高考数学总复习专题七解析几何 7.3 解析几何(压轴题)精选刷题练理

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高考数学《解析几何》专项训练及答案解析

高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A ．B ．±C ．2±D ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =uu u r uu u r，则直线AB 的斜率为（） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．163．已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（）AB ．C 1D 2+4．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（）A ．78B ．1C ．76D6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（）A ．2-BC ．2D7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =8．已知离心率为2的椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ，则2F 到直线1F A ，y 轴的距离之比为（）A ．5B ．35C ．2D二、多选题9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,110．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（） A ．4p = B ．DF FA =uuu r uu rC ．2BD BF = D ．4BF =三、填空题11．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．12．已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点，过A 、B 分别作x 轴的垂线，且与x轴分别交于C 、D 两点，若CD =m =_____．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，()2,3A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________.14．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题：（1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.16．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．参考答案1．D 【解析】【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值．【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题． 2．B 【解析】【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时，设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3．D 【解析】【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题. 4．D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确． 5．C 【解析】【分析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长．【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 3cos 7BNB '∴∠=-，tan 43BNB '∠=又()23,0M ，AB ∴的方程为2343y x =-，取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =．联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=．故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 6．D 【解析】【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-，设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再表示出MD ，利用5sin 7MFA ∠=，得到0x 和p 之间的关系，将M 点坐标，代入到抛物线中，从而解出p 的值，得到答案.【详解】抛物线C ：22(0)y px p =>，其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，所以02p MF x =+AB所在直线2p x =，设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-，因为5sin 7MFA ∠=，所以57 MD MF=，即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程，得()26623p p=⨯，0p>解得6p=，所以抛物线方程为212y x=故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8．A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设2AF x=，用x表示112,AF F F,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。

高中数学解析几何复习题集附答案

高中数学解析几何复习题集附答案高中数学解析几何复习题集附答案一、直线的方程在解析几何中，我们经常需要求解直线的方程。

直线的一般方程可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。

下面我们通过一些例题来复习直线的方程的求解方法。

例题1：已知直线L1经过点（2，3）和（4，1），求直线L1的方程。

解析：首先我们可以求出直线L1的斜率k。

直线L1的斜率可以通过两个已知点的坐标计算出来：k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - 3) / (4 - 2) = -1接下来，我们可以使用点斜式的形式来表示直线L1的方程：y - y1 = k(x - x1)将已知点（2，3）代入方程中，得到：y - 3 = -1(x - 2)化简得到直线L1的方程为：y = -x + 5因此，直线L1的方程为y = -x + 5。

例题2：已知直线L2过点（3，-2）且与直线L1: 2x - 3y + 4 = 0 平行，求直线L2的方程。

解析：由于直线L2与直线L1平行，所以它们具有相同的斜率。

直线L1的斜率为：k = 2 / (-3) = -2/3因此，直线L2的斜率也为-2/3。

再结合已知直线L2过点（3，-2），我们可以使用点斜式来表示直线L2的方程：y - y1 = k(x - x1)将已知点（3，-2）代入方程中，得到：y - (-2) = (-2/3)(x - 3)化简得到直线L2的方程为：3y + 2x + 10 = 0因此，直线L2的方程为3y + 2x + 10 = 0。

二、直线和平面的交点在解析几何中，我们经常需要求解直线和平面的交点。

我们可以通过直线的方程和平面的方程来求解交点的坐标。

下面我们通过一些例题来复习直线和平面交点的求解方法。

例题3：已知直线L3的方程为2x - y + 3z - 7 = 0，平面Q的方程为x + y - z + 4 = 0，求直线L3与平面Q的交点坐标。

高考解析几何压轴题精选(含答案)

1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________。

（3分）2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.（6分）3已知以原点O 为中心，)F 为右焦点的双曲线C 的离心率2e =。

（I ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（II ）如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y （其中2x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ∆的面积。

（8分）4.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·A B C D A B C Dλ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分）5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。

高考数学解析几何练习题及答案

高考数学解析几何练习题及答案解析几何是高考数学中的一个重要知识点，对于考生来说具有一定的难度。

为了帮助广大考生更好地复习和应对高考数学解析几何部分，本文提供一些常见的解析几何练习题及其答案。

考生可以借此进行自测和巩固知识点，提升解析几何的解题能力。

题目一：已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(-3,1)，B(4,2)，C(1,-3)，求三角形ABC的周长和面积。

解析和求解：首先，我们可以利用两点之间的距离公式计算出三角形ABC的三边长度。

设点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2,y2)，则两点之间的距离公式为d = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]。

根据该公式，我们可以计算出：AB的距离：dAB = √[(4-(-3))^2 + (2-1)^2] = √[7^2 + 1^2] = √50BC的距离：dBC = √[(1-4)^2 + (-3-2)^2] = √[(-3)^2 + (-5)^2] = √34AC的距离：dAC = √[(-3-1)^2 + (1-(-3))^2] = √[(-4)^2 + 4^2] = √32所以，三角形ABC的周长等于AB+BC+AC，即周长=√50+√34+√32。

接下来，我们可以利用海伦公式来计算三角形ABC的面积。

海伦公式可以表示为：面积=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s为三角形的半周长，即s=(a+b+c)/2。

由此，我们可以计算出半周长s=（√50+√34+√32）/2，将其代入海伦公式，即可得到三角形ABC的面积。

题目二：设直线l1过点A(-1,2)且与直线l2：2x-y-3=0平行，求直线l1的方程。

解析和求解：首先，根据题目提示，直线l1与l2平行，可以推知l1与l2的斜率相同。

斜率可以通过直线的一般方程式y=ax+b中的a来表示。

要求得直线l1的方程，我们需要先求出直线l2的斜率k。

直线l2的一般方程式为2x-y-3=0，将其转换为斜截式方程式y=2x-3，可以看出斜率k=2。

(通用版)高考数学复习专题七解析几何7.3解析几何(压轴题)练习理

（通用版）高考数学复习专题七解析几何7.3解析几何（压轴题）练习理7.3 解析几何(压轴题)命题角度1曲线与轨迹问题高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅱ·20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.(2016全国Ⅲ·20)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B 两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.(1)证明由题知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1==-b=k2.所以AR∥FQ.(2)解设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=.由题设可得|b-a|,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以所求轨迹方程为y2=x-1.典题演练提能·刷高分1.(2019西南名校联盟重庆第八中学高三5月月考六)设抛物线C1的方程为x2=4y,点M(x0,y0)(x0≠0)在抛物线C2:x2=-y上,过M作抛物线C1的切线,切点分别为A,B,圆N是以线段AB为直径的圆.(1)若点M的坐标为(2,-4),求此时圆N的半径长;(2)当M在x2=-y上运动时,求圆心N的轨迹方程.解(1)设N(x,y),A x1,,B x2,,x1≠x2,切线MA,MB的方程分别为y=(x-x1)+,y=(x-x2)+,得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0==2,y0==-4.又k AB==1,|AB|==4,∴r=|AB|=2.(2)∵N为线段AB的中点,∴x=,y=.点M在C2上,即=-y0.由(1)得2=-,则2=-.∴x2=-,x≠0,即x2=y(x≠0).∴圆心N的轨迹方程为x2=y(x≠0).2.已知A(-2,0),B(2,0),直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,且k1k2=-.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)设F1(-1,0),F2(1,0),连接PF1并延长,与轨迹C交于另一点Q,点R是PF2中点,O是坐标原点,记△QF1O与△PF1R的面积之和为S,求S的最大值.解(1)设P(x,y),∵A(-2,0),B(2,0),∴k1=,k2=,又k1k2=-,∴=-,∴=1(x≠±2),∴轨迹C的方程为=1(x≠±2).(2)由O,R分别为F1F2,PF2的中点,故OR∥PF1,故△PF1R与△PF1O同底等高,故,S==S△PQO,当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时S△PQO=×1×;当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0;联立解得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,Δ=144(k2+1)>0,故|PQ|=|x1-x2|=,点O到直线PQ的距离d=,S=|PQ|d=6,令u=3+4k2∈(3,+∞),故S=6,故S的最大值为.3.已知圆C:(x+1)2+y2=8,过D(1,0)且与圆C相切的动圆圆心为P.(1)求点P的轨迹E的方程;(2)设过点C的直线l1交曲线E于Q,S两点,过点D的直线l2交曲线E于R,T两点,且l1⊥l2,垂足为W(Q,R,S,T为不同的四个点).①设W(x0,y0),证明:<1;②求四边形QRST的面积的最小值.(1)解设动圆半径为r,由于D在圆内,圆P与圆C内切,则|PC|=2-r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2>|CD|=2,由椭圆定义可知,点P的轨迹E是椭圆,a=,c=1,b==1,E的方程为+y2=1.(2)①证明由已知条件可知,垂足W在以CD为直径的圆周上,则有=1,又因Q,R,S,T为不同的四个点,<1.②解若l1或l2的斜率不存在,四边形QRST的面积为2.若两条直线的斜率都存在,设l1的斜率为k,则l1的方程为y=k(x+1),解方程组得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,则|QS|=2,同理得|RT|=2,∴S QSRT=|QS|·|RT|=,当且仅当2k2+1=k2+2,即k=±1时等号成立.综上所述,当k=±1时,四边形QRST的面积取得最小值.4.设点A为圆C:x2+y2=4上的动点,点A在x轴上的投影为Q,动点M满足2,动点M的轨迹为E.(1)求E的方程;(2)设E与y轴正半轴的交点为B,过点B的直线l的斜率为k(k≠0),l与E交于另一点P.若以点B 为圆心,以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点,求k的取值范围.解(1)设点M(x,y),A(x1,y1),则Q(x1,0),因为2,所以2(x1-x,-y)=(0,-y1),所以解得由于点A在圆C:x2+y2=4上,所以x2+4y2=4,所以点M的轨迹E的方程为+y2=1.(2)由(1)知,E的方程为+y2=1,因为直线l:y=kx+1(k≠0).由得(1+4k2)x2+8kx=0.设B(x1,y1),P(x2,y2),因此x1=0,x2=-,|BP|=|x1-x2|=,则点P的轨迹方程为x2+(y-1)2=,。

高考数学-解析几何-专题练习及答案解析版

高考数学解析几何专题练习解析版82页1．已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>, 过左焦点F 1的直线交双曲线的右支于点P, 且y 轴平分线段F 1P, 则双曲线的离心率是( ) A ． 3B ．32+C ． 31+D ． 322．一个顶点的坐标()2,0, 焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 141322=+y x3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A, B 两点, 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为, 则m 6+ m 4的值为（） A ．1B ． 2C ．3D ．44．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点, 则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0, π/2), Q （-2, π）, 则有 ( )（Ａ）P 在曲线C 上, Q 不在曲线C 上（Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上（Ｃ）P 不在曲线C 上, Q 在曲线C 上（Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（） A ．)65,2(π B ．)6,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π7．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数), 则曲线是（） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（） A ．54 B ．45C ．254 D ．4259．圆06422=+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（）A.)3,2(-、13B.)3,2(-、13C.)3,2(--、13D.)3,2(-、1310．椭圆12222=+by x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N, 若212F F MN ≤, 则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )A.1222=+y x B. 13222=+y x C.12222=+y x D.13222=+y x 11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线, 交双曲线于A, B 两点, 设双曲线的左顶点M, 若MAB ∆是直角三角形, 则此双曲线的离心率e 的值为（）A ．32B ．2C ．2D ．312．已知)0(12222>>=+b a b y a x , N M ,是椭圆上关于原点对称的两点, P 是椭圆上任意一点且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k , 021≠k k , 则21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为( ). (A)22 (B) 42 (C) 23 (D)4313．设P 为双曲线11222=-y x 上的一点, F 1、F 2是该双曲线的两个焦点, 若2:3:21=PF PF , 则△PF 1F 2的面积为（）A ．36B ．12C ．123D ．2414．如果过点()m P ,2-和()4,m Q 的直线的斜率等于1,那么m 的值为( ) A ．4B ．1C ．1或3D ．1或415．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =u u u u r ,且0PM AM ⋅=u u u u r u u u u r则||PM u u u u r 的最小值是（）A ．2B ．3C ．2D ．3 16．直线l 与抛物线交于A,B 两点;线段AB 中点为, 则直线l 的方程为A 、B 、、C 、D 、17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的离心率为32, 过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =u u u r u u u r, 则k =（）（A ）1 （B （C （D ）2 18．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离 19．已知点P 在定圆O 的圆内或圆周上,动圆C 过点P 与定圆O 相切,则动圆C 的圆心轨迹可能是( )(A)圆或椭圆或双曲线 (B)两条射线或圆或抛物线 (C)两条射线或圆或椭圆 (D)椭圆或双曲线或抛物线20．若直线l ：y ＝kx 2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限, 则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[6π, 3π) B ．(6π, 2π) C ．(3π, 2π) D ．[6π, 2π] 21．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点, 若线段AB 的中点为(1,1)M -, 则直线l 的斜率为（）A ．23B ．32 C ．32- D ． 23- 22．已知点()()0,0,1,1O A -, 若F 为双曲线221x y -=的右焦点, P 是该双曲线上且在第一象限的动点, 则OA FP uu r uu r⋅的取值范围为（）A ．)1,1 B ．C ．(D ．)+∞23．若b a ,满足12=+b a , 则直线03=++b y ax 过定点（）.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,61 B .⎪⎭⎫ ⎝⎛-61,21 C .⎪⎭⎫ ⎝⎛61,21 .D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,6124．双曲线1922=-y x 的实轴长为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 125．已知F 1 、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点, P 为双曲线上的一点, 若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列, 则双曲线的离心率是（）A ．2B ． 3C ． 4D ． 526．过A(1, 1)、B(0, -1)两点的直线方程是( )A.B.C.D.y=x27．抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点横坐标是（）A ．1B ．2 Ｃ．3 Ｄ．428．已知圆22:260C x y x y +-+=, 则圆心P 及半径r 分别为（） A 、圆心()1,3P , 半径10r =； B 、圆心()1,3P , 半径10r =C 、圆心()1,3P -, 半径10r =；D 、圆心()1,3P -, 半径10r =29．F 1、F 2是双曲线C ：x 2－ 22y b＝１的两个焦点, P 是C 上一点, 且△F 1PF 2是等腰直角三角形, 则双曲线C 的离心率为 A ．12 B ．22C ．32 D ．3230．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（）Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x31．如图, 轴截面为边长为34等边三角形的圆锥, 过底面圆周上任一点作一平面α, 且α与底面所成二面角为6π, 已知α与圆锥侧面交线的曲线为椭圆, 则此椭圆的离心率为（）（A ）43 （B ）23 （C ）33 （D ） 22 32．已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线C ：28y x =相交于A.B 两点, F 为C 的焦点, 若2FA FB=, 则k =（）A. 13B. 2C. 23D. 2233．已知椭圆23)0(1:2222的离心率为>>=+b a by a x C , 过右焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与B A C ,相交于两点, 若3=, 则=k （） A. 1 B ．2 C ． 3 D ．234．已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l , 过(1,0)M 且斜率为3的直线与l 相交于点A , 与C 的一个交点为B ．若AM MB =u u u u r u u u r, 则P 的值为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）435．若动圆与圆(x -2)2+y 2=1外切, 又与直线x +1=0相切, 则动圆圆心的轨迹方程是 ( ) A.y 2=8x B.y 2=-8x C.y 2=4x D.y 2=-4x36．若R k ∈, 则方程12322=+++k y k x 表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是（）A ．23-<<-kB ．3-<kC ．3-<k 或2->kD ．2->k 37．点（-1, 2）关于直线y =x -1的对称点的坐标是（A ）（3, 2）（B ）（-3, -2）（C ）（-3, 2）（D ）（3, -2） 38．设圆422=+y x 的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点B A 、, 则AB 的最小值为( )A 、4B 、24C 、6D 、839．圆220x y ax by +++=与直线220(0)ax by a b +=+≠的位置关系是 ( ) A ．直线与圆相交但不过圆心. B ．相切. C ．直线与圆相交且过圆心. D ．相离 40．椭圆的长轴为A1A2, B 为短轴的一个端点, 若∠A1BA2=120°, 则椭圆的离心率为A ．36B ．21C ．33D ．2341．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称, 则圆C 的方程为（） A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝142．已知直线l 经过坐标原点, 且与圆22430x y x +-+=相切, 切点在第四象限, 则直线l 的方程为( )A.3y x = B ．3y x =- C ．3y x =D ．3y x =- 43．当曲线214y x =+-与直线240kx y k --+=有两个相异的交点时, 实数k 的取值范围是（） A ．5(0,)12 B ．13(,]34 C ．53(,]124 D ．5(,)12+∞ 44．已知F 1、F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点且212||8||PF a PF =, 则双曲线离心率的取值范围是（） A. (1,2]B. [2 +∞)C. (1,3]D. [3,+∞)45．已知P 是圆22(3)(3)1x y -+-=上或圆内的任意一点, O 为坐标原点,1(,0)2OA =u u u r , 则OA OP ⋅u u u r u u u r 的最小值为（）A ．12B ．32C ．1D ．246．已知0AB >且0BC <, 则直线0Ax By C ++=一定不经过( )（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限47．[2012·课标全国卷]等轴双曲线C 的中心在原点, 焦点在x 轴上, C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A, B 两点, |AB|＝43, 则C 的实轴长为( )A.2B.22C.4D.8 48．双曲线具有光学性质：“从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后, 反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点。

