2020年高考冲刺140分突破压轴题三十练(四)详细版解析
2020年高考冲刺140分突破压轴题三十练(一)详细版解析
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设三棱锥V − ABC 的侧棱长为 a, 底面边长为 b.
则V������−������������������
=
1 3
×
√3 ������2
4
×
√������2
−
1 ������2
3
=
3
×
1 3
×
1 ������
2
×
√������2
−
1 ������2
4
×
2
可得a2
A (√2 , √2) , ������ (√6 , √3) 两点, O 为坐标原点.
42
63
(1) 求曲线C的方程;
(2) 设M(x1, ������1), ������(������2, ������2)是曲线 C 上两点,且OM ⊥ ON, 求证:直线 MN 恒过一个定圆相切.
第五题.
已知函数f(x) = ������2−e������x������+1.
√12 − 4 ������2 + ������2 − 2������ + 1 = √− 1 ������2 − 2������ + 13 =
3
3
√− 1 (������ + 3)2 + 16 ≤ 4,当且仅当y = −3 时等号成立,
3
则||P⃗⃗B⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC⃗⃗ ||
最大值为
4 2√3
=
2√3.
而且难度还不低,这种题的核心关键是:第一.快速利用条件推出尽可
能多的性质(这里奇函数&轴对称是显性的,周期性是隐藏 boss,需要挖
掘);第二.利用给的某一段区间的函数解析式画出图象,然后利用前面
2020届高三数学备考冲刺140分问题42实际应用中的统计解答题含解析
问题42实际应用中的统计解答题一、考情分析概率统计在高考中扮演着很重要的角色,概率统计解答题是全国卷及多数省市高考数学必考内容,内容主要涉及古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、二项分布、正态分布、频率分布直方图、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等.回顾近几年的高考试题,可以看出概率统计解答题,大多紧密结合社会实际,以现实生活为背景设置试题,注重知识的综合应用与实际应用,作为考查实践能力的重要载体,命题者要求考生会收集、整理、分析数据,能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,建立数学模型,再应用数学原理和数学工具解决实际问题.该类问题阅读量一般比较大,但难度多为中等或中等偏易. 二、经验分享(1)明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1. 利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．(3)解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0. (4)判定两个变量正、负相关性的方法①画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．②相关系数：r >0时，正相关；r <0时，负相关．③线性回归方程中：b ^>0时，正相关；b ^<0时，负相关．(5) 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：①确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；② 根据一组观测值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；③ 求出线性回归方程．线性回归分析问题的类型及解题方法 ①求线性回归方程利用公式，求出回归系数b ^，或待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数．②利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．③利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b ^.(6)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r |越趋近于1时，两变量的线性相关性越强． (7)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法①通过计算K 2的大小判断：K 2越大，两变量有关联的可能性越大．②通过计算|ad －bc |的大小判断：|ad －bc |越大，两变量有关联的可能性越大． (8)独立性检验的一般步骤 ①根据样本数据制成2×2列联表． ②根据公式计算K 2的观测值k .③比较k 与临界值的大小关系，作统计推断． 三、知识拓展 四、题型分析(一) 期望与方差的应用数学期望反应的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反应随机变量取值在其平均值附近的离散程度.现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差这思想来对事件发生大小的可能性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否等很多问题都与这两个特征两量有关.(1)若我们希望实际的平均水平较理想,则先求随机变量12ξξ，的期望,当12E E ξξ=时,不应认为它们一定一样好,需要用12,D D ξξ来比较这两个随机变量的方差,确定它们的偏离程度. (2)若我们希望比较稳定性,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或接近.【例1】例3.7（2018新课标I 卷理20）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． （i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【分析】利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数确定其单调性，再求最大值点，注意；(2)先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此.令，得.当时，；当时，.所以的最大值点为.（2）由（1）知，.（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于，故应该对余下的产品作检验.【点评】随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．【小试牛刀】【广东省江门市2020届第一次模拟】甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪元，每单提成元；乙公司无底薪，单以内（含单）的部分每单提成元，大于单的部分每单提成元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）若将大于单的工作日称为“繁忙日”，根据以上频数表能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“繁忙日”与公司有关？（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘，你会推荐小王去哪家？为什么？参考公式和数据：【解析】（1）依题意得，公司与“繁忙日”列联表,，所以，能在犯错误的概率不超过的前提下认为“繁忙日”与公司有关 .（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，则当时，，当时，，当时，，当时，，当时， . 所以，的所有可能取值为、、、、，的分布列为：.②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为,所以甲公司送餐员日平均工资为（元）,因为，故从更高收入角度考虑推荐小王去乙公司应聘；因为乙公司比甲公司繁忙，故从工作闲适角度考虑推荐小王去甲公司应聘． (二)正态分布的应用正态分布随处可见，处处显现着他神秘的身影.对于某一件事或者某个要达到的目标，很多很多的个体发挥出来的水平大致上服从正态分布.也就是说，对于大量个体的发挥统计，常常能看到正态分布“冥冥之中”束缚着整体的状态. 对于某个单独的单位，一般来说，对于“发挥出来的水平”这件事，也往往有波动的效果，不管是机器、工具还是我们人本身：有的时候，超水平发挥了；有的时候正常发挥；有的时候又会发挥失常.这种东西应该也可以抽象为围绕期望水平的正态分布. 而对于若干数据，包括发挥水平、排位情况，但是没有整体数据的时候，如果能推测是正态分布的情形，就可以近似计算出分布函数来，然后去估计其他的分布情况.这是反向推导的过程. 生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述.例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等.【例2】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()2,N μσ．（1）假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件数,求()1P X …及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.969.96 10.01 9.929.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑,16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-=∑∑,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1216i =⋯，，，． 用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除()ˆˆˆˆ3,3μσμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布()2,N μσ,则()–330.9974P Z μσμσ<<+=,160.99740.9592≈0.0080.09≈．【分析】 (1)先确定()~160.0026X B ，,再利用EX np =求期望；（2）（i ）判断监控生产过程的方法是否合理,可通过一天内抽取的16个零件中,尺寸落()33μσμσ-+，之外概率的大小判断,（ii ）剔除异常数据,在利用公式求μ和σ.【解析】 （1）由题可知尺寸落在()33μσμσ-+，之内的概率为0.9974,落在()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026．()()016160C 10.99740.99740.9592P X ==-≈,()()11010.95920.0408P X P X =-=≈-=…,由题可知()~160.0026X B ，,所以()160.00260.0416E X =⨯=. （2）（i ）尺寸落在()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026,由正态分布知尺寸落()33μσμσ-+，之外为小概率事件,因此上述监控生产过程的方法合理．（ii ）39.9730.2129.334μσ-=-⨯=,39.9730.21210.606μσ+=+⨯=,()()339.33410.606μσμσ-+=，，,因为()9.229.33410.606∉，, 所以需对当天的生产过程检查． 因此剔除9.22,剔除数据之后：9.97169.2210.0215μ⨯-==．()()()()()222222[9.9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.0110.02σ=-+-+-+-+-+()()()()()222229.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.9110.02-+-+-+-+-+()()()()()22222110.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02]0.00815-+-+-+-+-⨯≈. 所以0.0080.09σ=≈.【点评】正态分布是概率统计中相对较独立的一个考点,且已经从冷点转化为热点,求解此类问题,一般从,μσ入手,对于应用问题,要注意从较大的阅读量中提取有用的信息.以下两类问题是正态分布中的基本问题：(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ－σ,μ＋σ),(μ－2σ,μ＋2σ),(μ－3σ,μ＋3σ)中的哪一个.【小试牛刀】【山东省济宁市2020届高三第一次模拟】某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50)，第二组[50，55)，…，第六组[70，75)，得到如下图(1)所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示，以样本的频率作为总体的概率．(I)求频率分布直方图中的值；(II)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65)的人数，求X的概率分布列和数学期望；(III)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布，其中若，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由．【解析】解：(Ⅰ)由图（2）知，100名样本中体重低于50公斤的有2人，用样本的频率估计总体的概率，可得体重低于50公斤的概率为，则，在上有13人，该组的频率为0.13，则，所以，即c=0.07.(Ⅱ)用样本的频率估计总体的概率，可知从全体学生中随机抽取一人，体重在的概率为0.07×10=0.7，随机抽取3人，相当于三次独立重复试验，随机变量X服从二项分布，则，，，，所以，X的概率分布列为：X 0 1 2 3P 0.027 0.189 0.441 0.343E(X)=3×0.7=2.1(Ⅲ)由N(60,25)得由图（2）知.所以可以认为该校学生的体重是正常的.(三) 用样本估计总体频率分布直方图是高考考查的热点，考查频率很高，题型有选择题、填空题，也有解答题，难度为低中档．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．【例3】2018年9月的台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计直接经济损失达亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：，，，，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的损失（同一组中的数据用该区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这户损失超过元的农户中随机抽取户进行重点帮扶，设抽出损失超过元的农户数为，求的分布列和数学期望. 【分析】（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；（2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值．【解析】（1）记每个农户的平均损失为元，则；（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（户），损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3（户），随机抽取2户，则X的可能取值为0，1，2；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列为；X 0 1 2P数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．【点评】用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法．分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观． 【小试牛刀】中国农业银行开始为全国农行ATM 机安装刷脸取款系统.某农行营业点为调查居民对刷脸取款知识的了解情况,制作了刷脸取款知识有奖调查问卷,发放给2018年度该行的所有客户,并从参与调查且年龄(单位:岁)在[25,55]内的客户中随机抽取100名给予物质奖励,再从中选出一名客户参加幸运大抽奖.调查结果按年龄分成6组,制作成如下的频数分布表和女客户的年龄茎叶图,其中a ∶b ∶c =2∶4∶5. 年龄/岁 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55]频数/人5a b c 15 25女客户的年龄茎叶图幸运大抽奖方案如下:客户最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为,第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束.若中奖,则通过抛掷一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖.规定:抛出的硬币,若反面朝上,则客户获得5000元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,客户需进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,如果中奖,则获得奖金10000元,如果未中奖,则所获得的奖金为0元.