2016中考数学一轮综合复习同步讲义(第3课_方程与不等式)

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中考数学一轮复习基础过关第二章方程(组)与不等式(组) 第3讲分式方程精讲课件精品

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墨子，(约前468～前376)名翟，鲁人，一说宋人，战国初期思想家，政治家，教育家，先秦堵子散文代表作家。曾为宋国大夫。早年接受儒家教育，后聚徒讲学，创立与儒家相对立的墨家学派。主张•兼爱”“ 非攻“ 尚贤” “节用 ”，反映了小生产者反对兼并战争，要求改善经济地位和社会地位的愿望，他的认识观点是唯物的。但他一方面批判唯心的宿命论，一方面又提出同样是唯心的“天志”说，认为天有意志，并且相信鬼神。墨于的学说在当时影响很大，与儒家并称为•显学”。《墨子》是先秦墨家著作，现存五十三篇，其中有墨子自作的，有弟子所记的墨子讲学辞和语录，其中也有后期墨家的作品。《墨子》是我国论辩性散文的源头，运用譬喻，类比、举例，推论的论辩方法进行论政，逻辑严密，说理清楚。语言质朴无华，多用口语，在先秦堵子散文中占有重要的地位。公输，名盘，也作•“般”或•“班 ”又称鲁班，山东人，是我国古代传说中的能工巧匠。现在，鲁班被人们尊称为建筑业的鼻祖，其实这远远不够．鲁班不光在建筑业，而且在其他领域也颇有建树。他发明了飞鸢，是人类征服太空的第一人，他发明了云梯(重武器)，钩钜(现在还用) 以及其他攻城武器，是一位伟大的军事科学家，在机械方面，很早被人称为 “机械圣人” ，此外还有许多民用、工艺等方面的成就。鲁班对人类的贡献可以说是前无古人，后无来者，是我国当之无愧的科技发明之父。

中考数学复习第二章方程组与不等式组讲义

第二章方程（组）与不等式（组）第一节一次方程与一次方程组【考点1】一元一次方程定义：只含有未知数，并且未知数的次数都是。

（系数不为0）的整式方程。

形式：一般形式ax+b=0 ；最简形式 ax=b (a ≠0) 解：abx（a ≠0）【提示】判断一个方程是否为一元一次方程，一定要先把方程化简以后再用定义进行判别。

解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项（移项要变号）；合并同类项；化系数为1【考点2】二元一次方程组 1.二元一次方程定义：含有个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程。

一般形式: ax+by=c ，有无数组解。

2. 二元一次方程组的解法⑴代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是或的情形。

⑵ ：多适用于方程组的两个方程中相同未知数的系数或互为的情形。

【考点3】一次方程（组）的应用 1.列方程组解应用题的一般步骤：⑴审：即审清题意，分清题中的已知量、未知量； ⑵设：即设关键未知数；⑶列：即找出适当等量关系，列出方程（组）； ⑷解：即解方程（组）；⑸验：即检验所解答案是否正确或是否符合题意； ⑹答：即规范作答，注意单位名称。

2.列一元一次方程常见的应用题类型及关系式 ⑴ 利润率问题：利润=售价-进价；利润率=进价利润×100﹪ （先确定售价、进价、再计算利润率，其中打折、降价的词义应清楚）⑵ 利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息；利息税=利息×税率；贷款利息=贷款数额×利率×期数⑶ 工程问题：工作量=工作效率× （把全部工作量看作单位1，各部分工作量之和=1）⑷ 浓度问题：浓度=溶液质量溶质质量×100﹪⑸ 行程问题：路程=速度×时间 ① 追击问题（追击过程时间相等）② 相遇问题（甲走的路程乙走的路程=A 、B 两地间的路程）③ 航行问题：顺水（风）速度= +静水（风）；逆水（风）速度=船速-【中考试题精编】1.练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好花去14元，如果设水性笔的单价为x 元，那么下列方程正确的是（）A. 5(x-2)+3x=14B. 5(x+2)+3x=14C. 5x+3(x+2)=14D. 5x+3(x-2)=142.某班在学校组织的某场篮球比赛中，小杨和小方一共投进篮球21个，小杨比小方多投进5个。

中考数学第一轮复习方程与不等式知识总结

中考数学第一轮复习方程与不等式知识总结一、方程基础概念方程是数学中用于描述两个数学表达式之间相等关系的一种形式。

它通常由未知数、已知数和运算符号组成。

在中考数学中，方程是解决问题的重要工具之一。

理解方程的定义、解的概念以及方程解的性质是后续学习的基础。

二、一元一次方程解法一元一次方程是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程。

其一般形式为`ax + b = 0`（其中`a ≠0`）。

解一元一次方程的基本步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

掌握这些步骤，能够高效地求解一元一次方程。

三、二元一次方程组二元一次方程组是由两个或两个以上含有两个未知数的一次方程组成的方程组。

解二元一次方程组的基本思想是通过消元法（代入消元法或加减消元法）将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。

掌握二元一次方程组的解法，对于解决实际问题具有重要意义。

四、一元二次方程公式法一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。

其一般形式为`ax^2 + bx + c = 0`（其中`a ≠0`）。

对于一元二次方程的求解，当判别式`Δ= b^2 - 4ac`大于或等于0时，可以使用公式法求解。

公式法求解一元二次方程的公式为`x = [-b ±√(Δ)] / (2a)`。

掌握公式法，能够准确地求解一元二次方程的根。

五、不等式与解集不等式是表示两个数学表达式之间不等关系的一种形式。

它通常用“<”、“>”、“≤”、“≥”等符号表示。

不等式的解集是指满足不等式的所有未知数的值的集合。

理解不等式的性质，掌握不等式解集的表示方法，是求解不等式的基础。

六、一元一次不等式解法一元一次不等式是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式。

解一元一次不等式的基本步骤与解一元一次方程类似，包括去分母、去括号、移项、合并同类项等。

但需要注意的是，在解不等式时，当两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向会发生变化。

中考数学一轮复习第一部分教材同步复习方程组与不等式组第讲一元二次方程实用

12/9/2021
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*3.一元二次方程根与系数的关系(guān xì) 如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是 x1，x2，那么x1＋x2＝⑥ ___－__ba_____，x1x2＝⑦_____ac_____. 【注意】利用根与系数的关系解题的前提是方程的两根存在，即要注意根的判别式b2－4ac≥0.
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1．(2018·长沙)已知关于(guānyú)x方程x2－3x＋a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为_2_________.
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重难点1 一元二次方程的解法(jiě fǎ) 重点
例1 (1)用直接开平方法解方程：4(2x－1)2－36＝0. 【解答】移项(yíxiànɡ)，得4(2x－1)2＝36. 两边同除以4，得(2x－1)2＝9. 两边开平方，得2x－1＝±3，即2x－1＝3，或2x－1＝－3. 所以x1＝2，x2＝－1.
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北师大数学中考一轮综合复习方程(组)与不等式(组)