2020高考理科数学冲刺专题七解析几何

专题七解析几何重难小题保分练1．(2019陕西宝鸡二模)设D 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点,A(0,－2),B(0,2),延长AD至点P,使得|PD|＝|BD|,则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝20B ．x 2＋(y ＋2)2＝20C ．x 2＋(y －2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝51．B 解析：由椭圆方程x 2＋y 25＝1,得a 2＝5,b 2＝1,∴c ＝a 2－b 2＝2,则A (0,－2),B (0,2)为椭圆两焦点,∴|DA |＋|DB |＝2a ＝2 5.∵|PD |＝|BD |,∴|P A |＝|PD |＋|DA |＝|BD |＋|DA |＝2 5.∴点P 的轨迹是以A 为圆心,以25为半径的圆,其方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.故选B.2．(2019江西九江一模)若直线l ：x －y －1＝0与抛物线y 2＝4x 相交于A,B 两点,则|AB|＝( )A ．4B ．6C ．7D ．82．D 解析：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0,则x 1＋x 2＝6.又直线l ：x －y －1＝0经过y 2＝4x 的焦点(1,0),则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.故选D.3．(2019广东肇庆三模)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1的右顶点为A,右焦点为F,O 是坐标原点,过A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的渐近线于M,N 两点．若四边形OMFN 是菱形,则C 的离心率为( )A ．2B . 2C. 3 D .123．A 解析：由四边形OMFN 是菱形,可得c ＝2a ,所以e ＝2.故选A.4.(2019陕西榆林三模)已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)交双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的渐近线于A,B 两点(异于坐标原点O)．若双曲线的离心率为5,△AOB 的面积为32,则抛物线的焦点为( )A ．(2,0)B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)4．B 解析：由双曲线的离心率为5,可得ca ＝5,可得b ＝2a ,所以渐近线方程为2x ±y＝0.由抛物线y 2＝2px 与2x ±y ＝0可得x ＝p 2,y ＝±p .因为△AOB 的面积为32,所以12×p2×2p＝32,解得p ＝8,所以抛物线的焦点坐标为(4,0)．故选B.5．(2019广东广州仲元中学等七校联合体冲刺)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC 的两端点为焦点的曲线,且都过B 点,它们的离心率分别为e 1,e 2,则1e 21＋1e 22＝( )A .32 B ．2 C .52D ．3 5．B 解析：设A (－c ,0),C (c ,0),B 为第一象限内的点,设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0),双曲线的方程为x 2m 2－y2n2＝1(m ,n ＞0),|AB |＝s ,|CB |＝t ,可得s ＋t ＝2a ,s －t ＝2m ,解得s ＝a＋m ,t ＝a －m .在直角三角形ABC 中,可得4c 2＝s 2＋t 2＝2a 2＋2m 2,则a 2c 2＋m 2c 2＝2,即1e 21＋1e 22＝2.故选B.6．(2019湖北黄冈模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点为F,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线上的两个动点,若x 1＋x 2＋4＝233|AB|,则∠AFB 的最大值为( )A .π3B .3π4C .5π6D .2π36．D 解析：因为x 1＋x 2＋4＝233|AB |,|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4,所以|AF |＋|BF |＝233|AB |.在△AFB 中,由余弦定理得cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝（|AF |＋|BF |）2－2|AF |·|BF |－|AB |22|AF |·|BF |＝43|AB |2－|AB |22|AF |·|BF |－1＝13|AB |22|AF |·|BF |－1.又由|AF |＋|BF |＝233|AB |≥2|AF |·|BF |,得|AF |·|BF |≤13|AB |2.所以cos ∠AFB ≥|AF |·|BF |2|AF |·|BF |－1＝－12,∴∠AFB 的最大值为2π3.故选D.7．平面直角坐标系xOy 中,已知MN 是⊙C：(x －1)2＋(y －2)2＝2的一条弦,且CM⊥CN ,P 是MN 的中点．当弦MN 在圆C 上运动时,直线l ：x －3y －5＝0上存在两点A,B,使得∠APB≥π2恒成立,则线段AB 长度的最小值是________．7.210＋2 解析：因为P 为MN 的中点,所以CP ⊥MN .又因为CM ⊥CN ,所以三角形CMN 为等腰直角三角形,所以CP ＝1,即点P 在以C 为圆心,以1为半径的圆上,点P 所在圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1.要使得∠APB ≥π2恒成立,则点P 所在的圆在以AB 为直径的圆的内部,而AB 在直线l ：x －3y －5＝0上,C 到直线l ：x －3y －5＝0的距离d ＝|1－3×2－5|12＋32＝10.所以以AB 为直径的圆的半径的最小值为r ＝10＋1,所以AB 的最小值为2r ＝210＋2.8．(2019山西运城一模)已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 1且垂于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A,B 两点,AF 2,BF 2分别交y 轴于P,Q 两点．若△PQF 2的周长为8,则ab 取得最大值时,该双曲线的离心率是________．8.233解析：由△PQF 2的周长为8,PQ 为三角形ABF 2的中位线,可得△ABF 2的周长为16, |AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝16.∵|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4a ,|AB |＝2b 2a ,∴4b 2a＝16－4a ,∴b 2＝a (4－a )．令y ＝a 2b 2＝a 3(4－a ),则y ′＝4a 2(3－a ),当0＜a ＜3时,y ′＞0；当a ＞3时,y ′＜0,∴a＝3时,y ＝a 2b 2取得最大值,此时ab 取得最大值,且b ＝3,∴c ＝9＋3＝23,∴e ＝c a ＝233.9．(2019安徽合肥三模)已知直线l ：x －3y －a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y ＋3)2＝4交于点M,N,点P 在圆C 上,且∠MPN＝π3,则实数a 的值等于( )A ．2或10B .4或8C ．6±2 2D ．6±2 39．B 解析：由∠MPN ＝π3可得∠MCN ＝2∠MPN ＝2π3.在△MCN 中,CM ＝CN ＝2,∠CMN ＝∠CNM ＝π6,可得点C (3,－3)到直线MN ,即直线l ：x －3y －a ＝0的距离为2sinπ6＝1.所以|3－3×（－3）－a |1＋3＝1,解得a ＝4或8.故选B.10．(2019广西桂林、崇左一模)如图,F 是抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0)的焦点,直线l 过点F 且与抛物线及其准线交于A,B,C 三点．若|BC|＝3|BF|,|AB|＝9,则抛物线C 的标准方程是( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝16x10．C 解析：设|BF |＝t (t ≠0),则|AF |＝9－t ,|BC |＝3t .设准线与x 轴的交点为P ,|FP |＝p ,A ,B 在准线上的射影分别为D ,E .由抛物线的定义可得|BE |＝|BF |＝t ,|AD |＝|AF |＝9－t .在△CPF 中,|BE ||PF | ＝|BC ||CF |,即t p ＝34；在△ACD 中,|BE ||AD |＝|BC ||AC |,即t 9－t ＝3t9＋3t,解得t ＝3,可得p ＝4,则抛物线的方程为y 2＝8x .故选C.11．( 2019四川凉山州二诊)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F,过点F 分别作两条直线l 1,l 2,直线l 1与抛物线C 交于A,B 两点,直线l 2与抛物线C 交于D,E 两点．若l 1与l 2的斜率的平方和为1,则|AB|＋|DE|的最小值为( )A ．16B ．20C ．24D ．3211．C 解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0),设直线l 1：y ＝k 1(x －1),直线l 2：y ＝k 2(x－1)．由题意可知,k 21＋k 22＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x －1），y 2＝4x ，整理得k 21x 2－(2k 21＋4)x ＋k 21＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝2k 21＋4k 21＝2＋4k 21.设D (x 3,y 3),E (x 4,y 4),同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 22.由抛物线的性质可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k 21,|DE |＝x 3＋x 4＋p ＝4＋4k 22,所以|AB |＋|DE |＝8＋4k 21＋4k 22＝8＋4（k 21＋k 22）k 21k 22＝8＋4k 21k 22≥8＋4（k 21＋k 222）2＝24,当且仅当k 21＝k 22＝12时,上式“＝”成立．所以|AB |＋|DE |的最小值为24.故选C.12．(2019四川华文大教育联盟二模)如图,已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0),F 2(c,0),P 是椭圆C 上一点,O 为坐标原点．若∠F 1PF 2＝60°,且|PO|＝223a,则椭圆C 的离心率是( )A .22B .32C .63 D .2312．C 解析：由题意可得|PF 1|2＝c 2＋(223a )2－2c ×223a cos ∠POF 1①,|PF 2|2＝c 2＋(223a )2－2c ×223a cos ∠POF 2②,4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°③.①＋②代入③可得|PF 1|·|PF 2|＝169a 2－2c 2.由|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2,整理可得2c 2＋169a 2＋2(169a 2－2c 2)＝4a 2,可得c 2＝23a 2,解得c 2a 2＝23.又由e ＝c a ∈(0,1),可得e ＝63.故选C.13．(2019安徽马鞍山二模)已知M,N 为椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)上关于长轴对称的两点,A,B 分别为椭圆的左、右顶点,设k 1,k 2分别为直线MA,NB 的斜率,则|k 1＋4k 2|的最小值为( )A ．2bB .3baD. 4b a D .5b a13.C 解析：设M (x 0,y 0),y 0＞0,则N (x 0,－y 0),y 2＝b 2（a 2－x 20）a 2.由A (－a ,0),B (a ,0),则k 1＝y 0x 0＋a ,k 2＝－y 0x 0－a ＝y 0a －x 0,∴|k 1＋4k 2|＝|y 0x 0＋a ＋4y 0a －x 0|≥|2y 0x 0＋a ·4y 0－x 0＋a|＝|4y 20a 2－x 20|＝|4×b a |＝4b a ,∴|k 1＋4k 2|的最小值为4ba .故选C.14．(2019陕西宝鸡三模)双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,渐近线分别为l 1,l 2,过点F 1且与l 1垂直的直线分别交l 1,l 2于P,Q 两点．若满足OF 1→＋OQ →＝2OP →,则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x14．C 解析：∵双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,∴F 1(－c ,0),F 2(c ,0),双曲线的两条渐近线方程为y ＝－b a x ,y ＝b ax .∵OF 1→＋OQ →＝2OP →,∴点P 是线段F 1Q 的中点,且PF 1⊥OP ,∴∠POF 1＝∠POQ ＝∠QOF 2＝x3.∴k OQ ＝ 3.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .故选C.15．(2019安徽黄山二模)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1,以原点O 为圆心,椭圆C 的短轴长为直径作圆O,以左顶点A 为圆心,椭圆C 的长轴长为直径作圆A,则圆O 与圆A 的公共弦长为________．15.152 解析：椭圆C ：x 24＋y 2＝1,以原点O 为圆心,椭圆C 的短轴长为直径作圆O ,则圆心O (0,0),半径为1,圆O 的方程为x 2＋y 2＝1；以左顶点A 为圆心,椭圆C 的长轴长为直径作圆A ,圆心A (－2,0),半径为2,圆A 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝4,所以两个圆的公共弦所在的直线方程为x ＝－14 ,公共弦长为21－（14）2＝152.16．(2019安徽巢湖一模)如图,P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一个动点,过点P 作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线,切点分别为A,B,则当四边形PACB 面积最大时,PA →·PB →的值为________．B 能力提升练16.569 解析：连接PC ,设∠APC ＝θ,由切线性质可得|P A |＝|PB |,四边形P ACB 的面积S＝12|P A |×1×2＝|P A |,当四边形P ACB 面积最大时,|P A |最大,|P A |＝|PC |2－1,结合椭圆性质可得当点P 在椭圆左顶点时,|PC |最大,此时|P A |＝|PC |2－1＝22,则sin θ＝13,P A →·PB →的值为|P A |2cos 2θ＝8×(1－19×2)＝569.压轴大题突破练(1)1．(2019山东济宁二模)已知拋物线y 2＝8x 的焦点为F,过点F 的直线与该抛物线交于A,B 两点,且16≤|AB|≤24,O 为坐标原点．记直线OA,OB 的斜率分别为k 1,k 2,则1k 1＋1k 2的取值范围是( )A ．[－2,－2]∪[2,2]B ．[－2,－1]∪[1,2]C ．[－2,－1]∪[1,2]D ．[－2,2]1．B 解析：由题意可知拋物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)．过点F 的直线与该抛物线交于A ,B 两点,则可设直线AB 的方程为x ＝my ＋2,A (y 218,y 1),B (y 228,y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝8x ，得y 2－8my －16＝0,则y 1＋y 2＝8m ,y 1y 2＝－16,所以1k 1＋1k 2＝y 18＋y 28＝m ,|AB |＝（1＋m 2）（y 1－y 2）2＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]＝8(1＋m 2)．又因为16≤|AB |≤24,即16≤8(1＋m 2)≤24,解得－2≤m ≤－1或1≤m ≤2,所以1k 1＋1k 2的取值范围是[－2,－1]∪[1,2]．故选B.2．(2019河北唐山三模)设双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a>0,b>0)的两条渐近线的夹角为α,且cos α＝13,则双曲线C 的离心率为( )A .52 B .62 C .72D ．2 2．B 解析：∵a >b >0,∴渐近线y ＝bax 的斜率小于1,又两条渐近线的夹角为α,cos α＝13,则cos 2α2＝23,sin 2α2＝13,tan 2α2＝12,即c 2－a 2a 2＝12,∴e 2＝32,∴e ＝62.故选B.3．(2019广东湛江二模)设椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F,经过原点O 的直线与椭圆C 相交于点A,B.若|AF|＝2,|BF|＝4,椭圆C 的离心率为73,则△AFB 的面积是( )A . 5B ．2 5C ．2 3D . 33．C 解析：设椭圆的左焦点为F ′,由椭圆的对称性可知|AF ′|＝|BF |＝4,∴|AF ′|＋|AF |＝2＋4＝6＝2a ,∴a ＝3.又e ＝73,∴c ＝7.由余弦定理可得cos ∠F AF ′＝16＋4－282×4×2＝－12,故sin ∠F AF ′＝32. ∴S △AFB ＝S △AFF ′＝12|AF ′||AF |sin ∠F AF ′＝12×4×2×32＝2 3.故选C.4．(2019四川成都双流中学一模)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点,F 为其焦点,C 为圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝1的圆心,则|MF|＋|MC|的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．54．B 解析：设抛物线x 2＝4y 的准线方程为l ：y ＝－1,C 为圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝1的圆心,所以C 的坐标为(－1,2)．过M 作l 的垂线,垂足为E .根据抛物线的定义可知|MF |＝|ME |,所以|MF |＋|MC |的最小值就转化为|ME |＋|MC |的最小值．由平面几何的知识可知,当C ,M ,E 在一条直线上时,CE ⊥l ,|ME |＋|MC |有最小值,最小值为CE ＝2－(－1)＝3.故选B.5．(2019河南郑州三模)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 29＝1有公共焦点,C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A,B 两点,若C 1恰好将线段AB 三等分,则( )A ．a 2＝878 B ．a 2＝12C ．b 2＝98D ．b 2＝15.C 解析：双曲线C 2：x 2－y 29＝1的焦点坐标为(±10 ,0),∴a 2－b 2＝10.取C 2的一条渐近线y ＝3x ,设与椭圆相交于点M ,N .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，解得x 2M ＝a 2b 29a 2＋b 2,y 2M ＝9a 2b 29a 2＋b 2,∴|MN |2＝4(x 2M ＋y 2M )＝40a 2b 29a 2＋b 2.∵C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ,B 两点,且C 1恰好将线段AB 三等分,∴40a 2b 29a 2＋b 2＝19×(2a )2,与a 2－b 2＝10联立,解得a 2＝898 ,b 2＝98.故选C.6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为53且经过点Q(2,253),其中F 1,F 2为椭圆的左、右焦点．(1)求椭圆的方程；(2)从椭圆的第一象限部分上一点P 向圆x 2＋y 2＝1引切线PA,PB,切点分别为A,B,△PF 1F 2的面积等于15,求直线AB 的方程．6．解：(1)由题意可得c a ＝53,4a 2＋209b2＝1,a 2＝b 2＋c 2.联立解得a ＝3,b ＝2,c ＝ 5.∴椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)由题意可知椭圆的焦点分别为F 1(－5,0),F 2(5,0)． ∵三角形PF 1F 2的面积等于15,点P 在第一象限, ∴12×25×y P ＝15,解得y P ＝ 3. ∴x 2P 9＋34＝1,解得x P ＝32.∴P (32,3) . 以OP 为直径的圆的方程为x (x －32)＋y (y －3)＝0,与x 2＋y 2＝1相减可得3x ＋23y －2＝0. ∴直线AB 的方程为3x ＋23y －2＝0.7．(2019辽宁省实验中学等五校高三期末)已知抛物线C 的方程y 2＝2px(p>0),焦点为F,已知点P 在C 上,且点P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1.(1)试求出抛物线C 的方程．(2)若抛物线C 上存在两动点M,N(M,N 在x 轴两侧),满足OM⊥ON(O 为坐标原点),过点F作直线交C 于A,B 两点．若AB∥MN ,线段MN 上是否存在定点E,使得|EM|·|EN||AB|＝4恒成立？若存在,请求出点E 的坐标；若不存在,请说明理由．7．解：(1)因为点P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1,由题意和抛物线定义得p2＝1,即p ＝2,所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)存在定点E (4,0)满足题意．①当直线MN 的斜率不存在时,设N (n 24,n ),n >0,由题意可得,n24＝n ⇒n ＝4或n ＝0(舍去),则N (4,4),M (4,－4)．由直线AB 过点F 且平行于MN ,可得|AB |＝4.设E (4,m ),则由|EM |·|EN ||AB |＝4,可得（m ＋4）（4－m ）4＝4,解得m ＝0,所以E (4,0),满足题意．②当直线MN 的斜率存在时,由题意可知k MN ≠0.设M (y 214,y 1),N (y 224,y 2)(y 2>0>y 1)．由OM ⊥ON ,得y 1y 2＝－16.直线MN 的斜率k ＝4y 1＋y 2,所以直线MN 的方程为y －y 1＝4y 1＋y 2(x －y 214),整理可得y ＝4y 1＋y 2(x －4)．由题意,得直线AB 的方程为y ＝k (x －1),与C 的方程联立得ky 2－4y －4k ＝0.设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),则y A ＋y B ＝4k,y A y B ＝－4.所以|AB |＝1＋1k 2·|y A －y B |＝4(1＋1k2)．若点E 存在,设点E 坐标为(x 0,y 0),则|EM |·|EN |＝1＋1k 2(y 0－y 1)1＋1k 2(y 2－y 0)＝(1＋1k2)·[－y 1y 2－y 20＋(y 1＋y 2)y 0]＝(1＋1k 2)(16－y 20＋4y 0k)．当|EM |·|EN ||AB |＝4时,16－y 20＋4y 0k＝16,解得y 0＝0或y 0＝4k(舍去),则点E 为(4,0)．经检验,此点在线段MN 上且满足题意．综上所述,定点E 为(4,0)．8．(2019辽宁丹东二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P是椭圆C 上的一点,若PF 1⊥PF 2,|F 1F 2|＝2,△F 1PF 2的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 2的直线l 与C 交于A,B 两点,设O 为坐标原点,若OE →＝OA →＋OB →,求四边形AOBE 面积的最大值．8．解：(1)由题设|PF 1|2＋|PF 2|2＝4,12|PF 1||PF 2|＝1,∴a ＝|PF 1|＋|PF 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|2＝ 2.又c ＝1,∴b ＝a 2－c 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题设知AB 不平行于x 轴,故设直线AB ：x ＝my ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1，得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0,则Δ＝8(m 2＋1)＞0,解得y 1,2＝－m ±2（m 2＋1）m 2＋2.∵OE →＝OA →＋OB →,∴四边形AOBE 为平行四边形．平行四边形AOBE 的面积S ＝2S △AOB ＝|y 1－y 2|＝22（m 2＋1）m 2＋2＝22m 2＋1＋1m 2＋1.∵m 2＋1＋1m 2＋1≥2,当且仅当m ＝0时取等号, ∴四边形AOBE 面积的最大值为 2.9．(2019重庆沙坪坝区高三模拟)如图,C,D 是离心率为12的椭圆的左、右顶点,F 1,F 2是该椭圆的左、右焦点,A,B 是直线x ＝－4上两个动点,连接AD 和BD,它们分别与椭圆交于E,F两点,且线段EF 恰好过椭圆的左焦点F 1.当EF⊥CD 时,点E 恰为线段AD 的中点．(1)求椭圆的方程．(2)求证：以AB 为直径的圆始终与直线EF 相切．9．(1)解：∵当EF ⊥CD 时,点E 恰为线段AD 的中点,∴a ＋c ＝4－c .又e ＝c a ＝12,联立解得c ＝1,a ＝2,b ＝3,∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设EF 的方程为x ＝my －1,E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，化为(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0,∴Δ＝36m 2＋36(3m 2＋4)＞0,∴y 1＋y 2＝6m3m 2＋4,y 1y 2＝－93m 2＋4.又设A (－4,y A ),由A ,E ,D 三点共线得y A ＝－6y 1x 1－2＝－6y 1my 1－3,同理可得y B ＝－6y 2my 2－3.∴y A ＋y B ＝－6y 1my 1－3＋－6y 2my 2－3＝－62my 1y 2－3（y 1＋y 2）m 2y 1y 2－3m （y 1＋y 2）＋9＝－6×2m ·－93m 2＋4－3·6m 3m 2＋4m 2·－93m 2＋4－3m ·6m3m 2＋4＋9＝6m .∴|y A －y B |＝|－6y 1my 1－3－－6y 2my 2－3|＝18·|y 1－y 2|m 2y 1y 2－3m （y 1＋y 2）＋9＝18·（6m 3m 2＋4）2－4·－93m 2＋4m 2·－93m 2＋4－3m ·6m3m 2＋4＋9＝6m 2＋1.设线段AB 的中点为M ,则M 的坐标为(－4,y A ＋y B2),即(－4,3m ),∴点M 到直线EF 的距离d ＝|－4－3m 2＋1|1＋m 2＝3m 2＋1＝12|y A －y B|＝12|AB |.故以AB 为直径的圆始终与直线EF 相切．10．(2019江苏苏州三模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点D(1,32),右焦点为F(1,0),右顶点为A.过点F 的直线交椭圆于B,C 两点,直线BA 和CA 分别交直线l ：x ＝m(m ＞2)于P,Q 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若FP⊥FQ ,求m 的值．10．解：(1)由题意得1a 2＋94b 2＝1,a 2－b 2＝1,解得a 2＝4,b 2＝3,所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设B (x 0,y 0),则直线BC 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1),与椭圆E ：x 24＋y23＝1联立,得方程组⎩⎨⎧y ＝y 0x 0－1（x －1），x 24＋y23＝1，解得x ＝x 0,y ＝y 0或x ＝8－5x 05－2x 0,y ＝－3y 05－2x 0,所以C (8－5x 05－2x 0,－3y 05－2x 0),k AB k AC＝y 0x 0－2·－3y 05－2x 08－5x 05－2x 0－2＝y 0x 0－2·3y 0x 0＋2＝3y 20x 20－4＝9（1－x 24）x 20－4＝－94.显然k AB ＝k AP ,k AC ＝k AQ ,所以k AP k AQ ＝－94.设Q (m ,y 1),则k FQ ＝y 1m －1＝y 1m －2·m －2m －1＝m －2m －1k AQ,同理k FP ＝m －2m －1k AP,所以k FP ·k FQ ＝(m －2m －1)2k AP k AQ ＝－94(m －2m －1)2＝－1.又m ＞2,所以m －2m －1＝23,所以m ＝4.压轴大题突破练(2)1．(2019山东临沂、枣庄二模)已知双曲线E ：x 2a 2－y2b2＝1(a>0,b>0)的右顶点为A,抛物线C ：y 2＝12ax 的焦点为 F ．若在E 的渐近线上存在点P 使得PA⊥FP ,则E 的离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(1,233]C ．(2,＋∞)D ．[233,＋∞) 1．B 解析：双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的右顶点A (a ,0),抛物线C ：y 2＝12ax 的焦点为F (3a ,0),双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ,可设P (m ,b a m ),则AP →＝(m －a ,b am ),FP →＝(m －3a ,b a m )．由P A ⊥FP ,可得AP →·FP →＝0,即(m －a )(m －3a )＋b 2a 2m 2＝0,整理得(1＋b 2a2)m 2－4ma ＋3a 2＝0.由题意可得Δ＝16a 2－4(1＋b 2a 2)·3a 2≥0,即a 2≥3b 2＝3(c 2－a 2),则3c 2≤4a 2,所以e ＝ca≤233.