一次函数几何专题综合训练
中考数学专题《一次函数与几何综合》高分必刷原卷
（培优特训）专项19.3 一一次函数与几何综合高分必刷1．（2023春•普兰店区期中）已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CD＝4，BD ＝AD．点F从点A出发，沿AC﹣CD运动，速度为1cm/s，同时点E从点B 出发，沿BD﹣DA运动，运动速度为1cm/s，一个点到达终点，另一点也停止运动．（1）求BD的长；（2）设△AEF的面积为S，点P、Q运动时间为t，求S与的函数关系式，并写出的取值范围．2．（2023春•鼓楼区期中）如图1，已知直线l1：y＝ax﹣6a交x轴于点A，交轴y于点B，直线l2：y＝bx﹣18a交x轴于点C，交y轴于点D，交直线l1于点E．（1）求点A的坐标；（2）若点B为线段AE的中点，求证：EC＝EA；（3）如图2，已知P（0，m），将线段P A绕点P逆时针方向旋转90°至PF，连接OF，求证：点F在某条直线上运动，并求OF的最小值．3．（2023春•苍南县期中）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A落在x轴上，点B的坐标为（7，4），AB＝2，点D是OC的中点，点E是线段AD上一动点，EF⊥BC于点F，连结DF．（1）求点A、C的坐标．（2）求直线AD的函数表达式．（3）若△DEF是等腰三角形，求CF的长．4．（2023•佳木斯一模）如图，将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴上，点C在x轴上，OA，OB的长是x2﹣16x+60＝0的两个根，P是边AB上的一点，将△OAP沿OP折叠，使点A落在OB上的点Q处．（1）求点B的坐标；（2）求直线PQ的解析式；（3）点M在直线OP上，点N在直线PQ上，是否存在点M，N，使以A，C．M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023春•顺德区校级月考）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）当x时，kx+b≥mx﹣n；（2）不等式kx+b＜0的解集是；（3）求两个一次函数表达式；（4）若直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积．6．（2023春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣2与x 轴、y轴分别交于点A、点B，与直线CD：y＝kx+b（k≠0）交于点P，OC ＝OD＝4OA．（1）求直线CD的解析式；（2）连接OP、BC，若直线AB上存在一点Q，使得S△PQC ＝S四边形OBCP，求点Q的坐标；（3）将直线CD向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023春•宜兴市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），点B、C都在x轴上，BC＝12，AD∥BC，CD所在直线的函数表达式为y＝﹣x+9，E是BC的中点，点P是BC边上一个动点．（1）当PB＝时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（2）点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．8．（2023春•工业园区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x轴与y轴上，直线AB的解析式为，以线段AB、BC为边作平行四边形ABCD．（1）如图1，若点C的坐标为（3，7），判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，P为CD边上的动点，点C关于直线BP的对称点是Q，连接PQ，BQ．①当∠CBP＝°时，点Q位于线段AD的垂直平分线上；②连接AQ，DQ，设CP＝x，设PQ的延长线交AD边于点E，当∠AQD＝90°时，求证：QE＝DE，并求出此时x的值．9．（2023•沈阳一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点B（﹣5，0），与y轴交于点A，直线过点A，与x轴交于点C，点P 是x轴上方一个动点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）若点P在线段AB上，且S△APC ＝S△AOB，求点P的坐标；（3）当S△PBC ＝S△AOB时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值．10．（2023春•鼓楼区期中）如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点M的坐标；②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．11．（2023春•顺德区校级期中）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，0）、B（﹣1，1），且和一次函数y＝﹣2x+a的图象交于点C，如图所示．（1）填空：不等式kx+b＜0的解集是；（2）若不等式kx+b＞﹣2x+a的解集是x＞1，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是直线y＝﹣2x+a上一动点．且在点C上方，当∠P AC＝15°时，求点P的坐标．12．（2023春•重庆期中）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为（1，n）．（1）则k＝，b＝，n＝；（2）求四边形AOCD的面积；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P的坐标．13．（2023春•崇川区校级月考）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．（1）求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：已知直线l1：y＝﹣x﹣4与y轴交于A点．将直线l1绕着A 点逆时针旋转45°至l2，如图2，求l2的函数解析式．14．（2023春•崇川区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+4分别与x轴，y轴交于点B，C．直线l2：y＝x．（1）直接写出点B，C的坐标：B，C．（2）若D是直线l2上的点，且△COD的面积为6，求直线CD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，且当点D在第一象限时，设P是射线CD上的点，在平面内存在点Q．使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接求点Q的坐标．15．（2023•城固县模拟）如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱A中没有水，水箱B盛满水，现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注满水为止．设注水时间为t（min），水箱A 的水位高度为y A（dm），水箱B中的水位高度为y B（dm）．（抽水水管的体积忽略不计）（1）分别求出y A，y B与t之间的函数表达式；（2）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．16．（2022秋•常州期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象l1与x轴交于点A，一次函数y＝x+6的图象l2与x轴交于点B，与l1交于点P．直线l3过点A且与x轴垂直，C是l3上的一个动点．（1）分别求出点A、P的坐标；（2）设直线PC对应的函数表达式为y＝kx+b，且满足函数值y随x的增大而增大．若△PCA的面积为15，分别求出k、b的值；（3）是否存在点C，使得2∠PCA+∠P AB＝90°？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2023春•靖江市期中）如图，平面直角坐标系中，已知点A（0，a）在y 轴正半轴上，点B（0，b）（a＞b），点C（c，0）在x轴正半轴上，且a2﹣2ab+b2（1）如图1，求证：AB＝OC；（2）如图2，当a＝3，b＝1时，过点B的直线与AC成45°夹角，试求该直线与AC交点的横坐标；（3）如图3，当b＜0时，点D在OC的延长线上，且CD＝OB，连接AD，射线BC交AD于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，∠AEB的度数是否为定值？如果是，请求出∠AEB的度数；如果不是，请说明理由．18．（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，（1）求直线CD的解析表达式；（2）如图，点P是直线CD上的一个动点，当△PBM的面积为20时，求点P的坐标；（3）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．19．（2023春•揭西县校级月考）在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b经过点P （2，2）和点Q（0，﹣2），与x轴交于点A，与直线y2＝mx+n交于点P．（1）求出直线y1＝kx+b的解析式；（2）当m＜0时，直接写出y1＜y2时自变量x的取值范围；（3）直线y2＝mx+n绕着点P任意旋转，与x轴交于点B，当△P AB是等腰三角形时，请直接写出符合条件的所有点B的坐标．20．（2023春•溧阳市校级月考）如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是由△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是2和4；（1）求直线BD的表达式；（2）求△OFH的面积；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2023春•江都区月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x 轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）求点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．22．（2023春•新城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．（1）若直线l2上存在点P（不与B重合），满足S△COP＝S△COB，求出点P的坐标；（2）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M、N，且点M 在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2022秋•宿豫区期末）如图，直线l分别与x轴、y轴交于点A（4，0）、B （0，5），把直线l沿y轴向下平移3个单位长度，得到直线m，且直线m分别与x轴、y轴交于点C、D．（1）求直线l对应的函数表达式；（2）求四边形ABDC的面积．24．（2022秋•临淄区期末）如图，在直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（0，2），C（2，3），D（4，0）．（1）求直线BC的表达式；（2）线段AB与BC相等吗？请说明理由；（3）求四边形ABCD的面积；（4）已知点M在x轴上，且△MBC是等腰三角形，求点M的坐标．25．（2022秋•金牛区期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝2x+b 与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线CD：y＝﹣x+与x轴、y轴、直线AB分别交于点C、D、E，求△BDE面积；（3）如图2，在（2）的条件下，点F为线段AC上一动点，将△EFC沿直线EF翻折得到△EFN，EN交x轴于点M．当△MNF为直角三角形时，求点N 的坐标．26．（2022秋•婺城区期末）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是射线BO上的动点，过点B作直线AP的垂线交x轴于点Q，垂足为点C，连结OC．（1）当点P在线段BO上时，①求证：△AOP≌△BOQ；②若点P为BO的中点，求△OCQ的面积．（2）在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△OCQ成为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2022秋•郫都区期末）在直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣x+4与x轴、y 轴分别交于点A，点B．直线l2：y＝mx+m（m＞0）与x轴，y轴分别交于点C，点D，直线l1与l2交于点E．（1）若点E坐标为（，n）．ⅰ）求m的值；ⅱ）点P在直线l2上，若S△AEP＝3S△BDE，求点P的坐标；（2）点F是线段CE的中点，点G为y轴上一动点，是否存在点F使△CFG 为以FC为直角边的等腰直角三角形．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．28．（2022秋•市中区期末）如图，直线y＝kx+b经过点，点B（0，25），与直线交于点C，点D为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E．（1）求直线AB的表达式和点C的坐标；（2）当时，求△CDE的面积；（3）连接OD，当△OAD沿着OD折叠，使得点A的对应点A'落在直线OC 上，直接写出此时点D的坐标．29．（2022秋•新都区期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（﹣4，0）．（1）求直线AB的表达式；（2）点M是坐标轴上的一点，若以AB为直角边构造Rt△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标；（3）如图2，以A为直角顶点作∠CAD＝90°，射线AC交x轴的正半轴于点C，射线AD交y轴的负半轴于点D，当∠CAD绕点A旋转时，求OC﹣OD 的值．30．（2022秋•皇姑区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AD：y＝﹣x+4交y轴于点A，交x轴于点D．直线AB交x轴于点B（﹣3，0），点P为直线AB上的动点．（1）求直线AB的关系式；（2）连接PD，当线段PD⊥AB时，直线AD上有一点动M，x轴上有一动点N，直接写出△PMN周长的最小值；（3）若∠POA＝∠BAO，直接写出点P的纵坐标．31．（2022秋•新都区期末）如图所示，直线l1：y＝x﹣1与y轴交于点A，直线l2：y＝﹣2x﹣4与x轴交于点B，直线l1与l2交于点C．（1）求点A，C的坐标；（2）点P在直线l1上运动，求出满足条件S△PBC＝S△ABC且异于点A的点P的坐标；（3）点D（2，0）为x轴上一定点，当点Q在直线l1上运动时，请直接写出|DQ﹣BQ|的最大值．32．（2022秋•鸡西期末）如图，直角三角形ABC在平面直角坐标系中，直角边BC在y轴上，AB，BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，AB＜BC，且BC＝2OB，P为BC上一点，且∠BAP＝∠C．（1）求点A的坐标；（2）求直线AP的解析式；（3）M为x轴上一点，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．33．（2022秋•锦江区校级期末）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A 和点B，点C在线段AO上，将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若OA＝4，OD＝2．（1）求直线AB的解析式．（2）求S△ABC ：S△OCD的值．（3）直线CD上是否存在点P使得∠PBC＝45°，若存在，请直接写出P的坐标．34．（2022秋•福田区校级期末）已知：如图，一次函数的图象分别与x 轴、y轴相交于点A、B，且与经过点C（2，0）的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D．点D的横坐标为4，直线CD与y轴相交于点E．（1）直线CD的函数表达式为：；（2）点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ．①若直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，求点Q的坐标；②点Q是否存在某个位置，将△BQD沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的坐标轴上？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．35．（2022秋•抚州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），与y轴交于点A（0，a），且a，p满足＝0．（1）求直线AP的解析式；（2）如图1，直线x＝﹣2与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线x＝﹣2上，若△MAP的面积等于6，请求出点M的坐标；（3）如图2，已知点C（﹣2，4），若点B为射线AP上一动点，连接BC，在坐标轴上是否存在点Q，使△BCQ是以BC为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．36．（2022秋•天桥区期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，直线AB：y＝kx+与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A，两直线与x轴分别交于点B（﹣3，0）和C（2，0）．（1）求直线AB和AC的表达式．（2）点P是y轴上一点，当P A+PC最小时，求点P的坐标．（3）如图2，点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE交x轴于点F，若△DEF为直角三角形，求点D坐标．37．（2023•桐乡市校级开学）如图，一次函数y＝x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，OC⊥AB于点C，点P在直线AB上运动，点Q在y轴的正半轴上运动．（1）求点A，B的坐标；（2）求OC的长；（3）若以O，P，Q为顶点的三角形与△OCP全等，求点Q的坐标．38．（2022秋•秦都区期末）如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A （﹣3，0）与y轴交于点B（0，6），点C是直线AB上的一点，它的坐标为（m，4），经过点C作直线CD∥x轴交y轴于点D．（1）求点C的坐标；（2）已知点P是直线CD上的动点，①若△POC的面积为4，求点P的坐标；②若△POC为直角三角形，请求出所有满足条件的点P的坐标．39．（2022秋•南海区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别交x 轴，y轴于点A、B．另一条直线CD与直线AB交于点C（a，6），与x轴交于点D（3，0），点P是直线CD上一点（不与点C重合）．（1）求a的值．（2）当△APC的面积为18时，求点P的坐标．（3）若直线MN在平面直角坐标系内运动，且MN始终与AB平行，直线MN 交直线CD于点M，交y轴于点N，当∠BMN＝90°时，求△BMN的面积．40．（2023•丰顺县校级开学）问题提出：如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；问题探究：如图2，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，求点C的坐标；问题解决：古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于2011年9月16日通车试运行以来，共有八条线路开通运营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在修建中．如图，地铁某线路原计划按OA﹣AB的方向施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AB段绕点A顺时针或逆时针方向旋转45°至AC或AD方向，则可以绕开此区域．已知OA长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线y＝﹣2x平行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的解析式．41．（2022秋•碑林区校级期末）（1）模型建立：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，请直接写出图中相等的线段（除CA＝CB）；模型应用：（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，直线与x，y轴分别交于A、B两点，C为第一象限内的点，若△ABC是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点C的坐标和直线BC的表达式；探究提升：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，A（3，0），点B在y轴上运动，将AB绕点A顺时针旋转90°至AC，连接OC，求CA+OC的最小值，及此时点B坐标．42．（2023•南岸区校级开学）如图，已知直线l1：y＝﹣x+b与直线l2：y＝kx+3相交于y轴的B点，且分别交x轴于点A、C，已知OC＝OA．（1）如图，求点C的坐标及k的值；（2）如图，若E为直线l1上一点，且E点的横坐标为，点P为y轴上一个动点，求当|PC﹣PE|最大时，点P的坐标；（3）若M为x轴上一点，当△ABM是等腰三角形时，直接写出点M的坐标．43．（2022秋•驿城区校级期末）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角△ACB的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点（1，2）处．则：①OA的长为；②点B的坐标为．（直接写结果）（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰直角△ACB如图放置，直角顶点C（﹣1，0），点A（0，4），试求直线AB的函数表达式．（3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点B（4，3），过点B作BA⊥y 轴，垂足为点A，作BC⊥x轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y＝2x﹣8上一动点，存在以点P为直角顶点的等腰直角△APQ，请直接写出点P的坐标．。
一次函数代数几何综合问题
一次函数代几综合问题一．填空题（共6小题）1．如图，直线和x轴、y轴分别交于点A、B．若以线段AB为边作等边三角形ABC，则点C的坐标是．2．一次函数y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为．3．如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的坐标为．4．如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为．5．在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、A n B n C n C n﹣1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、A n均在一次函数y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、C n均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点A n的坐标为．6．如图，直线1：与x轴、y轴分别相交于点A、B，△AOB与△ACB关于直线l对称，则点C的坐标为．二．解答题（共24小题）7．已知一次函数y=2x﹣4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y 轴的距离分别为d1、d2．（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值；（2）直接写出d1+d2的范围，并求当d1+d2=3时点P的坐标；（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2=4（a为常数），求a的值．8．在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y=mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．（1）如图1，当CG=OD时，直接写出点D和点G的坐标，并求直线DG的函数表达式；（2）如图2，连接BF，设CG=a，△FBG的面积为S．①求S与a的函数关系式；②判断S的值能否等于等于1？若能，求此时m的值，若不能，请说明理由；（3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，m的值为．9．认真阅读材料，然后回答问题：我们知道，在数轴上，x=1表示一个点．而在平面直角坐标系中，x=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方方程2x﹣y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=2x+1的图象，它也是一条直线，如图1可以得出：直线x=1与直线y=2x+1的交点P的坐标（1，3）就是方程组在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它左侧的部分，如图2；y≧2x+1也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它上方的部分，如图3．回答下列问题：请你自己作一个直角坐标系，并在直角坐标系中（1）用作图象的方法求出方程组的解．（2）用阴影表示，所围成的区域．10．如图，直线l1的解析表达式为：y=3x﹣3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求△ADC的面积；（2）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，则点P的坐标为；（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1和l2相交于点A，它们的解析式分别为l1：y=x，l2：y=﹣x+．直线l2与两坐标轴分别相交于点B和点C，点P在线段OB上从点O出发．以每秒1个单位的速度向点B运动，同时点Q从点B出发以每秒4个单位的速度沿B→O→C→B的方向向点B运动，过点P作直线PM⊥OB分别交l1，l2于点M，N．连接MQ．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）（1）求点A的坐标；（2）点Q在OC上运动时，试求t为何值时，四边形MNCQ为平行四边形；（3）试探究是否存在某一时刻t，使MQ∥OB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．12．已知，将边长为5的正方形ABCO放置在如图所示的直角坐标系中，使点A在x轴上，点C在y轴上．点M（t，0）在x轴上运动，过A作直线MC的垂线交y轴于点N．