1.1二次根式
1.1 二次根式
(a ≥ −1)
(2)
1 (a < ) 2
(3)
(a为任何实数)
求二次根式中字母的取值范围的基本依 据是什么呢？ 据是什么呢？
①被开方数不小于零； 被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 分母中有字母时，要保证分母不为零。
1.x取何值时 下列二次根式有意义 取何值时,下列二次根式有意义 取何值时 下列二次根式有意义?
12 − n为一个整数 , 求自然数 n 的值 .
用 a (a ≥ 0)表示.
50米 米
?米 米
a米 米
塔座所形成的这个直角三角形的
2 斜边长为______________米。 斜边长为 a + 2500 米
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S， 圆形的下球体在平面图上的面积为 ， 则半径为____________. 则半径为 π
S
1、如图所示的值表示正方形的面积，则 如图所示的值表示正方形的面积， 正方形的边长是
知识回顾
什么叫做平方根? 什么叫做平方根 一般地，如果一个数的平方等于 ， 一般地，如果一个数的平方等于a，那 么这个数叫做a的平方根。 么这个数叫做 的平方根。 什么叫算术平方根? 什么叫算术平方根 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。 算术平方根
45 o 45 o 45
o
s = 502 + (25t ) 2 = 2500 + 625t 2
(2)当t=3时, s= 2500 + 625 × 32 = 8125 ≈ 90.14 东
一路下来，我们结识了很多新知识， 一路下来，我们结识了很多新知识， 你能谈谈自己的收获吗？说一说， 你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大 家一起来分享。 家一起来分享。
浙教版初中数学八年级下册《1.1二次根式》教学设计
一、引入（合作学习）：
根据图1—1所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：
直角三角形的斜边长是____________；正方形的边长是____________；
等边三角形的边长是_________。
首先是让学生进行自主学习，并在实际情境中写出表示算术平方根的式子。
提问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？
3、已知a.b为实数，且满足 求a的值
4、按下列程序运算，全班分成4个组，当x=1时，每人做一步，看哪一组完成得快.x取其他数试一试.
五、小结
师生共同完成：通过今天的学习，你有哪些收获或困惑？
六、布置作业
课本“作业题”及作业本。
补充练习：判断，下列各式中哪些是二次根式？
； ； ； ； ； ； （a＜0＝；
二、新课讲授
1、二次根式的概念：
（1）引导学生概括二次根式的定义：像 这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式叫做二次根式。为了方便，我们把一个数的算术平方根（如 ）也叫做二次根式。……即一个非负数的算术平方根。
（2）概念深化：
例2当x=4时，求二次根式 的值.
1、引导学生回顾代数式的值的概念和如何求代数式的值.2、指出二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.
四、课堂练习：
1、完成课本“课内练习”.
2、物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式h=5t2来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间，（1）把这个公式变形成用h表示t的公式；（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1秒）?
提问： 是不是二次根式？ 呢？ 呢？……学生对于上述的问题，在判断上会产生一定的歧义，此时应按照教参的要求进行教学： 、 是二次根式，而 不是二次根式，只能称为含有二次根式的代数式。此外对于 这样的代数式，他们的系数或常数项是二次根式，而整个代数式仍看做是整式。
(整理版)1.1二次根式
1.1 二次根式轻松入门知识点一:二次根式的概念1、一个正方形的面积为a,那么它的边长可表示为 ( ) A.2a B.21a C.a D.2a 2、判断以下代数式中，哪些是二次根式？ .)3()7();0()6(;22)5(;1)4(;9)3(;16)2(;21)1(222-≤-++++-m x x a a x a 答：_______________________________________. 知识点二:二次根式中被开方数所含字母的取值范围 3、假设32-a 是二次根式,那么字母a 应满足的条件是( ) A.23≠a B. 23≤a C. 23>a D. 23≥a 4、(1)当a 满足__________时, a2-有意义. (2)当21-a 有意义时,a 的取值范围是_________________.5、假设x x -+有意义,那么x 的取值范围是____________. 6. 使式子x -4有意义且取得最小值的x 的取值是( ) A.0 B.4 C.2 D.不存在. 知识点三:求二次根式的值7、当x=-2时,二次根式x 212-的值为_______. 8、当2-=x 时，代数式1352--x x 的值是 。
快乐晋级9、化简11x x -+-=______.10、假设a 、b 为实数，且满足|a －2|＋2b -＝0，那么b －a 的值为( )°角时，测得旗杆AB 在地面上的投影BC 长为24米，那么旗杆AB 的高度约是 米．〔结果保存3个有效数字，3≈〕 12、求以下二次根式中字母x 的取值范围:名师点睛 名题引路例1．x 取何值时，以下各式在实数范围内有意义.2)5(,32)4(,45)3(;21)2(;2)1(22--++++-++-x x x x xx x x分析：要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数 解：(1)要使2-x 有意义,那么x-2≥0,即x ≥2.∴当x ≥2时，2-x 在实数范围内有意义.(2)由x+1≥0,且2-x ≤0,得-1≤x ≤2.∴当-1≤x ≤2时,xx -++21在实数范围内有意义.(3)由5+x ≥0,且x+4≠0，得x ≥-5且x ≠-4.∴当x ≥-5且x ≠-4时, 45++x x 在实数范围内有意义.(4)由x 2+2x+3=x 2+2x+1+2 =(x+1)2+2>0,所以x 取任意实数.(5) 由-x 2-2==-(x 2+2)<0,得-x 2-2<0,所以无论x 取任何值,22--x 都无意义A30第11题图(1) 12-x ;(2) 32+x ;(3) 52-x ;(4) x x --+22;(5) 11-+x x ;(6); x x -2213、当x 分别取以下值时,求二次根式13-x 的值. (1)x=31;(2)x=-1;(3)x=1.14、小芳想在墙壁上钉一个三角架(如图),其中两直角边长度为3和2b,求斜边的长(用二次根式表示);假设斜边长为29cm,求一条直角边的长度.15、533+-+-=x x y ,求22y xy x +-的值.16、081=-++b a ,那么a-b 的值是多少?生活拓展17、实数a 满足aa a =-+-20092008,那么请求出a-2的值是多少?第14题图。