北师大数学中考一轮综合复习方程（组）与不等式（组）知识点1 一元一次方程1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示等量关系的式子叫等式.⑵ 性质：① 如果，那么b ±c ；② 如果，那么bc ；如果，那么bc2. 方程、一元一次方程的解、概念(1) 方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同.(2) 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为ax+b=0. 3. 解一元一次方程的步骤：①去分母；②去；③移；④合并；⑤系数化为1. 4. 一元一次方程的应用：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．b a ==±c a b a ==ac ba =()0≠c =c a ()0≠a【典例】例1（2021秋•营口期末）解下列方程：（1）；（2）．例2（2020秋•潮阳区期末）已知关于x的方程2（x+1）﹣m=−m−22的解比方程5（x﹣1）﹣1＝4（x﹣1）+1的解大2．（1）求第二个方程的解；（2）求m的值．例3（2020秋•蓬江区校级月考）已知关于x的方程3x﹣6（x−b3）＝4x和3x+b4−1−5x8=1有相同的解，求这个解．例4（2021春•绿园区期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题．解方程：|x﹣5|＝2．解：当x﹣5≥0时，原方程可化为x﹣5＝2，解得x＝7；当x﹣5＜0时，原方程可化为x﹣5＝﹣2，解得x＝3．所以原方程的解是x＝7或x＝3．（1）解方程：|2x+1|＝7．（2）已知关于x的方程|x+3|＝m﹣1．①若方程无解，则m的取值范围是；②若方程只有一个解，则m的值为；③若方程有两个解，则m的取值范围是．例5（2021秋•佳木斯期末）第五中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工16件，乙工厂每天能加工24件，且单独加工这批服装甲工厂比乙工厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲工厂每天费用80元，需付乙工厂每天费用120元．（1）求这批校服共有多少件；（2）为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两个工厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天；（3）经学校研究制定如下方案，方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方案三：按（2）问的方式完成．请你通过计算帮学校选择一种省钱的加工方案．例6（2020秋•道里区期末）为满足防控新冠疫情的需要，某医务物品供应商欲购买一批疫情防护套装．现有甲、乙两个医用物品生产厂家，均标价每套防护套装80元．甲的优惠方案：购买物品一律九折；乙的优惠方案：如果超出600套，则超出的部分打八折．（1）购进多少套防护套装时，从甲生产厂家与乙生产厂家的进货价钱一样？（2）第一次购进了1000套，第二次购进的数量比第一次购进数量的2倍多100套，求医务用品供应商两次购进防护套装最少花多少钱？【随堂练习】1．（2020秋•金安区校级期中）如果关于x 的方程x−43=8−x+22的解与方程4x ﹣（3a +1）＝6x +2a ﹣1的解相同，求a 的值．2．（2020秋•建湖县校级月考）已知关于x 的一元一次方程1−x−mx3=0．（1）若该方程的解为x ＝1，求m 的值；（2）若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数m 的值．3．（2021秋•鱼台县期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程：|x ﹣3|＝2．解：当x ﹣3≥0时，原方程可化为x ﹣3＝2，解得x ＝5；当x ﹣3＜0时，原方程可化为x ﹣3＝﹣2，解得x ＝1．所以原方程的解是x ＝5或x ＝1．（1）解方程：|3x ﹣2|﹣4＝0．（2）解关于x 的方程：|x ﹣2|＝b ．4．（2021秋•牡丹江期末）某体育用品商店销售足球和篮球，其中篮球的单价比足球多30元，已知购买4个足球和3个篮球的费用相等．（1）求购买每个足球、篮球的单价分别是多少元？（2）由于“双十二”的来临，商店决定对所售商品进行促销．现有两种促销方案可供选择：方案一：买5个篮球赠一个足球．方案二：所购买的商品均打9折．当购买6个篮球和多少个足球时，两种促销方案所花费用一致？（3）在（2）条件下，购买10个篮球和5个足球最少费用为元．5．（2020秋•讷河市期末）某班级组织学生集体春游，已知班级总人数多于20人，其中有15名男同学，景点门票全票价为30元，对集体购票有两种优惠方案．方案一：所有人按全票价的90%购票；方案二：前20人全票，从第21人开始每人按全票价的80%购票；（1）若共有35名同学，则选择哪种方案较省钱？（2）当女同学人数是多少时，两种方案付费一样多？知识点2 一元二次方程1．一元二次方程：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是)0(02≠=++a c bx ax .其中2ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项；a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程的求根公式 .（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程的根的判别式为=∆. （1）>0一元二次方程有两个不相等的实数根，即.（2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即2ba-. （3）<0一元二次方程没有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系)0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x ()02≠=++a o c bx ax 2()x m n +=0n ≥20(0)ax bx c a ++=≠21,240)x b ac =-≥()002≠=++a c bx ax ac b 42-ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax =2,1x ac b 42-⇔==21x x ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax关于x 的一元二次方程有两根分别为，，那么 a b -，c a. 【典例】例1（2020秋•合肥期末）用适当的方法解方程（1）2（x +2）2﹣8＝0 （1）2x 2+x −12=0．例2（2021秋•潍坊期中）解下列关于x 的方程：（1）3x 2﹣54＝0；（2）（x ﹣1）（x +2）＝2（x +2）；（3）（x ﹣1）2﹣2（x ﹣1）＝8．例3 （2020秋•兰州期中）解方程（x ﹣1）2﹣5（x ﹣1）+4＝0时，我们可以将x ﹣1看成一个整体，设x ﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，即x ﹣1＝1，解得x ＝2；当y ＝4时，即x ﹣1＝4，解得x ＝5，所以原方程的解为x 1＝2，x 2＝5．请利用这种方法求下列方程：（1）（2x +5）2﹣（2x +5）﹣2＝0；（2）32x ﹣4×3x +3＝0．例4（2021秋•金乡县期中）解方程（x ﹣1）2﹣5（x ﹣1）+4＝0时，我们可以将x ﹣1看成一个整体，设x ﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4，当y ＝1时，即x ﹣1＝1，解得：x ＝2；当y ＝4时，即x ﹣1＝4，解得：x ＝5，所以原方程的解：x 1＝2，x 2＝5．请利用这种方法求方程（2x +5）2﹣7（2x +5）+12＝0的解．20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x =+21x x =⋅21x x例5（2020秋•白银期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝m2（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．例6（2021秋•长安区校级期末）某公司自主研发一款健康的产品﹣﹣燕窝饮品，主要成分是水果和燕窝．经过一段时间的门店销售发现，当售价是40元/杯，每天可售出60杯．若每杯每降低1元，就会多售出3杯．已知每杯饮品的实际成本是20元，每天的其他费用是300元，物价局规定每件销售品的利润率不得高于成本的80%．若每天的毛利润可达到600元．（1）求该饮品的售价；（2）为支持今年的“洪灾”行动，该门店每卖一杯饮品，向某救助基金会捐款1元，求该店每月（按30天计算）的捐款金额．【随堂练习】1．（2021秋•江油市期末）解下列一元二次方程：（1）x2+10x+16＝0；（2）x（x+4）＝8x+12．2．（2021秋•博兴县月考）解方程：（1）2x2﹣12x+5＝0．（2）2x2﹣5x+1＝0（用配方法）．3．（2021秋•呼和浩特期末）已知关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x12+x22＝k2+2k，求出k的值．4．（2021秋•振兴区校级月考）华美科技大厦一商户销售一种电子产品，每件进价为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？5．（2020秋•法库县期末）2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元．（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？知识点3 分式方程1．分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母中，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解，是否是所列分式方程的解；（2）检验所求的解，是否为增根.【典例】例1（2021秋•铁岭县期末）解下列分式方程：（1）+4＝；（2）﹣1＝．例2（2020春•百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：2x−3+mxx2−9=3x+3．（1）若该分式方程有增根，则增根为．（2）在（1）的条件下，求出m的值，例3（2021春•平阴县期末）请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程．解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0．解得y1＝3，y2＝﹣1．当y＝3时，x2+1＝3，∴x＝±．当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程无实数解．∴原方程的解为：x1＝，x2＝﹣．我们将上述解方程的方法叫做换元法，请用换元法解方程：（）2﹣2（）﹣8＝0．例4 （2020秋•河南期末）随着人们环保意识的增强，混动汽车也成了广大消费者的宠儿．某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为70元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.4元．（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？例5（2020秋•连山区期末）为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍．（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？