（1）当t=1时，求直线MC的解析式；（2）设△AMN的面积为S，求S关于t的函数解析式并写出相应t的取值范围；（3）在该平面直角坐标系中，第一象限内取点P（2，y），是否存在以M、N、C、P为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图①，以四边形AOCD的顶点O为原点建立直角坐标系，点A、C、D的坐标分别为（0，2）、（2，0）、（2，2），点P（m，0）是x轴上一动点，m是大于0的常数，以AP为一边作正方形APQR（QR落在第一象限），连接CQ．（1）请判断四边形AOCD的形状，并说明理由：（2）连接RD，请判断△ARD的形状，并说明理由：（3）如图②，随着点P（m，0）的运动，正方形APQR的大小会发生改变，若设CQ所在直线的表达式为y=kx+b（k≠0），求k的值．14．如图，将边长为4的正方形纸片，置于平面直角坐标系内，顶点A在坐标原点，AB在x轴正方向上，E、F分别是AD、BC的中点，M在DC上，将△ADM沿折痕AM折叠，使点D折叠后恰好落在EF上的P点处．（1）求点M、P的坐标；（2）求折痕AM所在直线的解析式；（3）设点H为直线AM上的点，是否存在这样的点H，使得以H、A、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，4）．动点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．（1）点N的坐标为（，）；（用含x的代数式表示）（2）当x为何值时，△AMN为等腰三角形；（3）如图②，连接ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度．16．已知直线y=﹣x+4与x轴和y轴分别交与B、A两点，另一直线经过点B和点D（11，6）．（1）求AB、BD的长度，并证明△ABD是直角三角形；（2）在x轴上找点C，使△ACD是以AD为底边的等腰三角形，求出C点坐标；（3）一动点P速度为1个单位/秒，沿A﹣﹣B﹣﹣D运动到D点停止，另有一动点Q从D点出发，以相同的速度沿D﹣﹣B﹣﹣A运动到A点停止，两点同时出发，PQ的长度为y（单位长），运动时间为t（秒），求y关于t的函数关系式．17．如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，，点C（x，y）是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点．（1）求直线y=kx+3的解析式；（2）当点C运动到什么位置时△AOC的面积是6；（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣5，1），B（﹣2，4），C（5，4），点D在第一象限．（1）写出D点的坐标；（2）求经过B、D两点的直线的解析式，并求线段BD的长；（3）将平行四边形ABCD先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？并求出平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积．19．如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知，直线y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90度．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）求三角形ABC的面积S△ABC；（2）证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．21．如图，在直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）已知OC⊥AB于C，求C点坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图1，在正方形ABOC中，BD平分∠OBC，交OA于点D．（1）若正方形ABOC的边长为2，对角线BC与OA相交于点E．则：①BC的长为；②DE的长为；③根据已知及求得的线段OB、BC、DE的长，请找出它们的数量关系？（2）如图2，当直角∠BAC绕着其顶点A顺时针旋转时，角的两边分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点C1和B1，连接B1C1交OA于P．B1D平分∠OB1C1，交OA于点D，过点D作DE⊥B1C1，垂足为E，请猜想线段OB、B1C1、DE三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当B1E=6，C1E=4时，求直线B1D的解析式．23．如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°；（1）如果点P（m，）在第二象限内，试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；（2）如果△QAB是等腰三角形并且点Q在坐标轴上，请求出点Q所有可能的坐标；（3）是否存在实数a，b使一次函数和y=ax+b的图象关于直线y=x对称？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．24．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（8，0）和点B（0，6）．（1）确定此一次函数的解析式．（2）求坐标原点O到直线AB的距离．（3）点P是线段AB上的一个动点，过点P作PM垂直于x轴于M，作PN垂直于y轴于N，记L=PM+PN，问L是否存在最大值和最小值？若存在，求出此时P点到原点O的距离，若不存在请说明理由．25．已知直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在坐标轴上，且PO=2AO．求△ABP的面积．26．已知A（1，5），B（3，﹣1）两点，在x轴上取一点M，使AM﹣BM取得最大值时，则M的坐标为．27．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于x轴，y轴于B、A两点，D、E分别是OA、OB的中点，点P从点D出沿DE方向运动，过点P作PQ⊥AB于Q，过点Q作QR∥OA交OB于R，当点Q与B点重合时，点P停止运动．（1）求A、B两点的坐标；（2）求PQ的长度；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的点R的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，直线y=﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．（1）填空：点C的坐标是（，），点D的坐标是（，）；（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．29．已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，BD是AC边上的中线，分别以AC，AB所在直线为x轴，y 轴建立直角坐标系（如图）．（1）在BD所在直线上找出一点P，使四边形ABCP为平行四边形，画出这个平行四边形，并简要叙述其过程；（2）求直线BD的函数关系式；（3）直线BD上是否存在点M，使△AMC为等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．30．如图，一次函数的图象与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（a，）；试用含有a的代数式表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ABC的面积相等时a的值；（3）在x轴上，是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．。
第19章一次函数——几何变换 专项练习 2022—2023学年人教版数学八年级下册
一次函数典型例题——几何变换◆一次函数的基本性质1．已知一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k2+12．（1）k为何值时，图象经过原点；（2）k为何值时，图象与直线y＝﹣2x+9的交点在y轴上；（3）k为何值时，图象平行于y＝﹣2x的图象；（4）k为何值时，y随x增大而减小．2．已知一次函数y＝（3m﹣7）x+m﹣1（1）当m为何值时，函数图象经过原点？（2）若图象不经过三象限，求m的取值范围．（3）不论m取何值，直线恒过一定点P，求定点P坐标．3．已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成正比例，y2﹣3与x成正比例，当x＝1时，y＝4；x＝2时，y＝7．求y与x的函数解析式．◆图形的平移、旋转、对称4．如图，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别相交于点A、点B．（1）求点A、点B的坐标．（2）将直线AB向上平移3个单位得直线l，若C为直线l上一点，且S△AOC＝3，求点C的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，在第一象限内将线段CA沿同一直线CG向下翻折得到线段CD，点D与点A对应且CD∥x轴，过点D作DE⊥x轴于E点，与GC交于F点．求点F的坐标．7．如图，一次函数y＝（m+1）x+4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4．（1）则m＝，点A的坐标为（，）．（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝4OA，求直线BP的解析式；（3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式．8．如图，一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），且与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）填空：b＝；（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．9．直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，将直线AB绕点O按逆时针方向旋转90度得到直线CD，（1）求直线CD的解析式；（2）若将直线AB绕原点按顺时针方向旋转90度得到直线EF，求直线EF的解析式．◆交点问题求范围10．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，将直线AB向右平移6个单位长度，得到直线CD，点A平移后的对应点为点D，点B平移后的对应点为点C．（1）求点C的坐标；（2）求直线CD的表达式；（3）若点B关于原点的对称点为点E，设过点E的直线y＝kx+b，与四边形ABCD有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．11．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝2x﹣4上运动．（1）若点B的坐标是（1，﹣2），把直线AB向上平移m个单位后，与直线y＝2x﹣4的交点在第一象限，求m 的取值范围；（2）当线段AB最短时，求点B的坐标．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点，点A向右平移4个单位长度得到点B．（1）求点A，B的坐标；（2）若直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有公共点，结合函数的图象，求k的取值范围．练习1．如图，已知直线l：y＝2x+4交x轴于A，交y轴于B．（1）直接写出直线l向右平移2个单位得到的直线l1的解析式；（2）直接写出直线l关于y＝﹣x对称的直线l2的解析式；（3）点P在直线l上，若S△OAP＝2S△OBP，求P点坐标．2．如图：一次函数y＝x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．3．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，BC＝10，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE，已知OC：OB'＝4：3．（1）求点B'的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式．4．若一次函数y＝（6﹣3m）x+（2n﹣4）不经过第三象限，求m、n的取值范围．5．已知直线l1：y＝2x+3与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将直线l1向下平移1个长度单位后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D，（1）求△AOB的面积；（2）直线l2的表达式；（3）求△CBD的面积．6．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD在第一象限内，AB∥x轴，点A的坐标为（5，3），已知直线l：y＝x﹣2（1）将直线l向上平移m个单位，使平移后的直线恰好经过点A，求m的值（2）在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边长BC交于点E，求△ABE的面积．一次函数典型例题——几何变换（解析）◆一次函数的基本性质1．已知一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k2+12．（1）k为何值时，图象经过原点；（2）k为何值时，图象与直线y＝﹣2x+9的交点在y轴上；（3）k为何值时，图象平行于y＝﹣2x的图象；（4）k为何值时，y随x增大而减小．【解答】解：（1）∵一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k2+12的图象经过原点，∴﹣3k2+12＝0，∴，∴k＝﹣2；（2）∵直线y＝﹣2x+9求出此直线与y轴的交点坐标为（0，9），∴﹣3k2+12＝9，∴k＝1或k＝﹣1；（3）∵一次函数的图象平行于y＝﹣2x的图象，∴k﹣2＝﹣2，∴k＝0；（4）∵一次函数为减函数，∴k﹣2＜0，∴k＜2．2．已知一次函数y＝（3m﹣7）x+m﹣1（1）当m为何值时，函数图象经过原点？（2）若图象不经过三象限，求m的取值范围．（3）不论m取何值，直线恒过一定点P，求定点P坐标．【解答】解：（1）∵函数的图象经过原点，∴m﹣1＝0，解得：m＝1；（2）∵图象不经过三象限，∴3m﹣7＜0，m﹣1≥0，解得：1≤m＜；（3）∵不论m取何值，直线恒过一定点P，∴当x＝﹣时，y＝﹣1＝，即不论m取何值，直线恒过一定点P，定点P坐标为：（﹣，）．3．已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成正比例，y2﹣3与x成正比例，当x＝1时，y＝4；x＝2时，y＝7．求y与x的函数解析式．【解答】解：∵y1与kx﹣2成正比例，y2﹣3与x成正比例，∴y1＝k1（x﹣2），y2﹣3＝k2x，∴y＝k1（x﹣2）+k2x+3，把x＝1时，y＝4；x＝2时，y＝7代入上式解得，解得：，则y与x的解析式为y＝3x+1．◆图形的平移、旋转、对称4．如图，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别相交于点A、点B．（1）求点A、点B的坐标．（2）将直线AB向上平移3个单位得直线l，若C为直线l上一点，且S△AOC＝3，求点C的坐标．【解答】解：（1）当y＝0，则2x﹣2＝0，解得x＝1；当x＝0时，y＝﹣2，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣2）；（2）将直线AB向上平移3个单位得直线l：y＝2x+1，设C的坐标为（m，2m+1），∵S△AOC＝3，∴|2m+1|＝3，∴2m+1＝±6，解得m＝或﹣，∴C（，6）或（﹣，﹣6）．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4，令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，∴A（3，0）．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB＝＝5．（2）∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C（8，0）．设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，∴D（0，﹣6）．（3）存在，理由如下：∵S△P AB＝S△OCD，∴S△P AB＝××6×8＝12．∵点P在y轴上，S△P AB＝12，∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．6．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，在第一象限内将线段CA沿同一直线CG向下翻折得到线段CD，点D与点A对应且CD∥x轴，过点D作DE⊥x轴于E点，与GC交于F点．求点F的坐标．【解答】解：连接AF，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝3，∴A（3，0），C（0，4），∴OA＝3，OC＝4，∴AC＝＝5，∵CD∥x轴，点D、点A关于直线CF对称，∴CD＝CA＝5．∠DCF＝∠ACF＝∠FGA，∴∠CAF＝∠D＝90°设EF＝x，则DF＝AF，DF＝4﹣x，AE＝2，∴（4﹣x）2﹣x2＝4．解得x＝．∴点F坐标为（5，）．7．如图，一次函数y＝（m+1）x+4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4．（1）则m＝1，点A的坐标为（﹣2，0）．（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝4OA，求直线BP的解析式；（3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式．【解答】解：（1）由一次函数y＝（m+1）x+4，令x＝0，则y＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵S△OAB＝4，∴×OA×OB＝4，解得OA＝2，∴A（﹣2，0），把点A（﹣2，0）代入y＝（m+1）x+4，得m＝1，故答案为：1；﹣2，0；（2）∵OP＝4OA，OA＝2，∴P（8，0），设直线BP的解析式为y＝kx+b，将（8，0），（0，4）代入得，解得k＝﹣，b＝4，∴直线BP的解析式为y＝﹣x+4；（3）设直线AB绕点B顺时针旋转45°得到直线BE，如图，过点A作AF⊥AB交BE于点F，作FH⊥x轴于H．则∠AHF＝∠BOA＝90°，AF＝BA，∠F AH＝∠ABO，∴△AOB≌△FHA（AAS），∴FH＝AO＝2，AH＝BO＝4，∴HO＝6，∴F（﹣6，2），设直线BE的解析式为y＝mx+n，则把点F和点B的坐标代入，可得，解得，∴直线BE的解析式为y＝x+4．8．如图，一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），且与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）填空：b＝1；（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），∴3＝2+b，解得b＝1，（2）∵一次函数y＝2x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．∴A（﹣，0），B（0，1），∴OA＝，OB＝1，作CD⊥y轴于D，∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，∴∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，∴∠BAO＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，∴OD＝OB﹣BD＝，∴C（1，），设直线l的解析式为y＝mx+n，把A（﹣，0），C（1，）代入得，解得，∴直线l的解析式为y＝x+．9．直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，将直线AB绕点O按逆时针方向旋转90度得到直线CD，（1）求直线CD的解析式；（2）若将直线AB绕原点按顺时针方向旋转90度得到直线EF，求直线EF的解析式．【解答】解：∵直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣1；∴A（﹣1，0），B（0，2）．（1）∵直线AB绕点O按逆时针方向旋转90度得到直线CD，∴直线CD与x轴，y轴的交点坐标（﹣2，0），（0，﹣1），设直线CD的解析式是y＝k1x+b1，则，解得．故直线CD的解析式是y＝﹣x﹣1；（2）∵将直线AB绕原点按顺时针方向旋转90度得到直线EF，∴直线EF与x轴，y轴的交点坐标（2，0），（0，1），设直线EF的解析式是y＝k2x+b2，则，解得．故直线EF的解析式是y＝﹣x+1．◆交点问题求范围10．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，将直线AB向右平移6个单位长度，得到直线CD，点A平移后的对应点为点D，点B平移后的对应点为点C．（1）求点C的坐标；（2）求直线CD的表达式；（3）若点B关于原点的对称点为点E，设过点E的直线y＝kx+b，与四边形ABCD有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．【解答】解：（1）直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣2，∴B（0，4），A（﹣2，0），将直线AB向右平移6个单位长度，点B平移后的对应点为点C为（6，4）；（2）∵A（﹣2，0），∴D（4，0），解得：k＝2，b＝﹣8，∴直线CD的表达式为y＝2x﹣8．把C（6，4），D（4，0）代入y＝kx+b中得，（3）∵点B（0，4）关于原点的对称点为点E（0，﹣4），∴设过点E的直线y＝kx﹣4，把D（4，0）代入y＝kx﹣4中得4k﹣4＝0，∴k＝1，把A（﹣2，0）代入y＝kx﹣4中，∴k＝﹣2∴k≥1或k≤﹣2．11．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝2x﹣4上运动．（1）若点B的坐标是（1，﹣2），把直线AB向上平移m个单位后，与直线y＝2x﹣4的交点在第一象限，求m 的取值范围；（2）当线段AB最短时，求点B的坐标．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b．∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标是（1，﹣2），∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣1，把直线AB向上平移m个单位后得y＝﹣x+m﹣1．由，解得，即交点为（，）．由题意，得，解得m＞3；（2）AB最短时有AB⊥CD，设此时直线AB的解析式为y＝﹣x+n，将A（﹣1，0）代入，得0＝﹣×（﹣1）+n，解得n＝﹣．即直线AB的解析式为y＝﹣x﹣．由，解得，所以B点坐标为（，﹣）．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点，点A向右平移4个单位长度得到点B．（1）求点A，B的坐标；（2）若直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有公共点，结合函数的图象，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点，∴m＝1+2＝3．∴点A的坐标为（﹣1，3）．∴点（﹣1，3）向右平移4个单位长度得到点B的坐标为（3，3）．（2）当直线l：y＝kx﹣2过点A（﹣1，3）时，得3＝﹣k﹣2，解得k＝﹣5．当直线l：y＝kx﹣2过点B（3，3）时，得3＝3k﹣2，解得k＝．如图，若直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有公共点，则b的取值范围是k≤﹣5或k≥．练习1．如图，已知直线l：y＝2x+4交x轴于A，交y轴于B．（1）直接写出直线l向右平移2个单位得到的直线l1的解析式y＝2x；（2）直接写出直线l关于y＝﹣x对称的直线l2的解析式y＝x+2；（3）点P在直线l上，若S△OAP＝2S△OBP，求P点坐标．【解答】解：（1）直线l：y＝2x+4向右平移2个单位得到的直线l2的解析式为：y＝2（x﹣2）+4，即y＝2x，（2）∵（0，4），（﹣2，0）在直线ly＝2x+4上，这两点关于y＝﹣x的对称点为（﹣4，0），（0，2），设直线l1的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线l1的解析式为：y＝x+2，故答案为y＝x+2；（3）∵直线l：y＝2x+4交x轴于A，交y轴于B．∴A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，设P的坐标为（x，2x+4），∵S△OAP＝2S△OBP，∴OA•|2x+4|＝2×OB•|x|，即|2x+4|＝4|x|，解得x＝﹣或2，∴P（﹣，）或（2，8）．2．如图：一次函数y＝x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．【解答】解：（1）由，解得，∴B（3，3）．（2）由题意A（0，2），C（2，0），∴S四边形ABCO＝S△OCB+S△AOB＝×2×3+×2×3＝6．（3）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转90得到C′．∵△BCC′是等腰直角三角形，∠BCD＝45°，∴点C′在直线CD上，∵B（3，3），C（2，0），∴C′（6，2），设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝x﹣1．3．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，BC＝10，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE，已知OC：OB'＝4：3．（1）求点B'的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式．【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC＝90°，∵OC：OB'＝4：3，∴B′C：OB′＝5：3，∵B′C＝BC＝10，∴OB′＝6，∴B′点的坐标为：（6，0）；（2）将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上的B′点，CE为折痕，∴△CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA，由OB′＝6，OC：OB'＝4：3，∴OC＝8，设AE＝a，则EB′＝EB＝8﹣a，AB′＝AO﹣OB′＝10﹣6＝4，由勾股定理，得a2+42＝（8﹣a）2，解得a＝3，∴点E的坐标为（10，3），点C的坐标为（0，8），设直线CE的解析式为y＝kx+b，根据题意，得，解得，∴CE所在直线的解析式为y＝﹣x+8．4．若一次函数y＝（6﹣3m）x+（2n﹣4）不经过第三象限，求m、n的取值范围．【解答】解：∵y＝（6﹣3m）x+（2n﹣4）不经过第三象限，∴6﹣3m＜0，2n﹣4≥0，故m＞2，n≥2．5．已知直线l1：y＝2x+3与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将直线l1向下平移1个长度单位后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D，（1）求△AOB的面积；（2）直线l2的表达式；（3）求△CBD的面积．【解答】解：（1）在y＝2x+3中，令x＝0，得y＝3；令y＝0，得x＝，所以A、B的坐标分别为：A（，0），B（0，3），∴S△ABC＝×|3|×＝；（2）把l1：y＝2x+3向下平移1个长度单位后得l2：y＝2x+2；（3）直线l2：y＝2x+2与x轴、y轴的交点C、D的坐标分别为：C（﹣1，0）、D（0，2），∴S△CBD＝×|1|×|3﹣2|＝．216．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 在第一象限内，AB ∥x 轴，点A 的坐标为（5，3），已知直线l ：y ＝x ﹣2（1）将直线l 向上平移m 个单位，使平移后的直线恰好经过点A ，求m 的值（2）在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边长BC 交于点E ，求△ABE 的面积．【解答】解：（1）设平移后的直线方程为y ＝x +b ，把点A 的坐标为（5，3）代入，得3＝×5+b ，解得 b ＝．则平移后的直线方程为：y ＝x +．则﹣2+m ＝，解得 m ＝；（2）∵正方形ABCD 的边长为2，且点A 的坐标为（5，3），∴B （3，3）．把x ＝3代入y ＝x +，得y ＝×3+＝2，即E （3，2）．∴BE ＝3﹣2＝1，∴△ABE 的面积＝×2×1＝1．22。