1.1 二次根式
2 a 3
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
1.求下列二次根式中字母x的取值范围：
2 2 4 x ;
课 1 x 1; 内 3 1 ; 4 5x. 1 3x 练 习 口答：求下列二次根式中字母a的取值范围：
a 4, b 3, 2S
2
像 a 2 4, b 3, 2S 这样表示的是算术平方根， 且根号内含有字母的代数式叫二次根式。
为了方便起见，我们把一个数的算术平方 根也叫二次根式。
例如：
5
2 3
也叫二次根式。
1、判断，下列各式中那些是二次根式？
① 5√② ⑤ 14 ⑧
3
③ 3x √ ⑥ ⑨
1.1二次根式
储备知识
试一试 :（1）说出下列各式的意义；并 求值
1 16, 81, 0, , 10; 49 3 （2） 3的平方根是______
3 (3) 3的算术平方根是_______
（3） 5有意义吗？为什么？
思考、 a 表示什么？a 需要满足什么条件？
正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。
切入点： 从代数式的非负性入手。
x 1 3.已知 ，你能求出 x的取值范围吗？ 3 x 切入点：分类讨论思想。
4.已知
10 a 为一个非负整数，试求非负整数 a的值
• 作业： • 1、课本作业题 • 2、作业本（1）：1.1
1
a 3; 2 1 ; 3 a 2 1. 3 a
例2. 当 x 分别取下列值时， 求二次根式 1 2 x 的值。 1 （1）x= -4 (2) x=0 (3) x 练习：1.当X= –2时，求二次根式
2015年浙江省瑞安市新纪元实验学校八年级下《1.1二次根式》循环导学案
瑞安市新纪元实验学校三学循环导学案
二次根式的概念
开放数中字母的取值范围
值；熟知二次根式有意义的条件
P4~5
式叫做二次根式为方便起见，把一个数的算术平方根做二次根式
6
导：判定二次根式的方法：首先从结构形式上看是否有二次根号，再看被开放数（式）是否为非负
当被开方数经配方后是非负数
取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
有意义
都必须是非负数分别取下列值时,
D.
,哪个一定不是二次根式……………………………………………………
且
义，
的坐标为
的长方形拼成如图所示的图案，其中四边形。
八年级数学下册二次根式二次根式的运算教学课件新版浙教版
ab
x2
xy 1 x2 y2
巩固提升：
1. 8 18 50 __0__. 2. 75 48 27 _6___3_.
3.3 2 4 1 1 8 _4__2__.
22
4. 12
1 3
11 3
__53___3_.
5. (2 2 3)2 12 =_4___3_ 2
6.( 2 3 5)( 2 3 5) =__4___2__1_0__
把下列各式化简(分母有理化)：
（1）－4 2 37
（2） 2a a＋b
（3） 2 3 40
解：（1）－4 2 ＝－4 2 • 7 ＝－4 14 .
3 7 3 7• 7
21
（2） 2a ＝ a＋b
2a a＋b
a＋b • a＋b
＝
2a a＋b a＋b
.
（3） 2 ＝
2
＝ 2 • 10 ＝ 20 ＝ 2 5 ＝ 5 .
3 25x
9y2
19 ＝ 19 ＝ 19
16
16 4
25x 5 x
9y2
3y
注意： 如果被开方数是带 分数，应先化成假 分数再进行运算。
把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过程叫做分
母有理化。
例：计算 1 3
5
2 3 2
27
3 8
2a
解：1 解法1: 3 3 3 5
5 5 55
解法2 :
5 26 5
3 6＝ 6
2
5
如果根号前 有系数，就 把系数相除， 仍旧作为二 次根号前的 系数
a
b
a b
a 0,b 0
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以
专题1.1 二次根式章末重难点题型(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题1.1 二次根式章末重难点题型【人教版】【考点1 二次根式相关概念】【方法点拨】1．二次根式：形如a （0 a ）的代数式叫做二次根式． 2．最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式．【例1】（2019春•浉河区校级月考）在式子，，，（y ≤0），和（a ＜0，b ＜0）中，是二次根式的有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【变式1-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最简二次根式是（ ） A ．①②B ．③④⑤C ．②③D ．只有④ 【变式1-2】（2019春•左贡县期中）二次根式：①； ②； ③； ④中，与是同类二次根式的是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④（2019春•海阳市期中）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n的值是（）【变式1-3】A．﹣1B．4或﹣1C．1或﹣4D．4【考点2 二次根式有意义条件】【方法点拨】二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．【例2】（2019春•泰山区期中）式子在实数范围内有意义的条件是（）A．x≥1B．x＞1C．x＜0D．x≤0【变式2-1】（2019春•西湖区校级期中）为使有意义，x的取值范围是（）A．x≥﹣2且x≠2B．x＞﹣2且x≠2C．x＞2D．x＞2或x≤﹣2【变式2-2】（2018春•西华县期中）使代数式有意义的整数x有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【变式2-3】（2019秋•安岳县校级期中）如果有意义，则x的取值范围（）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3【考点3 利用二次根式性质化简符号】【方法点拨】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．【例3】（2019春•海阳市期中）把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（）A．B．C．﹣D．﹣【变式3-1】（2019春•汉阳区期中）已知ab＜0，则化简后为（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a【变式3-2】（2018春•宜兴市期中）（a﹣1）变形正确的是（）A．﹣1B．C．﹣D．﹣【变式3-3】（2019春•城区校级期中）化简﹣x，得（）A．（x﹣1 ）B．（1﹣x）C．﹣（x+1 ）D．（x﹣1 ）【考点4 利用二次根式的性质化简】【方法点拨】二次根式的性质：（1））（）（02≥=a a a（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==）（）（）（00002a a a a a a a【例4】（2019春•庐阳区校级期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）A ．