有限自动机理论CH3PART2

NFA
0,1 001 0,1
q0
q2
例3-23构造NFA，识别
{0，1}上的语言， 该语言每个句子必须不包含001
NFA
1 0 0
0
q0
1
q1
q2
例3-24构造NFA，识别
{0，1}上的语言， 该语言的每个句子 以0开头，以1结尾。
NFA
0,1 q0 0
q1
1
q2
例3-25构造NFA，识别
，{S1}，{S2}，{A}，{S1，A}， {S2，A}，{S1，S2}，{S1，S2，A}
DFA状态转换函数
Q a b
{S1，S2} {S2,A} {A}
{S2,A}
{A} {A}
{S2,A} {A} {A}
DFA状态转换图
a,b
{S2, A}
a,b
a,b
{A}
{S1, S2}
注意：
若到达空集状态
表示FA不读入任何字母(即只 扫描空串时)， FA的状态不发生改变，并且 读头不进行移动，仍然指向当 前非空字符。
若允许FA在不读入任何字符 时,FA的状态可以发生改变， 则FA为带有ε 动作的FA
定义3-14带ε动作的有限状态自动机
带有ε动作的FA是一个五元式, ε-FA=(Q，∑，δ，Q0，F) Q，∑，Q0，F的含义同NFA
δ: Q×∑∪ {ε}→2Q δ(q，a) 2Q δ(q, ε) 2Q
即
具体
δ(q，a)= Φ 表示自动机在读入字母a后，自动 机停机。
δ(q,ε)={q} 表示自动机在状态q时，不读入任 何字母，自动机状态不变 并且读头不移动；
δ(q，a)={p1，p2，p3，…，pm} 表示自动机在读入字母a后，自动 机的状态可以选择地改变为p1 ，p2 ， p3，…，或者pm 并将读头向右移动一个单元；
具体地 对于NFA， (q，a)∈ Q×∑ δ(q，a) 有3种可能 δ(q，a) =Φ 或 δ(q，a) ={q1} 或 δ(q，a) ={q1 ，q2，…，qn}
δ(q，a)仍是一个状态转换函数， 只是其值域发生了改变。 所有δ(q，a)对应的所有子集元素 个数都为1时，NFA退化为DFA
NFA停机
３.4
不确定的有限状态自动机
每个FSL都是右线性语言 (定理3-1)
问题
每个右线性语言是不是一个FSL？
例
接收语言{aa，ab}的FA
省略陷阱状态
q1
a
b
q0
a q2
q3
a
该自动机识别的语言L={aa，ab} 是右线性语言； 但自动机不是DFA。
δ (q0，a)={q1，q2} 即没有到达确定的惟一的状态。 不确定的有限状态自动机--NFA
注意 ε-CLOSURE(q)与δ(q,ε)不同
进一步
对于状态集合P，定义 ε-CLOSURE(P) =
∪
q∈P
ε-CLOSURE（q）
定义3-16 扩展的状态转换函数 ε-NFA 扩展状态转换函数 δ *： 2Q ×∑*→2Q为 δ *（P，w）= Q′ 即自动机在状态集合P时，扫 描串w后到达的状态集合Q′。
δ(A，x)={B| A→xB在P中} ∪ {q|A→x在P中} 所以，L=L(G)=L(NFA)
而NFA又和DFA是等价的， 一个右线性语言也是一个FSL。
总之
右线性语言和FSL是等价的， 右线性文法产生右线性语言； 有限状态自动机接收FSL； 也都是正则集。
例3-26 构造NFA，识别 {0，1}上的语言 L={0n1m2k|n,m,k>0}
δ(q,ε)={q1，q2，q3，…，qn} 表示自动机在状态q时，不读入任 何字母，自动机的状态可以选择地 改变为q1，q2，q3，…，或qn 并且读头不移动；
注意 带有ε动作的FA一定是NFA。 一般，记为ε-NFA。
例3-28
使用ε-NFA接收语言 L={0*1*2*} 即 L={0n1m2k|n,m,k>=0}
即把NFA的一个状态集合当作是 DFA的一个状态。 则L=L(NFA)=L(DFA′)
NFA和DFA是可以互相转换的， 是等价的； 接收的语言类都是FSL。
例3-18
a S1
NFADFA
a,b
A a,b
b
S2
S1和S2是开始状态 A是唯一的接收状态 该NFA共有3个状态
对于DFA，最多可能有8个状态：
解
2)构造NFA接受该语言
解
3) 改造为DFA接受该语言：
{q0} {q1} {q2} {q3} {q1,q4} {q2,q4} {q3,q4}