由e >1,可得1<e ≤233.故选B.2．(2019福建厦门一中二模)已知抛物线x 2＝4y,斜率为－12的直线交抛物线于A,B 两点．若以线段AB 为直径的圆与抛物线的准线切于点P,则点P 到直线AB 的距离为( )A .52B . 5C ．2 2D ．2 5 2．B 解析：设直线AB 的方程为y ＝－12x ＋b ,代入抛物线方程x 2＝4y ,得x 2＋2x －4b＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－2,x 1x 2＝－4b ,y 1＋y 2＝－12x 1＋b －12x 2＋b ＝1＋2b ,所以|AB |＝1＋14·4＋16b ＝5＋20b .因为以线段AB 为直径的圆与抛物线的准线切于点P ,所以y 1＋y 22＋1＝5＋20b 2,即1＋2b 2＋1＝5＋20b 2,则 b 2－2b ＋1＝0,解得b ＝1,所以直线AB的方程为y ＝－12x ＋1,P (－1,－1),所以点P 到直线AB ：x ＋2y －2＝0的距离为|－1－2－2|5＝5.故选B. 3．(2019山东青岛二中高三模块考试)已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F,O 为坐标原点．设M 为抛物线上的动点,则|MO||MF|的最大值为( )A . 3B ．1C .33 D .2333．D 解析：设抛物线上点M (m ,n )(m >0),则n 2＝2pm ,可得|MO |＝m 2＋n 2＝m 2＋2pm .由抛物线的定义得|MF |＝m ＋p 2,所以|MO ||MF |＝m 2＋2pm m ＋p 2＝m 2＋2pm m 2＋pm ＋p24＝1＋pm －p 24m 2＋pm ＋p 24. 令pm －p 24＝t ,t >－p 24,则m ＝t p ＋p 4,所以|MO ||MF |＝1＋t t 2p 2＋3t 2＋9p 216＝1＋1t p 2＋32＋9p 216t≤1＋13＝233,当且仅当t p 2＝9p 216t ,即t ＝3p 24时,等号成立．故选D.4．(2019福建福州二模)已知O 为坐标原点,过双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0,b>0)的左焦点F 作一条直线,与圆x 2＋y 2＝a 2相切于点T,与双曲线右支交于点P,M 为线段FP 的中点．若该双曲线的离心率为3,则|MF|－|OM||TF|＝( )A .24 B .22C . 2D ．2 4．B 解析：如图所示,设F ′是双曲线的右焦点,连接PF ′.点M ,O 分别为线段PF ,FF ′的中点,由三角形的中位线定理可得|OM |＝12|PF ′|＝12(|PF |－2a )＝12|PF |－a ＝|MF |－a .连接OT ,由PT 是圆的切线,得OT ⊥FT .在Rt △FOT 中,|OF |＝c ,|OT |＝a ,所以|FT |＝|OF |2－|OT |2＝b ,可得|MF |－|OM ||TF |＝a b .双曲线的离心率为3,可得c ＝3a ,即b ＝c 2－a 2＝2a ,可得ab＝22.故选B.5．(2019安徽黄山三模)已知P 是圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1上一动点,过点P 作抛物线 x 2＝8y 的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB 斜率的最大值为( )A .14B .34C .38D .125．B 解析：根据题意,P A ,PB 的斜率都存在,分别设为k 1,k 2,其切点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)．设P (m ,n ),过点P 的抛物线的切线方程为y ＝k (x －m )＋n ,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －m ）＋n ，x 2＝8y ，整理可得x 2－8kx ＋8km －8n ＝0,则Δ＝64k 2－32km ＋32n ＝0,即2k 2－km ＋n ＝0,且k 1＋k 2＝m 2,k 1k 2＝n 2.又由x 2＝8y ,得y ＝18x 2,则y ′＝14x ,所以x 1＝4k 1,x 2＝4k 2.又由x 2＝8y ,则y 1＝2k 21,y 2＝2k 22,则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2k 22－2k 214k 2－4k 1＝k 2＋k 12＝m 4.因为P 是圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1上一动点,所以1≤m ≤3,则k AB ＝m 4≤34,即直线AB 的斜率最大值为34.故选B.6．(2019广东珠海二模)椭圆T 的中心在原点,左焦点F 1(－1,0),长轴长为2 2. (1)求椭圆T 的标准方程；(2)过左焦点F 1的直线交曲线T 于A,B 两点,过右焦点F 2的直线交曲线T 于C,D 两点,凸四边形ABCD 为菱形,求直线AB 的方程．6．解：(1)设椭圆T 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0),焦距为2c .由题意可知c ＝1,2a ＝22,故b ＝a 2－c 2＝1,所以椭圆T 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由椭圆的对称性可知菱形ABCD 的中心为原点O ,则OA ⊥OB . 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2＋y 1y 2＝0.当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 的方程为x ＝－1,代入椭圆方程可得x 1＝x 2＝－1,y 1＝22,y 2＝－22,显然x 1x 2＋y 1y 2≠0,不符合题意．所以直线AB 的斜率存在．设AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1), 代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0,所以x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2,x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2,则y 1y 2＝k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝－k 21＋2k 2,所以2k 2－21＋2k 2＋－k 21＋2k 2＝0,解得k ＝±2.所以直线AB 的方程是y ＝2(x ＋1)或y ＝－ 2 (x ＋1)．7．(2019青海西宁四中、五中、十四中三校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0),F 2(1,0),椭圆过点(1,32)．(1)求椭圆C 的方程．(2)若A,B 为椭圆的左、右顶点,P(x 0,y 0)(y 0≠0)为椭圆上一动点,设直线AP,BP 分别交直线l ：x ＝6于点M,N,判断以线段MN 为直径的圆是否经过定点．若过定点,求出该定点坐标；若不过定点,说明理由．7．解：(1)由已知c ＝1,∴a 2＝b 2＋1.①∵椭圆过点(1,32),∴1a 2＋94b2＝1.②联立①②得a 2＝4,b 2＝3,∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P (x 0,y 0),已知A (－2,0),B (2,0)．∵y 0≠0,∴x 0≠±2,∴AP ,BP 的斜率都存在,∴k AP ＝y 0x 0＋2,k BP ＝y 0x 0－2,∴k AP ·k BP ＝y 20x 20－4.③∵x 204＋y 203＝1,∴y 20＝3(1－x 204)．④ 将④代入③得k AP ·k BP ＝3（1－x 204）x 20－4＝－34. 设AP 的方程为y ＝k (x ＋2),∴BP 的方程为y ＝－34k(x －2),∴M (6,8k ),N (6,－3k)．由对称性可知,若存在定点,则该定点必在x 轴上．设该定点为T (t ,0),则TM →⊥TN →,∴TM →·TN →＝(6－t ,8k )·(6－t ,－3k)＝(6－t )2＋(－24)＝0,∴(6－t )2＝24,∴t ＝6±26,∴存在定点(6＋26,0)或(6－26,0),以线段MN 为直径的圆恒过该定点．(2019广西柳州高三一模)如图,已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点A 为椭圆C 上任意一点,A 关于原点O 的对称点为B,有|AF 1|＋|BF 1|＝4,且∠F 1AF 2的最大值为π3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A′是A 关于x 轴的对称点,设点N(4,0),连接NA 与椭圆C 相交于点E,直线A′E 与x 轴相交于点M,试求|NF 1|·|MF 2|的值．8.解：(1)由椭圆的对称性可知|BF 1|＝|AF 2|, ∴|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＝4, 故2a ＝4,即a ＝2.又当A 为椭圆的短轴顶点时,∠F 1AF 2取得最大值,∴b ＝3c , 又b 2＋c 2＝a 2＝4,∴a ＝2,b ＝3,c ＝1.∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AN 的方程为y ＝k (x －4),代入椭圆方程x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.设A (x 1,y 1),E (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2,x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2.∵A ′(x 1,－y 1),∴直线A ′E 的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1.令y ＝0,可得x ＝y 1（x 2－x 1）y 2＋y 1＋x 1＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝x 1k （x 2－4）＋x 2k （x 1－4）k （x 1－4）＋k （x 2－4）＝2kx 1x 2－4k （x 1＋x 2）k （x 1＋x 2）－8k＝2·64k 2－123＋4k 2－4·32k 23＋4k 232k 23＋4k 2－8＝1.∴M (1,0),∴|MF 2|＝0,∴|MF 1|·|MF 2|＝0.9．(2019河南郑州高三二模)椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,A 为椭圆上一动点(异于左、右顶点),若△AF 1F 2的周长为4＋23,且面积的最大值为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A,B 是椭圆C 上两动点,线段AB 的中点为P,OA,OB 的斜率分别为k 1,k 2(O 为坐标原点),且k 1k 2＝－14,求|OP|的取值范围．9．解：(1)由椭圆的定义可得2(a ＋c )＝4＋23,所以a ＋c ＝2＋ 3.①当A 在上(或下)顶点时,△AF 1F 2的面积取得最大值,即最大值为bc ＝ 3.② 由①②及a 2＝c 2＋b 2联立求得a ＝2,b ＝1,c ＝3,可得椭圆方程为x 24＋y 2＝1,(2)当直线AB 的斜率k 不存在时,直线OA 的方程为y ＝12x 或y ＝－12x ,此时不妨取A (2,22),B (2,－22),P (2,0),则|OP |＝ 2.当直线AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0, Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＝16(4k 2－m 2＋1)．设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2,x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.∵k 1k 2＝－14,∴4y 1y 2＋x 1x 2＝0,∴4(kx 1＋m )(kx 2＋m )＋x 1x 2＝(1＋4k 2)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝4m 2－4－32k 2m 21＋4k2＋4m 2＝0.整理得2m 2＝4k 2＋1,∴m 2≥12,Δ＝16m 2＞0.设P (x 0,y 0),x 0＝x 1＋x 22＝－2k m ,y 0＝kx 0＋m ＝12m ,∴|OP |2＝x 20＋y 20＝4k 2m 2＋14m 2＝2－34m 2∈[12,2)．∴|OP |的取值范围为[22,2)．综上,|OP |的取值范围为[22,2]．(2019河北衡水桃城区高三一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F,△ABC 的三个顶点都在抛物线上,且FB →＋FC →＝FA →.(1)求证：B,C 两点的纵坐标之积为定值．(2)设λ＝AB →·AC →,求λ的取值范围．10．(1)证明：设A (y 204,y 0),B (y 214,y 1),C (y 224,y 2),F (1,0),∴F A →＝(y 204－1,y 0),FB →＝(y 214－1,y 1),FC →＝(y 224－1,y 2)．∵FB →＋FC →＝F A →,∴y 214－1＋y 224－1＝y 204－1,y 1＋y 2＝y 0,∴y 21＋y 22＝y 20＋4,(y 1＋y 2)2＝y 20, ∴y 20＋4＋2y 1y 2＝y 20,∴y 1y 2＝－2,即B ,C 两点的纵坐标之积为定值．(2)解：由FB →＋FC →＝F A →得四边形ABFC 为平行四边形,故λ＝AB →·AC →＝CF →·BF →＝(1－y 214)(1－y 224)＋(－y 1)(－y 2)＝1－(y 214＋y 224)＋y 21y 2216＋y 1y 2＝1－y 20＋44＋416－2＝－14y 20－74≤－74,故λ的取值范围是(－∞,－74]．[70分] 解答题标准练(一)1.(2019·广州模拟)已知{a n }是等差数列,且lg a 1＝0,lg a 4＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项,求k 的值及数列{a n ＋b n }的前n 项和. 解 (1)数列{a n }是等差数列,设公差为d , 且lg a 1＝0,lg a 4＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋3d ＝10，解得d ＝3,所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项, 则a 2k ＝a 1·a 6, 根据等差数列的通项公式得到a k ＝3k －2,代入上式解得k ＝2；a 1,a 2,a 6是等比数列{b n }的前3项,a 1＝1,a 2＝4, 所以等比数列{b n }的公比为q ＝4. 由等比数列的通项公式得到b n ＝4n －1. 则a n ＋b n ＝3n －2＋4n －1,故S n ＝(1＋1)＋(4＋41)＋…＋(3n －2＋4n －1) ＝n (3n －1)2＋4n －14－1＝32n 2－12n ＋13(4n －1). 2.(2019·马鞍山质检)如图,半圆柱O ′O 中,平面ABB ′A ′过上、下底面的圆心O ′,O ,点C ,D分别在半圆弧AB ,A ′B ′上,且»¼.AC B'D =(1)求证：CD∥平面ABB′A′；(2)若2AC＝AB＝AA′,求二面角C－AD－B的余弦值.»AB的中点M,(1)证明如图,取∵OO′⊥平面ABC,∴OA,OM,OO′两两垂直,以O为坐标原点,OA,OM,OO′所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O－xyz,连接OC,设OA＝1,AA′＝t,∠AOC＝θ(0<θ<π),则A(1,0,0),B(－1,0,0),C(cos θ,sin θ,0),D(－cos θ,sin θ,t),于是CD→＝(－2cos θ,0,t),而平面ABB′A′的一个法向量为OM→＝(0,1,0),由于CD →·OM →＝0,CD ⊄平面ABB ′A ′, 所以CD ∥平面ABB ′A ′.(2)解设OA ＝1,∵2AC ＝AB ＝AA ′,则C ⎝⎛⎭⎫12，32，0,D ⎝⎛⎭⎫－12，32，2,CD →＝(－1,0,2),AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，0,BD →＝⎝⎛⎭⎫12，32，2,设平面CAD 的法向量n 1＝(x 1,y 1,z 1),则⎩⎨⎧CD →·n 1＝－x 1＋2z 1＝0，AC →·n 1＝－12x 1＋32y 1＝0，不妨设x 1＝23,得n 1＝(23,2,3), 设平面BAD 的法向量n 2＝(x 2,y 2,z 2), 则⎩⎨⎧BD →·n 2＝12x 2＋32y 2＋2z 2＝0，BA→·n 2＝2x 2＝0，不妨设y 2＝4,得n 2＝(0,4,－3), 所以cos 〈n 1,n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝519·19＝519, 又由图可知,二面角C －AD －B 为锐角, 故二面角C －AD －B 的余弦值为519.3.(2019·武邑调研)已知定点N (5,0),动点P 是圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36上的任意一点,线段NP 的垂直平分线与半径MP 相交于点Q .(1)求|QM |＋|QN |的值,并求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)若圆x 2＋y 2＝4的切线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求△AOB 面积的最大值. 解 (1)由已知条件得|QN |＝|QP |,又|QM |＋|QP |＝6,∴|QM |＋|QN |＝6>25,为定值.根据椭圆定义得,动点Q 的轨迹是以点M ,N 为焦点的椭圆. 且2a ＝6,即a ＝3,c ＝5,则b ＝2,∴动点Q 的轨迹C 的方程为x 29＋y 24＝1.(2)由题可知直线l 不可能与x 轴平行, 则可设切线方程为x ＝ty ＋m , 由直线与圆相切,得|m |1＋t 2＝2,∴m 2＝4(1＋t 2).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，x 29＋y 24＝1，消去x 得(4t 2＋9)y 2＋8tmy ＋4m 2－36＝0, Δ＝(8tm )2－4(4t 2＋9)(4m 2－36) ＝144(4t 2－m 2＋9)＝144×5>0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴y 1＋y 2＝－8tm4t 2＋9,y 1y 2＝4m 2－364t 2＋9.∴|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2| ＝1＋t 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋t 2·1254t 2＋9＝12541＋t 2＋51＋t 2≤12545＝3, 当且仅当41＋t 2＝51＋t 2,即t 2＝14时等号成立.此时|m |＝5,|AB |max ＝3,又∵S △AOB ＝12×2×|AB |＝|AB |≤3,∴当|m |＝5,|t |＝12时,△AOB 的面积最大,最大值为3.4.(2019·山东师范大学附属中学模拟)某读书协会共有1 200人,现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间(分钟),其中某一周的数据记录如下：75,60,35,100,90,50,85,170,65,70,125,75,70,85,155,110,75,130,80,100.对这20个数据按组距30进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表(设阅读时间为x 分钟).(1)写出m ,n 的值,请估计该读书协会中人均每周的课外阅读时长,以及该读书协会中一周阅读时长不少于90分钟的人数；(2)该读书协会拟发展新成员5人,记新成员中每周阅读时长在[60,90)之间的人数为X ,以上述统计数据为参考,求X 的分布列和期望；(3)以这20人为样本完成下面的2×2列联表,并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d ).解 (1)m ＝4,n ＝2,该读书协会中人均每周的课外阅读时长为45×220＋75×1020＋105×420＋135×220＋165×220＝93(分钟),由样本估计总体,一周阅读时长不少于90分钟的人数为 1 200×4＋2＋220＝480.(2)X ～B ⎝⎛⎭⎫5，12, 由题意知,X 的可能取值为0,1,2,3,4,5.且P (X ＝0)＝C 05⎝⎛⎭⎫125＝132,P (X ＝1)＝C 15⎝⎛⎭⎫125＝532, P (X ＝2)＝C 25⎝⎛⎭⎫125＝1032＝516, P (X ＝3)＝C 35⎝⎛⎭⎫125＝1032＝516, P (X ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫125＝532,P (X ＝5)＝C 55⎝⎛⎭⎫125＝132, 所以X 的分布列如下：E (X )＝5×12＝2.5.(3)2×2列联表如下：k ＝20(3×8－1×8)24×16×11×9≈0.808<2.706,所以没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”.5.设函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)(a ∈R ). (1)当a ＝1时,求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥0对任意x ∈[1,＋∞)恒成立,求实数a 的取值范围； (3)当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时,试比较12ln(tan θ)与tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的大小,并说明理由. 解 (1)当a ＝1时,f (x )＝(x ＋1)ln x －(x －1),f ′(x )＝ln x ＋1x,设g (x )＝ln x ＋1x (x >0),则g ′(x )＝x －1x 2,当x ∈(0,1)时,g ′(x )<0,g (x )单调递减, 当x ∈(1,＋∞)时,g ′(x )>0,g (x )单调递增, g (x )min ＝g (1)＝1>0,∴f ′(x )>0.故f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增, 无单调递减区间.(2)f ′(x )＝ln x ＋1x ＋1－a ＝g (x )＋1－a ,由(1)可知g (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, 则g (x )≥g (1)＝1,即f ′(x )在区间[1,＋∞)上单调递增,且f ′(1)＝2－a , ①当a ≤2时,f ′(x )≥0, f (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, ∴f (x )≥f (1)＝0满足条件；②当a >2时,设h (x )＝ln x ＋1x ＋1－a (x ≥1),则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0(x ≥1),∴h (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, 且h (1)＝2－a <0,h (e a )＝1＋e －a >0, ∴∃x 0∈[1,e a ],使得h (x 0)＝0, ∴当x ∈[1,x 0)时,h (x )<0,f (x )单调递减, 即当x ∈[1,x 0)时,f (x )≤f (1)＝0,不满足题意. 综上所述,实数a 的取值范围为(－∞,2]. (3)由(2)可知,取a ＝2,当x >1时,f (x )＝(x ＋1)ln x －2(x －1)>0,即12ln x >x －1x ＋1, 当0<x <1时,1x >1,∴12ln 1x >1x －11x ＋1⇔ln x 2<x －1x ＋1, 又∵tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－1tan θ＋1,∴当0<θ<π4时,0<tan θ<1,12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4；当θ＝π4时,tan θ＝1,12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4；当π4<θ<π2时,tan θ>1, 12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 综上,当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时,12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4；当θ＝π4时,12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4；当θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时,12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 6.在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ,点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4,以极点为坐标原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系. (1)求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；(2)过点P 的直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若|P A |＝2|PB |,求|AB |的值. 解 (1)由ρ＝6sin θ,得ρ2＝6ρsin θ, 又x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ, ∴x 2＋y 2＝6y ,即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9, 点P 的直角坐标为(1,1).(2)设过点P 的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝1＋t sin θ(t 为参数), 将其代入x 2＋y 2＝6y ,得t 2＋2(cos θ－2sin θ)t －4＝0, 设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, ∴t 1t 2＝－4,∵|P A |＝2|PB |,∴t 1＝－2t 2,∴t 1＝22,t 2＝－2或t 1＝－22,t 2＝2, ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝3 2.7.已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)解不等式：f (x )≤x ＋3；(2)若不等式|m |·f (x )≥|m ＋2|－|3m －2|对任意m ∈R 恒成立,求x 的取值范围.解 (1)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －3≤x ＋3，得2≤x ≤6；②由⎩⎪⎨⎪⎧1<x <2，x －1＋2－x ≤x ＋3，得1<x <2；③由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3－2x ≤x ＋3，得0≤x ≤1.由①②③可得x ∈[0,6]. (2)①当m ＝0时,0≥0,∴x ∈R ； ②当m ≠0时,即f (x )≥⎪⎪⎪⎪2m ＋1－⎪⎪⎪⎪2m －3对∀m ∈R ,m ≠0恒成立, ⎪⎪⎪⎪2m ＋1－⎪⎪⎪⎪2m －3≤⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2m ＋1－⎝⎛⎭⎫2m －3＝4, ∴f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥4, 当x ≥2时,2x －3≥4,解得x ≥72；当1<x <2时,x －1＋2－x ≥4,解得x ∈∅；当x ≤1时,3－2x ≥4,解得x ≤－12,综上,x 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞.数学的核心素养引领复习一、数学抽象、直观想象素养1 数学抽象例1 (2019·全国Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ,满足f (x ＋1)＝2f (x ),且当x ∈(0,1]时,f (x )＝x (x －1).若对任意x ∈(－∞,m ],都有f (x )≥－89,则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，94 B.⎝⎛⎦⎤－∞，73 C.⎝⎛⎦⎤－∞，52 D.⎝⎛⎦⎤－∞，83 答案 B解析当－1<x ≤0时,0<x ＋1≤1,则f (x )＝12 f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ；当1<x ≤2时,0<x －1≤1,则f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)；当2<x ≤3时,0<x －2≤1,则f (x )＝2f (x －1)＝22f (x －2)＝22(x －2)(x －3),…,由此可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧…，12(x ＋1)x ，－1<x ≤0，x (x －1)，0<x ≤1，2(x －1)(x －2)，1<x ≤2，22(x －2)(x －3)，2<x ≤3，由此作出函数f (x )的图象,如图所示.由图可知当2<x ≤3时,令22(x －2)·(x －3)＝－89,整理,得(3x －7)(3x －8)＝0,解得x ＝73或x ＝83,将这两个值标注在图中.要使对任意x ∈(－∞,m ]都有f (x )≥－89,必有m ≤73,即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，73,故选B.。