a ﹣b +3B ．a +b ﹣1C ．﹣a ﹣b +1D ．﹣a +b +1 【变式4-1】（2019春•丰润区期中）若2＜a ＜3，则＝（ ） A ．5﹣2aB ．1﹣2aC ．2a ﹣1D ．2a ﹣5【变式4-2】（2018秋•海淀区校级期中）实数a 、b 、C 在数轴上的位置所示，那么化简|c +a |+﹣的正确结果是（ ）A ．2b ﹣cB ．2b +cC ．2a +cD ．﹣2a ﹣c【变式4-3】（2018春•汉阳区期中）若0＜x ＜1，则﹣等于（ ）A ．B ．﹣C ．﹣2xD ．2x【考点5 二次根式的乘除运算】 【方法点拨】掌握二次根式的乘除法则 （1）），（00≥≥=⋅b a ab b a（2）），（00>≥=b a b aba 【例5】（2019春•邗江区校级期中）计算： （1）÷ （2）÷3×【变式5-1】（2018秋•松江区期中）计算：•（﹣）÷（a ＞0）【变式5-2】（2019秋•闸北区期中）计算：【变式5-3】（2019春•新泰市期中）化简下列式子：•3．【考点6 利用二次根式性质求代数式的值】【例6】（2019春•萧山区期中）已知，，求下列式子的值：（1）a2b+ab2；（2）a2﹣30b+b2；（3）（a﹣2）（b﹣2）．【变式6-1】（2019春•芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；（1）x2+y2；（2）．【变式6-2】（2019春•长白县期中）已知﹣＝2，求的值．【变式6-3】（2018秋•通川区校级期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．【考点7 二次根式的加减运算】【方法点拨】二次根式的运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并．【例7】（2019春•武昌区期中）计算：（1）（2）【变式7-1】（2019春•萧山区期中）计算下列各式：（1）；（2）+4﹣+．【变式7-2】（2018春•襄城区期中）计算：（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2【变式7-3】（2018春•罗山县期中）（1）（2）【考点8 二次根式的混合运算】【例8】（2019春•泰兴市校级期中）计算：（1）（2）3【变式8-1】（2019春•广东期中）计算（1）（）÷（2）（3）2﹣（）（）【变式8-2】（2019春•杭锦后旗期中）计算：（1）﹣×+（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）0【变式8-3】（2019春•莱州市期中）计算：（1）（2）【考点9 分母有理化的应用】【例9】（2019春•西城区校级期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和﹣的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝﹣＝因为﹣＞+，所以﹣＜﹣再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝当x＝2时，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2解决下述两题：（1）比较3﹣4和2的大小；（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．【变式9-1】（2019春•微山县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的例如：化简解：材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么＝m±n例如：化简解：+1【理解应用】（1）填空：化简的结果等于；（2）计算：①；②．【变式9-2】（2018秋•吴江区期中）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4﹣的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）计算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【变式9-3】（2019秋•唐河县期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝＝﹣1．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．请任用其中一种方法化简：①；②．【考点10 二次根式的应用】【例10】（2018春•嘉祥县期中）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？【变式10-1】（2019•太原一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝，则三角形的面积S＝．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝．（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．【变式10-2】已知一个三角形的三边长分别为12，，．（1）求此三角形的周长P（结果化成最简二次根式）；（2）请你给出一个适当的a的值，使P为整数，并求出此时P的值．【变式10-3】斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数a n可表示为[（）n﹣（）n]．（1）计算第一个数a1；（2）计算第二个数a2；（3）证明连续三个数之间a n﹣1，a n，a n+1存在以下关系：a n+1﹣a n＝a n﹣1（n≥2）；（4）写出斐波那契数列中的前8个数．。
2020春浙教版八下数学第1章二次根式作业设计
2020春浙教版八下数学第1章二次根式作业设计1.1 二次根式A 组1. 当x________时，x 4-3有意义。
2.当x =-2时，二次根式x 21-2的值为__________。
3.下列代数式：1,,1)1(,31,3-22222--+-+a x a b a ，，其中属于二次根式的是____________。
4.当m =-2时，二次根式42+m 的值为________。
5.判断题（对的打“√”，错的打“×”）（1）二次根式x 3-中字母x 的取值范围是x ≤0 。
（ ）（2）二次根式x 3-4中字母x 的取值范围是x ≤43。
（ ） （3）当x =-1时，二次根式224x -的值为2。
（ ）（4）当a =-4时，二次根式a 2-1的值为9-。
（ ）B 组6.若032=++-y x ，则x ，y 的值需满足（ ）A.x =-2且y =3B.x =2且y =3C.x =2且y =-3D.x =-2且y =-37.使代数式22-1+x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A.x ≠-2 B.x ≤21且x ≠-2 C.x ＜21且x ≠-2 D.x ≥21且x ≠-2 8.若a 为正整数，a -5为整数，则a 的值可以是________。
9.若二次根式62-+x 有意义，化简：x x ---74。
