2007考研数学基础班--高等数学讲义6

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万学海文铁军高等数学基础班讲义64061

----高等数学----第一章函数、极限、连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。

它们是每年必考的内容之一。

第一节数列极限与函数极限【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：；洛必达（）法则。

【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达（）法则求未定式极限的方法。

【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。

函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。

一、数列的极限1.数列的极限无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列，其中称为数列的一般项或通项。

设有数列和常数A。

若对任意给定的，总存在自然数，当n>N时，恒有，则称常数A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为或。

没有极限的数列称为发散数列。

收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。

2.极限存在准则（1）定理（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有，则极限存在，且等于A .注对其他极限过程及数列极限，有类似结论.（2）定理：单调有界数列必有极限.3.重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。

（2）。

（3）。

【考点一】（1）单调有界数列必有极限.（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为＋∞.（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为－∞.【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。

2007年考研数学试题详解及评分参考

f (x, y)dy =
G
G dy = y2 - y1 < 0 ，是正确选项；
ò ò 对选项(C)，有 f (x, y)ds = ds = l > 0 ，（其中 l 为的弧长），应排除；
G
G
ò ò 对选项(D)，有
G
f
¢
x
(
x,
y)dx
+
f
¢
y
(
x,
y)dy
=
0dx + 0dy = 0 ，应排除.
G
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2007 年数学试题详解及评分参考
2007 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题详解及评分参考
数学（一）
一、选择题（ 1 ～ 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。）
(1) 当 x ® 0+ 时，与 (A) 1- e x
【答】应选 (B) .
x 等价的无穷小量是
1- x
1- x 1- x
x+x:
x ，1- cos
x
:
1 2
(
x )2
=
1 2
x
.
故选 (B) .
(2)
曲线 y
=
1 x
+ ln(1+ ex ) 渐近线的条数为
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
【答】应选 (D) .
【解】
因 lim y x®+¥
=
lim [1 x x®+¥
+ ln(1+ ex )] = +¥ ， lim x®-¥
y
=
lim [1 x x®-¥

2007全国硕士研究生入学考试数学真题详解——线性代数部分

2007-2010年全国硕士研究生入学考试数学真题详解——线性代数部分一、2007年：1、(2007年数学一、二、三、四) 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) 133221,,αααααα---. (B) 133221,,αααααα+++.(C) 1332212,2,2αααααα---. (D) 1332212,2,2αααααα+++. [ ] 【答案】A【详解】用定义进行判定:令0)()()(133322211=-+-+-ααααααx x x ，得 0)()()(332221131=+-++-+-αααx x x x x x .因321,,ααα线性无关，所以 1312230,0,0.x x x x x x -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ 又 011011101=---，故上述齐次线性方程组有非零解, 即133221,,αααααα---线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.2、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B , 则A 与B(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ ] 【答案】B【详解】由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1,从而A 与B 不相似.又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同. 故选(B) .3、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001000010A , 则3A 的秩为 . 【答案】1【详解】依矩阵乘法直接计算得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000000010003A , 故r (3A )=1.4、(2007年数学一、二、三、四)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++04,02,03221321321xa x x ax x x x x x ①与方程12321-=++a x x x ②有公共解，求a 的值及所有公共解．【分析】两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】将①与②联立得非齐次线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=++=++=++.12,04,02,03213221321321a x x x x a x x ax x x x x x ③ 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A 作初等行变换得:→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112104102101112a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11000)1)(2(0001100111a a a a a .于是1° 当a =1时，有)()(A r A r ==2<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→0000000000100101A ，此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101,所以①与②的全部公共解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101k ，k 为任意常数.2° 当a =2时，有)()(A r A r ==3，方程组③有唯一解, 此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→0000110010100001A ，故方程组③的解为:011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭, 即①与②有唯一公共解: 为123011x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.5、(2007年数学一、二、三、四)设3阶对称矩阵Ａ的特征值,2,2,1321-===λλλ T)1,1,1(1-=α是Ａ的属于1λ的一个特征向量,记E A A B +-=354其中E 为3阶单位矩阵.(I) 验证1α是矩阵Ｂ的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量．(II) 求矩阵Ｂ．【分析】根据特征值的性质可立即得B 的特征值, 然后由B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.【详解】 (I) 由11αα=A 得 1112ααα==A A , 进一步 113αα=A , 115αα=A ，故 1351)4(ααE A A B +-=113154ααα+-=A A1114ααα+-=12α-=，从而1α是矩阵Ｂ的属于特征值−2的特征向量.因E A A B +-=354, 及Ａ的3个特征值,2,2,1321-===λλλ 得 B 的3个特征值为1,1,2321==-=μμμ.设32,αα为B 的属于132==μμ的两个线性无关的特征向量, 又Ａ为对称矩阵，得B 也是对称矩阵, 因此1α与32,αα正交, 即0,03121==ααααT T 所以32,αα可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：0)1,1,1(321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x ,其基础解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101 , 故可取2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011, 3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101.即B 的全部特征值的特征向量为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111k , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101132k k , 其中01≠k ,是不为零的任意常数, 32,k k 是不同时为零的任意常数.(II) 令),,(321ααα=P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101011111, 则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121BP P ，得 1112-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101011111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111131=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102012112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111131⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110.二、2008年：1、（2008年数学一、二、三、四）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则[ ]则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C).【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C).2、（2008年数学一）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x x yz A y z ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为[ ](A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【答案】应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z a c +-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).3、（2008年数学二、三、四）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上，与A 合同矩阵为[ ] (A) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭ . (B)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. (C) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭. (D) 1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 【答案】应选(D). 【详解】2212(1)423(1)(3)021E A λλλλλλλλ---==--=--=+-=--则121,3λλ=-=，记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则2212(1)423(1)(3)021E D λλλλλλλλ--==--=--=+-=-则121,3λλ=-=，正负惯性指数相同.故选D.4、(2008年数学一) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________.【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+= ⎪⎝⎭．记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此0201AP P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．5、（2008年数学二）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ．若行列式|2|48A =-，则λ=___________. 【答案】应填1-．【详解】由482-=A ，依据方阵行列式的性质，则有48223-==A A ，即6-=A .又A 等于其特征值的乘积，即632321-=⨯⨯=⨯⨯=λλλλA ,得1-=λ. 6、（2008年数学三）设3阶方阵A 的特征值为1,2,2,E 为单位矩阵，则=--E A 14 .【答案】应填3．【详解】由方阵特征值的性质，E AA f -=-14)(，则14)(1-=-λλf ，故方阵EA --14的特征值分别为1,1,3，又由方阵行列式等于其特征值的乘积，则有341=--E A .7、（2008年数学四）设3阶方阵A 的特征值互不相同，若行列式0=A ，则A 的秩为 . 【答案】应填2．【详解】由题可知，方阵A 的特征值含有0，而其余两个非零，故A 的秩为2.8、（2008年数学一）设,αβ为3维列向量，矩阵TTA ααββ=+，其中,TTαβ分别是,αβ得转置．证明：（I ）秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤．【证法2】因为TTA ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤．因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0T T αξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0Ax =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00T TTT A αααββαββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以|||0|00TT a A αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12TT T r A r r k rααβββββ=+=+≤≤<． 9、(2008年数学一、二、三、四) 设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ．（III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na a a a aD A a a a a ==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n a a a aD aD a a a a 2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n ana a n a --=-- (1)n n a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==-得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD a D a D a ------=-==-=．于是(1)n n D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na a a a aA a a a a =22122213121212212na a a ar ar a a a a -322222130124123321212naa a r ar a aa a a a -=n n na a a n r ar nn a n n a n 121301240113111----+(1)n n a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn a aa a a aa aD na a a a a a a a a ---===所以，11(1)n n D ax D n a-==+．（III ）【详解】当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．10、(2008年数学二、三、四)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足321A ααα=+，(I)证明123,,ααα线性无关； (II)令123(,,)P ααα=，求1P AP -．【详解】(I)【证明】设有一组数123,,k k k ，使得 122330k k k ααα++=．用A 左乘上式，得112233()()()0k A k A k A ααα++=．因为 11A αα=-, 22A αα=，321A ααα=+，所以 1123233()0k k k k ααα-+++=，即113220k k αα-=．由于12,αα是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此130k k ==，从而有20k =．故 123,,ααα线性无关．（II ）由题意，100011001AP P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．而由（I ）知，123,,ααα线性无关，从而123(,,)P ααα=可逆．故1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．三、2009年：1、（2009年数学一）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为()A 101220033⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. ()B 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.()C 111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.()D 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【答案】A【解析】因为()()1212,,,,,,n n A ηηηααα=，则A 称为基12,,,n ααα到12,,,nηηη的过渡矩阵。

