人教A版高中数学必修五数学答案

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高中数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.4 第1课时等比数列的概念和通项公式 Word版含解析

[课时作业][A 组基础巩固]1．已知等比数列{a n }中，a 1＝32，公比q ＝－12，则a 6等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.12解析：由题知a 6＝a 1q 5＝32×⎝⎛⎭⎫－125＝－1，故选B.答案：B2．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≠1B ．a ≠0且a ≠1C ．a ≠0D ．a ≠0或a ≠1解析：由a 1≠0，q ≠0，得a ≠0,1－a ≠0，所以a ≠0且a ≠1.答案：B3．在等比数列{a n }中，a 2 016＝8a 2 013，则公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：q 3＝a 2 016a 2 013＝8，∴q ＝2.答案：A4．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243解析：∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1×26＝64.答案：A5．等比数列{a n }各项均为正数，且a 1，12a 3，a 2成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5＝( ) A ．－5＋12 B.1－52 C.5－12 D ．－5＋12或5－12解析：a 1，12a 3，a 2成等差数列，所以a 3＝a 1＋a 2，从而q 2＝1＋q ，∵q >0，∴q ＝5＋12，∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. 答案：C6．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 解析：设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4，得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5.答案：57．数列{a n }为等比数列，a n >0，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a n ＝________.解析：由a 1·a 5＝16，a 4＝8，得a 21q 4＝16，a 1q 3＝8，所以q 2＝4，又a n >0，故q ＝2，a 1＝1，a n ＝2n －1.答案：2n －18．若k,2k ＋2,3k ＋3是等比数列的前3项，则第四项为________．解析：由题意，(2k ＋2)2＝k (3k ＋3)，解得k ＝－4或k ＝－1，又k ＝－1时，2k ＋2＝3k ＋3＝0，不符合等比数列的定义，所以k ＝－4，前3项为－4，－6，－9，第四项为－272. 答案：－2729．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证：{a n }是等比数列，并求出通项公式．证明：∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n .∴a n ＋1＝2a n .①又∵S 1＝a 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1≠0.由①式可知，a n ≠0，∴由a n ＋1a n＝2知{a n }是等比数列，a n ＝－2n －1. 10．在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？解析：(1)∵2a n ＝3a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝23，数列{a n }是公比为23的等比数列，又a 2·a 5＝827，所以a 21⎝⎛⎭⎫235＝⎝⎛⎭⎫233，由于各项均为负，故a 1＝－32，a n ＝－⎝⎛⎭⎫23n －2. (2)设a n ＝－1681，则－1681＝－⎝⎛⎭⎫23n －2， ⎝⎛⎭⎫23n －2＝⎝⎛⎭⎫234，n ＝6，所以－1681是该数列的项，为第6项． [B 组能力提升]1．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3＝⎝⎛⎭⎫a 3q 3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30＝⎝⎛⎭⎫a 3·a 6·a 9·…·a 30q 103.又q ＝2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30＝220.答案：B2．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84解析：设等比数列公比为q ，则a 1＋a 1q 2＋a 1q 4＝21，又因为a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝42.答案：B3．设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2 014和a 2 015是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 016＋a 2 017＝________.解析：4x 2－8x ＋3＝0的两根分别为12和32，q >1，从而a 2 014＝12，a 2 015＝32，∴q ＝a 2 015a 2 014＝3.a 2 016＋a 2 017＝(a 2 014＋a 2 015)·q 2＝2×32＝18.答案：184．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14. 答案：145．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积为－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求这四个数．解析：由题意，设这四个数为b q，b ，bq ，a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝－8.2bq ＝a ＋b ，b 2aq ＝－80解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10，b ＝－2，q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.∴这四个数依次为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.6．已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n ＝1,2,3，….(1)证明数列{lg(1＋a n )}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．解析：(1)证明：由已知得a n ＋1＝a 2n ＋2a n ， ∴a n ＋1＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2. ∵a 1＝2，∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2>0. ∴lg(1＋a n ＋1)＝2lg(1＋a n )，即lg (1＋a n ＋1)lg (1＋a n )＝2，且lg(1＋a 1)＝lg 3.∴{lg(1＋a n )}是首项为lg 3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，lg(1＋a n )＝2n －1·lg 3＝lg 312n －， ∴1＋a n ＝312n －，∴a n ＝312n －－1.。

2021年高中数学 2.2.1等差数列的概念与通项公式练习新人教A版必修5

2021年高中数学 2.2.1等差数列的概念与通项公式练习新人教A版必修5►基础梳理1．(1)等差数列的定义：____________________．定义的数学式表示为__________________________．(2)判断下列数列是不是等差数列．①2，4，6，8，10；②1，3，5，8，9，10.2．(1)首项为a1公差为d的等差数列{a n}的通项公式为____________．(2)写出下列数列的通项公式：①2，4，6，8，10；②0，5，10，15，20，….3．(1)等差中项的定义：______________________．(2)求下列各组数的等差中项：①2，4；②－3，9.4．(1)等差数列当公差______时，为递增数列；当公差______时，为递减数列．(2)判断下列数列是递增还是递减数列．①等差数列3，0，－3，…；②数列{a n}的通项公式为：a n＝2n－100(n∈N*)．5．等差数列的图象的特点是________________．基础梳理1．(1)从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数a n－a n－1＝d (与n无关的常数)，n≥2，n∈N*(2)①是②不是2．(1)a n＝a1＋(n－1)d，n∈N*(2)①a n＝2n，n＝1，2，3，4，5②a n＝5n－5，n∈N*3．(1)如果a，A，b成等差数列，则A叫a与b的等差中项(2)①所求等差中项为3 ②所求等差中项为34．(1)d>0 d<0(2)①递减数列②递增数列5．一条直线上的一群孤立点►自测自评1．下列数列不是等差数列的是( )A．a－d，a，a＋dB．2，4，6，…，2(n－1)，2nC．m，m＋n，m＋2n，2m＋n(m≠2n)D．数列{a n}满足a n－1＝a n－12(n∈N*，n＞1)2．等差数列a－2d，a，a＋2d，…的通项公式是( )A．a n＝a＋(n－1)d B．a n＝a＋(n－3)dC．a n＝a＋2(n－2)d D．a n＝a＋2nd3．已知数列{a n}对任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上，则{a n}为( ) A．公差为2的等差数列B．公差为1的等差数列C．公差为－2的等差数列D．非等差数列自测自评1．解析：利用定义判断，知A，B，D是等差数列；对于C，m＋n－m＝n，(2m＋n)－(m＋2n)＝m－n，且n≠m－n，∴该数列不是等差数列．故选C.答案：C2．解析：数列的首项为a－2d，公差为2d，∴a n＝(a－2d)＋(n－1)·2d＝a＋2(n－2)d.答案：C3．A►基础达标1．有穷等差数列5，8，11，…，3n＋11(n∈N*)的项数是( )A．n B．3n＋11C．n＋4 D．n＋31．解析：在3n＋11中令n＝1，结果为14，它是这个数列的第4项，前面还有5，8，11三项，故这个数列的项数为n＋3.故选D.答案：D2．若{a n }是等差数列，则由下列关系确定的数列{b n }也一定是等差数列的是( )A ．b n ＝a 2nB ．b n ＝a n ＋n 2C ．b n ＝a n ＋a n ＋1D ．b n ＝na n2．解析：{a n }是等差数列，设a n ＋1－a n ＝d ，则数列b n ＝a n ＋a n ＋1满足：b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋2－a n ＝2d .故选C.答案：C3．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( ) A. 3 B. 2 C.13 D.123．解析：a ，b 的等差中项为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2＋13－2＝12×(3－2＋3＋2)＝ 3. 答案：A4．下面数列中，是等差数列的有( )①4，5，6，7，8，… ②3，0，－3，0，－6，… ③0，0，0，0，…④110，210，310，410，… A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个4．C5．在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值是( )A ．49B ．50C ．5D ．525．解析：由2a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1－a n ＝12， ∴{a n }是等差数列，且公差为d ＝12，又a 1＝2， ∴a 101＝a 1＋(101－1)d ＝2＋100×12＝52.故选D. 答案：D►巩固提高6．若x ≠y ，且两个数列：x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各成等差数列，那么a 2－a 1b 2－b 1＝( )A.34B.43C.23D ．不能确定 6．解析：a 2－a 1＝13(y －x )，b 2－b 1＝14(y －x )， ∴a 2－a 1b 2－b 1＝43.故选B. 答案：B7．已知函数f (x )＝2x ，等差数列{a n }的公差为 2.若f (a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)＝4，则log 2[f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)]＝________．7．解析：∵f (a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)＝2a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝4，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝2.又∵a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝(a 2－d )＋(a 4－d )＋…＋(a 10－d )＝2－5d ＝－8，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝2＋(－8)＝－6.∴log 2[f (a 1)·f (a 2)·…·f (a 10)]＝log 2(2a 1＋a 2＋…＋a 10)＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝－6. 答案：－68．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________．8．解析：利用等差数列的通项公式求解．设等差数列公差为d ，则由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4，∴d 2＝4，∴d ＝±2.由于该数列为递增数列，∴d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ∈N *)．答案：2n －1(n ∈N *)9．有四个数成等差数列，它们的平方和等于276，第一个数与第四个数之积比第二个数与第三个数之积少32，求这四个数．9．解析：设四个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧（a －3d ）2＋（a －d ）2＋（a ＋d ）2＋（a ＋3d ）2＝276，（a －d ）（a ＋d ）－（a －3d ）（a ＋3d ）＝32. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋5d 2＝69，d 2＝4.∴a ＝±7，d ＝±2. ∴所求的四个数依次为：1，5，9，13或13，9，5，1或－13，－9，－5，－1或－1，－5，－9，－13.10．已知函数f (x )＝x ax ＋b(a ，b 为常数，a ≠0)满足f (2)＝1，且f (x )＝x 有唯一解． (1)求f (x )的表达式；(2)若数列{x n }由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，n ∈N *)且x 1＝1.①求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列； ②求数列{x n }的通项公式．10．(1)解析：由f (2)＝1，得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2. 由f (x )＝x ，得x ax ＋b＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有唯一解， ∴Δ＝(b －1)2＝0，∴b ＝1.∴a ＝12. ∴f (x )＝2x x ＋2. (2)①证明：当n ≥2时，x n ＝f (x n －1)＝2x n －1x n －1＋2. 又x 1＝1＞0，∴x n ＞0，即x n ≠0.∴1x n ＝x n －1＋22x n －1＝1x n －1＋12，即1x n －1x n －1＝12. 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是首项为1，公差为12的等差数列． ②解析：由①得1x n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12， ∴x n ＝2n ＋1(n ∈N *)．1．用好等差数列的定义与掌握好等差数列的通项公式是关键，写数列通项公式时注意n 的取值范围．2．注意等差数列与一次函数间的关系，如自测自评中第3题．3．题设中有三个数成等差数列时，一般设这三个数为a －d 、a 、a ＋d .若五个数成等差一般设为a －2d 、a －d 、a 、a ＋d 、a ＋2d .有时也直接设为等差数的通项形式，具体问题具体分析，设的目的是便于计算，要灵活选择设的方法．4．等差中项有广泛应用，要准确理解其含义．5．证明数列为等差数列的方法有：定义法、通项公式法、等差中项法．K29753 7439 琹35196 897C 襼.D27967 6D3F 洿40023 9C57 鱗34218 85AA 薪}l !I24395 5F4B 彋E。