10. 若x ，y 均为实数，且41331+---=x x y ，求y -6x 的值。
参考答案1. 43≤分析：由题意知3-4x ≥0，解得x 43≤. 2. 33. 2222,1)1(,31,x a b a +-+ 4. 85. （1）√ （2）× （3）√ （4）×6. C7. B 分析：由题意知1-2x≥0，x+2≠0，得x≤21且x ≠-2。
故选B 。
8. 1，4，5 分析：因为a 为正整数，a -5为整数，所以当a=1时，a -5=2；当a=2时，a -5=3，不符合题意；当a=3时，a -5=2，不符合题意；当a=4时，a -5=1；当a=5时，a -5=0.故a 的值可以是1,4,5。
二次根式知识点
二次根式知识点一、二次根式的定义二次根式是指具有形式√a的数，其中a为非负实数。
在二次根式中，根号下的数a叫做被开方数。
二、二次根式的性质1. 二次根式的值始终为非负实数，即√a ≥ 0。
2. 二次根式的积仍然是一个二次根式，即√a · √b = √(a·b)。
3. 二次根式的商仍然是一个二次根式，即√a ÷ √b = √(a÷b)，其中b≠ 0。
4. 二次根式的乘方仍然是一个二次根式，即(√a)^n = √(a^n)，其中n为正整数。
5. 二次根式可以与整数运算，即√a + √b = √a + √b。
6. 同类项相加，即a·√b + c·√b = (a+c)·√b。
三、二次根式的化简1. 将二次根式改写成带有平方数因子的形式，如√(a ·b) = √a · √b。
2. 合并同类项，如√a + √a = 2√a。
3. 分解被开方数的因数，如√(a·a·b) = a√b。
4. 有理化分母，如分母有根号，可以将其乘以一个形如√b/√b的式子，使分母变为有理数。
四、二次根式的运算1. 二次根式的加法：将二次根式看作是整体进行运算，合并同类项，如√a + √b = √a + √b。
2. 二次根式的减法：使用减法的性质，将减法改写为加法，如√a -√b = √a + (-√b)。
3. 二次根式的乘法：使用分配律进行展开，合并同类项，如(√a +√b)·(√c + √d)。
4. 二次根式的除法：利用有理化分母将除法转化为乘法，然后进行乘法运算。
五、二次根式的应用1. 二次根式在几何中的应用：例如计算正方形的对角线长度，三角形中的边长等。
2. 二次根式在物理中的应用：例如求解速度、加速度等问题。
3. 二次根式在方程中的应用：例如求解二次方程的根。
六、常见的二次根式1. 2的二次根式约等于1.414，常用符号表示为√2。
二次根式的知识点汇总
二次根式的知识点汇总二次根式是数学中的重要概念之一，常见于代数、几何以及物理等领域。
下面将系统地总结和介绍与二次根式相关的知识点，包括定义、性质、运算、求解等内容。
定义：二次根式，也称为根式，通常表示为√a，其中a是一个非负实数，被称为被开方数。
根号√表示求平方根的运算，是指找到一个非负实数b，使得b的平方等于a，即b²=a。
其中，b被称为二次根式的值。
常见的二次根式有：1.√1=1，√0=0，√4=2，√9=3，√16=4，√25=5，√36=6，√49=7，……可以继续一直往下找；2.√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236，√6≈2.449，……这些值是无限不循环的无理数，不能精确表示为有限小数或分数。
性质：1.非负实数的平方根是非负实数，即对于任意非负实数a，有√a≥0；2.如果a≥b，则√a≥√b；3.对于任意的非负实数a和b，有√(a·b)=√a·√b；4.对于任意的非负实数a和b，有√(a/b)=√a/√b（其中b不等于0）；5.对于任意非负实数a和b，有√(a+b)≠√a+√b；6.对于非负实数a和b，有，√a-√b，≤√(，a-b，)；运算：1.二次根式的加减法：-两个相同根式相加或相减，直接将根号内的数相加或相减，根号不变。
-不同根式相加或相减，可以通过有理化的方法转换为相同根式后再进行运算。
2.二次根式的乘法：-两个二次根式相乘，可以直接将根号内的数相乘，根号不变。
3.二次根式的除法：-两个二次根式相除，可以直接将根号内的数相除，根号不变。
4.二次根式的化简：-化简一个二次根式，可以将根号内的数进行因式分解，并利用根式的性质进行合并和简化。
求解：在代数方程中，二次根式经常出现在方程的根的求解中。
一般而言，求解二次根式可以经过以下几个步骤：1.通过解方程的方法将二次根式转化为一个方程；2.平方处理，将方程中的二次根式平方并合并同类项；3.解得一个或两个方程，并判断方程的解是否满足题目给定的条件。
浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》说课稿
浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》说课稿一. 教材分析浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》是初中数学的重要内容，它为学生提供了研究函数、几何等高级数学的基础。
这一节内容主要介绍二次根式的定义、性质和运算方法，使学生能够理解和运用二次根式。
教材通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生探究二次根式的相关性质，培养学生的抽象思维能力。
二. 学情分析在学习本节内容之前，学生已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备了一定的逻辑思维和运算能力。
但二次根式较为抽象，学生可能难以理解其本质，因此需要教师在教学中引导学生通过实际问题去探究和理解二次根式。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解二次根式的定义，掌握二次根式的性质和运算方法，能运用二次根式解决实际问题。
2.过程与方法：通过探究二次根式的性质，培养学生抽象思维能力和运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.重点：二次根式的定义、性质和运算方法。
2.难点：二次根式的性质探究和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究法、合作学习法等，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、教学卡片等辅助教学，使抽象的二次根式形象化、具体化。
六. 说教学过程1.引入新课：通过实际问题引入二次根式，激发学生的学习兴趣。
2.讲解概念：讲解二次根式的定义，使学生理解并掌握二次根式的基本概念。
3.性质探究：引导学生分组讨论，探究二次根式的性质，如：单调性、奇偶性等。
4.运算方法：讲解二次根式的运算方法，让学生通过实际例题掌握加减乘除等运算。
5.应用拓展：布置一些实际问题，让学生运用二次根式解决，提高学生的应用能力。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出二次根式的定义、性质和运算方法。
主要包括以下几个部分：1.二次根式的定义2.二次根式的性质3.二次根式的运算方法八. 说教学评价通过课堂问答、练习题、课后作业等方式对学生的学习情况进行评价，关注学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面的全面发展。
1.1 二次根式 新浙教版
?