一次函数与几何图形综合题(含答案)
一次函数与几何图形综合专题讲座思想方法小结 ： （1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结 ：（1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点；当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－kb＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－kb=0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－kb﹤0时，直线与x 轴负半轴相交．③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限； 当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0)当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系．①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交； ②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行；④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.例题精讲：1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB(1) 求AC(2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。
人教版八年级数学下《一次函数与几何综合》专题练习题
八年级下册第十九章一次函数一次函数与几何综合专题练习题1. 如图，直线l1的函数解析式为y＝－3x＋3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C.(1)求点D的坐标；(2)求直线l2的函数解析式；(3)求△ADC的面积；(4)在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．2. 如图，直线y＝2x＋6与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝－12x＋1与x轴交于点C，与y轴交于点D，两直线交于点E，求S△BDE和S四边形AODE.3．如图，直线y＝－43x＋8分别交x轴、y轴于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C，D两点．(1)求点C的坐标；(2)求直线CE的解析式；(3)求△BCD的面积．4. 如图，在平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B(0，3)，直线BC交坐标轴于B，C两点，且△CBA＝45°.求直线BC的解析式．5. 如图，A(0，4)，B(－4，0)，D(－2，0)，OE⊥AD于点F，交AB于点E，BM⊥OB 交OE的延长线于点M.(1)求直线AB和直线AD的解析式；(2)求点M的坐标；(3)求点E，F的坐标．6. 如图，正方形OBAC中，O(0，0)，A(－2，2)，B，C分别在x轴、y轴上，D(0，1)，CE⊥BD交BD延长线于点E，求点E的坐标．7. 如图，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(3，12)，P 为x 轴上一动点，则PA ＋PB 最小时点P 的坐标为________．8. 如图，直线y ＝x ＋4与坐标轴交于点A ，B ，点C(－3，m)在直线AB 上，在y 轴上找一点P ，使PA ＋PC 的值最小，求这个最小值及点P 的坐标．答案：1. 分析：(1)令y ＝－3x ＋3＝0，求出x 可得点D 的坐标；(2)设直线l 2的解析式为y ＝kx ＋b ，把A ，B 的坐标代入求出k ，b 可得；(3)先求出点C 的坐标，再求S △ADC ；(4)在l 2上且到x 轴的距离等于点C 纵坐标的相反数的点即为点P.解：(1)由y ＝－3x ＋3，令y ＝0，得－3x ＋3＝0，∴x ＝1，∴D(1，0) (2)y ＝32x －6 (3)由⎩⎨⎧y ＝－3x ＋3，y ＝32x －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，△C(2，－3)，△AD ＝3，△S △ADC ＝12×3×|－3|＝92 (4)P(6，3)2. 解：易求A (－3，0)，B(0，6)，C(2，0)，D(0，1)，△BD ＝5，解⎩⎨⎧y ＝2x ＋6，y ＝－12x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2， △E(－2，2)，△S △BDE ＝5，S 四边形AODE ＝S △AOB －S △BDE ＝9－5＝43. 解：(1)易得A(6，0)，B(0，8)，设C 点坐标为(x ，0)，则BC ＝AC ＝6－x ，由勾股定理得x 2＋82＝(6－x)2，△x ＝－73，△C(－73，0) (2)△点E 是AB 的中点，△点E 的坐标为(3，4)，易得直线CE 的解析式为y ＝34x ＋74 (3)由CE 解析式得，点D 坐标为(0，74)，S △BCD ＝12×(8－74)×73＝175244. 分析：过点A 作AD△AB ，AD 交BC 于点D ，可得△BAD 是等腰直角三角形，再过点D 作DE△x 轴于点E ，通过证△DEA△△AOB 求出点D 的坐标，最后由点B ，D 的坐标利用待定系数法可求出直线BC 的解析式．解：过点A 作AD△AB ，AD 交BC 于点D ，可得AD ＝AB ，过点D 作DE△x 轴于点E ，可证△DEA△△AOB ，△DE ＝OA ＝1，EA ＝OB ＝3，△D(－4，1)，可求直线BC的解析式为y ＝12x ＋35. 解：(1)AB ：y ＝x ＋4，AD ：y ＝2x ＋4 (2)由△OBM△△AOD 得BM ＝OD ，△M(－4，2) (3)由(2)得OM ：y ＝－12x ，联立⎩⎨⎧y ＝－12x ，y ＝x ＋4，得E(－83，43)；联立⎩⎨⎧y ＝2x ＋4，y ＝－12x ，得F(－85，45)6. 解：延长CE 交x 轴于点F ，则有△BOD△△COF ，△OD ＝OF ＝1，△F(1，0)，△C(0，2)，△CF ：y ＝－2x ＋2，△B(－2，0)，D(0，1)，△BD ：y ＝12x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝12x ＋1，y ＝－2x ＋2，得E(25，65)7. (2，0) 分析：先作出点A 关于x 轴对称的点A′，再连接A′B 交x 轴于点P ，则点P 即为所求．由题中条件易求出直线A′B 的解析式，再求出直线A′B 与x 轴的交点坐标即可．8. 解：作点A 关于y 轴的对称点A′，连接CA′交y 轴于P ，此时PA ＋PC 值最小，最小值为CA′，易求C(－3，1)，△A′(4，0)，△CA′：y ＝－17x ＋47，△P(0，47)，作CE△x 轴于E ，△CA′＝CE 2＋A′E 2＝52。
一次函数与几何综合(垂直的函数意义)(人教版)(含答案)
一次函数与几何综合（垂直的函数意义）（人教版）一、单选题(共7道，每道14分)1.如图，直线：y=x+2与y轴交于点A，将直线绕点A旋转90°后，所得直线的表达式为( )A.y=x-2B.y=-x+2C.y=-x-2D.y=-2x-1答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何转化2.在平面直角坐标系中，把直线y=2x+4绕着原点O顺时针旋转90°后，所得的直线一定经过下列各点中的( )A.(2，0)B.(2，3)C.(4，2)D.(6，-1)答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何转化3.如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，且∠BAC=90°，则AC所在直线的表达式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合4.如图，在平面直角坐标系中放入一张矩形纸片ABCO，已知点B的坐标为(4，-3)，连接AC，作AC的垂直平分线交AB于点D，交y轴于点E.则DE所在直线的表达式为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合5.如图，在平面直角坐标系中放入一张矩形纸片ABCO，OC=6，将纸片沿过点C的直线翻折后，点B恰好落在x轴上的点D处，折痕交AB于点E，若，则DE所在直线的解析式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合6.如图，已知长方形纸片OABC，D是OA上的一点，且OD：AD=5：3，CD=，把△OCD 沿折痕CD向上翻折，若点O恰好与AB边上的点E重合，则CD所在直线的表达式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数、坐标、几何三角通道互转7.如图，在平面直角坐标系中放入一张矩形纸片ABCO，OC=9，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知，则折痕B′E所在直线的解析式为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合。
一次函数和几何综合题含答案
一次函数和几何综合题含答案1．（2013•天水）如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2013•济宁）如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．3．（2013•绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B 点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．4．（2013•齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2013春•屯留县期末）如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M．已知点A（﹣3，4）．（1）求AO的长；（2）求直线AC的解析式和点M的坐标；（3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB 的面积为S．①求S与t的函数关系式；②求S的最大值．6．（2012•鞍山）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．7．（2012•桃源县校级自主招生）如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值；（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论；（3）①设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．8．（2012秋•海陵区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC交于点C．（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，直线OC解析式为y=x，①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．9．（2012秋•成都校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；（2）若四边形PQOB的面积是，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2012秋•綦江县校级期末）如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2013•天水）如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解．（2）由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标．（3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t，0）：①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值．②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG，进而求出GF的长，然后同①．③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤时，方法同②．综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值．解答：解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得：BF=OE=2，OF==，∴点B的坐标是（，2）设直线AB的解析式是y=kx+b（k≠0），则有．解得．∴直线AB的解析式是y=x+4；（2）如图2，∵△ABD由△AOP旋转得到，∴△ABD≌△AOP，∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，∴∠DAP=∠BAO=60°，∴△ADP是等边三角形，∴DP=AP=．如图2，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．方法（一）在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．∴BG=BD•cos60°=×=．DG=BD•sin60°=×=．∴OH=EG=，DH=∴点D的坐标为（，）方法（二）易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG，∴△ABE∽△BDG，∴；而AE=2，BD=OP=，BE=2，AB=4，则有，解得BG=，DG=；∴OH=，DH=；∴点D的坐标为（，）．（3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于．设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG=t，∴DH=2+t．∵△OPD的面积等于，∴，解得，（舍去）∴点P1的坐标为（，0）．②∵当D在y轴上时，根据勾股定理求出BD==OP，∴当＜t≤0时，如图，BD=OP=﹣t，DG=﹣t，∴GH=BF=2﹣（﹣t）=2+t．∵△OPD的面积等于，∴，解得，，∴点P2的坐标为（，0），点P3的坐标为（，0）．③当t≤时，如图3，BD=OP=﹣t，DG=﹣t，∴DH=﹣t﹣2．∵△OPD的面积等于，∴（﹣t）[﹣（2+t）]=，解得（舍去），∴点P4的坐标为（，0），综上所述，点P的坐标分别为P1（，0）、P2（，0）、P3（，0）、P4（，0）．点评：本题综合考查的是一次函数的应用，包括待定系数法求解析式、旋转的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积公式的应用等，难度较大．2．（2013•济宁）如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出==，据此可以求得点P的运动速度；（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；（3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可．解答：解：（1）∵直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，∴x=0时，y=4，y=0时，x=8，∴==，当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，∵EP∥BO，∴==，∴AP=2t，∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，则∵OQ=FQ=t，PA=2t，∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，∴8﹣3t=t，解得：t=2；如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，∵OQ=t，PA=2t，∴OP=8﹣2t，∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，∴t=3t﹣8，解得：t=4；（3）如图1，当Q在P点的左边时，∵OQ=t，PA=2t，∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，∴S矩形PEFQ=QP•QF=（8﹣3t）•t=8t﹣3t2，当t=﹣=时，S矩形PEFQ的最大值为：=，如图2，当Q在P点的右边时，∵OQ=t，PA=2t，∴2t＞8﹣t，∴t，∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，∴S矩形PEFQ=QP•QF=（3t﹣8）•t=3t2﹣8t，∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，∴＜t≤4，当t=﹣=时，S矩形PEFQ的最大，∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×42﹣8×4=16，点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P，Q不同的位置进行分类讨论得出是解题关键．3．（2013•绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B 点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）通过解方程x2﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）；（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；（3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．解答：解：（1）解方程x2﹣14x+48=0得x1=6，x2=8．∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根，∴OC=6，OA=8．∴C（0，6）；（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．由（1）知，OA=8，则A（8，0）．∵点A、C都在直线MN上，∴，解得，，∴直线MN的解析式为y=﹣x+6；（3）∵A（8，0），C（0，6），∴根据题意知B（8，6）．∵点P在直线MNy=﹣x+6上，∴设P（a，﹣a+6）当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；②当PC=BC时，a2+（﹣a+6﹣6）2=64，解得，a=，则P2（﹣，），P3（，）；③当PB=BC时，（a﹣8）2+（a﹣6+6）2=64，解得，a=，则﹣a+6=﹣，∴P4（，﹣）．综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（﹣，）P3（，），P4（，﹣）．点评：本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质．解答（3）题时，要分类讨论，防止漏解．另外，解答（3）题时，还利用了“数形结合”的数学思想．4．（2013•齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）通过解一元二次方程x2﹣（+1）x+=0，求得方程的两个根，从而得到A、B两点的坐标，再根据两点之间的距离公式可求AB的长，根据AB：AC=1：2，可求AC的长，从而得到C点的坐标；（2）分①当点M在CB边上时；②当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于t的函数关系式；（3）分AQ=AB，BQ=BA，BQ=QA三种情况讨论可求Q点的坐标．解答：解：（1）x2﹣（+1）x+=0，（x﹣）（x﹣1）=0，解得x1=，x2=1，∵OA＜OB，∴OA=1，OB=，∴A（1，0），B（0，），∴AB=2，又∵AB：AC=1：2，∴AC=4，∴C（﹣3，0）；（2）∵AB=2，AC=4，BC=2，∴AB2+BC2=AC2，即∠ABC=90°，由题意得：CM=t，CB=2．①当点M在CB边上时，S=2﹣t（0≤t）；②当点M在CB边的延长线上时，S=t﹣2（t＞2）；（3）存在．①当AB是菱形的边时，如图所示，在菱形AP1Q1B中，Q1O=AO=1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0），在菱形ABP2Q2中，AQ2=AB=2，所以Q2点的坐标为（1，2），在菱形ABP3Q3中，AQ3=AB=2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2），②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，AP42=AO2+P4O2，即x2=12+（﹣x）2，解得x=，所以Q4（1，）．综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（﹣1，0），Q2（1，﹣2），Q3（1，2），Q4（1，）．点评：考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：解一元二次方程，两点之间的距离公式，三角形面积的计算，函数思想，分类思想的运用，菱形的性质，综合性较强，有一定的难度．5．（2013春•屯留县期末）如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M．已知点A（﹣3，4）．（1）求AO的长；（2）求直线AC的解析式和点M的坐标；（3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB 的面积为S．①求S与t的函数关系式；②求S的最大值．考点：一次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；菱形的性质．专题：计算题．分析：（1）根据A的坐标求出AH、OH，根据勾股定理求出即可；（2）根据菱形性质求出B、C的坐标，设直线AC的解析式是y=kx+b，把A（﹣3，4），C（5，0）代入得到方程组，求出即可；（3）①过M作MN⊥BC于N，根据角平分线性质求出MN，P在AB上，根据三角形面积公式求出即可；P 在BC上，根据三角形面积公式求出即可；②求出P在AB的最大值和P在BC上的最大值比较即可得到答案．解答：（1）解：∵A（﹣3，4），∴AH=3，OH=4，由勾股定理得：AO==5，答：OA的长是5．（2）解：∵菱形OABC，∴OA=OC=BC=AB=5，5﹣3=2，∴B（2，4），C（5，0），设直线AC的解析式是y=kx+b，把A（﹣3，4），C（5，0）代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为，当x=0时，y=2.5∴M（0，2.5），答：直线AC的解析式是，点M的坐标是（0，2.5）．（3）①解：过M作MN⊥BC于N，∵菱形OABC，∴∠BAC=∠OCA，∵MO⊥CO，MN⊥BC，∴OM=MN，当0≤t＜2.5时，P在AB上，MH=4﹣2.5=，S=×BP×MH=×（5﹣2t）×=﹣t+，∴，当t=2.5时，P与B重合，△PMB不存在；当2.5＜t≤5时，P在BC上，S=×PB×MN=×（2t﹣5）×=t﹣，∴，答：S与t的函数关系式是（0≤t＜2.5）或（2.5＜t≤5）．②解：当P在AB上时，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是×5×=，同理在BC上时，P与C重合时，S最大是×5×=，∴S的最大值是，答：S的最大值是．点评：本题主要考查对勾股定理，三角形的面积，菱形的性质，角平分线性质，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．6．（2012•鞍山）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可证△AOG≌△ADG；（2）利用（1）的方法，同理可证△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系；（3）由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，当∠1=∠2时，可证∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG，PC，确定P、G两点坐标，得出直线PE的解析式．解答：（1）证明：∵∠AOG=∠ADG=90°，∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，∵，∴△AOG≌△ADG（HL）；（2）解：PG=OG+BP．由（1）同理可证△ADP≌△ABP，则∠DAP=∠BAP，由（1）可知，∠1=∠DAG，又∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，所以，2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°，故∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°，∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，∴DG=OG，DP=BP，∴PG=DG+DP=OG+BP；（3）解：∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD，又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，∴∠1=∠2=30°，在Rt△AOG中，AO=3，AG=2OG，AG2=AO2+OG2，∴OG=，则G点坐标为：（，0），CG=3﹣，在Rt△PCG中，PG=2CG=2（3﹣），PC==3﹣3，则P点坐标为：（3，3﹣3），设直线PE的解析式为y=kx+b，则，解得，所以，直线PE的解析式为y=x﹣3．