新课标全国统考区(山西、河南、河北)高三数学 名校最新试题精选分类汇编20 坐标系与参数方程 理
(完整版)各省高中数学会考试题
河北省高中数学会考试题一．选择题 （共12题，每题3分，共36分）在每小题给出的四个备选答案中，总有一个正确答案，请把所选答案的字母填在相应的位置上1.已知集合A={1，2，3}，B={2,3,4},则AUB=A {2,3}B {1,4}C {1,2,3,4}D {1,3,4}2. sin150.0 =A 21B - 21 C 23 D - 23 3.函数y=sinx 是A 偶函数，最大值为1B 奇函数，最大值为1C 偶函数，最小值为1D 奇函数，最小值为14.已知△ABC 中，cosA=21,则A=A 600B 1200 C300 或1500 D 600或1200 5. 如果a,b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是A a=bB a 2=b 2C a ·b=1D ∣a ∣≠∣b ∣6. 已知a=（1,1），b=（2,2），则a – b =A (1,1)B (1，-1)C (-1.-1)D (-1，1)7. 已知△ABC 中，a=6,b=8,c=10,则 cosA=A 54B 53C 52 D 51 8.已知等差数列{a n },a 1=1,a 3=5,则a n =A 2n-1B nC n+2D 2n+19.已知等比数列{a n },a 1=2,q=3,则a 3 =A 8B 12C 16D 1810.已知a ›b ›0，则A a c ﹥bcB -a ﹤-bC a 1﹥b 1D a c ﹥ac11.不等式x 2-x-2﹥0的解集为A （-1,2）B （-∞，-1）U （2，+∞）C （-1,2〕D 〔-1,2〕12.已知sinx=1,则cosx=A -1B 1C 不存在D 0 二．填空题，（共4题，每题5分）13.已知x,y 满足约束条 件 y ≤x ，则z=2x+y 的最大值是x+y ≤1y ≥-114.已知口袋里有5个红球，15个白球，则从口袋里任取一个球，取到的是红球的概率为15.已知函数y=Acosx 最大值为2，则A =16.已知四边形ABCD 中，AD =BC ,则四边形ABCD 的形状为三．解答题，（共4题，第17，18题每题10分，第19,20每题12分）17.已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},求（1）A ∪B,A ∩B(2)已知全集I={1,2,3,4,5,6,7},求C I A,C I B.18. 解不等式组x2-x-6≤0 的解集。
河南省商丘市(新版)2024高考数学统编版真题(评估卷)完整试卷
河南省商丘市（新版）2024高考数学统编版真题(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，则集合的真子集个数为（）A．8B．16C．31D．63第(2)题过圆外一点做圆的切线，切点为，若，则的最大值为（）A．B．C．D．8第(3)题为丰富老年人的精神文化生活，提高老年人的生活幸福指数，某街道举办以社区为代表队的老年门球比赛，比赛分老年男组和老年女组，男女组分别进行淘汰赛．经过多轮淘汰后，西苑社区的老年男子“龙马”队和老年女子“风采”队都进入了决赛．按照以往的比赛经验，在决赛中“龙马”队获胜的概率为，“风采”队获胜的概率为，（“龙马”队和“风采”队两队中只有一支队伍获胜的概率为（“龙马”队和“风采”队在比赛中互不影响），则西苑社区的“龙马”队和“风采”队同时获得冠军的概率为（）A．B．C．D．第(4)题下列说法不正确的是（）①命题“，”的否定是“,”；②“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件；③命题，，命题,，则为真命题；④“函数在上是减函数”，为真命题.A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④第(5)题已知函数满足，且函数为偶函数，若，则（）A．0B．1012C．2024D．3036第(6)题已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(7)题将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，可以得到函数的图象，若在上没有零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题设为直线与圆的两个交点，则A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，均与底面垂直，且，点分别为线段的中点，则下列说法正确的是（）A．直线与所在平面相交B．三棱锥的外接球的表面积为C．直线与直线所成角的余弦值为D．二面角中，平面，平面为棱上不同两点，，若，，则第(2)题已知定义域为的函数，满足，且，，则（）A．B．是偶函数C．D．第(3)题如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（）A．B．向量与夹角的余弦值为C．平面的一个法向量是D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题双曲线C：的左右焦点分别为，，离心率为2，过斜率为的直线交双曲线于A，B，则______.第(2)题已知，设，则函数的最大值为__________.第(3)题在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(4b-c)cos A=a cos C，且，则ABC的周长的取值范围___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某市拟在长为的道路的一侧修建一条供市民游玩的绿道，绿道的前一部分为曲线，该曲线段为函数的图像，且图像的最高点为，绿道的后一段为折线段，且（如图所示）.(1)求实数和的值以及，两点之间的距离；(2)求面积的最大值.第(2)题某汽车销售公司为了提升公司的业绩，现将最近300个工作日每日的汽车销售情况进行统计，如图所示.(1)求的值以及该公司这300个工作日每日汽车销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)以频率估计概率，若在所有工作日中随机选择4天，记汽车销售量在区间内的天数为，求的分布列及数学期望；(3)为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：抽奖区有两个盒子，其中盒中放有9张金卡､1张银卡，盒中放有2张金卡､8张银卡，顾客在不知情的情况下随机选择其中一个盒子进行抽奖，直到抽到金卡则抽奖结束（每次抽出一张卡，然后放回原来的盒中，再进行下次抽奖，中途可更换盒子），卡片结果的排列对应相应的礼品.已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率相同，求小明在首次抽奖抽出银卡的条件下，第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率.第(3)题已知F为抛物线的焦点，直线与C相切，，P为C上一点．(1)求C的方程及的最小值；(2)设直线l与C交于A，B两点，若C上存在点P，使得四边形APBF为平行四边形，证明：l过定点．第(4)题如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点．(1)证明：平面；(2)当直线BP与平面所成的角正弦值为时，求点D到平面的距离．第(5)题在等差数列中，.（1）求数列的通项；（2）若，求数列的前项和.。
河北省部分高中2024届高考一模数学含答案
数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}320B x x =∈->N ，则A B = （）A.{}1,0,1- B.{}0,1 C.{}1 D.{}2,32.已知复数z 满足2z z +=，4i z z -=-，则z =（）A.1B.2C.D.3.已知向量()2,a m = ，()1,1b m =+ ，且a 与b 方向相反，若()2,1c =，则a 在c 方向上的投影向量的坐标是（）A.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B.42,55⎛⎫⎪⎝⎭C.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D.42,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭4.函数()22cos 1xf x x =+的部分图像可能为（）A ．B ．C ．D ．5.某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男一女，则总的站排方法共有（）A.300种B.432种C.600种D.864种6.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点P ，A ，B ，C ，满足2PC =，PC ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，若ABC △的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为（）A.163π B.8π C.12π D.16π7.若数列{}n a 满足123n n n a a a +=+（0n a ≠且1n a ≠-），则202320231a a +与202220221a a +的比值为（）A.13B.12C.2D.38.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，满足12PF PF ⊥，以C的短轴为直径作圆O ，截直线1PF，则C 的离心率为（） A.53B.32C.23 D.33二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.数据2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位数是4B.若数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的标准差为s ，则数据12x ，22x ，32x ，…，2n x 的标准差为2sC.随机变量X 服从正态分布()1,2N ，若()304P X >=，则()1022P X <<=D.随机变量X 服从二项分布()4,B p ，若方差()34D X =，则()272128P X ==10.已知三棱锥S ABC -，则下列论述正确的是（）A.若点S 在平面ABC 内的射影点为ABC △的外心，则SA SB SC==B.若点S 在平面ABC 内的射影点为A ，则平面SBC 与平面ABC 所成角的余弦值为ABCSBCS S △△C.若90BAC ∠=︒，点S 在平面ABC 内的射影点为BC 的中点H ，则S ，A ，B ，C 四点一定在以H 为球心的球面上D.若90BAC ∠=︒，S ，A ，B ，C 四点在以BC 中点H 为球心的球面上，且S 在平面ABC 内的射影点的轨迹为线段BC （不包含B ，C 两点），则点S 在球H 的球面上的轨迹为以BC 为直径的圆（不包括B ，C 两点）11.投掷一枚质地不均匀的硬币，已知出现正面向上的概率为p ，记n A 表示事件“在n 次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是（）A.2A 与2A 是互斥事件B.()22P A p=C.()()()112n n P A p P A p+=-+ D.()()222n n P A P A +>第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若()()e 20xf x x xf =+'，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程为______.13.在()()62x y x y +-的展开式中含25x y 的系数为______.14.已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，AB 的中点为P ，以AB 为直径的圆与y 轴交于M ，N 两点，当MPN ∠取最大值时，此时sin MPN ∠=______.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（13分）已知函数()()22ln f x x ax x a =+-∈R .（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间[]1,2上单调递减，求a 的取值范围.16.（15分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos b c b A =-.（1）求证：2A B =；（2）若ABC △的面积为23a b =，求b .17.（15分）为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图①为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图②为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70%.（1）根据图①、图②中的数据，画出22⨯列联表，并根据小概率值0.05α=的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关？（2）用频率估计概率，在全市中学生中按经常整理错题与不经常整理错题进行分层随机抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈，求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X 的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.100.050.0250.0100.0050.001x α2.7063.841 5.024 6.6357.87910.82818.（17分）已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验，否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.（1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；（2）若规定试验者乙至多可进行()*n n ∈N轮试验（若第n 轮不成功，也停止试验），记乙在第()*,k k k n ∈≤N 轮使得试验成功的概率为k P ，则乙能试验成功的概率为()1nk k P n P ==∑，证明：()13P n <.19.（17分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，经过点1F 且倾斜角为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆交于A ，B 两点（其中点A 在x 轴上方），2ABF △的周长为8.（1）求C 的方程；（2）如图，将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面（平面12AF F ）与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面（平面12BF F ）互相垂直.（i ）若3πθ=，求异面直线1AF 和2BF 所成角的余弦值；（ii ）是否存在02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，使得折叠后2ABF △的周长为152？若存在，求tan θ的值；若不存在，请说明理由.参考答案及解析一、选择题1.B2.C3.B4.A5.B6.C7.D8.A二、选择题9.BCD10.ABD11.ACD三、填空题12.()2e 2ey x =--13.2414.2四、解答题15.解：（1）当0a =时，()22ln f x x x =-，定义域为()0,+∞，则()22222x f x x x x='-=-.（2分）令()0f x '>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<，故()f x 在1x =处取得极小值，()11f =，（4分）所以()f x 的极小值为()11f =，无极大值.（5分）（2）因为()f x 在区间[]1,2上单调递减，所以在区间[]1,2上，()0f x '≤，所以()220f x x a x =+-≤'，即22a x x≤-.（8分）令()22g x x x=-，只需()min a g x ≤，（9分）显然()g x 在区间[]1,2上单调递减，所以()()min 2143g x g ==-=-，（12分）所以3a ≤-，即a 的取值范围为(],3-∞-.（13分）16.（1）证明：（解法一）由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，因为2cos b c b A =-，所以22222b c a c bbc b+--=，（1分）所以22a b bc =+，（2分）因为2222cos 2222a c b c bc c b aB ac ac a b+-++====，（3分）所以222222222cos 1212222a a b bc b c b B b b b b ---⎛⎫-=⋅-=== ⎪⎝⎭，（4分）所以cos cos 2A B =，（5分）又A ，()0,B π∈，所以2A B =.（6分）（解法二）由正弦定理得sin sin cos 2sin C BA B-=，所以sin 2cos sin sin C A B B =+，（2分）因为A ，B ，C 为ABC △的内角，所以A B C π++=，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin cos cos sin sin A B A B B -=，（4分）即()sin sin A B B -=，（5分）又A ，()0,B π∈，所以2A B =.（6分）（2）解：（解法一）由（1）可知22a b bc =+，因为23a b =，所以2232b b bc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即54c b =，（8分）所以22222235924cos 321622b b b a bc C b ab b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===⋅⋅，（10分）因为()0,C π∈，所以sin 0C >，57sin 16C ==.（12分）记ABC △的面积为S ，则11357sin 22216b S ab C b ==⋅⋅⋅=所以解得8b =.（15分）（解法二）由正弦定理得sin sin a bA B=，即2sin cos sin a bB B B=，（7分）因为A ，()0,B π∈，所以sin 0A >，且sin 0B >，所以cos 2a B b=，（8分）又23a b =，所以3cos 4B =，所以7sin 4B ==，所以21cos cos 22cos 18A B B ==-=，所以37sin 8A =，（10分）所以()57sin sin sin cos cos sin 16C A B A B A B =+=+=.（12分）记ABC △的面积为S ，则11357sin 22216b S ab C b ==⋅⋅⋅=所以解得8b =.（15分）17.解：（1）由题意可得()0.00250.0050.01750.01201m ++++⨯=，解得0.015m =.（2分）数学成绩优秀的有10050%50⨯=人，不优秀的有10050%50⨯=人，经常整理错题的有()10040%20%60⨯+=人，不经常整理错题的有1006040-=人，经常整理错题且成绩优秀的有5070%35⨯=人，则数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理352560不经常整理152540合计5050100（4分）零假设为0H ：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，根据列联表中的数据，经计算得到可得()220.0510035251525253.841505060406x χ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯，（6分）根据小概率值0.05α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.（7分）（2）由分层随机抽样知随机抽取的5名学生中，经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，则X 的可能取值为0，1，2，经常整理错题的3名学生中，恰抽到k 人记为事件()0,1,2k A k =，则()()23225C C 0,1,2,3C k k k P A k -⋅==.（9分）由（1）知经常整理数学错题的学生中数学成绩优秀的学生占3576012=，数学成绩不优秀的学生占2556012=，参与座谈的2名学生中，经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到m 人记为事件()0,1,2m B m =，则()001P B A =，()01512P B A =，()2025*******P B A ⎛⎫==⎪⎝⎭，()11712P B A =，()11225735C 121272P B A =⨯⨯=，()22274912144P B A ⎛⎫== ⎪⎝⎭.()()()()()()()0001012020P X P A P B A P A P B A P A P B A ==⋅+⋅+⋅11223232222555C C C C 5251931C C 12C 144480=⨯+⨯+⨯=，()()()()()1112121P X P A P B A P A P B A ==⋅+⋅1123232255C C C 735119C 12C 72240=⨯+⨯=，()()()2322225C 49492C 144480P X P A P B A ==⋅=⨯=，（13分）故X 的分布列为X 012P19348011924049480（14分）则数学期()193119490120.7480240480E X =⨯+⨯+⨯=.（15分）18.（1）解：由题意得X 的可能取值为1，2，3，在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为13，所以()211139P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，（2分）依题意，在第二轮中，盒中有一个白球、两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为14，所以()2111219418P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（4分）易知()()()531126P X P X P X ⎡⎤==-=+==⎣⎦，（5分）所以X 的分布列为X 123P1911856（6分）数学期望()11549123918618E X =⨯+⨯+⨯=.（7分）（2）证明：当2k ≥时，不难知道()()2222111111..13412k P k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅-⋅⎢ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭++⎢⎥⎣⎦，（8分）因为()()2222111111..13412k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-⋅⎢ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭++⎢⎥⎣⎦()()()()()2222224351213431212k k k k k k ⨯+⨯⨯=⋅⋅⋯⋅⋅=⨯++++，所以()()()212112312312k P k k k k k ⎛⎫=⨯=-≥ ⎪++++⎝⎭.（11分）由（1）可知119P =，又11211931112P ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以()()()*21211312312k P k k k k k ⎛⎫=⨯=-∈ ⎪++++⎝⎭N ，（14分）所以()121111113233412nk k P n P n n =⎛⎫==⨯-+-++- ⎪++⎝⎭∑ ()1213323n =-<+，即()13P n <.（17分）19.解：（1）由椭圆的定义知122AF AF a +=，122BF BF a +=，所以2ABF △的周长48L a ==，所以2a =.（1分）又C 的离心率为12，所以12c a =，所以1c =，2223b a c =-=，（3分）所以C 的方程为22143x y +=.（4分）（2）（i ）联立直线l：)01y x -=+与22143x y +=，求得(A （因为点A 在x轴上方）及8,55B ⎛-- ⎝⎭.（5分）以O 为坐标原点，折叠后原y 轴负半轴、原x 轴、原y 轴正半轴所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,1,0F -，(A，8,,055B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，()20,1,0F ，所以(1F A = ，23313,,055BF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.（7分）记异面直线1AF 和2BF 所成角为ϕ，则12121213cos cos ,28F A BF F A BF F A BF ϕ⋅===.（9分）（ii ）设直线l 的方程为1my x =+，折叠前()11,A x y ，()22,B x y ，折叠后A ，B 在新图形中的对应点记为A '，B '，由22152A F B F A B ++'='''，228AF BF AB ++=，得12AB A B ''-=.（10分）联立221143my x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690m y my +--=，则122634m y y m +=+，122934y y m =-+，（11分）在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原x 轴仍然为x 轴，原y 轴正半轴所在直线为y 轴，原y 轴负半轴所在直线为z 轴），即()11,,0A x y '，()22,0,B x y '-，则()2221212A B x x y y +''=-+，()()221212AB x x y y =-+-所以()()()222221212121212AB A B x x y y x x y y -=-+--++''，（*）（12分）()()()122222212121212212x x y y x x y y =-+-+-++，()()()2222212121212124x x y y x x y y y y -+--++-，（**）由（*）（**()()22121212124x x y y y y -+--，（14分）因为()()()()22222121212121124x x y y m y y y y ⎛⎫-+-=+-= ⎪⎝⎭，所以()22222263611813434434m m m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即22222111814434434m m m ⎛⎫+⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，（16分）所以222121211834434m m m +=+++，解得22845m =，因为02πθ<<，所以1335tan 14m θ==.（17分）。