人教A版2019年高中数学必修5讲义：第二章 2.3 等差数列的前n项和_含答案

等差数列的前n 项和[新知初探]1．数列的前n 项和对于数列{a n }，一般地称a 1＋a 2＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .2．等差数列的前n 项和公式 [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和( ) (2)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)化简后关于n 与a n 的函数式即为数列{a n }的通项公式( ) (3)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1( ) 解析：(1)正确．由前n 项和的定义可知正确． (2)错误．例如数列{a n }中，S n ＝n 2＋2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又∵a 1＝S 1＝3，∴a 1不满足a n ＝S n －S n －1＝2n －1，故命题错误． (3)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd . 答案：(1)√ (2)× (3)×预习课本P42～45，思考并完成以下问题2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n (n ＋1)2解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得4a 1＋4×32d ＝20，即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.答案：12[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5，解得n ＝15或n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8(a1＋a8)2＝8(4＋a8)2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.[活学活用]设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于() A．13B．35C．49 D．63解析：选D∵{a n}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝9(a2＋a8)2＝9×142＝63.[典例]已知数列{a n}的前n项和S n＝－2n2＋n＋2.(1)求{a n}的通项公式；(2)判断{a n}是否为等差数列？[解](1)∵S n＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，S n－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴a n＝S n－S n－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4，但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2； (2)S n ＝3n －1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质： S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )，即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)，解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [答案] (1)C (2)10 (3)53[活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3，所以S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ，所以S nn ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：75[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得 25×17＋17×(17－1)2d ＝25×9＋9×(9－1)2d ，解得d ＝－2， [法一公式法] S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－(n －13)2＋169. 由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n 2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n (－1＋2－3n )2＝－32n 2＋n 2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7>0，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. 答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．答案：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式．解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＝22，5a 3＝45，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C.3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a nb n＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －12(2n －1)b 1＋b 2n －12(2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________．解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.答案：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值．解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。

高中数学新人教A版必修5第一章 1.1 1.1.1 正弦定理

正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(1)直角三角形中的边角之间有什么关系？(2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？(3)解三角形的含义是什么？预习课本P 2～3，思考并完成以下问题[新知初探]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C. [点睛] 正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．2．解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形( )(2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立( ) (3)在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则此三角形有唯一解( )解析：(1)正确．正弦定理适用于任意三角形．(2)正确．由正弦定理知a sin A ＝bsin B，即b sin A ＝a sin B .(3)错误．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a ，b ，A 的值来定．答案：(1)√ (2)√ (3)×2．在△ABC 中，下列式子与sin Aa 的值相等的是( )A.bc B.sin B sin A C.sin C cD.c sin C 解析：选C 由正弦定理得，a sin A ＝c sin C，所以sin A a ＝sin C c .3．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，则b 等于( ) A ．5 2B ．10 3C.1033D ．5 6解析：选B 由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝10×3212＝10 3.4．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，b ＝2，则这个三角形有 ( )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定解析：选A ∵b <a ，A ＝30°，∴B <30°，故三角形有一解．已知两角及一边解三角形[典例] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c . [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角． (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．[注意] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3D ．32解析：选B 由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.已知两边及其中一边的对角解三角形[典例] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A ，C ，c . [解] 由正弦定理及已知条件，有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32.∵a >b ，∴A >B ＝45°.∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22. 综上可知：A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]在△ABC 中，c ＝6，C ＝60°，a ＝2，求A ，B ，b . 解：∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22.∴A ＝45°或A ＝135°. 又∵c >a ，∴C >A .∴A ＝45°. ∴B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6·sin 75°sin 60°＝3＋1.三角形形状的判断[典例] 在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，判断△ABC 的形状．解：[法一化角为边] ∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b2R ，∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． [法二化边为角]∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ， ∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形．利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边．．．．．．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R. (2)化边为角．．．．．．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．[活学活用]在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且sin A ＝2sin B ·cos C ．试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°.∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B . ∴2sin B ·cos C ＝2sin 2B ＝sin A ＝1. ∴sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形．层级一学业水平达标1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( )A.53B.35C.37D.57 解析：选A 根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53. 2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B 由题意有a sin A ＝b ＝b sin B，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理得，sin A a ＝sin C c ＝cos Cc ，则cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1解析：选B 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( ) A. 3 B.33C.63D ．－63解析：选B 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A ＝3sin B sin A ，故sinB ＝33. 6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； ②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解； ④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解．解析：①中a ＝b sin A ，有一解；②中c sin B <b <c ，有两解；③中A ＝90°且a >b ，有一解；④中a >b 且A ＝120°，有一解．综上，④正确．答案：④7．在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2C ，则△ABC 的形状是________．解析：由已知得sin 2A －sin 2B ＝sin 2C ，根据正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C＝c2R，所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2－⎝⎛⎭⎫b 2R 2＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2.所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形8．在△ABC 中，若A ＝105°，C ＝30°，b ＝1，则c ＝________. 解析：由题意，知B ＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝1×sin 30°sin 45°＝22. 答案：229．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．解：设△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，则C ＝180°－(A ＋B )＝75°. 因为C >B >A ，所以最小边为a . 又因为c ＝1，由正弦定理得， a ＝c sin A sin C ＝1×sin 45°sin 75°＝3－1，所以最小边长为3－1.10．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝42sin(30°＋45°)＝2＋2 3.层级二应试能力达标1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝2×222＝12，又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的周长为4(2＋1)，且sin B ＋sin C ＝2sin A ，则a ＝( )A. 2 B ．2 C ．4D ．2 2解析：选C 根据正弦定理，sin B ＋sin C ＝2sin A 可化为b ＋c ＝2a ， ∵△ABC 的周长为4(2＋1)，∴⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝4(2＋1)，b ＋c ＝2a ，解得a ＝4.故选C. 3．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：选A 由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .4．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010B.1010C.510D.515解析：选B 由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5.在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC EC ＝15＝55，所以sin ∠CED ＝55·sin ∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. 5．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＋b ＝12，则a ＝________. 解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以a sin 60°＝bsin 45°，所以32b ＝22a ，① 又因为a ＋b ＝12，② 由①②可知a ＝12(3－6)．答案：12(3－6)6．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝_______. 解析：由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，即sin C ＝AB ·sin ABC＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114. ∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.答案：33147．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由A －C ＝90°，得A 为钝角且sin A ＝cos C ，利用正弦定理，a ＋c ＝2b 可变形为sin A ＋sin C ＝2sin B ，又∵sin A ＝cos C ，∴sin A ＋sin C ＝cos C ＋sin C ＝2sin(C ＋45°)＝2sin B ，又A ，B ，C 是△ABC 的内角，故C ＋45°＝B 或(C ＋45°)＋B ＝180°(舍去)，所以A ＋B ＋C ＝(90°＋C )＋(C ＋45°)＋C ＝180°. 所以C ＝15°.8．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a ，b 及△ABC 的内切圆半径．解：由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A .即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B . 又∵a ≠b ，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2.∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43得a ＝6，b ＝8.故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2.。