（2）若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？【随堂练习】1．（2021秋•黔西南州期末）解方程：（1）；（2）．2．（2021秋•攸县期中）已知关于x的方程无解，求m的值．3．（2021秋•庆阳期末）庆阳香包又称“绌绌”，是甘肃庆阳的一种民俗物品．某商店准备用3000元购进A、B两种香包共150个，已知购买A种香包与购买B种香包的费用相同，且A种香包的单价是B种香包单价的2倍．（1）求A、B两种香包的单价各是多少元；（2）若计划用4500元的资金再次购进A、B两种香包共200个，已知A、B两种香包的单价不变，求A，B两种香包各购进多少个．4．（2021秋•铁西区期末）元旦将至，天猫某电商用4400元购入一批玩具盲盒，然后以每个60元的价格出售，很快售完．电商又以9600元的价格再次购入该商品．数量是第一次购入数量的1.6倍，售价每个上调了16元，进价每个也上调了16元．（1）该电商第一次购入的玩具盲盒每个进价是多少元？（2）该电商既要尽快售完第二次购入的玩具盲盒，又要使在这两次销售中获得的总利润不低于4000元．打算将第二次购入的部分盲盒按每个九折出售，最多可将多少个盲盒打折出售？知识点4 方程组(1)二元一次方程：含有两个未知数（元）并且未知数的次数是2的整式方程.(2) 二元一次方程组：由2个或2个以上的含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.(3)二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的两个未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解.(4)二元一次方程组的解：使二元一次方程组成立的未知数的值，叫做二元一次方程组的解.(5)①代入消元法、②加减消元法.【典例】例1（2021秋•甘州区校级期末）解方程组：（1）；（2）例2（2021•饶平县校级模拟）已知关于x，y的方程组和有相同解，求（﹣a）b值．例3（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝2，求实数x，y，m的值．例4（2020秋•太原期末）某景点的门票价格如下表：（1）某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付4737元，两个班各有多少名学生？（2）该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人，但不超过80人．若两个年级分别购票，总计支付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元，问八年级、九年级各报名多少人？例5（2020•越秀区校级二模）今年是脱贫攻坚最后一年，某镇拟修一条连通贫困山区村子的公路，现有甲、乙两个工程队．若甲、乙合作，36天可以完成，需用600万元；若甲单独做20天后，剩下的由乙做，还需40天才能完成，这样所需550万元．（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？（2）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少万元？【随堂练习】1．（2021秋•芗城区校级期中）解下列方程组：（1）；（2）．2．（2021春•沈丘县期末）已知方程组与有相同的解，求m，n的值．3．（2021秋•长丰县月考）已知关于x，y的二元一次方程组．（1）当方程组的解为时，求a的值．（2）当a＝﹣2时，求方程组的解．（3）小冉同学模仿第（1）问，提出一个新解法：将代入方程x+2y＝a中，即可求出a的值．小冉提出的解法对吗？若对，请完成解答；若不对，请说明理由．4．（2021秋•宝山区校级月考）某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如表：第一次第二次甲种货车（辆）25乙种货车（辆）36累计运货（吨）1328（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？（2）王先生要租用该公司的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？5．（2021•济宁模拟）某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品件数的2倍比乙商品件数的3倍多20件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（利润＝售价﹣进价）：甲乙进价（元/件） 20 28 售价（元/件）2640（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品的件数分别是多少？（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖出后一共可获得多少利润？（3）该超市第二次以同样的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲商品件数是第一次的2倍，乙商品的件数不变．甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次甲、乙两种商品销售完以后获得的利润比第一次获得的利润多560元，则第二次乙商品是按原价打几折销售的？知识点5不等式（组）1. 用不等号连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解集.求一个不等式的解的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质：（1）若＜，则+＜；（2）若＞，＞0则＞（或＞）； a b a c c b a b c ac bc c a cb（3）若＞，＜0则＜（或＜）. 3．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不等于0的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为ax ＞b 或；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.4．一元一次不等式组：几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”；的解集是，即“大小小大中间找”；的解集是空集，即“大大小小取不了”. 6．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解一般有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案. 7．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.a b c ac bc c a cb ax b <a b <x a x b <⎧⎨<⎩x a <x ax b >⎧⎨>⎩x b >x ax b>⎧⎨<⎩a x b <<x ax b <⎧⎨>⎩x【典例】例1（2020秋•肇源县期末）若0＜m ＜1，m 、m 2、1m的大小关系是（）A ．m ＜m 2＜1mB ．m 2＜m ＜1mC ．1m＜m ＜m 2D ．1m＜m 2＜m例2（2020秋•嵊州市期中）解不等式（组）并把解表示在数轴上（1）3x +2＞14；（2）1+x 2−2x+13≤1．例3（2020春•海珠区校级月考）解下列不等式：（1）2x ﹣1＜﹣6；（2）x−12＜4x−53；（3）解不等式组：{x −3(x −2)≥41+2x 3＞x −1，并在数轴上表示它的解集．例4（2020秋•道里区期末）某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）班主任决定再次购买甲、乙两种笔记本共35个，如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多需要购买多少个甲种笔记本？【随堂练习】1．（2020秋•萧山区期中）解下列不等式（1）3x ﹣4≤4+2（x ﹣2）；（2）2+x 3＞2x−15+12．（2020秋•江干区校级期中）求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来． {5x −2＞3(x +1)x−12≤1−1−x 33．（2020春•沙河口区期末）为了让居民早日用上天然气，市燃气公司要给某小区用户改装天然气．现有360户申请了但还未改装的用户，此外每天还有新的申请．已知燃气公司每个小组每天改装的数量相同，且每天新申请的户数也相同，若安排2个小组同时做，则30天可以改装完所有新、旧申请；若再增加3个小组同时做，则可以减少20天就改装完所有新、旧申请．（1）求该小区7天内有多少需要改装的新、旧申请用户？（2）如果要求在7天内改装完所有新、旧申请，但前3天只能安排4个小组改装，那么最后几天至少需要增加多少个小组，才能完成任务？4．（2020•广西）某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800元．（1）求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．（2）经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的14，求甲种树苗数量的取值范围．（3）在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？综合运用1．（2020秋•常熟市期中）若关于x 的方程x+m 3=x −m2与方程3+4x ＝2（3﹣x ）的解互为倒数，求m 的值．2．（2020秋•武都区期末）解方程：（1）x−12=4x 3；（2）5x+13−2x−16=1．3．（2020秋•武汉月考）解不等式组{3−2(x −1)＜3x 1−x−13≥0，把其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．4．（2020秋•白云区期中）已知方程x 2﹣（k +1）x +k ﹣1＝0是关于x 的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数k ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求k 的值及方程的另一个根．5．（2020秋•朝阳县期末）某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元．（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？6．（2020秋•鞍山期末）假期里，学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分乘大、小两辆车前往相距140km 的乡村敬老院．（1）若小车速度是大车速度的1.4倍，则小车比大车早一个小时到达，求大、小车速度．（2）若小车与大车同时以相同速度出发，但走了60千米以后，发现有物品遗忘，小车准备加速返回取物品，要想与大车同时到达，应提速到原来的多少倍？7．（2020秋•本溪期末）某公司在手机网络平台推出的一种新型打车方式受到大众的欢迎．该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/千米计算，耗时费按y元/分钟计算．小聪、小明两人用该打车方式出行，按上述计价规则，他们打车行驶里程数、所用时间及支付车费如下表：（1）求x，y的值；（2）该公司现推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费，小强使用该方式从三水荷花世界打车到大旗头古村，总里程为23千米，耗时30分钟，求小强需支付多少车费．8．（2020秋•长沙月考）我市创全国卫生城市，梅溪湖社区积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个．该街道计划费用不超过35万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的1.5倍，求有几种可供选择的方案？并找出资金最少的方案，求出最少需多少元？。