解析几何小题压轴练-高考数学重点专题冲刺演练(学生版)

解析几何小题压轴练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)一、单选题1.(2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2=60°，PF 2的延长线交双曲线于点Q ，若双曲线的离心率为e =72，则PQ F 1Q=()A.23B.813C.815D.122.(2023·山东潍坊·统考模拟预测)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，点F 2与抛物线C 2:y 2=2px p >0 的焦点重合，点P 为C 1与C 2的一个交点，若△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为4，C 2的准线与C 1交于A ，B 两点，且AB =92，则C 1的离心率为()A.94B.54C.95D.743.(2023·江苏南通·海安高级中学校考一模)双曲线C :x 2-y 2=4的左，右焦点分别为F 1,F 2，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于A ,B 两点，△AF 1F 2,△BF 1F 2,△F 1AB 的内切圆圆心分别为O 1,O 2,O 3，则△O 1O 2O 3的面积是()A.62-8B.62-4C.8-42D.6-424.(2023·湖南永州·统考二模)如图，F 1,F 2为双曲线的左右焦点，过F 2的直线交双曲线于B ,D 两点，且F 2D =3F 2B ，E 为线段DF 1的中点，若对于线段DF 1上的任意点P ，都有PF 1 ⋅PB ≥EF 1 ⋅EB 成立，则双曲线的离心率是()A.2B.3C.2D.55.(2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两焦点为F 1，F 2，x 轴上方两点A ，B 在椭圆上，AF 1与BF 2平行，AF 2交BF 1于P .过P 且倾斜角为αα≠0 的直线从上到下依次交椭圆于S ，T .若PS =βPT ，则“α为定值”是“β为定值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不必要也不充分条件6.(2023·江苏南通·二模)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：x 2+y 2=94(a 2+b 2)，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为()A.54B.85C.52D.21057.(2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测)如图，已知椭圆C 1和双曲线C 2具有相同的焦点F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，A 、B 、C 、D 是它们的公共点，且都在圆x 2+y 2=c 2上，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线C 2交于点Q ，记直线AC 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2，若椭圆C 1的离心率为155，则k 1⋅k 2的值为()A.2B.52C.3D.4二、多选题1.(2023·广东·统考一模)已知拋物线E :y 2=8x 的焦点为F ，点F 与点C 关于原点对称，过点C 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点(点A 和点C 在点B 的两侧)，则下列命题正确的是()A.若BF 为△ACF 的中线，则AF =2BFB.若BF 为∠AFC 的角平分线，则AF =6C.存在直线l ，使得AC =2AFD.对于任意直线l ，都有AF +BF >2CF2.(2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测)已知P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 是椭圆x 24+9y 24=1上两个不同点，且满足x 1x 2+9y 1y 2=-2，则下列说法正确的是()A.2x 1+3y 1-3 +2x 2+3y 2-3 的最大值为6+25B.2x 1+3y 1-3 +2x 2+3y 2-3 的最小值为3-5C.x 1-3y 1+5 +x 2-3y 2+5 的最大值为25+2105D.x 1-3y 1+5 +x 2-3y 2+5 的最小值为10-223.(2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测)设F 1，F 2为椭圆x 24+y 23=1的左，右焦点，直线l过F 1交椭圆于A ，B 两点，则以下说法正确的是()A.△ABF 2的周长为定值8B.△ABF 2的面积最大值为23C.AF 1 2+AF 2 2的最小值为8D.存在直线l 使得△ABF 2的重心为16,144.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ，直线l 与C 交于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，其中点A 在第一象限，点M 是AB 的中点，作MN 垂直于准线，垂足为N ，则下列结论正确的是()A.若直线l 经过焦点F ，且OA ⋅OB=-12，则p =2B.若AF =3FB ，则直线l 的倾斜角为π3C.若以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，则ABMN的最小值为2D.若以AB 为直径作圆M ，则圆M 与准线相切5.(2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测)已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ，斜率为34的直线l 1过点F 交C 于A ，B 两点，且点B 的横坐标为4，直线l 2过点B 交C 于另一点M (异于点A )，交C 的准线于点D ，直线AM 交准线于点E ，准线交y 轴于点N ，则()A.C 的方程为x 2=4yB.AB =254C.BD <AED.ND ⋅NE =46.(2023·山东青岛·统考一模)已知A 、B 是平面直角坐标系xOy 中的两点，若OA =λOB λ∈R ，OA⋅OB=r 2r >0 ，则称B 是A 关于圆x 2+y 2=r 2的对称点．下面说法正确的是()A.点1,1 关于圆x 2+y 2=4的对称点是-2,-2B.圆x 2+y 2=4上的任意一点A 关于圆x 2+y 2=4的对称点就是A 自身C.圆x 2+y -b 2=b 2b >0 上不同于原点O 的点M 关于圆x 2+y 2=1的对称点N 的轨迹方程是y =12bD.若定点E 不在圆C :x 2+y 2=4上，其关于圆C 的对称点为D ，A 为圆C 上任意一点，则ADAE为定值7.(2023·山东济宁·统考一模)已知F 1，F 2是椭圆C 1：x 2a 12+y 2a 22=1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2：x 2a 22-y 2a 22=1(a 2>0,b 2>0)的公共焦点，e 1，e 2分别是C 1与C 2的离心率，且P 是C 1与C 2的一个公共点，满足PF 1⋅PF 2=0，则下列结论中正确的是()A.a 12+b 12=a 22-b 22 B.1e 21+1e 22=2C.1e 1+3e 2的最大值为22 D.3e 1+1e 2的最大值为228.(2023·山东济南·一模)在平面直角坐标系xOy 中，由直线x =-4上任一点P 向椭圆x 24+y 23=1作切线，切点分别为A ，B ，点A 在x 轴的上方，则()A.∠APB 恒为锐角B.当AB 垂直于x 轴时，直线AP 的斜率为12C.|AP |的最小值为4D.存在点P ，使得(PA +PO )⋅OA=09.(2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测)已知AB ，CD 是经过抛物线y 2=2x 焦点F 的互相垂直的两条弦，若AB 的倾斜角为锐角，C ，A 两点在x 轴上方，则下列结论中一定成立的是()A.AB 2+CD 2最小值为32B.设P x ,y 为抛物线上任意一点，则x +x -322+y -2 2的最小值为5C.若直线CD 的斜率为-3，则AF ⋅BF =4D.OA ⋅OB +OC ⋅OD =-3210.(2023·湖南·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =3x ，且F 1到l 的距离为33，点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为2,0 ，PQ 为∠F 1PF 2的平分线．则下列正确的是()A.双曲线的方程为x 29-y 227=1B.PF 1=3 PF 2C.OP =36D.点P 到x 轴的距离为315211.(2023·湖南·模拟预测)已知椭圆：Γ:x 2a2+y 23=1(a >3)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，点M 为椭圆Γ上一点，点I 是△MF 1F 2的内心，延长MI 交线段F 1F 2于N ，抛物线y 2=158(a +c )x (其中c为椭圆下的半焦距)与椭圆Γ交于B ，C 两点，若四边形ABF 1C 是菱形，则下列结论正确的是()A.|BC |=352 B.椭圆Γ的离心率是32C.1MF 1 +4MF 2的最小值为94 D.|IN ||MI |的值为12三、填空题1.(2023·广东揭阳·校考模拟预测)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1,F 2，P 是双曲线上一点，且∠F 1PF 2=π3.若ΔF 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ,r ，且R =4r ，则双曲线的离心率为.2.(2023·浙江·校联考三模)已知椭圆E :x 24+y 2=1，椭圆的左右焦点分别为F 1,F 2，点A (m ,n )为椭圆上一点且m >0,n >0，过A 作椭圆E 的切线l ，并分别交x =2、x =-2于C 、D 点．连接CF 1、DF 2，CF 1与DF 2交于点E ，并连接AE ．若直线l ，AE 的斜率之和为32，则点A 坐标为．3.(2023·辽宁葫芦岛·统考一模)已知双曲线M :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P为双曲线右支上的一点，Q 为△F 1F 2P 的内心，且2QF 1 +3QF 2 =4PQ，则M 的离心率为．4.(2023·辽宁·校联考一模)过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 焦点F 的直线与C 的两条渐近线的交点分分别为M 、N ，当MF +3FN =0时，FN =b .则C 的离心率为.5.(2023·河北邢台·校联考模拟预测)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，经过F 的直线l ，l 与C 的对称轴不垂直，l 交C 于A ，B 两点，点M 在C 的准线上，若△ABM 为等腰直角三角形，则AB =．6.(2023·福建泉州·统考三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,C 的渐近线与圆x 2+y 2=a 2在第一象限的交点为M ，线段MF 2与C 交于点N ，O 为坐标原点．若MF 1⎳ON ，则C 的离心率为．7.(2023·山东枣庄·统考二模)已知点A 1,2 在抛物线y 2=2px 上，过点A 作圆x -2 2+y 2=2的两条切线分别交抛物线于B ，C 两点，则直线BC 的方程为．8.(2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e ≠22，C 的左右焦点分别为F 1,F 2，点A 在椭圆C 上满足∠F 1AF 2=π2．∠F 1AF 2的角平分线交椭圆于另一点B ，交y轴于点D ．已知AB =2BD，则e =．9.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)设F 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，A ，B 分别为双曲线E 的左右顶点，点P 为双曲线E 上异于A ，B 的动点，直线l ：x =t 使得过F 作直线AP 的垂线交直线l 于点Q 时总有B ，P ，Q 三点共线，则ta 的最大值为.10.(2023·湖南株洲·统考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，若PF 1 =43F 1Q ，且PF 2 =F 1F 2，则椭圆C 的离心率为．11.(2023·湖南常德·统考一模)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2，BC =1，点P 为长方体表面上的动点，且PA ⋅PB=0，当CP 最小时，△ABP 的面积为.12.(2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测)在平面直角坐标系中，椭圆E 以两坐标轴为对称轴，左，右顶点分别为A ，B ，点P 为第一象限内椭圆上的一点，P 关于x 轴的对称点为Q ，过P 作椭圆的切线l ，若l ⊥AP ，且△APQ 的垂心恰好为坐标原点O ，记椭圆E 的离心率为e ，则e 2的值为.。