河北省石家庄市2024高三冲刺(高考数学)统编版考试(押题卷)完整试卷
河北省石家庄市2024高三冲刺（高考数学）统编版考试(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题某同学经过研究发现实际是一条双曲线，则该双曲线的焦距为（）A．B．2C．D．4第(2)题某高中高一学生从物化生政史地六科中选三科组合，其中选物化生组合的学生有600人，选物化地组合的学生有400人，选政史地组合的学生有250人，现从高一学生中选取25人作样本调研情况．为保证调研结果相对准确，下列判断错误的是（）A．用分层抽样的方法抽取物化生组合的学生12人B．用分层抽样的方法抽取政史地组合的学生5人C．物化生组合学生小张被选中的概率比物化地组合学生小王被选中的概率大D．政史地组合学生小刘被选中的概率为第(3)题已知函数，（其中），若的四个零点从小到大依次为，，，，则的值是A．16B．13C．12D．10第(4)题已知实数x，y满足条件，则的最大值是（）A．1B．C．D．3第(5)题是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为A．B．C．D．第(6)题已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为（）A．B．C．D．第(7)题如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（）A．B．C．D．第(8)题已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为( )A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知数列满足.给出以下两个命题：命题对任意，都有；命题，使得对成立.（）A．真B．假C．真D．假第(2)题已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数有两个极值点B．函数有3个零点C．函数的所有极值的和为2D．是函数图象的一条切线第(3)题已知圆上的三个点分别为，，，直线的方程为，则下列说法正确的是（）A．圆的方程为B．过作直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为C．若直线被圆截得的弦长为2，则的方程为或D．当点到直线的距离最大时，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为___________.第(2)题已知等比数列中，，，则______．第(3)题已知抛物线：，定点，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，，，是切点，则面积的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，E，F分别为AD，PC的中点.(1)证明：；(2)若BF与CD所成的角为，求平面BEF和平面ABE夹角的余弦值.第(2)题在中，内角，，的对边分别是，，已知，．（1）求的值；（2）若，求的面积．第(3)题在①，②这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．已知，，分别为的内角，，的对边，若，______，求面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．第(4)题如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，.(1)求直线与平面所成角的大小；(2)求点到平面的距离.第(5)题盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开后才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内装有正版海贼王手办，且每个盲盒只装一个.某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机抽取了400人进行问卷调查，并全部收回.经统计，有的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，男生占；而在未购买者当中，男生、女生各占.(1)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关？女生男生总计购买未购买总计(2)从购买该款盲盒的人中按性别用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取3人发放优惠券，求抽到的3人中恰有1位男生的概率.参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828。
河北省2024年高三秋季开学考试数学试题与答案
河北省2024年高三秋季开学考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2,A x x B x x a =∈≤=≤Z∣∣，若A B ⋂中有3个元素，则a 的取值范围是（）A ．[]0,1B ．[)0,1C ．()0,1D ．[]1,22．已知复数i(1i)z =-，则||z =（）A ．2BC ．5D3．若向量(2,3)a = ，(1,1)b =- ，则b 在a上的投影向量的坐标是（）A ．23,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．23,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．23,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭4．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2a =，3b =，()1cos 3A B +=，则c =（）AB ．4CD ．35．已知正方体的棱长为2，则该正方体的内切球的体积为（）A ．B ．π3C ．π3D ．4π36．已知变量x 与变量y 线性相关，x 与y 的样本相关系数为0.8-，且由观测数据算得样本平均数5x =，6y =，则由该观测数据算得经验回归方程可能是（）A ． 0.82y x =+B ．1y x =+$C ． 0.89y x =-+D ． 11y x =-+7．已知函数()()22e xf x x ax a =++，若()f x 在2x =-处取得极小值，则a 的取值范围是（）A ．()4,+∞B ．[)4,+∞C ．[)2,+∞D ．()2,+∞8．在平面直角坐标系xOy 中，直线:1l ax by +=上有且仅有一点P ，使2OP =，则直线l 被圆22:16C x y +=截得的弦长为（）A ．2B ．C ．4D ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若814S S =，则下列结论中正确的有（）A ．1212a d =B ．220S =C ．当0d >时，7170a a +>D ．当0d <时，717a a >10．平面内到两个定点,A B 的距离比值为一定值()1λλ≠的点P 的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点()()()1,0,4,0,0,0A B O ，动点P 满足12PA PB=，记点P 的轨迹为τ，则下列命题正确的是（）A ．点P 的轨迹τ的方程是224x y +=B ．过点()1,1N的直线被点P 的轨迹τ所截得的弦的长度的最小值是C ．直线40x y -+=与点P 的轨迹τ相离D ．已知点M 是直线:40L x y -+=上的动点，过点M 作点P 的轨迹τ的两条切线，切点为,C D ，则四边形OCMD 面积的最小值是411．已知()()()0.3,0.7,0.1P A P B P AB ===，则关于事件A 与事件B ，下列说法正确的有（）A ．事件A 与B 可能相互独立B ．事件A 与B 一定不互斥C ．()0.9P A B ⋃=D ．()()P A P B =三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．()52x y +的展开式中32x y 的系数是.（用数字作答）13．已知函数()31f x ax x a =-++，若()2f x ≤对任意[]1,0x ∈-恒成立，则实数a 的取值范围为.14．已知AB 是圆22:3O x y +=的直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=，则()2OM ON AB +⋅的最小值为.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(13分)如图，在ABC 中，AB =π4B ∠=，D 是BC 边上一点，且23ADC ∠=π，(1)求AD 的长；(2)若10CD =，求sin DAC ∠.16．(15分)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点，A ，B 分别是E 的左顶点和下顶点，F 是E 右焦点，π3AFB ∠=.(1)求E 的方程；(2)过点F 的直线与椭圆E 交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 分别与直线4x =交于不同的两点M ，N .设直线FM ，FN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.17．(15分)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，,M N 分别是,AB PC 的中点.(1)求证：//MN 平面PAD ；(2)求证：MN CD ⊥；(3)若PD 与平面ABCD 所成的角为45︒，求证：MN ⊥平面PCD .18．(17分)已知函数()31e 2xf x x x =⋅-.(1)求()f x 在()()0,0f 处的切线方程；(2)当1x ≥时，若()2f x kx x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围.19．(17分)某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有()*n n ∈N 份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验n 次；方式二：混合检验，将其中()*2k k k ∈≥N 且份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k 份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为()1k +次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为()01p p <<．(1)现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；(2)现取其中()*2k k k ∈≥N 且份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ．①若()()12E E ξξ=，求P 关于k 的函数关系式()p f k =；②已知181e p -=-，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？参考数据：ln 20.693=，ln 25 3.219=，ln 26 3.258=，ln 27 3.296=，ln 28 3.332=．河北省2024年高三秋季开学考试数学试题答案1．B 【分析】求出{}2,1,0,1,2A =--，再利用交集含义即可得到01a ≤<.【详解】{}{}22,1,0,1,2A x x =∈≤=--Z∣，要使A B ⋂中有3个元素，只需{}2,1,0A B =-- ，所以01a ≤<，2．B 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再利用复数的模长公式即可求解.【详解】因为2i(1i)i i 1i z =-=-=+，所以||z ==3．B【分析】根据向量的坐标运算可得1a a b =⋅=，再结合投影向量的定义运算求解.【详解】因为(2,3)a = ，(1,1)b =-，则231a a b =⋅=-+= ，所以b 在a上的投影向量2123,131313a b a a a ⎛⎫⋅⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4．A 【分析】由已知利用三角形内角和定理，诱导公式可求cos C 的值，进而利用余弦定理即可求解c 的值．【详解】解：因为2a =，3b =，1cos()cos(π)cos 3A B C C +==-=-，所以1cos 3=-C ，则由余弦定理可得c =5．D 【分析】根据正方体内切球特点即可得到球的半径，再利用球的体积公式即可.【详解】由正方体内切球的直径是正方体的棱长，所以22R =，即1R =，则球的体积344ππ33V R ==，6．D 【分析】根据相关系数的性质以及经验回归方程过样本中心点()5,6逐项分析判断.【详解】因为x 与y 的样本相关系数为0.80-<，可知x 与y 为负相关，故A ，B 错误；又因为经验回归方程过样本中心点()5,6，对于 0.89y x =-+，则0.85956-⨯+=≠，故C 错误；对于 11y x =-+，则5116-+=，故D 正确．7．A 【分析】利用求导得到导函数的零点2a-和2-，就参数a 分类讨论，判断函数()f x 的单调性，即可分析判断，确定参数a 的范围.【详解】由题意得，()()()()()()222e 4e 242e 22e x x x xf x x ax a x a x a x a x a x ⎡⎤=++++=+++=++⎣⎦'，由()0f x '=可得，2ax =-或2x =-，①若22a -=-，即4a =时，()()222e 0x f x x =+≥'，显然不合题意；②若22a -<-，即4a >时，当2a x <-或2x >-时，()0f x '>，即()f x 在(,)2a-∞-和(2,)-+∞上单调递增；当22ax -<<-，()0f x '<，()f x 在(,2)2a --上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极小值，符合题意；③若22a ->-，即4a <时，当<2x -或2x a >-时，()0f x '>，即()f x 在(,2)-∞-和(,)2a-+∞上单调递增；当22a x -<<-，()0f x '<，()f x 在(2,)2a--上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极大值，不符题意.综上所述，当4a >时，()f x 在2x =-处取得极小值，故a 的取值范围是()4,∞+.8．D 【分析】运用点到直线的距离公式，结合弦长公式求解即可.【详解】:1l ax by +=，化为一般式，即:10l ax by +-=，直线:1l ax by +=上有且仅有一点P ，使2OP =，则圆心到直线的距离2d OP ==,即2d ==22:16C x y +=圆心(0,0),4r =.l ===弦9．BC 【分析】对于A ，由等差数列求和公式结合已知即可验算；对于B ，由等差数列求和公式结合1212a d =-即可验算；对于CD ，由等差数列性质即可验算.【详解】对于A ，因为81114871413814220S a d a d S d ⨯⨯⎧=+=+=⎪⎨⎪≠⎩，所以1212a d =-，故A 错误；对于B ，221222122212221220222S a d d d ⨯⨯⨯=+=-+=，故B 正确；对于C ，当0d >时，71710212222222a d d a d a d ⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭+>，故C 正确；对于D ，当0d <时，()()22222271711212161661622a a a d a d d d d d ⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22291110022d d d ⎛⎫⎛⎫=--=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即717a a <，故D 错误.10．ACD 【分析】对于A ：设点(),P x y ，结合题意分析求解即可；对于B ：分析可知点()1,1N 在圆O 内，结合圆的性质分析求解；对于C ：求圆心到直线的距离，即可判断；对于D ：分析可知当OM L ⊥时，OM 取到最小值，四边形OCMD 面积取最小值，运算求解即可.【详解】对于选项A ：设点(),P x y ，因为12PAPB==，整理可得224x y +=，故A 正确；对于选项B ：因点P 的轨迹方程是224x y +=，圆心是O ，半径是2r=，且2ON =<，可知点()1,1N 在圆O 内，过点()1,1N的直线被圆O 所截得的弦最短时，点()1,1N 是弦的中点，根据垂径定理得弦的最小值是=B 错误；对于选项C ：圆心到直线:40L x y-+=的距离2d r ==>=，所以直线与圆相离，故C正确；对于选项D ：因为四边形OCMD 面积12222OCM S S CM ==⨯⨯=，由数形分析可知：当OM L ⊥时，OM 取到最小值d =所以四边形OCMD 面积取最小值4=，故D 正确；【点睛】方法点睛：对于BD ：先判断点、线与圆的位置关系，进而结合圆的性质分析最值.11．BCD 【分析】根据独立事件概率乘积公式判断A 选项，根据互斥事件定义判断B 选项，根据和的概率公式求解即可判断C 选项，应用对立事件概率和为1判断D 选项.【详解】由()()()0.21P A P B P AB ⋅=≠，可知事件A 与B 不是相互独立事件，故A 不正确；由()0.1P AB =，可知事件A 与B 一定不互斥，故B 正确；()()()()0.9P A B P A P B P AB ⋃=+-=，故C 正确；()1()0.7()P A P A P B =-==，故D 正确.12．【分析】利用通项中,x y 的指数确定r ，然后可得.【详解】因为()52x y +展开式的通项()55155C 22C rr r r r r r r T x y x y --+==，所以含32x y 的项为第3项，即2r =，所以32x y 的系数是2252C 40=.故答案为：4013．【分析】运用绝对值不等式解法求解，然后参变分离，结合导数和二次函数求最值即可.【详解】函数()31f x ax x a =-++，若()2f x ≤对任意[]1,0x ∈-恒成立，即321ax x a -+≤+对任意[]1,0x ∈-恒成立，即3221ax x a -++≤≤-对任意[]1,0x ∈-恒成立，即331ax x a -+≤≤-对任意[]1,0x ∈-恒成立，即3)31(1a x x --≤≤+对任意[]1,0x ∈-恒成立，即331(1)x a x x -+≤≤+对任意[]1,0x ∈-恒成立．当=1x -时，400-≤≤，显然成立；当(1,0]x ∈-时，331(1)x a x x -+≤≤+化为331311x a x x x +≤-++≤恒成立.令3()13x g x x -=+，则332232323221(291(92)1()3))(1)(1)1(3)(x x x x x x g x x x x x +---++-+'===+++,由于(1,0]x ∈-，则()0g x '>，则()g x 在(1,0]-上单调递增，则max ()(0)3g x g ==-.令32221111()131(1)(1)1()24h x x x x x x x x x x =++-++=-+-=++=，则(1,0]x ∈-时，()h x 单调递增，则min 1()(1)3h x h >-=.因此331311x a x x x +≤-++≤对于任意[1,0]x ∈-时恒成立，则133a -≤≤.故答案为：13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.14．【分析】设23OM ON OE +=uuu r uuu r uu u r，分析可知点E 为线段MN 靠近N 的三等分点，1OE =，再结合数量积的定义分析求解.【详解】由题意可知：圆O设MN 的中点为C ，因为120MON ∠= ，OM ON =，则OC MN ⊥，33sin302OC =o 23303MN NC ===o ，设23OM ON OE +=uuu r uuu r uu u r ，则()2OM OE OE ON -=- ，即2EM NE =uuu r uu u r，可知点E 为线段MN 靠近N 的三等分点，则1162CE MN ==，221OE OC CE +，设向量OE 与AB的夹角为()0πθθ≤≤，可得()233cos 63cos OM ON AB OE AB OE AB θθ+⋅=⋅==，且[]cos 1,1θ∈-，所以()OM ON AB +⋅的最小值为63-.故答案为：3-15．【分析】（1）在ABD △中，利用正弦定理即可得解；（2）在ACD 中，先利用余弦定理求得AC ，再利用正弦定理即可得解.【详解】（1）在ABC 中，23ADC ∠=π，则3ADB π∠=，在ABD △中，sin sin AB AD ADB B=∠，即36sin sin 34AD =ππ，得6AD =.（2）因为在ACD 中，26,10,3AD CD ADC π==∠=，所以22212cos 3610026101962AC AD CD AD CD ADC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，则14AC =，又sin sin CD AC DAC ADC =∠∠，即10142πsin sin 3DAC =∠，解得53sin 14DAC ∠=所以3sin 14DAC ∠=.16．【分析】（1）根据给定条件，求出,,a b c 即可得E 的方程.（2）设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立，由直线,AP AQ 求出,M N 的坐标，利用韦达定理结合斜率的坐标表示计算即得.【详解】（1）由椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，得b ，由π3AFB ∠=，得椭圆半焦距1c =，则长半轴长2a ==，所以E 的方程为22143x y +=.