精品中考数学三轮复习资料第3课中考数学易错题

第3课易错题中考数学该怎么合理安排作题的时间?中考数学一定要合理按排时间，也就是说该放弃的题目就要放弃。

中考毕竟是选拔性考试，有些题目会有一定的难度，对这个问题要有心理准备。

一般说一道选择题只能有一到两分钟的思路，如果超过3-4分钟还没有思路就应放弃。

后面的两道难题一般思考的时间在15－20分钟左右。

对于这样的题目要根据自己的实际，选择舍去，扬长避短，先做会的，将有限的时间用来得自己能得到的分数。

建议你在整个考试过程中前面的选择题、填空题、解答题要做一个查一个，提倡边做边审，力争一步到位节约时间，为后面的大题创造出更多的时间。

一数与式易错题：1.若|x|=x ，则-x 一定是（）A.正数B.非负数C.负数D.非正数2.若A 与B 都是二次多项式，则A-B ：（1）一定是二次式；（2）可能是四次式；（3）可能是一次式；（4）可能是非零常数；（5）不可能是零．上述结论中，不正确的有（）个．A.5B.4C.3D.23.若|m|=3，|n|=7，且m-n ＞0，则m+n 的值是（）A.10B.4C.-10或-4D.4或-44.对任意实数y ，多项式151022+-y y 的值是一个（）A.负数B.非负数C.正数D.无法确定正负5.判断=÷61293（） A.1 B.(31)2 C.(31)6 D.(-6)2 6.对于实数a 、b ，给出以下三个判断：①若b a =，则 b a =; ②若b a <，则 b a <; ③若b a -=，则 22)(b a =-．其中正确的判断的个数是( )A.3B.2C.1D.07.如右图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数是3和-1，则点C 所对应的实数是（）A.31+B.32+C.132-D.132+8.12的负平方根介于（）A.-5与-4之间B.-4与-3之间C.-3与-2之间D.-2与-1之间考试进行中，如何做好心理调节1．答题前（五分钟左右）试卷拿到后，心情一般比较紧张。

2016中考数学一轮综合复习同步讲义(第4课方程与不等式)一元一次不等式不等式组

中考数学一轮复习第04 课方程与不等式（一元一次不等式、不等式组）知识点：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<>>>>⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧不等式组的解集。

的公共部分，作为整个利用数轴求出这些解集个不等式的解集；分别求出不等式组中每解不等式组步骤：。

；；；）（法：不等式组解集的确定方式组的解集。

叫做这个一元一次不等几个不等式解集的组中解集：一元一次不等式。

叫做一元一次不等式组不等式组的几个不等式所组成的定义：含有相同未知数一元一次不等式组解法步骤：定义：一元一次不等式那么，公式表示：若，，不等号的方向不等式两边性质那么，公式表示：若，，不等号的方向不等式两边性质，那么公式表示：若，，不等号的方向不等式两边性质不等式的性质。