(1)求a ,b ,c 的值,若分别从男、女客户中随机选取1人,求这2人的年龄均在[40,45)内的概率; (2)若参加幸运大抽奖的客户所获奖金(单位:元)用X 表示,求X 的分布列与数学期望E (X ). 【解析】(1)由频数分布表知,a+b+c=100-45=55. 因为a ∶b ∶c=2∶4∶5, 所以a=×55=10,b=×55=20,c=×55=25,由茎叶图可知年龄在[25,30)内的女客户有2人,年龄在[30,35)内的女客户有4人,年龄在[35,40)内的女客户有8人,年龄在[40,45)内的女客户有10人,年龄在[45,50)内的女客户有6人,年龄在[50,55]内的女客户有10人,故年龄在[40,45)内的男客户有15人,在100名客户中,男客户有60人,女客户有40人,所以从男客户中随机选取1人,年龄恰在[40,45)内的概率P 1=,从女客户中随机选取1人,年龄恰在[40,45)内的概率P 2=,则分别从男、女客户中随机选取1人,这2人的年龄均在[40,45)内的概率P =P 1×P 2=.(2)由题意可知,X 的所有可能取值为0,5000,10000,则P (X =0)=,P (X =5000)=,P (X =10000)=.X 的分布列为 X5 00010 000PE (X )=0×+5000×+10000×=5200(元).(四) 回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则无意义．根据回归方程进行的估计仅是一个预测值，而不是真实发生的值． 用最小二乘法求回归方程，关键在于正确求出系数a ^，b ^，由于a ^，b ^的计算量较大，计算应仔细小心． 【例4】【湖北省黄冈市2020届模拟】某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该基地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量（千克）与使用某种液体肥料的质量（千克）之间的关系如图所示.（1）依据上图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0.01）.（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量限制，并有如下关系：周光照量（单位：小时）光照控制仪运行台数 3 2 1若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式，参考数据：，.【分析】(1)根据公式得到相关系数的值，通过比较得到判断；（2）分别求出安装一台，两台，三台时的利润均值，得到结果.【解析】（1）由已知数据可得，.∵，，.∴相关系数.∵，∴可用线性回归模型拟合与的关系.（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪.①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元.②安装2台光照控制仪的情形：当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润（元），，当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润（元），，故的分布列为2000 60000.2 0.8∴（元）.③安装3台光照控制仪的情形：当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润（元），，当时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润（元），，当时，3台光照控制仪都运行，周总利润（元），，故的分布列为1000 5000 90000.2 0.7 0.1∴（元）.综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪.【点评】判断两个变量是否具有相关关系的常用方法：(1)利用散点图进行判断；(2)利用相关系数r进行判断．【小试牛刀】【江西省临川第一中学等九校2020届高三3月联考】某商场营销人员进行某商品市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：反馈点数 1 2 3 4 5销量（百件）/天0.5 0.6 1 1.4 1.7（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量（千件）与返还点数之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：返还点数预期值区间（百分比）频数20 60 60 30 20 10（i）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；（ii）将对返点点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.参考公式及数据：①，；②.【解析】（1）易知，，，，.则关于的线性回归方程为，当时，，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.（2）（i）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值的平均值，及中位数的估计值分别为：，中位数的估计值为.（ii）抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为，“欲望膨胀型”消费者人数为.，，，故随机变量的分布列为1 2 3.(五) 独立性检验独立性检验的一般步骤(1)假设两个分类变量x与y没有关系；(2)计算出K2的观测值，其中K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）；(3)把K2的值与临界值比较，作出合理的判断．【例5】【福建省莆田市2020届高三下学期教学质量检测】为推进“千村百镇计划”，年月某新能源公司开展“电动莆田绿色出行”活动，首批投放台型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月。
2020年高考冲刺140分突破压轴题三十练(五)详细版解析
高考数学冲刺140分压轴题突破(五)学而思网校 邓诚第一题.已知函数f (x )的定义域为D,若对于任意a,b,c ∈D,f (a ),f (b ),f(c)分别为某个三角形的三边长,则称f (x )为“三角形函数”.给出下列四个函数:(1)f (x )=lnx (x >1),(2)f (x )=4+sinx,(3)f (x )=x 13(1≤x ≤8),(4)f (x )=2x +22x +1其中为“三角形函数”的个数是( )A.1B.2C.3D.4第二题.正三角形ABC 的边长为2,将它沿高AD 翻折,使点B 与点C 间的距离为√2,此时四面体ABCD 外接球的表面积为______.第三题.已知抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N 两点,设直线l 是抛物线C 的切线,且l ∥MN,P 为l 上一点,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PN⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为_____.已知集合A ={x|y =2},B ={x |y =ln (1−x )},则A⋃B =( )A.[0,1]B.[0,1)C.(−∞,1]D.(−∞,1)第五题.已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形,直线x +y +2√2−1=0与以椭圆C 的右焦点为圆心,椭圆的长半轴长为半径的圆相切.(1) 求椭圆C 的方程;(2) 设点B,C,D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点B 与点D 关于原点O 对称.设直线CD,CB,OB,OC 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,k 4,且k 1k 2=k 3k 4. (i)求k 1k 2的值;(ii)求|OB |2+|OC |2的值.第六题.已知函数f (x )=lnx +x 2−2ax +1(a 为常数)(1) 讨论函数f (x )的单调性;(2) 若存在x 0∈(0,1],使得对任意的a ∈(−2,0],不等式2me a (a +1)+f (x 0)>a 2+2a +4都成立,求实数m 的取值范围.第一题.由f(a),f(b),f(c)是某个三角形的三边长,则任意两个数之和大于第三个数,若f(x)为“三角形函数”,则2f(x)min>f(x)max对于(1),f(x)的值域为(0,+∞),不满足条件;对于(2),f(x)的值域为[3,5],由3+3>5,可得满足条件;对于(3),f(x)的值域为[1,2],由1+1=2,不满足条件;对于(4),f(x)=1+12+1,值域为(1,2),此时2f(x)min>2>f(x)max.满足条件.说五毛钱的话:这道题是一个升级版的恒成立问题,大家碰到恒成立存在性问题重点是去思考函数最大值最小值之间的关系,可能是同一个函数的最大值最小值,也可能是不同函数的最大值最小值.这类题目应该说比较常见,大家需要对各种不同的情况做好笔记.第二题.由AD⊥DB,AD⊥DC,可得AD⊥平面DBC,又DB=DC=1,BC=√2,则DB2+DC2=BC2,所以DB⊥DC.则DA,DB,DC两两垂直.可以将三棱锥补形成一个边长为1,1,√3的长方体,三棱锥的外接球半径和该长方体外接球半径一致.可得R=12√12+12+(√3)2=√52.所以表面积为4πR2=5π.说五毛钱的话:求解几何体外接球问题是很常见的一类立体几何小题,可以采用寻找球心的方法,也可以像这道题一样补形,一般来说补形的目标都是棱柱,大家以后遇到类似的可以尝试往这方面想.当然这道题也可以用找球心的方法,大家不妨一试~~第三题.由题意知F (0,1),所以过点F 且斜率为1的直线方程为y =x +1, 代入x 2=4y 可得x 2−4x −4=0,则x =2±2√2.设M(2−2√2,3−2√2),N(2+2√2,3+2√2).设直线l 和抛物线相切于点(x 0,y 0),由l ∥MN,可得切线斜率等于直线MN 斜率,由y =x 24,可得y =x 2,则x 02=1,所以x 0=2,则切点为(2,1).则直线l 方程为y =x −1.设P (m,m −1),则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x −2√2,4−x −2√2),PN⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x +2√2,4−x +2√2),所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PN⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x )2−8+(4−x )2−8=2x 2−12x +4 =2(x −3)2−14≥−14.说五毛钱的话:这道题比较综合,考察了抛物线,导数的几何含义,向量坐标表达和点乘,以及二次函数值域求解,算是一个比较正的题目,就是为了检验一下大家的基本功.第四题.由x −x 2≥0,可得0≤x ≤1,则A =[0,1]由1−x >0,可得x <1,则B =(−∞,1)所以A⋃B =(−∞,1].说五毛钱的话:集合运算应该说90%以上都会考交集,但是偶尔也会有并集出现,大家需要审题清楚.主要是我自己做的时候不小心看错造成了一万点伤害,我不想只有我一个人受伤…第五题.(1) 设椭圆C 的右焦点为F 2(c,0),则c 2=a 2−b 2(c >0).由题意可得,以椭圆C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x −c )2+y 2=a 2,圆心到直线x +y +2√2−1=0的距离d =√2−1|√2=a.又椭圆C 的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形,可得b =√3c,a =2c,带入√2−1|√2=a,可得a =2,c =1. 则椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)(i)设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),则D (−x 1,−y 1).则k 1k 2=y 2+y 1x 2+x 1∙y 2−y 1x 2−x 1=y 22−y 12x 22−x 12 由点B,C 都在椭圆上,可得{x 224+y 223=1x 124+y 123=1 两式相减可得x 22−x 124+y 22−y 123=0,则y 22−y 12x 22−x 12=−34. 所以k 1k 2=−34.(ii)由k1k2=k3k4,可得k3k4=−34.将y=k3x和椭圆x24+y23=1联立可得x12=124k32+3,同理x22=124k42+3又k4=−34k3,可得x22=124(−34k3)2+3=16k324k32+3则x12+x22=16k32+124k32+3=4,所以|OB|2+|OC|2=x12+y12+x22+y22=(x12+x22)+34(4−x12)+3 4(4−x22)=6+14(x12+x22)=7.说五毛钱的话:这道题应该算比较常规的一道解析几何题,关键核心在于k1k2是个定值的证明上,也是后面求|OB|2+|OC|2的关键.对于双曲线也有一个类似的结论成立,大家不妨依葫芦画瓢去试试. 第六题.(1)f′(x)=1x +2x−2a=2x2−2ax+1x(x>0),令g(x)=2x2−2ax+1,当a≤0时,由x>0,可得g(x)>1>0恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当0<a≤√2时,由∆=4(a2−2)≤0,可得g(x)≥0恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>√2时,由{x>0g(x)<0,可得x∈(a−√a2−22,a+√a2+22),则函数f(x)在(a−√a2−22,a+√a2+22)上单调递减;由{x>0g(x)>0,可得x∈(0,a−√a2−22)或(a+√a2+22,+∞).则函数f(x)在(0,a−√a 2−22)和(a+√a 2+22,+∞)上分别单调递增.(2) 由(1)可得当a ∈(−2,0]时,函数f (x )在(0,1]上单调递增,所以当x ∈(0,1]时,函数f (x )的最大值是f (1)=2−2a,依题意可得2me a (a +1)+f (x 0)max >a 2+2a +4即对任意的a ∈(−2,0]都有2me a (a +1)−a 2−4a −2>0恒成立. 设h (a )=2me a (a +1)−a 2−4a −2,由h (0)=2m −2>0,可得m >1.且h ′(a )=2me a (a +1)+2me a −2a −4=2(a +2)(me a −1), 由h ′(a )=0可得a =−2或−lnm,因为a ∈(−2,0],只需考虑−lnm. 当−2<−lnm <0,即1<m <e 2时,可得a ∈(−2,−lnm )时,h ′(a )<0,a ∈(−lnm,0)时,h ′(a )>0,所以h (a )min =h (−lnm )=lnm (2−lnm )>0恒成立,满足条件. 当−lnm =−2,即m =e 2时,h ′(a )=2(a +2)(e a+2−1),由a ∈(−2,0]可得h ′(a )>0,可得h (a )在(−2,0]上单调递增,且h (−2)=2e 2e −2(−1)−4+8−2=0,所以a ∈(−2,0]时,h (a )>h (−2)=0成立;当−lnm <−2,即m >e 2时,h (−2)=−2me 2+2<0,ℎ(0)=2m −2>0,且此时存在x 0∈(−2,0]满足h (x 0)=0,与条件矛盾.综上可得m 的取值范围是(1,e 2].说五毛钱的话:这道题第一问比较常规,常见的求导分类讨论求解,第二问也比较常规,常见的恒成立和存在性并存,一步一步分析,但是这些都是基本功,需要全面掌握.。
(高考数学)2020届高三数学备考冲刺140分问题09高考数学导数解答题大盘点 附答案解析
问题09 高考数学导数解答题大盘点一、考情分析导数解答题是高考必考问题，一般为压轴题，含有参数的函数单调性及极值的讨论.不等式的证明、根据零点或恒成立等问题求参数范围、构造函数证明不等式。
其中极值点偏移问题、隐零点问题是近几年的热点。
二、经验分享 (1) 用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．（2）已知单调性确定参数的值(范围)，要分清“在某区间单调”与“单调增(减)区间是某区间”的不同，“在某区间不单调”，一般是该区间含导数变号零点．（3）导数值为0的点不一定是函数的极值点，“函数在某点的导数值为0”是“函数在该点取得极值”的必要不充分条件． （4）极值与最值的区别“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性．从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)．从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，连续函数的最值只要不在端点处必定是极值．当a ≤0，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． ①0＜a ＜2时，2a＞1，当x ∈(0，1)或x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；【点评】 (1)大多数高考试题中确定函数的单调性需要分类讨论，讨论的标准是导数的零点在定义域内的分布情况，根据导数的零点把定义域划分为若干区间，在各个区间上确定导数值的符号．(2)研究函数单调性时要注意函数的定义域，要从函数本身确定函数定义域，不要求导后从导数上确定函数的定义域．(3)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．分类讨论时，要做到不重不漏．【小试牛刀】【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.（2），即，令，则，令，则.①若，当时，，从而在上单调递增，因为，故当时，，即，从而在上单调递增，因为，故当时，恒成立，符合题意；②若，当时，恒成立，从而在上单调递减，则，即时，，从而在上单调递减，此时，不符合题意；③若，由，得，当时，，故在上单调递减，则，即，故在上单调递减，故当时，，不符合题意；综上所述，实数的取值范围为(三)利用导数解决函数的最值问题【例3】【河北省保定市2019届高三上学期期末】已知函数，且函数的图像在点处的切线与轴垂直.（1）求函数的单调区间；（2）设函数在区间上的最小值为，试求的最小值.（2）因为所以由得解得（舍去）或由（1）知的减区间为，增区间为,所以，若即时， .若即1<t<3时，，，则，1<t<3时，<0，在上为减函数，且，令，得，所以的递增区间为，同理，可得的递减区间为，所以即，故在单调递减.1- 0 + 0 - ↘↗↘，当时，当即时，，故有一个零点，也有有一个零点.综上可知，当时，无零点；当时，有一个零点.(五)利用导数法证明不等式【例5】【贵州省遵义市2019届高三年级第一次联考】设为实数，函数。