点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据正方形的性质证明三角形全等，根据三角形全等的性质求角、边的关系，利用特殊角解直角三角形，求P、G两点坐标，确定直线解析式．7．（2012•桃源县校级自主招生）如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值；（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论；（3）①设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．考点：一次函数综合题．专题：压轴题；探究型．分析：（1）△AOC和△BCP全等，则AO=BC=1，又∵AB=，t=AB﹣BC=﹣1；（2）过点C作x轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H，证△OTC≌△CHP即可；（3）根据题意可直接得出b=1﹣t；当t=0或1时，△PBC为等腰三角形，即P（1，1），P（1，1﹣），但t=0时，点C不在第一象限，所以不符合题意．解答：解：（1）△AOC和△BCP全等，则AO=BC=1，又AB=，所以t=AB﹣BC=﹣1；（2）OC=CP．证明：过点C作x轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H．∵PC⊥OC，∴∠OCP=90°，∵OA=OB=1，∴∠OBA=45°，∵TH∥OB，∴∠BCH=45°，又∠CHB=90°，∴△CHB为等腰直角三角形，∴CH=BH，∵∠AOB=∠OBH=∠BHT=90°，∴四边形OBHT为矩形，∴OT=BH，∴OT=CH，∵∠TCO+∠PCH=90°，∠CPH+∠PCH=90°，∴∠TCO=∠CPH，∵HB⊥x轴，TH∥OB，∴∠CTO=∠THB=90°，TO=HC，∠TCO=∠CPH，∴△OTC≌△CHP，∴OC=CP；（3）①∵△OTC≌△CHP，∴CT=PH，∴PH=CT=AT=AC•cos45°=t，∴BH=OT=OA﹣AT=1﹣t，∴BP=BH﹣PH=1﹣t，∴；（0＜t＜）②t=0时，△PBC是等腰直角三角形，但点C与点A重合，不在第一象限，所以不符合，PB=BC，则﹣t=|1﹣t|，解得t=1或t=﹣1（舍去），∴当t=1时，△PBC为等腰三角形，即P点坐标为：P（1，1﹣）．点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数的性质和点的意义表示出相应的线段的长度，再结合三角形全等和等腰三角形的性质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．8．（2012秋•海陵区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC交于点C．（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，直线OC解析式为y=x，①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．考点：一次函数综合题．专题：综合题；数形结合．分析：（1）①联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标．②欲求△OAC的面积，结合图形，可知，只要得出点A和点C的坐标即可，点C的坐标已知，利用函数关系式即可求得点A的坐标，代入面积公式即可．（2）在OC上取点M，使OM=OP，连接MQ，易证△POQ≌△MOQ，可推出AQ+PQ=AQ+MQ；若想使得AQ+PQ存在最小值，即使得A、Q、M三点共线，又AB⊥OP，可得∠AEO=∠CEO，即证△AEO≌△CEO（ASA），又OC=OA=4，利用△OAC的面积为6，即可得出AM=3，AQ+PQ存在最小值，最小值为3．解答：解：（1）①由题意，（2分）解得所以C（4，4）（3分）②把y=0代入y=﹣2x+12得，x=6，所以A点坐标为（6，0），（4分）所以．（6分）（2）存在；由题意，在OC上截取OM=OP，连接MQ，∵OQ平分∠AOC，∴∠AOQ=∠COQ，又OQ=OQ，∴△POQ≌△MOQ（SAS），（7分）∴PQ=MQ，∴AQ+PQ=AQ+MQ，当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小．即AQ+PQ存在最小值．∵AB⊥ON，所以∠AEO=∠CEO，∴△AEO≌△CEO（ASA），∴OC=OA=4，∵△OAC的面积为6，所以AM=12÷4=3，∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．（9分）点评：本题主要考查一次函数的综合应用，具有一定的综合性，要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度．9．（2012秋•成都校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；（2）若四边形PQOB的面积是，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题．专题：开放型．分析：（1）已知直线解析式，令y=0，求出x的值，可求出点A，B的坐标．联立方程组求出点P的坐标．推出AO=QO，可得出∠PAB=45°．（2）先根据CQ：AO=1：2得到m、n的关系，然后求出S△AOQ，S△PAB并都用字母m表示，根据S四边形PQOB=S△PAB ﹣S△AOQ积列式求解即可求出m的值，从而也可求出n的值，继而可推出点P的坐标以及直线PA与PB的函数表达式．（3）本题要依靠辅助线的帮助．求证相关图形为平行四边形，继而求出D1，D2，D3的坐标．解答：解：（1）在直线y=x+m中，令y=0，得x=﹣m．∴点A（﹣m，0）．在直线y=﹣3x+n中，令y=0，得．∴点B（，0）．由，得，∴点P（，）．在直线y=x+m中，令x=0，得y=m，∴|﹣m|=|m|，即有AO=QO．又∵∠AOQ=90°，∴△AOQ是等腰直角三角形，∴∠PAB=45°．（2）∵CQ：AO=1：2，∴（n﹣m）：m=1：2，整理得3m=2n，∴n=m，∴==m，而S四边形PQOB=S△PAB﹣S△AOQ=（+m）×（m）﹣×m×m=m2=，解得m=±4，∵m＞0，∴m=4，∴n=m=6，∴P（）．∴PA的函数表达式为y=x+4，PB的函数表达式为y=﹣3x+6．（3）存在．过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D1，过点A作BP的平行线交PM于点D2，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点D3．①∵PD1∥AB且BD1∥AP，∴PABD1是平行四边形．此时PD1=AB，易得；②∵PD2∥AB且AD2∥BP，∴PBAD2是平行四边形．此时PD2=AB，易得；③∵BD3∥AP且AD3∥BP，此时BPAD3是平行四边形．∵BD3∥AP且B（2，O），∴y BD3=x﹣2．同理可得y AD3=﹣3x﹣12，得，∴．点评：本题的综合性强，主要考查的知识点为一次函数的应用，平行四边形的判定以及面积的灵活计算．难度较大．10．（2012秋•綦江县校级期末）如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）先求出A、B两点的坐标，再由一个角等于30°，求出AC的长，从而计算出面积；（2）过P作PD⊥x轴，垂足为D，先求出梯形ODPB的面积和△AOB的面积之和，再减去△APD的面积，即是△APB的面积；根据△APB与△ABC面积相等，求得m的值；（3）假设存在点Q，使△QAB是等腰三角形，求出Q点的坐标即可．解答：解：（1）∵一次函数的解析式为函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A（1，0），B（0，），∴AB=2，设AC=x，则BC=2x，由勾股定理得，4x2﹣x2=4，解得x=，S△ABC==；（2）过P作PD⊥x轴，垂足为D，S△APB=S梯形ODPB+S△AOB﹣S△APD==，﹣=，解得m=；（3）∵AB==2，∴当AQ=AB时，点Q1（3，0），Q2（﹣1，0），Q3（0，﹣）；当AB=BQ时，点Q4（0，+2），Q2（0，﹣2），Q2（﹣1，0）；当AQ=BQ时，点Q6（0，），Q2（﹣1，0），综上可得：（0，），（0，），（﹣1，0）（3，0），（0，），（0，）点评：此题主要考查平面直角坐标系中图形的面积的求法．解答此题的关键是根据一次函数的特点，分别求出各点的坐标再计算．。
一次函数与几何综合练习(含答案)
一次函数与几何综合1.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，0），以OA 为边在第四象限内作等边△ AOB，点 C 为 x 轴的正半轴上一动点（ OC＞2），连接 BC，以 BC 为边在第四象限内作等边△ CBD．（1）试问△ OBC 与△ ABD 全等吗？并证明你的结论；（2）直线 AD 与 y 轴交于点 E，在 C 点移动的过程中， E 点的位置是否发生变化？如果不变求出它的坐标；如果变化，请说明理由．yEA COxBD2.如图 1，在平面直角坐标系中，直线y＝1 x m （m>0）与x轴，y轴分别交2于点 A，B，过点 A 作 x 轴的垂线交直线 y＝ x 于点 D， C 点坐标（ m，0），连接CD．（1）求证： CD⊥ AB；（2）连接 BC 交 OD 于点 H（如图 2），求证： DH＝3BC．2y y=x y y=x1D 1Dy= - x+m y=- x+m22B BHO CA x O CA x图1图23.如图，将边长为 4 的正方形置于平面直角坐标系第一象限， 使 AB 落在 x 轴正半轴上，直线 y 4 x 8经过点 C ，与 x 轴交于点 E ．3 3（ 1）求四边形 AECD 的面积；（ 2）若直线 l 经过点 E ，且将正方形 ABCD 分成面积相等的两部分，求直线 l的解析式；（ 3）若直线 l 1 经过点 F （- 3， 0）且与直线 y ＝3x 平行，将（ 2）中直线 l 沿着2y 轴向上平移 1 个单位，交 x 轴于点 M ，交直线 l 1 于点 N ，求△ NMF 的面积．yDCO A E B x4.已知，如图，在平面直角坐标系内，点 A 的坐标为（ 0，24），经过原点的直线 l1 与经过点 A 的直线 l2 相交于点 B ，点 B 坐标为（ 18， 6）．（ 1）求直线 l 1，l 2的表达式；（ 2）点 C 为线段 OB 上一动点（点 C 不与点 O ，B 重合），作 CD ∥y 轴交直线l 2 于点 D ，过点 C ， D 分别向 y 轴作垂线，垂足分别为 F ， E ，得到矩形 CDEF ．①设点 C 的纵坐标为 a ，求点 D 的坐标（用含 a 的代数式表示）；②若矩形 CDEF 的面积为 108，求出点 C 的坐标．y y l 2l 2AAE Dl 1l 1BBxFCxOO5.如图，四边形 ABCD 为矩形， C 点在 x 轴上， A 点在 y 轴上， D 点坐标是（ 0，0），B 点坐标是（ 3， 4），矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，点 A 落在 BC 边上的 G 处， E，F 分别在 AD， AB 上，且 F 点的坐标是（ 2， 4）．（1）求 G 点坐标；（2）求直线 EF 的解析式；（3）点 N 在 x 轴上，直线 EF 上是否存在点 M，使以 M、 N、 F、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．yFA BGEO (D)C x1.解（ 1）全等理由如下：∵△ AOB 和△ CBD 是等边三角形，∴OB＝ AB，∠ OBA＝∠ CBD＝60°， BC＝BD∴∠ OBA＋∠ ABC＝∠ CBD＋∠ ABC即∠ OBC＝∠ ABD∴△ OBC≌△ ABD（ 2）不变∵△ OBC≌△ ABD，△ AOB 是等边三角形∴∠ BAD＝∠ BOC＝60°∵∠ OAB＝ 60°∴∠ OAE＝ 180°- ∠OAB- ∠ BAD＝60°∴Rt△OEA 中， AE＝ 2OA＝4∴OE＝ 4222=2 3∴E（0， 2 3 ）2.解：（ 1）由题意知： A （2m ， 0）， B （0，m ）∵ AD ⊥ x 轴，点 D 在直线 y ＝x 上 ∴ D （2m ，2m ）∵ C （m ， 0）∴ k CD＝ DA 2m ＝2CAm∵ k AB ＝12∴ k CD ·k AB ＝ - 1∴ CD ⊥AB（ 2）∵ B （0，m ）， C （ m ，0）∴ OB ＝ m ，OC ＝m∴ BC ＝ 2m∵ k BC ＝ - 1，k OD ＝1∴ k BC · k OD ＝ - 1∴ BC ⊥ OD∴OH ＝ 1BC2 m22∵ D （2m ，2m ） ∴ OD ＝ 2 2m∴ DH ＝ OD- OH ＝3 2m 2∴ DH ＝ 3BC23.解：（ 1）∵正方形 ABCD 的边长是 4，AB 在 x 轴上∴ C 点的纵坐标为 4代入 y 4 x 8得： C （5，4） 3 3∴ A （1，0），B （5，0），D （1，4）∵ y4x 8 与 x 轴交于点 E3 3 ∴ E （2，0）∴ AE ＝1，CD ＝ 4， AD ＝ 4∴ S 四边形 AECD ＝ 1×（ 1＋ 4） ×4yDCPO A E B x（ 2）如果直线 l 平分正方形的面积，则 l 一定过正方形的中心（即对角线的中点）如图， P 是对角线 AC 的中点∵ A （1，0）， C （5，4）∴P （3，2）∴直线 l 经过点 E （ 2， 0），P （3，2）待定系数法可得直线解析式为： y ＝2x －4（ 3）∵直线 l 1 经过点 F （- 3，0）且与直线 y ＝3x 平行，2设直线 l 1 的解析式为 y 1＝kx ＋b ，则： k ＝ 3 代入 F （- 3 ， 0）得： b ＝ 92 2∴ y 1 ＝3x ＋ 92直线 l 沿着 y 轴向上平移 1 个单位，则所得的直线的解析式是：y ＝2x- 3，∴ M （ 3，0） 2y9联立即：3x2y2 x 315 x可得：2 y18即： N （-15，- 18）2S △NMF ＝ 1 ×[ 3 - （- 3）] ×|- 18|＝272 2 24.解：（ 1）设直线 l 1 的表达式为 y=k 1x ∵点（ 18，6）在直线 l 1 上∴ 6= 18k 1∴ k 1 = 13∴ y= 1x3设直线 l 2 的表达式为 y=k 2x +b∵点 A （0，24）， B （18，6）在 l 2 上待定系数法可得直线 l 2 的解析式为： y=- x+24 （ 2）①∵点 C 在直线 l 1 上，且点 C 的纵坐标为 a ∴ x=3a ，∴点 C 的坐标为（ 3a ， a ） ∵ CD ∥ y 轴 ∴点 D 的横坐标为 3a ∵点 D 在直线 l 2 上，∴ y=- 3a+24∴ D （3a ，- 3a+24）②∵ C （3a ， a ）， D （3a ，- 3a+24） ∴ CF=3a ， CD=- 3a+24- a=- 4a+24 ∵矩形 CDEF 的面积为 108∴ S 矩形 CDEF =CF?CD=3a ×（- 4a+24）=108，解得 a=3 当 a=3 时， 3a=9∴ C 点坐标为（ 9，3）5.解：（ 1）∵ F(2，4)，B （ 3， 4），四边形 ABCD 是矩形∴ AF=2，OA=BC=4， AB=3在 Rt △BFG 中，由轴对称性质FG=AF=2∵ BF=AB- AF=1∴BG= 22 123∴ G （3，4- 3 ）（ 2）设 y=kx+b ∵在 Rt △ BFG 中，1BF=FG∴∠ BGF=30°∴∠ AFE=∠EFG=60°在 Rt△AEF 中， AF=2∴AE=2 3∴E（0，4- 2 3 ）∴b=4- 2 3∵ |k|= | AE |=3|AF |∴y= 3 x+4- 2 3 (3) 存在．①M（94 3 ， 3 ）3yAFBMEO(D) N提示：如图，过 G 作 EF 的平行线交连接 MN， GN．GC xx轴于点 N，过 N 作 FG 的平行线交 EF 于点 M，则四边形 MNGF 为平行四边形．利用特殊角及平行四边形性质求点M 坐标即可．②M（34 3，- 3 ）3yFA BG ENO(D)C x M提示：与①的方法类似．③M（3 4 3，8 3 ）3y MFA BGEO (D) N C x提示：如图，过 G 作 EF 的平行线交 x 轴于点 N，连接 NF，过 G 作 NF 的平行线交直线EF 于点 M，连接 GM ．则四边形 MFNG 是平行四边形．。
一次函数几何综合题
1．如图，点D是等边△ABC的边AB上一点，连接CD并以CD为边等边△CDE，连接BE（1）求证：AD=BE；（2）过点D作DF⊥BC于点F，连接AF，AF∥DE，AB=3，求线段CF的长度．2．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是（0，a），（b，0），（a，﹣b）且a2+b2+4a﹣4b=﹣8，连接BC交y轴于点M，N为AC中点，连接NO并延长至D，使OD=ON，连接BD．（1）求a，b的值；（2）求∠DBC；（3）如图2，Q为ON，BC的交点，连接AQ，AB，过点O作OP⊥OQ，交AB于P，过点O作OH⊥AB于H，交BQ于E，请探究线段EH，PH与OH之间有何数量关系？并证明你的结论．3．在平面直角坐标系中，点A（0，a）、B（b，0）且a＞|b|．（1）若a、b满足a2+b2﹣4a﹣2b+5=0．①求a、b的值；②如图1，在①的条件下，将点B在x轴上平移，且b满足：0＜b＜2；在第一象限内以AB为斜边作等腰Rt△ABC，请用b表示S，并写出解答四边形AOBC过程．（2）若将线段AB沿x轴向正方向移动a个单位得到线段DE（D对应A，E 对应B）连接DO，作EF⊥DO于F，连接AF、BF．①如图2，判断AF与BF的关系并说明理由；②若BF=OA﹣OB，则∠OAF=（直接写出结果）．4．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），点B在第一象限，△OAB为等边三角形，OC⊥AB，垂足为点C．（1）直接写出点C的横坐标；（2）作点C关于y轴的对称点D，连DA交OB于E，求OE的长；（3）P为y轴上一动点，连接PA，以PA为边在PA所在直线的下方作等边△PAH．当OH最短时，求点H的横坐标．5．四边形ABCD是由等边△ABC和顶角为120°的等腰△ABD拼成，将一个60°角顶点放在D处，将60°角绕D点旋转，该60°角两边分别交直线BC、AC 于M、N．交直线AB于E、F两点，（1）当E、F分别在边AB上时（如图1），求证：BM+AN=MN；（2）当E、F分别在边BA的延长线上时如图2，求线段BM、AN、MN之间又有怎样的数量关系；（3）在（1）的条件下，若AC=5，AE=1，求BM的长．6．如图，在平面直角坐标系中，已知两点A（m，0），B（0，n）（n＞m＞0），点C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，点P在线段OB上，OP=OA，AP的延长线与CB的延长线交于点M，AB与CP交于点N．（1）点C的坐标为：（用含m，n的式子表示）；（2）求证：BM=BN；（3）设点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，求证：D，G关于x轴对称．7．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．（1）如图1，若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标．（2）如图2，当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE．（3）如图3，M为y轴上一点，连接CM，以CM为直角边向右作等腰Rt△CMN，其中CM=MN，连接NB，若AM=7，求五边形ACMNB的面积．8．在直角坐标系中，点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，b），以AB 为边作等腰直角△ABC，其中点A、B、C成顺时针顺序排列，AB=BC．（1）如图1，求点C的坐标（含字母b）（2）如图2，若b=3，点D为边BC边上一动点，点T为线段BD的中点，TE ⊥BC于T，交AC于点E，DF⊥AC于点F，求EF的长（3）点G与点A关于y轴对称，连接CG，记∠OAB=α，∠BCG=β，若α、β均为锐角，当b的取值发生变化时，α与β之间可能满足什么等量关系？请直接写出你的结论．9．如图1，已知点A（a，0），点B（0，b），且a、b满足+|4﹣b|=0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点C是第一象限内一点，且∠OCB=45°，过点A作AD⊥OC于点F，求证：FA=FC；（3）如图2，若点D的坐标为（0，1），过点A作AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交x轴于点G，求G点的坐标．10．已知，如图1，在平面直角坐标系内，直线l1：y=﹣x+4与坐标轴分别相交于点A、B，与直线l2：相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）如图1，平行于y轴的直线x=1交直线l1于点E，交直线l2于点D，平行于y轴的直x=a交直线l1于点M，交直线l2于点N，若MN=2ED，求a的值；（3）如图2，点P是第四象限内一点，且∠BPO=135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论．11．如图，直线y=﹣x+与y轴、x轴分别交于A，B两点，点C在x轴上，且△ABC为等边三角形．（1）写出直线AC的解析式；（2）如图1，M，N分别在BA，AC的延长线上，且AM=CN，直线MC交BN 于K，BG⊥MK于点G，求证：MC﹣KN=2GK；（3）如图2，过B作DB⊥AB，交y轴于D，将一块含30°角的三角板的60°角的顶点置于D点，角的两边分别交AC，AB于E，F．当此三角板任意旋转时，△AEF的周长是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请证明并求出其值．12．如图1，在平面直角坐标系中，A（0，a），C（c，0），△ABC为等腰直角三角形且a、c满足．≥（1）求点B的坐标；（2）如图2，P是直线上的一个动点，是否存在点P使△PAC的面积等于△BAC的面积？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由；（3）如图3，BF是△ABC内部且经过B点的任一条射线，分别过A作AM⊥BF于M，过CN⊥BF于N．当射线BF绕点B在△ABC内部旋转时，试探索下列结论：①的值不变；②的值不变．13．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y 轴于点A（0，a），且a、b满足．（1）求直线AP的解析式；（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；（3）如图2，点B（﹣2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 交x 轴于点A （a ，0），交y 轴于点B （0，b ），且a 、b 满足，直线y=x 交AB 于点M ．（1）求直线AB 的解析式；（2）过点M 作MC ⊥AB 交y 轴于点C ，求点C 的坐标；（3）在直线y=x 上是否存在一点D ，使得S △ABD =6？若存在，求出D 点的坐标；若不存在，请说明理由．15．直线AB ：y=﹣x ﹣b 分别与x 、y 轴交于A （6，0）、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于C ，且OB ：OC=3：1；（1）求直线BC 的解析式；（2）直线EF ：y=kx ﹣k （k ≠0）交AB 于E ，交BC 于点F ，交x 轴于D ，是否存在这样的直线EF ，使得S △EBD =S △FBD ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（3）如图，P 为A 点右侧x 轴上的一动点，以P 为直角顶点、BP 为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ ，连接QA 并延长交y 轴于点K ．当P 点运动时，K 点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．16．如图1，在平面直角坐标系xoy 中，直线y=x +6与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，BC ⊥AB 交x 轴于C ．①求△ABC 的面积．②如图2，D 为OA 延长线上一动点，以BD 为直角边做等腰直角三角形BDE ，连接EA ．求直线EA 的解析式．③点E 是y 轴正半轴上一点，且∠OAE=30°，AF 平分∠OAE ，点M 是射线AF 上一动点，点N 是线段AO 上一动点，试判断是否存在这样的点M 、N ，使得OM +NM 的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明．17．如左图：直线y=kx +4k （k ≠0）交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，点M （2，m ）为直线AC 上一点，过点M 的直线BD 交x 轴于点B ，交y 轴于点D ．（1）求的值（用含有k 的式子表示．）；（2）若S △BOM =3S △DOM ，且k 为方程（k +7）（k +5）﹣（k +6）（k +5）=的根，求直线BD 的解析式．（3）如右图，在（2）的条件下，P 为线段OD 之间的动点（点P 不与点O 和点D 重合），OE ⊥AP 于E ，DF ⊥AP 于F ，下列两个结论：①值不变；②值不变，请你判断其中哪一个结论是正确的，并说明理由并求出其值．．18．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足．（1）求直线AB的解析式；（2）若点M为直线y=mx在第一象限上一点，且△ABM是等腰直角三角形，求m的值．（3）如图3过点A的直线y=kx﹣2k交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为﹣1，过N点的直线交AP于点M，给出两个结论：①的值是不变；②的值是不变，只有一个结论是正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．19．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+m（m＞0）与x轴，y轴分别交于点A，B，过点A作x轴的垂线交直线y=x于点D，C点坐标（m，0），连接CD．（1）求证：CD⊥AB；（2）连接BC交OD于点H（如图2），求证：DH=BC；（3）若m=2，E为射线AD上的一点，且AE=BE，F为EB延长线上的一点，连FA，作∠FAN交y轴于点N，且∠FAN=∠FBO（如图3），当点F在EB的延长线上运动时，NB﹣FB的值是否发生变化？若不变，请求出NB﹣FB的值；若变化，请求出其变化范围．20．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2与直线l1关于x 轴对称，已知直线l1的解析式为y=x+3，（1）求直线l2的解析式；（2）过A点在△ABC的外部作一条直线l3，过点B作BE⊥l3于E，过点C作CF⊥l3于F，请画出图形并求证：BE+CF=EF；（3）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交于点M，且BP=CQ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．21．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+m交y轴于点A，交x轴于点B，点C 坐标（，0 ），作C关于AB对称点F，连BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M．（1）求证：OF⊥AC；（2）连接CF交AB于点H，求证：AH=CF；（3）若m=2，E为x轴负半轴上一动点，连接ME，过点M作EM的垂线交FB的延长线于点D，问EB﹣BD的值是否改变，若不变，求其值，若改变，求其取值范围．22．如图①，点A（m，0）是x轴的上一点，且|n|+=0．以OA为一边，在第四象限内作等边△OAB．