2007考研数一真题答案及详细解析

h(a) =f(a)-g(a) =M-g(a)�O, h(/J) =f依） — g(/J) =f(/J) —M<o,
P 由介们定理，存在介于a与之间的点刀，使得h(r;) = O.
综上，存在吓E(a,b),使得h(r;)=O. 因此由罗尔定理可知，存在名ECa,r;),名E(17,b),使得
h I(名） =h'(名） =O,
= O,
故 x-+=时有斜渐近线y =x.
综上，所求曲线的渐近线条数为 3 条，答案为 D.
(3) C
解如题目中图所示，大小半圆的面积分别为六与一 14 六．
按定积分的几何意义知，当 x E[0,2]时f(x)�O,当 x E[2,3]时f(x)�O. 则
I I 2(:) ! F(3)=
勹 (t)dt=
(x2 )" n!
=xe立、2
,x、EC�=,
十=).
(21)解因为方程组也与＠的公共解，即为联立方程组 x1+x2+x3 = 0,
x1 +2x2+a儿、 3 = O, ＠
X 1 +4x2 +a勹3�o, ｀亢 1+2x2 +.:r :, =a — 1
的解
对方程组＠的增广矩阵A施以初等行变换，有
。。 1 1 1
= J'(0)存在．
工 -o
x-o X
工-o
X
因此A、B、C正确．故应选D.
(5) D 解
、
由广(x)>O (x>O)得J'(x)在(0, 十=)单调上升.j (x)只有以下三种情形：
(1)由存在x。 E (o, 十=), 厂(x。 )=O得

2010_考研数学基础班高等数学讲义(全全部)

第一章函数、极限、连续第二章§1.1 函数（甲）内容要点一、函数的概念1.函数的定义设D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规划f ，对每一个x D ∈，都能对应惟一的一个实数y ，则这个对应规划f 称为定义在D 上的一个函数，记以y =f (x )，称x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集{}|(),Z y y f x x D ==∈称为函数的值域。

2.分段函数如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。

这类函数称为分段函数。

例如21<1() -115 >1x x y f x x x x x +-⎧⎪==≤≤⎨⎪⎩是一个分段函数，它有两个分段点，x ＝－1和x ＝1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y =f (x )在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。

需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。

3.隐函数形如y =f (x )有函数称为显函数，由方程F （x ，y ）=0确定的y ＝y (x )称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。

4.反函数如果y =f (x )可以解出()x y ϕ=是一个函数（单值），则称它为f (x )的反函数，记以1()xfy -=。

有时也用1()y fx -=表示。

二、基本初等函数1.常值函数 y ＝C （常数）2.幂函数y xα=（α常数）3.指数函数xy a =（a ＞0，a ≠1常数）xy e=（e ＝2.7182…，无理数）4.对数函数 log a y x=（a ＞0，a ≠1常数）常用对数 10log lg y x x == 自然对数 log ln e y x x ==5.三角函数sin ;cos ;tan .y x y x y x ===cot ;sec ;csc .y x y x y x ===6.反三角函数 arcsin ;cos ;y x y arc x ==arctan ;cot .y x y arc x ==基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。