（2）显然直线PQ 不垂直于y 轴，设直线PQ 的方程为1x my =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，由2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得22(34)690m y my ++-=，显然0∆>，12122269,3434m y y y y m m --+==++，直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得点M 的纵坐标11116623M y y y x my ==++，同理点N 的纵坐标2263N y y my =+，因此12121221212124433(3)(3)3()9N M y y y y y y k k my my m y y m y y =⋅==+++++22229434196393434m mm m m m -⋅+==---⋅+⋅+++为定值，所以12k k 为定值.17．【分析】（1）取PD 中点E ，连接AE ，NE ，由线面平行的判定定理即可得证；（2）先由线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面PAD ，得到CD AE ⊥，再由（1）即可得证；（3）先由题意得到45PAD ∠=︒，AE PD ⊥，由线面垂直的判定定理证明⊥AE 平面PCD ，从而得证.【详解】（1）取PD 中点E ，连接AE ，NE ，N 为PC 的中点，∴//NE CD ，12NE CD =， M 是AB 的中点，底面ABCD 是矩形，∴//AM CD ，12AM CD =，∴//AM NE 且AM NE =，∴四边形AMNE 为平行四边形，所以//MN AE ，又 AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴//MN 平面PAD .（2） PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA CD ⊥，又 底面ABCD 是矩形，∴CD AD ⊥，又 ,,AD PA A AD PA =⊂ 平面PAD ，∴CD ⊥平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，∴CD AE ⊥，由（1）可知//MN AE ，∴MN CD ⊥.（3） PA ⊥平面ABCD ，所以PDA ∠为PD 与平面ABCD 所成的角，∴45PDA ∠=︒，又PA AD ⊥，∴PA AD =，即PAD 为等腰三角形，E 为PD 中点，∴AE PD ⊥，又由（2）可得AE CD ⊥，,,CD PD D CD PD ⋂=⊂平面PCD ，∴⊥AE 平面PCD ，由（1）可知：//MN AE ，∴MN ⊥平面PCD .18．【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意将问题转仳为21e 12x x k x --≤在[)1,+∞恒成立，构造函数()21e 12x x g x x--=，利用导数求出其最小值即可.【详解】（1）由()31e 2x f x x x =⋅-，得()00f =，对()f x 求导得()()231e 2xf x x x '=+-，()01f ∴'=，()f x \在()()0,0f 处的切线方程为y x =；（2） 当1x ≥时，()2f x kx x ≥+恒成立，即1x ≥时，321e 2x x x kx x ⋅-≥+恒成立，21e 12x x k x--∴≤在[)1,+∞恒成立，令()21e 12x x g x x --=，则()()2211e 12x x x g x x --+='，令()()211e 12x m x x x =--+，则()()e 1x m x x =-'，()1,0x m x ≥∴'> 恒成立∴当1x ≥时，()()211e 12x m x x =--+单调递增，()()1102m x m ∴≥=>，∴当1x ≥时，()()2211e 120x x x g x x '--+=>.∴当1x ≥时，()21e 12x x g x x--=单调递增，()()31e 2g x g ∴≥=-，∴3e 2k ≤-.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查导数的几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是分离参数，然后构造函数，将问题转化为利用导数求函数的最值，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题.19．【分析】（1）根据题意确定3次检验的事件，利用有序排列，利用样本空间法，即可求解；（2）①根据1ξ和2ξ的取值，求两个随机变量的期望，利用期望相等，求解()p f k =；②根据①的结果，比较()1E ξ和()2E ξ的大小，通过构造函数()ln 2R 8x f x x x x =-≥∈（，），利用导数判断单调性，比较大小，从而得到结论.【详解】（1）设恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件A ，事件A 分为两种情况，一种是前两次检验中，其中一次检验出抗体，第三次检验出抗体，二是前三次均无抗体，所以，()1123322335C C A A 3A 10P A +==所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为310；（2）①由已知得()1E k ξ=，2ξ的所有可能取值为1，1k +，所以()()211k P p ξ==-，()()2111k P k p ξ=+=--，所以()()()()()2111111k k k E p k p k k p ξ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦，若()()12E E ξξ=，则()11k k k k p =+--，所以()11k k p -=，()11k p k-=，所以111k p k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得111k p k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以P 关于k 的函数关系式111k p f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭（）（2k ≥且*N k ∈）；②由①知()1E k ξ=，()821ek E k k ξ-=+-，若()()12E E ξξ>，则81e k k k k ->+-，所以81e 0k k --<，得8e 1k k ->，所以ln 08k k ->（2k ≥且*N k ∈）令()ln 2R 8x f x x x x =-≥∈（，），则()1182R 88x f x x x x x-=-=≥'∈（，），当28x ≤<时，()0f x '>，当8x >时，()0f x '<所以()f x 在[28，）上单调递增，在8+∞（，）上单调递减，因为()22ln 20.6930.2508f =-≈->，()2626ln 26 3.258 3.2508f =-≈->，()2727ln 27 3.296 3.37508f =-≈-<，所以不等式()()12E E ξξ>的解是[]226k ∈，且*k ∈N ，所以[]226k ∈，且*k ∈N 时，()()12E E ξξ>，采用方案二混合检验方式好，[27k ∈+∞，）且*k ∈N 时，()()12E E ξξ<，采用方案一逐份检验方式好，【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求()1E ξ和()2E ξ，从而才可以建立等量关系或是不等式，为后面构造函数打下基础.。
山西省临汾市2024高三冲刺(高考数学)部编版测试(冲刺卷)完整试卷
山西省临汾市2024高三冲刺（高考数学）部编版测试(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(2)题漏刻是中国古代科学家发明的一种计时系统，“漏”是指带孔的壶，“刻”是指附有刻度的浮箭.《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻．”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器．如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，水从最上层的漏壶孔流出，最终全部均匀流入受水壶．当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0,当最上层漏水壶中水全部漏完时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为100．已知最上层漏水壶口径与底径之比为，则当最上层漏水壶水面下降至其高度的三分之一时，浮箭刻度约为（四舍五入精确到个位）（）A．88B．84C．78D．72第(3)题“”是“”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要第(4)题已知等比数列中所有项均为正数，若，则的最小值为（）A．B．C．D．第(5)题空间中的两条直线若不平行，就一定相交（）A．对B．错第(6)题英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（）A．B．C．D．第(7)题已知是抛物线上的两点，且直线经过的焦点，若，则（）A．12B．14C．16D．18第(8)题在中，，为外心，且，则的最大值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数图象的一条对称轴为直线，函数，则（）A ．将的图象向左平移个单位长度得到的图象B．方程的相邻两个实数根之差的绝对值为C ．函数在区间上单调递增D．在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为第(2)题若，，，则（）A．B．C．D．第(3)题平面向量满足，对任意的实数t，恒成立，则（）A．与的夹角为B．为定值C．的最小值为D．在上的投影向量为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，曲线与x轴的两个相邻交点为P，Q，曲线与直线的一个交点为M，若，则实数______．第(2)题若函数在单调，且在存在极值点，则的取值范围为___________第(3)题大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为，若，则数列的前30项和为________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知，，点P满足，记点P的轨迹为E.直线l过点且与轨迹E交于P、Q两点.(1)无论直线l绕点怎样转动，在x轴上总存在定点，使恒成立，求实数m的值；(2)在（1）的条件下，求面积的最小值.第(2)题如图，已知椭圆过点，离心率为，分别是椭圆的左、右顶点，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）记、的面积分别为、，若，求的值；（3）记直线、的斜率分别为、，求的值.第(3)题已知函数，.(1)求在点处的切线方程；(2)求证：当时，有且仅有个零点.第(4)题在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，（为参数），曲线的方程为．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线的极坐标方程；(2)已知射线与曲线交于O，A两点，将射线绕极点逆时针方向旋转得到射线，射线与曲线交于O，B两点．当的面积最大时，求的值，并求面积的最大值．第(5)题已知函数，是自然对数的底数.(1)当时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点；(2)若存在使得，试求的取值范围.。
新高考高三数学试卷合集
一、选择题1. 若函数$f(x)=\sin x+\cos x$，则$f(\pi)=\frac{\sqrt{2}}{2}$的充要条件是（）A. $x=\frac{\pi}{4}$B. $x=\frac{3\pi}{4}$C. $x=\frac{5\pi}{4}$D. $x=\frac{7\pi}{4}$2. 若$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最大值为（）A. 2B. 1C. $\frac{1}{2}$D. $\frac{1}{4}$3. 已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹方程为（）A. $y=x$B. $y=-x$C. $y=0$D. 无轨迹4. 设函数$f(x)=\frac{x^2}{2}+x+1$，则$f(x)$的单调递增区间为（）A. $(-\infty, -1)$B. $(-1, +\infty)$C. $(-\infty, 1)$D. $(1, +\infty)$5. 已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，首项为$a_1$，若$a_1+a_5=2a_3$，则$a_1$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题6. 若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$的实部为______。
7. 已知函数$f(x)=\frac{x^2}{2}+x+1$，则$f(-1)=______$。
8. 若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，首项为$a_1$，则$a_1+a_5=______$。
9. 若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹方程为______。
10. 已知函数$f(x)=\frac{x^2}{2}+x+1$，则$f(x)$的单调递增区间为______。
三、解答题11. 已知函数$f(x)=\sin x+\cos x$，求$f(x)$的值域。
2024年新课标全国Ⅰ卷数学高考真题及参考答案
2024年新课标全国Ⅰ卷数学高考真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合{}553<<-=x x A ，{}3,2,0,13--=，B ，则=B A （）A.{}0,1-B.{}32， C.{}0,13--， D.{}2,0,1-2.若i z z+=-11，则=z （）A.i --1B.i +-1C.i -1D.i +13.已知向量()1,0=a，()x b ,2= ，若()a b b 4-⊥，则=x （）A.2- B.1- C.1D.24.已知()m =+βαcos ，2tan tan =βα，则()=-βαcos （）A.m3- B.3m -C.3m D.m35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）A.π32 B.π33 C.π36 D.π396.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥++<---=0,1ln 0,22x x e x a ax x x f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A.(]0，∞-B.[]0,1-C.[]1,1-D.[)∞+，07.当[]π2,0∈x 时，曲线x y sin =与⎪⎭⎫⎝⎛-=63sin 2πx y 的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数()x f 定义域为R ，()()()21-+->x f x f x f ，且当3<x 时，()x x f =，则下列结论中一定正确的是（）A.()10010>fB.()100020>fC.()100010<f D.()1000020<f二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，由选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值1.2=x ，样本方差01.02=S ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.08.1，N ，假设失去出口后的亩收入Y 服从发正态分布()2,S x N ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,σμN ，则()8413.0≈+<σμZ P ）A.()2.02>>X PB.()5.0<>Z X PC.()5.0>>Z Y P D.()8.0<>Z Y P 10.设函数()()()412--=x x x f ，则（）A.3=x 是()x f 的极小值点B.当10<<x 时，()()2xf x f <C.当21<<x 时，()0124<-<-x f D.当01<<-x 时，()()x f x f >-211.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于2-，到点()02，F 的距离与到定直线()0<=a a x 的距离之积为4，则（）A .2-=aB .点()022，在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,y x 在C 上时，2400+≤x y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于B A ,两点，若131=A F ，10=AB ，则C 的离心率为.13.若曲线x e y x+=在点()1,0处的切线也是曲线()a x y ++=1ln 的切线，则=a .14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己特有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分小于2的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知B C cos 2sin =，ab c b a 2222=-+.（1）求B ；（2）若ABC ∆的面积为33+，求c .16.（15分）已知()30，A 和⎪⎭⎫⎝⎛233，P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x C ：上两点.（1）求C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP ∆的面积为9，求l 的方程.17.（15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥P A 底面ABCD ，2==PC P A ，1=BC ，3=AB .（1）若PB AD ⊥，证明：∥AD 平面PBC ；（2）若DC AD ⊥，且二面角D CP A --的正弦值为742，求AD .18.（17分）已知函数()()312ln-++-=x b ax xx x f .（1）若0=b ，且()0≥'x f ，求a 的最小值；（2）证明：曲线()x f y =是中心对称图形；（3）若()2->x f ，当且仅当21<<x ，求b 的取值范围.19.（17分）设m 为正整数，数列242.1,,,+m a a a 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j i <后剩余的m 4项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列.（1）写出所有的()j i ,，61≤<≤j i ，使数列62.1,,,a a a 是()j i ,一一可分数列；（2）当3≥m 时，证明：数列242.1,,,+m a a a 是()13,2一一可分数列；（3）从242,1+m ，， 中一次任取两个数i 和j ()j i <，记数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列的概率的概率为m P ，证明：81>m P .参考答案一、单项选择题1.A解析：∵553<<-x ，∴3355<<-x .∵2513<<，∴1523-<-<-.∴{}0,1-=B A .2.C解析：∵i z z +=-11，∴()()i i i z i iz z i z -=+=⇒+=⇒-+=11111.3.D 解析：()4,24-=-x a b ，∵()a b b4-⊥，∴()044=-+x x ，∴2=x .4.A解析：∵()m =+βαcos ，2tan tan =βα，∴()()32121tan tan 1tan tan 1sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos -=-+=-+=-+=+-βαβαβαβαβαβαβαβα.∴()m 3cos -=-βα.5.B解析：由32⋅==r rl S ππ侧可得32=l ，∴3=r .∴ππ33393131=⋅⋅==Sh V .6.B由()()0,1ln ≥++=x x e x f x为增函数，故此分段函数在R 上递增，只需满足：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-=--1022a a a，解得01≤≤-a .7.C解析：∴32π=T .8.B解析：()()()123f f f +>，()22=f ，()11=f .()()()()()122234f f f f f +>+>，()()()()()1223345f f f f f +>+>，……()()()8912123410>+>f f f ，……，()()()9871233237715>+>f f f ，()()()15971377261016>+>f f f .∴()100020>f .二、多项选择题9.BC 解析：已知()21.08.1~，N X ，由题目所给条件：若随机变量Z 服从正态分布，()8413.0≈+<σμZ P ，则()8413.09.1≈<X P ，易得()1587.08413.012≈-<>X P .故A 错误，B 正确；对于C：()21.01.2~，N Y ，∴()5.01.2=>Y P ，即()()5.01.22=>>>Y P Y P ，故C正确；对于D：同上易得()8413.02.2≈<Y P .由正态密度曲线的对称性可知()()8.08412.02.22>≈<=>Y P Y P .故D 错误.10.ACD解析：对于A：()()()()()()31314122--=-+--='x x x x x x f .令()0='x f ，解得11=x ，32=x .x 变化时，()x f '与()x f 变化如下表：故A 正确；对于B：当10<<x 时，102<<<x x ，又()x f 在()1,0上单调递增，所以()()x f xf <2，故B 错误；对于C ：令()2112<<-=x x t ，则31<<x .()x f 在()3,1上单调递减，()()()13f t f f <<，()43-=f ，()11=f ，即()0121<-<-x f .故C 正确；对于D：()()()412--=x x x f ，()()()()()21421222---=---=-x x x x x f .∴()()()()()32122212-=--=--x x x x f x f .当01<<-x 时，()013<-x ，∴()()x f x f -<2成立.故D 正确.11.ABD解析：对于A：O 点在曲线C 上，O 到F 的距离和到a x =的距离之积为4，即42=⨯a ，解得2±=a .又∵0<a ，∴2-=a ，故A 正确；对于B：由图象可知曲线C 与x 轴正半轴相交于一点，不妨设B 点.设()0,m B ，其中2>m ，由定义可得()()422=+-m m ，解得22±=m .又∵2>m ，∴22=m ，故B 正确；对于C：设C 上一点()y x P ,，()()42222=++-x y x ，其中2->x .化简得曲线C 的轨迹方程为()()2222216--+=x x y ，其中2->x .已知2=x 时，12=y ，对x 求导()()2223232--+-=x x y .2122-==x y ，则在2=x 是下降趋势，即存在2<x 时，1>y 成立，故C 错误；对于D：()()2222216--+=x x y ，∵()022≥-x ，∴()22216+≤x y .∴240+≤x y .又∵20->x ，2400+≤x y ，则24000+≤≤x y y ，故D 正确.三、填空题12.23解析：作图易得131=A F ，52=AF ，且212F F AF ⊥，12222121=-=AF A F F F .由双曲线定义可得：8221=-=AF A F a ，6221==F F c ，则23==a c e .13.2ln 解析：1+='xe y ，20='==x y k ，切线l 的方程：12+=x y .设l 与曲线()a x y ++=1ln 的切点横坐标为0x ，110+='x y ，则2110=+=x k ，解得210-=x .代入12+=x y 可得切点为⎪⎭⎫⎝⎛-021，，再代入()a x y ++=1ln ，a +=21ln 0，即2ln =a .14.21解析：不妨确定甲的出牌顺序为7,5,3,1.乙随机出牌有2444=A 种基本事件.