高中数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.5 第1课时等比数列的前n项和公式含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．等比数列{a n }中，a n ＝2n ，则它的前n 项和S n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －2 C ．2n ＋1－1D ．2n ＋1－2解析：a 1＝2，q ＝2， ∴S n ＝2×(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.答案：D2．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和S 10＝( )A ．2－128B ．2－129C ．2－1210D ．2－1211解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1，a 4＝18，得q 3＝18，解得q ＝12，于是S 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝1－(12)101－12＝2－129.答案：B3．等比数列{a n }中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．2或－1解析：S 4＝a 1·(1－q 4)1－q ＝1，①S 8＝a 1·(1－q 8)1－q ＝17，②②÷①得1＋q 4＝17，q 4＝16. q ＝±2. 答案：C4．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．35 B ．33 C ．31D ．29 解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1， ∴a 4＝2.又∵a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54，∴q ＝12.∴a 1＝a 4q 3＝16.S 5＝a 1·(1－q 5)1－q ＝31.答案：C5．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4D.14解析：a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，等式两边分别相减得a 4－a 3＝3a 3，即a 4＝4a 3，∴q ＝4. 答案：C6．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，n ＝1,2,3，…，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝________. 解析：由a n ＋1a n ＝2，∴{a n }是以a 1＝1，q ＝2的等比数列，故S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1.答案：2n －17．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．解析：∵S 1,2S 2,3S 3成等差数列，∴4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， ∴4(1＋q )＝1＋3(1＋q ＋q 2)，解之得q ＝13.答案：138．等比数列的前n 项和S n ＝m ·3n ＋2，则m ＝________. 解析：设等比数列为{a n }，则 a 1＝S 1＝3m ＋2，S 2＝a 1＋a 2＝9m ＋2⇒a 2＝6m ， S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝27m ＋2⇒a 3＝18m ，又a 22＝a 1·a 3⇒(6m ) 2＝(3m ＋2)·18m ⇒m ＝－2或m ＝0(舍去)．∴m ＝－2. 答案：－29．在等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20. 解析：设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d ，由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2.整理，得10d 2－10d ＝0.解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7，于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －n 2，a n ＝log 5b n ，其中b n >0，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(2n －n 2)－[2(n －1)－(n －1)2] ＝－2n ＋3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－12＝1也适合上式， ∴{a n }的通项公式a n ＝－2n ＋3(n ∈N *)．又a n ＝log 5b n ， ∴log 5b n ＝－2n ＋3，于是b n ＝5－2n ＋3，b n ＋1＝5－2n ＋1，∴b n ＋1b n ＝5－2n ＋15－2n ＋3＝5－2＝125. 因此{b n }是公比为125的等比数列，且b 1＝5－2＋3＝5，于是{b n }的前n 项和T n ＝5⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫125n 1－125＝12524⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫125n .[B 组能力提升]1．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1) C ．4n －1D.13(4n －1) 解析：根据前n 项和S n ＝2n －1，可求出a n ＝2n －1，由等比数列的性质可得{a 2n }仍为等比数列，且首项为a 21，公比为q 2，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋22＋24＋…＋22n －2＝13(4n －1)．答案：D2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2解析：设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B. 答案：B3．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝9a 2·a 3＝a 1·a 4＝8，解得a 1＝1，a 4＝8或者a 1＝8，a 4＝1，而数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 4＝8，即q 3＝a 4a 1＝8，所以q ＝2，因而数列{a n }的前n 项和S n＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n 1－2＝2n －1.答案：2n －14．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＋a 1＝2a n ，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则a 1＋a 5＝________.解析：由S n ＋a 1＝2a n ，得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n ，所以a 1＋a 5＝2＋25＝34. 答案：345．(2016·高考全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.6．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝ln 23n ＝3n ln 2. 又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.。

人教A版高中数学必修五2.4《等比数列(二)》

解析：∵数列{an}成等比数列， ∴a6·a15＝a9·a12， ∴a6·a15＝15， ∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10 ＝1510.
答案：1510
要点阐释
1．等比数列的性质 (1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列． (2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列，如：等比数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…； a3，a5，a7，a9，a11…各自仍构成等比数列．
已知等比数列an
满足
an＞0，n＝1,2，…，
且 a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当 n≥1 时，log2a1＋log2a3＋…
＋log2a2n－1＝
()
A．(n－1)2
B．n2
C．(n＋1)2
D．n(2n－1)
错解：易得 an＝2n，且 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1) ＝1＋3＋ …＋(2n－1)＝1＋22n－1(2n－1) ＝n(2n－1)．从而错选 D 错因分析：对等差数列1,3，…，2n－1的项数没数清．
即aa1122－＋22aa11aa55＋＋aa5522＝＝330422，，两式相减得 a1a5＝64，即 a32＝64，又 a5＞a1，故 a3＝8. 答案：A
2．在等
比数列an
中，
a8
是
a4
与________的等比中项
A．a9
B．a10
C．a11
() D．a12