考研数学阿赞学长高数讲义

考研数学阿赞学长高数讲义考研数学阿赞学长高数讲义是考研数学备考过程中必备的学习资料之一。

在数学考试中，高数是必考科目，也是考研数学中的重要组成部分。

阿赞学长的高数讲义涵盖了高等数学的各个知识点，包括极限、导数、微分、积分、级数等内容。

下面将从几个方面来介绍阿赞学长高数讲义的特点和学习方法。

一、全面细致的知识点介绍阿赞学长高数讲义对高等数学的各个知识点进行了全面细致的介绍。

每个知识点都有详细的讲解和例题，让考生能够深入理解和掌握。

特别是对一些难度较大的知识点，如级数收敛性的判定、微分方程的解法等，阿赞学长的讲解更是深入浅出，让考生能够轻松掌握。

二、题目分类明确，难度递进阿赞学长高数讲义的题目分类非常明确，包括基础练习、提高练习、考研模拟试题等。

每个部分的题目难度都是递进的，让考生能够有针对性地进行练习。

基础练习部分主要是对知识点的巩固和应用，提高练习部分则是对知识点的深入掌握和拓展，考研模拟试题则是对考生的考试能力进行提升。

三、注重思维方法和技巧的讲解阿赞学长高数讲义不仅注重知识点的讲解，更注重思维方法和技巧的讲解。

在讲解例题的过程中，阿赞学长会详细讲解解题的思路和方法，帮助考生建立正确的解题思维。

同时，阿赞学长也会介绍一些解题技巧和方法，让考生能够更加高效地解题。

四、配有详细的答案和解析阿赞学长高数讲义配有详细的答案和解析，让考生能够及时检查自己的答案，并了解解题的过程和方法。

特别是在考研模拟试题部分，阿赞学长会给出详细的解析和思路，让考生能够更好地掌握考试技巧和方法。

五、学习方法在使用阿赞学长高数讲义进行学习时，建议考生采用以下学习方法：1.熟悉知识点：先通读一遍全书，了解知识点的分类和难度。

2.分类练习：根据个人水平选择相应难度的题目进行练习，建议先从基础练习开始，逐步提高难度。

3.反复练习：重点练习自己薄弱的知识点和难点，反复练习，直到熟练掌握。

4.模拟考试：在考研前进行多次模拟考试，熟悉考试形式和节奏，提高考试能力。

高等数学考研讲稿第六章

点M 0 ( x0 , y0 , z0 )到平面Ax + By + Cz + D = 0 的距离为 d= | Ax0 + By0 + Cz0 + D | A2 + B 2 + C 2 .
三.1.直线方程直线方程
1.过点M 0 ( x0 , y0 , z0 )且以 S = ( m , n, p )为方向向量的直线L的方程:
F ( x, y, z ) = 0 (2)空 (2)空间曲线Γ的方程 : 消去y后得 G( x, y, z ) = 0 母线平行于y轴的投影柱面T ( x , z ) = 0, T ( x , z ) = 0 . Γ在xoz面上的投影曲线为 : y=0 F ( x, y, z ) = 0 (3)空 (3)空间曲线Γ的方程 : 消去x后得 G( x, y, z ) = 0 母线平行于x轴的投影柱面R( y , z ) = 0, R( y , z ) = 0 . Γ在yoz面上的投影曲线为 : x=0
2 2 2
2.cos ϕ =
=
.
3.sin ϕ =
=
m +n + p
2 2
2
.
4.点到直线的距离点到直线的距离
x − x1 y − y1 z − z1 点M 0 ( x0 , y0 , z0 )到直线L : = = m n p 距离为 d= AM × S S = ( x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 ) × ( m , n, p ) m +n + p
(1)对称式 x − x0 y − y0 z − z0 ; = = m n p x = x0 + mt y = y0 + nt ,( t为参数 ) z = z + pt 0

2007年高等数学教材

2007年高等数学教材2007年高等数学教材是一本针对大学高等数学课程的教材，广泛应用于全国高等学府。

本教材以系统、全面地介绍高等数学的基本理论和方法为主题，旨在帮助学生建立扎实的数学基础，培养解决实际问题的能力。

第一章微积分第一章主要介绍微积分的基本概念和理论。

首先，引入了函数的概念，并介绍了函数的性质和常见函数的特点。

随后，详细讲解了极限的概念，包括极限的定义、性质和计算方法。

在此基础上，进一步介绍了导数和微分的定义、性质与计算方法。

最后，探讨了函数的凸凹性、极值和拐点等问题，提供了一些应用实例，帮助学生理解微积分的实际应用。

第二章微分学第二章主要介绍微分学的内容。

首先，对微分中的基本定理进行了详细解释，并介绍了微分学中的基本运算法则。

随后，讨论了高阶导数、隐函数与参数方程的微分，为后续章节的学习打下基础。

接着，介绍了泰勒公式及其应用，并探讨了微分学在曲线的研究中的应用。

最后，引入了微分方程的基本概念，介绍了一些基本的解法方法。

第三章积分学第三章主要介绍积分学的内容。

首先，讲解了定积分的基本定义和性质，并介绍了定积分的计算方法，包括换元法、分部积分法等。

随后，介绍了不定积分的基本概念和性质，并提供了一些具体的计算方法。

接着，引入了变限积分的概念和性质，并讲解了变限积分的计算方法和应用。

最后，详细介绍了定积分在曲线长度、曲线面积和物理学问题中的应用。

第四章级数第四章主要介绍级数的基本概念和性质。

首先，引入了无穷级数的定义和判敛方法，并介绍了级数的收敛性和发散性。

随后，讨论了各类特殊级数的性质，并介绍了级数运算的方法。

接着，详细解释了幂级数的定义和性质，并讨论了幂级数的收敛半径和求和方法。

最后，探讨了级数在近似计算和函数展开中的应用。

第五章偏微分方程第五章主要介绍偏微分方程的基本理论和求解方法。

首先，介绍了二阶常微分方程的解法，并引入了偏导数和偏微分方程的概念。

随后，详细讲解了一阶线性偏微分方程和高阶线性偏微分方程的解法，包括分离变量法、定性解法等。

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2007数学一

2007数学一
数学作为人类历史上最重要的科学之一，它不仅仅是一门学科，更是一种思想。

2007年，联合国年度数学一课程的出现，开启了一
场跨越全球的改革，在全球最伟大的数学教学运动中引领着众多孩子们踏上全新的数学之旅。

该课程旨在通过主题式教学法将数学课程推进到一个新的高度，充分发挥学生的创造力，使其能够深入地理解数学知识，拓展其运用数学知识的能力。

该课程涵盖了数学知识的面面角角，包括抽象数学、应用数学、计算机数学、物理数学等等，使学生能够在理论与实际之间找到完美的平衡点，对数学有着更深刻的理解。

在这名号历史性的课程中，推广了一系列先进的数学思想，推动了新一代数学教学理念的发展，这不仅仅改变了传统的教学方式，也改变了人们的传统的数学思维模式，催生了一批具有开拓精神的后代，以新的方式运用数学知识，发掘数学在各行各业的应用。