甲的数字1最小，乙的数字8最大.若数字1和数字8轮次不一致，乙最少得2分，甲最多2分.站在甲的视角下，分四种情况：①8对1，则7必得分（1）若得3分：3,5都得分，3对2,5对4（1种情况）（2）若得2分：3,5只有一个得分（ⅰ）：5得分，3不得分：5对2,3对4或6（2种情况）；5对4,3对6（1种情况）；（ⅱ）：3得分，5不得分：3对2,5对6（1种情况）；②8对3,7必得分5得分：5对2,4,7对应2种情况，共有422=⨯种情况；③8对5,7必得分3得分：3对2,7对应2中情况，共有221=⨯种情况；④8对7，最多得2分3得分，5得分：3对2,5对4（1种情况）.共有12种情况，甲总得分不小于2的概率为212412=.四、解答题15.解：（1）∵ab c b a 2222=-+，∴22222cos 222==-+=ab ab ab c b a C .∴22cos 1sin 2=-=C C .又∵B C cos 2sin =，∴22cos 2=B ，∴21cos =B ，∴3π=B .（2）∵33sin 21+==∆Bac S ABC ，∴333sin 21+=ac π.即434+=ac ……①由（1）易知4π=C ，3π=B .由正弦定理C c A a sin sin =，()CcC B a sin sin =+.∴4sin43sin πππc a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴224269c =+，∴c a 213+=.代入①式解得22=c .16.解：（1）将()30，A ，⎪⎭⎫⎝⎛233，P 代入椭圆12222=+b y a x 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=149919222b a b ，可得⎪⎩⎪⎨⎧==91222b a ，∴3222=-=b a c ，∴32=a ，3=c .∴离心率21323===a c e .（2）①当l 斜率不存在时，29332121=⨯⨯=-⋅=∆A P ABP x x PB S ，不符，舍去.②当l 斜率存在时，设l 方程：()323-=-x k y .联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-191232322y x x k y 可得：()()()02736212342222=--++-++k k x k k x k.由韦达定理：()34273622+--=⋅k k k x x B P ，又3=P x ，∴()3491222+--=k k k x B .∵BP 与y 轴交点⎪⎭⎫ ⎝⎛+-233,0k ，∴()9349123323213232122=+---⋅+=-+⋅=∆k k k k x x k S B P ABP 解得21=k 或23，∴l 方程x y 21=或0623=--y x .17.解：（1）证明：∵⊥P A 底面ABCD ，∴AD P A ⊥.又∵PB AD ⊥，∴⊥AD 平面P AB ，则AB AD ⊥.又∵1,32===BC AB AC ，，∴222BC AB AC +=，则BC AB ⊥，∴BC AD ∥.∵⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，∴∥AD 平面PBC .（2）以D 为原点，DA 为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.设0,0,,>>==q p q DC p DA ，满足4222==+AC q p ，则()()()()0,0,0,0,,0,20,0,0,D q C p P p A ，，.设平面APC 法向量为()111,,z y x m =，∴()()0,,200q p AC AP -==，，，.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅==⋅002111qy px m AC z m AP ，取()0,,p q m = .设平面DPC 法向量为()()()0,,0,2,0,,,,222q DC p DP z y x n ===.∴⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002222qy n DC z px n AP ，取()p n -=,0,2 .∴2222742142,cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⋅+=p q p qn m .∴7142=+p q .又∵422=+q p ，∴3=p ，即3=AD .18.解：（1）0=b 时，()ax x x x f +-=2ln，∴()()022≥+-⋅='a x x x f .∴()22-≥x x a .又∵()2,0∈x ，设()()22-=x x x h ，当()2,0∈x 时，()2max -=x h ，∴2-≥a .∴a 的最小值为2-.（2）由题意可知()x f 的定义域为()20，.()()()()()a x b x a xx bx x a x x x f x f 2111ln 111ln1133=-+-++-++++-+=-++.∴()x f 关于()a ,1中心对称.（3）()212ln 3->-++-x b ax xx ，即()0212ln3>+-++-x b ax x x 即()()02112ln 3>++-+-+-a x b x a xx.令1-=x t ，则()1,0∈t ，()0211ln 3>++++-+=a bt at tt t g .()t g 关于()a +2,0中心对称，则当且仅当()1,0∈t 时，()0>t g 恒成立.需02=+a ，即2-=a ，()0≥'t g 在()1,0恒成立.()()()()22222212231223032112t t t b t bt bt t t t g --≥⇒--≥⇒≥+--+='.令2t m =，则()1,0∈m ，()()12122-=--=m m m m m h .()2max -=m h ，∴23-≥b ，即32-≥b .∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,32b .19.解：（1）从1,2,3,4,5,6中删去()j i ,剩下的四个数从小到大构成等差数列，记为{}k b ，41≤≤k .设{}k b 公差为d ，已知1=d ，否则，若2≥d ，则6314≥=-d b b ，又51614=-≤-b b ，故矛盾，∴1=d ，则{}k b 可以为{}4,3,2,1，{}5,4,3,2，{}6,5,4,3，则对应()j i ,分别为()()()2,16,16,5，，.（2）证明：只需考虑前14项在去掉()13,2后如何构成3组4项的等差数列，后面剩下的()34124-=-m m 可自然依序划分为3-m 组等差数列.则只需构造{}14,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,1的一组划分，使划分出的3组数均成等差数列，取{}{}{}14,11,8,512,9,6,310,7,4,1，，，这单租数均为公差为3的等差数列，对于剩下的()34-m 个数，按每四个相邻数一组，划分为3-m 组即可.由此可见去掉()13,2后，剩余的m 4个数可以分为m 组，每组均为等差数列，故3≥m 时，24,2,1+m 是()13,2可分数列，即2421,,,+m a a a 是()13,2可分数列.（3）证明：用数学归纳法证明：共有不少于12++m m 中()j i ,的取法使24,2,1+m 是()j i ,可分数列，①当1=m 时，由（1）知，有11132++=种()j i ,的取法，②假设当n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法，则当1+=n m 时，考虑数列{}64,,2,1+n 下对于()j i ,分三种情况讨论：1°当1=i 时，取()1,,,2,1,0,24+=+=n n k k j 则j i ,之间（不含j i ,）有k k 41124=--+个连续的自然数，可按形如{}{}{}14,4,14,249,8,7,65,4,3,2+--k k k k ，，， 划分，剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2,1,0+=n n k ，∴这种情况有2+n 种()j i ,的取法.2°当2=i 时，取()1,,,2,14+=+=n n k k j ，现以k 为公差构造划分为：{}13,12,11+++k k k ，，{}33,32,3,3+++k k k ，……{}14,13,12,1----k k k k ，{}k k k k 4,3,22,，{}24,23,22,2++++k k k k （注意当2=k 时，只有{}{}10,8,6,47,5,3,1，这两组）剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2+=n n k ，∴这种情况有n 种()j i ,的取法.3°当2>i 时，考虑{}64,,7,6,5+n 共24+n 个数，由归纳假设里n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法.综合1°2°3°，当1+=n m 时，至少有()()()()1111222++++=+++++n n n n n n 中取法，由①②及数学归纳法原理，值共有不少于12++m m 种()j i ,的取法使24,2,1+m 为()j i ,可分数列，那么()()8188811681121411222222242=++++>++++=++++=++≥+m m m m m m m m m m m m C m m P m m ，∴81>m P .。
2024年河北高考数学模拟试卷及答案
2024年河北高考数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知抛物线C ：212y x = ，则C 的准线方程为 A ． 18x =B ．1-8x =C ．18y =D ．1-8y = 2．已知复数121z i=+ ，复数22z i =，则21z z -=A ．1BC ．．10 3．已知命题:(0,)ln xp x e x ∀∈+∞>，，则 A ．p 是假命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，B ．p 是假命题， :(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，C ．p 是真命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，D ．p 是真命题，:(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，4．已知圆台1O O 上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为 A ．8πB ．16πC ．26πD ．32π5．下列不等式成立的是A.66log 0.5log 0.7>B. 0.50.60.6log 0.5>C.65log 0.6log 0.5>D. 0.60.50.60.6>6.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：由上表制作成如图所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l 的方程为11ˆˆˆy b x a =+，其相关系数为1r ；经过残差分析，点（167，90）对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为22ˆˆˆy b x a =+，相关系数为2r .则下列选项正确的是 A ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <>< B ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <<> C ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r ><> D ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r >>< 7．函数()y f x =的导数()y f x '=仍是x 的函数，通常把导函数()y f x '=的导数叫做函数的二阶导数，记作()y f x ''=，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数一般地，n-1阶导数的导数叫做 n 阶导数，函数()y f x =的n 阶导数记为()n y fx =（），例如xy e =的n 阶导数()()n xx ee =．若()cos 2xf x xe x =+，则()500f =（）A ．49492+B ．49C ．50D ．50502-8．已知函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如下，12y =与其交于A ，B 两点. 若3AB π=，则ω=A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编考点01 直接求函数值1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ） A ．(10)100f > B ．(20)1000f > C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <2．（2024∙上海∙高考真题）已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ． 3．（2023∙北京∙高考真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．4．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．535．（2021∙浙江∙高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则=a .考点02 函数的定义域与值域1．（2022∙北京∙高考真题）函数1()f x x=的定义域是 ． 2．（2020∙山东∙高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（ ） A ．()0,∞+B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞考点03 函数单调性的判断及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞2．（2023∙北京∙高考真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．()ln f x x =-B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,a f b f c f ===⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()f x 6．（2020∙山东∙高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数7．（2020∙全国∙高考真题）设函数331()f x x x=-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减考点04 函数的奇偶性及其应用1．（2024∙天津∙高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+ B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x x y x -=+D ．||sin 4e x x xy +=2．（2024∙上海∙高考真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （ ）． A ．1-B ．0C ．12D ．16．（2022∙全国乙卷∙高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b = ． 7．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．538．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．9．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则=a .10．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++11．（2020∙山东∙高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃12．（2020∙全国∙高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减考点05 函数的周期性及其应用1．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．12．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．52考点06 函数的对称性及其应用1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（ ） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心2．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-4．（2020∙全国∙高考真题）已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称参考答案 考点01 直接求函数值1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ） A ．(10)100f > B ．(20)1000f > C ．(10)1000f < D ．(20)10000f <【答案】B【答案分析】代入得到(1)1,(2)2==f f ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【答案详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2==f f ， 又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+> (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确. 故选：B.【名师点评】关键点名师点评：本题的关键是利用(1)1,(2)2==f f ，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.2．（2024∙上海∙高考真题）已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ．【答案分析】利用分段函数的形式可求()3f .【答案详解】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3．（2023∙北京∙高考真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．【答案】1【答案分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答. 【答案详解】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为：14．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得：522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【名师点评】关键点名师点评：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.5．（2021∙浙江∙高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则=a . 【答案】2【答案分析】由题意结合函数的答案解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值.【答案详解】()()642233f f f f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =， 故答案为：2.考点02 函数的定义域与值域1．（2022∙北京∙高考真题）函数1()f x x=的定义域是 ． 【答案】()(],00,1-∞⋃【答案分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【答案详解】解：因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠， 故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃； 故答案为：()(],00,1-∞⋃2．（2020∙山东∙高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（ ） A ．()0,∞+ B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞【答案】B【答案分析】根据题意得到0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，再解不等式组即可.【答案详解】由题知：0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠. 所以函数定义域为()()0,11,+∞ . 故选：B考点03 函数单调性的判断及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．[1,0]- C ．[1,1]- D ．[0,)+∞【答案】B【答案分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【答案详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤， 即a 的范围是[1,0]-. 故选：B.2．（2023∙北京∙高考真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．()ln f x x =- B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=【答案】C【答案分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可. 【答案详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =-在()0,∞+上单调递减， 所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()12xf x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误； 对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =-在()0,∞+上单调递减， 所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,222a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】A【答案分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【答案详解】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，4112⎛-= ⎝⎭，而22491670-=+=>，41102⎛-=> ⎝⎭，即1122->-由二次函数性质知g g <，4112⎛-= ⎝⎭，而22481682)0-=+-=-=-<，112<-，所以(2g g >，综上，(2g g g <<， 又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>. 故选：A.4．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】D【答案分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【答案详解】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故选：D5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()f x 【答案】D【答案分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【答案详解】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0∞-为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x =R 上的增函数，符合题意， 故选：D.6．