当x=-4时，求二次根式
1 2 x的值。
解：当x=-4时，
1 2 x 1 2 (4) 9 3
?
若二次根式 2 x 1 的值为3，求x的值。
2
解： 由题意得:
2x 1 3
2
两边同时平方得: 2 x 2
1 9 x 4
3、 a 1 中字母a需满足什么条件，才有 a 1 0 ？
a 1
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1 2 3 a 3
1 2 1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S， 则半径为____________.
S
如图所示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是
b-3
b3
a 2500
2
s
b3
你认为所得的各代数式的共同特点是什么?
1、都表示算术平方根
2、根号里面的式子都含有字母
x 2 y ( y 0), 5,
8, 2 x 2 2 x
7,
1 , 3
x 2 y ( y 0),
x2 y 2 , a 1
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 , - m (m≤0),
2
(4)
(5) xy (x,y 异号) ，
2
x 2
练习1：求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1
1 (2) 1 2a
冀教版数学八年级上册同步课件：1.1二次根式及其化简
(5)当x＝－3时，
x
1
3
2
无意义，∴
1
x 32 也无意义；
当x≠－3时，
x
1
32
＞0，∴
1
x 32
是二次根式．
∴
1 不一定是二次根式．
当a 0时，a2 a
归纳
运用 a 2 ＝a(a≥0)， a2 a 进行化简的方法：
(1)化简 a 2直接运用 a 2 ＝a(a≥0)．
(2)化简 a2 一般有两个步骤：①去掉二次根号，写成绝对值的情势， 即 a2 ＝|a|；②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简，即
a
a a 0，
8.已知 y 1 x x 1 2019，试求x+2y的值.
解：由题意知 1-x ≥ 0, x-1 ≥ 0
解得x=1， 所以 y=202X， 所以x+2y=1+2×202X=4035.
9.化简：
(1)
4
3
2 ；(2)
1 8
2
；
(3)
2
2 5 ；
(4) x2 2x 1 x2 6x 9 1 x＜3．
(a＜0)
变式练习2 若二次根式 x 5 有意义，则x的取值范围是 x≥﹣5 ．
知识点 2 二次根式的“双重”非负性
a (a≥0) 是一个非负数. 1.理解二次根式的非负性应从算术平方根入手，当a≥0时， a 表示a的 算术平方根，因此 a ≥0. 所以“二次根式”包含有两个“非负”即： (1)被开方数非负：a≥0；(2)二次根式的值非负： a ≥0.
1.1初三数学上 二次根式的除法
为什么a≥0 而b＞0？
因为b＝0时分母为0，没有意义。
例题1 (1) 15 1 49 15 1 49 (2) 3 100 64 = 49 1 =1 7 (3) 25x4 9y2
解： (1)
=
64 49
8 = 7
例题1 (1) 15 1 49 (2) 3 100 3 100 25x4 9y4 (3) 25x4 9y4 3 10
对于以上等式 中的数可以穿 “墙”而过， 等式中的数有 什么规律？
5 5 = 5 5 24 24
……
=
72 = 12 = 2 6 1 6 =
3 ×6 = 3 2
二次根式的除法运算，通常是采用化去分 母中的根号的方法来进行的。例如：
3
2
=
3 · 2
2 · 2
=
6
( 2 )2
=
6
2
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2 2 = 2 2 3 3 3 3 = 3 3 8 8 4 4 = 4 4 15 15
解： (2)
3 = 100 25x4 9y4
=
(3)
=
5x2 = 3y2
把பைடு நூலகம்得：
a = b a
a （a≥0 , b＞0）反过来， b
= a （a≥0 , b＞0）。 b b
运用这个式子可以进行简单的二次根式 的除法运算。
例题2 (1) 72 6 解: (1) 72 6 (2) 1 1 2 ÷ (2) 1 1 2 ÷ 1 6 3
积的算术平方根的性质：
ab = a × b (a≥0，b≥0)．
是用什么样的方法引出的？
观察下面的例子，并计算：
4 2 2 2 = ( ) = 9 3 3 4 9 = 2 3
二次根式的运算及化简求值技巧
二次根式的运算及化简求值技巧嘿，朋友们，今天咱们聊聊一个让人又爱又恨的话题——二次根式。
对，这就是那些看起来像“√2”、“√5”这种的根式。
别急，虽然听上去像是数学天书，其实也没那么难懂。
咱们一起理清楚，搞定这些小家伙，让它们乖乖听话！1. 二次根式是什么？1.1 根式的定义首先，咱们得搞清楚什么是二次根式。
简单来说，二次根式就是根号下的数字，比如√4、√9、√x。
这个√就是根号的意思，表示一个数的平方根。
举个例子，√4等于2，因为2的平方是4。
同理，√9等于3，因为3的平方是9。
是不是觉得有点小有趣？1.2 根式的分类接下来，根式的世界可不止这么简单。
根式可以分成几种类型。
比如，完全平方根和非完全平方根。
完全平方根就是可以被开平方的，像√9、√16；而非完全平方根就是像√2、√5，这些小家伙的平方根是个无理数，也就是小数点后面是无限的。
2. 二次根式的运算2.1 加减运算说到运算，大家可能会问：“根式怎么加减？”答案是，只有在根号下的数字一样的时候才能加减。
就像你不能把一只苹果和一只香蕉放一起当水果来吃，对吧？比如√2 + √2 就等于2√2，因为它们的根号下的数字相同，但√2 + √3 就不能直接相加，得留着搞清楚。
2.2 乘除运算那么，根式的乘除呢？这就简单多了。
乘法是根号里边的数字直接相乘，比如√2 × √3 就等于√(2 × 3)，也就是√6。
除法也差不多，比如√8 ÷ √2 就等于√(8 ÷ 2)，也就是√4，结果是2。
看吧，这个计算方法是不是特别直白？3. 二次根式的化简3.1 化简根式说到化简，二次根式的化简就是把它弄得更简单、更容易看懂。
比如√50，咱们可以把50拆成25 × 2，25是完全平方数，所以√50 可以化简成√(25 × 2) = 5√2。
看，这样不是更清晰了吗？3.2 利用平方数还有个技巧，就是利用平方数。