C是x轴负半轴上的一动点，连接CB，在CB 的上方作等边△DCB，直线DA交y轴于E点．（1）求线段OA的长；（2）当C点在y轴的负半轴上运动时，线段AE的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请证明你的结论并求出AE的长．（3）如图②，F是点A关于y轴的对称点，作直线FE．P是直线FE上的E 点上方一动点，连接PA，在PA的左侧作等边△PAT，I是∠APT与∠PAT的角平分线的交点．当点P运动时，点I是否总在y轴上运动？请判断并证明你的结论．23．已知，如图：直线AB：y=﹣x+8与x轴、y轴分别相交于点B、A，过点B作直线AB的垂线交y轴于点D．（1）求BD两点确定的直线解析式；（2）若点C是x轴负半轴上的任意一点，过点C作AC的垂线与BD相交于点E，请你判断：线段AC与CE的大小关系并证明你的判断；（3）若点G为第二象限内任一点，连接EG，过点A作AF⊥FG于F，连接CF，当点C在x轴的负半轴上运动时，∠EFC的度数是否发生变化？若不变，请求出∠EFC的度数；若变化，请求出其变化范围．24．在Rt△ABC中，AC=BC，P是BC中垂线MN上一动点，连接PA，交CB 于E，F是点E关于MN的对称点，连接PF延长交AB于D，连接CD交PA 于G．（1）若P点移动到BC上时，如图点P，E，F重合，若PD=a，CD=b，则AP=（用含a，b的式子表示）；（2）若点P移动到BC的上方时，如图，其它条件不变，求证：CD⊥AE；（3）若点P移动到△ABC的内时，其它条件不变，线段AE，CD，DF有什么确定的数量关系，请画出图形，并直接写出结论（不必证明）．25．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2=0．（1）判断△AOB的形状．（2）如图②，正比例函数y=kx（k＜0）的图象与直线AB交于点Q，过A、B 两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=9，BN=4，求MN的长．（3）如图③，E为AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角△ADE，P为BE 的中点，连接PD、PO，试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明．26．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4分别交x轴、y轴于A、B 两点，直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．（1）连接AB的中点M交BD于N，求证：ON=OD．（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰直角三角形BPF，其中∠BPF=90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．27．如图，正方形ABOD的边长为2，OB在x轴上，OD在y轴上，且AD∥OB，AB∥OD，点C为AB的中点，直线CD交x轴于点F．（1）求直线CD的函数关系式；（2）过点C作CE⊥DF且交于点E，求证：∠ADC=∠EDC；（3）求点E坐标；（4）点P是直线CE上的一个动点，求PB+PF的最小值．28．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（4，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）点M是坐标轴上的一个点，若AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标；（3）如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC﹣OD的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．29．如图①，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限，线段AC与x轴交于点D．将线段DC 绕点D逆时针旋转90°至DE．（1）直接写出点B、D、E的坐标并求出直线DE的解析式．（2）如图②，点P以每秒1个单位的速度沿线段AC从点A运动到点C的过程中，过点P作与x轴平行的直线PG，交直线DE于点G，求与△DPG的面积S与运动时间t的函数关系式，并求出自变量t的取值范围．（3）如图③，设点F为直线DE上的点，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FE以每秒个单位的速度运动到E后停止．当点F的坐标是多少时，是否存在点M在整个运动过程中用时最少？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．30．（1）问题如图1，点A为线段BC外一动点，且AB=a，BC=b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．31．在平面直角坐标系中，点A（0，a）、B（b，0）且a＞|b|．（1）若a、b满足a2+b2﹣8a﹣4b+20=0．①求a、b的值；②如图1，在①的条件下，第一象限内以AB为斜边作等腰Rt△ABC，请求四边形AOBC的面积S；（2）如图2，若将线段AB沿x轴向正方向移动a个单位得到线段DE（D对应A，E对应B）连接DO，作EF⊥DO于F，连接AF、BF，判断AF与BF的关系，并说明理由．32．如图1，一次函数y=﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段BC⊥AB且BC=AB，直线AC交x轴于点D．（1）求A，B两点的坐标；（2）求点C的坐标，并直接写出直线AC的函数关系式；（3）若点P是图1中直线AC上的一点，连接OP，得到图2．请在下面的A，B两题中任选一题解答，我选择．A．当点P的纵坐标为3时，求△AOP的面积；B．当点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等时，求△AOP的面积；（4）若点Q是图1中坐标平面内不同于点B、点C的一点．请在下面的A，B两题中任选一题解答，我选择A．当以点B，D，Q为顶点的三角形与△BCD全等时，直接写出点Q的坐标；B．当以点C，D，Q为顶点的三角形与△BCD全等时，直接写出点Q的坐标．33．正方形OABC的边长为2，其中OA、OC分别在x轴和y轴上，如图1所示，直线l经过A、C两点．（1）若点P是直线l上的一点，当△OPA的面积是3时，请求出点P的坐标；（2）如图2，坐标系xOy内有一点D（﹣1，2），点E是直线l上的一个动点，请求出|BE+DE|的最小值和此时点E的坐标．（3）若点D关于x轴对称，对称到x轴下方，直接写出|BE﹣DE|的最大值，并写出此时点E的坐标．34．（1）问题发现：如图（1），小明在同一个平面直角坐标系中作出了两个一次函数y=x+1和y=x﹣1的图象，经测量发现：∠1∠2（填数量关系）则l1l2（填位置关系），从而二元一次方程组无解．（2）问题探究：小明发现对于一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2（b1≠b2），设它们的图象分别是l1和l2（如备用图1）①如果k1k2（填数量关系），那么l1l2（填位置关系）；②反过来，将①中命题的结论作为条件，条件作为结论，所得命题可表述为，请判断此命题的真假或举出反例；（3）问题解决：若关于x，y的二元一次方程组（各项系数均不为0）无解，那么各项系数a1、b1、c1、a2、b2、c2应满足什么样的数量关系？请写出你的结论．35．【模型建立】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；【模型应用】（2）①已知直线l1：y=x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转45o至直线l2，如图2，求直线l2的函数表达式；②如图3，长方形ABCO，O为坐标原点，点B的坐标为（8，﹣6），点A、C分别在坐标轴上，点P是线段BC上的动点，点D是直线y=﹣2x+6上的动点且在第四象限．若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．36．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．37．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点B从坐标原点O 出发，沿x轴负半轴运动，以AB为边作等边三角形ABC（A，B，C按逆时针顺序排列），当点B在原点O时，记此时的等边三角形为△AOC1．（1）求点C1的坐标；（2）连接CC1，求证：△AOB≌△AC1C；（3）求动点C所在图象的函数表达式．38．已知：如图1，在△AOB中，OA=AB=，BO=2，点B在x轴上，直线l1：y=kx+3（k为常数，且k≠0）过点A，且与x轴、y轴分别交于点D，C，直线l2：y=ax（a为常数，且a＞0）与直线l1交于点P，且△DOP的面积为．（1）求直线l1，l2的解析式；（2）如图2，直线l3∥y轴，与直线l1，x轴分别交于点M，Q，且直线l3与线段OA或线段OP交于点N．若点Q的横坐标为m（﹣1＜m＜2），求△APN 的面积S关于m的函数关系式．39．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B，过点E（1，0）作x轴的垂线EF交AB于点D，点P从D出发，沿着射线ED的方向向上运动，设PD=n．（1）求直线AB的表达式；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）若以P为直角顶点，PB为直角边在第一象限作等腰直角△BPC，请问随着点P的运动，点C是否也在同一直线上运动？若在同一直线上运动，请求出直线解析式；若不在同一直线上运动，请说明理由．40．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4交x轴，y轴分别于点A，点B，将△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，直线CD交直线AB于点E，如图1：（1）求：直线CD的函数关系式；（2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，如图2，①求证：∠OEF=45°；②求：点F的坐标；（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ和△DOC全等时，直接写出点P的坐标．一．解答题（共40小题）1．如图，点D是等边△ABC的边AB上一点，连接CD并以CD为边等边△CDE，连接BE（1）求证：AD=BE；（2）过点D作DF⊥BC于点F，连接AF，AF∥DE，AB=3，求线段CF的长度．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，推出△ACD≌△BCE，根据求三角形的性质得到AD=BE；（2）根据平行线的性质得到∠BAF=∠BDE，推出∠BAF=∠BDE=∠ACD=∠BCE，证得△ABF≌△CBE，由全等三角形的性质得到BF=BE解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵△ABC，△CDE是等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°﹣∠BCD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE；（2）解：∵AF∥DE，∴∠BAF=∠BDE，∵∠BDC=∠BDE+CDE=∠BDE+60°=∠BAC+∠ACD，∴∠BAF=∠BDE=∠ACD=∠BCE，在△ABF与△CBE中，，∴△ABF≌△CBE，∴BF=BE，∵DF⊥BC，∠ABC=60°，∴AD=BE=BF=BD•cos∠ABC=BD，∵AB=BC，AD=BF，∴CF=BD=2BF，∴CF=BC=AB=×3=2．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．2．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是（0，a），（b，0），（a，﹣b）且a2+b2+4a﹣4b=﹣8，连接BC交y轴于点M，N为AC中点，连接NO并延长至D，使OD=ON，连接BD．（1）求a，b的值；（2）求∠DBC；（3）如图2，Q为ON，BC的交点，连接AQ，AB，过点O作OP⊥OQ，交AB于P，过点O作OH⊥AB于H，交BQ于E，请探究线段EH，PH与OH之间有何数量关系？并证明你的结论．【分析】（1）把a2+b2+4a﹣4b=﹣8化成（a+2）2+（b﹣2）2=0，根据非负数的和等于0，即可求得a，b的值；（2）根据A（0，﹣2），B（2，0），C（﹣2，﹣2），对称AC∥x轴，从而求得N的坐标，根据中心对称的性质对称D的坐标，然后根据AAS证得△ACM ≌△OBM，根据SAS证得△BDE≌△MBO，即可求得∠MBO+∠OBD=90°，从而求得∠DBC=90°；（3）分别证得四边形ABOC是平行四边形，四边形AHOF是正方形，然后根据三角形中位线定理和三角形全等即可证得2EH=OH﹣PH．【解答】解：（1）∵点A，B，C的坐标分别是（0，a），（b，0），（a，﹣b）且a2+b2+4a﹣4b=﹣8，∴（a+2）2+（b﹣2）2=0，∴a+2=0，b﹣2=0，∴a=﹣2，b=2；（2）∵A（0，﹣2），B（2，0），C（﹣2，﹣2），∴AC∥x轴，∵N为AC中点，∴N（﹣1，﹣2），∴AN=1，∵OD=ON，∴D和N点关于O点对称，∴D（1，2），如图1，作DE⊥OB于E，∴DE=2，BE=1，在△ACM和△OBM中，∴△ACM≌△OBM（AAS），∴AM=OM=OA=1，在△BDE和△MBO中，∴△BDE≌△MBO（SAS），∴∠MBO=∠BDE，∵∠BDE+∠OBD=90°，∴∠MBO+∠OBD=90°，即∠DBC=90°；（3）延长AQ交OC于F，∵A（0，﹣2），B（2，0），∴OA=OB=2，∴∠OAB=∠OBA=45°，∵OH⊥AB，∴AH=BH，∴OH=AB，∵AC∥OB且AC=OB，∴四边形ABOC是平行四边形，∴OC∥AB，且OC=AB，∵ON是AC的中线，CB是OA的中线，∴AQ是OC的中线，∵AC=OA=2，∴AQ⊥OC，∴AQ⊥AB，∴四边形AHOF是正方形，∴AF=OH，∵OH=AB=AH，OC=AB，∴OF=OH，易证得△OFQ≌△OHP，∴FQ=PH，∵AH=BH，OH∥AF，∴EH=AQ，∴EH=（AF﹣FQ）=（OH﹣PH），∴2EH=OH﹣PH．【点评】本题考查了坐标和图形的性质，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质以及三角形中位线定理等，熟练掌握性质定理是解题的关键．3．在平面直角坐标系中，点A（0，a）、B（b，0）且a＞|b|．（1）若a、b满足a2+b2﹣4a﹣2b+5=0．①求a、b的值；②如图1，在①的条件下，将点B在x轴上平移，且b满足：0＜b＜2；在第，并写出解答一象限内以AB为斜边作等腰Rt△ABC，请用b表示S四边形AOBC过程．（2）若将线段AB沿x轴向正方向移动a个单位得到线段DE（D对应A，E 对应B）连接DO，作EF⊥DO于F，连接AF、BF．①如图2，判断AF与BF的关系并说明理由；②若BF=OA﹣OB，则∠OAF=60°（直接写出结果）．【分析】（1）①化简得（a﹣2）2+（b﹣1）2=0，根据非负数的性质即可求出a、b．②利用S四边形AOBC=S△AOB+S△ABC即可解决．（2）①结论：AF=FB，AF⊥FB，作FG⊥y轴，FH⊥x轴垂足分别为G、H，先证明四边形FHOG是正方形，然后证明△FGA≌△FHB得FA=FB，∠AFG=∠BFH 所以∠AFB=∠GFH=90°．从而得证．②由△FGA≌△FHB得∠FBH=∠OAF，在Rt△FBH中，求出cos∠FBH=的值即可解决．【解答】解：（1）①∵a2+b2﹣4a﹣2b+5=0，∴（a﹣2）2+（b﹣1）2=0，∴a=2，b=1，②∵A（0，2），B（b，0），∴AB=，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=，∴S四边形AOBC =S△AOB+S△ABC=•AO•BO +BC2=b2+b+1，（0＜b＜2）．（2）①结论：FA=FB，FA⊥FB，理由如下：如图，作FG⊥y轴，FH⊥x轴垂足分别为G、H．∵A（0，a）向右平移a个单位到D，∴点D坐标为（a，a），点E坐标为（a+b，0），∴∠DOE=45°，∵EF⊥OD，∴∠OFE=90°∠FOE=∠FEO=45°，∴FO=EF，∴FH=OH=HE=（a+b），∴点F 坐标（，），∴FG=FH，四边形FHOG是正方形，∴OG=FH=，∠GFH=90°，∴AG=AO﹣OG=a ﹣=，BH=OH﹣OB==，∴AG=BH，在△FGA和△FHB中，，∴△FGA≌△FHB，∴FA=FB，∠AFG=∠BFH，∴∠AFB=∠GFH=90°．AF⊥BF，AF=BF．②∵△FGA≌△FHB，∴∠FBH=∠OAF，在Rt△BFH中，∵BF=OA﹣OB=a﹣b，BH=，∴cos∠FBH==，∴∠FBH=60°，∴∠OAF=60°．故答案为60°．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、非负数的性质、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．4．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），点B在第一象限，△OAB为等边三角形，OC⊥AB，垂足为点C．（1）直接写出点C的横坐标6；（2）作点C关于y轴的对称点D，连DA交OB于E，求OE的长；（3）P为y轴上一动点，连接PA，以PA为边在PA所在直线的下方作等边△PAH．当OH最短时，求点H的横坐标．【分析】（1）如图1所示：过点B作BF⊥OA，垂足为F．由等腰三角形三线合一的性质可知OF=AF=4、BC=AC，由等边三角形的性质可知：∠BOF=60°，由特殊锐角三角函数值可知；FB=4，从而得到点B的坐标为（4，4），由中点坐标公式可知点C的坐标为（6，2）；（2）方法1：设OB的解析式为y=kx，将点B的坐标代入得：k=，于是得到直线OB的解析式为y=．由关于y轴对称的点的坐标特点可求得点D 的坐标，然后依据待定系数法可求得直线AD的解析式为y=．将y=代入y=可求得点E的坐标为（1，）．由两点间的距离公式可知：OE==2；方法2：连接CD，交OB于F．由关于y轴对称对称的点坐标坐标特点可知：CD∥OA，D（﹣6，2），从而得到DC=12，由题意可知△BCF为等边三角形，从而得到CF=4，然后可求得DF=12﹣4=8=OA，依据AAS可证明△DEF≌△AEO （AAS），由全等三角形的性质可知OE=EF，从而可求得OE=2；（3）如图3，连接PB．依据SAS可证明△HAO≌△PAB，由全等三角形的性质可知：OH=PB，由垂线段最短的性质可知：当BP⊥y轴时，PB有最小值为4，由PB⊥y轴可知∠AOH=∠ABP=120°，从而得到∠COH=60°，过点H作HC ⊥x轴于C，由OH=4，∠COH=60°，可求得OC=2．【解答】解：（1）如图1所示：过点B作BF⊥OA，垂足为F．∵OB=AB，BF⊥OA，∴OF=AF=4．∵△OAB为等边三角形，∴∠BOF=60°．∴FB=OBsin60°=8×=4．∴点B的坐标为（4，4）．∵AO=OB，OC⊥AB，∴BC=AC．由中点坐标公式可知点C的坐标为（6，2）．故答案为：6．（2）方法1：设OB的解析式为y=kx，将点B的坐标代入得：4k=4，解得：k=．∴直线OB的解析式为y=．∵点C与点D关于y轴对称，∴点D的坐标为（﹣6，2）．设DA的解析式为y=k1x+b．将点A和点D的坐标代入得：，解得：k1=﹣，b=．∴直线DA的解析式为y=．将y=代入y=得：．解得：x=1．∴y=．∴点E的坐标为（1，）．由两点间的距离公式可知：OE==2．方法2：如图2所示：连接CD，交OB于F．∵点C与点D关于y轴对称，∴CD∥OA，点D（﹣6，2）．∴△BCF为等边三角形，∴CF=4，CD=12．∴DF=12﹣4=8=OA．在△DEF和△AEO中，∴△DEF≌△AEO（AAS），∴OE=EF=OF，∵BF=BC=4，∴OF=4，∴OE=2．（3）如图3，连接PB．∵∠HAO+∠PAO=∠BAP+∠PAO=60°，∴∠HAO=∠PAB，在△HAO和△PAB中，∴△HAO≌△PAB（SAS），∴OH=PB，当BP⊥y轴时，PB有最小值为4，此时，∠AOH=∠ABP=120°，∴∠COH=60°过点H作HC⊥x轴于C，∵OH=4，∠COH=60°，∴OC=2，即H点横坐标为﹣2．【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数、垂线段的性质、等边三角形的性质，证得当BP⊥y轴时，OH有最小值是解题的关键．5．四边形ABCD是由等边△ABC和顶角为120°的等腰△ABD拼成，将一个60°角顶点放在D处，将60°角绕D点旋转，该60°角两边分别交直线BC、AC 于M、N．交直线AB于E、F两点，（1）当E、F分别在边AB上时（如图1），求证：BM+AN=MN；（2）当E、F分别在边BA的延长线上时如图2，求线段BM、AN、MN之间又有怎样的数量关系MN=BM﹣AN；（3）在（1）的条件下，若AC=5，AE=1，求BM的长．【分析】（1）把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，根据旋转的性质可得DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，然后求出∠QDN=∠MDN，利用“边角边”证明△MND和△QND全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=QN，再根据AQ+AN=QN整理即可得证；（2）把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，根据旋转的性质可得DN=DP，AN=BP，根据∠DAN=∠DBP=90°可知点P在BM上，然后求出∠MDP=60°，然后利用“边角边”证明△MND和△MPD全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MP，从而得证；（3）过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，可以证明△BMG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BM=MG=BG，根据全等三角形对应角相等可得∠QND=∠MND，再根据两直线平行，内错角相等可得∠QND=∠MHN，然后求出∠MND=∠MHN，根据等角对等边可得MN=MH，然后求出AN=GH，再利用“角角边”证明△ANE和△GHE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=GE，再根据BG=AB﹣AE﹣GE代入数据进行计算即可求出BG，从而得到BM的长．【解答】（1）证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∴∠QDN=∠MDN=60°，∵在△MND和△QND中，，∴△MND≌△QND（SAS），∴MN=QN，∵QN=AQ+AN=BM+AN，∴BM+AN=MN；（2）MN+AN=BM．理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，则DN=DP，AN=BP，∵∠DAN=∠DBP=90°，∴点P在BM上，∵∠MDP=∠ADB﹣∠ADM﹣∠BDP=120°﹣∠ADM﹣∠ADN=120°﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∴∠MDP=∠MDN=60°，∵在△MND和△MPD中，，∴△MND≌△MPD（SAS），∴MN=MP，∵BM=MP+BP，∴MN+AN=BM；。
一次函数与几何图形综合专题练习(附答案)
一次函数与几何图形综合专题练习1.如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。
(1)当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式；(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。
(3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。
问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。
2、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+，（1）求直线2l 的解析式；（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。
在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。
第2题图第2题图② 第2题图③CB A l 2l 10x yC BA0x y Q M PCBA 0xy3.如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)，且a、b满足.(1)求直线AB的解析式；(2)若点M为直线y=mx上一点，且△ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m值；(3)过A点的直线交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为-1，过N点的直线交AP于点M，试证明的值为定值．4.如图，直线AB：y=-x-b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1。
初二：一次函数综合题(与几何、方程、不等式综合)
一次函数与方程和不等式
重难点易错点辨析
一次函数与一元一次方程
题一：直线 y=2x+b 与 x 轴的交点坐标是(2，0)，则关于 x 的方程 2x+b=0 的解是( )
A．x=2
B．x= 4
C．x=8
D．x=10
一次函数与一元一次不等式
题二：已知一次函数 y=ax+b 的图象如图所示，则 ax+b＞0 的解集为
金题精讲
题一：如图，一次函数 y 3 x 3 的图像分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，以线段 AB 为边在第一象限内 4
作等腰 Rt△ABC，∠BAC=90°，则过 B、C 两点直线的解析式为( ) A. y 1 x 3
7 B. y 1 x 3
5 C. y 1 x 3
答案见微信公众号：绿爱生活
题四：某花农要将规格相同的 800 件水仙花运往 A，B，C 三地销售，要求运往 C 地的件数是运往 A 地件
数的 3 倍，各地的运费如下表所示：
A地 B地 C地
运费(元/件) 20
10
15
(1)设运往 A 地的水仙花 x(件)，总运费为 y(元)，试写出 y 与 x 的函数关系式和 x 的取值范围；
中考数学重难点专题12 一次函数与几何综合问题(学生版)