（2020∙山东∙高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数【答案】C【答案分析】利用函数单调性定义即可得到答案. 【答案详解】对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，等价于对于任意两个不相等的实数12x x <，总有()()12f x f x <. 所以函数()f x 一定是增函数. 故选：C7．（2020∙全国∙高考真题）设函数331()f x x x =-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【答案分析】根据函数的答案解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【答案详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数． 又因为函数3y x =在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增，而331y x x -==在()0,+?上单调递减，在(),0-?上单调递减，所以函数()331f x x x =-在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增．故选：A ．【名师点评】本题主要考查利用函数的答案解析式研究函数的性质，属于基础题．考点04 函数的奇偶性及其应用1．（2024∙天津∙高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+ B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x xy +=【答案】B【答案分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【答案详解】对A ，设()22e 1x xf x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ， 且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，故C 错误； 对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141e ϕ+=，()sin141e ϕ---=， 则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误. 故选：B.2．（2024∙上海∙高考真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．【答案】0【答案分析】根据奇函数的性质可求参数a .【答案详解】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x -+=即()330x a x a ++-+=，故0a =， 故答案为：0.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．【答案】2【答案分析】利用偶函数的性质得到ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得2a =，再检验即可得解.【答案详解】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭，则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++， 所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-==， 又定义域为R ，故()f x 为偶函数， 所以2a =. 故答案为：2.4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知e ()e 1xaxx f x =-是偶函数，则=a （ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】D【答案分析】根据偶函数的定义运算求解.【答案详解】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---， 又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=， 则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =. 故选：D.5．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （ ）． A ．1- B ．0C ．12D ．1【答案】B【答案分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a 值，再检验即可.【答案详解】因为()f x 为偶函数，则 1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-∴+=-+，，解得0a =， 当0a =时，()21ln21x x x f x -=+，()()21210x x -+>，解得12x >或12x <-，则其定义域为12x x ⎧⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭，关于原点对称.()()()()()()()121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫-=---⎛==== ⎪-+-++⎝-⎭-， 故此时()f x 为偶函数. 故选：B.6．（2022∙全国乙卷∙高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b = ． 【答案】 12-； ln 2．【答案分析】根据奇函数的定义即可求出． 【答案详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称0a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义，则1x ≠且101a x+≠- 1x ∴≠且11x a≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=-，解得12a =-， 由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12-；2ln ．[方法二]：函数的奇偶性求参 111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+--- 1()1ax a f x lnb x++-=++函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=-22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=- 1222241,22b ln b ln a b ln ln -==-⇒=∴=-=[方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211x f x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意． 故答案为：12-；ln 2．7．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得：522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【名师点评】关键点名师点评：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.8．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．【答案】()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）【答案分析】根据幂函数的性质可得所求的()f x .【答案详解】取()4f x x =，则()()()()44421121122x f x f x x x x f x x ===，满足①， ()34f x x '=，0x >时有()0f x ¢>，满足②， ()34f x x '=的定义域为R ，又()()34f x x f x ''-=-=-，故()f x '是奇函数，满足③.故答案为：()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）9．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a .【答案】1【答案分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【答案详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-，故()()322x xf x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222x x x x x a x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x xa --，故1a =， 故答案为：110．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B【答案分析】分别求出选项的函数答案解析式，再利用奇函数的定义即可. 【答案详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++， 对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数； 对于B ，()211f x x-=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B【名师点评】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.11．（2020∙山东∙高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【答案分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【答案详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <， 所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.【名师点评】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 12．（2020∙全国∙高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D【答案分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【答案详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-， ()f x \为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x \在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【名师点评】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.考点05 函数的周期性及其应用1．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【答案分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出． 【答案详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4， 所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=， 所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x xπ=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=， 由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.2．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =【答案】B【答案分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【答案详解】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-， 因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+， 所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+， 故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==， 故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【答案】D【答案分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数答案解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【答案详解】[方法一]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． [方法二]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =． 所以91352222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．【名师点评】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．考点06 函数的对称性及其应用1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（ ） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【答案】AD【答案分析】A 选项，先答案分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行答案分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【答案详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增， (0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值， 由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <， 根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确； B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减， ,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-， 即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误； D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a -=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=， 即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 故选：AD【名师点评】结论名师点评：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心 2．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC【答案分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【答案详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确； 对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC.故选：BC.[方法三]： 因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数， 所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-， 所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称， 又()()g x f x '=，且函数()f x 可导， 所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【答案分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【答案详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ . 故选：D【名师点评】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.4．（2020∙全国∙高考真题）已知函数f (x )=sin x +1sin x ，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称【答案】D【答案分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【答案详解】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x x π≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x ππ-=--≠-=+=Q 故B 错； ()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对故选：D【名师点评】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本答案分析判断能力，属中档题.。
河北省石家庄市(新版)2024高考数学部编版测试(综合卷)完整试卷
河北省石家庄市（新版）2024高考数学部编版测试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题甲、乙、丙、丁四位同学各自对，A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表:甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则能体现A，B两变量有更强的线性相关性的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁第(2)题向量，则与的夹角为（）A．B．C．D．第(3)题已知随机变量，若，则（）A．B．C．D．第(4)题已知，则的值为（）A．B．C．D．第(5)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题已知复数z满足，则（）A．1B．C．D．2第(8)题已知数列的首项为，前项积为，，则（）A．1B．5C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，则下列说法正确的是：（）.A．若，则的最大值为B．若，则函数始终有且仅有1个极值点且为极小值点C．若，则始终有且仅有1个零点D．若恒成立，则的最小值为第(2)题已知双曲线，直线l：与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点.当点M变化时，点之变化.则下列结论中正确的是（）A．B．C．点坐标可以是D．有最大值第(3)题已知函数，则（）A．当时，有极小值B．当时，有极大值C．若，则D．函数的零点最多有1个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题函数在点处的切线方程为______．第(2)题若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．第(3)题欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大的贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数．在数论中，对于正整数n，是不大于n的正整数中与n互质的数的个数，例如：，则________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型，为了测试A、B两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用黄瓜做对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数达到45及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成频率分布直方图，其中质量指标值分组区间是，，，，.(1)分别求A实验区黄瓜质量指数的平均数和中位数；（每组数据以区间的中点值为代表，结果保留小数点后一位有效数字）(2)请根据题中信息完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用肥料有关.A有机肥料B有机肥料合计质量优等质量非优等合计，其中n＝a＋b＋c＋d，0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.828第(2)题为了了解某高校全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和中位数（的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为，的学生中抽取9名参加座谈会．你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由．第(3)题某校组织学生参加冬奥会知识竞赛，随机抽取100名男生和100名女生的竞赛成绩（满分100分），统计如下表：分数段男生人数26243020女生人数20203624(1)分别估计男生和女生竞赛成绩的平均分和（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）；(2)学校规定竞赛成绩不低于60分为优秀，根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并以此判断是否有90%的把握认为男生和女生对冬奥会知识的了解程度有差异.非优秀优秀合计男生女生合计200参考公式及数据：，其中.0.10.050.01k 2.706 3.841 6.635第(4)题已知函数f（x）=a（x-ln x）（a∈R）．（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＜+x-1恒成立，求实数a的取值范围．第(5)题如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，，，点是棱上靠近点的一个三等分点．（1）求证：平面平面；（2）求证：平面．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)联考 理科数学+答案+全解全析
D． 2 2
13． (x + 2 y −1)5 的展开式中 x2 y2 的系数为___________.
14．若
sin(α
+
π )
6
=
−
1 3
,α
∈ (0, π)
，则
sin(2α
+
π )
3
=
___________.
15．已知双曲线 E
：
x2 a2
−
y2
= 1(a
>
0)
的左、右焦点分别为 F1, F2
a,b
=
A． 2 5 5
B． − 2 5 5
C． − 5 5
D． 5 5
9．已知[x] 表示不超过
x
的最大整数，数列{an} 满足
an
=
[
(−1)
n −1 ] 2
n
2
，则数列{an} 的前
6030
C． 3660
理科数学 第 2 页（共 13 页）
D． −3660
10．将函数 f (x) =
如图所示，正方形 ABCD 所在平面与梯形 ABMN 所在平面垂直，MB∥AN， NA = AB = 2 ， BM = 4 ，
CN = 2 3 .
（1）证明：平面 DMN ⊥ 平面 BCN ； （2）求二面角 C − MN − D 的余弦值.