专题1.1 二次根式章末重难点题型(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题1.1 二次根式章末重难点题型【人教版】【考点1 二次根式的概念】【方法点拨】掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．【例1】（2020春•安庆期末）下列式子一定是二次根式的是（）A．√−x−2B．√x C．√a2+1D．√x2−2【变式1-1】（2020春•文登区期中）在式子，√x2（x＞0），√2，√y+1（y＝﹣2），√−2x（x＞0），√33，√x2+1，x+y中，二次根式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式1-2】（2020春•青云谱区校级期中）在式子√π−3.14，√a2+b2，√a+5，√−3y2，√m2+1，√|ab|中，是二次根式的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【变式1-3】（2019春•平舆县期末）下列各式中①√83；②√−(−b)；③√a 2；④√1|x|+0.1；⑤√x 2+2x +1一定是二次根式的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点2 二次根式有意义的条件（求取值范围）】【方法点拨】对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数 以及分式分母不为零．【例2】（2020春•文登区期末）若式子√m−1m−2在实数范围内有意义，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≤1且m ≠2C ．m ≥1且m ≠2D ．m ≠2【变式2-1】（2020•合肥校级期中）要使√2x −1+3−x 有意义，则x 的取值范围为（ ） A ．12≤x ≤3B ．12＜x ≤3C ．12≤x ＜3 D ．12＜x ＜3【变式2-2】（2020•日照二模）若使式子√2−x ≥√x −1成立，则x 的取值范围是（ ） A ．1.5≤x ≤2B ．x ≤1.5C ．1≤x ≤2D ．1≤x ≤1.5【变式2-3】（2020秋•北辰区校级月考）等式√a−3a−1=√a−3a−1成立的条件是（ ）A ．a ≠1B ．a ≥3且a ≠﹣1C ．a ＞1D ．a ≥3【考点3 二次根式有意义的条件（被开方数互为相反数）】【方法点拨】对于解决此类型的题目关键从被开方数中找出一对相反数，利用二次根式的被开方数是非负 数进行求解即可.【例3】（2020春•蕲春县期中）已知，x 、y 是有理数，且y =√x −2+√2−x −4，则2x +3y 的立方根为 ． 【变式3-1】（2019春•咸宁期中）若a ，b 为实数，且b =√a 2−9+√9−a 2a+3+4，则a +b 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．1或7D ．7【变式3-2】（2019秋•新化县期末）已知√2x +y −3+√x −2y −4=√a +b −2020×√2020−a −b ， （1）求a +b 的值； （2）求7x +y 2020的值．【变式3-3】（2019秋•南江县期末）已知√+√x +y −z =√+√求（z ﹣y ）2的值．【考点4 二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）】【方法点拨】对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母的符号，利用二次根式的性质即可化简.【例4】（2020春•沭阳县期末）已知a≠0且a＜b，化简二次根式√−a3b的正确结果是（）A．a√ab B．﹣a√ab C．a√−ab D．﹣a√−ab【变式4-1】（2020春•徐州期末）与根式﹣x√−1x的值相等的是（）A．−√x B．﹣x2√−x C．−√−x D．√−x【变式4-2】（2020春•东湖区校级月考）化简﹣a√1a的结果是（）A．√a B．−√a C．−√−a D．√−a【变式4-3】（2020春•柯桥区期中）把代数式（a﹣1）√11−a中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（）A．−√1−a B．√a−1C．√1−a D．−√a−1【考点5 二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）】【例5】（2020春•河北期末）若1≤x≤4，则|1−x|−√(x−4)2化简的结果为（）A．2x﹣5B．3C．3﹣2x D．﹣3【变式5-1】（2020•攀枝花）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简√(a+1)2+√(b−1)2−√(a−b)2的结果是（）A．﹣2B．0C．﹣2a D．2b【变式5-2】（2020春•潮南区期末）若a、b、c为三角形的三条边，则√(a+b−c)2+|b﹣a﹣c|＝（）A．2b﹣2c B．2a C．2（a+b﹣c）D．2a﹣2c【变式5-3】（2020春•邗江区校级期末）已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简√a2+|a ﹣c|+√(b−c)2−|b|．【考点6 最简二次根式的概念】【方法点拨】最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．【例6】（2020春•广州期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．√8B．√2x2y C．√ab2D．√3x2+y2【变式6-1】（2020春•包河区期末）在根式√xy、√12、√ab2、√x−y、√x2y中，最简二次根式有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式6-2】（2019秋•新化县期末）若二次根式√5a +3是最简二次根式，则最小的正整数a 为 ． 【变式6-3】（2019春•望花区校级月考）若√2m+3和√32m−n+1都是最简二次根式，则m +n ＝ ． 【考点7 同类二次根式的概念】【方法点拨】同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并． 【例7】（2019春•潍城区期中）下列二次根式：√32，√18，√43，−√125，√0.48，其中不能与√12合并的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式7-1】（2020春•西城区校级期中）若最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，则x 的值为（ ） A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝3【变式7-2】（2020春•赛罕区期末）若最简二次根式√3m +n ，2√4m −2可以合并，则m ﹣n 的值为 ． 【变式7-3】（2019春•随州期中）若最简二次根式√2x +y −53x−10和√x −3y +11是同类二次根式． （1）求x ，y 的值； （2）求√x 2+y 2的值． 【考点8 二次根式的加减运算】【方法点拨】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答． 