高考数学压轴大题解析几何

高考数学压轴大题-解析几何1. 设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.I 求双曲线C 的离心率e 的取值范围：II 设直线l 与y 轴的交点为P ,且.125PB PA =求a 的值.解：I 由C 与t 相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.消去y 并整理得1－a 2x 2+2a 2x －2a 2=0. ① 双曲线的离心率II 设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A由于x 1+x 2都是方程①的根,且1－a 2≠0,2. 已知)0,1(,)0,1(21F F -为椭圆C 的两焦点,P 为C 上任意一点,且向量21PF PF 与向量的夹角余弦的最小值为31.Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ过1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,求OMN ∆O 为原点的面积的最大值及相应的直线l 的方程.解：Ⅰ设椭圆的长轴为2a ,a 2=+22==c =2121221242)(PF PF PF PF PF PF ⋅-⋅-+=1244212-⋅-PF PF a又212PF PF ⋅≥∴221a PF PF ≤⋅即31211244cos 222=-=--≥aa a θ ∴32=a ∴椭圆方程为12322=+y x Ⅱ 由题意可知NM 不可能过原点,则可设直线NM 的方程为:my x =+1 设),(11y x M ),(22y x N()1111212OMN F OM F ON S S S OF y y ∆∆∆=+=+=2121y y -即 044)32(22=--+my y m . 由韦达定理得:∴212212214)(y y y y y y -+=-= 3216)32(162222+++m m m =222)32()1(48++m m 令12+=m t , 则1≥t ∴221y y -=41448)12(482++=+tt t t .又令tt t f 14)(+=, 易知)(t f 在1,+∞上是增函数,所以当1=t ,即0=m 时)(t f 有最小值5.∴221y y -有最大值316∴OMN S ∆ 的面积有最大值332.直线l 的方程为1-=x .3. 椭圆E 的中心在原点O,焦点在x 轴上,离心率e过点C 1,0的直线l 交椭圆于A 、B 两点,且满足：CA =BC λ 2λ≥．Ⅰ若λ为常数,试用直线l 的斜率kk ≠0表示三角形OAB 的面积． Ⅱ若λ为常数,当三角形OAB 的面积取得最大值时,求椭圆E 的方程．Ⅲ若λ变化,且λ= k 2＋1,试问：实数λ和直线l 的斜率()k k ∈R 分别为何值时,椭圆E 的短半轴长取得最大值并求出此时的椭圆方程．解：设椭圆方程为22221+=x y a ba ＞b ＞0,由e =caa 2=b 2c 2得a 2=3 b 2,故椭圆方程为x 2＋3y 2= 3b 2． ① Ⅰ∵直线l ：y = kx ＋1交椭圆于Ax 1,y 1,Bx 2,y 2两点,并且CA =BC λ λ≥2, ∴x 11,y 1 =λ1x 2,y 2, 即12121(1)x x y y λλ+=-+⎧⎨=-⎩ ②把y = kx 1代入椭圆方程,得3k 21x 26k 2x 3k 23b 2= 0, 且 k 2 3b 21b 2＞0 ,∴x 1x 2= 22631k k +, ③x 1x 2=2223331k b k -+, ④∴O A B S ∆=12|y 1y 2| =12|λ1|·| y 2| =|1|2λ+·| k |·| x 21|．联立②、③得x 21=22(1)(31)k λ-+,∴O A B S ∆=11λλ+-·2||31k k + k ≠0．ⅡO AB S ∆=11λλ+-·2||31k k + =11λλ+-·113||||k k + ≤11λλ+-λ≥2．当且仅当3| k | =1||k ,即k=,O AB S ∆取得最大值,此时x 1x 2= 1．又∵x 11= λ x 21,∴x 1=11λ-,x 2= 1λλ-,代入④得3b 2=221(1)λλ+-．此时3b 2≥5,,k b 的值符合故此时椭圆的方程为x 2＋3y 2=221(1)λλ+-λ≥2．Ⅲ由②、③联立得：x 1=22(1)(31)k λλ--+1, x 2=22(1)(31)k λ-+1,将x 1,x 2代入④,得23b =224(1)(31)k λλ-+1．由k 2=λ1得23b =24(1)(32)λλλ-- 1=432212(1)(1)(32)λλλ⎡⎤+⎢⎥---⎣⎦＋1．易知,当2λ≥时,3b 2是λ的减函数,故当2λ=时,23b 取得最大值3．所以,当2λ=,k =±1符合时,椭圆短半轴长取得最大值, 此时椭圆方程为x 2 3y 2 = 3．4. 已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,OB OA +与)1,3(-=a 共线. I 求椭圆的离心率；II 设M 为椭圆上任意一点,且(,)OM OA OB λμλμ=+∈R ,证明22μλ+为定值.解：I 设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入.化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a . 令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线,得II 证明：由I 知223b a =,所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),(y x M 在椭圆上,即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由I 知.21,23,23222221c b c a c x x ===+又222222212133,33b y x b y x =+=+又,代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值,定值为1.5. 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F,O 为坐标原点.I 求过点O 、F,并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；II 设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G,求点G 横坐标的取值范围.解：I 222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=-圆过点O 、F,∴圆心M 在直线12x =-上;设1(,),2M t -则圆半径由,OM r =3,2=解得t =∴所求圆的方程为2219()(.24x y ++=II 设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=直线AB 过椭圆的左焦点F,∴方程有两个不等实根; 记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y 则21224,21k x x k +=-+AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2-6. 已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 满足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为 I 证明线段AB 是圆C 的直径;II 当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为5时,求p 的值; I 证明1:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-整理得: 0OA OB ⋅=设Mx,y 是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ⋅= 即1212()()()()0x x x x y y y y --+--= 整理得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径证明2:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-整理得: 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)设x,y 是以线段AB 为直径的圆上则即2112211(,)y y y y x x x x x x x x --⋅=-≠≠-- 去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将1代入得: 故线段AB 是圆C 的直径证明3:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-整理得: 0OA OB ⋅= 12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)以线段AB 为直径的圆的方程为展开并将1代入得: 221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径 II 解法1:设圆C 的圆心为Cx,y,则又因12120x x y y ⋅+⋅= 1212x x y y ∴⋅=-⋅ 22121224y y y y p ∴-⋅=所以圆心的轨迹方程为222y px p =- 设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则当y=p 时,d=2p ∴=. 解法2: 设圆C 的圆心为Cx,y,则又因12120x x y y ⋅+⋅= 1212x x y y ∴⋅=-⋅ 22121224y y y y p ∴-⋅=所以圆心的轨迹方程为222y px p =-设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0则2m =± 因为x-2y+2=0与222y px p =-无公共点,所以当x-2y-2=0与222y px p =-仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0将2代入3得222220y py p p -+-= 2244(22)0p p p ∴∆=--= 解法3: 设圆C 的圆心为Cx,y,则圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则又因12120x x y y ⋅+⋅= 1212x x y y ∴⋅=-⋅ 22121224y y y y p ∴-⋅= 当122y y p +=时,d=2p ∴=.11、如图设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点．1若6ED DF =,求k 的值； 2求四边形AEBF 面积的最大值． 11．Ⅰ解：依题设得椭圆的方程为2214xy +=, 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=,(y kx k => 如图,设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，,其中1x < 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=,故21x x =-=．①由6ED DF =知01206()x x x x -=-,得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=,得0212x k=+．所以212k =+, 化简得2242560k k -+=, 解得23k =或38k =． 6分 Ⅱ解法一：根据点到直线的距离公式和①式知,点E F ，到AB 的距离分别为1h ==,2h ==9分又AB ==,所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 14(12525(14k k +=+== ≤ 当21k =,即当12k =时,上式取等号．所以S 的最大值为． 12分解法二：由题设,1BO =,2AO =．设11y kx =,22y kx =,由①得20x >,210y y =->, 故四边形AEBF 的面积为 BEF AEF S S S =+△△222x y =+9分===当222x y =时,上式取等号．所以S的最大值为 12分12、已知椭圆(222:13x y E a a +=>的离心率12e =. 直线x t =0t >与曲线E 交于不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ．1 求椭圆E 的方程；2 若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ,求ABC ∆的面积的最大值.12、1解：∵椭圆()222:133x y E a a+=>的离心率12e =, 12=. …… 2分解得2a =. ∴ 椭圆E 的方程为22143x y +=． …… 4分 2解法1：依题意,圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分 ∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ,且圆心C 到y 轴的距离d t =,∴0t <<,即0t <<．∴弦长||AB ===． …… 8分∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分7=. …… 12分=,即7t =时,等号成立. ∴ ABC ∆． …… 14分解法2：依题意,圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=.∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分 ∴ 圆C 的方程为222123()4t x t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ,且圆心C 到y 轴的距离d t =,∴0t <<,即07t <<．在圆C 的方程222123()4t x t y --+=中,令0x =,得2y =±,∴弦长||AB =． …… 8分 ∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分7=. ……12分=,即7t=时,等号成立. ∴ABC∆．15、已知椭圆∑：12222=+byax>>ba的上顶点为)1,0(P,过∑的焦点且垂直长轴的弦长为1．若有一菱形ABCD的顶点A、C在椭圆∑上,该菱形对角线BD所在直线的斜率为1-．⑴求椭圆∑的方程；⑵当直线BD过点)0,1(时,求直线AC的方程；⑶本问只作参考．．．．．．,．不计入总分．．．．．当3π=∠ABC时,求菱形ABCD面积的最大值．15、解：⑴依题意,1=b……1分,解12222=+byac……2分,得aby2||=……3分,所以122=ab,2=a……4分,椭圆∑的方程为1422=+yx……5分;⑵直线BD：1)1(1+-=-⨯-=xxy……7分,设AC：bxy+=……8分,由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422yxbxy得0)1(24522=-++bbxx……9分,当05)1(454)2(222>-=-⨯⨯-=∆bbb时……10分,),(11yxA、),(22yxC的中点坐标为54221bxx-=+,5222121bbxxyy=++=+……12分,ABCD是菱形,所以AC的中点在BD上,所以1545+=bb……13分,解得35-=b,满足052>-=∆b,所以AC的方程为35-=xy……14分;⑶本小问不计入总分,仅供部分有余力的学生发挥和教学拓广之用因为四边形ABCD为菱形,且3π=∠ABC,所以BCACAB==,所以菱形ABCD的面积223ACS⨯=,由⑵可得2122122122122)(2)(2)()(xxxxyyxxAC+=-=-+-=222212532532)1(548)58(28bbbxx⨯-=-⨯⨯--⨯=-,因为5||<b,所以当且仅当0=b时,菱形ABCD的面积取得最大值,最大值为531653223=⨯;。

高中数学解析几何应用复习题集附答案

高中数学解析几何应用复习题集附答案高中数学解析几何应用复习题集附答案解析几何是高中数学中的一门重要学科，它将代数与几何相结合，通过分析几何中的图形性质和特点，运用代数方法来解决几何问题。

在高中数学的学习过程中，解析几何是一个相对难度较大的部分，需要学生进行大量的练习和复习。

为了帮助同学们更好地巩固解析几何的知识，下面将为大家提供一套高中数学解析几何应用的复习题目，并附上相应的答案。

题目一：已知点A(1,2)、B(4,5)、C(6,1)，求△ABC的周长和面积。

解法：首先，我们计算△ABC的边长AB、BC和AC的长度：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)= √((4 - 1)² + (5 - 2)²)= √(3² + 3²)= √(18)= 3√2BC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)= √((6 - 4)² + (1 - 5)²)= √(2² + (-4)²)= √(20)= 2√5AC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)= √((6 - 1)² + (1 - 2)²)= √(5² + (-1)²)= √(26)因此，△ABC的周长为AB + BC + AC = 3√2 + 2√5 + √26。

接下来，我们计算△ABC的面积，可以利用向量AB和向量AC的叉乘得到：S △ABC = 1/2 * |(x1 * y2 + x2 * y3 + x3 * y1) - (y1 * x2 + y2 * x3 +y3 * x1)|= 1/2 * |(1 * 5 + 4 * 1 + 6 * 2) - (2 * 4 + 5 * 6 + 1 * 1)|= 1/2 * |(5 + 4 + 12) - (8 + 30 + 1)|= 1/2 * |-6|= 3所以，△ABC的面积为3。

近年高考数学二轮复习专题七解析几何专题对点练257.1~7.3组合练文(2021年整理)

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专题对点练25 7.1～7.3组合练(限时90分钟，满分100分）一、选择题(共9小题,满分45分)1。

直线x-3y+3=0与圆(x—1）2+(y—3)2=10相交所得弦长为（）A.B.C.4D。

32.圆x2+y2—2x—8y+13=0的圆心到直线ax+y—1=0的距离为1，则a=（）A.-B.-C.D.23。

圆x2+y2—4x-4y—10=0上的点到直线x+y—8=0的最大距离与最小距离的差是(）A。

18 B.6C。

5D.44。

已知直线l:mx+y—1=0（m∈R)是圆C：x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴，过点A（-2，m)作圆C的一条切线，切点为B,则｜AB|为()A.4B.2C。

4D.35。

若直线2x+y—4=0,x+ky—3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则此四边形的面积为()A.B。

C。

D.56.已知点P（x，y）是直线kx=y+4(k〉0)上一动点，PA，PB是圆C:x2+y2—2y=0的两条切线,A,B为切点，若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是（)A.B.C.2 D.27.(2018全国Ⅲ，文10)已知双曲线C：=1（a〉0,b>0)的离心率为,则点(4，0)到C的渐近线的距离为()A.B.2C.D.28.已知双曲线=1（a〉0，b〉0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点)，则双曲线的方程为()A.=1 B。