与此同时，该课程也促成了一系列国际性的讨论平台，让一代又一代数学家在交流群体中相互交流，彼此讨论，以达到教学的最高境界。

今天，2007年数学一课程已经可以被全球认可，它不仅仅在数
学知识的传播上取得了巨大进步，更是在数学技术的应用上有着巨大的推动作用。

2007年数学一课程的出现，让许多家庭的孩子们从考
试的威胁中解脱出来，有机会以一种活跃、广泛的方式，以更多的想象去探索数学知识，改变未来的路径。

2007年数学一课程这一历史性的发展，为世界带来了一片新的希望。

它旨在通过改善孩子们对数学的理解，提升孩子们的数学素养，让每个孩子都有机会深入探索数学，进而让世界变得更加美好。

2007【考研数一】真题及解析

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：110小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 当0x +→等价的无穷小量是( )A.1-B1C.1c D -(2) 曲线1ln(1)x y e x=++渐近线的条数为( ) .A 0 .B 1 .C 2 .D 3(3) 如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是( ).A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F =.C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--(4) 设函数()f x 在0x =连续，则下列命题错误的是( ).A 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C 若0()limx f x x →存在，则(0)f '存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在(5) 设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()(1,2,)n u f n n ==，则下列结论正确的是( ).A 若12u u >，则{}n u 必收敛 .B 若12u u >，则{}n u 必发散 .C 若12u u <，则{}n u 必收敛 .D 若12u u <，则{}n u 必发散(6) 设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数)过第Ⅱ象限内的点M 和第IV 象限内的点N ，Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分小于零的是( ).A(,)f x y dx Γ⎰.B (,)f x y dy Γ⎰.C (,)f x y ds Γ⎰ .D (,)(,)x y f x y dx f x y dy Γ''+⎰(7) 设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是( )A .12αα-2331,,αααα--B .12αα+2331,,αααα++C .1223312,2,2αααααα---D .1223312,2,2αααααα+++(8) 设矩阵211121112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，100010000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 与B ( ) A . 合同，且相似 B . 合同，但不相似C . 不合同，但相似D . 既不合同，也不相似(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01),p p <<则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )A .23(1)p p -B .26(1)p p -C .223(1)p p -D .226(1)p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y f x y 为( )A .()X f xB .()Y f yC .()()X Y f x f yD .()()X Y f x f y二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (11)12311x e dx x=⎰_________ (12) 设(,)f u v 为二元可微函数，(,),yxz f x y =则______zx∂=∂(13) 二阶常系数非齐次线性微分方程2432xy y y e '''-+=的通解为_____y =(14) 设曲面:1x y z ∑++=，则()_____x y dS ∑+=⎰⎰(15) 设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为＿＿＿＿＿(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于12的概率为＿＿＿＿＿＿三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)求函数2222(,)2,f x y x y x y =+-在区域{}22(,)4,0D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值.(18)(本题满分11分)计算曲面积分 23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰ 其中∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤的上侧.(19)(本题满分11分)设函数()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=(20)(本题满分10分)设幂级数nn n a x∞=∑在(,)-∞+∞内收敛，其和函数()y x 满足240,(0)0,(0)1y xy y y y ''''--===(I) 证明22,1,2,1n n a a n n +==+(II) 求()y x 的表达式(21)(本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ (1)与方程 12321x x x a ++=- (2)有公共解，求a 得值及所有公共解.(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)Tλλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量,记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.(I) 验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； (II) 求矩阵B .(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为 2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他(I) 求{}2P X Y >；(II) 求Z X Y =+的概率密度()Z f z .(24)(本题满分11分)设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.(I) 求参数θ的矩估计量θ；(II) 判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题 (1)【答案】B 【详解】方法1：排除法：由几个常见的等价无穷小，当0x →时，11;11;2xe x x x -+-2221cos 2sin 2(),222x xx x -==当0x +→0→，所以11();11;2x x x --+-211(),2x-可以排除A 、C 、D ，所以选(B). 方法2：==ln[1+当0x +→时，11-→0→，又因为0x →时，()ln 1x x+，所以)ln[1~~1~x =(B).方法3：000lim limlim x x x +++''→→→=1111lim lim 1x x x x++→→-+--==11xA x -=++(()1142AB x x ++=+对应系数相等得：1A B = =，所以原式01lim lim 1x x xx ++→→-⎡⎤==⎢+⎣0lim lim 01x x ++→→==+1=，选(B).(2)【答案】D【详解】因为001lim lim ln(1)x x x y e x →→⎛⎫=++⎪⎝⎭001lim limln(1)x x x e x →→=++=∞，所以0x =是一条铅直渐近线；因为1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++⎪⎝⎭--1lim lim ln(1)000x x x e x →∞→∞=++=+=，所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；令 21l n (1)1l n (1)l i m l i m l i m x x x x x e y e x a x xx x →+∞→+∞→+∞++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+10lim 11xx x e e →+∞+ +=洛必达法则令 ()1l i m l i m l n (1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞⎛⎫=-⋅=++- ⎪⎝⎭()1limlim ln(1)x x x e x x →+∞→+∞=++-()ln 0lim ln(1)ln x x x x x e e e →+∞ = ++-1lim ln()xx x e e→+∞+=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+== 所以y x =是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择(D)(3)【答案】C【详解】由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由0()(),xF x f t dt =⎰知()()()()()()()()xx xF x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --==- -- -=- =⎰⎰⎰令因为，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3)F F -=.