，小向大向圆圈；再确定方向：则是原点；不好喊边界点，若解集包含边界点，是界点。

体表示方法是先确定边上直观的表示出来，具以在注意：不等式的解集可解集。

的全体，叫做不等式的有未知数的不等式的解不等式的解集：一个含，叫做不等式的解。

成立的不等式的解：使不等式等式，常见的不等号有连接起来的式子叫做不不等式定义：用不等式)2()1()4()3()2(1,,,,0.3,0.2.1c b a c b a b a 同步练习：1.根据下图甲、乙所示，对a ，b,c 三种物体的重量判断不正确的是( )A.a<cB.a<bC.a>cD.b<c2.如果关于x 的不等式1)1(+>+a x a 的解集为1<x ,那么a 的取值范围是( ) A.a>0 B.a<0 C.a>-1 D.a<-13.已知方程组21321x y mx y m+=+⎧⎨+=-⎩的解满足0x y +<，则( )A.m >-1B.m >1C.m <-lD.m <1 4.已知关于x 的不等式52->+m x 的解集如图所示，则m 的值为（）A.1B.0C.-1D.-25.不等式组⎩⎨⎧-<++≤14242x x xx 的正整数解有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 6.已知a ，b ，c 均为实数，若a ＞b ，c ≠0，下列结论不一定正确的是( )A.a ＋c ＞b ＋cB.c －a ＜c －bC.a c 2＞b c2 D.a 2＞ab ＞b 27.已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=--=+a y x a y x 343，其中﹣3≤a ≤1，给出下列结论：①⎩⎨⎧-==15y x 是方程组的解；②当a=-2时,x,y 的值互为相反数；③当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4-a 的解； ④若x ≤1,则1≤y ≤4．其中正确的是（）A.①②B.②③C.②③④D.①③④ 8.函数31x y x +=+的自变量x 的取值范围是_____________9.若y x y y x y x >-->+,，那么（1）x ＋y>0;（2）y －x<0;（3）xy ≤0;（4）yx<0中，正确结论的序号为________。

中考数学一轮复习.方程与不等式.学生版

,考试内容考试要求层次A B C方程知道方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型能够根据具体问题中的数量关系，列出方程能运用方程解决有关问题方程的解了解方程的解的概念会用观察、画图等方法估计方程的解一元一次方程了解一元一次方程的有关概念会根据具体问题列出一元一次方程一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各个步骤熟练掌握一元一次方程解法；会解含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程(无需讨论)会运用一元一次方程解决简单的实际问题二元一次方程（组）了解二元一次方程（组）的有关概念能根据具体问题列出二元一次方程（组）二元一次方程组的解法知道代入消元法、加减消元法的意义掌握代入消元法和加减消元法；能选择适当的方法解二元一次方程组会运用二元一次方程组解决简单的实际问题分式方程及其解法了解分式方程的概念会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）；会对分式方程的解进行检验会运用分式方程解决简单的实际问题一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项的系数；了解一元二次方程根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式作简单的变形；会运用一元二次方程解决简单的实际问题不等式（组）能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义能根据具体问题中的数量关系列出不等式（组）不等式的性质理解不等式的基本性质会利用不等式的性质比较两个实数的大小解一元一次不等式（组）了解一元一次不等式（组）的解的意义，会在数轴上表示或判定其解集会解一元一次不等式和一元一次不等式组，并会根据条件求整数解能根据具体问题中的数量关系，用列出一元一次不等式解决简单问题中考大纲剖析中考第一轮复习方程与不等式一、定义方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．一元一次方程：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为一次的整式方程叫做一元一次方程．一元二次方程的定义：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为二次的整式方程叫做一元二次方程．方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．二、根的情况对于形如20ax bx c ++=的形式应判断a ，b ，c 的情况而定： ⑴当0a =且0b ≠方程有唯一解．⑵当0a =且0b =，0c =时，方程有无数解． ⑶当0a =且0b =且0c ≠时，方程无解． ⑷当0a ≠时，方程为一元二次方程．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根．三、特殊根对于关于x 的方程20ax bx c ++=()0a > ⑴当方程有一根为1时，则0a b c ++=． ⑵当方程有一根为1-时，则0a b c -+=． ⑶当方程有一根为0时，则0c =．⑷当方程两根互为相反数时，则0b =．本讲结构知识导航⑸当方程有一根大于零一根小于零时，则0c <． ⑹当方程两根都大于零时，则0b <且0c >． ⑺当方程两根都小于零时，则0b >且0c >．⑻当方程有一根1x 大于1，一根2x 小于1，则()()12110x x --<．四、整数根思路一：20ax bx c ++=()0a ≠有整数根必须具备的前提条件：①有实数根：240b ac -≥；②有有理数根：24b ac -是完全平方数；②有整数根：24b b ac -±-是2a 的整数倍．思路二：能分解因式的用分离系数法．【例1】解方程和不等式.⑴解方程组37528x y x y -=⎧⎨+=⎩．⑵解不等式组245(2)213x x x x ++⎧⎪⎨-<⎪⎩≤把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解．⑶解分式方程23111x xx x -+=--．⑷解一元二次方程：2410x x +-=．夯实基础⑸已知关于x 的一元二次方程()2110m x mx --+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为．【例2】代数式变形.⑴分解因式：=-23ab a ．⑵已知2223240a b c ab b c ++---+=，则a b c ++的值为．⑶已知a 是方程2310x x -+=的根，则代数式2232521a a a -+++的值为． ⑷当整数x 为时，代数式221x x x+-的值为整数.⑸已知2x m n =+，37y m n =-， 2.3 4.5z m n =-，用x 、y 表示z 为 .【例3】已知：关于x 的一元二次方程220x x m --=有实数根．⑴ 求m 的取值范围；⑵ 若a ，b 是此方程的两个根，且满足()223124122a a b b ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭1，求m 的值．【例4】已知关于m 的一元二次方程221x mx +-=0.⑴ 判定方程根的情况；⑵ 设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于32，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值．能力提升综合探索【例5】已知关于x 的两个一元二次方程：方程①: 01)2()21(2=-+++x k x k; 方程②: 032)12(2=--++k x k x .⑴ 若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；⑵ 若方程①和②中只有一个方程有实数根, 请说明此时哪个方程没有实数根, 并化简24121(4)k k +-+； ⑶ 若方程①和②有一个公共根a , 求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值．【例6】已知关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++=⑴ 求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.⑵ 若关于x 的二次函数2(32)22y mx m x m =-+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，求抛物线的解析式.【例7】已知关于x 的方程01)1(2=++-mx x n ① 有两个相等的实数根；⑴ 用含n 的代数式表示2m ；⑵ 求证：关于y 的方程03222222=+---n m my y m ②必有两个不相等的实数根； ⑶ 若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式n n m 122+的值.【演练1】 ⑴已知m 是方程220x x --=的一个实数根，求代数式22()(1)m m m m--+的值.实战演练⑵已知关于x 的一元二次方程210(0)2ax bx a ++=≠有两个相等的实数根，求()()()22111ab a b b -++-的值．【演练2】已知：关于x 的一元二次方程23(1)230mx m x m --+-= ()m 为实数⑴若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； ⑵求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根；⑶若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值.【演练3】已知关于x 的一元二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，且5m <，求m 的整数值.【演练4】已知：关于x 的一元二次方程2220kx x k ++-=．⑴ 若原方程有实数根，求k 的取值范围； ⑵ 设原方程的两个实数根分别为1x ，2x ． ①当k 取哪些整数时，1x ，2x 均为整数；②利用图象，估算关于k 的方程1210x x k ++-=的解．【演练5】已知关于x 的方程()22130kx k x ++-=⑴ 若方程有两个有理数根，求整数k 的值．⑵ 若k 满足不等式1630k +>，试讨论方程根的情况．。