2020版高考数学总复习专题七解析几何7.3解析几何(压轴题)精选刷题练理

7.3 解析几何(压轴题)命题角度1曲线与轨迹问题高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅱ·20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.(2016全国Ⅲ·20)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C 于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.(1)证明由题知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1==-b=k2.所以AR∥FQ.(2)解设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=.由题设可得|b-a|,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以所求轨迹方程为y2=x-1.新题演练提能·刷高分1.(2018山西太原二模)已知以点C(0,1)为圆心的动圆C与y轴负半轴交于点A,其弦AB的中点D恰好落在x轴上.(1)求点B的轨迹E的方程;(2)过直线y=-1上一点P作曲线E的两条切线,切点分别为M,N.求证:直线MN过定点. (1)解设B(x,y),则AB的中点D,y>0.∵C(0,1),则,在☉C中,∵DC⊥DB,∴=0,∴-+y=0,即x2=4y(y>0).∴点B的轨迹E的方程为x2=4y(y>0).(2)证明由已知条件可得曲线E的方程为x2=4y,设点P(t,-1),M(x1,y1),N(x2,y2).∵y=,∴y'=,∴过点M、N的切线方程分别为y-y1=(x-x1),y-y2=(x-x2).由4y1=,4y2=,上述切线方程可化为2(y+y1)=x1x,2(y+y2)=x2x.∵点P在这两条切线上,∴2(y1-1)=tx1,2(y2-1)=tx2,即直线MN的方程为2(y-1)=tx,故直线2(y-1)=tx过定点C(0,1).2.(2018广西梧州3月适应性测试)已知A(-2,0),B(2,0),直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,且k1k2=-.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)设F1(-1,0),F2(1,0),连接PF1并延长,与轨迹C交于另一点Q,点R是PF2中点,O是坐标原点,记△QF1O与△PF1R的面积之和为S,求S的最大值.解(1)设P(x,y),∵A(-2,0),B(2,0),∴k1=,k2=,又k1k2=-,∴=-,∴=1(x≠±2),∴轨迹C的方程为=1(x≠±2).(2)由O,R分别为F1F2,PF2的中点,故OR∥PF1,故△PF1R与△PF1O同底等高,故,S==S△PQO,当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时S△PQO=×1×;当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0;联立解得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,Δ=144(k2+1)>0,故|PQ|=|x1-x2|=,点O到直线PQ的距离d=,S=|PQ|d=6,令u=3+4k2∈(3,+∞),故S=6,故S的最大值为.3.(2018甘肃兰州一模)已知圆C:(x+1)2+y2=8,过D(1,0)且与圆C相切的动圆圆心为P.(1)求点P的轨迹E的方程;(2)设过点C的直线l1交曲线E于Q,S两点,过点D的直线l2交曲线E于R,T两点,且l1⊥l2,垂足为W(Q,R,S,T为不同的四个点).①设W(x0,y0),证明:<1;②求四边形QRST的面积的最小值.(1)解设动圆半径为r,由于D在圆内,圆P与圆C内切,则|PC|=2-r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2>|CD|=2,由椭圆定义可知,点P的轨迹E是椭圆,a=,c=1,b==1,E的方程为+y2=1. (2)①证明由已知条件可知,垂足W在以CD为直径的圆周上,则有=1,又因Q,R,S,T为不同的四个点,<1.②解若l1或l2的斜率不存在,四边形QRST的面积为2.若两条直线的斜率都存在,设l1的斜率为k,则l1的方程为y=k(x+1),解方程组得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,则|QS|=2,同理得|RT|=2,∴S QSRT=|QS|·|RT|=,当且仅当2k2+1=k2+2,即k=±1时等号成立.综上所述,当k=±1时,四边形QRST的面积取得最小值.4.(2018福建福州3月质检)设点A为圆C:x2+y2=4上的动点,点A在x轴上的投影为Q,动点M满足2,动点M的轨迹为E.(1)求E的方程;(2)设E与y轴正半轴的交点为B,过点B的直线l的斜率为k(k≠0),l与E交于另一点P.若以点B为圆心,以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点,求k的取值范围.解(1)设点M(x,y),A(x1,y1),则Q(x1,0),因为2,所以2(x1-x,-y)=(0,-y1),所以解得由于点A在圆C:x2+y2=4上,所以x2+4y2=4,所以点M的轨迹E的方程为+y2=1.(2)由(1)知,E的方程为+y2=1,因为直线l:y=kx+1(k≠0).由得(1+4k2)x2+8kx=0.设B(x1,y1),P(x2,y2),因此x1=0,x2=-,|BP|=|x1-x2|=,则点P的轨迹方程为x2+(y-1)2=, 由得3y2+2y-5+=0(-1≤y≤1),(*)依题意得,(*)式关于y的方程在(-1,1)有两个不同的实数解,设f(x)=3x2+2x-5+(-1<x<1),因为函数f(x)的对称轴为x=-,要使函数f(x)的图象在(-1,1)与x轴有两个不同的交点,则整理得即所以解得k∈,所以k的取值范围为.命题角度2直线与圆锥曲线的位置关系高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·19)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.(1)解由已知得F(1,0),l的方程为x=1.由已知可得,点A的坐标为.所以AM的方程为y=-x+或y=x-.(2)证明当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<,x2<,直线MA,MB的斜率之和为k MA+k MB=,由y1=kx1-k,y2=kx2-k得k MA+k MB=.将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以,x1+x2=,x1x2=.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0.从而k MA+k MB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.2.(2018全国Ⅱ·19)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.3.(2018全国Ⅲ·20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.(1)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1.两式相减,并由=k得·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.①由题设得0<m<,故k<-.(2)解由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P,||=.于是||===2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||,则||,||,||成等差数列,设该数列的公差为d,则2|d|=|||-|||=|x1-x2|=.②将m=代入①得k=-1.所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,并整理得7x2-14x+=0.故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得|d|=.所以该数列的公差为或-.4.(2017全国Ⅲ·20)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.(1)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为=-1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M 上.(2)解由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为,圆M的半径为,圆M 的方程为.5.(2017北京·18)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.(1)解由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)证明由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1),直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=====0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.6.(2017天津·19)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为,已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.解(1)设F的坐标为(-c,0).依题意,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P,故Q.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=.由点B异于点A,可得点B.由Q,可得直线BQ的方程为(x+1)-=0,令y=0,解得x=,故D.所以|AD|=1-.又因为△APD的面积为,故,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=±.所以,直线AP的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0.新题演练提能·刷高分1.(2018河北唐山一模)已知椭圆Γ:=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,长轴长为2,B为直线l:x=-3上的动点,M(m,0),AM⊥BM.当AB⊥l时,M与F重合.(1)求椭圆Γ的方程;(2)若直线BM交椭圆Γ于P,Q两点,若AP⊥AQ,求m的值.解(1)依题意得A(0,b),F(-c,0),当AB⊥l时,B(-3,b),由AF⊥BF,得k AF·k BF==-1,又b2+c2=6,解得c=2,b=.所以,椭圆Γ的方程为=1.(2)由(1)得A(0,),依题意,显然m≠0,所以=-,又AM⊥BM,所以k BM=,所以直线BM的方程为y=(x-m),设P(x1,y1),Q(x2,y2).联立有(2+3m2)x2-6m3x+3m4-12=0,x1+x2=,x1x2=.|PM|·|QM|=|(x1-m)(x2-m)|=|x1x2-m(x1+x2)+m2|==,|AM|2=2+m2,由AP⊥AQ得,|AM|2=|PM|·|QM|,所以=1,解得m=±1.2.(2018河南郑州一模)已知圆C:x2+y2+2x-2y+1=0和抛物线E:y2=2px(p>0),圆心C到抛物线焦点F的距离为.(1)求抛物线E的方程;(2)不过原点的动直线l交抛物线于A,B两点,且满足OA⊥OB.设点M为圆C上任意一动点,求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程.解(1)C:x2+y2+2x-2y+1=0可化为(x+1)2+(y-1)2=1,则圆心C为(-1,1).∵F,0,∴|CF|=,解得p=6.∴抛物线的方程为y2=12x.(2)设直线l为x=my+t(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立可得y2-12my-12t=0.∴y1+y2=12m,y1y2=-12t.∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0.整理可得t2-12t=0,∵t≠0,∴t=12.∴直线l的方程为x=my+12,故直线l过定点P(12,0).∴当CN⊥l时,即动点M经过圆心C(-1,1)时到动直线l的距离取得最大值.k MP=k CP==-,∴m=,此时直线l的方程为x=y+12,即为13x-y-156=0.3.(2018甘肃第一次诊断性考试)椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆E在第一象限交于点P,若|PF1|=5,且3a=b2.(1)求椭圆E的方程;(2)A,B是椭圆C上位于直线l两侧的两点.若直线AB过点(1,-1),且∠APF2=∠BPF2,求直线AB的方程.解(1)由题意可得|PF2|==3,因为|PF1|=5,由椭圆的定义得a=4,所以b2=12,所以椭圆E的方程为=1.(2)易知点P的坐标为(2,3).因为∠APF2=∠BPF2,所以直线PA,PB的斜率之和为0.设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k,设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线PA的方程为y-3=k(x-2),由可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,∴x1+2=.同理,直线PB的方程为y-3=-k(x-2),可得x2+2=,∴x1+x2=,x1-x2=,k AB=,∴满足条件的直线AB的方程为y+1=(x-1),即为x-2y-3=0.命题角度3圆锥曲线的最值、范围问题高考真题体验·对方向1.(2017山东·21)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.(1)求椭圆E的方程.(2)如图,动直线l:y=k1x-交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2=,M是线段OC延长线上一点,且|MC|∶|AB|=2∶3,☉M的半径为|MC|,OS,OT是☉M 的两条切线,切点分别为S,T,求∠SOT的最大值并求取得最大值时直线l的斜率.解(1)由题意知e=,2c=2,所以a=,b=1,因此椭圆E的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得(4+2)x2-4k1x-1=0,由题意知Δ>0,且x1+x2=,x1x2=-.所以|AB|=|x1-x2|=.由题意可知圆M的半径r为r=|AB|=.由题设知k1k2=,所以k2=,因此直线OC的方程为y=x.联立方程得x2=,y2=,因此|OC|=.由题意可知sin=,而=,令t=1+2,则t>1,∈(0,1),因此=≥1,当且仅当,即t=2时等号成立,此时k1=±,所以sin ,因此.所以∠SOT最大值为.综上所述:∠SOT的最大值为,取得最大值时直线l的斜率为k1=±.2.(2016全国Ⅱ·20)已知椭圆E:=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.解(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,E的方程为=1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=2×.(2)由题意t>3,k>0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+)代入=1得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.由x1·(-)=得x1=,故|AM|=|x1+.由题设,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立,因此t=.t>3等价于<0,即<0.由此得解得<k<2.因此k的取值范围是(,2).3.(2016全国Ⅰ·20)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l 交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q 两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.解(1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为:=1(y≠0).(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=,x1x2=,所以|MN|=|x1-x2|=.过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m的距离为,所以|PQ|=2=4.故四边形MPNQ的面积S=|MN||PQ|=12.可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).新题演练提能·刷高分1.(2018江西南昌一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C 于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y1y2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且AD⊥EF,求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.解(1)依题意F,当直线AB的斜率不存在时,|y1y2|=-p2=-4,p=2.当直线AB的斜率存在时,设AB:y=k,由化简得y2-y-p2=0.由y1y2=-4,得p2=4,p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(2)设D(x0,y0),B,则E(-1,t).又由y1y2=-4,可得A.因为k EF=-,AD⊥EF,所以k AD=,故直线AD:y+.由化简得y2-2ty-8-=0,所以y1+y0=2t,y1y0=-8-.所以|AD|=·|y1-y0|=.设点B到直线AD的距离为d,则d=.所以S△ABD=|AD|·d=≥16,当且仅当t4=16,即t=±2.当t=2时,直线AD的方程为x-y-3=0,当t=-2时,直线AD的方程为x+y-3=0.2.(2018山东济南一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:x2=4y,直线l与抛物线C1交于A,B 两点.(1)若直线OA,OB的斜率之积为-,证明:直线l过定点;(2)若线段AB的中点M在曲线C2:y=4-x2(-2<x<2)上,求的最大值.(1)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,由得x2-4kx-4m=0,Δ=16(k2+m)>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,k OA·k OB==-,由已知:k OA·k OB=-,所以m=1,所以直线l的方程为y=kx+1,所以直线l过定点(0,1).(2)解设M(x0,y0),则x0==2k,y0=kx0+m=2k2+m,将M(x0,y0)代入C2:y=4-x2(-2<x<2),得2k2+m=4-(2k)2,∴m=4-3k2.∵-2<x0<2,∴-2<2k<2,∴-<k<.∵Δ=16(k2+m)=16(k2+4-3k2)=32(2-k2)>0,∴-<k<,故k的取值范围是k∈(-).|AB|=,将m=4-3k2代入,得|AB|=4≤4=6,当且仅当k2+1=2-k2,即k=±时取等号,所以|AB|的最大值为6.3.(2018山东青岛一模)已知O为坐标原点,点A,B在椭圆C:+y2=1上,点E-在圆D:x2+y2=r2(r>0)上,AB的中点为Q,满足O,E,Q三点共线.(1)求直线AB的斜率;(2)若直线AB与圆D相交于M,N两点,记△OAB的面积为S1,△OMN的面积为S2,求S=S1+S2的最大值.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点Q(x0,y0).∵点A,B在椭圆C上,∴相减得+(y1-y2)(y1+y2)=0.∴k AB==-.∵x0=,y0=,∴k AB=-.∵E,∴k OE=-.∵O,E,Q三点共线,∴k OQ=k OE=-,∴k AB=-=1.(2)∵点E在圆D上,∴r2=.∴圆D的方程为x2+y2=.设直线AB的方程:y=x+m,由得3x2+4mx+2m2-2=0.由Δ>0得m2<3.x1+x2=-,x1x2=,则|AB|=.设O到直线AB的距离为d,d=,∴|MN|=2=2.∴S=S1+S2=|AB|·d+|MN|·d=×2|m|=,∴当m2=<3时,即m=±时,S max=.4.(2018广东珠海3月质检)已知抛物线C1:y2=2px(p>0),圆C2:x2+y2=4,直线l:y=kx+b与抛物线C1相切于点M,与圆C2相切于点N.(1)若直线l的斜率k=1,求直线l和抛物线C1的方程;(2)设F为抛物线C1的焦点,设△FMN,△FON的面积分别为S1,S2,若S1=λS2,求λ的取值范围.解(1)由题设知l:x-y+b=0,且b>0,由l与C2相切知,C2(0,0)到l的距离d==2,得b=2,∴l:x-y+2=0.将l与C1的方程联立消x得y2-2py+4p=0,其Δ=4p2-16p=0得p=4,∴C1:y2=8x.综上,l:x-y+2=0,C1:y2=8x.(2)不妨设k>0,根据对称性,k>0得到的结论与k<0得到的结论相同.此时b>0,又知p>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),由消y得k2x2+2(kb-p)x+b2=0,其Δ=4(kb-p)2-4k2b2=0得p=2kb,从而解得M,由l与C2切于点N知C2(0,0)到l:kx-y+b=0的距离d==2,得b=2,则p=4k,故M.由得N,故|MN|=|x M-x N|=.F到l:kx-y+b=0的距离d0==2k2+2,∴S1=S△FMN=|MN|d0=,又S2=S△FON=|OF|·|y N|=2k,∴λ=(k2+1)=2k2++3≥2+3.当且仅当2k2=即k=时取等号,与上同理可得,k<0时亦是同上结论.综上,λ的取值范围是[3+2,+∞).命题角度4圆锥曲线的定值、定点问题高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅰ·20)已知椭圆C:=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.(1)解由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.又由知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此解得故C的方程为+y2=1.(2)证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐标分别为.则k1+k2==-1,得t=2,不符合题设.从而可设l:y=kx+m(m≠1).将y=kx+m代入+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.而k1+k2===.由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)·+(m-1)·=0.解得k=-.当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l过定点(2,-1).2.(2016北京·19)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定值.(1)解由题意得解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明由(1)知,A(2,0),B(0,1).设P(x0,y0),则+4=4.当x0≠0时,直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得y M=-,从而|BM|=|1-y M|=.直线PB的方程为y=x+1.令y=0,得x N=-,从而|AN|=|2-x N|=.所以|AN|·|BM|====4.当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|·|BM|=4.综上,|AN|·|BM|为定值.3.(2015全国Ⅱ·20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.(1)解由题意有=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为=1.(2)证明设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故x M=,y M=k·x M+b=.于是直线OM的斜率k OM==-,即k OM·k=-.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.新题演练提能·刷高分1.(2018福建厦门第一次质检)设O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为.直线l:y=kx+m(m>0)与C交于A,B两点,AF的中点为M,|OM|+|MF|=5.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P(0,1),=-4,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.(1)解设椭圆的右焦点为F1,则OM为△AFF1的中位线.∴OM=AF1,MF=AF,∴|OM|+|MF|==a=5,∵e=,∴c=2,∴b=,∴椭圆C的方程为=1.(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0.∴Δ>0,x1+x2=-,x1x2=,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2==.∵P(0,1),=-4,∴(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4,∴+5=0,整理得3m2-m-10=0,解得m=2或m=-(舍去).∴直线l过定点(0,2).2.(2018安徽合肥第二次质检)已知点A(1,0)和动点B,以线段AB为直径的圆内切于圆O:x2+y2=4.(1)求动点B的轨迹方程;(2)已知点P(2,0),Q(2,-1),经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M,N两点,求证:直线PM 与直线PN的斜率之和为定值.(1)解如图,设以线段AB为直径的圆的圆心为C,取A'(-1,0).依题意,圆C内切于圆O,设切点为D,则O,C,D三点共线,∵O为AA'的中点,C为AB中点,∴A'B=2OC.∴|BA'|+|BA|=2OC+2AC=2OC+2CD=2OD=4>|AA'|=2,∴动点B的轨迹是以A,A'为焦点,长轴长为4的椭圆,设其方程为=1(a>b>0), 则2a=4,2c=2,∴a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3,∴动点B的轨迹方程为=1.(2)证明①当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x=2,此时直线l与椭圆=1相切,与题意不符.②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-2).由消去y整理得(4k2+3)x2-(16k2+8k)x+16k2+16k-8=0.∵直线l与椭圆交于M,N两点,∴Δ=(16k2+8k)2-4(4k2+3)(16k2+16k-8)>0,解得k<.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,∴k PM+k PN==2k-=2k-=2k-=2k-=2k+3-2k=3(定值).3.(2018北京丰台期末)在平面直角坐标系xOy中,动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=-1的距离相等,记点P的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点A在曲线C上,x轴上一点B(在点F右侧)满足|AF|=|FB|.平行于AB的直线与曲线C 相切于点D,试判断直线AD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.解(1)因为动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=-1的距离相等,所以动点P的轨迹是以点F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线.设C的方程为y2=2px,则=1,即p=2.所以C的轨迹方程为y2=4x.(2)设A,m,则B+2,0,所以直线AB的斜率为k==-.设与AB平行,且与抛物线C相切的直线为y=-x+b,由得my2+8y-8b=0, 由Δ=64+32mb=0得b=-,所以y D=-,所以点D,-.当,即m≠±2时,直线AD的方程为y-m=x-,整理得y=(x-1),所以直线AD过定点(1,0).当,即m=±2时,直线AD的方程为x=1,过定点(1,0).综上所述,直线AD过定点(1,0).4.(2018四川德阳二诊)已知长度为3的线段AB的两个端点A,B分别在x轴和y轴上运动,动点P满足=2,设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点(4,0)且斜率不为零的直线l与曲线C交于M,N两点,在x轴上是否存在定点T,使得直线MT与NT的斜率之积为常数.若存在,求出定点T的坐标以及此常数;若不存在,请说明理由.解(1)设P(x,y),A(m,0),B(0,n),由于=2,所以(x,y-n)=2(m-x,-y)=(2m-2x,-2y),即所以又|AB|=3,所以m2+n2=18,从而+9y2=18.即曲线C的方程为=1.(2)由题意设直线l的方程为:x=my+4,M(x1,y1),N(x2,y2),由得(m2+4)y2+8my+8=0,所以故x1+x2=m(y1+y2)+8=,x1x2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16=,假设存在定点T(t,0),使得直线MT与NT的斜率之积为常数,则k MT·k NT==.当t2-8=0,且t-4≠0时,k MT·k NT为常数,解得t=±2.显然当t=2时,常数为;当t=-2时,常数为,所以存在两个定点T1(2,0),T2(-2,0),使得直线MT与NT的斜率之积为常数,当定点为T1(2,0)时,常数为;当定点为T2(-2,0)时,常数为.命题角度5圆锥曲线的探究、存在性问题高考真题体验·对方向1.(2015全国Ⅰ·20)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a),或M(-2,a),N(2,a).又y'=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2==.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.2.(2015全国Ⅱ·20)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.(1)证明设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故x M=,y M=kx M+b=.于是直线OM的斜率k OM==-,即k OM·k=-9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)解四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l过点,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3.由(1)得OM的方程为y=-x.设点P的横坐标为x P.由,即x P=.将点的坐标代入l的方程得b=,因此x M=.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即x P=2x M.于是=2×,解得k1=4-,k2=4+.因为k i>0,k i≠3,i=1,2,所以当l的斜率为4-或4+时,四边形OAPB为平行四边形.3.(2014山东·21)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,①证明直线AE过定点,并求出定点坐标;②△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.解(1)由题意知F,设D(t,0)(t>0),则FD的中点为.因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+,解得t=3+p或t=-3(舍去).由=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)①由(1)知F(1,0).设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(x D,0)(x D>0),因为|FA|=|FD|,则|x D-1|=x0+1.由x D>0得x D=x0+2,故D(x0+2,0).故直线AB的斜率k AB=-.因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y=-x+b,代入抛物线方程得y2+y-=0,由题意Δ==0,得b=-.设E(x E,y E),则y E=-,x E=.当≠4时,k AE==-,可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0),由=4x0,整理可得y=(x-1),直线AE恒过点F(1,0).当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0).所以直线AE过定点F(1,0).②由①知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2.设直线AE的方程为x=my+1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=.设B(x1,y1),直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),由于y0≠0,可得x=-y+2+x0,代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0.所以y0+y1=-,可求得y1=-y0-,x1=+x0+4.所以点B到直线AE的距离为d===4.则△ABE的面积S=×4≥16,当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.所以△ABE的面积的最小值为16.新题演练提能·刷高分1.(2018山西太原一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F2(2,0),点B(2,-)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=kx(k≠0)与椭圆C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N,在x轴上,是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化,总有∠MPN为直角?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)依题意,c=2.∵点B(2,-)在C上,∴=1.∵a2=b2+c2,∴a2=8,b2=4,∴椭圆方程为=1.(2)假设存在这样的点P,设P(x0,0),E(x1,y1),则F(-x1,-y1),联立消去y化简得(1+2k2)x2-8=0,解得x1=,y1=.∵A(-2,0),∴AE所在直线方程为y=·(x+2),∴M0,,同理可得N0,,=-x0,,=-x0,,由=0,得-4=0.∴x0=2或x0=-2.∴存在点P,使得无论非零实数k怎么变化,总有∠MPN为直角,点P坐标为(2,0)或(-2,0).2.(2018山东菏泽一模)已知抛物线E的顶点为平面直角坐标系xOy的坐标原点O,焦点为圆F:x2+y2-4x+3=0的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A,D两点,交圆F于B,C两点,A,B 在第一象限,C,D在第四象限.(1)求抛物线E的方程;(2)是否存在直线l使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.解(1)∵圆F的方程为(x-2)2+y2=1,∴圆心F的坐标为(2,0),半径r=1.根据题意设抛物线E的方程为y2=2px(p>0),∴=2,解得p=4.∴抛物线E的方程为y2=8x.(2)∵2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项,|BC|=2r,∴|AB|+|CD|=4|BC|=4×2r=8.∴|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10r=10.讨论:若l垂直于x轴,则l的方程为x=2,代入y2=8x,解得y=±4.此时|AD|=8,不满足题意;若l不垂直于x轴,则设l的斜率为k(k≠0),此时l的方程为y=k(x-2),由得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.∵拋物线E的准线方程为x=-2,∴|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4.∴+4=10,解得k=±2.当k=±2时,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化为x2-6x+4=0.∵(-6)2-4×1×4>0,∴x2-6x+4=0有两个不相等的实数根.∴k=±2满足题意.∴存在满足要求的直线l:2x-y-4=0或2x+y-4=0.3.(2018山西晋城一模)已知直线l1是抛物线C:x2=2py(p>0)的准线,直线l2:3x-4y-6=0,且l2与抛物线C没有公共点,动点P在抛物线C上,点P到直线l1和l2的距离之和的最小值等于2.(1)求抛物线C的方程;(2)点M在直线l1上运动,过点M作抛物线C的两条切线,切点分别为P1,P2,在平面内是否存在定点N,使得MN⊥P1P2恒成立?若存在,请求出定点N的坐标,若不存在,请说明理由.解(1)作PA,PB分别垂直l1和l2,垂足为A,B,抛物线C的焦点为F0,,由抛物线定义知|PA|=|PF|,所以d1+d2=|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,易知d1+d2的最小值即为点F到直线l2的距离,故d==2,∴p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)由(1)知直线l1的方程为y=-1,当点M在特殊位置(0,-1)时,易知两个切点P1,P2关于y轴对称,故要使得MN⊥P1P2,点N必须在y轴上.故设M(m,-1),N(0,n),P1x1,,P2x2,,抛物线C的方程为y=x2,求导得y'=x,所以切线MP1的斜率k1=x1,直线MP1的方程为y-x1(x-x1),又点M在直线MP1上,所以-1-x1(m-x1),整理得-2mx1-4=0,同理可得-2mx2-4=0,故x1和x2是一元二次方程x2-2mx-4=0的两根,由韦达定理得=x2-x1,·(-m,n+1)=(x2-x1)[-4m+(n+1)(x2+x1)]=(x2-x1)[-4m+2m(n+1)]=m(x2-x1)(n-1),可见n=1时,=0恒成立,所以存在定点N(0,1),使得MN⊥P1P2恒成立.4.(2018河北衡水中学七调)如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4(+1).一双曲线的顶点是该椭圆的焦点,且双曲线的实轴长等于虚轴长,设P为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A,B和C,D,且点A,C在x轴的同一侧.(1)求椭圆和双曲线的标准方程;(2)是否存在题设中的点P,使得||+||=?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)由题意知,椭圆离心率e=,即a=c,又2a+2c=4(+1),所以a=2,c=2,所以b2=a2-c2=4,所以椭圆的标准方程为=1.所以椭圆的焦点坐标为(±2,0).又双曲线为等轴双曲线,且顶点是该圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为=1.(2)设P(x0,y0)(x0≠±2),则,因为点P在双曲线=1上,所以=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PF1的方程为y=k(x+2),所以直线PF2的方程为y=(x-2), 联立得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-8=0,所以x1+x2=-,x1·x2=,所以|AB|=.同理可得|CD|=.由题知||+||=|·||·cos θ(θ=∠F1PF2),即cos θ=.因为=||||cos θ,即(-2-x0)(2-x0)+(-y0)(-y0)=,又因为=4,所以2(-4)=,所以=8,=4.即存在满足题意的点P,且点P的坐标为(±2,±2).。