而2(2)()F f t dt =⎰表示半径1R =的半圆的面积，所以22(2)()22R F f t dt ππ===⎰，3232(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰，其中32()f t dt ⎰表示半径12r =的半圆的面积的负值，所以22321()2228r f t dt πππ⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰所以 232333(3)()()(2)288424F f t dt f t dt F ππππ=+=-==⋅=⎰⎰ 所以 3(3)(3)(2)4F F F -==，选择C(4)【答案】( D) 【详解】方法1：论证法，证明..A B C 都正确，从而只有.D 不正确.由0()limx f x x→存在及()f x 在0x =处连续，所以0(0)lim ()x f f x →=0000()()()lim()lim lim 0lim x x x x f x f x f x x x x x x→→→→==⋅=⋅0=，所以(A)正确；由选项(A)知，(0)0f =，所以00()(0)()lim lim0x x f x f f x x x→→-=-存在，根据导数定义，0()(0)'(0)limx f x f f x →-=-存在，所以(C)也正确；由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而[]0lim ()()lim ()lim ()(0)(0)2(0)x x x f x f x f x f x f f f →→→+-=+-=+=所以0000()()()()()()2(0)lim lim lim 0lim 0x x x x f x f x f x f x f x f x f x x x x x →→→→+-+-+-⎡⎤=⋅=⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦即有(0)0f =.所以(B)正确，故此题选择(D).方法2：举例法，举例说明(D)不正确. 例如取()f x x =，有0()()limlim 00x x x x f x f x x x→→----==-存在而 ()()0000lim lim 100x x f x f x x x --→→---==---，()()0000lim lim 100x x f x f x x x +-→→--==--，左右极限存在但不相等，所以()f x x =在0x =的导数'(0)f 不存在. (D)不正确，选(D).(5)【答案】( D)【详解】()n u f n =，由拉格朗日中值定理，有1n n (1)()'()(1)'(),(1,2,)n n u u f n f n f n n f n ξξ+-=+-=+-==，其中n 1n n ξ<<+，12n .ξξξ<<<<由''()0,f x >知'()f x 严格单调增，故 12n '()'()'().f f f ξξξ<<<<若12u u <，则121'()0,f u u ξ=-> 所以12n 0'()'()'().f f f ξξξ<<<<<1111k 1111()'()'().nnn k k k k u u u u u f u nf ξξ++===+-=+>+∑∑而1'()f ξ是一个确定的正数. 于是推知1lim ,n n u +→∞=+∞故{}n u 发散. 选(D)(6)【答案】B【详解】用排除法.将(,)1f x y =代入知(,)0f x y ds ds s ΓΓ==>⎰⎰，排除C.取22(,)f x y x y =+，M 、N依次为(、，则37cos ,sin 44x y Γθθπθπ:== ≤≤734(,)cos 0f x y dx d πΓπθ=>⎰⎰，排除A7434(,)(,)2cos (sin )2sin cos 0xyf x y dx f x y dy d πΓπθθθθθ''+=-+=⎰⎰，排除D7434(,)sin 0f x y dy d πΓπθ=<⎰⎰，选B(7) 【答案】A 【详解】方法1：根据线性相关的定义，若存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++=成立，则称123,,ααα线性相关.因122331()()()0αααααα-+-+-=，故122331αααααα---，，线性相关，所以选择(A).方法2：排除法因为()122331,,αααααα+++()()1231232101,,110,,,011C αααααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭其中2101110011C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且 2101110011C =11101111(1)2011111011+-⨯-+-=-行行（）1111=⨯-⨯-（）20=≠.故2C 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积，2C 右乘()123,,ααα时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有122331123(,,)(,,)3r r ααααααααα+++==所以122331,,αααααα+++线性无关，排除(B). 因为()1223312,2,2αααααα---()()1231233102,,210,,,021C αααααα-⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭ 其中3102210021C -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，3102210021C -=--11102141014121021+--⨯-=---行2+2行（）1124=⨯--⨯-（）（）≠=-70.故3C 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积, 3C 右乘()123,,ααα时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα---==所以1223312,2,2αααααα---线性无关，排除(C). 因为()1223312,2,2αααααα+++()()1231234102,,210,,,021C αααααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 其中4102210021C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，4102210021C =11102141(2)2014121021+-⨯-+-=-行行（）1124=⨯-⨯-（）90.=≠故4C 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积, 4C 右乘()123,,ααα时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα+++==所以1223312,2,2αααααα+++线性无关，排除(D).综上知应选(A).(8) 【答案】B 【详解】方法1：211121112E A λλλλ--=--112312112λλλλλ--、列分别加到列111121112λλλλ--提出1111103112λλλ⨯---行（）+2行111110303λλλ⨯---行（）+3行113103λλλ+-=--（）()230λλ=-=则A 的特征值为3，3，0;B 是对角阵，对应元素即是的特征值，则B 的特征值为1，1，0. ,A B 的特征值不相同，由相似矩阵的特征值相同知，A B 与不相似.由,A B 的特征值可知，,A B 的正惯性指数都是2，又秩都等于2可知负惯性指数也相同，则由实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数，知A 与B 合同，应选(B).方法2: 因为迹(A )=2+2+2=6，迹(B )=1+1=2≠6，所以A 与B 不相似(不满足相似的必要条件).又2(3)E A λλλ-=-，2(1)E B λλλ-=-，A 与B 是同阶实对称矩阵，其秩相等，且有相同的正惯性指数，故A 与B 合同.(9)【答案】C【详解】把独立重复射击看成独立重复试验.射中目标看成试验成功. 第4次射击恰好是第2次命中目标可以理解为：第4次试验成功而前三次试验中必有1次成功，2次失败.根据独立重复的伯努利试验，前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为123(1).C p p -再加上第4次是成功的，其概率为p .根据独立性原理：若事件1,,n A A 独立，则{}{}{}{}1212n n P A A A P A P A P A =所以，第4次射击为第二次命中目标的概率为12223(1)3(1).C p p p p p -⋅=- 所以选(C)(10)【答案】A【详解】二维正态随机变量(,)X Y 中，X 与Y 的独立等价于X 与Y 不相关. 而对任意两个随机变量X 与Y ，如果它们相互独立，则有(,)()()X Y f x y f x f y =.由于二维正态随机变量(,)X Y 中X 与Y 不相关，故X 与Y 独立，且(,)()()X Y f x y f x f y =. 根据条件概率密度的定义，当在Y y =条件下，如果()0,Y f y ≠则(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =()()()()X Y X Y f x f y f x f y ==.现()Y f y 显然不为0，因此(|)().X X Y f x y f x = 所以应选(A).二、填空题 (11)【详解】命1t x=，有211,,x dx dt t t ==-12311x e dx x ⎰111133222121112111t t t t t t e d t e dt te dt te dt x t t ⎛⎫ = =-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ()1111121111222212t t tt tde tee dt e e e =-=--⎰⎰分部积分11122211222e e e e e ⎛⎫=---== ⎪⎝⎭(12)【答案】112(,)(,)ln y x y y x xf x y yx f x y y y -''+【详解】z x∂=∂12(,)(,)(,)y x y xy x y xf x y x y f x y f x y x x x ∂∂∂''=+∂∂∂112(,)(,)ln y x y y x x f x y yx f x y y y -''=+(13)【答案】32122x x xC e C e e +-【详解】这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()xm P x e λ型(其中()2,2m P x λ= =).