【例8】（2019春•江夏区校级月考）计算： （1）3√3−√8+√2−√27 （2）7a √7a −4a 2√18a +7a √2a【变式8-1】（2019春•硚口区期中）计算：（1）2√12−6√13+3√48 （2）5√x 5+52√4x 5−x √20x【变式8-2】（2019春•江宁区校级月考）计算： （1）2√3+3√12−√48（2）32√4x −（15√x25−2√x 2）（x ＞0） 【变式8-3】（2019春•海陵区校级月考）计算 （1）√27−√45−√20+√75 （2）2√a −2b +5√4a −2b √a 2b(a ≥0，b ＞0) 【考点9 二次根式的乘除运算】【方法点拨】掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；②两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.【例9】（2019秋•闵行区校级月考）计算：√313÷(25√213)×(4√125)．【变式9-1】（2019秋•黄浦区校级月考）计算：nm √n3m 3⋅(−1m√n 3m3)÷√n 2m 3．【变式9-2】（2019春•徐汇区校级期中）化简：2x3y√2x3y ⋅(4x √9xy)÷(4x 2y √3x 2y)【变式9-3】（2019秋•嘉定区期中）计算：2b√ab •（−32√a 3b ）÷13√ba （a ＞0） 【考点10 二次根式的混合运算】【方法点拨】二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”； 【例10】（2020春•宜春期末）（1）计算：√3×√12+√6÷√2−√27；（2）化简：√18x +2x √x 32+x ÷√x 2．【变式10-1】（2020春•永城市期末）（1）计算：√12×√34+√24÷√6．（2）计算：(√5+√3)2−(√5+√2)(√5−√2)． 【变式10-2】（2020春•吴忠期末）计算： （1）（2√3−1）2+（√3+2）（√3−2）；（2）√48÷2√3−√27×√63+4√12．【变式10-3】（2020春•涪城区期末）计算： （1）（√3−2）（√3+2）﹣（√3−1）2+5； （2）（2√2x3−√10x •√15）÷√6x3． 【考点11 二次根式的化简求值】【例11】（2020春•涪城区校级月考）若x ，y 是实数，且y =√4x −1+√1−4x +13，求（23x √9x +√4xy ）﹣（√x 3+√25xy ）的值．【变式11-1】（2019春•洛南县期末）已知x =√5−√3y =√5+√3，求下列各式的值： （1）x 2﹣xy +y 2； （2）yx+xy ．【变式11-2】（2019春•台安县期中）已知x =12(√5+√3)，x =12(√5−√3)，求x 2﹣3xy +y 2的值． 【变式11-3】（2019秋•宝山区校级月考）已知x =b √2a+b−√2a−b ，y =b√2a+b+√2a−b，求x 2﹣xy +y 2的值．【考点12 分母有理化】【方法点拨】二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的． 【例12】（2020•唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如√3，√23，√3+1进一步化简：√3=√3√3×√3=5√33√23=√2×33×3=√63√3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=√3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简√27（2）化简√5+√3． （3）化简：√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√2n+1+√2n−1．【变式12-1】（2020春•淮安区校级期末）阅读下面计算过程：√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；√5+2=√5−2)(√5+2)(√5−2)=√5−2．求：（1）√7+√6的值．（2）√n+1+√n （n 为正整数）的值．（3）√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99的值．【变式12-2】（2020春•孟村县期末）观察下列格式，√5−12−√5−1，√8−22−√8−2，√13−32−√13−3，√20−42−√20−4（1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果 （3）用含n （n ≥1的整数）的式子写出第n 个式子及结果，并给出证明的过程． 【变式12-3】（2019春•微山县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化 通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的 例如：化简√3+√2解：√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2材料二：化简√a ±2√b 的方法：如果能找到两个实数m ，n ，使m 2+n 2＝a ，并且mn =√b ，那么√a ±2√b =√m 2+n 2±2mn =√(m ±n)2=m ±n 例如：化简√3±2√2解：√3±2√2=√(√2)2+12±2√2=√(√2±1)2=√2±1 【理解应用】 （1）填空：化简√5+√3√5−√3的结果等于 ；（2）计算： ①√7−2√10；②√2+1+√3+√2+2+√3+⋯+√2018+√2017+√2019+√2018．【考点13 复合二次根式的化简】【例13】（2020春•安庆期末）阅读理解题，下面我们观察：（√2−1）2＝（√2）2﹣2×1×√2+12＝2﹣2√2+1＝3﹣2√2．反之3﹣2√2=2﹣2√2+1＝（√2−1）2，所以3﹣2√2=（√2−1）2，所以√3−2√2=√2−1．完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：3+2√2；（2）化简：√4+2√3；（3）化简：√5−2√6．【变式13-1】（2020春•思明区校级月考）观察下式：（√2−1）2＝（√2）2﹣2•√2•1+12＝2﹣2√2+1＝3﹣2√2反之，3﹣2√2=2﹣2√2+1＝（√2−1）2根据以上可求：√3−2√2=√2−2√2+1=√(√2−1)2=√2−1求：（1）√5+2√6；（2）你会算√4−√12吗？【变式13-2】（2020秋•延庆县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将√a+2√b化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn=√b，则a+2√b可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得√a+2√b，化简：例如：∵5+2√6=3+2+2√6=（√3）2+（√2）2+2√6=（√3+√2）2．∴√5+2√6=√(√3+√2)2=√3+√2．请你仿照上例将下列各式化简：（1）√4+2√3；（2）√7−2√10．