高中数学人教A版必修五解三角形导学案加课后作业及参考答案

1.1.1 正弦定理(一)【学习要求】1．掌握正弦定理的内容． 2．了解正弦定理的证明方法． 3．能初步运用正弦定理解三角形．【学法指导】1．学习本节内容时，要善于运用平面几何知识以及平面向量知识证明正弦定理． 2．应熟练掌握利用正弦定理进行三角形中的边角关系的相互转化．【知识要点】1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝，A 2＋B 2＋C2＝ .2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝，bc＝ .3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即，这个比值是__________【问题探究】探究点一正弦定理的提出和证明问题在直角三角形和等边三角形中，容易验证a sin A ＝b sin B ＝csin C 成立，这一结论对更一般锐角三角形和钝角三角形还成立吗？探究1 在锐角△ABC 中，根据右图证明：a sin A ＝b sin B ＝csin C.探究2 在钝角△ABC 中(不妨设A 为钝角)，根据右图证明：a sin A ＝b sin B ＝csin C.小结综上可知，对于任意三角形，均有a sin A ＝b sin B ＝csin C ，此即正弦定理．探究点二正弦定理的几何解释问题如图所示，在Rt △ABC 中，斜边c 等于Rt △ABC 外接圆的直径2R ，故有a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，这一关系对任意三角形也成立吗？探究1 如图所示，锐角三角形ABC 和它的外接圆O ，外接圆半径为R ，等式a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 成立吗？探究2 如图所示，钝角三角形ABC ，A 为钝角，圆O 是它的外接圆，半径为R ，等式a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 还成立吗？小结综上所述，对于任意△ABC ，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 恒成立．【典型例题】例1 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶4 C ．3∶4∶5 D ．1∶3∶2跟踪训练1 在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于 ( ) A ．6∶5∶4 B ．7∶5∶3 C ．3∶5∶7 D ．4∶5∶6例2 在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.小结正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间的相互转化的功能更加强大，更加灵活．跟踪训练2 在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C＝例3 在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．小结已知两角与任一边，利用正弦定理解三角形，有以下两种情况：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．跟踪训练3 在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，解三角形．【当堂检测】1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若∠A ＝105°，∠B ＝45°，b ＝22，则c 等于( ) A ．1B ．2C. 2D. 32．在△ABC 中，已知∠A ＝150°，a ＝3，则其外接圆的半径R 的值为 ( ) A ．3 B. 3 C ．2 D ．不确定 3．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形4．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则∠B 等于【课堂小结】1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角．（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．【课后作业】一、基础过关1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( )A ．a sin A ＝b sin BB ．b sinC ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin BD ．a sin C ＝c sin A2．在△ABC 中，若A ＝30°，B ＝60°，b ＝3，则a 等于( )A ．3B ．1C ．2D ．123．在△ABC中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC为( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形4．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为 ( )A ．π3B ．π6C ．π3或23πD ．π6或56π5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小 ( ) A ．π2B ．π3C ．π4D ．π66．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，则2sin A －sin Bsin C ＝________.7．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝______.8．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B .二、能力提升9．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D ．⎝⎛⎦⎤0，403 10．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.11．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，求A 的值．12．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C .三、探究与拓展13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，求角C 的大小．1.1.1 正弦定理(二)【学习要求】1．熟记正弦定理的有关变形公式．2．探究三角形面积公式的表现形式，能结合正弦定理解与面积有关的斜三角形问题． 3．能根据条件，判断三角形解的个数．【学法指导】1．已知两边及其中一边对角解三角形，其解不一定唯一，应注意运用大边对大角的理论判断解的情况． 2．判断三角形形状时，不要在等式两边轻易地除以含有边角的因式，造成漏解．【知识要点】1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 的常见变形：（1）sin A ∶sin B ∶sin C ＝；（2）a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝；（3）a ＝，b ＝，c ＝；（4）sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝ .2．三角形面积公式：S ＝＝＝3．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ≥B 4．在△ABC 中，a ＝10，b ＝8，C ＝30°，则△ABC 的面积S ＝【问题探究】探究点一已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数问题我们应用正弦定理解三角形时，已知三角形的两边及其中一边的对角往往得出不同情形的解，有时一解，有时两解，有时又无解，这究竟是怎么回事？探究1 在△ABC 中，已知a ，b 和A ，若A 为直角，讨论三角形解的情况．(请完成下表)探究2 在△ABC 中，已知a ，b 和A ，若A为钝角，讨论三角形解的情况．(请完成下表)探究3 在△ABC 中，已知a ，b 和A ，若A 为锐角，讨论三角形解的情况．(请完成下表)探究点二三角形的面积公式问题我们已经知道S △ABC ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (其中h a ，h b ，h c 分别为a ，b ，c 边上的高)．学习了正弦定理后，你还能得到哪些计算三角形面积的公式？探究1 当△ABC 为锐角三角形时，证明：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .探究2 当△ABC 为钝角三角形时，证明：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .【典型例题】例1 已知一三角形中a ＝23，b ＝6，A ＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．小结已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论．跟踪训练1在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c 等于 ( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3例2 在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，求△ABC 的面积．小结题目条件或结论中若涉及三角形的面积，要根据题意灵活选用三角形的面积公式．跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝例3 在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．小结条件是边角混合关系式，应用正弦定理化边为角，再由角的关系判断三角形的形状．跟踪训练3 已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判断这个三角形的形状．【当堂检测】1．已知△ABC 的面积为3且b ＝2，c ＝2，则∠A 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120° 2．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝ 3．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝4．不解三角形，判断下列三角形解的个数．（1）a ＝5，b ＝4，A ＝120°；（2）a ＝9，b ＝10，A ＝60°；（3）c ＝50，b ＝72，C ＝135°.【课堂小结】1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，也可能一解或两解.例如：已知a 、b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况.2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是否是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．【课后作业】一、基础过关1．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( )A ．45°或135°B ．60°C ．45°D ．135° 3．下列判断中正确的是( )A ．当a ＝4，b ＝5，A ＝30°时，三角形有一解B ．当a ＝5，b ＝4，A ＝60°时，三角形有两解C ．当a ＝3，b ＝2，B ＝120°时，三角形有一解D ．当a ＝322，b ＝6，A ＝60°时，三角形有一解4．在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S △ABC 等于( )A ．3＋1B ．3－1C ．3＋2D ．3－25．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，且B ＝30°，则△ABC 的面积等于 ( ) A ．32B ．34C ．32或 3D ．34或326．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度为________． 7．在△ABC 中，已知23a sin B ＝3b ，且cos B ＝cos C ，试判断△ABC 的形状．8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S . 二、能力提升9．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba 等于 ( )A ．2 3B ．2 2C ． 3D ． 210．在△ABC 中，若acos A 2＝b cos B 2＝c cosC 2，则△ABC 的形状是________． 11．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝______，c ＝______.12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c ＝10，又知cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC 内切圆的半径．三、探究与拓展13．已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C ＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．1.1.2 余弦定理(一)【学习要求】1．理解余弦定理的证明．2．初步运用余弦定理及其变形形式解三角形【学法指导】1．教材给出了用向量法证明余弦定理的方法，体现了向量在解决三角形度量问题中的重要作用．2．利用向量作为工具推导余弦定理时，向量知识可能被遗忘，要注意复习，要准确运用向量的减法法则和向量夹角的概念．3．余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．【知识要点】1．余弦定理三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的的余弦的积的．即a 2＝_________，b 2＝，c 2＝ .2．余弦定理的推论cos A ＝；cos B ＝；cos C ＝ 3．在△ABC 中，（1）若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝；（2）若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝；（3）若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝ .4．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( )A ．3B ．3C ．5D ．5【问题探究】我们知道已知两边和一边的对角，或者已知两角和一角的对边能用正弦定理解三角形，如果已知两边和夹角怎样解三角形求第三边和其他两角呢？或者已知三边怎么解三角形求三个角呢？这是余弦定理所能解决的问题，这一节我们就来学习余弦定理及其应用．探究点一利用向量法证明余弦定理问题如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形．如何利用已知的两边和夹角计算出三角形的另一边呢？探究如图所示，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，由AB →＝CB →－CA →知c ＝a －b .根据这一关系，试用向量的数量积证明余弦定理．探究点二利用坐标法证明余弦定理问题我们可以把三角形放在平面直角坐标系中来研究，写出各个顶点的坐标，能否利用平面内两点间的距离公式来推导余弦定理？探究如图，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (c,0)，C (b cos A ，b sin A )，试根据两点间的距离公式证明余弦定理．【典型例题】例1 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A .小结解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手．跟踪训练1 在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，求边c .例2 已知三角形ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，求△ABC 的最大内角．小结已知三边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦值是负值时，角是钝角．跟踪训练2 在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，判断三角形的形状．例3 在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，试确定△ABC 的形状．小结边角混合关系式要根据正、余弦定理统一转化为角的关系式或边的关系式，本题可采用正弦定理转化为角的关系式或采用余弦定理转化为边的关系式．跟踪训练3 在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．【当堂检测】1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的另一边长为 ( )A ．52B ．213C ．16D ．4 2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为 ( )A ．π3B ．π6C ．π4D ．π123．在△ABC 中，已知A ＝60°，最大边长和最小边长恰好是方程x 2－7x ＋11＝0的两根，则第三边的长为______． 4．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．【课堂小结】1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：（1）已知两边和夹角，解三角形．（2）已知三边求三角形的任意一角．2．判断三角形的形状，当所给的条件是边角混合关系时，基本解题思想：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．【课后作业】一、基础过关1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为( ) A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°2．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( ) A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 3．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A ．14B ．34C ．24D ．234．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且∠C ＝60°，则ab 的值为 ( ) A ．43B ．8－43C ．1D ．235．已知△ABC 的三边长分别是2m ＋3，m 2＋2m ，m 2＋3m ＋3(m ＞0)，则最大内角的度数是________． 6．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.7．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1. （1）求角C 的度数；（2）求AB 的长；（3）求△ABC 的面积．b ac8．设2a ＋1，a ，a －1为钝角三角形的三边，求a 的取值范围．二、能力提升9．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤0，π6B ．⎣⎡⎭⎫π6，πC ．⎝⎛⎦⎤0，π3 D ．⎣⎡⎭⎫π3，π 10．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定 11．如图，CD ＝16，AC ＝5，∠BDC ＝30°，∠BCA ＝120°，则AB ＝________.12．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边长．三、探究与拓展13．△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.（1）求AB →·AC →；（2）若c －b ＝1，求a 的值．1.1.2 余弦定理(二)【学习要求】1．熟练掌握余弦定理及其变形形式． 2．会用余弦定理解三角形．3．能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题．【学法指导】1．正、余弦定理都反映了任意三角形边角之间的具体关系，它们不是孤立的，而是相互密切联系的，处理三角形中的问题时，要注意两个定理的综合运用．2．已知三角形的两边和一边的对角解三角形时，一般用正弦定理求解，这时需讨论解的个数，也可用余弦定理求解，这时需转化成未知边的一元二次方程来求解．【知识要点】1．余弦定理及其变形形式：a 2＝ ⇔cos A ＝；b 2＝ ⇔cos B ＝；c 2＝ ⇔cos C ＝ .2．正弦定理的公式表达形式：_____＝＝＝2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)．3．已知锐角三角形的三边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是 4．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为【问题探究】探究点一已知两边及其中一边的对角，利用余弦定理解三角形问题在△ABC 中，已知两边及其中一边的对角，解三角形．一般情况下，先利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论三角形解的个数．对于这一类问题能否利用余弦定理来解三角形？探究在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于 ( )A ．1B ．2C ．3－1D ． 3 探究点二利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式问题如何利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式？证明时可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理．探究在△ABC 中，有（1）a ＝b cos C ＋c cos B ；（2）b ＝c cos A ＋a cos C ；（3）c ＝a cos B ＋b cos A ；这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．探究点三利用正、余弦定理解决三角形的有关问题问题利用正、余弦定理可以解决一些三角形问题:如面积、角、边等，你能根据已知条件选择合适的解决方法吗？探究在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R)，且ac ＝14b 2.（1）当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；（2）若角B 为锐角，求p 的取值范围．【典型例题】例1 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的三边，已知(a ＋b －c )(a －b ＋c )＝bc ，求A .跟踪训练1 已知△ABC 的三边a 、b 、c ，且△ABC 的面积S ＝c 2－a 2－b 243，求C .例2 在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．小结本例是已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．跟踪训练2 已知a ，b ，c 是△ABC 中A ，B ，C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4，b ＝5，S ＝53，求c 的长度．例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2 B ＋C 2－cos 2A ＝72. （1）求A 的度数．（2）若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 和c 的值．小结本题解题关键是通过三角恒等变换借助于A ＋B ＋C ＝180°，求出A ，并利用余弦定理列出关于b 、c 的方程组．跟踪训练3 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos B ＝35.（1）若b ＝4，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积为4，求b 、c 的值．【当堂检测】1．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为 ( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝2a ，且cos C ＝14，则a 等于 ( )A ．2B ．12C ．1D ．133．在△ABC 中，cos B ＝12，b 2－ac ＝0，则△ABC 的形状为三角形．4．在△ABC 中，∠B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为．【课堂小结】1．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．2．余弦定理为求三角形中的有关量(如面积、中线、外接圆等)提供了有力的工具，在一定意义上，比正弦定理应用更加广泛．3．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．【课后作业】1．在△ABC 中，若b 2＝a 2＋c 2＋ac ，则B 等于( )A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30° 2．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( )A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形 3．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为 ( )A ．13B ．－23C ．14D ．－144．在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，A ＝30°，则角C 等于 ( )A ．30°B ．120°C ．60°D ．150°5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是 ( ) A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________． 7．已知△ABC 的内角B ＝60°，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . （1）求B ；（2）若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .二、能力提升9．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( )A ．1＜c ＜3B ．2＜c ＜3C ．5＜c ＜3D ．22＜c ＜3 10．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·CA →＝________. 11．在△ABC 中，B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255.（1）求边BC 的长；（2）记AB 的中点为D ，求中线CD 的长．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14.（1）求sin C 的值；（2）当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．三、探究与拓展13．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能否做出这样的三角形？若能，是什么形状；若不能，请说明理由．习题课正弦定理与余弦定理【学习要求】1．进一步熟练掌握正、余弦定理在解决各类三角形中的应用．2．提高对正、余弦定理应用范围的认识．3．初步应用正、余弦定理解决一些和三角、向量有关的综合问题．【学法指导】解三角形的问题可以分为以下四类：（1）已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数．（2）已知三角形的两角和任一边，解三角形．此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．（3）已知两边和它们的夹角，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角．（4）已知三角形的三边，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角．要解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解．【知识要点】1．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有（1）A ＋B ＋C ＝，A ＋B2＝ .（2）sin(A ＋B )＝，cos(A ＋B )＝，tan(A ＋B )＝ . （3）sinA ＋B 2＝，cos A ＋B2＝ 2．正弦定理及其变形（1）a sin A ＝b sin B ＝csin C＝ .（2）a ＝，b ＝，c ＝ . （3）sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝ . （4）sin A ∶sin B ∶sin C ＝ .3．余弦定理及其推论（1）a 2＝ . （2）cos A ＝ .（3）在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为；c 2>a 2＋b 2⇔C 为____；c 2<a 2＋b 2⇔C 为． 4．三角形常用面积公式（1）S ＝ (h a 表示a 边上的高)；（2）S ＝＝＝；（3）S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．【基础自测】1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于 ( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若c ·cos B ＝b ·cos C ，且cos A ＝23，则sin B 等于 ( )A ．±66B ．66C ．±306 D ．3063．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos B ＝14，sin C sin A ＝2，且S △ABC ＝154，则b 等于 ( )A ．4B ．3C ．2D ．14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝3，b ＝2，且1＋2cos(B ＋C )＝0，则BC 边上的高为 ( )A ．3－1B ．3＋1C ．3－12 D ．3＋12【题型解法】题型一利用正、余弦定理证明三角恒等式例1 在△ABC 中，求证：tan A tan B ＝a 2＋c 2－b 2b 2＋c 2－a 2.小结证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．跟踪训练1 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，求证：cos B cos C ＝c －b cos Ab －c cos A .题型二利用正、余弦定理判断三角形的形状例2 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．小结本题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断．跟踪训练2 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试确定△ABC 的形状．题型三利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题例3 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos B ＝35，且AB →·BC →＝－21.（1）求△ABC 的面积；（2）若a ＝7，求角C .小结这是一道向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系．跟踪训练3 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.（1）求1tan A ＋1tan C 的值；（2）设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．【当堂检测】1．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 2．下列判断中正确的是 ( ) A ．△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解 B ．△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解 D ．△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解 3．在△ABC 中，求证：a 2＋b 2＋c 2＝2(bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C )．4．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝7，AD ＝6，S △ACD ＝1532.求AB 的长．【课堂小结】1．判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．2．对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．3．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解．【课后作业】一、基础过关1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝44°，则此三角形解的情况为( )A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定2．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，sin C 等于( )A ．23913B ．1313C ．2393D ．213133．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于 ( ) A ． 6B ．2C ． 3D ． 24．若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B 等于( )A ．154B ．34C ．31516D ．11165．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．7．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.8．在△ABC 中,a ，b ，c 分别为内角A ,B ,C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . （1）求A 的大小；（2）若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．二、能力提升9．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．60° 10．在△ABC 中，已知a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 为( )A ．30°B ．60°C ．45°或135°D ．120°11．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．12．已知△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(sin C ，sin B cos A )，n ＝(b,2c )，且m ·n ＝0.（1）求A 的大小；（2）若a ＝23，c ＝2，求△ABC 的面积S 的大小．三、探究与拓展13．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，求tan C tan A ＋tan Ctan B的值．1.2 应用举例（一）【学习要求】1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题． 2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题． 3．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题．【学法指导】1．在我们将所求距离或方向的问题转化为一个求三角形的边和角的问题时，我们选择的三角形往往条件不够，这时需要我们寻找其他的三角形作为我们解这个三角形的支持，为我们解这个三角形提供必要的条件．2．在测量某物体高度的问题中，很多被测量的物体是一个立体的图形，而在测量过程中，我们测量的角度也不一定在同一垂面内，因此还需要我们有一定的空间想象能力，关键是画出图形，把已知量和未知量归结到三角形中来求解．【知识要点】1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做．一般来说，基线越长，测量的精确度．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A点的方位角为α.3．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线方时叫仰角，目标视线在水平线方时叫俯角．(如图所示)4．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()A．a，c，αB．b，c，αC．c，a，βD．b，α，β【问题探究】1．“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”．在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？2．现实生活中，人们经常遇到测量不可到达点之间的距离、底部不可到达建筑物的高度，以及在航海中航向的确定．这些问题究竟怎样解决？恰当利用我们所学过的正弦定理、余弦定理就可以解决上述问题，这节课我们就来探究上述问题．探究点一测量不可达距离的方法问题测量不可达距离有哪些基本类型？每种类型的解决方案是怎样的？探究表中是测量距离的基本类型及方案，请你根据所给图形，填写相应的结论：类别两点间不可达或不可视两点间可视但点不可达两点都不可达图形方法用余弦定理用正弦定理在△ACD中用正弦定理求AC 在△BCD中用正弦定理求BC 在△ABC中用余弦定理求AB结论AB＝AB＝①AC＝②BC＝③AB＝探究点二测量底部不可到达的建筑物的高度问题底部不可到达的高度测量有哪些基本类型？每种类型如何测量？探究下表是测量高度的基本类型及方案，请你根据所给图形，填写相应结论：类别点B与点C、D共线点B与点C、D不共线图形方法先用正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形求出AB在△BCD中先用正弦定理求出BC，在△ABC中∠ACB可知，即而求出AB结论AB＝AB＝【典型例题】例1为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一铅垂平面内．飞机已经测量的数据有A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示)．甲乙两位同学各自给出了计算MN的两种方案,请你补充完整.甲方案：第一步：计算AM.由正弦定理AM＝；第二步：计算AN.由正弦定理AN＝；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝.乙方案：第一步：计算BM.由正弦定理BM＝；第二步：计算BN.由正弦定理BN＝；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝.小结测量两个不可到达的点之间的距离问题．首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角的边长问题，然后在相关三角形中计算其他边．跟踪训练1在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为千米．例2如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知。