高中数学竞赛(强基计划)历年真题练习专题7 解析几何 (学生版+解析版)

【高中数学竞赛真题·强基计划真题考前适应性训练】专题07解析几何真题专项训练（全国竞赛＋强基计划专用〉一、单选题1. (2020·北京高三强基计划〉从圆～切J羔间的线段称为切J羔弦，贝0椭困C内不与任何切点弦相交的区域丽积为（〉－zA B.!!.3c.主4 D.前三个答案都2不对2. (2022·北京·高三校考强基计划〉内接于椭圆王→L=1的菱形周长的最大值和最小4 9值之利是（〉A. 4..{JjB.14.J]3c孚♂D上述三个选项都不对3. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉己知直线11:y=-..!.x，乌：y=..!.x ，动点户在椭2圆ι4= l(a > b > 0）上，作PM Ill，交12于点M，作PN I I以忏点N若。

－－IPMl2 +IPN l2为定值，则（〉A.ab=2B.ab=3C.a=2bD.a=3b4. (2020北京·高三强基计划〉设直线y=3x+m与椭圆三＋丘＝I交于A,B两点，0为25 16坐标原点，贝I],.OAB面积的最大值为（〉A.88.JO c.12 D.前三个答案都不对s. (2022·贵州·高二统考竞赛〉如圈，c,,c2是离心率都为e的椭圆，点A,B是分别是C2的右顶点和上顶点，过A,B两点分别作c,�］切线，，' 12 .若直线l，，儿的斜率分别芳、J k, , k2，则lk儿｜的值为（〉A .e 2 B.e 2 -1C.I-e2D.-i e 6. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉过椭圆！....＋L =I 的中心作两条互相垂直的弦4 9A C 和B D ，顺次连接A ,B,C,D 得－四边形，则该四边形的丽积可能为（A. 10B. 12c. 14D. 167.(2019贵州高三校联考竞赛〉设椭圆C：牛牛！（a>b>O）的左、右焦点分别为。

专题七解析几何第一讲直线与圆—2023届高考数学二轮复习重点练(含解析)

专题七解析几何第一讲直线与圆1.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为( )A.5B.5C.5D.52.下列说法中不正确的是( )A.平面上任一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)表示B.当0C =时,方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)表示的直线过原点C.当0,0,0A B C =≠≠时,方程0Ax By C ++=表示的直线与 x 轴平行D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化3.已知设点M 是圆224690C x y x y +--+=上的动点，则点M 到直线240x y ++=距离的最小值为( )2 2- 2+ 2 4.已知直线1l ，2l 分别过点(1,3)P -，(2,1)Q -，若它们分别绕点P ，Q 旋转，但始终保持平行，则1l ，2l 之间的距离d 的取值范围为( )A.(0,5]B.(0,5)C.(0,)+∞D.5.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是( )A.[2,6]B.[4,8]C.D.6.已知直线:10l x ay +-=是圆22:6210C x y x y +--+=的对称轴,过点()1,A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则AB =( ) A.1B.2C.4D.87.已知点(2,0),(1,1)A B --，射线AP 与x 轴的正方向所成的角为π4，点Q 满足||1QB =，则||PQ 的最小值为( )1 B.1 C.1 18.（多选）已知直线12:210,:20l ax y a l x ay a --+=+--=,圆22:4240E x y x y +-+-=,则以下命题正确的是( )A.直线12,l l 均与圆E 不一定相交B.直线1l 被圆E 截得的弦长的最小值C.直线2l 被圆E 截得的弦长的最大值6D.若直线1l 与圆E 交于2,,A C l 与圆E 交于,B D ,则四边形ABCD 面积最大值为14 9. （多选）已知圆221:()1C x a y ++=，圆2222:()(2)2C x a y a a -+-=，下列说法正确的是( )A.若12C OC △（O 为坐标原点）的面积为2，则圆2C 的面积为2πB.若a ，则圆1C 与圆2C 外离C.若a ，则y x =1C 与圆2C 的一条公切线D.若a 1C 与圆2C 上两点间距离的最大值为610. （多选）已知直线11:0l ax y -+=，2:10l x ay ++=，a ∈R ，则下列结论中正确的是( )A.不论a 为何值，1l ，2l 都互相垂直B.当a 变化时，1l ，2l 分别经过定点(0,1)A 和(1,0)B -C.不论a 为何值，1l ，2l 都关于直线0x y +=对称D.若1l ，2l 相交于点M ，则MO11.过两直线10x +=0y +的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________________.12.圆221:2120C x y x ++-=与圆222:440C x y x y ++-=的交点为A ，B ，则弦AB 的长为_____.13.已知圆22:2410C x y x y ++-+=，若存在圆C 的弦AB ，使得AB =，且其中点M 在直线20x y k ++=上，则实数k 的取值范围是___________.14.已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B.（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以20,5E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.15.已知半圆224(0)x y y +=≥，动圆与此半圆相切（内切或外切，如图），且与x 轴相切.（1）求动圆圆心的轨迹方程，并画出其轨迹.（2）是否存在斜率为13的直线l ，它与（1）中所得的轨迹由左至右顺次交于A ，B ，C ，D 四点，且满足||2||AD BC =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：B解析：设圆心为()00,P x y ，半径为r ，圆与x 轴，y 轴都相切，00x y r ∴==，又圆经过点(2,1)，00x y r ∴==且()()2220021x y r -+-=，222(2)(1)r r r ∴-+-=，解得1r =或5r =.①1r =时，圆心(1,1)P ，则圆心到直线230x y --=的距离d ==②5r =时，圆心(5,5)P ，则圆心到直线230x y --=的距离d ==故选B. 2.答案：D解析：对于选项A,在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α,当90α≠︒时,直线的斜率k 存在,其方程可写成y kx b =+,它可变形为0kx y b -+=,与0Ax By C ++=比较,可得,1,A k B C b ==-=；当90α=︒时,直线的斜率不存在,其方程可写成1x x =,与0Ax B C ++=比较,可得11,0,A B C x ===-,显然,A B 不同时为0,所以此说法是正确的.对于选项B,当0C =时,方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0),即0Ax By +=,显然有000A B ⨯+⨯=,即直线过原点()0,0,故此说法正确.对于选项C,因为当0A =,0,0B C ≠≠时,方程0Ax By C ++=可化为Cy B=-,它表示的直线与x 轴平行,故此说法正确.D 说法显然错误. 3.答案：B解析：由题意可知圆心(2,3)C ，半径2r =，则点M 到直线240x y ++=距离的最小值min22d =-=-，故选B. 4.答案：A解析：易知两直线之间的最大距离为P ，Q 两点间的距离，由两点间的距离公式得||5PQ .故1l ，2l 之间的距离d 的取值范围为(0,5].5.答案：A解析：由圆22(2)2x y -+=可得圆心坐标为()2,0，半径r ABP △的面积记为S ，点P 到直线AB 的距离记为d ，则有1||2S AB d =⋅.易知||AB =max d ==，min d =26S ≤≤，故选A.6.答案：C解析：已知直线:10l x ay +-=是圆22:6210C x y x y +--+=的对称轴,圆心()3,1C ,半径3r =,所以直线l 过圆心()3,1C ,故310a +-=,故2a =-.所以点()1,2A --,||5AC =,||4AB ==.故选C.7.答案：A解析：因为||1QB =，所以点Q 在以点B 为圆心，1为半径的圆上，显然当射线AP 在x 轴的下方时||PQ 取得最小值，此时直线:20AP x y ++=，点B 到AP 的距离d ==所以||PQ 1，故选A. 8.答案：BCD解析：由题意,直线1:210l ax y a --+=,即(2)10a x y --+=.令20x -=,得2,1x y ==,即直线1l 过定点()2,1;直线2:20l x ay a +--=,即2(1)0x a y -+-=,令10y -=,得2,1x y ==,即直线2l 过定点()2,1,所以直线12,l l 过同一个定点()2,1,记为点M .圆22:4240E x y x y +-+-=可化为22(2)(1)9x y -++=,而点()2,1M 在圆E 内部,所以直线12,l l 均与圆E 相交,所以A 选项错误;对于直线1l ,当0a =时,直线1l 被圆E 截得的弦长最小,且最小值为所以B 选项正确;对于直线2l ,当0a =时,直线2l 被圆E 截得的弦长最大,且最大值恰好为圆E 的直径6,所以C 选项正确;又当0a ≠时,直线1l 的斜率为a ,直线2l 的斜率为1a-,即直线12l l ⊥.设圆心E 到直线12,l l 的距离分别为12,d d ,则12d d ==又22212||4d d EM +==,即22||||99444AC BD -+-=,所以22||||56AC BD +=,所以2211||||||||14222ABCDAC BD S AC BD +=⋅≤⨯=四边形,当且仅当||||AC BD ==,等号成立,故四边形ABCD 面积最大值为14,所以D 选项正确,故选BCD. 9.答案：BC解析：本题考查圆与圆的位置关系.依题意1(,0)C a -，2(,2)C a a ，圆1C 半径11r =，圆2C 半径2|r a =.对于选项A ，1221|||2|22C OC S a a a =-⋅==△，则a =2|2r a ==，则圆2C 的面积为22π4πr =，选项A 错误；对于选项B，12|C C a，121|r r a +=+，若圆1C 与圆2C 外离，则1212C C r r >+，即|1|a a >，得2a >或2a <，选项B 正确；对于选项C ，当a =时，1C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2C ⎝，121r r ==，1212|2C C a r r ===+，所以圆1C 与圆2C 外切，且121C C k =，所以两圆的公切线中有两条的斜率为1，设切线方程为0x y b -+=1=，解得2b =-或2b =，则一条切线方程为0x y -=，即y x =，选项C 正确；对于选项D，当a =1(C，2C ，11r =，22r =，12|4C C a ==，圆1C 与圆2C 上两点间距离的最大值为1247r r ++=，选项D 错误.故选BC.10.答案：ABD解析：因为110a a ⨯-⨯=，所以无论a 为何值，1l ，2l 都互相垂直，故A 正确；1l ，2l 分别经过定点(0,1)A 和(1,0)B -，故B 正确；1:10l ax y -+=关于直线0x y +=对称的直线方程为10ay x -++=，不是2:10l x ay ++=，故C 错误；由10,10,ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩解得221,11,1a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MO =≤MO的最大值是D 正确.故选ABD.11.答案：12x =或10x +=解析：联立10,0,x y ⎧+=⎪+解得1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即两直线的交点为12⎛ ⎝⎭.当直线的斜率不存在时，12x =，到原点的距离等于12，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为12y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即220kx y k -+=.因为直线与原点的最短距离为12，所以12=，解得k =，所以所求直线的方程为10x +=，所以所求直线的方程为12x =或10x +=. 12.答案：解析：圆221:2120C x y x ++-=与圆222:440C x y x y ++-=联立可得：公共弦的方程为260x y -+=，222:440C x y x y ++-=变形为()()222:228C x y ++=-，故222:440C x y x y ++-=的圆心为()22,2C -，半径为，而()22,2C -满足260x y -+=，故弦AB 的长为圆2C 的直径，故弦AB的长为.故答案为：. 13.答案：k 解析：圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y ++-=，圆心(1,2)C -，半径2r =，由于弦AB满足||AB =M，则||1CM ，因此M 点在以(1,2)C -为圆心，1为半径的圆上，又点M 在直线20x y k ++=上，故直线20x y k ++=与圆22(1)(2)1x y ++-=1≤，解得k ≤14.答案：（1）见解析（2）当0t =时，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 解析：（1）证明：依题意，可设:AB y kx b =+，1,2D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()()2212,B x y x x ≠.联立2,2,x y y kx b ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得2220x kx b --=. 2480k b ∆=+>，122x x k +=，122x x b =-.又直线DA 与抛物线相切，则2111122x x x t+=-，所以211210x tx --=，同理222210x tx --=. 所以1222k x x t =+=，1221b x x -=⋅=-，所以k t =，12b =，则直线1:2AB y tx =+，必过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭. （2）解法一：由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由21,22y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得2210x tx --=. 于是122x x t +=，()21212121y y t x x t +=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，||2EM =，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 解法二：设M 为线段AB 的中点，由（1）可知212,M t t ⎛+⎫ ⎪⎝⎭.所以()2,2EM t t =-，()2,FM t t =，又EM FM ⊥，则()2220t t t t ⋅+-⋅=，解得0t =或1t =或1t =-.当0t =时，||2EM =，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 15.答案：（1）见解析（2）不存在满足题意的直线l .理由见解析解析：（1）设动圆圆心(,)M x y ，作MN x ⊥轴于点N . ①若动圆与半圆外切，则||2||MO MN =+，2y +，两边平方得22244x y y y +=++，化简得211(0)4y x y =->. ②若动圆与半圆内切，则||2||MO MN =-，2y =-，两边平方得22244x y y y +=-+，化简得211(0)4y x y =-+>.综上，当动圆与半圆外切时，动圆圆心的轨迹方程为211(0)4y x y =->；当动圆与半圆内切时，动圆圆心的轨迹方程为211(0)4y x y =-+>. 动圆圆心的轨迹如图所示.（2）假设满足题意的直线l 存在，可设l 的方程为13y x b =+.依题意，可得直线l 与曲线211(0)4y x y =->交于A ，D 两点，与曲线211(0)4y x y =-+>交于B ，C 两点.由21,3114y x b y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩与21,311,4y x b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 整理可得23412120x x b ---=①与23412120x x b ++-=②. 设(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C x y ，(),D D D x y ，则43A D x x +=，12123A D b x x --=，43B C x x +=-，12123B C b x x -=.又||A D AD x =-，||B C BC x -，且||2||AD BC =，2A D B C x x x x ∴-=-，即()()22444A D A D B C B C x x x x x x x x ⎡⎤+-=+-⎣⎦，整理得2244(1212)44(1212)43333b b ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得23b =.将23b =代入方程①，得2A x =-，103D x =. 函数211(0)4y x y =->的定义域为(,2)(2,)-∞-+∞，∴假设不成立，即不存在满足题意的直线l .。

2023高考数学解析几何复习题集附答案

2023高考数学解析几何复习题集附答案2023高考数学解析几何复习题集附答案*本文为2023年高考数学解析几何复习题集，共附带答案。

以下按照题目类型分类，分别给出题目和答案。

一、点、线、面的位置关系1. 已知点A(2,3)和B(-1,4)，求向量AB的坐标。

解析：向量AB的坐标表示为<XB - XA, YB - YA>，其中XA和YA分别是点A的横纵坐标，XB和YB分别是点B的横纵坐标。

代入数据，得到向量AB的坐标为<-3, 1>。

2. 已知直线L的方程为2x - 3y + 6 = 0，求过点(1,2)且垂直于直线L 的直线方程。

解析：由于垂直于直线L的直线斜率的乘积为-1，所以我们需要知道直线L的斜率，即L的系数比例。

将L的方程转化为斜截式方程y = mx + b的形式，其中m为斜率，b为截距。

将2x - 3y + 6 = 0转化为y = mx + b形式得到 y = (2/3)x - 2。

斜率m 为2/3，垂直于L的直线的斜率为-3/2（斜率的乘积为-1）。

过点(1,2)且斜率为-3/2的直线方程为y - 2 = -3/2(x - 1)。

二、直线与圆的位置关系1. 已知直线L的方程为2x - 3y + 6 = 0，圆C的方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0，判断直线L和圆C的位置关系。

解析：我们可以通过求直线L的斜率与圆C的判别式（D）的符号来判断直线和圆的位置关系。

首先，将L的方程转化为斜截式方程y = mx + b的形式，其中m为斜率，b为截距。

将2x - 3y + 6 = 0转化为y = mx + b形式得到 y = (2/3)x - 2。

斜率m 为2/3。

将圆C的方程中的项进行配方，并移项得到(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25。

判别式D为 D = (m^2 + 1)r^2 - (2mb + 2a)r + (b^2 + a^2 - r^2)其中，a、b分别为直线L和圆心的横纵坐标，r为圆的半径。