中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）专题12一次函数与几何综合问题【典型例题】1．（2022·四川成都·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，AO＝2BO，点C（3，0）（A点在C点的左侧），连接AB，过点A作AB的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知△ABO△△DAC，直线BD交x轴于点E．(1)求直线AD的解析式；(2)直线AD有一点F，设点F的横坐标为t，若△ACF与△ADE相似，求t的值；(3)如图2，在直线AD上找一点G，直线BD上找一点P，直线CD上找一点Q，使得四边形AQPG是菱形，求出G点的坐标．【专题训练】一、选择题1．（2022·山东龙口·七年级期末）对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点(1，3)B．y的值随x值的增大而增大C．当x＞0时，y＜0D．它的图象与x轴的交点坐标为(13，0)2．（2022·江苏溧阳·八年级期末）如图，直线122y x=-+与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM与△AOB全等时，移的时间t是（）A．2B．4C．2或4D．2或63．（2022·陕西·辋川乡初级中学八年级期末）数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A（3，2），B（-1，-6），由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：①该函数表达式为y=2x-4；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大：③点P（2a，4a-4）在该函数图象上；④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中错误的结论是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2022·江苏启东·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）二、填空题5．（2022·江苏滨湖·八年级期末）如图，直线y＝﹣43x+8与坐标轴分别交于A、B两点，P是AB的中点，则OP的长为_____．6．（2021·山东济阳·八年级期中）如图，一次函数y ＝x ＋2的图像与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且△OPC ＝45°，PC ＝PO ，则点P 的坐标为______．7．（2021·湖北阳新·模拟预测）如图，直线AB 的解析式为y ＝﹣x +b 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，点A的坐标为（3，0），过点B 的直线交x 轴负半轴于点C ，且31OB OC ：：，在x 轴上方存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则点D 的坐标为_____．8．（2022·山东龙口·七年级期末）正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示放置，点A 1，A 2，A 3，和点C 1，C 2，C 3，…，分别在直线y ＝kx +b （k ＞0）和x 轴上，已知点B 1，B 2，B 3，B 4的坐标分别为(1，1)，(3，2)，(7，4)，(15，8)，则Bn 的坐标为_____三、解答题9．（2022·江苏海州·八年级期末）已知直线l 1经过点A （3，2）和点B （0，5），直线l 2：y ＝2x ﹣4经过点A 且与y 轴相交于点C ．(1)求直线l 1的函数表达式；(2)已知点M 在直线l 1上，过点M 作MN //y 轴，交直线l 2于点N ．若MN ＝6，请求出点M 的横坐标．10．（2022·广西·桂林市雁山中学九年级期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝mx在第一象限的图象交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D．如果OA＝OB＝OD＝1，求：(1)点A、B、C的坐标；(2)这个反比例函数的表达式；(3)这个一次函数的表达式．11．（2022·江苏溧阳·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中长方形AOBC的顶点A、B坐标分别为(0，8)、(10，0)，点D是BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，点F是直线AD 与x轴的交点，连接CF．(1)点C坐标为____________；(2)求直线AD的函数表达式_______________________；(3)点P是直线AD上的一点，当△CFP是直角三角形时，请你直接写出点P的坐标．。
一次函数综合题(解析版)--2024年中考数学压轴题专项训练
一次函数综合题通用的解题思路：(1)一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．(2)一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x 的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．(3)用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．1(2024•鼓楼区一模)如图，直线y =-3x +6与⊙O 相切，切点为P ，与x 轴y 轴分别交于A 、B 两点．⊙O 与x 轴负半轴交于点C ．(1)求⊙O 的半径；(2)求图中阴影部分的面积．【分析】(1)由OP =OA ⋅sin60°，即可求解；(2)由图中阴影部分的面积=S 扇形COP -S ΔPOC ，即可求解．【解答】解：(1)对于直线y =-3x +6，令y =-3x +6=0，则x =23，即OA =23，由一次函数的表达式知，OB =6，则tan ∠BAC =OB AO =623=3，则∠BAC =60°连接OP ，则OP ⊥AB ，则OP =OA ⋅sin60°=23×32=3；(2)过点P 作PH ⊥AC 于点H ，∵∠POH =30°，则∠POC =150°，PH =12OP =32，则图中阴影部分的面积=S 扇形COP -S ΔPOC =150°360°×π×32-12×3×32=15π-94．【点评】本题考查了一次函数和圆的综合运用，涉及到圆切线的和一次函数的性质，解直角三角形，面积的计算等，综合性强，难度适中．2(2023•宿豫区三模)如图①，在平面直角坐标系中，直线l 1:y =x +1与直线l 2:x =-2相交于点D ，点A 是直线l 2上的动点，过点A 作AB ⊥l 1于点B ，点C 的坐标为(0,3)，连接AC ，BC ．设点A 的纵坐标为t ，ΔABC 的面积为s ．(1)当t =2时，求点B 的坐标；(2)s 关于t 的函数解析式为s =14t 2+bt -54t -1或t 5 a t +1 t -5 (-1<t <5)，其图象如图②所示，结合图①、②的信息，求出a 与b 的值；(3)在直线l 2上是否存在点A ，使得∠ACB =90°，若存在，请求出此时点A 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)解法一：先根据t =2可得点A (-2,2)，因为B 在直线l 1上，所以设B (x ,x +1)，利用y =0代入y =x +1可得G 点的坐标，在Rt ΔABG 中，利用勾股定理列方程可得点B 的坐标；解法二：根据可以使用y =x +1与x 轴正半轴夹角为45度来解答；(2)先把(7,4)代入s =14t 2+bt -54中计算得b 的值，计算在-1<t <5范围内图象上一个点的坐标值：当t =2时，根据(1)中的数据可计算此时s =94，可得坐标2,94，代入s =a (t +1)(t -5)中可得a 的值；(3)存在，设B (x ,x +1)，如图5和图6，分别根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解答．【解答】解：(1)解法一：如图1，连接AG ，当t =2时，A (-2,2)，设B (x ,x +1)，在y =x +1中，当x =0时，y =1，∴G (0,1)，∵AB ⊥l 1，∴∠ABG =90°，∴AB 2+BG 2=AG 2，即(x +2)2+(x +1-2)2+x 2+(x +1-1)2=(-2)2+(2-1)2，解得：x 1=0(舍)，x 2=-12，∴B -12，12；解法二：如图1-1，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，过点A 作AH ⊥BE 于H ，当x =0时，y =1，当y =0时，x +1=0，则x =-1，∴OF =OG =1，∵∠GOF =90°，∴∠OGF =∠OFG =45°，∴BE =EF ，∵∠ABD =90°，∴∠ABH =∠BAH =45°，∴ΔABH 是等腰直角三角形，∴AH =BH ，当t =2时，A (-2,2)，设B (x ,x +1)，∴x +2=2-(x +1)，∴x =-12，∴B -12，12 ；(2)如图2可知：当t =7时，s =4，把(7,4)代入s =14t 2+bt -54中得：494+7b -54=4，解得：b =-1，如图3，过B 作BH ⎳y 轴，交AC 于H ，由(1)知：当t =2时，A (-2,2)，B -12，12 ，∵C (0,3)，设AC 的解析式为：y =kx +n ，则-2k +n =2n =3 ，解得k =12n =3 ，∴AC 的解析式为：y =12x +3，∴H -12，114，∴BH =114-12=94，∴s=12BH⋅|x C-x A|=12×94×2=94，把2,9 4代入s=a(t+1)(t-5)得：a(2+1)(2-5)=94，解得：a=-1 4；(3)存在，设B(x,x+1)，当∠ACB=90°时，如图5，∵∠ABD=90°，∠ADB=45°，∴ΔABD是等腰直角三角形，∴AB=BD，∵A(-2,t)，D(-2,-1)，∴(x+2)2+(x+1-t)2=(x+2)2+(x+1+1)2，(x+1-t)2=(x+2)2，x+1-t=x+2或x+1-t=-x-2，解得：t=-1(舍)或t=2x+3，RtΔACB中，AC2+BC2=AB2，即(-2)2+(t-3)2+x2+(x+1-3)2=(x+2)2+(x+1-t)2，把t=2x+3代入得：x2-3x=0，解得：x=0或3，当x=3时，如图5，则t=2×3+3=9，∴A(-2,9)；当x=0时，如图6，此时，A(-2,3)，综上，点A的坐标为：(-2,9)或(-2,3)．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积、两点间距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3(2023•溧阳市一模)如图1，将矩形AOBC放在平面直角坐标系中，点O是原点，点A坐标为(0,4)，点B坐标为(5,0)，点P是x轴正半轴上的动点，连接AP，ΔAQP是由ΔAOP沿AP翻折所得到的图形．(1)当点Q落在对角线OC上时，OP= 165 ；(2)当直线PQ经过点C时，求PQ所在的直线函数表达式；(3)如图2，点M是BC的中点，连接MP、MQ．①MQ的最小值为；②当ΔPMQ是以PM为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【分析】(1)通过Q 点在OC 上，可以通过∠BOC 的三角函数和∠OAP 的三角函数来导出对应的边的关系，求得结果；(2)通过直角ΔAQC 中，得到QC 的长度，然后通过OP =PQ =x ，可以在Rt ΔBCP 中，得到对应的x 值然后求出结果；(3)通过QA =OA =4，可得出Q 点的运动轨迹，是以A 点为圆心，4为半径长度的圆弧，从而可知，MA 的连线上的Q 点为最短的MQ 长度，通过分类讨论，PM =PQ ，PM =QM ，PQ =QM 来求得对应的P 的坐标．【解答】解：(1)如图1，∵∠OAP +∠AOE =90°，∠BOC +∠AOE =90°，∴∠OAP =∠BOC ，又∵∠AOP =∠OBC =90°，∴ΔOAP ∽ΔBOC ，∴OP BC =OA OB ，即OP 4=45，∴OP =165，故答案为：165；(2)如图，∵AQ ⊥PQ ，∴∠AQC =90°，∴QC =AC 2-AQ 2=52-42=3，∵AQ =AO =4，设OP =PQ =x ，则CP =3+x ，PB =5-x ，∴CP 2=BP 2+BC 2，(3+x )2=(5-x )2+42，x =2，∴P 点的坐标为(2,0)，将P (2,0)和C (5,4)代入y =kx +b 中，0=2k +b 4=5k +b ，解得：k =43b =-83，∴PQ 所在直线的表达式为：y =43x -83；(3)如图，①∵AQ =AO =4，∴Q 点的运动轨迹，是以A 为圆心，4为半径的圆弧，∴MQ 的最小值在AM 的连线上，如图，MQ ′即为所求，∵M 是BC 中点，CM =12BC =2，∴AM =52+22=29，MQ ′=MA -AQ ′=29-4，故答案为：29-4；②如图，设OP =PQ =x ，BP =5-x ，∴PM 2=(5-x )2+22=x 2-10x +29，当PM =PQ 时，PM 2=PQ 2，∴x 2-10x +29=x 2，x =2910，∴P 2910，0，当MP =MQ 时，如图，若点Q 在AC 上，则AQ =OA =4，∵MP =MQ ，MB =MC ，∠PBM =∠QCM ，∴ΔPMB ≅ΔQMC (HL )，∴PB =QC ，QC =AC -AQ =5-4=1，∴PB =1，∴OP =BO -PB =5-1=4，∴P (4,0)；若点Q 在AC 上方时，由对称性可知OM =MQ ，∵MQ =MQ ，∴MO =MP ，∴P (10,0)；当MQ =PQ 时，不符合题意，不成立，故P 点坐标为P 2910，0或P (4,0)或(10,0)．【点评】本题考查一次函数的图象及应用，通过一次函数坐标图象的性质，三角函数的性质，全等三角形的性质和勾股定理，来求得对应的解．4(2022•启东市模拟)我们知道一次函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象关于y 轴对称，所以我们定义：函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)互为“M ”函数．(1)请直接写出函数y =2x +5的“M ”函数；(2)如果一对“M ”函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象交于点A ，且与x 轴交于B ，C 两点，如图所示，若∠BAC =90°，且ΔABC 的面积是8，求这对“M ”函数的解析式；(3)在(2)的条件下，若点D 是y 轴上的一个动点，当ΔABD 为等腰三角形时，请求出点D 的坐标．【分析】(1)根据互为“M ”函数的定义，直接写出函数y =2x +5的“M ”函数；(2)现根据已知条件判断ΔABC 为等腰直角三角形，再根据互为“M ”函数的图象关于y 轴对称，得出OA =OB =OC ，再根据函数解析式求出点A 、B 、C 的坐标，再根据ΔABC 的面积是8求出m 、n 的值，从而求出函数解析式；(3)ΔABD 为等腰三角形，分以A 为顶点，以B 为顶点，以D 为顶点三种情况讨论即可．【解答】(1)解：根据互为“M ”函数的定义，∴函数y =2x +5的“M ”函数为y =-2x +5；(2)解：根据题意，y =mx +n 和y =-mx +n 为一对“M 函数”．∴AB =AC ，又∵∠BAC =90°，∴ΔABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC =∠ACB =45°，∵OB =OC ，∴∠BAO =∠CAO =45°，∴OA =OB =OC ，又∵S ΔABC =12×BC ×AO =8且BC =2AO ，∴AO =22，∵A 、B 、C 是一次函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象于坐标轴的交点，∴A (0,n )，B -n m ，0 ，C n m ，0，∵OA =OB =n ，∴n m=22，∴m =1，∴y =x +22和y =-x +22；(3)解：根据等腰三角形的性质，分情况，∵AO =BO =22，∴AB =4，由(2)知，A (0，22)，B (-22，0)，C (22，0)，∴①以A 为顶点，则AB =AD ，当点D 在点A 上方时，AD =22+4，当点D 在点A 下方时，AD =22-4，∴D 1(0，22+4)，D 2(0，22-4)，②以B 为顶点，则BA =BD ，此时点D 在y 轴负半轴，∴D 3(0,-22)，③以D 为顶点，则DA =DB ，此时D 为坐标原点，∴D 4(0,0)．∴D 点坐标为D 1(0，22+4)，D 2(0，22-4)，D 3(0,-22)，∴D 4(0,0)．【点评】本题考查一次函数的综合应用，以及新定义、等腰三角形的性质等知识，关键是理解新定义，用新定义解题．5(2024•新北区校级模拟)如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以v 1的速度沿折线A -B -C 向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发，以v 2的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ，PQ ，记ΔEPQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，其函数图象为折线MN -NF 和曲线FG (图②)，已知，ON =4，NH =1，点G 的坐标为(8,0)．(1)点P 与点Q 的速度之比v 1v 2的值为 85 ；AB AD的值为；(2)如果OM =15．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②求FG 所在曲线的函数表达式；③是否存在某个时刻t ，使得S ≥154？若存在，求出t 的取值范围：若不存在，请说明理由．【分析】(1)由函数图象可知t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，则Q 的速度v 2=DE 4，P 的速度v 1=AB 4，从而得出答案；(2)①当t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，此时S ΔADE =2，可得AD =BC =DE =15，AB =CD =53AD =10，从而得出点P 与Q 的速度，即可得出点F 的坐标，利用待定系数法可得答案；②设FG 所在的曲线的数解析式为S =a (t -6)2+k (a ≠0)，把F 5,154，G (8,0)代入解析式求得a ，k 值即可求解答；③利用待定系数法求出直线MN 的函数解析式，当S =154时，可得t 的值，根据图象可得答案．【解答】解：(1)∵ON =4，NH =1，G (8,0)，∴N (4,0)，H (5,0)，由图象可知：t =4时，Q 与E 重合，t =5时，P 与B 重合，t =8时，P 与C 重合，∴Q 的速度v 2=DE 4，P 的速度v 1=AB 5，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∵E 为CD 的中点，∴DE =12CD =12AB ，∴v 1v 2=AB5DE 4=AB 5⋅4DE =85，∵P 从A 到B 用了5秒，从B 到C 用了3秒，∴AB =5v 1，BC =3v 1，∴AB =53BC ，∴AB :AD 的值为53，故答案为：85，53；(2)①∵OM =15，∴M (0,15)，由题知，t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，∴S ΔEPQ =12AD ⋅DE =15，∵AB :AD =53，DE =12AB ，∴DE =56AD ，∴12AD ⋅56AD =15，∴AD =BC =6(舍去负值)，∴AB =CD =53AD =10，∴v 2=DE 4=54，当t =5时，DQ =v 2t =54×5=254，∴QE =DQ -DE =254-5=54，此时P 与B重合，∴S ΔEPQ =12EQ ⋅BC =12×54×6=154，∴F 5,154 ，设直线NF 的解析式为S =kt +b (k ≠0)，将N (4,0)与F 5,154 代入得：4k +b =05k +b =154，∴k =154b =-15 ，∴线段NF 所在直线的函数表达式为S =154t -15(4<t ≤5)；②设FG所在的曲线的数解析式为S=1254t-5(16-2t)=-54t2+15t-40，∴FG所在的曲线的函数解析式为S=-54t2+15t-40(5≤t≤8)；③存在，分情况讨论如下：当Q在DE上，P在AB上时，∵直线MN经过点M(0,15)，N(4,0)，可求得直线MN的解析式为S=-54t+15(0≤t≤4)，当s=154时，-154t+15=154，∴x=3，∵s随x的增大而减小，∴当0≤x≤3时，S≥154，当Q在CE上，P在BC上时，直线NF的解析式为S=154t-15(4<t≤5)；由F5,15 4知：当t=5时，S=154，当S=154时，-54t2+15t-40=154，∴t=7或5，由图象知：当5≤x≤7，x的取值范围为0≤t≤3或5≤t≤7．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．6(2024•梁溪区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =-ax 2+3ax +4a 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴正半轴交于点C ，直线y =12x 交于第一象限内的D 点，且ΔABC 的面积为10．(1)求二次函数的表达式；(2)点E 为x 轴上一点，过点E 作y 轴的平行线交线段OD 于点F ，交抛物线于点G ，当GF =5OF 时，求点G 的坐标；(3)已知点P (n ,0)是x 轴上的点，若点P 关于直线OD 的对称点Q 恰好落在二次函数的图象上，求n 的值．【分析】(1)在y =-ax 2+3ax +4a 中，令y =0得A (-1,0)，B (4,0)，根据ΔABC 的面积为10，即得OC =4，C (0,4)，用待定系数法即得二次函数的表达式为y =-x 2+3x +4；(2)设E (m ,0)，则F m ,12m ，G (m ,-m 2+3m +4)，由GF =5OF ，可得-m 2+52m +4=5×52m ，即可解得G (2,6)；(3)连接PQ 交直线OD 于K ，过Q 作QT ⊥x 轴于T ，设Q (r ,s )，可得K n +r 2，s 2 ，即得s 2=12×n +r 2，n +r =2s ①，又r 2+s 2=n 2，(n +r )(n -r )=s 2②，可解得r =35n ，s =45n ，故Q 35n ，45n ，代入y =-x 2+3x +4得45n =-35n 2+3×35n +4，解得n =5或n =-209．【解答】解：(1)如图：在y =-ax 2+3ax +4a 中，令y =0得-ax 2+3ax +4a =0，解得x =4或x =-1，∴A (-1,0)，B (4,0)，∴AB =5，∵ΔABC 的面积为10，∴12AB ⋅OC =10，即12×5⋅OC =10，∴OC =4，∴C (0,4)，把C (0,4)代入y =-ax 2+3ax +4a 得：4a =4，∴a =1，∴二次函数的表达式为y =-x 2+3x +4；(2)如图：设E (m ,0)，则F m ,12m ，G (m ,-m 2+3m +4)，∴OF =m 2+12m 2=52m ，GF =-m 2+3m +4-12m =-m 2+52m +4，∵GF =5OF ，∴-m 2+52m +4=5×52m ，解得m =2或m =-2(舍去)，∴G (2,6)；(3)连接PQ 交直线OD 于K ，过Q 作QT ⊥x 轴于T ，如图：∵P (n ,0)关于直线对称点为Q ，∴OQ =OP =|n |，K 是PQ 中点，设Q (r ,s )，∴K n +r 2，s 2，∵K 在直线y =12x 上，∴s 2=12×n +r 2，整理得：n +r =2s ①，∵OT 2+QT 2=OQ 2，∴r 2+s 2=n 2，变形得：(n +r )(n -r )=s 2②，把①代入②得：2s (n -r )=s 2，∵s ≠0，∴n -r =s2③，由①③可得r =35n ，s =45n ，∴Q 35n ，45n ，∵Q 在抛物线y =-x 2+3x +4上，∴45n =-35n 2+3×35n +4，解得n =5或n =-209，答：n 的值为5或-209．【点评】本题考查一次函数、二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，对称变换等知识，解题的关键是用含n 的代数式表示Q 的坐标．7(2023•邗江区校级一模)如图1，在平面直角坐标系中，直线l :y =-33x +43分别与x 轴、y 轴交于点A 点和B 点，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，以OD 为边构造等边ΔEDF (F 点在x 轴的正半轴上)．(1)求A 、B 点的坐标，以及OD 的长；(2)将等边ΔEDF ，从图1的位置沿x 轴的正方向以每秒1个单位的长度平移，移动的时间为t (s )，同时点P 从E 出发，以每秒2个单位的速度沿着折线ED -DF 运动(如图2所示)，当P 点到F 点停止，ΔDEF 也随之停止．①t =3或6(s )时，直线l 恰好经过等边ΔEDF 其中一条边的中点；②当点P 在线段DE 上运动，若DM =2PM ，求t 的值；③当点P 在线段DF 上运动时，若ΔPMN 的面积为3，求出t 的值．【分析】(1)把x =0，y =0分别代入y =-33x +43，即可求出点A 、B 的坐标，求出∠BAO =30°，根据直角三角形的性质，即可得出OD =12OA =6；(2)①当直线l 分别过DE 、DF 、EF 的中点，分三种情况进行讨论，得出t 的值，并注意点P 运动的最长时间；②分点P 在直线l 的下方和直线l 上方两种情况进行讨论，求出t 的值即可；③分点P 在DN 之间和点P 在NF 之间两种情况进行讨论，求出t 的值即可．【解答】解：(1)令x =0，则y =43，∴点B 的坐标为(0,43)，令y =0，则-33x +43=0，解得x =12，∴点A 的坐标为(12,0)，∵tan ∠BAO =OB OA=4312=33，∴∠BAO =30°，∵OD ⊥AB ，∴∠ODA =90°，∴ΔODA 为直角三角形，∴OD =12OA =6；(2)①当直线l 过DF 的中点G 时，∵ΔDEF 为等边三角形，∴∠DFE =60°，∵∠BAO =30°，∴∠FGA =60°-30°=30°，∴∠FGA =∠BAO ，∴FA =FG =12DF =3，∴OF =OA -FA =9，∴OE =OF -EF =9-6=3，∴t =3；当l 过DE 的中点时，∵DE ⊥l ，DG =EG ，∴直线l 为DE 的垂直平分线，∵ΔDEF 为等边三角形，∴此时点F 与点A 重合，∴t =12-61=6；当直线l 过EF 的中点时，运动时间为t =12-31=9；∵点P 从运动到停止用的时间为：6+62=6，∴此时不符合题意；综上所述，当t =3s 或6s 时，直线l 恰好经过等边ΔEDF 其中一条边的中点，故答案为：3或6；②∵OE =t ，AE =12-t ，∠BAO =30°，∴ME =6-t2，∴DM =DE -EM =t2，∵EP =2t ，∴PD =6-2t ，当P 在直线l 的下方时，∵DM =23DP ，∴t 2=23(6-2t )，解得：t =2411；当P 在直线l 的上方时，∵DM =2DP ，∴t2=2(6-2t )，解得t =83；综上所述：t 的值为2411或83；③当3<t ≤6时，∵∠D =60°，∠DMN =90°，DM =t2，∴∠DNM =90°-60°=30°，∴MN =DM ×tan60°=32t ，DN =2DM =2×t2=t ，∵DP =2t -6，∴PN =DN -DP =t -(2t -6)=6-t ，∵∠DNM =30°，∴边MN 的高h =12PN =3-12t ，∵ΔPMN 的面积为3，∴12×32t 3-12t =3，整理得：t 2-6t +8=0，解得t =2(舍)或t =4当点P 在NF 之间时，∵∠D =60°，∠DMN =90°，DM =t2，∴∠DNM =90°-60°=30°，∴MN =DM ×tan60°=32t ，DN =2DM =2×t2=t ，∵DP =2t -6，∴PN =DP -DN =2t -6-t =t -6，∵∠DNM =30°，∴∠FNA =∠DNM =30°，∴边MN 的高h =12PN =12t -3，∵ΔPMN 的面积为3，∴12×32t 12t -3 =3，解得t =3+17(舍)或t =3-17(舍)，综上所述，t 的值为4s ．【点评】本题主要考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、利用三角函数解直角三角形，熟练掌握含30°的直角三角形的性质并注意进行分类讨论是解题的关键．8(2023•武进区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|；若|x 1-x 2|<|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1-y 2|．