2020年高中数学人教A版必修5 同步作业本《等差数列的性质》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版必修5 同步作业本《等差数列的性质》一、选择题1.设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1=25，b 1=75，a 2＋b 2=100，那么由a n ＋b n 所组成的数列的第37项值为( )A ．0B ．37C ．100D ．-372.如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5B ．a 1＋a 8=a 4＋a 5C ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5D ．a 1a 8=a 4a 53.由公差d≠0的等差数列a 1，a 2，…，a n 组成一个新的数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…下列说法正确的是( )A ．新数列不是等差数列B ．新数列是公差为d 的等差数列C ．新数列是公差为2d 的等差数列D ．新数列是公差为3d 的等差数列4.在数列{a n }中，a 3=2，a 7=1，如果数列是等差数列，那么a 11等于( ){1an ＋1}A. B. C. D ．11312235.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( )A ．-2B ．-3C ．-4D ．-56.若方程(x 2-2x ＋m)(x 2-2x ＋n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m-n|=( )14A ．1 B. C. D.341238二、填空题7.在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2-3x-5=0的根，则a 5＋a 8=________．8.数列{a n }满足递推关系a n =3a n-1＋3n -1(n∈N *，n ≥2)，a 1=5，则使得数列为等差数列{an ＋m 3n }的实数m 的值为________．9.已知数列{a n }满足a 1=1，若点在直线x-y ＋1=0上，则a n =___________．(an n ，an ＋1n ＋1)10.若数列{a n }为等差数列，a p =q ，a q =p(p≠q)，则a p ＋q =______________．三、解答题11.在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5=30，a 6＋a 7＋…＋a 10=80，求a 11＋a 12＋…＋a 15.12.已知无穷等差数列{a n }，首项a 1=3，公差d=-5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n }．(1)求b 1和b 2；(2)求数列{b n }的通项公式；(3)数列{b n }中的第110项是数列{a n }中的第几项？13.在数列{a n }中，a 1=1，3a n a n-1＋a n -a n-1=0(n≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列是等差数列；{1an}(2)求数列{a n }的通项公式．答案解析1.答案为：C ；解析：设c n =a n ＋b n ，则c 1=a 1＋b 1=25＋75=100，c 2=a 2＋b 2=100，故d=c 2-c 1=0，故c n =100(n∈N *)，从而c 37=100.2.答案为：B ；解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8=a 4＋a 5.3.答案为：C ；解析：因为(a n ＋1＋a n ＋3)-(a n ＋a n ＋2)=(a n ＋1＋a n )＋(a n ＋3-a n ＋2)=2d ，所以数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…是公差为2d 的等差数列．4.答案为：B ；解析：依题意得＋=2·，所以=-=，所以a 11=.1a3＋11a11＋11a7＋11a11＋121＋112＋123125.答案为：C ；解析：设该数列的公差为d ，则由题设条件知：a 6=a 1＋5d>0，a 7=a 1＋6d<0.又因为a 1=23，所以即-<d<-，又因为d 是整数，所以d=-4.{d >－235，d <－236，)2352366.答案为：C ；解析：设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4=a 2＋a 3=2，再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d=2，因为a 1=，所以d=，所以a 2=＋=，a 3=＋1=，a 4=＋=，14121412341454143274所以|m-n|=|a 1a 4-a 2a 3|==.|14×74－34×54|127.答案为：3；解析：由已知得a 3＋a 10=3.又数列{a n }为等差数列，所以a 5＋a 8=a 3＋a 10=3.8.答案为：- ；12解析：a 1=5，a 2=3×5＋32-1=23，a 3=3×23＋33-1=95，依题意得，，成等差数列，所以2·=＋，所以m=-.5＋m 323＋m 3295＋m 3323＋m 325＋m 395＋m 33129.答案为：n 2解析：由题设可得-＋1=0，即-=1，所以数列是以1为公差的等差数an n an ＋1n ＋1an ＋1n ＋1an n {an n}列，且首项为1，故通项公式=n ，所以a n =n 2.an n 10.答案为：0；解析：法一：因为a p =a q ＋(p-q)d ，所以q=p ＋(p-q)d ，即q-p=(p-q)d ，因为p≠q，所以d=-1.所以a p ＋q =a p ＋(p ＋q-p)d=q ＋q×(-1)=0.法二：因为数列{a n }为等差数列，所以点(n ，a n )在一条直线上．不妨设p ＜q ，记点A(p ，q)，B(q ，p)，则直线AB 的斜率k==-1，如图所示，由图知OC=p ＋q ，即点C 的坐标为(p ＋q ，0)故a p ＋q =0.p －q q －p11.解：法一：因为1＋11=6＋6，2＋12=7＋7，…，5＋15=10＋10，所以a 1＋a 11=2a 6，a 2＋a 12=2a 7，…，a 5＋a 15=2a 10.所以(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)=2(a 6＋a 7＋…＋a 10)．所以a 11＋a 12＋…＋a 15=2(a 6＋a 7＋…＋a 10)-(a 1＋a 2＋…＋a 5)=2×80-30=130.法二：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 5，a 6＋a 7＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 15也成等差数列，即30，80，a 11＋a 12＋…＋a 15成等差数列．所以30＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)=2×80，所以a 11＋a 12＋…＋a 15=130.12.解：(1)由题意，等差数列{a n }的通项公式为a n =3＋(n-1)(-5)=8-5n ，设数列{b n }的第n 项是数列{a n }的第m 项，则需满足m=4n-1，n ∈N *，所以b 1=a 3=8-5×3=-7，b 2=a 7=8-5×7=-27.(2)由(1)知b n ＋1-b n =a 4(n ＋1)-1-a 4n-1=4d=-20，所以新数列{b n }也为等差数列，且首项为b 1=-7，公差为d′=-20，所以b n =b 1＋(n-1)d′=-7＋(n-1)×(-20)=13-20n.(3)因为m=4n-1，n ∈N *，所以当n=110时，m=4×110-1=439，所以数列{b n }中的第110项是数列{a n }中的第439项．13. (1)证明：由3a n a n-1＋a n -a n-1=0，得-=3(n≥2)．1an 1an －1又因为a 1=1，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．{1an}(2)解：由(1)可得=1＋3(n-1)=3n-2，所以a n =.1an 13n －2又当n=1时，a 1=1，符合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n =.13n －2。