人教版中考数学第一轮复习第二章方程与不等式

第二章方程与不等式第七讲一次方程（组）【基础知识回顾】一、等式的概念及性质：1、等式：用“=”连接表示关系的式子叫做等式2、等式的性质：①、性质1：等式两边都加（减）所得结果仍是等式，即：若a=b,那么a±c=②、性质2：等式两边都乘以或除以（除数不为0）所得结果仍是等式即：若a=b,那么a c= ，若a=b （c≠o ）那么a c= 【名师提醒：①用等式性质进行等式变形，必须注意“都”，不能漏项②等式两边都除以一个数或式时必须保证它的值】二、方程的有关概念：1、含有未知数的叫做方程2、使方程左右两边相等的的值，叫做方程的解4、一个方程两边都是关于未知数的，这样的方程叫做整式方程三、一元一次方程：1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是的方程叫做一元一次方程，一元一次方程一般可以化成的形式。

2、解一元一次方程的一般步骤：1。

2。

3。

4。

5。

【名师提醒：1、一元一次方程的解法的各个步骤的依据分别是等式的性质和合并同类法则，要注意灵活准确运用；2、特别提醒：去分母时应注意不要漏乘项，移项时要注意。

】四、二元一次方程组及解法：1、解二元一次方程组的基本思路是：；2.解方程组的解法：① 消元法 ② 消元法【名师提醒：1、一个二元一次方程的解有组，我们通常在实际应用中要求其正整数解 2、二元一次方程组的解应写成五、列方程（组）解应用题：一般步骤：1、审：弄清题意，分清题目中的已知量和未知量2、设：直接或间接设未知数3、列：根据题意寻找等量关系列方程（组）4、解：解这个方程（组），求出未知数的值5、验：检验方程（组）的解是否符合题意6：答：写出答案（包括单位名称）【重点考点例析】一、选择题1．一元一次方程2x=4的解是（）A ．x=1 B ．x=2 C ．x=3 D．x=4x=ay=b 的形式2．已知方程组2535x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x+y的值为（）A．-1 B．0 C．2 D．3A．4150048000x yx y+=⎧⎨+=⎩B．4150068000x yx y+=⎧⎨+=⎩C．1500468000x yx y+=⎧⎨+=⎩D．1500648000x yx y+=⎧⎨+=⎩二、填空题12．方程组31x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是．13．若方程组7353x yx y+=⎧⎨-=-⎩，则3（x+y）-（3x-5y）的值是．14．湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人，如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完．设敬老院有x位老人，依题意可列方程为．15．某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价元．三、解答题20．解方程组128 x yx y=+⎧⎨+=⎩．21．解方程组251x yx y+=⎧⎨-=⎩．【基础知识回顾】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最高次数是2的方程2、一元二次方程的一般形式：其中二次项是一次项是，是常数项【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果ax 2 =b 则X 2 = X1= X2=2、配方法：解法步骤：①、化二次项系数为即方程两边都二次项系数,②、移项：把项移到方程的边③、配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式④、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程3、公式法：如果方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 满足b 2-4ac≥0，则方程的求根公式为4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生A.B=0的形式，则可将原方程化为两个方程，即、从而得方程的两根【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是法和法】三、一元二次方程根的判别式关于X的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)根的情况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号表示①当时，方程有两个不等的实数根②当时，方程看两个相等的实数根方程有两个实数跟，则③当时，方程没有实数根【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数】四、一元二次方程根与系数的关系：关于X的一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a±0)有两个根分别为X1、X2则x1+x2 = x1x2 =【重点考点例析】一、选择题1．方程x2-5x=0的解是（）A．x1=0，x2=-5 B．x=5 C．x1=0，x2=5 D．x=0 2．已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-23．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x-1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根4．一元二次方程2x2-5x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0．下列说法正确的是（）A．①②都有实数解B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解6．已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．4 B．-4 C．1 D．-17．若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＞1 C．k=1 D．k≥08．若关于x的方程x2-4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜-4 B．m＞-4 C．m＜4 D．m＞49．关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．-110．一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A．x-6=-4 B．x-6=4 C．x+6=4 D．x+6=-4 11．用配方法解方程x2-2x-1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x-1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x-1）2=2二、填空题三、解答题21．选择适当的方法解下列方程：（1）27(23)28x -=；（2）223990y y--= （3）221x +=；（4）2(21)3(21)20x x ++++= 23．关于x 的一元二次方程为（m-1）x 2-2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？24．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？25.要建一个面积为150m 2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为am ，另三边用竹篱笆围成，如图，如果篱笆的长为35m ，（1）求鸡场的长与宽各为多少？（2）题中墙的长度a 对题目的解起着怎样的作用？第九讲分式方程【基础知识回顾】一、分式方程的概念分母中含有的方程叫做分式方程【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据】二、分式方程的解法：1、解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程：即分式方程 ﹥整式方程2、解分式方程的一般步骤：①、 ②、 ③、3、增根：转化去分母 A B D E F在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为的根称为方程的增根。

中考数学第一轮复习精品讲解第二单元方程(组)与不等式(组)(共138张PPT)