所给方程对应的齐次方程为430y y y '''-+=，它的特征方程为2430,r r -+= 得特征根121,3,r r == 对应齐次方程的通解1231212r x r x x x y C e C e C e C e =+=+由于这里2λ=不是特征方程的根，所以应设该非齐次方程的一个特解为*2,xy Ae = 所以()*22xy Ae'=，()*24xyAe''=，代入原方程：222244232xx x x AeAe Ae e -⋅+=，则2A =-，所以*22.xy e =- 故得原方程的通解为32122x x x y C e C e e =+-.(14)【详解】 ()x y dS xdS y dS ∑∑∑+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，对于第一部分，由于积分区域关于x 轴、y 轴是对称的面，被积函数x 为x 的奇函数，所以0.xdS ∑=⎰⎰对于第二部分，因∑关于,,x y z 轮换对称，所以,xdS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰那么()1133y dS x y z dS dS ∑∑∑=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，由曲面积分的几何意义，dS ∑⎰⎰为曲面的表面积，所以13ydS dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰()1.3=⨯∑的面积而∑为8，所以∑的面积218sin23π=⋅=所以1()433x y dS y dS ∑∑+==⋅=⎰⎰⎰⎰(15)【答案】1 【详解】2010001000010*********001000100010000000000000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3201001000001000100100000000000010000000000000000A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=⋅==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由阶梯矩阵的行秩等于列秩，其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数，知()3 1.r A =(16) 【答案】34【详解】不妨假定随机地抽出两个数分别为X Y 和，它们应是相互独立的. 如果把,X Y （）看成平面上一个点的坐标，则由于 01,01,X Y <<<<所以,X Y （）为平面上正方形：01,01X Y <<<<中的一个点.X Y 和两个数之差的绝对值小于12对应于正方形中12X Y -<的区域.所有可能在区间(0,1)中随机取的两个数,X Y ，可以被看成上图中单位正方形里的点.12X Y -<的区域就是正方形中阴影的面积D . 根据几何概率的定义：()211213.214D P X Y -⎛⎫-<=== ⎪⎝⎭的面积单位正方形面积三、解答题(17)【详解】方法1：先求函数(,)f x y 在D 的内部驻点，由22220420x y f x xy f y x y ⎧'=-=⎪⎨'=-=⎪⎩，解得D内的驻点为(，相应的函数值为(2f =再考虑在D 的边界1L ：0(22)y x =-≤≤上的(,)f x y . 即2(,0)(22)f x x x =-≤≤，易知函数(,)f x y 在此边界上的最大值为(2,0)4f ±=，最小值为(0,0)0f =.考虑在D 的边界2L ：224(0)x y y +=≥上的(,)f x y，所以y =令222242()(2(4)(4)58,22h x f x x x x x x x x ==+---=-+-≤≤由3()4100h x x x '=-=得驻点1230,x x x === 所以函数()h x 在相应点处的函数值为(0)(0,2)8h f ==，7((4h f ==，74h f == 综上可知函数在D 上的最大值为(0,2)8f =，最小值为(0,0)0f =. 方法2：在D 内与边界1L 上，同方法1 .在边界2L ：224(0)x y y +=≥上，构造函数222222(,,)2(4)F x y x y x y x y λλ=+-++-令 22222220422040x y F x xy x F y x y y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，02x y =⎧⎨=⎩(74f =，(0,2)8f =综上，(,)f x y 在D 上的最大值为8，最小值为0(18)【详解】方法1：增加一个曲面使之成为闭合曲面，从而利用高斯公式，补充曲面片22:0,14y S z x =+≤，下侧为正，有122323SSI xzdydz zydzdx xydxdy xzdydz zydzdx xydxdy II ∑+=++-++=+⎰⎰⎰⎰根据高斯公式，1(2)I z z dv Ω=+⎰⎰⎰221111436(1)x y zzdz dxdy z z dz ππ+<-==-=⎰⎰⎰⎰其中，22(,,)1,014y x y z x z z ⎧⎫⎪⎪Ω=+≤-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 又2221143x y I xydxdy +≤=-⎰⎰由函数奇偶性可知2211430x y xydxdy +≤=⎰⎰，从而0I ππ=+=.方法2：曲面∑在xOy 上的投影记为xy D ，由于曲面∑的正向法向量为1(,,1)(2,,1)2x y n z z x y ''=--=，所以23(,,)xyD I xzdydz zydzdx xydxdy X Y Z ndxdy ∑=++=⎰⎰⎰⎰2222222211411[2(1)(1)3]44x y x x y y x y xy dxdy +≤=--+--+⎰⎰令 c o s ,02,01s i nx r r y r θθπθ=⎧≤≤≤≤⎨=⎩，则 2122222220[2(1)cos 2(1)sin 6cos sin ]2I d r r r r r rdr πθθθθθ=-+-+⎰⎰132012(1)r r dr ππ=-=⎰方法3：记曲面∑在三个坐标平面上的投影分别为,,xy yz zx D D D ，则利用函数奇偶性有，330xyD xydxdy xydxdy ∑==⎰⎰⎰⎰1022yzD xzdydz zdz -∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰10[2(1)]3z z dz ππ=-=⎰1288zxD zydzdx zdz ∑==⎰⎰⎰⎰⎰124(1)3z z dz ππ=-=⎰ 所以 223033I xzdydz zydzdx xydxdy πππ∑=++=++=⎰⎰(19)【详解】欲证明存在(,)a b ξ∈使得()()f g ξξ''''=，可构造函数((),())0f x g x ϕ=，从而使用介值定理、微分中值定理等证明之.令()()()x f x g x ϕ=-，由题设(),()f x g x 存在相等的最大值，设1(,)x a b ∈，2(,)x a b ∈使得12[.][.]()max ()()max ()a b a b f x f x g x g x ===. 于是111()()()0x f x g x ϕ=-≥，222()()()0x f x g x ϕ=-≤若1()0x ϕ=，则取1(,)x a b η=∈有()0ϕη=. 若2()0x ϕ=，则取2(,)x a b η=∈有()0ϕη=.若12()0,()0x x ϕϕ><，则由连续函数介值定理知，存在12(,)x x η∈使()0ϕη=. 不论以上哪种情况，总存在(,),a b η∈使()0ϕη=.再()()()0,()()()0a f a g a b f b g b ϕϕ=-==-=，将()x ϕ在区间[,],[,]a b ηη分别应用罗尔定理，得存在12(,),(,),a b ξηξη∈∈使得12()()0ϕξϕξ''=＝0,；再由罗尔定理知，存在12(,)ξξξ∈，使()0ϕξ''=.即有()()f g ξξ''''=.(20)【详解】(I) 证法一：对0nn n y a x∞==∑求一阶和二阶导数，得 1212,(1),n n nn n n y na xy n n a x ∞∞--=='''==-∑∑代入240y xy y '''--=，得2121(1)240n n n nn n n n n n n a xx na xa x ∞∞∞--===---=∑∑∑即21(1)(2)240nnn n n n n n n n n ax na x a x ∞∞∞+===++--=∑∑∑于是 202240(1)20,n n a a n a a +-=⎧⎨+-=⎩1,2,,n = 从而 22,1,2,,1n n a a n n +==+ 证法二：由于0nn n y a x ∞==∑，根据泰勒级数的唯一性便知()(0)!n n y a n =.在方程240y xy y '''--=两端求n 阶导数，得(2)(1)()22(2)0n n n y xy n y ++--+=令0x =，得(2)()(0)2(2)(0)0n n yn y +-+=，即 2(2)!2(2)!0n n n a n n a ++-+⋅=，故 22,1,2,1n n a a n n +==+(II) 证法一：由于2202,1,2,,2,1n n a a n a a n +===+且根据题设中条件 01(0)0,(0)1,a y a y '====所以 20,1,2,n a n ==；21211221,0,1,2,22(22)42!nn n a a a n nn n n +-=====-从而 22212121001()()!!nnn n x n n n n n n x y x a x axx x xe n n ∞∞∞∞+++=========∑∑∑∑.证法二：因为0nn n y a x ∞==∑，所以11n n n y a x x ∞-==∑，两边求导，得2220()(1)(1)n n n n n n y n a xn a x x ∞∞-+=='=-=+∑∑ 由于 22,1,2,1n n a a n n +==+，所以 0()22nn n y a x y x ∞='==∑，即函数()y x 满足方程()20y y x '-=令()y u x x =，则上述方程变为20u xu '-=，即2du xdx u=，解之得2x u Ce =，从而2x y Cxe =.由(0)1y '=得1C =，所以2x y xe =.