业动量和角动量习题和答案

冲量：⎰=21ttdtFI为作用于物体上的力和作用时间之积求解方法：Ⅰ、若为恒力，则tFI∆=［C］1.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m，速率为v，圆半径为R，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为(A) 2m v．(B) 22)/()2(vv Rmgmπ+(C) v/Rmgπ． (D) 0．Ⅱ、若为变力，则①已知力的表达式，利用定义式⎰=21ttdtFI②已知动量的变化，利用动量定理⎰-==2112ttvmvmdtFI1、（自测提高6）质量为m的小球自高为y处沿水平方向以速率v抛出，与地面碰撞后跳起的最大高度为21y，水平速率为21v，如图3-17.(1)地面对小球的竖直冲量的大小为(1+(2)地面对小球的水平冲量的大小为12m v。

度为h处自由下落到倾角为30°的光滑固定斜面上。

设碰撞是完全弹性的，则小球对斜面的冲量的大小为，方向为垂直斜面向下。

⎰-==2112ttvmvmdtFI1．（自测提高7）一物体质量M＝2 kg，在合外力(32)F t i=+(SI)的作用下，从静止开y21y始运动，式中i 为方向一定的单位矢量, 则当ｔ＝1 s 时物体的速度1v＝2(/)i m s 。

【解法】用动量定理计算。

110()0Fdt mv mv =∆=-⎰［D ］2．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则(A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． 3.（基础训练15）质量为m 的小球与桌面相碰撞，碰撞前、后小球的速率都是v ，入射方向和出射方向与桌面法线的夹角都是α，如图所示。

若小球与桌面作用的时间为∆t ，求小球对桌面的平均冲力。

【解法】由动量定理0()()t N mg dt mv ∆+=∆⎰N 为桌面对小球的作用力，mg为小球所受重力。

沿y 轴方向的分量形式为()()cos (cos )2cos t N mg dt N mg t mv mv mv ααα∆-=-∆=--=⎰tmv mg tmv N ∆≅+∆=ααcos 2cos 2小球对桌面的平均冲力为tmv N N ∆-=-=αcos 2'4．（自测提高12）如图3-23示，有两个长方形的物体A 和B 紧靠着静止放在光滑的水平桌面上，已知m A ＝2 kg ，m B ＝3 kg ．现有一质量m ＝100 g 的子弹以速率v 0＝800 m/s 水平射入长方体A ，经t = 0.01 s ，又射入长方体B ，最后停留在长方体B 内未射出．设子弹射入A 时所受的摩擦力为F= 3×103 N ，求： (1) 子弹在射入A 的过程中，B 受到A 的作用力的大小．(2) 当子弹留在B 中时，A 和B 的速度大小．【解法】从0t =s 到0.01t =s 对A 、B 用动量定理()0A B F t m m v ∆=+-代入题给数据得子弹出A 入B 瞬时A 、B 共同速度大小为v =6m/s 。

从0t =s 到0.01t =s 对子弹用动量定理，10F t m v m v -∆=-代入题给数据得子弹出A 入B 瞬时速度大小为1v =500m/s 。

（1）从0t =s 到0.01t =s 对B 用动量定理，0B f t m v ∆=-代入题给数据得子弹在射入A 的过程中，B 受到A 的作用力的大小1800f N =。

（2）子弹出A 入B 瞬时A 、B 共同速度大小即为子弹留在B 中时，A 的速度大小即 6/A v v m s ==。

用动量守恒定律可求得子弹留在B 中，子弹和B 的共同速度大小1()B B m v m v m m V +=+代入题给数据得子弹和B 的共同速度大小为V =22m/s 。

即 22/B v V m s ==。

4．（自测提高14）一质量为m 的匀质链条，长为L ，手持其上端，使下端离桌面的高度为h 。

现使链条自静止释放落于桌面，试计算链条落到桌面上的长度为l 时，桌面对链条的作用力。

[提示：可参考物理课本例题。

]【解法】取x 轴向下为正， 设t 时刻，落在桌面上的部分链条长为l m ，则有l m m l l Lλ==（m Lλ=为链条的质量线密度）此时在空中的链条的速度大小v =在d t 时间内,有dm vdt λ=链条元落在桌面上.根据动量定理()()0l m g f dt vdt v λ-=-()232l m l h gvdt m f m g v lg v dtLLλλ+=+=+=方向向上。

♫动量守恒定律：如果系统所受合外力的矢量和为零，则系统内各物体的动量矢量和保持不变。

2021012211v m v m v m v m+=+写出分量形式为：∑==ni ix F 10∑==ni ixiC vm 1∑==ni iy F 1∑==ni iyiC vm 1说明：有时虽然系统所受合外力不为零，但内力远大于外力，这时可忽略外力作用，近似认为系统的动量是守恒的。