19．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
x2 C： a2
+
y2 b2
不迟到的概率的范围； （2）在这 10 天中任取 2 天，记该学生早上从家出发到教室所花时间的差的绝对值为 Y ，求 Y 的分布列 和数学期望. 附：若随机变量 X 服从正态分布 N (µ,σ 2 ) ，则 P(µ − σ < X < µ + σ ) = 0.6826 ，P(µ − 2σ < X < µ + 2σ ) = 0.9544 ， P(µ − 3σ < X < µ + 3σ ) = 0.9974 . 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) = cos(x −1) + x(1 − ln x) . （1）设 g(x) = f ′(x) ，求证： g(x) < 1 ；
山西省太原市(新版)2024高考数学人教版测试(评估卷)完整试卷
山西省太原市（新版）2024高考数学人教版测试(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知互异的复数满足，集合={,},则= （ ）A．2B．1C．0D．第(2)题原命题为“若，，则为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假第(3)题已知，和的展开式中二项式系数的最大值分别为和，则（）A．B．C．D．的大小关系与有关第(4)题设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则一定有（）A．B．C．D．第(5)题已知实数x、y满足约束条件，则的最大值是( )A．B．2C．D．4第(6)题一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（）A．18B．C．D．12第(7)题函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．B．函数的最小正周期为C．函数在上单调递减D ．函数的图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称第(8)题某公司位员工的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为A．，B．，C．，D．，二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（）A．B．当时，C．D．第(2)题已知全集U，集合A，B是U的子集，且，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．第(3)题数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，称为第一类切比雪夫多项式.第一类切比雪夫多项式的前几项为：，探究上述多项式，下列选项正确的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，则______.第(2)题已知角的终边经过点，则的值等于______．第(3)题已知函数为偶函数，则______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知向量，当时，，且函数．（1）求的解析式与最小正周期；（2）求在区间上的值域．第(2)题在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）设直线与圆交于，两点，为圆上不同于，的动点，若满足面积为的点恰有两个，求的取值范围．第(3)题已知函数．求函数的单调递增区间；在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求的面积．第(4)题已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，，求的取值范围.第(5)题为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：是否需要志愿性别男女需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？附：.0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828。
2023年高考数学试卷及答案(新课标全国Ⅱ卷)
2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题一、单选题1．在复平面内，对应的点位于（ ）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A解析：，所以该复数对应的点为，位于第一象限.2．设集合，，若，则（ ）．A．2B．1C．D．答案：B解析：观察发现集合A中有元素0，故只需考虑B中的哪个元素是0。
因为，，所以，故或，解得：或1，注意不能保证，故还需代回集合检验，若，则，，不满足，不合题意；若，则，，满足. 故选B.3．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．A．种B．种C．种D．种答案：D解析：应先找到两层中各抽多少人，因为是比例分配的分层抽取，故各层的抽取率都等于总体的抽取率，设初中部抽取x人，则，解得：，所以初中部抽40人，高中部抽20人，故不同的抽样结果共有种.4．若为偶函数，则（ ）．A ．B．0C．D．1答案：B解法1：偶函数可抓住定义来建立方程求参，因为为偶函数，所以，即 ①，而，代入①得：，化简得：，所以.5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．A．B．C．D．答案：C解析：如图，观察发现两个三角形有公共的底边AB，故只需分析高的关系，作于点G，于点I，设AB与x轴交于点K，由题意，，所以，由图可知，所以，故，又椭圆的半焦距，所以，从而，故，所以，代入可得，解得：.6．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．A．B．e C．D．答案：C解析：的解析式较复杂，不易直接分析单调性，故求导，由题意，，因为在上，所以在上恒成立，即 ①，观察发现参数a容易全分离，故将其分离出来再看，不等式①等价于，令，则，所以在上，又，，所以，故，因为在上恒成立，所以，故a的最小值为.7．已知为锐角，，则（ ）．A．B．C．D．答案：D解析：，此式要开根号，不妨上下同乘以2，将分母化为，所以，故，又为锐角，所以，故.8．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．A．120B．85C．D．答案：C解法1：观察发现，，，的下标都是2的整数倍，故可考虑片段和性质，先考虑q是否为，若的公比，则，与题意不符，所以，故，，，成等比数列 ①，条件中有，不妨由此设个未知数，设，则，所以，，由①可得，所以，解得：或，若，则，，，所以，故；到此结合选项已可确定选C，另一种情况我也算一下，若，则，而，所以与同号，故，与题意不符；综上所述，m只能取，此时.二、多选题9．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为C．D．的面积为答案：AC解析：A项，因为，，所以，，，从而圆锥的体积，故A项正确；B项，圆锥的侧面积，故B项错误；C项，要求AC的长，条件中的二面角还没用，观察发现和都是等腰三角形，故取底边中点即可构造棱的垂线，作出二面角的平面角，取AC中点Q，连接PQ，OQ，因为，，所以，，故即为二面角的平面角，由题意，，所以，故，所以，故C项正确；D项，，所以，故D项错误.10．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．A．B．C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形答案：AC解析：A项，在中令可得，由题意，抛物线的焦点为，所以，从而，故A项正确；B项，此处可以由直线MN的斜率求得，再代角版焦点弦公式求，但观察发现后续选项可能需要用M，N的坐标，所以直接联立直线与抛物线，用坐标版焦点弦公式来算，设，，将代入消去y整理得：，解得：或3，对应的y分别为和，所以图中，，从而，故B项错误；C项，判断直线与圆的位置关系，只需将圆心到直线的距离d和半径比较，的中点Q到准线的距离，从而以MN为直径的圆与准线l相切，故C项正确；D项，M，N的坐标都有了，算出，即可判断，，，所以，，均不相等，故D项错误.11．若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．A．B．C．D．答案：BCD解析：由题意，，函数既有极大值，又有极小值，所以在上有2个变号零点，故方程在上有两个不相等实根，所以，由①可得，故C项正确；由②可得，所以a，c异号，从而，故D项正确；由③可得a，b同号，所以，故B项正确；因为a，c异号，a，b同号，所以b，c异号，从而，故A项错误.12．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率答案：ABD解析：A项，由题意，若采用单次传输方案，则发送1收到1的概率为，发送0收到0的概率为，所以依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为，故A项正确；B项，采用三次传输方案，若发送1，则需独立重复发送3次1，依次收到1，0，1的概率为，故B项正确；C项，采用三次传输方案，由B项的分析过程可知若发送1，则收到1的个数，而译码为1需收2个1，或3个1，所以译码为1的概率为，故C项错误；D项，若采用单次传输方案，则发送0译码为0的概率为；若采用三次传输方案，则发送0等同于发3个0，收到0的个数，且译码为0的概率为，要比较上述两个概率的大小，可作差来看，，因为，所以，从而，故D项正确.三、填空题13．已知向量，满足，，则______．答案：解析：条件涉及两个模的等式，想到把它们平方来看，由题意， ①，又，所以，故，整理得：，代入①可得，即，所以.14．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．答案：28解析：如图，四棱锥与相似，它们的体积之比等于边长之比的立方，故只需求四棱锥的体积，，所以，故所求四棱台的体积，由题意，，所以.15．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值__ ____．答案：2（答案不唯一，也可填或或）解析：如图，设圆心到直线AB的距离为，则，注意到也可用d表示，故先由求d，再将d用m表示，建立关于m的方程，又，所以，由题意，，所以，结合解得：或，又，所以或，解得：或.16．已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．答案：解法1：这个条件怎么翻译？可用求A，B横坐标的通解，得到，从而建立方程求，不妨设，令可得或，其中，由图知，，两式作差得：，故，又，所以，解得：，则，再求，由图知是零点，可代入解析式，注意，是增区间上的零点，且的增区间上的零点是，故应按它来求的通解，所以，从而，故，所以.四、解答题17．记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．解：（1）如图，因为，所以，（要求，可到中来分析，所给面积怎么用？可以用它求出，从而得到BD）因为D是BC中点，所以，又，所以，由图可知，所以，故，（此时已知两边及夹角，可先用余弦定理求第三边AB，再用正弦定理求角B）在中，由余弦定理，，所以，由正弦定理，，所以，由可知B为锐角，从而，故.（2）（已有关于bc的一个方程，若再建立一个方程，就能求b和c，故把面积和中线都用b，c表示）由题意，，所以 ①，（中线AD怎样用b，c表示？可用向量处理）因为D为BC中点，所以，从而，故，所以，将代入上式化简得②，（我们希望找的是b，c的方程，故由①②消去A，平方相加即可）由①②得，所以③，由可得，所以，结合式③可得.18．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．解：（1）（给出了两个条件，把它们用和d翻译出来，即可建立方程组求解和d）由题意， ①，②，由①②解得：，，所以.（2）由（1）可得，（要证结论，还需求，由于按奇偶分段，故求也应分奇偶讨论，先考虑n为偶数的情形）当为偶数时，③，因为和分别也构成等差数列，所以，，代入③化简得：，（要由此证，可作差比较）所以，故；（对于n为奇数的情形，可以重复上述计算过程，但更简单的做法是补1项凑成偶数项，再减掉补的那项）当为奇数时，，所以，故；综上所述，当时，总有.19．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率；(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．解：（1）（给的是漏诊率，故先看患病者的图，漏诊率为0.5%即小于或等于c的频率为0.5%，可由此求c）由患病者的图可知，这组的频率为，所以c在内，且，解得：；（要求，再来看未患病者的图，是误诊率，也即未患病者判定为阳性（指标大于c）的概率）由未患病者的图可知指标大于97.5的概率为，所以.（2）（包含两个分组，故应分类讨论）当时，，，所以，故 ①；当时，，，所以，故②；所以，且由①②可得.20．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值．解：（1）（BC和DA是异面直线，要证垂直，需找线面垂直，可用逆推法，假设，注意到条件中还有，所以，二者结合可得到面ADE，故可通过证此线面垂直来证）因为，，所以和是全等的正三角形，故，又E为BC中点，所以，，因为AE，平面ADE，，所以平面ADE，又平面ADE，所以.（2）（由图可猜想面BCD，若能证出这一结果，就能建系处理，故先尝试证明）不妨设，则，因为，所以，故，，所以，故，所以EA，EB，ED两两垂直，以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，由可知四边形ADEF是平行四边形，所以，设平面DAB和平面ABF的法向量分别为，，则，令，则，所以是平面DAB的一个法向量，，令，则，所以是平面ABF的一个法向量，从而，故二面角的正弦值为.21．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.解：（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，，双曲线方程为.（2）由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，由可得，即，据此可得点在定直线上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.22．（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．解：（1）构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；构建，则，构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，即对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；综上所述：.（2）令，解得，即函数的定义域为，若，则，因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，不合题意，所以.当时，令因为，且，所以函数在定义域内为偶函数，由题意可得：，（i）当时，取，，则，由（1）可得，且，所以，即当时，，则在上单调递增，结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意；（ⅱ）当时，取，则，由（1）可得，构建，则，且，则对恒成立，可知在上单调递增，且，所以在内存在唯一的零点，当时，则，且，则，即当时，，则在上单调递减，结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，所以是的极大值点，符合题意；综上所述：，即，解得或，故a的取值范围为.。
2024-2025学年河北省省级联测高三(上)月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年河北省省级联测高三（上）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={−1,2,3,4}，B ={x ∈Z|y =ln (9−x 2)}，则A ∩B =( )A. {1,2,3}B. {−1,2}C. {2,3}D. {0,1,2,3,4}2.已知复数z 1=a 2−3a +3i ，z 2=2+(a 2−4a)i ，a ∈R ，若z 1+z 2为纯虚数，则a =( )A. 1或2B. 1C. 2D. 33.已知向量a ,b 满足|a |=2,b =(2,0)，且|a +b |=2，则a 在b 上的投影向量的坐标为( )A. (−1,0)B. (1,0)C. (−2,0)D. (2,0)4.已知cos (α+π2)=2cos(α+3π)，则sin 2α+12sin2αcos 2α=( )A. −14 B. 34 C. 2D. 65.某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面(过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面)ABCD 是面积为16的正方形，则该几何体的体积为( )A. 16π3B. 16πC. 64π3D. 72π6.设S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，3S 2=a 1+2a 3，a 3=8，则数列{a n +2n−1}的前5项和为( )A. 55B. 57C. 87D. 897.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若关于x 的方程g(x)−m =0在x ∈[−π12,π6]上有两个不等实根，则实数m 的取值范围为( )A. (−2,2]B. (−2,− 3]C. [ 3,2]D. (− 3, 3]8.已知定义域为R的函数f(x)不是常函数，且满足f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，f(1)=0，则∑2026i=1f (i)=( )A. −2B. 2C. −2026D. 2026二、多选题：本题共3小题，共18分。
河北省2025届高三上学期省级联测考试数学含答案
2024—2025高三省级联测考试数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(){}21,2,3,4,ln 9A B x y x =-=∈=-Z ∣，则A B = （）A.{}1,2,3 B.{}1,2-C.{}2,3 D.{}0,1,2,3,4【答案】B 【解析】【分析】结合对数型复合函数的定义域化简集合B ，再由交集的定义求A B ⋂.【详解】集合(){}{}{}{}22ln 990332,1,0,1,2B x y xx xx x =∈=-=∈->=∈-<<=--Z Z Z ，而{}1,2,3,4A =-，所以{}1,2A B ⋂=-.故选：B.2.已知复数()221233i,24i,z a a z a a a =-+=+-∈R ，若12z z +为纯虚数，则a =（）A.1或2B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】计算出()22123243i z z a a a a +=-++-+，根据纯虚数的概念得到方程和不等式，求出答案.【详解】由()221233i,24i,z a a z a a a =-+=+-∈R 可知，()()22221233i 24i 3243i z z a a a a a a a a +=-+++-=-++-+，因为12z z +为纯虚数，所以22430320a a a a ⎧-+≠⎨-+=⎩，解得2a =.故选：C.3.已知向量,a b满足()2,2,0a b == ，且2a b += ，则a 在b 上的投影向量的坐标为（）A.()1,0- B.()1,0 C.()2,0- D.()2,0【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件求得2a b ⋅=-，结合投影向量的坐标公式即可求解.【详解】已知2,2a b == ，所以222()24244a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+= ，可得2a b ⋅=- ，所以()()212,01,02||a b b b ⋅=-⨯=-，故选：A.4.已知()πcos 2cos 3π2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则221sin sin22cos ααα+=（）A.14-B.34C.2D.6【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件得tan 2α=，然后将目标式子用tan α表示，由此即可得解.【详解】由()πcos 2cos 3π2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，得sin 2cos αα=，则tan 2α=，所以221sin sin22cos ααα+=222sin sin cos tan tan 426cos αααααα+=+=+=，故选：D.5.某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）ABCD 是面积为16的正方形，则该几何体的体积为（）A.16π3B.16πC.64π3D.72π【答案】C 【解析】【分析】得到4AB BC ==，确定球的半径和圆柱的底面圆半径和高，利用球和圆柱体积公式进行求解.【详解】因为四边形ABCD 是面积为16的正方形，则4AB BC ==，由题意可知半球的半径2R =，圆柱的底面圆半径2r =，高4h =，由球的体积公式可得半球的体积311416ππ233V R =⨯=，由圆柱的体积公式可得圆柱的体积22π16πV Sh r h ===，故该几何体的体积1216π64π16π33V V V =+=+=.故选：C.6.设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，213332,8S a a a =+=，则数列{}21n a n +-的前5项和为（）A.55B.57C.87D.89【答案】C 【解析】【分析】先由已知条件算出公比，然后得n a 表达式，结合分组求和、等差数列以及等比数列求和公式即可求解.【详解】因为是正项等比数列，所以10a >，公比0q >.因为21332S a a =+，所以()121332a a a a +=+，则3212023a a a --=，即21112320a q a q a --=，则22320q q --=，解得2q =或12q =-（舍），又因为231148a a q a ===，所以12a =，所以数列的通项公式为2n n a =，所以21221nn a n n +-=+-，设数列{}21n a n +-的前n 项和为n T ，则()()()()123212325221nn T n =++++++++- ()()123222213521n n =+++++++++- ()()1221212122122n n n n n +-+-=+=+--，所以62525287T =+-=，故选：C.7.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()0g x m -=在,126⎡⎤∈-⎢⎣⎦ππx 上有两个不等实根，则实数m 的取值范围为（）A.(]2,2-B.(2,-C.2⎤⎦D.(【答案】B 【解析】【分析】首先根据三角函数的图象与性质计算即可得()f x 表达式，先根据三角函数的图像变换得()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的单调性、对称性可判定m 的取值范围.【详解】由函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象可知，2A =，因为11ππ31264T -=，所以2ππ,2T Tω===，又π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π,62k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,6k k ϕ=+∈Z ，由π2ϕ<可得π6ϕ=，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，令3π4t x =-，由ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得2ππ,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数2sin y t =在2ππ,32⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减，在ππ,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且ππ2π2sin 2,2sin 2sin 233⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为关于x 的方程()0g x m -=在ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，即y m =与()y g x =的图像在ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个交点，即y m =与2sin y t =在2ππ,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个交点，所以实数m 的取值范围为(2,-，故选：B.8.