2020年高考物理考前冲刺 考前天天练 四(含答案解析)
2020年高考物理考前冲刺 考前天天练 四1.如图所示，质量为m 的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F 的水平向右恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，求：(1)物体与斜面间的动摩擦因数．(2)这一临界角θ0的大小．2.如图所示,内壁光滑的弯曲钢管固定在天花板上,一根结实的细绳穿过钢管,两端分别拴着小球A 和B 。
小球A 和B 的质量之比。
当小球A 在水平面内做匀速圆周运动时,小球A m Am B =12到管口的绳长为l,此时小球B 恰好处于平衡状态。
管子的内径粗细不计,重力加速度为g 。
试求:(1)拴着小球A 的细绳与竖直方向的夹角θ;(2)小球A 转动的周期。
3.如图所示,粗糙斜面的倾角θ=37°,半径r=0.5 m 的圆形区域内存在着垂直于斜面向下的匀强磁场。
一个匝数n=10的刚性正方形线框abcd 通过松弛的柔软导线与一个额定功率P=1.25 W 的小灯泡L 相连,圆形磁场的一条直径恰好过线框bc 边。
已知线框质量m=2 kg,总电阻R 0=1.25 Ω,边长l>2r,与斜面间的动摩擦因数μ=0.5。
从t=0时起,磁场的磁感应强度按B=2-t(T)的规律变化。
开始时线框静止在斜面上,在线框运动前,灯泡始终正常发2π光。
设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g 取10 m/s 2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
求:(1)线框不动时,回路中的感应电动势E;(2)小灯泡正常发光时的电阻R;(3)线框保持不动的时间内,小灯泡产生的热量Q 。
4.如图所示，在坐标原点O 处有一波源S ，它沿y 轴做频率为50 Hz ，振幅为2 cm 的简谐振动，形成的波可沿x 轴正、负方向传播，波速为20 cm/s ，开始振动时，S 恰好通过O 点沿y 轴正方向运动．(1)当S 完成第一次全振动时，画出此时的波形图．(2)如图，波传到坐标为x 1=2.7 cm 的M 点时，还要经过多长时间才能传到N 点？波传到N 点时，M 点在什么位置？5.为了验证动量守恒定律(探究碰撞中的不变量)，某同学选取了两个材质相同，体积不等的立方体滑块A和B，按下述步骤进行实验：步骤1：在A、B的相撞面分别装上尼龙拉扣，以便二者相撞以后能够立刻结为整体；步骤2：安装好实验装置如图，铝质轨道槽的左端是倾斜槽，右端是长直水平槽，倾斜槽和水平槽由一小段弧连接，轨道槽被固定在水平桌面上，在轨道槽的侧面与轨道等高且适当远处装一台数码频闪照相机；步骤3：让滑块B静置于水平槽的某处，滑块A从斜槽某处由静止释放，同时开始频闪拍摄，直到A、B停止运动，得到一幅多次曝光的数码照片；步骤4：多次重复步骤3，得到多幅照片，挑出其中最理想的一幅，打印出来，将刻度尺紧靠照片放置，如图所示．(1)由图分析可知，滑块A与滑块B碰撞发生的位置________．①在P5、P6之间②在P6处③在P6、P7之间(2)为了探究碰撞中动量是否守恒，需要直接测量或读取的物理量是________．①A、B两个滑块的质量m1和m2②滑块A释放时距桌面的高度③频闪照相的周期④照片尺寸和实际尺寸的比例⑤照片上测得的x45、x56和x67、x78⑥照片上测得的x34、x45、x56和x67、x78、x89⑦滑块与桌面间的动摩擦因数写出验证动量守恒的表达式____________________________．(3)请你写出一条有利于提高实验准确度或改进实验原理的建议：_________________________________________________________________.答案解析1.解：(1)对物体受力分析，由平衡条件得：mgsin 30°－μmgcos 30°=0解得：μ=tan 30°=33(2)设斜面倾角为α时，受力情况如图所示：由平衡条件得：Fcos α=mgsin α＋F fF N =mgcos α＋Fsin α F f =μF N解得：F=mgsin α＋μmgcos αcos α－μsin α当cos α－μsin α=0，即cot α=时，F→∞，33即“不论水平恒力F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，临界角θ0=α=60°.2.解：(1)设细绳的拉力为F,小球B 处于平衡状态有F=m B g,在竖直方向上,小球A 处于平衡状态,有Fcosθ=m A g,解得cosθ=,m Am B =12所以拴着小球A 的细绳与竖直方向的夹角θ=60°。
高考数学140分必读之把关题解析30讲
高考数学140分必读之把关题解析30讲（3）1．泉州模拟21．（本小题满分12分）过抛物线y x42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=⋅PB PA（1）求点P 的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+⋅FP FB FA λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由。
解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211x x x x B x x A ≠由,42y x=得：2'x y =2,221x k x k PB PA ==∴4,,021-=∴⊥∴=⋅x x PB PA PB PA ………………………………3分直线PA 的方程是：)(241121x x x x y -=-即42211x x x y -=①同理，直线PB 的方程是：42222x x x y -=②由①②得：⎪⎩⎪⎨⎧∈-==+=),(,142212121R x x x x y x x x ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：),14,(211-=x x FA ),14,(222-=x x FB )1,2(21-+x x P4),2,2(2121-=-+=x x x x FP42)14)(14(2221222121x x x x x x FB FA +--=--+=⋅ …………………………10分2444)()(22212212++=++=x x x x FP所以0)(2=+⋅FP FB FA故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=⋅PB PA ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y由⎩⎨⎧=+=yx m kx y 42得：0442=--m kx x016162=+=∆∴m k 即2k m -=…………………………3分即直线PA 的方程是：2k kx y -= 同理可得直线PB 的方程是：211kx ky --=由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=2211k x k y k kx y 得：⎪⎩⎪⎨⎧-=∈-=11y R kk x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分 （2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22---kk P kk B k k A)11,2(),1,2(22--=-=kk FB k k FA)2,1(--=kk FP)1(2)11)(1(42222kk kk FB FA +--=--+-=⋅………………………………10分)1(24)1()(2222kk k kFP ++=+-=故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ…………………………………………12分 22．（本小题满分14分）设函数x axx x f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数。
2020年全国高考省市名校模拟组合冲刺压轴卷 语文试题+答案+全解全析
2020年全国高考省市名校模拟组合冲刺压轴卷语文分值：150分考试时间：150分钟一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）（2020·陕西省渭南市高三二模）阅读下面的文字，完成下面小题。
羌笛是羌族所造、产于边塞、流传至今的乐器，它以哀怨的笛声引起无数征等的共鸣，历经千年而传唱不衰。
因此羌笛经常作为哀怨的意象大量地出现在诗诗中的羌笛亦有其时代特征。
羌笛，最初出现在边塞诗中，用来表达征人思乡的边愁如南北朝时庾信关断音信，汉使绝经过。
胡笳落泪曲，羌笛断肠歌”，张正见《陇头水》“陇头人逐貳师。
羌笛含流咽，胡笳杂水悲”。
“断肠”“悲”这些早期诗作中的字眼似笛悲凉的基调，而实际上怨悲愁确是诗中羌笛千年未变的主题。
用羌笛入诗人中，只有庾信有边地生活的经历，其他文人只是用羌笛的意象来烘托或营造以满足创作边塞诗的艺术需求。
南北朝以后历隋经初唐直至盛唐，羌笛一直是边塞诗中的常客，尤其是在高峰的盛，羌笛更为文人所喜用。
文人们留下了很多脍炙人口的佳句，如王之涣的“羌笛何须怨杨柳，春风不度玉门关”，王昌龄的“更吹羌笛关山月，无那金闺万里愁”……这是一个崇尚军功的时代，所以这个时代的边塞诗不同于南北朝时单纯的文学创作，很多诗人都有出使和戍边的经历，如高适、王昌龄等，这也使他们笔下的羌笛更加可信可亲可感。
中唐以羌笛入诗的诗作不多，其中有些已经开始脱离边塞的背景，如刘禹锡《洞庭秋月行》中的“荡桨巴童歌行枝，连樯估客吹羌笛”，鲍溶《暮春戏赠樊宗宪》中的“羌笛胡琴春调长，美人何处乐年芳”。
至晚唐仅有贯休的《古塞上》、李成用的《关山月》等少数几首与边塞有关，其他诗作多用羌笛来表达哀怨伤别之情。
值得注意的是，徐夤第一次在专咏梅花的七律中用了羌笛，“结实和羹知有日，肯随羌笛落天涯”。
之前《梅花落》只是羌笛的一首曲子，诗人并未真正看到落梅，而这首诗中羌笛却成了梅花的附庸，诗人由梅花想到了花落，进而想到了羌笛，此诗首开后世咏梅诗中用羌笛之先河，影响巨大而深远。
数学+冲刺140分,最后大题精讲3
高考数学140分必读之把关题解析30讲（3）1．泉州模拟21．（本小题满分12分）过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=⋅PB PA （1）求点P 的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+⋅FP FB FA λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由。
解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211x x x x B x x A ≠由,42y x =得：2'x y =2,221x k x k PB PA ==∴4,,021-=∴⊥∴=⋅x x PB PA PB PA ………………………………3分直线PA 的方程是：)(241121x x x x y -=-即42211x x x y -=①同理，直线PB 的方程是：42222x x x y -=②由①②得：⎪⎩⎪⎨⎧∈-==+=),(,142212121R x x x x y x x x ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：),14,(211-=x x FA ),14,(222-=x x FB )1,2(21-+x x P4),2,2(2121-=-+=x x x x FP42)14)(14(2221222121x x x x x x FB FA +--=--+=⋅ …………………………10分2444)()(22212212++=++=x x x x FP所以0)(2=+⋅FP FB FA故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=⋅PB PA ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y由⎩⎨⎧=+=yx m kx y 42得：0442=--m kx x016162=+=∆∴m k 即2k m -=…………………………3分即直线PA 的方程是：2k kx y -= 同理可得直线PB 的方程是：211kx k y --=由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=2211k x k y k kx y 得：⎪⎩⎪⎨⎧-=∈-=11y R kk x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分 （2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22---kk P kk B k k A)11,2(),1,2(22--=-=kk FB k k FA)2,1(--=kk FP)1(2)11)(1(42222kk kk FB FA +--=--+-=⋅………………………………10分)1(24)1()(2222kk k kFP ++=+-=故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ…………………………………………12分 22．（本小题满分14分）设函数x axx x f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数。
2020年高考冲刺140分突破压轴题三十练(二十二)详细版解析
当t > e 时, f ′(t) < 0,当1 < t < e时,f ′(t) > 0.
所以f(t)在(e, +∞)上单调递减, 在(1, e)上单调递增. 所以f(t) ≤ f(e) = 2e,
且当1 < t < e 时, f(t) > 0,当t → +∞时, f(t) → −∞,
所以要使1 = 2(2e − t)lnt存在两个不同的根,
当x ≥ 1 时, 由x3 + ������ ≥ 2, 可得不存在 x 满足x3 + ������ < 1.
综上可得x ∈ (−∞, 1 − ln2).
说五毛钱的话:面对复合问题,无论是复合方程还是复合不等式,一定
要牢记一层一层去求解,先求外层再求内层.
第二题.
做PQ ⊥ BC 于 Q, 做 QR ⊥ BD 于 R, 连接 PR,
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第四题.
(1)由题意可得|PH| = |PF|,
由点P 到直线 l: x = −1 的距离等于它到定点 F(1,0)的距离,
点P 的轨迹是以 l 为准线, F 为焦点的抛物线,
所以点P 的轨迹 C 的方程为y2 = 4x.
(2)由题意知切线l1的斜率必然存在, 设为 k,则l1: y − y0 = k(x − x0),
2
当x ≥ 0 时, ln(1 + x) − 1 x2 ≤ x,
2
证明如下:
令F(x) = ln(1 + x) − 1 x2 − x,
2
则F′(x) = 1 − x − 1 = 1−(x+1)2 = −x2−2x = −x(x+2),
2020高考理科数学冲刺密卷解析版 (14)
碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，
请问是（）打碎了玻璃．
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
4．某会议室第一排共有 8 个座位，现有 3 人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐
法种数为（）
A．12
B．16
C． 24
D．32
5．已知复数 z 满足 1 i z 3 i ， i 为虚数单位，则 z 等于（ ）
的距离为 h ，利用等积变换可得VDACE
VE ACD
1 3
SACE
h
16 3
3
，从而可得结果.
试题解析：（1）因为 E 为 PD 的中点， M 为 AD 的中点，则在 PAD 中， EM ∥ PA ， PA
平面 PAC , ME 平面 PAC ,则 EM ∥平面 PAC
（2）证明:取 PC 中点 F ，在 RtABC 中， AB 2, BAC 600 ，则 BC 2 3, AC 4 ．而 PA 4 ，则在等腰三角形 APC 中 PC AF .①又在 PCD 中， PE ED, PF FC ,则 EF ∥ CD 因为 PA 平面ABCD ， CD 平面ABCD ，则 PA CD ，又 ACD 900 ，即 AC CD ， AC PA A 则 CD 平面PAC ，所以 PC CD ，因此 EF PC ．② 又 EF AF F ，由①②知 PC 平面AEF
0 的零点为 x1, x2 , x3,
, x100 ，求
100
xi f x1 的值.