如碰撞和打击这一类问题即是这样处理的。

[A] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上， 将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图．如果此后木块能静止 于斜面上，则斜面将(A) 保持静止 (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动(D) 向左加速运动．【解法】假设斜面以V 向右运动。

由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V =。

2.（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船．第一只船在左边，其上站一质量为m 的人，该人以水平向右速度v从第一只船上跳到其右边的第二只船上，然后又以同样的速率v 水平向左地跳回到第一只船上．此后 (1) 第一只船运动的速度为v1＝02m vm m -+。

(2) 第二只船运动的速度为v2＝02m v m。

（水的阻力不计，所有速度都相对地面而言）【解法】提示：第一跳 010m v m v '+= 02()m v m m v '=+第二跳 0101()m v m v m m v '-+=+0202()m m v m v m v '+=-+3.（自测提高8）两球质量分别为m 1＝2.0 g ，m 2＝5.0 g ，在光滑的水平桌面上运动．用直角坐标OXY 描述其运动，两者速度分别为vcm/s ，)0.50.3(v 2j i += cm/s ．若碰撞后与x 轴的夹角α＝35.5︒． （基础训练14）＝19.6 m 处炸裂成质量相等的两块．其中一块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上．设此处与发射点的距离S 1＝1000 m ，问另一块落地点与发射地点间的距离是多少？（空气阻力不计，g ＝9.8 m/s 2） 【解法】因第一块爆炸后落在其正下方的地面上，说明它的速度方向是沿竖直方向的． 利用 2t g t h '+'=211v ， 式中t '为第一块在爆炸后落到地面的时间． 可解得v 1＝14.7 m/s ，竖直向下．取y 轴正向向上, 有v 1y ＝－14.7 m/s设炮弹到最高点时(v y ＝0)，经历的时间为t ，则有S 1 = v x t （1） h=221gt （2）由（1）及（2）得 t =2 s , v x =500 m/s 以2v表示爆炸后第二块的速度，由爆炸前后的动量守恒得 x v v m m x =221 （3）0==+yy m m m vv v 1y 22121 （4）解出 v 2x =2v x =1000 m/s ， v 2y =-v 1y =14.7 m/s再由斜抛公式 x 2= S 1 +v 2x t 2 （5） y 2=h +v 2y t 2-22gt 21（6）落地时 y 2 =0，可得 t 2 =4 s , t 2＝－1 s （舍去） 故 x 2＝5000 ｍ♫质点对定点的角动量: v m r p r L ⨯=⨯=大小：=L αsin rmv 方向：（右手法则）与v r⨯同向力矩：F r M⨯=角动量定理：对同一参考点O ，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。

12d 21L L t M t t-=⎰角动量守恒的条件：质点所受相对于参考点的力矩的矢量和等于零。

[B ]1. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为(A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ．【解法】对摆线顶部所在点角动量守恒。

2sin 30()m v l M m lV ︒=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为摆线长度。

2.（基础训练11）将一质量为m 的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住．先使小球以角速度ω1在桌面上做半径为r 1的圆周运动，然后缓慢将绳下拉，使半径缩小为r 2，在此过程中小球的动能增量是222111221(1)2r m r rω-。

附加题：1．（自测提高13）有一水平运动的皮带将砂子从一处运到另一处，砂子经一竖直的静止漏斗落到皮带上，皮带以恒定的速率v 水平地运动．忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响，试问：(1) 若每秒有质量为q m =d M /d t 的砂子落到皮带上，要维持皮带以恒定速率v 运动，需要多大的功率？(2) 若q m =20 kg/s ，v ＝1.5 m/s ，水平牵引力多大？所需功率多大？ 【解法】(1) 设t 时刻落到皮带上的砂子质量为M ，速率为v ，t+d t 时刻，皮带上的砂子质量为M+d M ，速率也是v ，根据动量定理，皮带作用在砂子上的力F 的冲量为： v v v ⋅=⋅+-+=M M M M M t F d )0d ()d (d∴ m q t M F ⋅==v v /d d由牛顿第三定律，此力的大小等于砂子对皮带的作用力大小F '，即F '=F ．由于皮带匀速运动，所需的水平牵引力大小为F ″= F '，因而， F " =F ，F "与v 同向，所需供给的功率为：22/d mP F M t v q =⋅=⋅= v v v d M d t =v d(2) 当q m ＝d M/d t=20 kg/s ，v ＝1.5 m/s 时，水平牵引力大小F "＝v q m =30 N所需功率为 P=v 2q m =45 W。