已知定义域为R 的函数()f x 不是常函数，且满足()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()10f =，则20261()i f i ==∑（）A.2-B.2C.2026- D.2026【答案】A 【解析】【分析】依次算得()02f =，()f x 的周期为4，进一步结合已知得()()()()()()310,202,402f f f f f f =-==-=-==，由此得1+2+3+4=0，然后利用周期性即可求解.【详解】由题意，令0y =，得()()()20f x f x f =，又=不是常函数，所以()02f =，再令1y =，得()()()()111f x f x f x f ++-=，即()()110f x f x ++-=，则+2=−，即()()2f x f x -=-，故()()4f x f x =+，所以函数=的周期为4，由+2=−，令1x =，得()()()()()()310,202,402f f f f f f =-==-=-==，所以1+2+3+4=0，所以20261()506[(1)(2)(3)(4)](2025)(2026)(2025)(2026)i f i f f f f f f f f ==+++++=+=∑()()122f f +=-.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量()()1,4,2,1X N Y N ~~，则下列说法正确的是（）A.若(0)0.2P X <=，则()20.4P X ≤=B.若()()0.20.1P X a P X ≥=≤=，则10.49a P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭C.()()12P X P Y >>>D.()()44P X P Y ≤<≤【答案】BD 【解析】【分析】根据正态分布函数的性质逐一判断各个选项即可求解.【详解】对于选项A ，因为()(0)20.2P X P X <=>=，所以()()21210.2P X P X ≤=->=-=0.8，故A 错误；对于选项B ，因为()1,4X N ~，且()()0.20.1P X a P X ≥=≤=，则0.212a +=，即a =1.8，则()1(0.21)(1)0.20.50.10.49a P X P X P X P X ⎛⎫<<=<<=<-≤=-=⎪⎝⎭，故B 正确；对于选项C ，()()120.5P X P Y >=>=，故C 错误；对于选项D ，因为随机变量()()1,4,2,1X N Y N ~~，所以11221,2,2,1μσμσ====，因为()()()()()1122452,42P X P X P X P Y P Y μσμσ≤<≤=≤+≤=≤+，又()()112222P X P Y μσμσ≤+=≤+，所以()()44P X P Y ≤<≤，故D 正确，故选：BD.10.已知函数()322f x x x x =-+-，若()()22g x f x x x a =-++，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的单调递增区间为()1,3B.函数()f x 的极大值点为1C.若[]1,2x ∈，则()f x 的值域为[]2,0-D.若0x ∀≥，都有()0g x ≤成立，则a 的取值范围为(],1-∞-【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，求导，解不等式求出函数单调性；B 选项，在A 选项基础上得到函数的极大值点；C 选项，()f x 在[]1,2上单调递减，从而求出值域；D 选项，参变分离，得到32a x x x ≤--，构造函数()32h x x x x =--，求导得到其单调性，求出()h x 的最小值为()11h =-，故1a ≤-.【详解】对于选项A ，因为()322f x x x x =-+-，所以()()()2341311f x x x x x =-+-=---'，所以当()1,1,3x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 错误；对于选项B ，如下表：x1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞()f x '-+-()f x 单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以1为函数()f x 的极大值点.故B 正确；对于选项C ，()f x 在[]1,2上单调递减，所以()f x 的最小值为()22f =-，最大值为()10f =，所以当[]1,2x ∈时，()f x 的值域为[]2,0-，故C 正确；对于选项D ，()()2322g x f x x x a x x x a =-++=-+++.因为()0g x ≤.即32a x x x ≤--，令()32h x x x x =--，则()()()2321311h x x x x x =--=+-'，因为[)0,x ∈+∞，所以当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增，当[)0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减，所以当1x =时取到极小值，所以()h x 的最小值为()11h =-，所以1a ≤-，故D 正确.故选：BCD.11.已知曲线:4G x x y y +=，则下列说法正确的是（）A.点()1,1在曲线G 上B.直线:l y x =-与曲线G 无交点C .设直线:2l y kx =+，当()1,0k ∈-时，直线l 与曲线G 恰有三个公共点D.直线:2l x y +=与曲线G 所围成的图形的面积为π2-【答案】BCD 【解析】【分析】直接将点()1,1代入曲线方程即可判断A ；分,x y 的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，当斜率为1-时结合渐近线可得B 正确；由四分之一圆面积减去三角形面积可得D 正确；由图形可得C 正确.【详解】222222224,0,04,0,044,0,04,0,0x y x y x y x y x x y y y x x y x y x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎪+=⇒⎨-=⎪⎪--=<<⎩，因为当0,0x y <<时，224x y --=无意义，无此曲线，故舍去，所以曲线G 表示为2222224,0,04,0,04,0,0x y x y x y x y y x x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎨⎪-=⎩，作出曲线图象如图所示，对于选项A ，将点(1,1)代入4x x y y +=，得到24=，显然不成立，故A 错误；对于选项B ，将y x =-代入曲线G 得，04x x x x -=≠，无解，故B 正确；对于选项C ，由于直线2y kx =+恒过点0,2，当0k =时，直线与x 轴平行，与曲线G 有一个交点；当1k =-时，直线与曲线G 的渐近线平行，此时与曲线G 有两个交点.当10k -<<时.结合斜率的范围可得直线与曲线G 有三个交点（如图），故C 正确；对于选项D ，设直线l 与,x y 轴的交点分别为,A B .因为圆的半径为2.且点()()2,0,0,2A B ，所以直线与曲线G 围成的图形的面积为211π222π242⨯⨯-⨯⨯=-，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据,x y 的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()2ln 31,,f x a x x b a b =+-+∈R ，若曲线()y f x =在0x =处的切线方程为32y x =+，则a b +=__________.【答案】3【解析】【分析】由切线方程可知切点坐标和切线斜率，利用导数几何意义，建立方程，可求,a b 的值，进而得到所求和.【详解】由函数()()2ln 31f x a x x b =+-+，有()0f b =，由()3231af x x x =-+'，可得()03f a '=，因为曲线=在0x =处的切线方程为32y x =+，所以33,302,a b =⎧⎨=⨯+⎩解得1,2a b ==，则3a b +=.故答案为：3.13.已知双曲线G22−22=1>0,>0的左､右焦点分别为12,F F ，过坐标原点O 的直线与双曲线C 交于,M N 两点，且点M 在第一象限，满足120MF MF ⋅=.若点P 在双曲线C 上，且112F P NF = ，则双曲线C 的离心率为______.【答案】173【解析】【分析】作出辅助线，根据数量积为0得到垂直关系，设1NF m =，则12PF m =，由双曲线定义可得2222,2PF a m NF a m =+=+，由勾股定理得到方程，求出23m a =，进而求出173c a ==.【详解】如图，连接1222,,,MF MF NF PF ，因为120MF MF ⋅= ，所以12π2F MF ∠=，由对称性可得12π2F NF ∠=，由112F P NF =，可设1NF m =，则12PF m =，由双曲线的定义可知，212PF PF a -=，212NF NF a -=，则2222,2PF a m NF a m =+=+，由12π2F NF ∠=得，22222||PF PN NF =+，即222(22)9(2)a m m a m +=++，解得23m a =，又由12π2F NF ∠=得，2221212F F F N NF =+，即222221228684339a a F F a c ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得171793c a ==，所以双曲线C 的离心率173e =.故答案为：17314.某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为23，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对m 道试题的概率为()f m ，则当m =__________时，()f m 取得最大值.【答案】13或14【解析】【分析】先得到()202022C 133m mm f m -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用()()()()11f m f m f m f m ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩解不等式即可.【详解】由题意得()202022C 133mmm f m -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，020≤≤m 且m ∈N ，则()()()()11f m f m fm f m ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩，即201211202020119120202222C 1C 1,33332222C 1C 1,3333m m m mm m m m m mm m -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-≥⨯⨯-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⨯⨯-≥⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩故()()()()()()20!220!1,!20!31!21!320!120!2,!20!31!19!3m m m m m m m m ⎧⨯≥⨯⎪---⎪⎨⎪⨯≥⨯⎪-+-⎩又m ∈N ，所以13m =或14m =，故当13m =或14m =时，()f m 取得最大值.故答案为：13或14.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos cos cos A A Cac ab bc-=.（1）求角A ；（2）若a ABC =，求ABC V 的周长.【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理、三角恒等变换得2cos 1A =，进一步即可求解；（2）根据三角形面积公式得4bc =，进一步结合余弦定理可得b c +=.【小问1详解】由题意，因为2cos cos cos A A Cac ab bc-=，所以2cos cos cos b A c A a C -=，由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，即()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+=，因为sin 0B ≠，所以2cos 1A =，所以1cos 2A =，又0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】由（1）可知，π3A =，则1sin ,cos 22A A ==，因为ABC V的面积113sin 222ABC S bc A bc ==⨯= 4bc =，由余弦定理可得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，即212()34b c =+-⨯，可得b c +=，所以ABC V 的周长为a b c ++=.16.已知椭圆()2222Γ:10x y a b a b +=>>的左焦点为1F ，上､下顶点分别为,A B ，且1π2AF B ∠=，点1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在Γ上.（1）求椭圆Γ的方程；（2）过左焦点1F 的直线交椭圆Γ于,M N 两点，交直线2x =-于点P ，设1PM MF λ= ，1PN NF μ=，证明：λμ+为定值.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由1π2AF B ∠=，得a =，再把点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程求出,a b 即可；（2）设出直线MN 的方程，代入椭圆方程，设()()1122,,,M x y N x y ，由1PM MF λ= ，1PN NF μ=，表示出λμ+，利用韦达定理化简得定值.【小问1详解】由题意可知，1π2AF B ∠=，所以a =，因为点21,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在Γ上，所以2211122b b +=，解得1b =，故a =，所以椭圆Γ的方程为2212x y +=.【小问2详解】由已知得直线MN 的斜率必存在，可设直线MN 的方程为()1y k x =+，代入椭圆方程，整理得()2222124220kxk x k +++-=，2880k ∆=+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则()22121222214,1212k k x x x x k k-+=-=++，又()()12,,1,0P k F ---，由11,PM MF PN NF λμ== 得121222,11x x x x λμ++=-=-++.所以()()()121212*********1111x x x x x x x x x x λμ++++++=--=-++++，因为()()2212122221423423401212k k x x x x k k -⎛⎫+++=⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭，所以0λμ+=为定值.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面,ABCD PDC 为钝角三角形且DP DC =，2290,DAB ABC ADB DCB E ∠∠∠∠==== 是PA 的中点.（1）证明：BD PD ⊥；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求平面BDE 与平面CDE 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）427【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质得到BD ⊥平面PCD ，再根据线面垂直的性质即可得证.（2）根据已知条件建立适当的空间直角坐标系，表示出,,,B C D E 的坐标，求出两个平面的法向量，再结合向量夹角的坐标公式以及同角三角函数关系即可求解.【小问1详解】由2290DAB ABC ADB DCB ∠∠∠∠==== ，得,AD AB AD =//BC ，则45DBC DCB ∠∠== ，所以,90BD CD BDC ∠== ，即BD CD ⊥，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面,ABCD CD BD =⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD ，所以BD PD ⊥.【小问2详解】如图，过点P 作CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，连接AH ，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面,ABCD CD PH =⊂平面,PCD PH CD ⊥，所以PH ⊥平面ABCD ，则DH 为PD 在底面ABCD 内的射影，所以PDH ∠为直线PD 与底面ABCD 所成的角，即60PDH ∠= .设1AD =，得2BD DC DP BC ====，在PHD △中，26,22DH PH ==，在ADH 中，45ADH ∠= ，由余弦定理得2AH =，所以222AH DH AD +=，所以AH CD ⊥，如图，过点D 作DF //PH ，则DF ⊥底面ABCD ，以,,DB DC DF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则)(),,0,,,,,0,,,2222424BC P A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以)(),,,,424DB DE DC ⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BDE 和平面CDE 的法向量分别为()()111222,,,,,n x y z m x y z ==，则111102260424n DB n DE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，222202260424m DC m DE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令121,1z z ==，则11220,0x y x y ====，所以()30,,2n m ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，则cos ,7n m n m n m⋅===，设平面BDE 与平面CDE 的夹角为θ，则742cos ,sin 77θθ===，故平面BDE 与平面CDE夹角的正弦值为7.18.已知函数()()21(0)f x x a x a =++<.（1）证明：函数()f x 的极大值大于1；（2）若函数()f x 有3个零点，求实数a 的取值范围；（3）已知(),,0,1,2,3i i i A x y i =是()f x 图象上四个不重合的点，直线03A A 为曲线=在点0A 处的切线，若123,,A A A 三点共线，证明：1202x x x +=.【答案】（1）证明见解析（2）,2⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，得到函数单调性，确定当x =时，()f x 取得极大值，由单调性得到()01f f ⎛>= ⎝；（2）在（1）的基础上，得到函数()f x 有3个零点，应满足0f <，即103a a ⎛-+< ⎝，解得322a <-；（3）表达出直线03A A 的斜率03223300i A A k x x x x a =+++，同理可得1321222211331122,A A A A k x x x x a k x x x x a =+++=+++，根据三点共线得到方程，得到123x x x +=-，又()030A A k f x ='，所以()()303020x x x x +-=，求出302x x -=，故1202x x x +=.【小问1详解】证明：由题，()23f x x a ='+，令()0f x '=，解得x =，当x <或x >()()0,f x f x '>单调递增，当x <<()()0,f x f x '<单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，由单调性可知()01f f ⎛>= ⎝，所以函数()f x 的极大值大于1.【小问2详解】由（1）可知，当x =时，()f x 有极大值，且极大值为10f ⎛>> ⎝，因为()(),;,x f x x f x ∞∞∞∞→-→-→+→+，且当x =()f x 有极小值，所以要使得函数()f x 有3个零点，应满足0f <，即103a a ⎛-+< ⎝，解得2a <-，所以实数a的取值范围为,2∞⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.【小问3详解】直线03A A 的斜率()()()0333223300303300303011A A x ax x ax xx x x x x ak x x x x ++-++-+++==--，因为30x x ≠，所以03223300i A A k x x x x a =+++，同理可得1321222211331122,A A A A k x x x x a k x x x x a =+++=+++，因为123,,A A A 三点共线，则有222211331122x x x x a x x x x a +++=+++，整理得()()()3232123x x x x x x x -+=-，因为32x x ≠，所以321x x x +=-，即123x x x +=-，又()030A A k f x ='，所以222330003x x x x a x a +++=+，整理得()()303020x x x x +-=，因为30x x ≠，所以3020x x +=，即302x x -=，所以1202x x x +=.【点睛】方法点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数19.已知有限集{}()123,,,,2n A a a a a n =≥ ，若A 中的元素()1,2,,i a i n =L 满足1212n n a a a a a a =+++ ，则称A 为“n 元重生集”.（1）集合11,22⎧---+⎪⎨⎪⎪⎩⎭是否为“2元重生集”，请说明理由；（2）是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”？如果有，请求出有几个，如果没有，请说明理由；（3）若*i a ∈N ，证明：“n 元重生集”A 有且只有一个，且3n =.【答案】（1）不是，理由见解析（2）存在，1个（3）证明见解析【解析】【分析】（1）11112222--+--+⨯≠+，故11,22⎧---+⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭不为“2元重生集”；（2）设正整数集{}123,,A a a a =为“3元重生集”，设123a a a <<，利用不等式关系推出123a a <，故121,2a a ==，求出{}1,2,3A =；（3）设123n a a a a <<<< ，得到121n a a a n -< ，当2n =时，推出矛盾，当3n =时，由（2）可知，有且只有1个“3元重生集”，即{}1,2,3，当4n ≥时，推出()1!n n >-，但()1!n n ->在4n ≥上恒成立，故当4n ≥时，不存在“n 元重生集”，从而证明出结论.【小问1详解】1112111,1224422-----+⨯==-+=-，因为11112222--+--+⨯≠+，所以集合11,22⎧---+⎪⎨⎪⎪⎩⎭不是“2元重生集”.【小问2详解】设正整数集{}123,,A a a a =为“3元重生集”，则123123a a a a a a =++，不妨设123a a a <<，则12312333a a a a a a a =++<，解得123a a <，因为*12,a a ∈N ，故只有121,2a a ==满足要求，综上，{}1,2,3A =满足要求，其他均不符合要求，故存在1个集合中元素均为正整数的“3元重生集”，即{}1,2,3A =.【小问3详解】不妨设123n a a a a <<<< ，由1212n n n a a a a a a na =+++< ，得121n a a a n -< ，当2n =时，12a <，故11a =，则221a a +=，无解，若*12,a a ∈N ，则{}12,a a 不可能是“2元重生集”，所以当2n =时，不存在“2元重生集”；当3n =时，由（2）可知，有且只有1个“3元重生集”，即{}1,2,3，当4n ≥时，()1211231n a a a n -≥⨯⨯⨯⨯- ，又121n a a a n -< ，故()1!n n >-，事实上，()()()221!1232(2)2n n n n n n n n -≥--=-+=--+>在4n ≥上恒成立，故当4n ≥时，不存在“n 元重生集”，所以若*,i a ∈N “n 元重生集”A 有且只有一个，且3n =.【点睛】思路点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。