【变式13-3】（2019秋•常德期末）先阅读下列解答过程，然后再解答：形如√m+2√n的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得(√a)2+(√b)2=m，√a×√b=√n，那么便有：√m±2√n=√(√a±√b)2=√a±√b（a＞b）例如：化简√7+4√3：解：首先把√7+4√3化为√7+2√12，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：(√4)2+(√3)2=7，√4×√3=√12，所以√7+4√3=√7+2√12=√(√4+√3)2=2+√3．问题：①填空：√4+2√3=，√9+4√5=；②化简：√19−4√15（请写出计算过程）．【考点14 含二次根式的数式规律题】【例14】（2019秋•高邑县期末）观察下列各式：√1+112+122=1+11−12=112√1+122+132=1+12−13=116√1+132+142=1+13−14=1112请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）√1+142+152=1120（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：√1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；（3）利用上述规律计算：√5049+164（仿照上式写出过程）【变式14-1】（2019春•当涂县期末）观察下列各式：√1+112+122=1+11×2，√1+122+132=1+12×3，√1+132+142=1+13×4，…请利用你所发现的规律，（1）计算√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+⋯+√1+192+1102（2）根据规律，请写出第n个等式（n≥1，且n为正整数）．【变式14-2】（2020春•长岭县期末）观察下列各式：①√1+13=2√13，②√2+14=3√14；③√3+15=4√15，…（1）请观察规律，并写出第④个等式：；（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：；（3）请证明（2）中的结论．【变式14-3】（2020春•惠城区期末）观察下列各式及其验算过程：√2+23=2√23，验证：√2+23=√2×3+23=√233=2√23；√3+38=3√38，验证：√3+38=√3×8+38=√338=3√38（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想√4+415的变形结果并进行验证．（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．。
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式是在数学中常见的一种形式，它是指一个数的平方根或者一个方程的解的形式。
在二次根式中，常用的符号是“√”，表示平方根。
二次根式的定义是：对于非负实数a，√a表示满足b^2=a的非负实数b。
例如，√4=2，因为2^2=4。
二次根式中的运算规则是：1. 常数与二次根式的相乘：√a * √b = √(a * b)。
2. 二次根式之间的乘法：√a * √a = a 。
3. 二次根式与二次根式的相乘：√a * √b = √(a * b)。
4. 二次根式的乘法公式：(a + b) * (a + b) = a^2 + 2ab + b^2。
在二次根式的化简中，常用的方法有：1. 合并同类项：将具有相同根号内的数字合并在一起，例如√2 + √3可以合并为√2 + √3。
2. 分解因数法：找出根式中的因式，然后利用分解因式的方法化简。
3. 有理化分母：通过乘以分子分母的相等值，将分母中的二次根式化为整数。
二次根式在实际问题中的应用非常广泛，特别是在几何问题中。
例如，在计算三角形的周长或面积时，经常会出现二次根式的形式。
在求解二次方程的根时，二次根式也会被使用。
对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，其中a、b、c为已知实数，x为未知数，可以使用二次根式来求解方程的根。
此外，二次根式也在科学计算、工程设计和金融等领域中得到广泛应用。
在计算机科学中，二次根式常用于算法的复杂度分析和性能优化。
在金融领域中，二次根式用于计算复利和贷款利率等金融问题。
总结起来，二次根式是数学中一个重要的概念。
通过了解二次根式的定义、运算规则和化简方法，我们可以更好地理解二次根式的性质和应用。
在解决实际问题时，我们可以利用二次根式的知识，进行高效的计算和分析。
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1.1二次根式
傅苏球 2014年2月17日 任务一:探索二次根式的概念
1.回忆算术平方根概念,并用代数式表示:
2.根据下图所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的条件，完成以下填空：
直角三角形的边长是： ___________________________
正方形的边长是： ___________________________ 等腰直角三角形的的边长是： ___________________________ ▲你认为所得的各代数式的共同特点是什么？由此你可以得出二次根式概念吗?
____________________________________________________________________,叫二次根式. 任务二：确定二次根式内字母的取值范围
1+a 是二次根式吗？1+a 呢？
议一议：二次根式1+a 表示什么意义？此算术平方根的被开方数是什么？其中字母a 需满足什么条件？
▲二次根式根号内字母的取值范围必须满足 ___________________________。
例1、求下列二次根式中字母a 的取值范围：
()a 31- ()a
2112- ()()233-a
练习：求下列二次根式中字母a 的取值范围：
()
31+a ()a
--312 ()132+a
例2.当X= –4时，求二次根式 x 21-的值。
练习：当x 分别取下列值时，求二次根式x 24-的值：
1、x=0
2、x=1
3、x=‐1
2cm a cm （b – 3）cm² S(cm²)
任务三：知识拓展与应用
1.填空：
⑴若二次根式
2x 的值为3，则x 的值是____________________。
⑵2
2-+a a 有意义，则a 的取值范围是___________________________。
⑶1
213-+-x x 有意义，则x 满足___________________________。
⑷一个二次根式根号内字母x 的取值范围是x ＜1，则这个二次根式可以是_______________。
2.一艘轮船先向东北方向航行2小时，再向西北方向航行t 小时。
船的航速是每时25千米。
⑴、用关于t 的代数式表示船离开出发地的距离。
⑵、求当t=3时，船离开出发地多少千米。
（精确到头0.01千米）
3.物体自由下落时，下落距离h （米）可用公式 h=5t 2来估计,其中t （秒）表示物体下落所经过的时间.
（1）把这个公式变形成用 h 表示t 的公式
（2）一个物体从45米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒?。