例如：点P 1(1,2)，点P 2(3,5)，因为|1-3|<|2-5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 交点)．(1)已知点A -12，0，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；(2)已知C 是直线y =34x +3上的一个动点，①如图2，点D 的坐标是(0,1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 与点C 的坐标．【分析】(1)①根据点B 位于y 轴上，可以设点B 的坐标为(0,y )．由“非常距离”的定义可以确定|0-y |=2，据此可以求得y 的值；②设点B 的坐标为(0,y )．因为-12-0 ≥|0-y |，所以点A 与点B 的“非常距离”最小值为-12-0 =12；(2)①设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ．根据材料“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”知，C 、D 两点的“非常距离”的最小值为-x 0=34x 0+2，据此可以求得点C 的坐标；②根据“非常距离”的定义，点E 在过原点且与直线y =34x +3垂直的直线上，且C 与E 的横纵坐标差相等时，点C 与点E 的“非常距离”取最小值，据此求出C 与E 的坐标及“非常距离”的最小值．【解答】解：(1)①∵B 为y 轴上的一个动点，∴设点B 的坐标为(0,y )．∵-12-0 =12≠2，∴|0-y |=2，解得，y =2或y =-2；∴点B 的坐标是(0,2)或(0,-2)；②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12．(2)①如图2，当点C 与点D 的“非常距离”取最小值时，需要根据运算定义“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”解答，此时|x 1-x 2|=|y 1-y 2|．即AC =AD ，∵C 是直线y =34x +3上的一个动点，点D 的坐标是(0,1)，∴设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ，∴-x 0=34x 0+2，此时，x 0=-87，∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值为：|x 0|=87，此时C -87，157；②如图3，当点E 在过原点且与直线y =34x +3垂直的直线上，且CF =EF 时，点C 与点E 的“非常距离”最小，设E (x ,y )(点E 位于第二象限)．则y x=-43x 2+y 2=1 ，解得x =-35y =45，故E -35，45．设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ，-35-x 0=34x 0+3-45，解得x0=-8 5，则点C的坐标为-8 5，95，点C与点E的“非常距离”的最小值为1．【点评】本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．9(2023•海安市一模)对于平面直角坐标系xOy中的图形W和点P，给出如下定义：F为图形W上任意一点，将P，F两点间距离的最小值记为m，最大值记为M，称M与m的差为点P到图形W的“差距离”，记作d(P,W)，即d(P,W)=M-m，已知点A(2,1)，B(-2,1)(1)求d(O,AB)；(2)点C为直线y=-1上的一个动点，当d(C,AB)=1时，点C的横坐标是 (2-5)或(5-2，) ；(3)点D为函数y=x+b(-2≤x≤2)图象上的任意一点，当d(D,AB)≤2时，直接写出b的取值范围．【分析】(1)画出图形，根据点P到图形W的“差距离”的定义即可解决问题．(2)如图2中，设C(m,-1)．由此构建方程即可解决问题．(3)如图3中，取特殊位置当b=6时，当b=-4时，分别求解即可解决问题．【解答】解：(1)如图1中，∵A(2,1)，B(-2,1)，∴AB⎳x轴，∴点O到线段AB的最小距离为1，最大距离为5，∴d(O,AB)=5-1．(2)如图2中，设C(m,-1)．当点C在y轴的左侧时，由题意AC-2=1，∴AC=3，∴(2-m)2+22=9，∴m=2-5或2+5(舍弃)，∴C(2-5，-1)，当点C在y轴的右侧时，同法可得C(5-2，-1)，综上所述，满足条件的点C的坐标为(2-5，-1)或(5-2，-1)．故答案为：(2-5，-1)或(5-2，-1)．(3)如图3中，当b=6时，线段EF:y=x+6(-2≤x≤2)上任意一点D，满足d(D,AB)≤2，当b=-4时，线段E′F′:y=x-4(-2≤x≤2)上任意一点D′，满足d(D′,AB)≤2，观察图象可知：当b≥6或b≤-4时，函数y=x+b(-2≤x≤2)图象上的任意一点，满足d(D,AB)≤2．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，点P到图形W的“差距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考创新题型．10(2022•姑苏区校级模拟)平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图2，已知M(4,1)，N(-2,3)，点P(m,n)．(1)①若m=2，n=4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为18，面积为；②若m=2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；(2)若点P在直线y=-2x+5上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；(3)若点P(m,n)在抛物线y=ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，-2≤m≤-1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．【分析】(1)①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，②利用“最佳三点矩形”的定义求解即可；(2)①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+5，可得x分别为-1，5，点P的坐标为(-1,7)或(4,-3)；(3)利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式．【解答】解：(1)①如图，画出点M，N，P的“最佳三点矩形”，可知矩形的周长为6+6+3+3=18，面积为3×6=18；故答案为：18，18．②∵M(4,1)，N(-2,3)，∴|x M-x N|=6，|y M-y N|=2．又∵m=2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24．∴此矩形的邻边长分别为6，4．∴n=-1或5．(2)如图，①由图象可得，点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；分别将y=3，y=1代入y=-2x+5，可得x分别为1，2；结合图象可知：1≤m≤2；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+5，可得x分别为-1，4；∴点P的坐标为(-1,7)或(4,-3)；(3)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，经过点(-1,1)，(1,1)，(3,3)，∴a -b +c =1a +b +c =19a +3b +c =3，a =14b =0c =34，∴y =14x 2+34，同理抛物线经过点(-1,3)，(1,3)，(3,1)，可求得抛物线的解析式为y =-14x 2+134，∴抛物线的解析式y =14x 2+34或y =-14x 2+134．【点评】本题主要考查了一次函数的综合题，涉及点的坐标，正方形及矩形的面积及待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是理解运用好“最佳三点矩形”的定义．11(2022•太仓市模拟)如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以v 1的速度沿折线A -B -C 向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发，以v 2的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ，PQ ，记ΔEPQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，其函数图象为折线MN -NF 和曲线FG (图②)，已知，ON =3，NH =1，点G 的坐标为(6,0)．(1)点P 与点Q 的速度之比v 1v 2的值为 32 ；AB :AD 的值为；(2)如果OM =2．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②是否存在某个时刻t ，使得S ≥23？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由函数图象可知t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，则Q 的速度v 2=DE 3，P 的速度v 1=AB4，从而得出答案；(2)①当t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，此时S ΔADE =2，可得AD =BC =DE =2，AB =CD =2AD =4，从而得出点P 与Q 的速度，即可得出点F 的坐标，利用待定系数法可得答案；②利用待定系数法求出直线MN 的函数解析式，当S =23时，可得t 的值，根据图象可得答案．【解答】解：(1)∵ON =3，NH =1，G (6,0)，∴N (3,0)，H (4,0)，由图象可知：t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，∴Q 的速度v 2=DE 3，P 的速度v 1=AB4，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∵E 为CD 的中点，∴DE =12CD =12AB ，∴v 1v 2=AB4DE 3=AB 4⋅3DE =AB 4⋅312AB =32，∵P 从A 到B 用了4秒，从B 到C 用了2秒，∴AB =4v 1，BC =2v 1，∴AB =2BC ，∴AB :AD 的值为2，故答案为：32,2；(2)①∵OM =2，∴M (0,2)，由题知，t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，∴S ΔEPQ =12AD ⋅DE =2，∵AB :AD =2，∴AD =DE =12AB ，∴12AD 2=2，∴AD =BC =DE =2，AB =CD =2AD =4，∴v 2=DE 3=23，当t =4时，DQ =v 2t =23×4=83，∴QE =DQ -DE =83-2=23，此时P 与B 重合，∴S ΔEPQ =12EQ ⋅BC =12×23×2=33，∴F 4,23，设直线NF 的解析式为S =kx +b (k ≠0)，将N (3,0)与F 4,23 代入得：3k +b =04k +b =23 ，∴k =23b =-2，∴线段NF 所在直线的函数表达式为S =23x -2(3<x ≤4)；②存在，分情况讨论如下：当Q 在DE 上，P 在AB 上时，∵直线MN 经过点M (0,2)，N (3,0)，同理求得直线MN 的解析式为S =-23x +2(0≤x ≤3)，当s =23时，-23x +2=2，∴x =2，∵s随x的增大而减小，∴当0≤x≤2时，S≥23，当Q在CE上，P在AB上时，直线NF的解析式为S=23x-2(3<x≤4)，由F4,2 3知：当x=4时，S=23，当Q在CE上，P在BC上时，SΔEPQ=12EQ⋅CP，∵DQ=v2t=23t，∴EQ=DQ-DE=23t-2，∵v1=AB4=44=1，∴AB+BP=v1t=t，∵AB+BC=4+2=6，∴CP=6-t，∴S=1223t-2(6-t)=-13t2+3t-6(4<x≤6)，当S=23时，-13t2+3t-6=23，∴t=4或5，由图象知：当4<x≤5时，S≥2 3，综上，S≥23时，x的取值范围为0≤x≤2或4≤x≤5．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．12(2022•邗江区校级一模)在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段ST，我们定义点P关于线段ST的线段比k=PSST(PS<PT)PTST(PS≥PT) ．(1)已知点A(0,1)，B(1,0)．①点Q(2,0)关于线段AB的线段比k= 22 ；②点C(0,c)关于线段AB的线段比k=2，求c的值．(2)已知点M(m,0)，点N(m+2,0)，直线y=x+2与坐标轴分别交于E，F两点，若线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤14，直接写出m的取值范围．【分析】(1)①求出QA、QB、AB，根据线段比定义即可得到答案；②方法同①，分c>0和c≤0讨论；(2)分两种情况，画出图象，根据线段比定义，分别在M(N)为“临界点”时列出不等式，即可得到答案．【解答】解：(1)①∵A(0,1)，B(1,0)，Q(2,0)，∴AB=2，QA=5，QB=1，根据线段比定义点Q(2,0)关于线段AB的线段比k=QBAB=22；故答案为：22；②∵A (0,1)，B (1,0)，C (0,c )，∴AB =2，AC =|1-c |，BC =1+c 2，AC 2=1+c 2-2c ，BC 2=1+c 2，当c >0时，AC 2<BC 2，即AC <BC ，由C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2可得：|1-c |2=2，解得c =3或c =-1(舍去)，∴c =3，当c ≤0时，AC 2≥BC 2，即AC ≥BC ，由C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2可得：1+c 22=2，解得c =3(舍去)或c =-3，∴c =-3，综上所述，点C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2，c =3或c =-3；(2)∵直线y =x +2与坐标轴分别交于E ，F 两点，∴E (-2,0)，F (0,2)，∵点M (m ,0)，点N (m +2,0)，∴MN =2，N 在M 右边2个单位，当线段EF 上的点到N 距离较小时，分两种情况：①当M 、N 在点E 左侧时，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴NE MN≤14，即-2-(m +2)2≤14，解得：m ≥-92，②当N 在E 右侧，M 在E 左侧时，过M 作MG ⊥EF 于G ，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴GM MN ≤14，即GM 2≤14，∴GM ≤12，而E (-2,0)，F (0,2)，∴∠FEO =45°，∴ΔHEM 时等腰直角三角形，∴GM =22EM ，∴22EM ≤12，即22[(m +2)-(-2)]≤12，解得m ≤-4+22，∴线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，线段EF 上的点到N 距离较小时，-92≤m ≤-4+22，当线段EF 上的点到M 距离较小时，也分两种情况：①当N 在E 右侧，M 在E 左侧时，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴ME MN≤14，即-2-m 2≤14，解得m ≥-52，②当M 、N 在点E 右侧时，过M 作MH ⊥EF 于H ，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴HM MN ≤14，即HM 2≤14，∴HM ≤12，而E (-2,0)，F (0,2)，∴∠FEO =45°，∴ΔHEM 时等腰直角三角形，∴HM =22EM ，∴22EM ≤12，即22[m -(-2)]≤12，解得：m ≤-2+22，∴线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，线段EF 上的点到M 距离较小时，-52≤m ≤-2+22，综上所述，线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，则-92≤m ≤-4+22或-52≤m ≤-2+22．【点评】本题考查一次函数应用，解题的关键是读懂线段比的定义，找出“临界点”列不等式．13(2022•泰州)定义：对于一次函数y 1=ax +b 、y 2=cx +d ，我们称函数y =m (ax +b )+n (cx +d )(ma +nc ≠0)为函数y 1、y 2的“组合函数”．(1)若m =3，n =1，试判断函数y =5x +2是否为函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”，并说明理由；(2)设函数y 1=x -p -2与y 2=-x +3p 的图像相交于点P ．①若m +n >1，点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图像的上方，求p 的取值范围；②若p ≠1，函数y 1、y 2的“组合函数”图像经过点P ．是否存在大小确定的m 值，对于不等于1的任意实数p ，都有“组合函数”图像与x 轴交点Q 的位置不变？若存在，请求出m 的值及此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由y =5x +2=3(x +1)+(2x -1)，可知函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”；(2)①由y =x -p -2y =-x +3p得P (2p +1,p -1)，当x =2p +1时，y =m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )=(p-1)(m +n )，根据点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图象的上方，有p -1>(p -1)(m +n )，而m +n >1，可得p <1；②由函数y 1、y 2的“组合函数” y =m (x -p -2)+n (-x +3p )图象经过点P ，知p -1=m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )，即(p -1)(1-m -n )=0，而p ≠1，即得n =1-m ，可得y =(2m -1)x +3p -(4p +2)m ，令y =0得(2m -1)x +3p -(4p +2)m =0，即(3-4m )p +(2m -1)x -2m =0，即可得m =34时，“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)．【解答】解：(1)函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”，理由如下：∵3(x +1)+(2x -1)=3x +3+2x -1=5x +2，∴y =5x +2=3(x +1)+(2x -1)，∴函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”；(2)①由y =x -p -2y =-x +3p得x =2p +1y =p -1 ，∴P (2p +1,p -1)，∵y 1、y 2的“组合函数”为y =m (x -p -2)+n (-x +3p )，∴x =2p +1时，y =m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )=(p -1)(m +n )，∵点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图象的上方，∴p -1>(p -1)(m +n )，∴(p -1)(1-m -n )>0，∵m +n >1，∴1-m -n <0，∴p -1<0，∴p <1；②存在m =34时，对于不等于1的任意实数p ，都有“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)，理由如下：由①知，P (2p +1,p -1)，∵函数y 1、y 2的“组合函数”y =m (x -p -2)+n (-x +3p )图象经过点P ，∴p -1=m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )，∴(p -1)(1-m -n )=0，∵p ≠1，∴1-m -n =0，有n =1-m ，∴y =m (x -p -2)+n (-x +3p )=m (x -p -2)+(1-m )(-x +3p )=(2m -1)x +3p -(4p +2)m ，令y =0得(2m -1)x +3p -(4p +2)m =0，变形整理得：(3-4m )p +(2m -1)x -2m =0，∴当3-4m =0，即m =34时，12x -32=0，∴x =3，∴m =34时，“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)．【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，函数图象上点坐标的特征，一次函数与一次方程的关系等，解题的关键是读懂“组合函数“的定义．14(2024•钟楼区校级模拟)在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”．(1)下列图形中两个三角形不是“共边全等”是③；AB，点E、F分别在AC、BC边(2)如图1，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且AD=13上，满足ΔBDF和ΔEDF为“共边全等”，求CF的长；(3)如图2，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+12分别与直线y=x、x轴相交于A、B两点，点C是OB 的中点，P、Q在ΔAOB的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与ΔPCB“共边全等”时，请直接写出点Q 的坐标．【分析】(1)由于第③个图不符合共边要求，所以图③即为答案；(2)DF为两个全等三角形的公共边，由于F点在BC边上，E在AC边上，两个三角形的位置可以如图②，在公共边异侧，构成一个轴对称图形，也可以构成一个平行四边形(将图③的两条最长边重合形成)，分两类讨论，画出图形，按照图②构图，会得到一个一线三等角模型，利用相似，列出方程来解决，按照平行四边形构图，直接得到ΔADE为等边三角形，计算边长即可求得；(3)由题目要求，可以知道两个全等三角形的公共边为PB边，由于要构成ΔPCB，所以P点只能在OA和OB边上，当P在OA边上，两个三角形可以在PB同侧，也可以在PB异侧，当在PB异侧构图时，可以得到图3和图4，在图3中，当在PB同侧构图时，可以得到图6，当P在OB边上时，Q只能落在OA上，得到图7，利用已知条件，解三角形，即可求出Q点坐标．【解答】解：(1)①②均符合共边全等的特点，只有③，没有公共边，所以③不符合条件，∴答案是③；(2)①如图1，当ΔBDF≅ΔEFD，且是共边全等时，∠BFD=∠EDF，∴DE⎳BC，∵ΔABC是等边三角形，∴ΔADE是等边三角形，AB=2，∵AD=13∴DE=AE=BF=2，∴CF=BC-BF=4，②如图2，当ΔBDF≅ΔEDF，且是共边全等时，BD=DE=6-AD=4，∠DEF=∠B=60°，EF=BF，∴∠AED+∠FEC=120°，又∠AED+∠EDA=120°，。
一次函数与几何及动点综合题(含解析)
一、选择题（题型注释）1．如图反映的过程是：矩形ABCD 中，动点P 从点A 出发，依次沿对角线AC 、边CD 、边DA 运动至点A 停止，设点P 的运动路程为x ， ABP S y △．则矩形ABCD 的周长是(P )D A BC61295Oy xA ．6B ．12C ．14D ．15 【答案】C 【解析】试题分析：结合图象可知，当P 点在AC 上，△ABP 的面积y 逐渐增大，当点P 在CD 上，△ABP 的面积不变，由此可得AC=5，CD=4，则由勾股定理可知AD=3，所以矩形ABCD 的周长为：2×（3+4）=14．考点：动点问题的函数图象；矩形的性质.点评：本题考查的是动点问题的函数图象，解答本题的关键是根据矩形中三角形ABP 的面积和函数图象，求出AC 和CD 的长．2．小芳步行上学，最初以某一速度匀速前进，中途遇红灯，稍作停留后加快速度跑步去上学，到校后，她请同学们画出她行进路程s （米）与行进时间t （分钟）的函数图象的示意图.你认为正确的是（ ）【答案】C 【解析】试题分析：运用排除法解答本题，中间的停留路程不变，可排除BD 两项，最后的加速图象应为比最初的路程增加直线增速更快的图象，C 对3．如图，已知A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1是x 轴上的点，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…=A n A n+1=1，分别过点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1作x 轴的垂线交直线y=2x 于点B 1、B 2、B 3、…、B n 、B n+1，连接A 1B 2、B 1A 2、B 2A 3、…、A n B n+1、B n A n+1，依次相交于点P 1、P 2、P 3、…、P n ．△A 1B 1P 1、△A 2B 2P 2、△A n B n P n 的面积依次记为S 1、S 2、S 3、…、S n ，则S n 为（ ）A．121nn++B．31nn-C．221nn-D．221nn+【答案】D．【解析】试题分析：∵A1、A2、A3、…、A n、A n+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1，∴A1（1，0），A2（2，0），A3（3，0），…A n（n，0），A n+1（n+1，0），∵分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n+1，作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n+1，∴B1的横坐标为：1，纵坐标为：2，则B1（1，2），同理可得：B2的横坐标为：2，纵坐标为：4，则B2（2，4），B3（2，6），…B n（n，2n），B n+1（n+1，2n+2），根据题意知：P n是A n B n+1与 B n A n+1的交点，设：直线A n B n+1的解析式为：y=k1x+b1，直线B n A n+1的解析式为：y=k2x+b2，∵A n（n，0），A n+1（n+1，0），B n（n，2n），B n+1（n+1，2n+2），∴直线A n B n+1的解析式为：y=（2n+2）x﹣2n2﹣2n，直线B n A n+1的解析式为：y=﹣2n x+2n2+2n，∴P n（22221n nn++，24421n nn++）∴△A n B n P n的A n B n边上的高为：22221n nnn+-+=21nn+,△A n B n P n的面积S n为:21222121n nnn n⨯⋅=++．故选D ．考点：一次函数图象上点的坐标特征． 4．如图，已知直线l ：x y 33，过点A （0，1）作y 轴的垂线 交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过 点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为 A.（0，64） B.（0，128） C.（0，256） D.（0，512）【答案】C. 【解析】试题分析：∵直线l 的解析式为；3， ∴l 与x 轴的夹角为30°， ∵AB ∥x 轴， ∴∠ABO=30°， ∵OA=1， ∴OB=2， ∴3，∵A 1B ⊥l ，∴∠ABA 1=60°， ∴A 1O=4， ∴A 1（0，4），同理可得A 2（0，16）， …∴A 4纵坐标为44=256， ∴A 4（0，256）． 故选C ．考点：一次函数综合题．5．如图，在矩形ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，动点P ，Q 分别从点C ，D 出发，沿线段CB ，DC 方向匀速运动，已知P ，Q 两点同时出发，并同时到达终点B ，C ．连接OP ，OQ ．设运动时间为t ，四边形OPCQ 的面积为S ，那么下列图象能大致刻画S 与t 之间的关系的是【答案】A ． 【解析】试题分析：作OE ⊥BC 于E 点，OF ⊥CD 于F 点，如图，设BC=a ，AB=b ，点P 的速度为x ，点F 的速度为y ， 则CP=xt ，DQ=yt ，所以CQ=b-yt ， ∵O 是对角线AC 的中点，∴OE 、OF 分别是△ACB 、△ACD 的中位线， ∴OE=12b ，OF=12a ， ∵P ，Q 两点同时出发，并同时到达终点， ∴a bx y=，即ay=bx ， ∴S=S △OCQ +S △OCP =12•12a•（b-yt ）+12•12b•xt=14ab-14ayt+14bxt=14ab （0＜t ＜a x）， ∴S 与t 的函数图象为常函数，且自变量的范围为0＜t ＜ax）．故选A ．考点：动点问题的函数图象．6．函数321+=x y 的图象与x 、y 轴分别交于点A 、B ，点P )(y x ，为直线AB 上的一动点（0>x ）过P 作PC ⊥y 轴于点C ，若使PBC ∆的面积大于AOB ∆的面积，则P的横坐标x 的取值范围是（ ）A 、30<<xB 、3>xC 、63<<xD 、6>x【解析】试题分析：由题意知：PC=x ，OC=132x + ∴BC=12x ∵PBC ∆的面积大于AOB ∆的面积∴x ＞6. 故选D.考点: 一次函数综合题.7．如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为 ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△BCD 的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A 【解析】 试题分析：动点P 从直角梯形ABCD 的直角顶点B 出发，沿BC ，CD 的顺序运动，则△ABP 面积y 在BC 段随x 的增大而增大；在CD 段，△ABP 的底边不变，高不变，因而面积y 不变化．由图2可以得到：BC=2，CD=3，△BCD 的面积是12×2×3=3． 故选A ．考点：动点问题的函数图象．8．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，沿A →D →C →B →A 的路径匀速移动，设P 点经过的路径长为x ，△APD 的面积是y ，则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是A ．B ．C ．D ．【解析】当点P 由点A 向点D 运动时，y 的值为0； 当点p 在DC 上运动时，y 随着x 的增大而增大； 当点p 在CB 上运动时，y 不变；当点P 在BA 上运动时，y 随x 的增大而减小。