2020年高考数学真题(共13套)后附解析
2020年高考数学真题（共13套）后附解析一、2020年全国甲卷高考数学真题1. 选择题（1）设a，b为实数，若|a|＝b，则a的值为（）A. a＝bB. a＝±bC. a＝0D. a＝±1（2）已知函数f(x)＝2x＋1，则f(f(1))的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8（3）下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A. y＝x^3B. y＝x^2C. y＝|x|D. y＝x^3－x（4）在等差数列{an}中，若a1＝1，a3＝3，则数列的公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 4（5）已知复数z＝(1＋i)^5，则z的实部为（）A. 0B. 1C. 2D. 4（6）若点P在直线y＝2x＋1上，且P到原点的距离等于5，则点P的坐标为（）A. (2, 5)B. (3, 7)C. (4, 9)D. (5, 11)2. 填空题（7）已知函数f(x)＝x^2－2x＋1，则f(x)的最小值为______。
（8）若向量a＝(2, 3)，b＝(－1, 2)，则2a－3b＝______。
（9）在三角形ABC中，a＝3，b＝4，cosA＝3/5，则sinB的值为______。
（10）已知等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，则数列的前5项和为______。
3. 解答题（11）求函数f(x)＝x^3－3x的最小值。
（12）已知函数f(x)＝ax^2＋bx＋c（a≠0），且f(1)＝3，f(－1)＝5，f(2)＝10，求f(x)的表达式。
（13）在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝120°，求△ABC的面积。
（14）已知数列{an}的通项公式为an＝2^n，求证数列{an}是递增数列。
二、2020年全国乙卷高考数学真题1. 选择题（1）若函数f(x)＝lg(x^2－2x)，则f(x)的定义域为（）A. (－∞, 0)∪(2, +∞)B. (－∞, 1)∪(1, +∞)C. (0, 2)D. (－∞, 0)∪(0, 2)（2）在等差数列{an}中，若a1＝3，a5＝15，则数列的公差d为（）A. 3B. 4C. 5D. 6（3）已知点A(2, 3)，点B在直线y＝－x上，且AB的长度为5，则点B的坐标为（）A. (－3, 3)B. (－3, 4)C. (－2, 2)D. (－1, 1)（4）下列函数中，既是偶函数又是周期函数的是（）A. y＝sinxB. y＝cosxC. y＝tanxD. y＝e^x（5）若复数z满足|z|＝1，且z的实部为正数，则z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限（6）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，若a^2＋b^2＝c^2，则△ABC是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形2. 填空题（7）已知函数f(x)＝x^2－4x＋3，则f(x)的零点为______。
2024年全国统一考试高考新课标Ⅰ卷数学试题(真题+答案)
2024年全国统一考试高考新课标Ⅰ卷数学试题数学使用地区：山东、河北、湖北、福建、湖南、广东、江苏、浙江、江西、安徽、河南一、单选题1．已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （）A ．{1,0}-B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-2．若1i 1zz =+-，则z =（）A ．1i --B ．1i -+C ．1i-D ．1i+3．已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A ．3m-B ．3m -C ．3m D ．3m5）A ．B ．C ．D ．6．已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞7．当∈[0,2p 时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．88．已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <二、多选题9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A ．(2)0.2P X >>B ．(2)0.5P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><10．设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A ．3x =是()f x 的极小值点B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->11．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题12．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．13．若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a .14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.四、解答题15．记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2C B ，2222a b c +-(1)求B ；(2)若ABC 的面积为33，求c ．16．已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,3BC AB ==．(1)若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；(2)若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为7，求AD ．18．已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--(1)若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；(2)证明：曲线()y f x =是中心对称图形；(3)若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19．设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．(1)写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；(2)当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．2024年新课标全国Ⅰ卷数学参考答案一、单选题1．已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （）{3,1,0}--2．若1i 1zz =+-，则z =（）3．已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-= ，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.4．已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A ．3m -B ．3m -C ．3m D ．3m【答案】A【解析】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.5）6．已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）7．当∈[0,2p 时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：看图可知，两函数图象有6个交点.故选：C.8．已知函数为()f x 的定义域为R ，，且当时，则下列结论中一定正确的是（）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <【答案】B【解析】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；故ACD 错误。
2023年新高考(新课标)全国1卷数学试题真题(含答案解析)
2023年新高考全国Ⅰ卷数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M ={−2,−1,0,1,2}和N ={x |x 2−x −6≥0}，则M ∩N =（ ） A. {−2,−1,0,1} B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}2. 已知1i22iz -=+，则z z -=（ ） A. i -B. iC. 0D. 13. 已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+，则（ ） A. 1λμ+= B. 1λμ+=- C. 1λμ= D. 1λμ=-4. 设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A. (],2-∞-B. [)2,0-C. (]0,2D. [)2,+∞5. 设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =，则=a （ ）A.B.C.D.6. 过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（ ）A. 1B.4C.4D.47. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（ ）． A.79 B.19C. 19-D. 79-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（ ） A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（ ）． A. 12p p ≥ B. 2310p p > C. 30100p p =D. 12100p p ≤11. 已知函数()f x 的定义域为R 和()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）． A. ()00f = B. ()10f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） A. 直径为0.99m 的球体 B. 所有棱长均为1.4m 的四面体C. 底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D. 底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．14. 在正四棱台1111ABCD A B C D -中1112,1,AB A B AA ===________．15. 已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．16. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上11222,3F A F B F A F B ⊥=-，则C 的离心率为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=． （1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．18. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明：2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D --为150︒时，求2B P ． 19. 已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时()32ln 2f x a >+．20. 设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．21. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ． 22. 在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ． （1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于2023年新高考全国Ⅰ卷数学试题答案解析（2023·新高考Ⅰ卷·1·★）已知集合{2,1,0,1,2}M =--和2{|60}N x x x =--≥，则M N =（ ）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{0,1,2} （C ）{2}- （D ）{2} 答案：C解析：260(2)(3)02x x x x x --≥⇔+-≥⇔≤-或3x ≥，所以(,2][3,)N =-∞-+∞。
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一、填空题1 ．（河北省廊坊市大城一中2013届高三3月月考数学试题）极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为_________; 二、解答题 2 ．（山西省忻州市2013届高三第一次联考数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知两点O (0,0),B(22,π4).(1)求以OB 为直径的圆C 的极坐标方程,然后化成直角方程;(2)以极点O 为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为,12,x t y t ⎧⎨⎩＝＝＋(t 为参数).若直线l 与圆C 相交于M,N 两点,圆C 的圆心为C ,求∆MNC 的面积.3 ．（山西省太原市2013届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线2:sin 2cos (0)C p a a θθ=>过点P(-2,-4)的直线22,:(24x t l t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)与曲线 C 相交于点M,N 两点.(I)求曲线C 和直线l 的普通方程;(Ⅱ)若|PM|l,| MN|,|PN |成等比数列,求实数a 的值4 ．（山西省山大附中2013届高三3月月考数学理试题）在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (0>>b a ,ϕ为参数),在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C 是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线1C 上的点)23,1(M 对应的参数3πϕ=,射线3πθ=与曲线2C 交于点)3,1(πD .(I)求曲线1C ,2C 的方程; (II)若点),(1θρA ,)2,(2πθρ+B 在曲线1C 上,求222111ρρ+的值.5 ．（山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第三次四校联考数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系.已知曲线θθρcos 2sin :2a C =)0(>a,已知过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222,直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点. zxxk(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程;(2)若|||,||,|PN MN PM 成等比数列,求a 的值.6 ．（山西省2013届高三高考考前适应性训练数学（理）试题）选修4——4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=,2cos 3,sin 32ααy x (其中α为参数,R ∈α).在极坐标系(以坐标原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,曲线2C 的极坐标方程为a =-)4cos(πθρ.(1)把曲线1C 和2C 的方程化为直角坐标方程; (2)若曲线1C 上恰有三个点到曲线2C 的距离为23,求曲线2C 的直角坐标方程.7 ．（河南省郑州市2013年高中毕业年级第二次质量预测数学（理）试题）选修4一4:坐标系与参数方程已知直线C 1: ⎩⎨⎧=+=a t y a t x sin cos 1’(t 为参数),曲线C 2: ⎩⎨⎧==θθsin cos y x (θ为参数).(II)过坐标原点0作C 1的垂线,垂足为A,P 为OA 中点,当a 变化时,求P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.8 ．（河南省十所名校2013届高三第三次联考数学（理）试题）选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos(θ-3π)=-1,曲线C 2的极坐标方程为ρ=cos(θ-4π).以极点为坐标原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线C 2的直角坐标方程;(Ⅱ)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值.9．（河南省洛阳市2013届高三期上学期末考试数学（理）试题（WORD版））选修4-4:坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P 点的极坐标为,曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ.(Ⅰ)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程;(Ⅱ)若为C上的动点,求中点到直线(t为参数)距离的最小值.10．（河南省洛阳市2013届高三二练考试数学（理）试题）(本题满分 10 分)选修 4 一 4 :极坐标与参数方程已知曲线 C 的极坐标方程为 p = 1 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为11,2(32.2xty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数),设曲线 C 经过伸缩变换3'1,23' 1.2xxy y⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得到曲线 C ' ,试判断l与C’的位置关系.11．（河南省六市2013届高中毕业班第一次联合考试数学（理）试题）选修4—4:坐标系与参数方程以直角坐标系原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为1cos2sinx ty tαα⎧⎪⎨⎪⎩＝＋,＝，(t为参数,0<α<π).曲线C的极坐标方程为ρ=22cossinθθ.(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于A、B两点,当α变化时,求|AB|的最小值.12．（河南省开封市2013届高三第二次质量检测数学（理）试题）选修4—4:坐标系与参数方程已知极点与坐标原点重合,极轴与x轴非负半轴重合,两个坐标系单位长度相同,己知直线l:1cos(1sinx tty tαα=-+⎧⎨=+⎩为参数),曲线C的极坐标方程:4cosρθ=.(I)若直线l的斜率为-1,求直线l与曲线C交点的极坐标;(Ⅱ)设曲线C与直线l相交于A、B两点,且||23AB=,求直线l的参数方程.13．（河南省焦作市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）选修4-4,坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数),在极坐标系(与直角坐标系xoy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为5sin ρθ=.(1)求圆C 的直角坐标方程;(2)设圆C 与直线l 交于点A,B,若点P 的坐标为(3,5),求|PA|+|PB|.14．（河北省武邑中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）《选修4-4:坐标系与参数方程》在极坐标系中,极点为O ,曲线1C :2ρ=与曲线2C :sin()2,4πρθ-=交于不同的两点,A B .(1)求AB 的值;(2)求过点(1,0)C 且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程.15．（河北省唐山市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴.己知曲线C 1的极坐标方程为p=4cos θ曲线C 2的参数方程是⎩⎨⎧=+=a t y at m x sin cos (t 为参数,π<≤a 0),射线4,4,πϕθπϕθϕθ-=+==与曲线C 1交于极点O 外的三点A,B, C.(I)求证:||2||||OA OC OB =+;(II)当12πϕ=时,B , C 两点在曲线C 2上,求m 与a 的值.16．（河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（word 版））选修4—4:坐标系与参数方程已知直线cos :sin x m t l y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)经过椭圆cos :x C y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩23(ϕ为参数)的左焦点F.(Ⅰ)求m 的值;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,求||||FA FB 的最大值和最小值.17．（河北省石家庄市2013届高中毕业班第一次模拟考试数学理（A ）试题（word 版） ）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系.x 0y 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为: θθρcos sin 2= (I)求曲线l 的直角坐标方程;18．（河北省石家庄市2013届高三下学期第二次质量检测数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C1的极坐标方程为:)0(10cos 1332>-=ρθρρ (I)求曲线C1的普通方程;(II)曲线C2的方程为141622=+y x ,设P 、Q 分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点,求|PQ|的最小值.19．（河北省衡水中学2013届高三第六次模拟考试数学（理）试题）在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数),曲线P 在以该直角坐标系的原点O 的为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为24cos 30p p θ-+=.(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B,求|AB|.20．（河北省邯郸市2013届高三下学期第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线I 的参数方程(I )求曲线C 的直角坐标方程;(II)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,当a 变化时,求||AB的最小值.21．（河北省保定市2013届高三第一次模拟数学理试题（WORD 版））选修4-4:坐标系与参数方程已知:直线l 的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).(1)若在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为(4,3π),判断点P 与直线l 的位置关系;(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求点Q 到直线l 的距离的最大值与最小值的差.【精品推荐】新课标全国统考区（山西、河南、河北）2013届高三名校理科最新试题精选（31套）分类汇编20：坐标系与参数方程参考答案一、填空题1. ;二、解答题2. 解: (Ⅰ)设P (ρ,θ)为圆上任意一点,则|OP |=ρ,∠PO x=θ-π4,在Rt ∆POB 中,cos(θ-π4)=ρ22,即ρ=22cos(θ-π4).∴ρ2=22ρ cos θ⋅22+22ρ sin θ⋅22, ∴圆C 的直角坐标方程为 (x -2)2+(y -2)2=2 (Ⅱ)作CD ⊥MN 于D ,C 到直线l 的距离为d =255,在R t ∆CDA 中,|MN |=22－d 2=2305, ∴S =12×2305×255=2653.4.。