(21) 【详解】方法1：因为方程组(1)、(2)有公共解，将方程组联立得1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩对联立方程组的增广矩阵作初等行变换21110120()140121a A b a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭211100110112140121a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭行（）行 2111001101130310121a a a ⎛⎫ ⎪-⎪⨯-+ ⎪- ⎪⎝⎭行（）行21110011011403100101a a a ⎛⎫⎪- ⎪⨯-+ ⎪-⎪-⎝⎭行（）行2111000111203100101a a a a ⎛⎫ ⎪-- ⎪⨯-+ ⎪- ⎪-⎝⎭4行（）行2111001133001330101a a a a a ⎛⎫⎪-- ⎪⨯-+ ⎪--⎪-⎝⎭4行（）行211100101001100133a a a a a ⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭换行11101013--140011000(1)(2)a a a aa a ⎛⎫⎪-⎪⨯+ ⎪--⎪--⎝⎭行（）行由此知，要使此线性方程组有解，a 必须满足(1)(2)0a a --=，即1a =或2a =.当1a =时，()2r A =，联立方程组(3)的同解方程组为12320x x x x ++=⎧⎨=⎩，由()2r A =，方程组有321n r -=-=个自由未知量. 选1x 为自由未知量，取11x =，解得两方程组的公共解为()1,0,1Tk -，其中k 是任意常数.当2a =时, 联立方程组(3)的同解方程组为1232301x x x x x ++=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得两方程的公共解为()0,1,1T -.方法2：将方程组(1)的系数矩阵A 作初等行变换21111214A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦211111201114a a ⎡⎤⎢⎥⨯-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行（）行2111113011031a a ⎡⎤⎢⎥⨯-+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行（）行1113301100(1)(2)a a a ⎡⎤⎢⎥⨯-+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦2行（）行当1a =时，()2r A =，方程组(1)的同解方程组为12320x x x x ++=⎧⎨=⎩，由()2r A =，方程组有321n r -=-=个自由未知量.选1x 为自由未知量，取11x =，解得(1)的通解为()1,0,1Tk -，其中k 是任意常数. 将通解()1,0,1Tk -代入方程(2)得0()0k k ++-=，对任意的k 成立，故当1a =时，()1,0,1Tk -是(1)、(2)的公共解.当2a =时，()2r A =，方程组(1)的同解方程组为123230x x x x x ++=⎧⎨+=⎩，由()2r A =，方程组有321n r -=-=个自由未知量.选2x 为自由未知量，取21x =，解得(1)的通解为()0,1,1Tμ-,其中μ是任意常数. 将通解()0,1,1Tμ-代入方程(2)得21μμ-=，即1μ=，故当2a =时，(1)和(2)的公共解为()0,1,1T-.(22) 【详解】(I)由11A αα=，可得 111111()k k k A A A A αααα--====，k 是正整数,故5311(4)B A A E αα=-+531114A A E ααα=-+111142αααα=-+=-于是1α是矩阵B 的特征向量(对应的特征值为12λ'=-).若Ax x λ=，则()(),mmkA x k x A x x λλ==因此对任意多项式()f x ，()()f A x f x λ=，即()f λ是()f A 的特征值.故B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，A 的特征值11,λ=22,λ=32,λ=- 则B有特征值112233()2,()1,()1,f f f λλλλλλ'''==-====所以B 的全部特征值为－2，1，1. 由A 是实对称矩阵及B 与A 的关系可以知道，B 也是实对称矩阵，属于不同的特征值的特征向量正交. 由前面证明知1α是矩阵B 的属于特征值12λ'=-的特征向量，设B 的属于1的特征向量为123(,,)T x x x ，1α与123(,,)T x x x 正交，所以有方程如下：1230x x x -+=选23,x x 为自由未知量，取23230,11,0x x x x ====和，于是求得B 的属于1的特征向量为223(1,0,1),(1,1,0)T T k αα=-=故B 的所有的特征向量为：对应于12λ'=-的全体特征向量为11k α，其中1k 是非零任意常数，对应于231λλ''==的全体特征向量为2233k k αα+，其中23,k k 是不同时为零的任意常数. ()II 方法1：令矩阵[]123111,,101110P ααα-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求逆矩阵1P -.111100101010110001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦11110012012110110001-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行行 11110013012110021101-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦行行1111003012110003121-⎡⎤⎢⎥⨯+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行2行111100111100330121100101/31/32/30011/32/31/30011/32/31/3--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥÷-⨯---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦行3行(-2)+2行 1102/32/31/30101/31/32/30011/32/31/3---⎡⎤⎢⎥⨯---⎢⎥⎢⎥⎣⎦3行(-1)+1行1001/31/31/30101/31/32/30011/32/31/3-⎡⎤⎢⎥⨯---⎢⎥⎢⎥⎣⎦2行(-1)+1行1001/31/31/30101/31/32/30011/32/31/3-⎡⎤⎢⎥⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦2行(-1) 则 1P -1/31/31/311111/31/32/311231/32/31/3121--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由1(2,1,1)P BP diag -=-，所以11112001111(2,1,1)1010101123110001121B P diag P ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅-⋅=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112220331110111230333110121330----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦011101110-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦方法2：由()I 知1α与23,αα分别正交，但是23αα和不正交，现将23,αα正交化：取22331221111,(1,1,0)(,0,)(,1,)2222k βαβαβ==+=+-=. 其中，3212222(,)1(1)11(1,0,1)(,0,)(,)(1)(1)1122T k αββββ⨯-=-=--=--⨯-+⨯再对1,α23,ββ单位化：312123123111,1),1,0,1),(,1,)22βαβξξξαββ==-==-===其中，1233,2,αββ=阵，记0Q ⎡⎢⎥⎥=⎥⎥ 由1(2,1,1)Q BQ diag -=-，有1(2,1,1)B Q diag Q -=⋅-⋅. 又由正交矩阵的性质：1TQ Q -=，得200(2,1,1)00100001TB Q diag Q ⎡⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥=⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎥⎢⎥00⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥011101110-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(23)【详解】计算{}2P X Y >可用公式{}22(,)x yP X Y f x y dxdy >>=⎰⎰求Z X Y =+的概率密度()Z f z ：可用两个随机变量和的概率密度的一般公式求解.(卷积公式)()(,)(,).Z f z f z y y dy f x z x dx +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰此公式简单，但讨论具体的积分上下限会较复杂.另一种方法可用定义先求出{}{}(),Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤然后再'()()Z Z f z F z =.(I){}2(2)DP X Y x y dxdy >=--⎰⎰，其中D为01,01x y <<<<中2x y >的那部分区域(右图阴影部分)；求此二重积分可得{}11202(2)x P X Y dx x y dy >=--⎰⎰1205()8x x dx =-⎰724=(Ⅱ)方法1：根据两个随机变量和的概率密度的卷积公式有()(,).Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰先考虑被积函数(,)f x z x -中第一个自变量x 的变化范围，根据题设条件只有当01x <<时(,)f x z x -才不等于0. 因此，不妨将积分范围改成1()(,).Z f z f x z x dx =-⎰现再考虑被积函数(,)f x z x -的第二个变量z x -.显然，只有当01z x <-<时，(,)f x z x -才不等于0.且为2()2.x z x z ---=-为此，我们将z 分段讨论.因为有01z x <-<，即是1,x z x <<+而x 的取值范围是(0,1)，所以使得(,)f x z x -不等于0的z 取值范围是(0,2] 如下图，在01x <<情况下，在阴影区域1D 和2D ，密度函数值不为0，积分方向如图所示，积分上下限就很好确定了，所以很容易由卷积公式得出答案。