i 1
21．已知函数 f (x) x2 2x x a ，其中 a R ．
（1）求函数 f (x) 的单调区间；
（2）若不等式 4 f (x) 16 在 x [1, 2]上恒成立，求 a 的取值范围．
(高考数学)2020届高三数学备考冲刺140分问题44算法与其他知识的交汇问题 附答案解析
问题44算法与其他知识的交汇问题一、考情分析算法是高考每年必考内容,多以客观题形式出现,难度为中等或中等以下,考查方式多为程序框图,按题型划分主要有求结果、填补过程、求输入参量三类,并且此类问题常和其他知识交汇,其中与函数、三角、不等式、数列、概率与统计的交汇是高考热点. 二、经验分享1.应用顺序结构与条件结构的注意点 (1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的． (2)条件结构利用条件结构解决算法问题时,重点是判断框,判断框内的条件不同,对应的下一框中的内容和操作要相应地进行变化,故要重点分析判断框内的条件是否满足． 2.与循环结构有关问题的常见类型及解题策略(1)已知程序框图,求输出的结果,可按程序框图的流程依次执行,最后得出结果．(2)完善程序框图问题,结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)对于辨析程序框图功能问题,可将程序执行几次,即可根据结果作出判断． 三、题型分析 一、算法与函数的交汇【例1】执行如图所示的程序框图,如果输入的t ∈[－1,3],则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]【分析】由程序框图得分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <1，4t －t 2，t ≥1.所以当－1≤t <1时,s ＝3t ∈[－3,3)；当1≤t ≤3时,s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4,所以此时3≤s≤4.综上函数的值域为[－3,4],即输出的s属于[－3,4]．【答案】A【点评】含有条件结构的程序框图用在需要对条件进行判断的算法程序中,这一点与分段函数相关问题恰好结合在一起,体现了分类讨论思想的应用.含有嵌套的条件结构,一定要分清外层条件与内层条件及上下逻辑关系,对于分段函数求值,一定要首先判断输入的x的值, 属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式求值.【小试牛刀】【山东潍坊市2019届高三下学期一模】执行下边的程序框图，如果输出的值为1，则输入的值为（）A．0 B．C．0或D．0或1【答案】C【解析】程序对应的函数为y，若x≤0，由y＝1得e x＝1，得x＝0，满足条件．若x＞0，由y＝2﹣lnx＝1，得lnx＝1，即x＝e，满足条件．综上x＝0或e，故选：C．二、算法与三角的交汇【例2】执行如图所示的程序框图,若输入的x∈[0,2π],则输出y的取值范围是( )A．[0,1] B．[－1,1]C．[－22,1] D．[－1,22]【答案】C【分析】解决本题的关键是读懂程序框图,知道输出的y为sin x,cos x中的较大值【解析】根据程序框中判断框内的条件,得知y为sin x,cos x中的较大值．在同一个坐标系中画出y＝sinx,y＝cos x的图象,可知y的取值范围为[－22,1]．【点评】本题是条件结构的程序框图,条件结构主要用在一些需要依据条件进行判断的算法中,故条件结构常与比较大小及分段函数相结合.【小试牛刀】【山东省临沂市2019届高三2月教学质量检测】执行如图所示的程序框图，输出的值为A．0 B．C．1 D．－1【答案】A【解析】第一次循环，k＝1，S＝cos0＝1，k＝1+1＝2，k＞4不成立，第二次循环，k ＝2，S ＝1+cos 1=，k ＝2+1＝3，k ＞4不成立；第三次循环，k ＝3，S ＝cos ，k ＝3+1＝4，k ＞4不成立； 第四次循环，k ＝4，S cos，k ＝4+1＝5，k ＞4成立退出循环，输出S ＝0， 故选：A ．三、算法与不等式的交汇【例3】执行如图所示的程序框图,如果输入的x ,y ∈R ,那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】当条件x ≥0,y ≥0,x ＋y ≤1不成立时输出S 的值为1,当条件x ≥0,y ≥0,x ＋y ≤1成立时S ＝2x ＋y ,下面用线性规划的方法求此时S 的最大值．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知当直线S ＝2x ＋y 经过点M (1,0)时S 最大,其最大值为2×1＋0＝2,故输出S 的最大值为2.【答案】C【点评】本题是算法与不等式的交汇,以算法为载体,考查了线性规划问题．在知识交汇处设计问题,是高考算法的一大特点．【小试牛刀】执行如图所示的程序框图,若输入的x 的值为1,则输出的n 的值为____________.【答案】3【解析】运行程序：12－4×1＋3＝0,x ＝2,n ＝1；22－4×2＋3<0,x ＝3,n ＝2；32－4×3＋3＝0,x ＝4,n ＝3；42－4×4＋3>0,退出循环,输出的n 的值为3.故填3. 四、算法与数列的交汇【例4】阅读如图所示的程序框图,若输入的919a =,则输出的k 值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 【答案】C【解析】由程序框图知, S 为数列)())((1211212112121+--=+-=k k k k a k 的前k 项和,由裂项法得,)(S 121121+-=k ,然后由199121121>+-=)(S k 得9>k ,所以当10≥k 时程序运行结束,此时11=k ．故选C ．【点评】解决本类问题先从宏观理清框图是解决什么具体问题的,然后严格按照步骤执行其流程要求．关键是每次循环过后,将每个变量一一列出,如果循环次数较多就要总结规律,如等差、等比数列通项、周期等；如果循环次数较少,可以全部列出．也可直接由程序运行的实质得到一般性的结论,如本题实为裂项法求数列的和,然后求解即可． 【小试牛刀】如图给出了计算111124660++++L L 的值的程序框图,其中①②分别是（ ）（A ）30i <,2n n =+ （B ）30i =,2n n =+ （C ）30i >,2n n =+ （D ）30i >,1n n =+【答案】C【解析】因为2,4,6,8,…,60构成等差数列,首项为2,公差为2,所以2＋2(n －1)＝60,解得n ＝30,所以该程序循环了30次,即i >30,n ＝n ＋2,故选C ． 五、算法与概率统计的交汇【例5】下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图,则图中空白框内应填入（ ）A ．M q i =B ．M q N =C ．N q M N =+D ．Mq M N=+【答案】D【解析】由程序框图可知,M 为及格的人数,N 为不及格人数,所以及格率Mq M N=+,故选D ．【点评】解决循环结构的程序框图问题要注意几个常用变量： ①计数变量：用来记录某个事件发生的次数,如i ＝i ＋1. ②累加变量：用来计算数据之和,如S ＝S ＋i . ③累乘变量：用来计算数据之积,如p ＝p ×i .【小试牛刀】如果执行如图所示的程序框图,输入正整数(2)N N ≥和实数12N a a a L ，，，,输出A B ，,则（ ）A ．AB +为12N a a a L ，，，的和 B ．2A B+为12N a a a L ，，，的算数平均数 C ．A 和B 分别是12N a a a L ，，，中最大的数和最小的数 D ．A 和B 分别是12N a a a L ，，，中最小的数和最大的数 【答案】C【解析】据程序框图可知,,A B 分别为12,,,N a a a L 中的最大数和最小数,故选C. 六、算法与数学文化的交汇【例6】若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ,则记为()mod N n m =,例如()102mod 4=.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图,则输出的n 等于（ ）A ．20B ．21 C.22 D ．23 【答案】C【解析】由已知中的程序框图得：该程序的功能是利用循环结构计算出并输出同时满足条件：①被3除余1,②被5除余2,最小为两位数,所输出的22n =,故选C. 【点评】数学文化与程序框图的交汇是近几年高考热点. 【小试牛刀】公元263年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用割圆术刘 徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计程 序框图,则输出的n 值为（ ）参考数据：3 1.732=,sin150.2588︒≈,sin7.50.1305︒≈．A ． 12B ． 24C ． 48D ． 96 【答案】B【解析】由程序框图,,n S 值依次为：6, 2.59808n S ==；12,3n S ==；24, 3.10583n S ==,此时满足3.10S ≥,输出24n =,故选B ．四、迁移运用1．【2019届广东省数学模拟试卷（一)】设x 1＝18，x 2＝19，x 3＝20，x 4＝21，x 5＝22，将这5个数依次输入如图所示的程序框图运行，则输出S 的值及其统计意义分别是（ ）A ．S ＝2，这5个数据的方差B ．S ＝2，这5个数据的平均数C ．S ＝10，这5个数据的方差D ．S ＝10，这5个数据的平均数【答案】A【解析】根据程序框图，输出的S 是x 1＝18，x 2＝19，x 3＝20，x 4＝21，x 5＝22这5个数据的方差，因为，∴由方差的公式S ＝．故选：A ．2．【河南省新乡市2019届高三下学期第二次模拟】某程序框图如图所示，则该程序的功能是（ ）A ．为了计算B．为了计算C．为了计算D．为了计算【答案】A【解析】运行程序，，，判断是；，判断是，，……，以此类推，表达式的最后一项的指数比下一个要少，故，退出程序，输出的值.所以程序框图是为了计算，故选A.3．【贵州省贵阳市普通中学2019届高三年级第一学期期末】秦九韶是我国宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为A．B．C．D．【答案】C【解析】一次循环，，，成立，则，，第二次循环，，成立，则，，第三次循环，，成立，则，，第四次循环，，成立，则，，第五次循环，，成立，则，，第六次循环，，不成立，输出，故选：C．4．【陕西省榆林市2019届高三第二次模拟】为计算，设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由程序框图的运行，可得：S＝0，i＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a＝1，S＝1，i＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3…观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+ (100)（﹣2）99，i＝100，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是i＜100．故选：A．5．【晋冀鲁豫名校2019届高三上学期期末】若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意结合流程图可知流程图输出结果为，，.本题选择C选项.6．【山东省日照市2018届高三4月校际联考】条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成,用来表示一定的信息,我们通常见的条形码是“”通用代码,它是由从左到右排列的个数字（用表示）组成,这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校检码,其中是校验码,用来校验前个数字代码的正确性.图（1）是计算第位校验码的程序框图,框图中符号表示不超过的最大整数（例如）.现有一条形码如图（2）所示（）,其中第个数被污损,那么这个被污损数字是（）A. B. C. D.【答案】B【解析由流程图可知,S表示的结果为前12项中所有偶数项之和,T表示的结果为前12项中所有奇数项之和,则：S=7+7+4+1+9+1=29,T=9+a3+0+0+1+9=19+a3,M=3×29+19+a3=106+a3,检验知,,可知,结合选项进行检验：若,则,不合题意；若,则,符合题意；若,则,不合题意；若,则,不合题意.本题选择B选项.7．【2018年4月高三第二次全国大联考】我国古代数学著作《九章算术》中记述道：今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里；驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢．问：几日相逢？结合二马相逢的问题设计了一个程序框图如图所示,已知为良马第天行驶的路程,为驽马第天行驶的路程,为良马、驽马天行驶的路程和,若执行该程序框图后输出的结果为,则实数的取值范围为A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意,得良马天的行程为,驽马天的行程为,所以良马、驽马天的总路程为,当时,；当时,.因为输出,所以．故选C.8.考拉兹猜想又名31n +猜想,是指对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1；如果它是偶数,则对它除以2.如此循环,最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,输出的结果i =（ ）A ．4B ．5 C.6 D ．7 【答案】D【解析】模拟算法：开始：10,1a i ==,1a =不成立；a 是奇数,不成立,5,2a i ==,1a =不成立； a 是奇数,成立,16,3a i ==,1a =不成立；a 是奇数,不成立,8,4a i ==,1a =不成立；a 是奇数,不成立,4,5a i ==,1a =不成立；a 是奇数,不成立,2,6a i ==,1a =不成立；a 是奇数,不成立,1,7a i ==,1a =成立；输出7i =,结束算法.故选D.9．执行如图所示的程序框图,若输出3-=y ,则输入角=θ（ ）A ．6π B ．-6π C ．3π D ．-3π【答案】D【解析】对于选项A ,当6πθ=时,所以1sin sin62y πθ===,则输出12y =,不符合题意；对于选项B ,当6πθ=-时,所以1sin sin()62y πθ==-=-,则输出12y =-,不符合题意；对于选项C ,当3πθ=时,所以tan tan33y πθ===,则输出3y =,不符合题意；对于选项D ,当3πθ=-时,所以tan tan()33y πθ==-=-则输出3y =-,符合题意；故应选D ．10.阅读程序框图,如果输出的函数值在区间1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦内,那么输入的实数x 的取值范围是( )A. []2,2-B. []1,2-C. ()[),21,-∞--+∞UD. ()(),22,-∞-+∞U 【答案】C【解析】该程序框图的作用是计算分段函数()[]()()2,2,22,,22,x x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈-∞-+∞⎪⎩U 的函数值．当[]2,2x ∈-时,由12,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得[]1,2x ∈-,当()(),22,x ∈-∞-+∞U 时,()12,22f x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,所以输入的实数x 的取值范围是()[),21,-∞--+∞U ,故选C.11.某班有24名男生和26名女生,数据a 1,a 2,…,a 50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0),如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A ,男生平均分：M ,女生平均分：－W .为了便于区别性别,输入时,男生的成绩用正数,女生的成绩用其成绩的相反数,那么在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的( )A ．T >0？,A ＝M ＋W50B ．T <0？,A ＝M ＋W50 C ．T <0？,A ＝M －W 50 D ．T >0？,A ＝M －W50【答案】D【解析】 依题意得,全班成绩的平均数应等于班级中所有的学生的成绩总和除以总人数,注意到当T >0时,输入的成绩表示的是某男生的成绩；当T <0时,输入的成绩表示的是某女生的成绩的相反数．因此结合题意得,选D.12.如图所示,算法框图输出的所有实数对(x ,y )所对应的点都在函数( )A ．y ＝x ＋1的图象上B ．y ＝2x 的图象上C ．y ＝2x的图象上 D ．y ＝2x －1的图象上【答案】D【解析】 由算法框图可知输出的实数对(x ,y )为(1,1),(2,2),(3,4),(4,8),这些点都在函数y ＝2x －1的图象上,故选D.13.如图,若4n =时,则输出的结果为 .【答案】94 【解析】开始,1,0k S ==,故110(211)(211)3S =+=⨯-⨯⨯+,因为14<,故进入循环.第二次计算,112k =+=,111123(221)(221)3355S =+=+=⨯-⨯⨯+⨯； 因为24<,故进入循环. 第三次计算,213k =+=212135(231)(231)5577S =+=+=⨯-⨯⨯+⨯； 因为34<,故进入循环,第四次计算,314k =+=,313147(241)(241)7799S =+=+=⨯-⨯⨯+⨯；因为44<不成立,所以输出S ,即输出4914.如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1,A 2,…,A 14.图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图．那么输出的结果是________．【答案】10【解析】从程序框图可知,该图是统计成绩大于或等于90分的考试次数．从茎叶图可知输出的结果为10. 15.已知数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝2a n ＋n －1,若利用如图所示的程序框图进行运算,则输出n 的值为________．【答案】11【解析】由数列递推关系可得a n ＋1＋(n ＋1)＝2(a n ＋n ),故数列{a n ＋n }是首项为1＋1＝2,公比为2的等比数列,a n ＋n ＝2×2n －1＝2n,a n ＝2n－n ,所以S n ＝(2＋22＋ (2))－(1＋2＋…＋n )＝2（1－2n）1－2－n （n ＋1）2＝2n＋1－2－n （n ＋1）2,当n ＝11时,S 11＝212－2－66＝4 028>2 015,当n ＝10时,S 10＝211－2－55<2 015,结合程序框图可知输出的n ＝11.。
