习：
1.若抛物线yax2 bxc的图象如图，说出a，b，
c的符号。
2.若抛物线yax2 bxc经过原点和第一二三
象限，则a，b，c的取值范围分别是
3.若抛物线yax2 bxc的图象
如图所示，则一次函数y=ax+bc
的图象不经过
。y
。 y ox
o 图1
x 图2
y abc 0 （ 4 ）与直线 x1 交点 y a b c 0
y a b c 0
方法归纳
1
配方法
2
公式法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值根据图形填表：
抛物线顶点坐标
对称轴位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
小结拓展回味无穷驶向胜利的彼岸
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系
2.不同点:
(1)位置不同(2)顶点不同:分别是
b 2a
,
4acb2 4a