一次函数与几何综合(通用版)(含答案)
一次函数与几何综合（通用版）试卷简介:一次函数与几何综合一、单选题(共10道，每道10分)1.如图,已知一条直线经过A(0,2),B(1,0)两点,将这条直线向左平移与x轴,y轴分别交于点C,点D.若DB=DC,则直线CD的函数解析式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：由题意可求得直线AB的解析式为y=-2x+2，AB∥CD．由DB=DC，DO⊥BC可得，OC=OB=1，∴C（-1，0）．由AB∥CD可设直线CD的解析式为y=-2x+b，把C点坐标代入可得，b=-2，∴直线CD的函数解析式为y=-2x-2．试题难度：三颗星知识点：一次函数图象与几何变换2.如图,一束光线从点A(3,3)出发,经过y轴上的点C反射后经过点B(1,0),则光线从点A到点B 经过的路径长为( )A. B.C. D.5答案：D解题思路：如图，延长AC交x轴于点B′．则点B，B′关于y轴对称，CB=CB′．作AD⊥x轴于点D，则AD=3，DB′=3+1=4，AB′=5．∴AC+CB=AC+CB′=AB′=5．即光线从点A到点B经过的路径长为5．试题难度：三颗星知识点：坐标与图形性质3.如图,△ABC的内心在y轴上,点C的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,2),直线AC的解析式为,则tanA的值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：根据三角形内心的定义可知∠ABO=∠CBO，∵C（2，0），B（0，2），∴OB=OC，∠CBO=∠ABO=45°，，∴∠ABC=90°即AB⊥BC，可求得直线AB的表达式为：，由得，，即A（-6，-4），∴，在Rt△ABC中，．试题难度：三颗星知识点：一次函数综合题4.如图,直线⊥x轴于点(1,0),直线⊥x轴于点(2,0),直线⊥x轴于点(3,0)…,直线⊥x轴于点(n,0).函数y=x的图象与直线,,,…,分别交于点,…,;函数y=2x的图象与直线,,,…,分别交于点,…,.如果△的面积为,四边形的面积为,四边形的面积为,…,四边形的面积为,那么=( )A.4025B.4023C. D.答案：C解题思路：∵函数y=x的图象与直线，，，…，分别交于点，∴∵函数y=2x的图象与直线，，，…，分别交于点∴，，……．当n=2013时，．试题难度：三颗星知识点：一次函数综合题5.如图,在平面直角坐标系中,直线经过原点O,且与x轴正半轴的夹角为30°.点M在x轴上,⊙M的半径为2,⊙M与直线相交于A,B两点.若△ABM为等腰直角三角形,则点M的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，当点M在原点右边时，过点M作MN⊥AB，垂足为N，则，∵△ABM为等腰直角三角形，∴AN=MN，∴，∵AM=2，∴，∴，∵直线与x轴正半轴的夹角为30°，∴，∴点M的坐标为，由对称性可知，点M′的坐标为．试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性6.已知在直角坐标系中有两条直线,直线所对应的函数解析式为y=x-2,如果将坐标纸折叠,使与重合,则点(-1,0)与点(0,-1)也重合,那么直线所对应的函数解析式为( )A.y=x-2B.y=x+2C.y=-x-2D.y=-x+2答案：B解题思路：∵折叠坐标纸可以使点（-1，0）与点（0，-1）重合，∴是沿直线y=x折叠的（也就是对称轴为直线y=x）．∵y=x-2过点（0，-2），（2，0），折叠后的对应点为（-2，0），（0，2），即直线过两点（-2，0），（0，2）．可以求得：y=x+2．试题难度：三颗星知识点：一次函数图象与几何变换7.如图,有一种动画程序,屏幕上正方形ABCD是黑色区域(含正方形边界),其中A(1,1),B(2,1),C(2,2),D(1,2),用信号枪沿直线发射信号,当信号遇到黑色区域时,区域便由黑变白,则能够使黑色区域变白的b的取值范围是( )A.3<b<6B.2<b<6C.3≦b≦6D.2<b<5答案：C解题思路：题干意思是指直线与小正方形有交点时，求b的取值范围．我们知道直线是由直线向上平移b个单位得到的，若直线与小正方形有交点，可知当直线经过A（1，1）时b的值最小，此时b=3；当直线经过C（2，2）时，b最大，此时b=6．∴能够使黑色区域变白的b的取值范围为3≦b≦6．试题难度：三颗星知识点：一次函数综合题8.已知矩形ABCD中,AB=9,AD=3,将此矩形置于平面直角坐标系中,使AB在x轴正半轴上,若经过点C的直线与x轴交于点E,则四边形AECD的面积为( )A.9B.18C.6D.21答案：B解题思路：在矩形ABCD中，要求四边形AECD的面积，只需求出△EBC的面积即可，即求BE的长．∵点C的纵坐标是3，代入直线解析式可得点C（10，3），∴OB=10，∵直线与x轴交于点E，∴点E（4，0），∴OE=4，BE=6，则△EBC的面积为9，∴四边形AECD的面积为18．试题难度：三颗星知识点：一次函数综合题9.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0,2),B(0,6),动点C在直线y=x上.若以A,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点C的个数为( )A.2B.3C.4D.5答案：B解题思路：由于点A，B是固定点，要使△ABC是等腰三角形，只需根据一线两圆，判断与直线的交点即可．①作线段AB的垂直平分线，交直线于点，则是以AB为底的等腰三角形；②以点A为圆心，AB长为半径作圆，交直线于两点，，则，分别是以为底的等腰三角形；③以点B为圆心，AB长为半径作圆，我们发现该圆与直线无交点，原因在于：过点B作直线的垂线BM，垂足为M，．试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性10.如图,在以点O为原点的平面直角坐标系中,一次函数的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在直线AB上,且,反比例函数的图象经过点C,则所有可能的k值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：由题意得，A（2，0），B（0，1），．显然当点为线段AB的中点时，有，此时点的坐标为，．如图，以点O为圆心，的长为半径作圆，交直线AB于另一点，则点也符合条件．过点O作OE⊥AB于点E，过点作⊥x轴于点F，则，．在中，，，则；在中，，且，则，∴点，综上：，试题难度：三颗星知识点：一次函数综合题。
中考数学专题复习《一次函数几何分类专题(平移问题)》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《一次函数几何分类专题（平移问题）》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．将直线22y x =-向上平移3个单位长度 所得直线经过点()6,a - 则a 的值为（ ） A ．11- B ．8- C ．7 D ．132．在平面直角坐标系中 已知()0,2A ()0,4B 若把直线2y x =-向上平移k 个单位长度后与线段AB 有交点 则k 的取值范围是（ ）A ．46k ≤≤B ．46k <≤C ．35k ≤≤D ．13k ≤≤3．将直线y ＝3x ﹣1向上平移2个单位长度 平移后的直线所对应的函数解析式为（ ） A ．y ＝3x +5 B ．y ＝3x ﹣3 C ．y ＝3x +1 D ．y ＝3x +34．如图 直线13y x =-与双曲线(0,0)k y k x x =<<交于点A 将直线13y x =-向上平移2个单位长度后 与y 轴交于点C 与双曲线交于点B 若3OA BC = 则k 的值为（ ）A ．274-B ．7-C ．658-D ．2716- 5．在平面直角坐标系中 将函数21y x =-的图象向左平移1个单位长度 则平移后的图象与y 轴的交点坐标为（ ）A ．()0,2B ．()0,2-C ．()0,1D ．()0,1-6．在平面直角坐标系中 将函数1y x =-的图象向下平移4个单位 平移后的图象与函数2y x b =-+的图象的交点恰好在第四象限 则b 的最大整数值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 7．如图 直线122y x =-与x 轴交于点A 以OA 为斜边在x 轴上方作等腰直角三角形OAB 将直线沿x 轴向左平移 当点B 落在平移后的直线上时 则直线平移的距离是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．38．在平面直角坐标系中 将直线1l ：22y x =--平移后得到直线2l ：24y x =-+ 则下列平移作法正确的是（ ）A ．将1l 向左平移3个单位长度B ．将1l 向右平移6个单位长度C ．将1l 向上平移2个单位长度D ．将1l 向上平移6个单位长度二 填空题9．如果将一次函数y x r =- 的图象沿y 轴向上平移1个单位 那么平移后所得图象的函数解析式为 ．10．把函数21y x =+的图象沿y 轴向下平移5个单位后所得图象与y 轴的交点坐标是 ． 11．一次函数21y x =+向下平移2个单位长度 得到新的一次函数表达式是 一次函数21y x =+经过平移过程 (填向上或向下平移几个单位长度)得到一个正比例函数． 12．在平面直角坐标系中 ABCO 的边OC 落在x 轴的正半轴上 且点()()5,0,8,4C B 直线21y x =+以每秒1个单位的速度向下平移 经过 秒 该直线平分ABCO 的面积．13．如图 点()2,2A 在双曲线(0)k y x x=>上 将直线OA 向上平移若干个单位长度交y 轴于点B 交双曲线于点C ．若2BC = 则点C 的坐标是 ．三解答题14．在平面直角坐标系xOy中已知点C（m+2 3m﹣1）直线l经过点A（2 2）B（1 3）．(1)求直线l的解析式(2)若A B C三点共线求m的值(3)若将直线l先沿y轴向上平移2个单位再沿x轴向右平移3个单位后经过点C求点C 的坐标．15．如图将直线AO向上平移1个单位得到一个一次函数的图象1l．l的表达式(1)求直线1(2)求直线1l 与x 轴 y 轴的交点的坐标．16．已知正比例函数的图像如图所示．(1)求此正比例函数的解析式(2)若一次函数图像是由（1）中的正比例函数的图像平移得到的 且经过点()1,2 求此一次函数的解析式．17．已知直线12:l y kx +＝经过点A 将直线1l 向右平移4个单位后 得到的直线2l 与y 轴相交于点B 且经过点()23C ，点P 为x 轴正半轴上的一个动点．(1)请求出直线1l 与2l 的函数表达式(2)当四边形ABCP 的周长最小时 求四边形ABCP 的面积(3)在直线l 2上是否存在一点Q 使得以A C P Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在 若不存在 请说明理由．18．如图 在平面直角坐标系中 直线1l ：32y x m =+与直线2l 交于点()2,3A - 直线2l 与x 轴交于点()4,0C 与y 轴交于点B 将直线2l 向下平移5个单位长度得到直线3l 3l 与y 轴交于点D 与1l 交于点E 连接AD ．(1)求直线2l 的解析式(2)求△ADE 的面积参考答案：1．A2．A3．C4．D5．C6．B7．A8．D9．1y x r =-+10．()0,4-11． 21y x =- 向下平移一个单位 12．713． 14．(1)直线l 的解析式为4y x =-+ (2)34m =(3)()4,515．(1)21y x =+(2)直线1l 与x 轴 y 轴的交点分别为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ ()0,116．(1)正比例函数的解析式为：2y x =-(2)一次函数的解析式为：24y x =-+．17．(1)直线1l 函数表达式为122y x =-+ 2l 函数表达式为142y x =-+ (2)225(3)存在 Q 的坐标为(2),5-或((10,1)-或(6,1)18．(1)122y x =-+ (2)454。
一次函数与几何综合(题型齐全)
一次函数与几何图形综合考点一、面积问题一次函数求面积的常用方法：（1）直接法（公式法）适用于规则图形，三角形中至少有一边与坐标轴重合或平行时，常用直接法求面积；（2）割补法（分割求和、补形作差）适用于不规则四边形，将四边形分割成两个三角形，分别计算两个三角形的面积再求和。
或者将四边形放在一个规则图形中（需要时做辅助线），此时四边形的面积可以看作一个规则图形面积减去补充的规则图形面积；（3）铅锤法（底相同，高运算）适用于三边均不与坐标轴平行的三角形（不规则三角形）；（4）平行线面积转化适用于存在平行线的情况下，利用平行线的性质，平行线间的距离处处相等做高；题型一：直接求图形面积1、正比例函数()110y k x k =≠与一次函数()220y k x b k =+≠的图象的交点坐标为()43A ，，一次函数的图象与y 轴的交点坐标为()03B -，．(1)求正比例函数和一次函数的解析式；(2)求AOB 的面积．2、如图，一次函数5y x =-+和1y kx =-的图象与x 轴分别交于A 、C 两点，与y 轴分别交于B 、D 两点，两个函数图象的交点为点E ，且E 点的横坐标为2．(1)求k 的值；(2)不解方程组，请直接写出方程组51x y kx y +=⎧⎨-=⎩的解；(3)求两函数图象与x 轴所围成的ACE △的面积．3、如图，直线443y x =-+与y 轴交于点A ，与直线4455y x =+交于点B ，且直线4455y x =+与x 轴交于点C ，求ABC 的面积．4、如图，在平面直角坐标系中，直线132x m l y =+：与直线2l 交于点()23A -，，直线2l 与x 轴交于点()40C ，，与y 轴交于点B ，将直线l 2向下平移8个单位长度得到直线3l ，3l 与y 轴交于点D ，与1l 交于点E ，连接AD ．(1)求直线2l 的解析式；(2)求△ADE V 的面积；5、如图，直线l 1：y ＝x +m 与y 轴交于点B ，与x 轴相交于点F ．直线l 2：y ＝kx ﹣9与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，两条直线相交于点D ，连接AB ，且OA ：OC ：AB ＝1：3：．（1）求直线l 1、l 2的解析式；（2）过点C 作l 3∥l 1交x 轴于点E ，连接BE 、DE ．求△BDE 的面积．5、如图，一次函数()0y kx b k =+≠的图象与正比例函数2y x =-的图象交于点A ，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，5OB =，点A 的纵坐标为4．(1)求一次函数的解析式；(2)点D 和点B 关于x 轴对称，将直线2y x =-沿y 轴向上平移8个单位后分别交x 轴，y 轴于点,M N ，与直线()0y kx b k =+≠交于点E ，连接DE ，DC ，求ECD 的面积．题型二：已知面积求点的坐标1、如图，一次函数y kx b =+与反比例函数a y x=的图象在第一象限交于点()4,3A ，与y 轴的负半轴交于点B ，且OA OB =．(1)求一次函数y kx b =+与反比例函数a y x =的表达式；(2)已知点C 在x 轴上，且ABC 的面积是8，求此时点C 的坐标；2、如图，在平面直角坐标系中直线13:2l x m +与直线2l 交于点()2,3A -，直线2l 与x 轴交于点()4,0C ，与y 轴交于点B ，过BD 中点E 作直线3l y ⊥轴．(1)求直线2l 的解析式和m 的值；(2)点P 在直线1l 上，当6PBC S = 时，求点P 坐标；。
一次函数与几何图形综合题10及答案
一次函数与几何图形综合题10及答案1、1) AC的解析式为y=-x-2；2) 设BP与PQ的交点为R，由相似三角形可得BP/PQ=OB/OQ，即BP/PQ=1/2，故BP=2PQ。
证明如下：设BP=x，PQ=y，则由OC=OB可得AC=-x-2，又由直线AC和BP的垂线PQ相似可得y/x=(x+2)/(y+2)，解得y=2x，代入AC 的解析式可得BP=2PQ，结论得证。
3) 正确结论为①(MQ+AC)/PM的值不变。
证明如下：由(2)可得BP=2PQ，又由相似三角形可得MQ/PM=OB/OQ，即MQ/PM=1/3，代入AC的解析式可得(MQ+AC)/PM=-2/3，为定值。
而(MQ-AC)/PM=(MQ+AC)/PM-2AC/PM=-2/3-2x/(x+2)，不是定值。
故正确结论为①。
2、1) 直线L的解析式为y=-x+5；2) 由相似三角形可得MN/BN=AM/AB=4/(4+3)，即MN=12/7；3) 猜想PB的长为定值，其值为2.证明如下：设点B在y轴上的坐标为h，则BP=h，由△OBF和△ABE相似可得BE=BF=h/2，EF=AB-BE=5-h/2，由相似三角形可得FP/EF=BP/BE=h/(5-h/2)，所以FP=5h/(5-h/2)，由于P在y轴上，故FP=2h，解得h=2，即PB=2，结论得证。
3、1) 直线l2的解析式为y=-x+1；2) 画图如下，由相似三角形可得BE/BC=AB/AC，即BE/(BE+CF)=(AB+BC+AC)/AC，代入AB=1，BC=3，AC=4可得BE/(BE+CF)=5/4，即BE=5CF/3，代入△BEC的勾股定理可得CF=3/2，BE=5/2，故BE+CF=8/2=4=EF，结论得证。
3) 正确结论为①OM为定值，其值为1/2.证明如下：设△ABC沿y轴向下平移的距离为h，则BP=CQ=h，由相似三角形可得OM/AB=OC/AC，即OM/1=(h+2)/(h+4)，解得OM=(2h+4)/(h+4)，为定值。
一次函数与几何综合(习题及答案)
一次函数与几何综合（习题）1.如图，点B，C 分别在直线y=2x 和直线y=kx 上，A，D 是x轴上的两点．若四边形ABCD 是长方形，且AB:AD=1:2，则k 的值为．2.如图，一次函数y=-2x+4 的图象与坐标轴分别交于点A，B，把线段AB 绕着点A 沿逆时针方向旋转90°，点B 落在点B′ 处，则直线AB′的表达式为．3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是正方形，点A 的坐标是(4，0)，P 为AB 边上一点，沿CP 折叠正方形，折叠后的点B 落在平面内的点B′处．已知直线CB′的解析式为y =-3x +b ，则点B′的坐标为，直线CP 的表达式为．134.如图，点A 的坐标是( -，0)，点B 的坐标是(6，0)，点C在第一象限内，且△OBC 为等边三角形，直线BC 交y 轴于点D，过点A 作直线AE⊥BD，垂足为点E，交OC 于点F，则点C 的坐标为，直线AE 的表达式为．第4 题图第5 题图5.如图，一次函数的图象交x 轴于点B(-6，0)，交正比例函数的图象于点A，且点A 的横坐标为-4，S△AOB =15，S△BOD=45，则一次函数的表达式为，正比例函数的表达式为．6.如图，在平面直角坐标系中，已知直线y =-3x + 3 与x 轴、y 4轴分别交于A，B 两点，点C(0，n)是y 轴上一点，把坐标平面沿直线AC 折叠，使点B 刚好落在x 轴上，则点C 的坐标是．7.如图，在平面直角坐标系中，函数y=-x 的图象l 是第二、四象限的角平分线．实验与探究：由图观察易知A(0，2)关于直线l 的对称点A′的坐标为(-2，0)，请在图中分别标出B(-5，-3)，C(-2，5)关于直线l 的对称点B′，C′的位置，并写出它们的坐标：B′，C′．归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(m，n)关于第二、四象限的角平分线l 的对称点P′的坐标为．运用与拓广：已知两点D(0，-3)，E(1，-4)，试在直线l 上确定一点Q，使点Q 到D，E 两点的距离之和最小，并求出点Q 的坐标．8.如图，在平面直角坐标系中，直线y =x - 4 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，P 为y 轴上B 点下方的一点，且PB=m（m>0），以点P 为直角顶点，AP 为腰在第四象限内作等腰Rt△APM．（1）用含m 的代数式表示点M 的坐标；（2）若直线MB 与x 轴交于点Q，求点Q 的坐标．5 5 【参考答案】➢ 巩固练习1. 252. y = 1 x + 423. (2， 4 - 2 )， y = -3 x +4 3 4. (3， 3 3 )， y =3 x + 13 5.y = x + 15 ， y = - x 2 46. (0， 4 )，(0，-12)37. 实验与探究：(3，5)，(-5，2) 归纳与发现：(-n ，-m )运用与拓广：点 Q 的坐标为(2，-2)8. （1）M (4+m ，-8-m )（2）Q (-4，0)3。
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.如图，直线y=3
1x+1分别与坐标轴交于A 、B 两点，在y 轴的负半轴上截取OC=OB. （1）求直线AC 的解析式；
（2）在x 轴上取一点D （-1，0），过点D 做AB 的垂线，垂足为E ，交AC 于点F ，交y 轴于点G ，求F 点的坐标；
（3）过点B 作AC 的平行线BM ，过点O 作
直线y=kx （k ＞0），分别交直线AC 、BM 于
点H 、I ，试求AB BI
AH 的值。
轴于C，且OB：OC=3：1.
（1）求直线BC的解析式；
（2）直线EF：y=kx-k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在
这样的直线EF，使得S
△EBD =S
△FBD
若存在，求出k的值；若不存在，说明理由
（3）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限
内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发生变化若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。
已知，如图，直线AB：y=-x+8与x轴、y轴分别相交于点B、A，过点B作直线AB 的垂线交y轴于点D.
（1）求直线BD的解析式；
（2）若点C是x轴负半轴上的任意一点，过点C作AC的垂线与BD相交于点E，请你判断：线段AC与CE的大小关系并证明你的判断；
（3）若点G为第二象限内任一点，连结EG，过点A作AF⊥FG于F，连结CF，当点C在x轴的负半轴上运动时，∠CFE的度数是否发生变化若不变，请求出∠CFE 的度数；若变化，请求出其变化范围.
直线y=x+2与x、y轴交于A、B两点，C为AB的中点.
（1）求C的坐标；
（2）如图，M为x轴正半轴上一点，N为OB上一点，若BN+OM=MN，求∠NCM的度数；
（3）P为过B点的直线上一点，PD⊥x轴于D，PD=PB，E为直线BP上一点，F为y轴负半轴上一点，且DE=DF，试探究BF－BE的值的情况.
如图，一次函数y=ax-b与正比例函数y=kx的图象交于
第三象限内的点A，与y轴交于B（0，-4）且OA=AB，
△OAB的面积为6.
（1）求两函数的解析式；
（2）若M（2，0），直线BM与AO交于P，求P点的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点E，使S
=5，若存在，求E点的坐标；若不存在，
△ABE
请说明理由。
直线y=-2x+2与x轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC=OB
(1)求AC的解析式；
(2)在OA的延长线上任取一点P,作PQ⊥BP,交直线AC于Q,试探究BP与PQ的数量
关系，并证明你的结论。
x
如图①所示，直线L：5
=+与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点。
y mx m
(1)当OA=OB时，试确定直线L的解析式；
(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B
两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，BN=3，求MN的长。
(3)当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③。
第2题图①
第2题图②第2题图③
如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， （1）求直线2l 的解析式；（3分）
（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE⊥3l 于E,过点C 作CF⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF
（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。
在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。
（6分）。