2020高考最后冲刺30天高考押题猜题全真十套(江苏版)(4)(全析全解)
2020高考最后冲刺30天高考押题猜题全真十套（4）数学第I 卷（必做题，共160分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．已知集合{}03A x x =<<，{}2log 1B x x =>则A B =I . 【答案】(2,3)【解析】Q {}03A x x =<<，{}2B |1{|2}x log x x x =>=>，∴A B I ={|23}x x <<. 2．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为 . 【答案】48【解析】个位数只能为2或4，因此个位数有2种排法，其余4个位置可排余下4个不同的元素，共有4424A =种排法，由乘法原理可得共有不同的偶数的个数为48种.3．函数1y x =+的图象与圆()2214x y +-=所围成图形较小部分的面积是 . 【答案】π【解析】画出函数1y x =+的图象与圆()2214x y +-=的图像，如下所示：容易知90CAB ∠=︒，半径2r =，故可得小扇形面积1422S ππ=⨯⨯=. 4．已知复数(,)z a bi a b R =+∈，若(1)(1)ai i bi +-=，则z = .【解析】(1)(1)ai i bi +-=可化为()11a a i bi ++-=，因为,a b ∈R ，故101a a b +=⎧⎨-=⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，所以12z i =--，故z 5．如图所示的程序框图，若输入x 的数值是19，则输出的y 值为 .【答案】-124【解析】模拟执行程序框图如下：19,13x x ==，满足0x ≥，7x =，满足0x ≥， 1x =，满足0x ≥，5x =-，不满足0x ≥，()351124y =-+=-.6．已知向量,a b v v 满足||1,||a b ==v v 且a v 与b v 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=v v v v .【答案12【解析】221()(2)223122a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+=v vv vv v v v. 7．已知正实数x ，y 满足2243x y xy +=+，则2x y +的最大值为 .【答案】【解析】由基本不等式可知，21122222x y xy x y +⎛⎫=⋅≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时取等号，Q ,x y 为正实数，且满足2243x y xy +=+，所以()2253x y xy +-=，即()()22223558x y x y xy ++-=≤⋅，解得02x y <+≤2x y +的最大值为8．已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左，右焦点，其半焦距为c ，点P 在双曲线E 上，1PF 与x 轴垂直，1F 到直线2PF 的距离为23c ，则双曲线E 的离心率为 .【解析】因为1PF 与x 轴垂直，所以12PF F ∆为直角三角形且直角顶点为1F .因为122F F c =，1F 到直线2PF 的距离为23c ，故21213sin 23cPF F c ∠==. 因为21PF F ∠为锐角，故21cos 3PF F ∠=，21tan 4PF F ∠=. 在12Rt PF F ∆中，1212tan 2PF c PF F c =⨯∠==，2212cos 2c PF PF F ==∠.由双曲线的定义可得212a PF PF =-=，故ce a==9．已知定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[2,2)x ∈-时，1()43xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()33log 6log 54f f -+= .【答案】32【解析】Q 定义在R 上的函数()f x 的周期为43332(log 54)(log 544)(log )3f f f ∴=-=，Q 当[2,2)x ∈-时，1()()43x f x x =--，3log 6[2,2)-∈-，32log [2,2)3∈-，()()33log 6log 54f f ∴-+332log log 6333112()(log 6)4()log 4333-=---+--11333log 6log 233112()()(log 6log )8333=++--3336log (6)822=++⨯-32=. 10．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为 .【解析】正方体的面对角线长为. 11．已知函数()()ln ln f x x a x =+-的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 的单调递增区间为 . 【答案】(0，1]【解析】∵函数f (x )=lnx +ln (a ﹣x )的图象关于直线x =1对称,∴f (2﹣x )=f (x ),即ln (2﹣x )+ln [a ﹣(2﹣x )]=lnx +ln (a ﹣x ),即ln (x +a ﹣2)+ln (2﹣x )=lnx +ln (a ﹣x ), ∴a =2.∴f (x )=lnx +ln (2﹣x )=lnx (2﹣x ),02x <<.由于y =x (2﹣x )=﹣(x ﹣1)2+1为开口向下的抛物线,其对称轴为x =1,定义域为(0,2), ∴它的递增区间为(0,1],由复合函数的单调性知,f (x )=lnx +ln (2﹣x )的单调递增区间为(0,1]. 12．已知,x y R ∈，且满足22(1)1x y -+≤，则“y x ≥”的概率为 .【答案】112π- 【解析】设平面区域212(1)1:x y -Ω+≤（圆面），平面区域()22211:x y y x⎧-+≤⎪Ω⎨≥⎪⎩，则1Ω的面积为21ππ⨯=，2Ω如图阴影部分所示：其面积为112112222ππ⎛⎫⨯⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，故所求概率为11122πππ-=-. 13．直角坐标系xOy 中，已知MN 是圆C ：(x ﹣2)2+(y ﹣3)2=2的一条弦，且CM ⊥CN ，P 是MN 的中点.当弦MN 在圆C 上运动时，直线l ：x ﹣y ﹣5=0上总存在两点A ，B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是_____.【答案】2【解析】因为P 为MN 的中点,所以CP ⊥MN ,又因为CM ⊥CN ,所以三角形CMN 为等腰直角三角形,所以CP =1, 即点P 在以C 为圆心,以1为半径的圆上,点P 所在圆的方程为(x ﹣2)2+(y ﹣3)2=1,要使得∠APB 2π≥恒成立,则点P 所在的圆在以AB 为直径的圆的内部,而AB 在直线l ：x ﹣y ﹣5=0上,C 到直线l ：x ﹣y ﹣5=0的距离d==所以以AB 为直径的圆的半径的最小值为r1,所以AB 的最小值为2r2.14．已知函数()ln x f x e x=，若关于x 的方程()()210f x mf x -+=恰好有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 . 【答案】()2,+∞【解析】当1x >时，()ln x f x e x=，()()2ln 1ln x f x e x -'=，∴()f x 在()1,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，∴当x e =时，()f x 取得极小值()11ef e e ==⋅，同理可得()f x 在()0,1上单调递增， 作出()f x 的函数图像如图所示：设()()210fx mf x -+=的两根为()()12,f x f x ，由()()210f x mf x -+=恰好有四个不相等的实数根，则方程的一根在区间[)0,1上，另一根在区间()1,+∞上，不妨设()101f x ≤<，()21f x >，根据二次函数零点分布可得0110m ∆>⎧⎨-+<⎩，即()2402m m ⎧-->⎪⎨>⎪⎩，解得2m >，故实数m 的取值范围是()2,+∞.二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图,在三棱柱111-ABC A B C 中，侧面11BCC B 是矩形，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，M 是棱1CC 上的一点.（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求证：M 是棱1CC 中点. 【解析】（1）Q 侧面11BCC B 是矩形，1BC CC ∴⊥又平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，平面11ACC A I 平面111BCC B CC =，BC ⊂平面11BCC B ，BC ∴⊥面11ACC A ，又AM ⊂面11ACC A ，BC AM ⊥∴.（2）连接1A B 交1AB 于点H ，连接,MH NH ，Q 四边形11ABB A 为平行四边形，H ∴为1AB 中点，又N 为AB 中点，1//NH BB ∴且112NH BB =，11//BB CC Q ，//NH CM ∴，,CM NH ∴共面，//CN Q 平面1AB M ，CN ⊂平面CNHM ，平面CNHM I 平面1AB M MH =， //CN MH ∴，∴四边形CNHM 为平行四边形，111122CM NH BB CC ∴===，即M 是棱1CC 中点. 16．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若2a =，3c =，求()sin A C -的值. 【解析】（1）2sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭Q ，∴由正弦定理得：2sin sin sin sin 3A B A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()0,A π∈Q ，sin 0A ∴≠，2sin sin 3B B π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，1sin cos sin 22B B B ∴=+，即1sin 22B B =，tan B ∴=， ()0,B π∈Q ，3B π∴=.（2）由余弦定理得：2222cos 4912cos73b ac ac B π=+-=+-=，b ∴=，由正弦定理得：sin sin 7a B A b ==，a c<Q ，A ∴为锐角，cos 7A ∴=，sin 22sin cos 7A A A ∴==，21cos 22cos 17A A =-=.A B C π++=Q ，233C A A πππ∴=--=-， ()222sin sin 2sin 2cos cos 2sin 333A C A A A πππ⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭1127⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 17．已知抛物线（）上的两个动点和，焦点为F .线段的中点为，且点到抛物线的焦点F 的距离之和为8（1）求抛物线的标准方程；（2）若线段的垂直平分线与x 轴交于点C ，求面积的最大值. 【解析】（1）由题意知,则,,抛物线的标准方程为（2）设直线:（）, 由,得,,即,22y px =0p >()11,A x y ()22,B x y AB ()03,My AE ABC ∆126x x +=1268AF BF x x p p +=++=+=2p ∴=∴24y x =AB x my n =+0m ≠24x my ny x=+⎧⎨=⎩2440y my n --=124y y m ∴+=212426x x m n ∴+=+=232n m =-即,设的中垂线方程为:,即, 可得点C 的坐标为,直线:,即,点C 到直线的距离,令,则（,令,,令,则,在上；在上, 故在单调递增,单调递减, 当,即, 18．疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，30OA =米，50AB =米，6COD π∠=，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角3EOF π∠=，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上.设FOC θ∠=.()21221216304812m y y my y m ⎧∆=->⎪⎪+=⎨⎪⋅=-⎪⎩12AB y y ∴=-=AB ()23y m m x -=--()5y m x =--()5,0Q AB 232x my m =+-2230x my m -+-=∴AB d ==()21412S AB d m ∴=⋅=+t =223m t =-0t <<()()244f t tt =-⋅()()2443f t t '∴=-()0f t '∴=t =⎛ ⎝⎭()0f t '>⎝()0f t '<()f t 0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭3⎛ ⎝∴t =m =max S =（1）求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围； （2）求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值. 【解析】（1）扇形EOC 的面积为211250501250233ππθθ⎛⎫⨯-⨯=- ⎪⎝⎭. 四边形OCBF 的面积为13045030503015002tan tan θθ⨯-⨯⨯=-, ∴阴影部分的面积为()12509150050253tan S πθθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.0,3πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，其中03tan 5θ=，3tan 5θ⎡∴∈⎢⎣.（2）设()925tan h θθθ=+，则()22229sin 9cos 92525sin sin h θθθθθ--'=+=-，令()0h θ'=，解得：3sin 5θ=，33tan 45θ⎡∴=∈⎢⎣， 设其解为1θ，即13tan 4θ=，则()h θ在[)01,θθ上单调递减，在1,3πθ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()()1min h h θθ∴=，()()1max 12501500503S h πθθ∴=+-，此时13tan 4θ=∴监控区域面积S 最大时，角θ的正切值为34. 19．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且242n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）求证：22222n n n n++<+<L 【解析】（1）解:当1n =时,由211142a a a =+,得12a =,当2n ≥时,由()()221114442n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-,得12n n a a --=,所以数列{}n a 为以2为首项,2为公差的等差数列, 所以2n a n =, 所以()1n S n n =+ （2）由（1=因为12n n <<+,所以11231232n n n ++++<+<+++++L L L ,所以22222n n n n++<+<L 20．已知函数()2ln f x x mx =-，()()212g x mx x m R =+∈，令()()()F x f x g x =+ （1）当12m =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值． 【解析】（1）当12m =时，21(),02f x lnx x x =->211(),(0)x f x x x x x-∴'=-=>．令()0f x '>得210x ->又0x >，所以01x <<．所以()f x 的单调递增区间为(0,1)． 令()0f x '<得210x -<又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调递减区间为()1,+∞． 综上可得：()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞． （2）令21()()(1)(1)12G x F x mx lnx mx m x =--=-+-+．所以21(1)1()(1)mx m x G x mx m x x-+-+'=-+-=．当0m „时，因为0x >，所以()0G x '>所以()G x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为()31202G m =-+>． 所以关于x 的不等式()0G x „不能恒成立． 当0m >时，1()(1)()m x x mG x x-+'=-．令()0G x '=得1x m =，所以当1(0,)x m ∈时，()0G x '>；当,1()mx ∈+∞时，()0G x '<．