高中数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.5 第2课时等比数列的前n项和公式的性质及应用含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n解析：S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q ＝3－2a n .答案：D2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2－a 5＝0，则S 4S 2＝( )A ．5B ．8C ．－8D ．15解析：∵8a 2－a 5＝0，∴8a 1q ＝a 1q 4，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴S 4S 2＝1－q 41－q 2＝1＋q 2＝5.答案：A3．已知在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( ) A ．514 B ．513 C ．512D ．510解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝18，a 1q ＋a 1q 2＝12，解得q ＝2或q ＝12.∵q 为整数，∴q ＝2.∴a 1＝2，∴S 8＝2(1－28)1－2＝29－2＝510.答案：D4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B.314 C.334D.172解析：由a 2a 4＝1⇒a 1＝1q 2，又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7，联立得：⎝⎛⎭⎫1q ＋3⎝⎛⎭⎫1q －2＝0，∴q ＝12，a 1＝4， S 5＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝314.答案：B5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝126，则n ＝________. 解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴S n ＝2(1－2n )1－2＝126，∴2n ＝64，∴n ＝6.答案：66．等比数列{a n }的公比q >0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________. 解析：由a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，得q n ＋1＋q n ＝6q n －1，即q 2＋q －6＝0，q >0，解得q ＝2，又∵a 2＝1，∴a 1＝12，∴S 4＝12·(1－24)1－2＝152.答案：1527．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，依题意得a 2＝a 1·q ＝q ，a 3＝a 1q 2＝q 2，S 1＝a 1＝1，S 2＝1＋q ，S 3＝1＋q ＋q 2，又3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(1＋q )＝3＋1＋q ＋q 2，所以q ＝3(q ＝0舍去)．所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1. 答案：3n －18．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明：log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋2>2log 0.5S n ＋1.证明：设{a n }的公比为q ，由已知得a 1>0，q >0. ∵S n ＋1＝a 1＋qS n ，S n ＋2＝a 1＋qS n ＋1，∴S n S n ＋2－S 2n ＋1＝S n (a 1＋qS n ＋1)－(a 1＋qS n )S n ＋1＝S n a 1＋qS n S n ＋1－a 1S n ＋1－qS n S n ＋1＝a 1(S n －S n ＋1)＝－a 1a n ＋1<0， ∴S n ·S n ＋2<S 2n ＋1.根据对数函数的单调性可以得到log 0.5(S n S n ＋2)>log 0.5S 2n ＋1，即log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋2>2log 0.5S n ＋1.9．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．解析：由题设知a 1≠0，S n ＝a 1·(1－q n )1－q，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2， ①a 1·(1－q 4)1－q＝5×a 1·(1－q 2)1－q ， ② 由②得1－q 4＝5(1－q 2)，(q 2－4)(q 2－1)＝0.(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0，因为q <1，解得q ＝－1或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①得a 1＝2，通项公式a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①得a 1＝12；通项公式a n ＝12×(－2)n －1.综上，当q ＝－1时，a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，a n ＝12×(－2)n －1.[B 组能力提升]1．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 10＝35，则S 10＝( ) A.1 0232B.1 0242C ．235D.1 0222解析：由题意知log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝35， ∴a 1·a 2·a 3·…·a 10＝235. ∴a 1·(a 1q )·(a 1q 2)·…·(a 1q 9)＝235.∴a 101q1＋2＋3＋…＋9＝235.∴a 101·245＝235，即a 101＝1210， ∴a 1＝12.∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝1 0232.答案：A2．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A ．a 1d >0，dS 4>0 B ．a 1d <0，dS 4<0 C ．a 1d >0，dS 4<0 D ．a 1d <0，dS 4>0解析：因为{a n }是等差数列，a 3，a 4，a 8成等比数列，所以(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )⇒a 1＝－53d ，所以S 4＝2(a 1＋a 4)＝2(a 1＋a 1＋3d )＝－23d ，所以a 1d ＝－53d 2<0，dS 4＝－23d 2<0.答案：B3．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________．解析：由题意可知q ＝2，设该数列为a 1，a 2，a 3，…，a 2n ，则a n ＋a n ＋1＝24，又a 1＝1， ∴q n －1＋q n ＝24，即2n －1＋2n ＝24，解得n ＝4，∴项数为8项．答案：84．(2019·高考全国Ⅰ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设{a n }的公比为q ，于是a 1(1＋q 2)＝10，① a 1(q ＋q 3)＝5，②联立①②得a 1＝8，q ＝12，∴a n ＝24－n ，∴a 1a 2…a n ＝23＋2＋1＋…＋(4－n )＝2－12n n 2＋72n n ＝2－12 (n －72 )2＋498≤26＝64.∴a 1a 2…a n的最大值为64. 答案：645．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝5，S 6＝36， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，6a 1＋6×52d ＝36，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋52d ＝6，∴a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，(n ∈N *)． (2)∵b n ＝2a n ＝22n －1， ∴T n ＝21＋23＋25＋…＋22n －1 ＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，数列{b n }中，b 1＝1，点P (b n ，b n＋1)在直线x －y ＋2＝0上．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，求T n .解析：(1)由S n ＝2a n －2得S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a na n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝S 1＝2a 1－2，∴a 1＝2，∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＝2n .∵点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上， ∴b n －b n ＋1＋2＝0，即b n ＋1－b n ＝2， ∴{b n }是等差数列．又b 1＝1，∴b n ＝2n －1.(2)∵T n ＝1×2＋3×22＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)·2n ，① ∴2T n ＝1×22＋3×23＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)2n ＋1.② ①－②，得－T n ＝1×2＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)·2n ＋1 ＝2＋2·22－2n ·21－2－(2n －1)2n ＋1＝2＋4·2n －8－(2n －1)2n ＋1＝(3－2n )·2n ＋1－6. ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.。

人教a版高中数学必修5配套课件：2.5.1等比数列的前、n项和

(2)运用等比数列的前 n 项和公式要注意公比 q＝1 和 q≠1 两种情形，在解有关的方程组时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
【变式与拓展】
1．(2013 年新课标Ⅰ)设首项为 1，公比为23的等比数列{an}
的前 n 项和为 Sn，则( D ) A．Sn＝2an－1 C．Sn＝4－3an
2．5 等比数列的前 n 项和
2．5.1 等比数列的前 n 项和
【学习目标】 1．掌握等比数列{ an}前 n 项和公式． 2．通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法．
等比数列{ an}的前 n 项和
等比数列前 n 项和公式为___S_n＝__a_1_1_1－_－_q_q_n___ (q≠1)，
解：由题意，得
若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．此时，a3＝2. 若 q≠1，则 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6. 解得q＝1(舍去)或q＝－2.此时a3＝8.
综上所述，a3＝2，q＝1或a3＝8，q＝－2.
[方法·规律·小结] 1．用等比数列前 n 项和公式，应注意公比 q 是否等于 1. 2．用错位相减法不仅能推导等比数列求和公式，还可以在其他特定类型的数列求和中应用．
在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前 n 项和公式是解决问题的关键．
【变式与拓展】 3．已知在等比数列{an}中，a1＝13，q＝13. (1)Sn 为数列{an}前 n 项的和，证明：Sn＝1－2an；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公
B．Sn＝3an－2 D．Sn＝3－2an
题型 2}的各项均为正数，其前 n 项中，数值最大的一项是 54，若该数列的前 n 项之和为 Sn，且 Sn＝80， S2n＝6560，求： (1)前 100 项之和 S100； (2)通项公式 an.