高等数学(第六版)(2007年高等教育出版社出版的图书)

该次修订时对教材的深广度进行了适度的调整，并设置部分带倡号的内容以适应分层次教学的需要；吸收中国国内外优秀教材的优点对习题的类型和数量进行了调整和充实，以帮助学生提高数学素养、培养创新意识、掌握运用数学工具去解决实际问题的能力；对书中内容进一步锤炼和调整，将微分方程作为一元函数微积分的应用移到上册。
教学资源
《高等数学（第六版）》提供有电子教案、与纸质教材内容配套的数字课程资源、《高等数学》MOOC课程。
社会评价
《高等数学（第六版）》作为中国国内很多大学都在用的教材，它的优点在于：教材编写以显示微积分的直观性与广泛的应用性为侧重；教材编写体现以人为本的教育理念；教材编写渗透现代化教学思想和手段，特别加强学生应用能力的培养。缺点在于：有些抽象的内容处理不适当；针对性不强；与中学数学有一定的脱节。（南通大学理学院讲师严冬梅）
册出版，上册包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程等内容，书末还附有二、三阶行列式简介、几种常用的曲线、积分表、习题答案与提示；下册包括空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等内容，书末还附有习题答案与提示。
该书分上、下两册出版，上册包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程等内容；下册包括空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等内容。
成书过程
《高等数学（第六版）》是同济大学数学系编《高等数学》的第六版，依据“工科类本科数学基础课程教学基本要求”，为高等院校工科类各专业学生修订而成。
作者简介
同济大学数学系：始建于1945年，解放后几经调整，于1980年恢复应用数学系，2006年定名为数学系，2016 年发展为同济大学数学科学学院。

考研数学之高等数学讲义第六章(考点知识点+概念定理总结)

第六章多元函数微分学§6.1 多元函数的概念、极限与连续性(甲)内容要点一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点P (x,y )∈D ，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以z=f （x ，y ），D 称为定义域。

二元函数z=f （x ，y ）的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影域就是定义域D 。

例如 1:,12222≤+--=y x D y x z 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2．三元函数与n 元函数Ω∈=),,(),,,(z y x z y x f u 空间一个点集，称为三元函数。

n x x x f u n 元函数称为),,,(21 =它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。

条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限设),(),(00y x y x f 在点的邻域内有定义，如果对任意,00>>δε存在，只要εδ<-<-+-A y x f y y x x ),(,)()(2020就有则记以A y x f A y x f y x y x y y xx ==→→→),(lim ),(lim )(),(000或称当),(),(),(00y x ，f y x y x 时趋于的极限存在，极限值为A 。

否则，称为极限不存在。

值得注意：),(),(00y x y x 趋于这里是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于),(00y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

三、二元函数的连续性1．二元函数连续的概念若处连续在点则称),(),(),(),(lim 00000y x y x f y x f y x f xx y y =→→ 若D y x f 在区域),(内每一点皆连续，则称),(y x f 在D 内连续。