因此函数()G x 在1(0,)x m ∈是增函数，在,1()mx ∈+∞是减函数．故函数()G x 的最大值为11()2G lnm m m=-． 令1()2h m lnm m =-，因为()1102h =>，()12204h ln =-<． 又因为()h m 在(0,)m ∈+∞上是减函数，所以当2m …时，()0h m <． 所以整数m 的最小值为2．第II 卷（附加题，共40分）理科附加题21．已知矩阵4321M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量75α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r .（1）求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； （2）求3M α.【解析】（1）矩阵M 的特征多项式为()(1)(2)f λλλ=--，令()0f λ=，可求得特征值为11λ=，22λ=，设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则由1M λαα=，得330x y -+=，可令1x =，则1y =-，所以矩阵M 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，同理可得矩阵M 的一个特征值22λ=对应的一个特征向量为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）7132512α⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦r g ，所以331349221233M α⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦r ．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1622x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，C e的极坐标方程为ρθ=. （1）写出C e 的直角坐标方程；（2）P 为直线l 上的一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.【解析】（1）由ρθ=知2sin ρθ=所以22x y +=，所以C e 的直角坐标方程为220x y +-=.（2）由（1）知C e 的标准方程为(2212x y +-=，即圆心(0,C ，设P 点坐标为16,22t t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，则PC == 所以当0t =时，PC 有最小值，此时P 点坐标为()6,0.23．在四边形ABCP 中，3AB BC P π==∠=，2PA PC ==；如图，将PAC V 沿AC 边折起，连结PB ，使PB PA =，求证：（1）平面ABC ⊥平面PAC ；（2）若F 为棱AB 上一点，且AP 与平面PCF 所成角的正弦值为4，求二面角F PC A --的大小. 【解析】证明：（1）在PAC ∆中，2,3PA PC P π==∠=PAC ∴△为正三角形，且2AC =在ABC V 中，AB BC ==ABC ∴V 为等腰直角三角形，且AB BC ⊥取AC 的中点O ，连接0,B OP,OB AC OP AC ∴⊥⊥1,2OB OP PB PA ====Q ，222PB OB OP ∴=+，OP OB ∴⊥OP AC O =Q I ，,AC OP ⊂平面PACOB ∴⊥平面PACOB ⊂Q 平面ABC..平面ABC ⊥平面PAC（2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0),A B C P -，(1,1,0),AB AP ==u u u r u u u r，(0,(0,2,0)CP CA =-=-u u u r u u u r，设(01)AF mAB m =<<u u u r u u u r .则(,2,0)CF CA AF m m =+=-u u u r u u u r u u u r设平面PFC 的一个法向量为(,,)x y z =n .则0n CF n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v(2)00mx y m y +-=⎧⎪∴⎨-+=⎪⎩，令y =1x z ⎧=⎪⎨⎪=⎩n ⎫∴=⎪⎭AP Q 与平面PFC||||n AP n AP ⋅∴==u u u r u u u r ，整理得23440m m +-=，解得23m =或2m =-(含去) n ∴=，又OB uuu r为平面PAC 的一个法向量cos ,n OB n OB n OB ⋅∴〈〉==r u u u rr u u u r r u u u r ,6n OB π∴〈〉=u u u r ，二面角F PA C --的大小为6π.24．已知数列{}n a 满足123*12323,N 2222n n n n n nn n C C C C a m n ++++=++++⋯+∈，其中m 为常数，24a =.（1）求1, m a 的值（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明.【解析】（1）123123232222n n n n n n n n C C C C a m ++++=++++⋅⋅⋅+Q ，123423424C C a m m ∴=++=+=，解得：1m =，121122C a m m ∴=+=+=.（2）由12a =，24a =，38a =可猜想：()2n n N a n *=∈.证明：①当1n =时，由（1）知结论成立；②假设n k =时，结论成立，则有12312323122222k k k k k k k k k C C C C a ++++=++++⋅⋅⋅+=，那么当1n k =+时，123111121311123112222k k k k k k k k C C C C a ++++++++++++=++++⋅⋅⋅+. 由111k k kn n n C C C +++=+得：10213211112233111231122222k k k k k k k k k k k k k k k k kkC C C C C C C C C a -++++++++++++++++++=++++⋅⋅⋅++0121112311231222222k k kk k k k k k k k k C C C C C -+++++++++=++++⋅⋅⋅++=12110231111211222222k k k k k k k k k k k k C C C C C -++++++++-⎛⎫++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭1211023111111211222222k k k k k k k k k k k kk k kC C C C C C -+++++-+++++-⎛⎫+=++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭又()()()()()()()()()()11111121!2221!21!112!1!1!1!1!1!2k k k kk k k k k k k C C k k k k k k k ++++++++++++====+++++ 1211023111111121112222222k k k kk k k k k k k k k k k k C C C C C C -+++++-++++++-+⎛⎫=++++⋅⋅⋅+++ ⎪⎝⎭，于是11122kk k a a ++=+，112k k a ++∴=，故1n k =+时结论也成立.由①②得，()2nn N a n *=∈.。
2020高考数学浙江专用三轮冲刺抢分练：压轴大题突破练(四) Word版含解析
(四)解析几何1．(2019·杭州外国语学校模拟)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，直线l ：y ＝－1，若A 为抛物线上第一象限的一动点，过F 作AF 的垂线交直线l 于点B ，交抛物线于M ，N 两点．(1)求证：直线AB 与抛物线相切；(2)若点A 满足AM ⊥AN ，求此时点A 的坐标．(1)证明 由题意得焦点F (0,1)，设A (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，∴直线AF 的斜率为y 0－1x 0， 由题意知直线BF 斜率存在，则直线BF 的方程为y ＝x 01－y 0x ＋1， ∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫2(y 0－1)x 0，－1， ∴直线AB 的斜率为y 0＋1x 0－2(y 0－1)x 0＝x 0⎝⎛⎭⎫14x 20＋1x 20－2⎝⎛⎭⎫14x 20－1＝x 02， 根据导数的几何意义得y ＝14x 2在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为x 02， ∴直线AB 与抛物线相切．(2)解 由(1)知A (x 0，y 0)，直线MN 的方程为y ＝x 01－y 0x ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x 01－y 0x ＋1， 消去y 整理得x 2－4x 01－y 0x －4＝0， 由题意知，Δ>0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 01－y 0，x 1x 2＝－4， 由题意得直线AM 的斜率为y 1－y 0x 1－x 0＝x 214－x 204x 1－x 0＝x 1＋x 04， 同理直线AN 的斜率为x 2＋x 04， ∴x 1＋x 04·x 2＋x 04＝－1， 整理得y 20－2y 0－3＝0，又因为A (x 0，y 0)在第一象限，解得y 0＝3(舍负)，代入抛物线方程得x 0＝23，所以存在点A (23，3)，使得AM ⊥AN .2.如图，已知直线y ＝－2mx －2m 2＋m 与抛物线C ：x 2＝y 相交于A ，B 两点，定点M ⎝⎛⎭⎫－12，1.(1)证明：线段AB 被直线y ＝－x 平分；(2)求△MAB 面积取得最大值时m 的值．(1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2mx －2m 2＋m ，y ＝x 2， 得x 2＋2mx ＋2m 2－m ＝0，Δ＝4m 2－4(2m 2－m )>0，即0<m <1，∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝2m 2－m ，则x 1＋x 22＝－m ， y 1＋y 22＝x 21＋x 222＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22＝m ， ∴线段AB 的中点坐标为(－m ，m )，∴线段AB 被直线y ＝－x 平分．(2)解 ∵|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋4m 2－4m 2＋4m (0<m <1)，点M 到直线AB 的距离为d ＝|1＋2m 2－2m |1＋4m 2， ∴△MAB 的面积S ＝12|AB |d ＝－m 2＋m |1－2(－m 2＋m )|(0<m <1)，令－m 2＋m ＝t ，则0<t ≤12， ∴S ＝t |1－2t 2|＝t －2t 3⎝⎛⎭⎫0<t ≤12， 令f (t )＝t －2t 3⎝⎛⎭⎫0<t ≤12，则f ′(t )＝1－6t 2， 则f (t )在⎝⎛⎭⎫0，66上单调递增，在⎝⎛⎦⎤66，12上单调递减，故当t ＝66时，f (t )取得最大值，即△MAB 面积取得最大值，此时有－m 2＋m ＝66，解得m ＝3±36. 3．(2019·湖州中学模拟)如图，A 为椭圆x 22＋y 2＝1的下顶点，过A 的直线l 交抛物线x2＝2py (p >0)于B ，C 两点，C 是AB 的中点．(1)求证：点C 的纵坐标是定值；(2)过点C 作与直线l 倾斜角互补的直线l ′交椭圆于M ，N 两点，求p 的值，使得△BMN 的面积最大．(1)证明 易知A (0，－1)，不妨设B ⎝⎛⎭⎫t ，t 22p ， 则C ⎝⎛⎭⎫t 2，t 2－2p 4p ， 把点C 代入抛物线方程得⎝⎛⎭⎫t 22＝2p ·t 2－2p 4p，得t 2＝4p ， ∴y C ＝4p －2p 4p ＝12为定值． (2)解 ∵点C 是AB 中点，∴S △BMN ＝S △AMN ， ∵直线l 的斜率k ＝12－(－1)t 2＝3t，直线l ′的斜率k ′＝－3t， ∴直线l ′的方程为y －12＝－3t ⎝⎛⎭⎫x －t 2， 即y ＝－3t x ＋2，不妨记m ＝－3t， 则l ′：y ＝mx ＋2，代入椭圆方程整理得(2m 2＋1)x 2＋8mx ＋6＝0，Δ＝64m 2－24(2m 2＋1)>0，即m 2>32， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 2m 2＋1，x 1x 2＝62m 2＋1， |MN |＝1＋m 2|x 1－x 2|＝22·1＋m 2·2m 2－32m 2＋1， A 到MN 的距离d ＝3m 2＋1， 所以S △BMN ＝S △AMN ＝12·|MN |·d ＝32·2m 2－32m 2＋1＝322m 2－3＋42m 2－3 ≤3224＝324. 当且仅当2m 2－3＝42m 2－3， 即m 2＝72时，等号成立，此时满足Δ>0， 所以t 2＝9m 2＝187，p ＝t 24＝914. 4．(2019·余高、缙中、长中模拟)对于椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，有如下性质：若点P (x 0，y 0)是椭圆外一点，P A ，PB是椭圆的两条切线，则切点A ，B 所在直线的方程是x 0x a 2＋y 0y b2＝1.利用此结论解答下列问题：已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1和点P (2，t )(t ∈R )，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点是A ，B ，记点A ，B 到直线PO (O 是坐标原点)的距离是d 1，d 2.(1)当t ＝0时，求线段AB 的长；(2)求|AB |d 1＋d 2的最大值． 解 (1)因为点P (2，t )，直线AB 的方程是2x ＋2ty ＝2，即x ＋ty ＝1，当t ＝0时，直线AB 的方程是x ＝1，此时|AB |＝ 2.(2)由(1)知直线AB 的方程是x ＋ty ＝1，直线PO 的方程是tx －2y ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋yt ＝1，x 2＋2y 2＝2得(t 2＋2)y 2－2ty －1＝0，Δ>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(tx 1－2y 1)(tx 2－2y 1)<0，所以d 1＋d 2＝|tx 1－2y 1|t 2＋4＋|tx 2－2y 2|t 2＋4＝|(t 2＋2)(y 2－y 1)|t 2＋4， 另|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|，所以|AB |d 1＋d 2＝(1＋t 2)(4＋t 2)2＋t 2； 设2＋t 2＝x ，则|AB |d 1＋d 2＝(x －1)(x ＋2)x 2 ＝－2⎝⎛⎭⎫1x 2＋1x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫1x －142＋98，所以，当1x ＝14，即x ＝4，t 2＝2时， |AB |d 1＋d 2有最大值为324. 5．(2019·慈溪中学模拟)如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 过点(0，3)，T 为直线x ＝4上的动点，过点T 作椭圆C 的切线TA ，TB ，A ，B 为切点．(1)求证：A ，F 2，B 三点共线；(2)过点F 2作一条直线与曲线C 交于P ，Q 两点，过P ，Q 作直线x ＝4的垂线，垂足依次为M ，N .求证：直线PN 与MQ 交于定点．证明 (1)由已知得c a ＝12，b ＝3， 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 设T (4，t )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线TA ，TB 的方程分别为x 1x 4＋y 1y 3＝1，x 2x 4＋y 2y 3＝1， 由于切线TA ，TB 过点T (4，t )，所以x 1＋y 1t 3＝1，x 2＋y 2t 3＝1， 即x 1＋t 3y 1＝1，x 2＋t 3y 2＝1， 所以直线AB 的方程为x ＋t 3y ＝1. 易知直线AB 过点F 2(1,0)，所以A ，F 2，B 三点共线．(2)当直线PQ 的斜率存在时，设过点F 2的直线为y ＝k (x －1)(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1， 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则Δ＝(－8k 2)2－4(3＋4k 2)(4k 2－12)>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， 过P ，Q 作直线x ＝4的垂线，垂足依次为M ，N ，则M (4，y 1)，N (4，y 2)，则直线PN ：y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x －4)， 令y ＝0，则x ＝x 1y 2－4y 1y 2－y 1＝x 1·k (x 2－1)－4k (x 1－1)k (x 2－x 1) ＝x 1x 2－5x 1＋4x 2－x 1， 直线MQ ：y －y 1＝y 2－y 1x 2－4(x －4)， 令y ＝0，得x ＝4y 2－x 2y 1y 2－y 1＝5x 2－4－x 1x 2x 2－x 1， 因为2x 1x 2＋8－5(x 1＋x 2)＝2(4k 2－12)3＋4k 2＋8－40k 23＋4k 2＝0，所以x 1x 2－5x 1＋4x 2－x 1＝5x 2－4－x 1x 2x 2－x 1. 