2020年高中数学人教A版必修5 课后作业本《等差数列的前n项和公式的性质及应用》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版必修5 课后作业本《等差数列的前n 项和公式的性质及应用》一、选择题1.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5=3，则S 5=( )A ．5B ．7C ．9D ．112.数列{a n }为等差数列，若a 1=1，d=2，S k ＋2-S k =24，则k=( )A ．8B ．7C ．6D ．53.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=12，S 4=20，则S 6=( ) A ．16 B ．24 C ．36 D ． 484.设{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则数列{a n }的前8项和为( )A ．128B ．80C ．64D ．565.数列{a n }是等差数列，a 1＋a 2＋a 3=-24，a 18＋a 19＋a 20=78，则此数列的前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．2206.若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项7.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m-1＋a m ＋1-a 2m =0，S 2m-1=38，则m=( )A ．38B ．20C ．10D ．9二、填空题8.有两个等差数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别为S n 和T n .若S n T n =2n ＋1n ＋2，则a 8b 7等于________．9.已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5=105，a 2＋a 4＋a 6=99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________．10.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________．11.已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足A n B n =2n n ＋3，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9=________.12.数列{a n }的通项公式a n =ncos nπ2，其前n 项和为S n ，则S 2 016等于________．三、解答题13.设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，并且对于任意n ∈N *，a n 与1的等差中项等于S n ，求数列{a n }的通项公式．14.已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=-3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k =-35，求k 的值．15.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m ，最远一根电线杆距离电站1 550 m ，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工．若该汽车往返运输总行程为17 500 m ，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？16.已知数列{a n }，a n ∈N *，S n 是其前n 项和，S n =18(a n ＋2)2. (1)求证{a n }是等差数列；(2)设b n =12a n -30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．答案解析1.答案为：A ；解析：a 1＋a 3＋a 5=3a 3=3⇒a 3=1，S 5=5a 1＋a 52=5a 3=5.2.答案为：D ；解析：∵S k ＋2-S k =a k ＋1＋a k ＋2=a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d =2a 1＋(2k ＋1)d=2×1＋(2k ＋1)×2=4k＋4=24，∴k=5.3.答案为：D ；解析：设数列{a n }的公差为d ，则S n =n 2＋n n －12d ， ∴S 4=2＋6d=20，∴d=3，∴S 6=3＋15d=48.4.答案为：C ；解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 8=8a 1＋a 82=8a 2＋a 72=8×3＋132=64.5.答案为：B ；解析：∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 20=a 2＋a 19=a 3＋a 18.又a 1＋a 2＋a 3=-24，a 18＋a 19＋a 20=78，∴a 1＋a 20＋a 2＋a 19＋a 3＋a 18=54.∴3(a 1＋a 20)=54.∴a 1＋a 20=18.∴S 20=20a 1＋a 202=180.6.答案为：A ；解析：∵a 1＋a 2＋a 3=34，① a n ＋a n-1＋a n-2=146，②又∵a 1＋a n =a 2＋a n-1=a 3＋a n-2，∴①＋②得3(a 1＋a n )=180，∴a 1＋a n =60.③ S n =a 1＋a n ·n 2=390.④ 将③代入④中得n=13.7.答案为：C ；解析：由等差数列的性质，得a m-1＋a m ＋1=2a m ，∴2a m =a 2m .由题意得a m ≠0，∴a m =2.又S 2m-1=2m －1a 1＋a 2m －12=2a m 2m －12=2(2m-1)=38，∴m=10.8.答案为：3115；解析：由{a n }，{b n }是等差数列，S n T n =2n ＋1n ＋2，不妨设S n =kn(2n ＋1)，T n =kn(n ＋2)(k≠0)，则a n =3k ＋4k(n-1)=4kn-k ，b n =3k ＋2k(n-1)=2kn ＋k.所以a 8b 7=32k －k 14k ＋k =3115.9.答案为：20；解析：由已知得3a 3=105,3a 4=99，∴a 3=35，a 4=33，∴d=-2，a n =a 4＋(n-4)(-2)=41-2n ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1<0，得n=20.10.答案为：3；解析：S 奇=a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9=15，S 偶=a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10=30，∴S 偶-S 奇=5d=15，∴d=3.11.答案为：32；解析：a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9=3a 1＋12d 13b 1＋12d 2=a 5b 5=a 1＋a 92b 1＋b 92=9×a 1＋a 929×b 1＋b 92=A 9B 9=2×99＋3=32.12.答案为：1 008；解析：由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2，a 5＋a 6＋a 7＋a 8=2，…，a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4=2，k ∈N ，故S 2 016=504×2=1 008.13.解：由题意知，S n =a n ＋12，得：S n =a n ＋124， ∴a 1=S 1=1，又∵a n ＋1=S n ＋1-S n =14[(a n ＋1＋1)2-(a n ＋1)2]， ∴(a n ＋1-1)2-(a n ＋1)2=0.即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1-a n -2)=0，∵a n ＞0，∴a n ＋1-a n =2，∴{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列．∴a n =2n-1.14.解：(1)设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n =a 1＋(n-1)d.由a 1=1，a 3=-3可得1＋2d=-3，解得d=-2.从而a n =1＋(n-1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)可知a n =3-2n.所以S n =n[1＋3－2n ]2=2n-n 2. 进而由S k =-35可得2k-k 2=-35，即k 2-2k-35=0.解得k=7或k=-5.又k ∈N *，故k=7为所求结果．15.解：由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{a n }，则a n =1 550×2=3 100，d=50×3×2=300，S n =17 500.由等差数列的通项公式及前n 项和公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋n －1×300＝3 100， ①na 1＋n n －12×300＝17 500. ②由①得a 1=3 400-300n.代入②得n(3 400-300n)＋150n(n-1)-17 500=0，整理得3n 2-65n ＋350=0，解得n=10或n=353(舍去)，所以a 1=3 400-300×10=400.故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10=30(根)，最近的一趟往返行程400 m ，第一根电线杆距离电站12×400-100=100(m)．所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.16.解：(1)证明：当n=1时，a 1=S 1=18(a 1＋2)2，解得a 1=2. 当n≥2时，a n =S n -S n-1=18(a n ＋2)2-18(a n-1＋2)2，即8a n =(a n ＋2)2-(a n-1＋2)2，整理得，(a n -2)2-(a n-1＋2)2=0，即(a n ＋a n-1)(a n -a n-1-4)=0.∵a n ∈N *，∴a n ＋a n-1>0，∴a n -a n-1-4=0，即a n -a n-1=4(n≥2)．故{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列．(2)设{b n }的前n 项和为T n ，∵b n =12a n -30，且由(1)知a n =2＋(n-1)×4=4n -2， ∴b n =12(4n-2)-30=2n-31，故数列{b n }是单调递增的等差数列．令2n-31=0，得n=1512， ∵n ∈N *，∴当n≤15时，b n <0；当n≥16时，b n >0，即b 1<b 2<…<b 15<0<b 16<b 17<…，当n=15时，T n 取得最小值，最小值为T 15=－29－12×15=-225.。

高中数学第三章不等式章末复习课练习(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题

第三章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得x＞n或x＜m；若(x－m)(x－n)＜0，则可得m ＜x＜n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．3．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域．(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数，当B ＞0时，①Ax ＋By ＋C ＞0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的区域；②Ax ＋By ＋C ＜0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域．4．求目标函数最优解的两种方法(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值，把握三个条件(易错点) (1)“一正”——各项为正数；(2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到．专题一不等关系与不等式的基本性质1．同向不等式可以相加，异向不等式可以相减；但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(1)若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； (2)若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －a .2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．(1)若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ； (2)若a ＞b ＞0，0＜c ＜d ，则a c ＞bd.3．左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方：若a ＞b ＞0，则a n ＞b n或n a ＞nb . 4．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b ；若ab ＜0，a ＞b ，则1a ＞1b.[例1] 已知a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小．解：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝ a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a 2－b 2)a －b ab ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab，因为a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，所以(a －b )2＞0，a ＋b ＞0，ab ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＞0，即a 2b ＋b 2a ＞a ＋b .归纳升华不等式比较大小的常用方法(1)作差比较法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果． (2)作商比较法：常用于分数指数幂的代数式． (3)乘方转化的方法：常用于根式比较大小． (4)分子分母有理化． (5)利用中间量．[变式训练] (1)已知0＜x ＜2，求函数y ＝x (8－3x )的最大值； (2)设函数f (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)，求函数f (x )的最小值．解：(1)因为0＜x ＜2，所以0＜3x ＜6，8－3x ＞0，所以y ＝x (8－3x )＝13×3x ·(8－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号，所以当x ＝43时，y ＝x (8－3x )有最大值为163.(2)f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1，因为x ∈[0，＋∞)，所以x ＋1＞0，2x ＋1＞0，所以x ＋1＋2x ＋1≥2 2. 当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取最小值．此时f (x )min ＝22－1.专题二一元二次不等式的解法一元二次不等式的求解流程如下：一化——化二次项系数为正数．二判——判断对应方程的根．三求——求对应方程的根．四画——画出对应函数的图象．五解集——根据图象写出不等式的解集． [例2] (1)解不等式：－1＜x 2＋2x －1≤2； (2)解不等式a （x －1）x －2＞1(a ≠1)．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1＞－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＞0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x (x ＋2)＞0，所以x ＜－2或x ＞0；由②得(x ＋3)(x －1)≤0，所以－3≤x ≤1.将①②的解集在数轴上表示出来，如图所示．求其交集得原不等式的解集为{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}．(2)原不等式可化为a （x －1）x －2－1＞0，即(a －1)⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0(*)， ①当a ＞1时，(*)式即为⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0，而a －2a －1－2＝－a a －1＜0，所以a －2a －1＜2，此时x ＞2或x ＜a －2a －1. ②当a ＜1时，(*)式即为⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＜0，而2－a －2a －1＝aa －1，若0＜a ＜1，则a －2a －1＞2，此时2＜x ＜a －2a －1；若a ＝0，则(x －2)2＜0，此时无解；若a ＜0，则a －2a －1＜2，此时a －2a －1＜x ＜2. 综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜a －2a －1或x ＞2；当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜a －2a －1；当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a －2a －1＜x ＜2.归纳升华含参数的一元二次不等式的分类讨论(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解．(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况并加以讨论．(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x 1，x 2表示的形如a (x －x 1)(x －x 2)的形式时，往往需要对其根分x 1＞x 2、x 1＝x 2，x 1＜x 2三种情况进行讨论，或用根与系数的关系帮助求解．[变式训练] 定义在(－1，1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，某某数a 的取值X 围．解：因为f (x )的定义域为(－1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1，所以⎩⎨⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a ≠0，所以0＜a ＜2，①原不等式变形为f (1－a )＜－f (1－a 2)．由于f (x )为奇函数，有－f (1－a 2)＝f (a 2－1)，所以f (1－a )＜f (a 2－1)．又f (x )在(－1，1)上是减函数，所以1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.② 由①②可得0＜a ＜1，所以a 的取值X 围是(0，1)．专题三简单的线性规划问题线性规划问题在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，求如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少. [例3] 某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A ，1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：原料每种产品所需原料/t现有原料数/tAB甲 2 1 14 乙 1 3 18 利润/(万元/t)53____(1)在现有原料条件下，生产A ，B 两种产品各多少时，才能使利润最大？(2)每吨B 产品的利润在什么X 围变化时，原最优解不变？当超出这个X 围时，最优解有何变化？解：(1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤14.x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图所示：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品 245 t ，B 产品 225t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点，则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15.归纳升华解答线性规划应用题的步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数． (2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解． (5)答：作出答案．[变式训练] 已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3B ．4C.92D.112解析：法一：依题意得，x ＋1>1，2y ＋1>1，易知(x ＋1)·(2y ＋1)＝9，则(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2（x ＋1）（2y ＋1）＝29＝6，当且仅当x ＋1＝2y ＋1＝3，即x ＝2，y ＝1时，等号成立，因此有x ＋2y ≥4，所以x ＋2y 的最小值为4.法二：由题意得，x ＝8－2y 2y ＋1＝－（2y ＋1）＋92y ＋1＝－1＋92y ＋1，所以x ＋2y ＝－1＋92y ＋1＋2y ＝－1＋92y ＋1＋2y ＋1－1，≥292y ＋1·（2y ＋1）－2＝4，当且仅当2y ＋1＝3，即y ＝1时，等号成立．答案：B专题四成立问题(恒成立、恰成立等)[例4] 已知函数f (x )＝mx 2－mx －6＋m ，若对于m ∈[1，3]，f (x )<0恒成立，某某数x 的取值X 围．解：因为mx 2－mx －6＋m <0，所以m (x 2－x ＋1)－6<0，对于m ∈[1，3]，f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1×（x 2－x ＋1）－6<0，3×（x 2－x ＋1）－6<0，即为⎩⎪⎨⎪⎧1－212<x <1＋212，1－52<x <1＋52，计算得出：1－52<x <1＋52.所以实数x 的取值X 围：1－52<x <1＋52.归纳升华不等式恒成立求参数X 围问题常见解法(1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般将知道取值X 围的变量看作主元． (2)分离参数法：若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min ；若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max . (3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．[变式训练] 已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，某某数a 的取值集合．解：由y ≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立，所以Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a ≤0(必要条件)．再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解，即x 2－(a ＋4)x ＋4＝0有解，所以Δ＝(a ＋4)2－16≥0，解得a ≤－8或a ≥0. 综上即知a ＝－8或a ＝0时，y min ＝1，故所某某数a 的取值集合是{－8，0}．专题五利用分类讨论思想解不等式 [例5] 解关于x 的不等式x －ax －a 2<0(a ∈R)．分析：首先将不等式转化为整式不等式(x －a )(x －a 2)<0，而方程(x －a )(x －a 2)＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2，故应就两根a 和a 2的大小进行分类讨论．解：原不等式等价于(x －a )(x －a 2)<0.(1)若a ＝0，则a ＝a 2＝0，不等式为x 2<0，解集为∅； (2)若a ＝1，则a 2＝1，不等式为(x －1)2<0，解集为∅； (3)若0<a <1，则a 2<a ，故解集为{x |a 2<x <a }； (4)若a <0或a >1，则a 2>a ，故解集为{x |a <x <a 2}．归纳升华分类讨论思想解含有字母的不等式时，往往要对其中所含的字母进行适当的分类讨论．分类讨论大致有以下三种：(1)对不等式作等价变换时，正确运用不等式的性质而引起的讨论． (2)对不等式(组)作等价变换时，由相应方程的根的大小比较而引起的讨论． (3)对不等式作等价变换时，由相应函数单调性的可能变化而引起的讨论．[变式训练] 已知奇函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递减，α，β，γ∈R 且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0.试判断f (α)＋f (β)＋f (γ)的值与0的关系．解：因为f(x)为R上的减函数，且α>－β，β>－γ，γ>－α，所以f(α)<(－β)，f(β)<f(－γ)，f(γ)<f(－α)，又f(x)为奇函数，所以f(－β)＝－f(β)，f(－α)＝－f(α)，f(－γ)＝－f(γ)，所以f(α)＋f(β)＋f(γ)<f(－β)＋f(－γ)＋f(－α)＝－[f(β)＋f(γ)＋f(α)]，所以f(α)＋f(β)＋f(γ)<0.。