a {q1} {q1,q4} {q2} {q3} {q1,q4} {q2} {q3} b {q2} {q1} {q2,q4} {q3} {q1} {q2,q4} {q3} c {q3} {q1} {q2} {q3,q4} {q1} {q2} {q3,q4}
NFA与DFA
NFA有一个可能的开始状态集 合和可能的下一状态集合 其余的同DFA。
NFA与DFA的重要区别在于 转移函数的不同。 δ(q，x)对应的是状态的一个子集
FA处于状态q
DFA对每个字母只有一个状态的转移。 NFA对某个字母可以有多个状态转移； NFA接收该字母时,从多个状态转移中 非确定地选择任意一个。
3.4.2 NFA的确定化
DFA可以转换为NFA NFA可以转换为DFA(确定化)
B=>A A的充分条件为B A=>B A的必要条件为B A当且仅当B 即A的充要条件为B
定理3-3
∑*的一个子集L是一个FSL，
充要条件为 存在NFA，使得L(NFA)=L。
证明：=> 必要性
若L是FSL，则有L=L(DFA）
0
q0
1
q1
例3-20构造NFA，识别
语言L={ w|w∈{a,b,c}+, w中最后字母与第一个字母相同}
1)给出该语言的正则表达式； 2)构造NFA接受该语言； 3)将NFA转换为等价的DFA。
解
1)
该语言的正则表达式: a(a+b+c)*a + b(a+b+c)*b + c(a+b+c)*c
对于串wa
解
2)构造NFA接受该语言
解
3)将NFA转换为等价的DFA
例:构造NFA，识别 {0，1}上的语言; 该语言的每个句子必须包含00
正则表达式为： (0+1)*00(0+1)*
NFA
0,1 0 0 0,1
q0
q1
q2
构造NFA，识别
{0，1}上的语言， 该语言的每个句子必须包含001
*001(0+1)* 正则表达式为：(0+1)
w= aα δ*(p， w ) =δ*(p， aα ) = ∪{δ*(q,α)| q∈δ*(p， a )}
L(NFA)表示被NFA所接收的语言 L(NFA)={w|w∈∑*且 δ*(Q0， w)∩F≠Φ}
它表示所有串w的集合
在NFA的状态图中，至少存在一 条路径 以w为标记，能使NFA从某个开 始状态到达某个接收状态。
例3-21构造NFA，识别

语言L={ w| w中倒数第二个字母肯定在前 面出现过}
+, w∈{a,b}
1)给出该语言的正则表达式； 2)构造NFA接受该语言； 3)将NFA转换为等价的DFA。
解
1) 该语言的正则表达式: (a+b)*a(a+b)*a(a+b) + (a+b)*b(a+b)*b(a+b)
对于字母表∑上的NFA，它能识 别的所有串的集合，称为NFA能识 别的语言。 记为 L(NFA)
问题
如何形式化定义L(NFA)?
定义3-11NFA扩展状态转换函数
给定NFA，扩展的状态转换函数
δ*：2Q×∑*→2Q 为 δ*(p，w)= Q′ 即NFA在状态集合p时，扫描串w 后到达可能的的状态集合Q′。
NFA在两种情况下自动停机： 将输入串扫描结束 或 δ (q，a)=Ф (即对应δ 没有定义)
在扫描一个串w时，NFA的状态发 生转换，可能会有多种情况： 可能在接收状态时终止； 可能在非接收状态时终止； 也可能在中途停止。
若至少存在一条路径可以使NFA 在扫描串w后到达接收状态 则串w能被NFA所识别。
{0，1}上的语言，该语言的句子 若以1结尾,则该字符串长度为偶数 若以0结尾,则该字符串长度为奇数
NFA (无ε )
q1
0 0,1 0,1
q2
1
q3
q4
思考
若还需要接收ε ，如何构造NFA？
一般：
NFA适于构造正则表达式代表的语言： 满足…条件 的语言 包含子串… 以串…开始或结束 (倒数)第…个字母是… …
NFA状态转移图
0
q0 1 2
0
q1
1
q2
2
q3
或
0
q0 1 2
0
q1
1
q2
2
q3
例3-27构造NFA，识别 {0，1}上的语言 L={0n1m2k|n,m,k>=0}
2 0 q0 0 q1 1 1 1 q2 2
q3
2
2
或 多个开始状态的NFA
2 0 q1 1 1 q2 2
2 q3
3.5 带ε动作的有限状态自动机 对于FA（DFA、NFA），有 δ (q，ε )=q δ *(q，ε )=q *(P，ε )=P δ
3.4.1不确定的有限状态自动机
定义3-10 NFA是一个五元式， NFA =（Q，∑，δ，Q0，F） 其中：