考研讲义-高等数学

《高等数学复习》教程

第一讲函数、连续与极限

一、理论要求

1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）

几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）

2.极限极限存在性与左右极限之间的关系

夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限

3.连续函数连续（左、右连续）与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

二、题型与解法

A.极限的求法（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）

（3）变量替换法

（4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求

（6）等价无穷小量替换法

（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.6

12arctan lim

)

21ln(arctan lim

3

3

-

=-=+->->-x

x

x x x x x x （等价小量与洛必达）

2.已知2

3

)

(6lim

0)

(6sin lim

x

x f x

x xf x x x +=+>->-，求

解：2

3

3'

)(6cos 6lim

)

(6sin lim

x

xy x f x x

x xf x x x ++=+>->-

72)0(''06

)

0(''32166

'

''''36cos 216lim

6'

''26sin 36lim 0

=∴=+-=

++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x

362

722

''lim

2'lim

)

(6lim

2

==

==+>->->-y x

y x

x f x x x （洛必达）

3.121

)1

2(

lim ->-+x x

x x x （重要极限）

4.已知a 、b 为正常数，x x

x x b

a 3

)2

(

lim +>-求

解：令]2ln )[ln(3ln ,)2

(

3

-+=

+=x

x x x

x b a x

t b

a t

2

/300

)

()

ln(2

3)ln ln (3lim

ln lim ab t ab b b a a b

a t x

x x

x

x x =∴=

++=>->-（变量替换）

5.)

1ln(1

2

)

(cos lim x x x +>-

解：令)ln(cos )

1ln(1ln ,)

(cos 2

)

1ln(1

2

x x t x t x +=

=+

2

/10

212tan lim

ln lim ->->-=∴-

=-=e

t x

x t x x （变量替换）

6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim

2

2

=⎰

⎰

>-x x x dt

t f x

dt

t f

（洛必达与微积分性质）

7.已知⎩

⎨⎧=≠=-0,0

,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a

解：令2/1/)ln(cos lim 2

-==>-x x a x （连续性的概念）

三、补充习题（作业） 1.3cos

11lim

-=---->-x

x x e x

x （洛必达）

2.)1sin 1(

lim 0

x

x

ctgx x -

>- （洛必达或Taylor ）

3.11lim 2

2

=--->-⎰x

x

t

x e

dt

e

x （洛必达与微积分性质）

第二讲 导数、微分及其应用

一、理论要求 1.导数与微分

导数与微分的概念、几何意义、物理意义

会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程

2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理

会用定理证明相关问题

3.应用

会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）

二、题型与解法

A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导

1.⎩⎨⎧=+-==5

2arctan )(2t

e ty y t

x x y y 由决定，求dx dy 2.x y x y x x y y sin )ln()(3

2+=+=由决定，求

1|0==x dx

dy

解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy

+==2

)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==

B.曲线切法线问题

4.求对数螺线)2/,2

/πθρρπθ

e e （），在（==处切线的直角坐标方程。

解：1|'),,0(|),(,sin cos 2/2

/2/-==⎪⎩⎪⎨⎧====πθππθθ

θ

θ

θy e y x e y e x

x e

y -=-2

/π

5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。