因此直线PN 与MQ 交于定点D ⎝⎛⎭⎫52，0.当PQ ⊥x 轴即直线PQ 的斜率不存在时，可得PN 与MQ 交于点⎝⎛⎭⎫52，0.故直线PN 与MQ 交于定点D ⎝⎛⎭⎫52，0.6.如图，过椭圆M ：x 22＋y 2＝1的右焦点F 作直线交椭圆于A ，C 两点．(1)当A ，C 变化时，在x 轴上求定点Q ，使得∠AQF ＝∠CQF ；(2)在(1)的条件下，设直线QA 交椭圆M 的另一个交点为B ，连接BF 并延长交椭圆于点D ，当四边形ABCD 的面积取得最大值时，求直线AC 的方程．解 (1)设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，Q (q ,0)，当A ，C 不在x 轴上时，设直线AC 的方程为x ＝ty ＋1，代入椭圆M 的方程，可得(2＋t 2)y 2＋2ty －1＝0.由题意知，Δ>0，则y 1＋y 2＝－2t 2＋t 2，y 1y 2＝－12＋t 2， 由意题知k AQ ＋k CQ ＝y 1x 1－q ＋y 2x 2－q＝y 1(x 2－q )＋y 2(x 1－q )(x 1－q )(x 2－q )＝y 1(ty 2＋1－q )＋y 2(ty 1＋1－q )(x 1－q )(x 2－q ) ＝2ty 1y 2＋(1－q )(y 1＋y 2)(x 1－q )(x 2－q )＝0， 即2ty 1y 2＋(1－q )(y 1＋y 2)＝0，整理得－2t －2t (1－q )＝0，由题意知无论t 取何值，上式恒成立，则q ＝2，当A ，C 在x 轴上时，定点Q (2,0)依然可使∠AQF ＝∠CQF 成立，所以点Q 的坐标是(2,0)．(2)由(1)知∠AQF ＝∠CQF ，即∠BQF ＝∠CQF .所以BQ ，CQ 关于x 轴对称，所以BD ，CA 关于x 轴对称，所以B ，C 关于x 轴对称，A ，D 关于x 轴对称，所以四边形ABCD 是一个等腰梯形．则四边形ABCD 的面积S (t )＝|x 1－x 2|·|y 1－y 2|＝|t |·|y 1－y 2|2＝8·(t 2＋1)|t |(t 2＋2)2. 由对称性不妨设t >0，求导可得S ′(t )＝－8·t 4－3t 2－2(t 2＋2)3， 令S ′(t )＝0，可得t 2＝3＋172， 由于S (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3＋172上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋172，＋∞上单调递减， 所以当t 2＝3＋172时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值． 此时，直线AC 的方程是x ＝±3＋172y ＋1.。
高考数学140分专项训练-30道压轴题及答案
1．椭圆的中心是原点O；它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ；2OF FA =；过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OP OQ ⋅=；求直线PQ 的方程；（3）设AP AQ λ=（1λ>）；过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ；证明FM FQ λ=-. (14分)2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ；且当]2,0[∈x 时；|1|)(-=x x f 。
（1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时；求)(x f 的表达式。
（2） 证明)(x f 是偶函数。
（3） 试问方程01log )(4=+xx f 是否有实数根？若有实数根；指出实数根的个数；若没有实数根；请说明理由。
当3．（本题满分12分）如图；已知点F （0；1）；直线L ；y=-2；及圆C ；1)3(22=-+y x 。
（1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1；求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g（3） 过轨迹E 上一点P 求点P 的坐标及S222y ax+＝1（a ＞1推证能作出多少个符合条件的三角形.5 已知；二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ；其中a 、b 、c ∈R ；a ＞b ＞c ；a ＋b ＋c ＝0.（Ⅰ）求证；f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点；当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时；试求|A 1B 1|的取值范围.6 已知过函数f （x ）=123++ax x 的图象上一点B （1；b ）的切线的斜率为－3。
（1） 求a 、b 的值；（2） 求A 的取值范围；使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1；4]恒成立；（3） 令()()132++--=tx x x f x g 。
2020届高三数学备考冲刺140分问题42实际应用中的统计解答题含解析
问题42实际应用中的统计解答题一、考情分析概率统计在高考中扮演着很重要的角色,概率统计解答题是全国卷及多数省市高考数学必考内容,内容主要涉及古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、二项分布、正态分布、频率分布直方图、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等.回顾近几年的高考试题,可以看出概率统计解答题,大多紧密结合社会实际,以现实生活为背景设置试题,注重知识的综合应用与实际应用,作为考查实践能力的重要载体,命题者要求考生会收集、整理、分析数据,能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,建立数学模型,再应用数学原理和数学工具解决实际问题.该类问题阅读量一般比较大,但难度多为中等或中等偏易. 二、经验分享(1)明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1. 利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．(3)解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0. (4)判定两个变量正、负相关性的方法①画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．②相关系数：r >0时，正相关；r <0时，负相关．③线性回归方程中：b ^>0时，正相关；b ^<0时，负相关．(5) 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：①确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；② 根据一组观测值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；③ 求出线性回归方程．线性回归分析问题的类型及解题方法 ①求线性回归方程利用公式，求出回归系数b ^，或待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数．②利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．③利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b ^.(6)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r |越趋近于1时，两变量的线性相关性越强． (7)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法①通过计算K 2的大小判断：K 2越大，两变量有关联的可能性越大．②通过计算|ad －bc |的大小判断：|ad －bc |越大，两变量有关联的可能性越大． (8)独立性检验的一般步骤 ①根据样本数据制成2×2列联表． ②根据公式计算K 2的观测值k .③比较k 与临界值的大小关系，作统计推断． 三、知识拓展 四、题型分析(一) 期望与方差的应用数学期望反应的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反应随机变量取值在其平均值附近的离散程度.现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差这思想来对事件发生大小的可能性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否等很多问题都与这两个特征两量有关.(1)若我们希望实际的平均水平较理想,则先求随机变量12ξξ，的期望,当12E E ξξ=时,不应认为它们一定一样好,需要用12,D D ξξ来比较这两个随机变量的方差,确定它们的偏离程度. (2)若我们希望比较稳定性,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或接近.【例1】例3.7（2018新课标I 卷理20）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． （i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【分析】利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数确定其单调性，再求最大值点，注意；(2)先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此.令，得.当时，；当时，.所以的最大值点为.（2）由（1）知，.（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于，故应该对余下的产品作检验.【点评】随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．【小试牛刀】【广东省江门市2020届第一次模拟】甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪元，每单提成元；乙公司无底薪，单以内（含单）的部分每单提成元，大于单的部分每单提成元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）若将大于单的工作日称为“繁忙日”，根据以上频数表能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“繁忙日”与公司有关？（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘，你会推荐小王去哪家？为什么？参考公式和数据：【解析】（1）依题意得，公司与“繁忙日”列联表,，所以，能在犯错误的概率不超过的前提下认为“繁忙日”与公司有关 .（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，则当时，，当时，，当时，，当时，，当时， . 所以，的所有可能取值为、、、、，的分布列为：.②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为,所以甲公司送餐员日平均工资为（元）,因为，故从更高收入角度考虑推荐小王去乙公司应聘；因为乙公司比甲公司繁忙，故从工作闲适角度考虑推荐小王去甲公司应聘． (二)正态分布的应用正态分布随处可见，处处显现着他神秘的身影.对于某一件事或者某个要达到的目标，很多很多的个体发挥出来的水平大致上服从正态分布.也就是说，对于大量个体的发挥统计，常常能看到正态分布“冥冥之中”束缚着整体的状态. 对于某个单独的单位，一般来说，对于“发挥出来的水平”这件事，也往往有波动的效果，不管是机器、工具还是我们人本身：有的时候，超水平发挥了；有的时候正常发挥；有的时候又会发挥失常.这种东西应该也可以抽象为围绕期望水平的正态分布. 而对于若干数据，包括发挥水平、排位情况，但是没有整体数据的时候，如果能推测是正态分布的情形，就可以近似计算出分布函数来，然后去估计其他的分布情况.这是反向推导的过程. 生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述.例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等.【例2】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()2,N μσ．（1）假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件数,求()1P X …及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.969.96 10.01 9.929.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑,0.212s ===,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1216i =⋯，，，． 用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除()ˆˆˆˆ3,3μσμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布()2,N μσ,则()–330.9974P Z μσμσ<<+=,160.99740.9592≈0.09≈．【分析】 (1)先确定()~160.0026X B ，,再利用EX np =求期望；（2）（i ）判断监控生产过程的方法是否合理,可通过一天内抽取的16个零件中,尺寸落()33μσμσ-+，之外概率的大小判断,（ii ）剔除异常数据,在利用公式求μ和σ.【解析】 （1）由题可知尺寸落在()33μσμσ-+，之内的概率为0.9974,落在()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026．()()016160C 10.99740.99740.9592P X ==-≈,()()11010.95920.0408P X P X =-=≈-=…,由题可知()~160.0026X B ，,所以()160.00260.0416E X =⨯=. （2）（i ）尺寸落在()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026,由正态分布知尺寸落()33μσμσ-+，之外为小概率事件,因此上述监控生产过程的方法合理．（ii ）39.9730.2129.334μσ-=-⨯=,39.9730.21210.606μσ+=+⨯=,()()339.33410.606μσμσ-+=，，,因为()9.229.33410.606∉，, 所以需对当天的生产过程检查． 因此剔除9.22,剔除数据之后：9.97169.2210.0215μ⨯-==．()()()()()222222[9.9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.0110.02σ=-+-+-+-+-+()()()()()222229.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.9110.02-+-+-+-+-+()()()()()22222110.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02]0.00815-+-+-+-+-⨯≈.所以0.09σ=≈.【点评】正态分布是概率统计中相对较独立的一个考点,且已经从冷点转化为热点,求解此类问题,一般从,μσ入手,对于应用问题,要注意从较大的阅读量中提取有用的信息.以下两类问题是正态分布中的基本问题：(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ－σ,μ＋σ),(μ－2σ,μ＋2σ),(μ－3σ,μ＋3σ)中的哪一个.【小试牛刀】【山东省济宁市2020届高三第一次模拟】某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50)，第二组[50，55)，…，第六组[70，75)，得到如下图(1)所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示，以样本的频率作为总体的概率．(I)求频率分布直方图中的值；(II)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65)的人数，求X的概率分布列和数学期望；(III)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布，其中若，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由．【解析】解：(Ⅰ)由图（2）知，100名样本中体重低于50公斤的有2人，用样本的频率估计总体的概率，可得体重低于50公斤的概率为，则，在上有13人，该组的频率为0.13，则，所以，即c=0.07.(Ⅱ)用样本的频率估计总体的概率，可知从全体学生中随机抽取一人，体重在的概率为0.07×10=0.7，随机抽取3人，相当于三次独立重复试验，随机变量X服从二项分布，则，，，，所以，X的概率分布列为：X 0 1 2 3P 0.027 0.189 0.441 0.343E(X)=3×0.7=2.1(Ⅲ)由N(60,25)得由图（2）知.所以可以认为该校学生的体重是正常的.(三) 用样本估计总体频率分布直方图是高考考查的热点，考查频率很高，题型有选择题、填空题，也有解答题，难度为低中档．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．