人教版A版高中数学必修5：正弦定理_课件25

2R 形 sinC＝ c ；
2R
cosB＝ 2bc
；
2R
a2＋c2－b2
形 (其中R是△ABC外接圆半径) cosC 2ac
式 ③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC ＝
④asinB＝bsinA，bsinC＝
a2＋b2－c2 2ab .
csinB，asinC＝csinA.
定理
正弦定理
余弦定理
①已知两角和任一边，求 ①已知三边，求各
b，c，若ccooss AB＝ab，则△ABC 一定是
()
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
解析：法一：由正弦定理得ccooss AB＝ab＝ssiinn BA， ∴sin Acos B＝cos Asin B，即sin(A－B)＝0，可得A－B＝0，∴A＝B. 法二：由余弦定理将角化为边，可得a＝b.
注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.
[精析考题]
[例3] (2011·山东高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别
为a，b，c.已知cos
A－2cos cos B
C＝2c－b a.
(1)求ssiinn CA的值；
(2)若cos B＝14，b＝2，求△ABC的面积S.
解决另一角和其他两条边；角；
的问 ②已知两边和其中一边的 ②已知两边和它们
题对角，求另一边和其他两的夹角，求第三边
角.
和其他两个角.
二、三角形常用面积公式 1.S＝12a·ha(ha表示边a上的高)； 2.S＝12absin C＝12acsin B ＝ 12bcsin A ； 3.S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．

人教A版高中数学必修五课件3.3.2简单的线性规划问题2.pptx

5．已知线性目标函数 z＝3x＋2y，在线性约束条件
x＋y－3≥0 2x－y≤0 y≤a
下取得最大值时的最优解只有一个，则实数 a
的取值范围是________．
x＋y－3≥0
解析：作出线性约束条件2x－y≤0
y≤a
表示的平面
区域，
如图中阴影部分所示．
• 因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行，根据图形及直线的斜率，可得实数a的取值范围是[2，＋∞)．
元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过 13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )
• A．12万元
B．20万元
• C．25万元D．27万元
解析：设该企业在一个生产周期内各生产甲、乙产品
x、y 吨，获得利润 z 万元，根据题意，得
3x＋y≤13
2x＋3y≤18 x≥0
• (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值和最小值．
• [注意] 画可行域时，要特别注意可行域各边的斜率与目标函数直线的斜率的大小关系，以便准确判断最优解．
• 2．最优解的确定
• 最优解的确定可有两种方法：
• (1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．
交点 A(4,5)时，目标函数 z＝200x＋300y 取到最小值为 2 300
元，故所需租赁费最少为 2 300 元．
• 答案： 2300
• 2．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产
品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万
规格类型钢板类型

人教课标版高中数学必修5《解三角形》章末总结

人教A 版必修五第一章《解三角形》章末复习知识梳理1.正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.2.余弦定理：（1）形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S ---=Sr (S=2cb a ++,r 为内切圆半径)=R abc 4(R 为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2BA +,sin 2C =cos 2BA ……在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =C c sin ，可求出角C ，再求b 、c.(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C.(3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C.(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理A a sin =B bsin ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，而通过A a sin =Bbsin 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A>90° A=90° A<90° a>b 一解一解一解 a=b无解无解一解a<ba>bsinA 两解无解无解 a=bsinA 一解a<bsinA无解9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.专题一：正、余弦定理的应用1．正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角． 2．余弦定理有两方面的应用：(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角．例1．.（2011江西卷17）．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，23a =，tantan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c例2．.（2009北京理）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,35A b ==。

2016-2017学年高中数学人教A版必修五第三章不等式第1节

身高超过 1．5 m h>1.5 全价票
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第十四页，编辑于星期五：十六点十五分。
1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系．
2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可．
【提示】利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将 2<a－b<4 与－2<a ＋b<2 两边相加得 0<a<3，又将－4<b－a<－2 与－2<a＋b<4 两边相加得出－ 3<b<2，又将该式与 0<a<3 两边相加得出－3<a＋b<3，多次使用了这种转化，导致了 a＋b 范围的扩大．
(2)×.因为“非负数”即为“不是负数”，所以 a－b≥0，故此说法错误． (3)√.因为不等式 x≥2 表示 x>2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的． (4)√.因为不等式 a≤b 表示 a<b 或 a＝b.故若 a<b 或 a＝b 中有一个正确，则 a≤b 一定正确．
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
阶
阶
段
段
一
三
3．1 不等关系与不等式
学
阶段二
业分层测
评
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第一页，编辑于星期五：十六点十五分。
1．了解不等式的性质．(重点) 2．能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)
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高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.2知识点总结含同步练习及答案

（2）因为
为整式不等式
解得 x <
3 或 x > 4，所以原不等式的解集为 2 3 ∣ {x ∣ x < 或x > 4} . ∣ 2
4.高次不等式的解法描述：高次不等式的解法解一元高次不等式一般利用数轴穿根法（或称根轴法）求解，其步骤是：（1）将 f (x) 最高次项系数化为正数；（2）将 f (x) 分解为若干个一次因式的乘积或二次不可分因式的乘积；（3）求出各因式的零点，并在数轴上依次标出；（4）从最右端上方起，自右至左依次通过各根画曲线，遇到奇次重根要一次穿过，遇到偶次重根要穿而不过；（5）记数轴上方为正，下方为负，根据曲线显现出的 f (x) 的值的符号变化规律，写出不等式的解集．例题：解不等式 (x + 2)(x + 1)2 (x − 1)3 (x − 2) < 0 ．解：不等式中各因式的实数根为 −2，−1，1 ，2 ．利用根轴法，如图所示．
2 )(x − a) ⩽ 0 ． a 2 2 ① 当 < a ，即 a > √2 时，原不等式的解集为 {x| ⩽ x ⩽ a}． a a 2 2 ② 当 > a ，即 0 < a < √2 时，原不等式的解集为 {x|a ⩽ x ⩽ }． a a 2 ③ 当 = a ，即 a = √2 时，原不等式的解集为 {x|x = √2 } ． a 2 （3）当 a < 0 时，原不等式化为 (x − )(x − a) ⩾ 0 ． a 2 2 ① 当 < a ，即 −√2 < a < 0 时，原不等式的解集为 {x|x ⩽ 或x ⩾ a} ． a a 2 2 ② 当 > a ，即 a < −√2 时，原不等式的解集为 {x|x ⩽ a或x ⩾ }． a a 2 ③ 当 = a ，即 a = −√2 时，原不等式的解集为 R． a