·新课标
第6讲 │ 考点随堂练
x＋1 2x－3 3．解方程 2 － 6 ＝1，去分母正确的是( D ) A．3(x＋1)－2x－3＝6 B．3(x＋1)－2x－3＝1 C．3(x＋1)－(2x－3)＝12 D．3(x＋1)－(2x－3)＝6 x＋1 2x－3 [解析]在方程的两边同时乘6,6× 2 －6× 6 ＝1×6，所以3(x＋1)－(2x－3)＝6.
解：设用x立方米做桌面，用y立方米做桌腿，根据题意 x＋y＝6，得， 300y＝3×50x，
x＝4，解方程组，得 y＝2，
即用4立方米做桌面，用2立方米做桌腿，刚好配套．可以做出的圆桌为4×50＝200(张)．
·新课标
第6讲 │ 考点随堂练
·新课标
第6讲 │ 归类示例
17 等式性质2 (____________)，得 x＝－ 5 (____________)．系数化为1
·新课标
第6讲 │ 归类示例
3x＋5 2x－1 解：原方程可变形为 2 ＝ 3 (分式的基本性质)；去分母，得 3(3x＋5)＝2(2x－1)(等式性质 2)；去括号，得 9x＋15＝4x－2(去括号法则或乘法分配律)； (移项)，得 9x－4x＝－15－2(等式性质 1)；合并，得 5x＝－17(合并同类项)； 17 (系数化为 1)，得 x＝－ 5 (等式性质 2)．
[解析]由于56＞0.50×100＝50，∴该居民用电量超过了基本用电量(a度)，依题意得0.50a＋(100－a)[(1＋20%)× 0.50] ＝56，解得a＝40.
·新课标
第6讲 │ 考点随堂练
15．小刚说：“我买一本笔记本和4支钢笔，刚好18元”，小明说：“我买一本笔记本和一支钢笔，刚好6元”．聪明的你根据他们的对话内容，求出一本笔记本和一支钢笔各多少元？

初三数学中考第一轮复习⑵ 方程(组)与不等式(组)知识精讲

初三数学中考第一轮复习⑵方程（组）与不等式（组）华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：中考第一轮复习⑵方程（组）与不等式（组）二. 重点、难点扫描：1. 一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程的定义、方程的解的概念；2. 一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程的解法；3. 一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程的简单应用；4. 可化为一元一次方程的分式方程及简单应用；5. 不等式的性质；6. 一元一次不等式（组）的概念；一元一次不等式（组）的解集的概念；7. 一元一次不等式（组）的解法与应用。

三. 知识梳理：（一）一元一次方程1. 会对方程进行适当的变形解一元一次方程解方程的基本思想就是转化，即对方程进行变形，变形时要注意两点，一是方程两边不能乘（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程的解可能不同；二是去分母时，不要漏乘没有分母的项，一元一次方程是学习二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式及函数问题的基本内容。

2. 正确理解方程的解的定义，并能应用等式性质巧解考题方程的解应理解为，把它代入原方程是适合的，其方法就是把方程的解代入原方程，使问题得到了转化。

3. 正确列一元一次方程解应用题列方程解应用题，关键是寻找题中的等量关系，可采用图示、列表等方法，根据近几年的考试题目分析，要多关注社会热点，密切联系实际，多收集和处理信息，解应用题时还要注意检查结果是否符合实际意义。

4. 可化为一元一次方程的分式方程的应用会根据具体情景列出分式方程，并会求解，注意验根这一步不可少。

（二）一元二次方程1. 灵活运用四种解法解一元二次方程一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）四种解法：直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法。

公式法：x（b2－4ac≥0）注意：掌握一元二次方程求根公式的推导；主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次”。

2. 一元二次方程的应用解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程。

中考数学第一轮复习_方程与不等式

中考数学第一轮复习_方程与不等式xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•方程部分•不等式部分•函数与图像•综合题型与解题技巧01方程部分方程的定义方程的分类方程的解一元方程、二元方程、多元方程等。

使方程左右两边相等的未知数的值。

03方程的基本概念02 01表示等量关系的数学表达式。

利用代数运算求解未知数的值。

代数法利用几何意义求解未知数的值。

几何法将实际问题转化为数学问题，通过求解方程得到答案。

实际应用法方程的解法方程的应用代数方程的应用解决诸如计算、比较大小、求解未知数等问题。

几何方程的应用解决诸如求面积、周长、角度等问题。

实际应用问题的解决利用方程解决诸如行程、工程、购物等问题。

02不等式部分用不等号连接两个代数式，表示它们之间的关系。

不等式的概念与性质不等式的定义不等式具有一些基本的性质，例如传递性、加法单调性等。

不等式的性质解集是使不等式成立的x的取值范围。

不等式的解集1一元一次不等式23只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式。

定义去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

解题步骤注意不等式的符号，以及在移项时要注意变号。

注意事项解题步骤求出方程的根，再根据不等式的符号确定解集。

定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。

注意事项注意二次项系数为0时，不等式变为一次不等式，需要另外讨论。

一元二次不等式03函数与图像函数是定义在非空数集之间的对应关系，通常表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。

定义函数的定义域函数的值域定义函数f(x)的全体实数x 的集合称为函数的定义域。

定义在函数f(x)的定义域内，与自变量x相对应的函数值的集合称为函数的值域。

03函数的基本概念0201函数可以通过图像来表示，图像上每个点表示函数的一个取值和对应的自变量的值。

性质包括单调性、奇偶性、周期性等。

单调性指函数在某区间内随着x的增大，y值要么增大，要么减小；奇偶性指函数对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)的关系；周期性指函数存在一个不为零的常数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)。

中考数学复习分类精品课件：第二单元《方程与不等式》

；
(2)已知 A，B 两件服装的成本共 500 元，鑫洋服装店老板分别以 30% 和 20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利 130 元，问 A，B 两件服装的成本各是多少元？
解：设 A 服装的成本为 x 元，根据题意，得 30%x＋20%(500－x)＝130.解得 x＝300. 则 500－x＝200. 答：A，B 两件服装的成本分别为 300 元，200 元．
的关系；
(2)设：设关键未知数(可设直接或间接未知数)；
(3)列：根据题意寻找⑲ 等量关系
列方程(组)；
(4)解：解方程(组)；
(5)验：检验所解答案是否正确，是否符合题意和实际情况；
(6)答：规范作答，注意单位名称．
2．常见的应用题类型及基本数量关系：
常见类型
基本数量关系
路程＝速度×时间
相遇
行
甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离.
(2)面积问题常见图形：
(3)利润问题； (4)握手问题．
7．(1)某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元．已知两次降价的百分率都为 x，那么 x 满足的方程是 100(1－x)2＝81 ；
(2)某机械厂七月份营业额为 1 000 万元，第三季度总的营业额为 3 990 万元．设该厂八、九月份平均每月的营业额增长率为 x，那么 x 满足的方程是1 000＋1 000(1＋x)＋1 000(1＋x)2＝3 990 ．
3．解下列方程： (1)2(x＋3)＝5x；解：去括号，得 2x＋6＝5x. 移项，得 2x－5x＝－6. 合并同类项，得－3x＝－6. 系数化为 1，得 x＝2.
(2)x＋2 1－2＝x4. 解：去分母，得 2(x＋1)－8＝x. 去括号，得 2x＋2－8＝x. 移项，得 2x－x＝8－2. 合并同类项，得 x＝6.