【例3】2018年9月的台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计直接经济损失达亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：，，，，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的损失（同一组中的数据用该区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这户损失超过元的农户中随机抽取户进行重点帮扶，设抽出损失超过元的农户数为，求的分布列和数学期望. 【分析】（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；（2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值．【解析】（1）记每个农户的平均损失为元，则；（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（户），损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3（户），随机抽取2户，则X的可能取值为0，1，2；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列为；X 0 1 2P数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．【点评】用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法．分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观．【小试牛刀】中国农业银行开始为全国农行ATM机安装刷脸取款系统.某农行营业点为调查居民对刷脸取款知识的了解情况,制作了刷脸取款知识有奖调查问卷,发放给2018年度该行的所有客户,并从参与调查且年龄(单位:岁)在[25,55]内的客户中随机抽取100名给予物质奖励,再从中选出一名客户参加幸运大抽奖.调查结果按年龄分成6组,制作成如下的频数分布表和女客户的年龄茎叶图,其中a∶b∶c=2∶4∶5.年龄/岁[25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55]频数/人5 a b c 15 25女客户的年龄茎叶图幸运大抽奖方案如下:客户最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为,第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束.若中奖,则通过抛掷一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖.规定:抛出的硬币,若反面朝上,则客户获得5000元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,客户需进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,如果中奖,则获得奖金10000元,如果未中奖,则所获得的奖金为0元.(1)求a,b,c的值,若分别从男、女客户中随机选取1人,求这2人的年龄均在[40,45)内的概率;(2)若参加幸运大抽奖的客户所获奖金(单位:元)用X表示,求X的分布列与数学期望E(X).【解析】(1)由频数分布表知,a+b+c=100-45=55.因为a∶b∶c=2∶4∶5,所以a=×55=10,b=×55=20,c=×55=25,由茎叶图可知年龄在[25,30)内的女客户有2人,年龄在[30,35)内的女客户有4人,年龄在[35,40)内的女客户有8人,年龄在[40,45)内的女客户有10人,年龄在[45,50)内的女客户有6人,年龄在[50,55]内的女客户有10人,故年龄在[40,45)内的男客户有15人,在100名客户中,男客户有60人,女客户有40人,所以从男客户中随机选取1人,年龄恰在[40,45)内的概率P 1=,从女客户中随机选取1人,年龄恰在[40,45)内的概率P 2=,则分别从男、女客户中随机选取1人,这2人的年龄均在[40,45)内的概率P =P 1×P 2=.(2)由题意可知,X 的所有可能取值为0,5000,10000,则P (X =0)=,P (X =5000)=,P (X =10000)=.X 的分布列为 X5 00010 000PE (X )=0×+5000×+10000×=5200(元).(四) 回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则无意义．根据回归方程进行的估计仅是一个预测值，而不是真实发生的值． 用最小二乘法求回归方程，关键在于正确求出系数a ^，b ^，由于a ^，b ^的计算量较大，计算应仔细小心． 【例4】【湖北省黄冈市2020届模拟】某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该基地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量（千克）与使用某种液体肥料的质量（千克）之间的关系如图所示.（1）依据上图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0.01）.（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量限制，并有如下关系：周光照量（单位：小时）光照控制仪运行台数 3 2 1若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式，参考数据：，.【分析】(1)根据公式得到相关系数的值，通过比较得到判断；（2）分别求出安装一台，两台，三台时的利润均值，得到结果.【解析】（1）由已知数据可得，.∵，，.∴相关系数.∵，∴可用线性回归模型拟合与的关系.（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪.①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元.②安装2台光照控制仪的情形：当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润（元），，当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润（元），，故的分布列为2000 60000.2 0.8∴（元）.③安装3台光照控制仪的情形：当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润（元），，当时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润（元），，当时，3台光照控制仪都运行，周总利润（元），，故的分布列为1000 5000 90000.2 0.7 0.1∴（元）.综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪.【点评】判断两个变量是否具有相关关系的常用方法：(1)利用散点图进行判断；(2)利用相关系数r进行判断．【小试牛刀】【江西省临川第一中学等九校2020届高三3月联考】某商场营销人员进行某商品市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：反馈点数 1 2 3 4 5销量（百件）/天0.5 0.6 1 1.4 1.7（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量（千件）与返还点数之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：返还点数预期值区间（百分比）频数20 60 60 30 20 10（i）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；（ii）将对返点点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.参考公式及数据：①，；②.【解析】（1）易知，，，，.则关于的线性回归方程为，当时，，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.（2）（i）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值的平均值，及中位数的估计值分别为：，中位数的估计值为.（ii）抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为，“欲望膨胀型”消费者人数为.，，，故随机变量的分布列为1 2 3.(五) 独立性检验独立性检验的一般步骤(1)假设两个分类变量x与y没有关系；(2)计算出K2的观测值，其中K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）；(3)把K2的值与临界值比较，作出合理的判断．【例5】【福建省莆田市2020届高三下学期教学质量检测】为推进“千村百镇计划”，年月某新能源公司开展“电动莆田绿色出行”活动，首批投放台型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月。
2020届高三物理140分突破精品复习资料43高一物理同步练习
2020届高三物理140分突破精品复习资料43高一物理同步练习1．以下讲法中哪些是错误的：〔 〕A ．运动着的物体，不能被选来当作参照物；B ．转动的物体其上各点的运动情形不同，故转动的物体一定不能当作质点；C ．尺寸庞大的物体，一定不能当作质点；D ．当物体沿直线朝一个方向运动时，位移确实是路程。
2．在研究以下哪些咨询题时，可把物体看成质点。
〔 〕A ．求行驶着的汽车轮缘上某一点对地速度 B.竞赛时，运动员分析乒乓球的旋转C. 求在平直公路上行驶的自行车的速度D.只有体积专门小的物体才能看成质点3．如下图，一个质点沿两个半径为R 的半圆弧由A 运动到C ，规定向右方向为正方向，在此过程中，它的位移大小和路程分不为〔 〕Ａ.4R ，2πR Ｂ.4R ，-2πRＣ.-4 R ，2πR Ｄ.-4R ，-2πR4.关于位移和路程，以下讲法不正确的选项是( ) A.质点的位移是矢量，路程是标量B.质点通过的路程不等，但位移可能相同C.质点通过的路程不为零，但位移可能是零D.质点做直线运动且运动方向始终不变时，那么它通过的路程确实是位移5．甲、乙两辆车在平直公路上并排行驶，甲车内的人看到窗外树木向东移动，乙车内的人发觉甲车不动，假设以地面为参考系，那么〔 〕A. 甲向西运动，乙不动B. 乙向西运动，甲不动C. 甲向西运动，乙向东运动D. 甲、乙同时向西运动，而且快慢程度相同6.甲、乙、丙三人各乘一架直升飞机，甲看到楼房匀速上升，乙看到甲匀速上升，丙看到乙匀速下降，甲看到丙匀速上升。
那么，甲、乙、丙相关于地面的运动情形可能是( )A.甲、乙匀速下降，且υ乙＞υ甲，丙停在空中B.甲、乙匀速下降，且υ乙＞υ甲，丙匀速上升C.甲、乙匀速下降，且υ乙＞υ甲，丙匀速下降，且υ丙＜υ甲D.甲、乙匀速下降，且υ乙＜υ甲，丙匀速下降，且υ丙＞υ甲7．某人在上海某地向东行了4Km ，再向北行了4Km ，又向南行了1Km ，试运算此人的：〔1〕路程有多少Km?〔2〕位移的大小与方向？10.某人沿半径为R 的圆形跑道从A 点开始逆时针跑了3 点，那么该过程中，他的位移大小和方向如何？他经历的路程是多少？x高一物理练习运动学〔2〕1、以下关于匀速直线运动的表达中，正确的选项是〔〕A．做匀速直线运动的物体位移和路程相同B．做匀速直线运动的物体位移大小和路程相等C．相等的时刻内路程相等的运动一定是匀速直线运动D．匀速直线运动的位移---时刻图象一定是过原点的直线2、右上图是甲、乙两物体在同一直线上运动的s—t图象，以甲的动身点为原点，动身时刻为计时起点，那么〔〕A．甲、乙同时动身 B．乙比甲先动身C．甲动身时，乙在甲前边S0处 D．甲在途中停了一段时刻，而乙没有停止3、以下关于轨迹的讲法，正确的选项是〔〕A．信号弹在夜空划出的痕迹确实是信号弹运动的轨迹B．画出信号弹的x—t图线，此图线确实是信号弹的运动的轨迹C．运动物体的x—t图线是曲线，那么运动物体的轨迹也是曲线D．匀速直线运动的位移—时刻图象确实是运动物体的轨迹4、如下图是A、B两物体的s—t图象，试判定：〔1〕2 s末A、B的位移各是多少？〔2〕A、B的速度大小各是多少？〔3〕3 s内A、B运动的位移是多少？5、如下图的图象表示的是______图象.AB段表示物体处于______状态.BC段表示物体做______运动，其运动方向与选定的正方向______.CD段表示物体做______运动，其运动方向与选定的正方向______.高一物理练习运动学〔3〕1.试判定以下几个速度中哪个是平均速度〔〕A.子弹出枪口的速度800 m/sB.汽车从甲站行驶到乙站的速度40 km/hC.小球第3 s末的速度6 m/sD.汽车通过站牌时的速度72 km/h2.一辆汽车从甲地开往乙地的过程中，前一半时刻内的平均速度是30 km/h，后一半时刻的平均速度是60 km/h.那么在全程内这辆汽车的平均速度是〔〕A.35 km/hB.40 km/hC.45 km/hD.50 km/h3.一个学生在百米赛跑中，测得他在5s末的速度为8.8m/s，12.5s末到达终点的速度为10.2 m/s，那么他在全程内的平均速度是〔〕A.8 m/sB.9.5 m/sC.10 m/sD.10.2 m/s4.物体通过两个连续相等位移的平均速度分不为v1=10 m/s,v2=15 m/s，那么在整个运动过程中的平均速度是〔〕A.13.75 m/sB.12.5 m/sC.12 m/sD.11.75 m/s5.一辆汽车以速度v1匀速行驶全程的2/3的路程，接着以v2=20 km/h走完剩下的路程，假设它全路程的平均速度v=28 km/h,那么v1应为〔〕A.24 km/hB.34 km/hC.35 km/hD.28 km/h6.在匀速直线运动中，一个物体的平均速度是10 m/s，他在各段的平均速度大小是______ m/s，瞬时速度是______ m/s.7..一辆汽车在一条直线上行驶，第1 s内通过8 m，第2 s内通过20 m，第3 s内通过30 m，第4 s内通过10 m，那么此汽车最初2 s内的平均速度是______ m/s，中间2 s内的平均速度是______ m/s，全部时刻内的平均速度是______ m/s.8.一物体做单向运动，前一半时刻以速度v1匀速运动，后一半时刻以速度v2匀速运动，那么物体的平均速度为______ m/s，另一物体也做匀速直线运动，前一半路程以速度v1匀速运动，后一半路程以速度v2匀速运动，那么物体在全程的平均速度为______ m/s.9.汽车在平直公路上行驶，在第1 min内的平均速度为5 m/s，第2、3 min内的平均速度为6 m/s，第4 min内的平均速度为10 m/s，第5 min内的平均速度为13 m/s，那么汽车在这5 min内的平均速度是______m/s.高一物理练习运动学〔4〕1..某物体的v—t图线如下图，那么该物体〔〕A.做往复运动B.做匀变速直线运动C.朝某一方向做直线运动D.以上讲法均不对2.关于图象，以下讲法正确的选项是〔〕A.匀速直线运动的速度—时刻图线是一条与时刻轴平行的直线B.匀速直线运动的位移—时刻图线是一条与时刻轴平行的直线C.匀变速直线运动的速度—时刻图线是一条与时刻轴平行的直线D.非匀变速直线运动的速度—时刻图线是一条倾斜的直线3.图为一物体做匀变速直线运动的v-t图线，依照图线做出的以下判定中，正确的选项是〔〕A.物体始终沿正方向运动B.物体先沿负方向运动，在t=2 s后开始沿正方向运动C.在t=2 s前物体位于动身点负方向上，在t=2 s后位于动身点正方向上D.在t=2 s时，物体距动身点最远4.以下讲法不正确的选项是A.做匀速直线运动的物体，相等时刻内的位移相等B.做匀速直线运动的物体，任一时刻的瞬时速度相等C.任一时刻内的平均速度都相等的运动是匀速直线运动D.假如物体运动的路程跟所需时刻的比是一个恒量，那么那个物体的运动是匀速直线运动5如下图，A和B分不是甲乙两物体的s—t图象，那么甲物体的速度v1=______ m/s，乙物体的速度v2=______ m/s 。
高考数学140分难点突破训练――圆锥曲线(含详解)概要
高考数学140分难点突破训练――圆锥曲线（含详解）概要1.已知椭圆C的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线。
w.w.w.k..5.u.c.o.m（1）求椭圆C的方程；（2）设A、B为椭圆上的两个动点，为D，求点D的轨迹方程．的焦点，离心率为，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足2.设直线与双曲线相交于A,B两点，O为坐标原点.（I）为何值时，以AB为直径的圆过原点.（II）是否存在实数，使在，说明理由.且，若存在，求的值，若不存3.（理）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．（1）求双曲线C的离心率e的值；（2）若双曲线C被直线y＝a某＋b截得的弦长为求双曲线c的方程．（文）在△ABC中，A点的坐标为（3，0），BC边长为2，且BC在y 轴上的区间[-3，3]上滑动．（1）求△ABC外心的轨迹方程；（2）设直线l∶y＝3某＋b与（1）的轨迹交于E，F两点，原点到直线l的距离为d，求的最大值．并求出此时b的值．4.已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且否共圆？为什么？于A、B两点，且，那么A、B、C、D四点是5.设（1）求（2）令（的解析式为常数），若，且只有唯一实数根求数列的通项公式。
6.已知点C（-3，0），点P在y轴上，点Q在某轴的正半轴上，点M 在直线PQ上，且满足（1）当点P在y轴上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）是否存在一个点H，使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O。
若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。
7.设为直角坐标平面内某,y轴正方向上的单位向量，若向量.(1求点M（某,y）的轨迹C的方程；(2过点(0,3作直线与曲线C的交于A、B两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.8.已知倾斜角为（1）求点的坐标；的直线过点和点，点在第一象限，。