中考数学第一轮复习-方程与不等式课件

＝ax＋b＋5，得 295.4＝276a＋180＋5，
解得 a＝0.4.
答：轿车的高速公路里程费是 0.4 元/千米．
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第6课时 │ 浙考探究
(1)用一元一次方程求解的基本方法：先设一个未知量为 x，再根据其中的一个等量关系用含 x 的代数式表示另一个量，根据一个相等的关系列出方程．
(2)用二元一次方程组求解需找出两个等量关系列两个方程．
图 6－1
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第6课时 │ 浙考探究
(1)当天平的左右两边质量相等时，天平处于平衡状态，即为等量关系．
(2)利用等式性质，等式两边同乘(或除以)同一个数时，一定要注意此数不为 0.
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第6课时 │ 浙考探究
► 类型之二一元一次方程的解法
命题角度： 1．一元一次方程及其解的概念 2．解一元一次方程的一般步骤
第二单元方程(组)与不等式(组)
第二单元方程(组)与不等式(组)
目录
第6课时一次方程(组)及其应用第7课时一元二次方程及其应用第8课时分式方程及其应用第9课时一元一次不等式(组) 第10课时一元一次不等式(组)的应用
第6课时 │一次方程(组)及其应用
第6课时一次方程(组)及其应用
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第7课时 │一元二次方程及其应用
第7课时一元二次方程及其应用
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第7课时 │考点聚焦
考点聚焦
考点1 一元二次方程的概念及一般形式
1．(1)一元二次方程：含有__一__个未知数，并且未知数最高次数是 _____2___的整式方程．
(2)一元二次方程的一般形式： ____________a_x_2＋__b_x_＋__c_＝__0_(_a_≠__0_)_______________. [注意] 在一元二次方程的一般形式中要注意强调a≠0.

中考数学一轮复习-数-方程与不等式

第二讲——方程与不等式一、知识结构框架二、概念复习1、方程（1）定义① 方程：含有未知数的等式叫做方程.② 方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解. ③ 等式的性质：1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. 2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式. （2）一元一次方程① 概念：一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x 的系数，b 是常数项.② 一元一次方程解法的一般步骤：整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解). ③ 列一元一次方程解应用题：1）步骤：审题——设未知数——找等量关系——列方程——解方程——答. 2)常用公式：1°行程问题：距离=速度×时间时间距离速度= 速度距离时间=； 2°工程问题：工作量=工效×工时工时工作量工效=工效工作量工时=； 3°比率问题：部分=全体×比率全体部分比率= 比率部分全体=；4°顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； 5°商品价格问题：售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；6°周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abc ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.（3）一元二次方程① 概念：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式为 )0(02≠=++a c bx ax ，其中，a 叫做二次项系数；b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.② 一元二次方程的解法1）直接开平方法：适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.2）配方法：其理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.3）公式法：利用求根公式求解，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：4）因式分解法：利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法. ③ 一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做方程的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.④ 一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么abx x -=+21，a c x x =21.（4）分式方程① 定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程. ② 解分式方程的一般方法：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是： 1）去分母，方程两边都乘以最简公分母； 2）解所得的整式方程；3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.③ 分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.如：21,240)x b ac =-≥，，注意点：解分式方程时，求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值围，可能产生增根.（5）二元一次方程（组） ① 概念1）二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a ≠0，b ≠0).2）二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3）二元一次方程组：两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4）二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解. ② 二元一次方程组的解法 1）代入消元法；2）加减消元法. ③ 解三元一次方程（组）同解二元一次方程（组） ④ 消元思想将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想，这是中学非常重要的数学思想，如题：已知 a ，b 满足 ab =1,求 1a 2+1+1b 2+1=2、不等式（组）（1）不等式① 不等式的概念：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.② 不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式. ③ 不等式基本性质1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；015)1(2)1(2=----x x x x 1)1(3)1(222=+-+x x x x 031)1(21122=-+++++x x x x2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. （2）一元一次不等式 ① 一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.② 一元一次不等式的解法：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x 项的系数化为1.（3）一元一次不等式组① 一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集. ② 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集. ③ 一元一次不等式组的解法1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集. （4）解简单的一元二次不等式运用“同号得正，异号得负”的乘积性质求解。

中考数学第一轮复习《方程与不等式的综合应用》教案.doc

方程与不等式的综合运用学习目标：1.进一步加强方程（组）与不等式（组）的之间的联系；2.会运用方程（组）或不等式（组）模型解决实际问题，.在问题解决的过程中理解数学思想方法.学习重点：方程（组）或不等式（组）的综合运用学习难点：方程（组）或不等式（组）的综合运用课前准备：下列问题你能不能不用老师点拨就把别人讲懂？请先尝试看，看自己有无“漏洞”・fx<2问题1：若不等式组无解，那么0的取值范围是x> a问题2：如果关于兀的方程- = 2-—无解，则d的值为X + l X+1问题3：根据下列表格的对应值:判断方程ax2 +/?x+c=O （aHO, a, b, c为常数）一个解x的范围是（）A、3<x<3. 23B、3. 23<x<3. 24C、3. 24<x<3.25D、3. 25<x<3. 26 问题4：甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1,工作进度如下表：则完成这项工作共需要的天数是（）A. 9 B」0 D」2问题5：某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机。

己知该厂家生产三种不同型号的电视机，岀厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。

（1）商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？（3）若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案。

教学过程（一）与大家交流你的“谍前准备”是否有“漏洞” ？你能以知识点或题型给它们分类吗？解决这些问题后，你发现了哪些解题规律或数学思想方法？（二）变一变，你还认识下列问题吗？请运用发现的规律或方法挑战下列问题，试试你的能力吧！■问题1：若关于兀的不等式组宀一3无解，则二次函数y = （2-a）x2-x + -的图象与兀轴x<\5-5a•4（）A.没有交点B.相交于一点C.相交于两点D.相交于一点或没有交点x<\-k⑴当q 时，不等式组的解集是—；当心时，不等式组的解集是—当k = -2时，不等式组的解集是 ______ ；（2） rti （1）知不等式组的解集随实数k 的变化而变化，当R 为任意实数时，写出不等式组的解集。