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7.3 解析几何(压轴题)命题角度1曲线与轨迹问题高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅱ·20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t -n).由=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.(2016全国Ⅲ·20)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C 于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.(1)证明由题知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1==-b=k2.所以AR∥FQ.(2)解设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=.由题设可得|b-a|,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以所求轨迹方程为y2=x-1.新题演练提能·刷高分1.(2018山西太原二模)已知以点C(0,1)为圆心的动圆C与y轴负半轴交于点A,其弦AB的中点D恰好落在x轴上.(1)求点B的轨迹E的方程;(2)过直线y=-1上一点P作曲线E的两条切线,切点分别为M,N.求证:直线MN过定点. (1)解设B(x,y),则AB的中点D,y>0.∵C(0,1),则,在☉C中,∵DC⊥DB,∴=0,∴-+y=0,即x2=4y(y>0).∴点B的轨迹E的方程为x2=4y(y>0).(2)证明由已知条件可得曲线E的方程为x2=4y,设点P(t,-1),M(x1,y1),N(x2,y2).∵y=,∴y'=,∴过点M、N的切线方程分别为y-y1=(x-x1),y-y2=(x-x2).由4y1=,4y2=,上述切线方程可化为2(y+y1)=x1x,2(y+y2)=x2x.∵点P在这两条切线上,∴2(y1-1)=tx1,2(y2-1)=tx2,即直线MN的方程为2(y-1)=tx,故直线2(y-1)=tx过定点C(0,1).2.(2018广西梧州3月适应性测试)已知A(-2,0),B(2,0),直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,且k1k2=-.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)设F1(-1,0),F2(1,0),连接PF1并延长,与轨迹C交于另一点Q,点R是PF2中点,O是坐标原点,记△QF1O与△PF1R的面积之和为S,求S的最大值.解(1)设P(x,y),∵A(-2,0),B(2,0),∴k1=,k2=,又k1k2=-,∴=-,∴=1(x≠±2),∴轨迹C的方程为=1(x≠±2).(2)由O,R分别为F1F2,PF2的中点,故OR∥PF1,故△PF1R与△PF1O同底等高,故,S==S△PQO,当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时S△PQO=×1×;当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0;联立解得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,Δ=144(k2+1)>0,故|PQ|=|x1-x2|=,点O到直线PQ的距离d=,S=|PQ|d=6,令u=3+4k2∈(3,+∞),故S=6,故S的最大值为.3.(2018甘肃兰州一模)已知圆C:(x+1)2+y2=8,过D(1,0)且与圆C相切的动圆圆心为P.(1)求点P的轨迹E的方程;(2)设过点C的直线l1交曲线E于Q,S两点,过点D的直线l2交曲线E于R,T两点,且l1⊥l2,垂足为W(Q,R,S,T为不同的四个点).①设W(x0,y0),证明:<1;②求四边形QRST的面积的最小值.(1)解设动圆半径为r,由于D在圆内,圆P与圆C内切,则|PC|=2-r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2>|CD|=2,由椭圆定义可知,点P的轨迹E是椭圆,a=,c=1,b==1,E的方程为+y2=1.(2)①证明由已知条件可知,垂足W在以CD为直径的圆周上,则有=1,又因Q,R,S,T为不同的四个点,<1.②解若l1或l2的斜率不存在,四边形QRST的面积为2.若两条直线的斜率都存在,设l1的斜率为k,则l1的方程为y=k(x+1),解方程组得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,则|QS|=2,同理得|RT|=2,∴S QSRT=|QS|·|RT|=,当且仅当2k2+1=k2+2,即k=±1时等号成立.综上所述,当k=±1时,四边形QRST的面积取得最小值.4.(2018福建福州3月质检)设点A为圆C:x2+y2=4上的动点,点A在x轴上的投影为Q,动点M满足2,动点M的轨迹为E.(1)求E的方程;(2)设E与y轴正半轴的交点为B,过点B的直线l的斜率为k(k≠0),l与E交于另一点P.若以点B为圆心,以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点,求k的取值范围.解(1)设点M(x,y),A(x1,y1),则Q(x1,0),因为2,所以2(x1-x,-y)=(0,-y1),所以解得由于点A在圆C:x2+y2=4上,所以x2+4y2=4,所以点M的轨迹E的方程为+y2=1.(2)由(1)知,E的方程为+y2=1,因为直线l:y=kx+1(k≠0).由得(1+4k2)x2+8kx=0.设B(x1,y1),P(x2,y2),因此x1=0,x2=-,|BP|=|x1-x2|=,则点P的轨迹方程为x2+(y-1)2=,由得3y2+2y-5+=0(-1≤y≤1),(*)依题意得,(*)式关于y的方程在(-1,1)有两个不同的实数解,设f(x)=3x2+2x-5+(-1<x<1),因为函数f(x)的对称轴为x=-,要使函数f(x)的图象在(-1,1)与x轴有两个不同的交点,则整理得即所以解得k∈,所以k的取值范围为.命题角度2直线与圆锥曲线的位置关系高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·19)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.(1)解由已知得F(1,0),l的方程为x=1.由已知可得,点A的坐标为.所以AM的方程为y=-x+或y=x-.(2)证明当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<,x2<,直线MA,MB的斜率之和为k MA+k MB=,由y1=kx1-k,y2=kx2-k得k MA+k MB=.将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以,x1+x2=,x1x2=.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0.从而k MA+k MB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.2.(2018全国Ⅱ·19)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.3.(2018全国Ⅲ·20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.(1)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1.两式相减,并由=k得·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.①由题设得0<m<,故k<-.(2)解由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P,||=.于是||===2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||,则||,||,||成等差数列, 设该数列的公差为d,则2|d|=|||-|||=|x1-x2|=.②将m=代入①得k=-1.所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,并整理得7x2-14x+=0.故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得|d|=.所以该数列的公差为或-.4.(2017全国Ⅲ·20)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.(1)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为=-1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.(2)解由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M 的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为,圆M的半径为,圆M的方程为.5.(2017北京·18)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.(1)解由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)证明由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1),直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=====0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.6.(2017天津·19)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为,已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.解(1)设F的坐标为(-c,0).依题意,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P,故Q.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=.由点B异于点A,可得点B.由Q,可得直线BQ的方程为(x+1)-=0,令y=0,解得x=,故D.所以|AD|=1-.又因为△APD的面积为,故,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=±.所以,直线AP的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0.新题演练提能·刷高分1.(2018河北唐山一模)已知椭圆Γ:=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,长轴长为2,B为直线l:x=-3上的动点,M(m,0),AM⊥BM.当AB⊥l时,M与F重合.(1)求椭圆Γ的方程;(2)若直线BM交椭圆Γ于P,Q两点,若AP⊥AQ,求m的值.解(1)依题意得A(0,b),F(-c,0),当AB⊥l时,B(-3,b),由AF⊥BF,得k AF·k BF==-1,又b2+c2=6,解得c=2,b=.所以,椭圆Γ的方程为=1.(2)由(1)得A(0,),依题意,显然m≠0,所以=-,又AM⊥BM,所以k BM=,所以直线BM的方程为y=(x-m),设P(x1,y1),Q(x2,y2).联立有(2+3m2)x2-6m3x+3m4-12=0,x1+x2=,x1x2=.|PM|·|QM|=|(x1-m)(x2-m)|=|x1x2-m(x1+x2)+m2|==,|AM|2=2+m2,由AP⊥AQ得,|AM|2=|PM|·|QM|,所以=1,解得m=±1.2.(2018河南郑州一模)已知圆C:x2+y2+2x-2y+1=0和抛物线E:y2=2px(p>0),圆心C到抛物线焦点F的距离为.(1)求抛物线E的方程;(2)不过原点的动直线l交抛物线于A,B两点,且满足OA⊥OB.设点M为圆C上任意一动点,求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程.解(1)C:x2+y2+2x-2y+1=0可化为(x+1)2+(y-1)2=1,则圆心C为(-1,1).∵F,0,∴|CF|=,解得p=6.∴抛物线的方程为y2=12x.(2)设直线l为x=my+t(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立可得y2-12my-12t=0.∴y1+y2=12m,y1y2=-12t.∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0.整理可得t2-12t=0,∵t≠0,∴t=12.∴直线l的方程为x=my+12,故直线l过定点P(12,0).∴当CN⊥l时,即动点M经过圆心C(-1,1)时到动直线l的距离取得最大值.k MP=k CP==-,∴m=,此时直线l的方程为x=y+12,即为13x-y-156=0.3.(2018甘肃第一次诊断性考试)椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆E在第一象限交于点P,若|PF1|=5,且3a=b2.(1)求椭圆E的方程;(2)A,B是椭圆C上位于直线l两侧的两点.若直线AB过点(1,-1),且∠APF2=∠BPF2,求直线AB的方程.解(1)由题意可得|PF2|==3,因为|PF1|=5,由椭圆的定义得a=4,所以b2=12,所以椭圆E的方程为=1.(2)易知点P的坐标为(2,3).因为∠APF2=∠BPF2,所以直线PA,PB的斜率之和为0.设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k,设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线PA的方程为y-3=k(x-2),由可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,∴x1+2=.同理,直线PB的方程为y-3=-k(x-2),可得x2+2=,∴x1+x2=,x1-x2=,k AB=,∴满足条件的直线AB的方程为y+1=(x-1),即为x-2y-3=0.命题角度3圆锥曲线的最值、范围问题高考真题体验·对方向1.(2017山东·21)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.(1)求椭圆E的方程.(2)如图,动直线l:y=k1x-交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2=,M是线段OC延长线上一点,且|MC|∶|AB|=2∶3,☉M的半径为|MC|,OS,OT是☉M的两条切线,切点分别为S,T,求∠SOT的最大值并求取得最大值时直线l的斜率.解(1)由题意知e=,2c=2,所以a=,b=1,因此椭圆E的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得(4+2)x2-4k1x-1=0,由题意知Δ>0,且x1+x2=,x1x2=-.所以|AB|=|x1-x2|=.由题意可知圆M的半径r为r=|AB|=.由题设知k1k2=,所以k2=,因此直线OC的方程为y=x.联立方程得x2=,y2=,因此|OC|=.由题意可知sin=,而=,令t=1+2,则t>1,∈(0,1),因此=≥1,当且仅当,即t=2时等号成立,此时k1=±,所以sin ,因此.所以∠SOT最大值为.综上所述:∠SOT的最大值为,取得最大值时直线l的斜率为k1=±.2.(2016全国Ⅱ·20)已知椭圆E:=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.解(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,E的方程为=1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=2×.(2)由题意t>3,k>0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+)代入=1得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.由x1·(-)=得x1=,故|AM|=|x1+.由题设,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立,因此t=.t>3等价于<0,即<0.由此得解得<k<2.因此k的取值范围是(,2).3.(2016全国Ⅰ·20)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l 交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q 两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.解(1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为:=1(y≠0).(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=,x1x2=,所以|MN|=|x1-x2|=.过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m的距离为,所以|PQ|=2=4.故四边形MPNQ的面积S=|MN||PQ|=12.可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).新题演练提能·刷高分1.(2018江西南昌一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C 于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y1y2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且AD⊥EF,求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.解(1)依题意F,当直线AB的斜率不存在时,|y1y2|=-p2=-4,p=2.当直线AB的斜率存在时,设AB:y=k,由化简得y2-y-p2=0.由y1y2=-4,得p2=4,p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(2)设D(x0,y0),B,则E(-1,t).又由y1y2=-4,可得A.因为k EF=-,AD⊥EF,所以k AD=,故直线AD:y+.由化简得y2-2ty-8-=0,所以y1+y0=2t,y1y0=-8-.所以|AD|=·|y1-y0|=.设点B到直线AD的距离为d,则d=.所以S△ABD=|AD|·d=≥16,当且仅当t4=16,即t=±2.当t=2时,直线AD的方程为x-y-3=0,当t=-2时,直线AD的方程为x+y-3=0.2.(2018山东济南一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:x2=4y,直线l与抛物线C1交于A,B 两点.(1)若直线OA,OB的斜率之积为-,证明:直线l过定点;(2)若线段AB的中点M在曲线C2:y=4-x2(-2<x<2)上,求的最大值.(1)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,由得x2-4kx-4m=0,Δ=16(k2+m)>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,k OA·k OB==-,由已知:k OA·k OB=-,所以m=1,所以直线l的方程为y=kx+1,所以直线l过定点(0,1).(2)解设M(x0,y0),则x0==2k,y0=kx0+m=2k2+m,将M(x0,y0)代入C2:y=4-x2(-2<x<2),得2k2+m=4-(2k)2,∴m=4-3k2.∵-2<x0<2,∴-2<2k<2,∴-<k<.∵Δ=16(k2+m)=16(k2+4-3k2)=32(2-k2)>0,∴-<k<,故k的取值范围是k∈(-).|AB|=,将m=4-3k2代入,得|AB|=4≤4=6, 当且仅当k2+1=2-k2,即k=±时取等号,所以|AB|的最大值为6.3.(2018山东青岛一模)已知O为坐标原点,点A,B在椭圆C:+y2=1上,点E-在圆D:x2+y2=r2(r>0)上,AB的中点为Q,满足O,E,Q三点共线.(1)求直线AB的斜率;(2)若直线AB与圆D相交于M,N两点,记△OAB的面积为S1,△OMN的面积为S2,求S=S1+S2的最大值.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点Q(x0,y0).∵点A,B在椭圆C上,∴相减得+(y1-y2)(y1+y2)=0.∴k AB==-.∵x0=,y0=,∴k AB=-.∵E,∴k OE=-.∵O,E,Q三点共线,∴k OQ=k OE=-,∴k AB=-=1.(2)∵点E在圆D上,∴r2=.∴圆D的方程为x2+y2=.设直线AB的方程:y=x+m,由得3x2+4mx+2m2-2=0.由Δ>0得m2<3.x1+x2=-,x1x2=,则|AB|=.设O到直线AB的距离为d,d=,∴|MN|=2=2.∴S=S1+S2=|AB|·d+|MN|·d=×2|m|=,∴当m2=<3时,即m=±时,S max=. 4.(2018广东珠海3月质检)已知抛物线C1:y2=2px(p>0),圆C2:x2+y2=4,直线l:y=kx+b与抛物线C1相切于点M,与圆C2相切于点N.(1)若直线l的斜率k=1,求直线l和抛物线C1的方程;(2)设F为抛物线C1的焦点,设△FMN,△FON的面积分别为S1,S2,若S1=λS2,求λ的取值范围.解(1)由题设知l:x-y+b=0,且b>0,由l与C2相切知,C2(0,0)到l的距离d==2,得b=2,∴l:x-y+2=0.将l与C1的方程联立消x得y2-2py+4p=0,其Δ=4p2-16p=0得p=4,∴C1:y2=8x.综上,l:x-y+2=0,C1:y2=8x.(2)不妨设k>0,根据对称性,k>0得到的结论与k<0得到的结论相同.此时b>0,又知p>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),由消y得k2x2+2(kb-p)x+b2=0,其Δ=4(kb-p)2-4k2b2=0得p=2kb,从而解得M,由l与C2切于点N知C2(0,0)到l:kx-y+b=0的距离d==2,得b=2,则p=4k,故M.由得N,故|MN|=|x M-x N|=.F到l:kx-y+b=0的距离d0==2k2+2,∴S1=S△FMN=|MN|d0=,又S2=S△FON=|OF|·|y N|=2k,∴λ=(k2+1)=2k2++3≥2+3.当且仅当2k2=即k=时取等号,与上同理可得,k<0时亦是同上结论.综上,λ的取值范围是[3+2,+∞).命题角度4圆锥曲线的定值、定点问题高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅰ·20)已知椭圆C:=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.(1)解由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.又由知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此解得故C的方程为+y2=1.(2)证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐标分别为.则k1+k2==-1,得t=2,不符合题设.从而可设l:y=kx+m(m≠1).将y=kx+m代入+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.而k1+k2===.由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)·+(m-1)·=0.解得k=-.当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l过定点(2,-1).2.(2016北京·19)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定值.(1)解由题意得解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明由(1)知,A(2,0),B(0,1).设P(x0,y0),则+4=4.当x0≠0时,直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得y M=-,从而|BM|=|1-y M|=.直线PB的方程为y=x+1.令y=0,得x N=-,从而|AN|=|2-x N|=.所以|AN|·|BM|====4.当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|·|BM|=4.综上,|AN|·|BM|为定值.3.(2015全国Ⅱ·20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.(1)解由题意有=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为=1.(2)证明设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故x M=,y M=k·x M+b=.于是直线OM的斜率k OM==-,即k OM·k=-.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.新题演练提能·刷高分1.(2018福建厦门第一次质检)设O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为.直线l:y=kx+m(m>0)与C交于A,B两点,AF的中点为M,|OM|+|MF|=5.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P(0,1),=-4,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.(1)解设椭圆的右焦点为F1,则OM为△AFF1的中位线.∴OM=AF1,MF=AF,∴|OM|+|MF|==a=5,∵e=,∴c=2,∴b=,∴椭圆C的方程为=1.(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0.∴Δ>0,x1+x2=-,x1x2=,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2==.∵P(0,1),=-4,∴(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4,∴+5=0,整理得3m2-m-10=0,解得m=2或m=-(舍去).∴直线l过定点(0,2).2.(2018安徽合肥第二次质检)已知点A(1,0)和动点B,以线段AB为直径的圆内切于圆O:x2+y2=4.(1)求动点B的轨迹方程;(2)已知点P(2,0),Q(2,-1),经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M,N两点,求证:直线PM 与直线PN的斜率之和为定值.(1)解如图,设以线段AB为直径的圆的圆心为C,取A'(-1,0).依题意,圆C内切于圆O,设切点为D,则O,C,D三点共线,∵O为AA'的中点,C为AB中点,∴A'B=2OC.∴|BA'|+|BA|=2OC+2AC=2OC+2CD=2OD=4>|AA'|=2,∴动点B的轨迹是以A,A'为焦点,长轴长为4的椭圆,设其方程为=1(a>b>0), 则2a=4,2c=2,∴a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3,∴动点B的轨迹方程为=1.(2)证明①当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x=2,此时直线l与椭圆=1相切,与题意不符.②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-2).由消去y整理得(4k2+3)x2-(16k2+8k)x+16k2+16k-8=0.∵直线l与椭圆交于M,N两点,∴Δ=(16k2+8k)2-4(4k2+3)(16k2+16k-8)>0,解得k<.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,∴k PM+k PN==2k-=2k-=2k-=2k-=2k+3-2k=3(定值).3.(2018北京丰台期末)在平面直角坐标系xOy中,动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=-1的距离相等,记点P的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点A在曲线C上,x轴上一点B(在点F右侧)满足|AF|=|FB|.平行于AB的直线与曲线C 相切于点D,试判断直线AD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.解(1)因为动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=-1的距离相等,所以动点P的轨迹是以点F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线.设C的方程为y2=2px,则=1,即p=2.所以C的轨迹方程为y2=4x.(2)设A,m,则B+2,0,所以直线AB的斜率为k==-.设与AB平行,且与抛物线C相切的直线为y=-x+b,由得my2+8y-8b=0,由Δ=64+32mb=0得b=-,所以y D=-,所以点D,-.当,即m≠±2时,直线AD的方程为y-m=x-,整理得y=(x-1),所以直线AD过定点(1,0).当,即m=±2时,直线AD的方程为x=1,过定点(1,0).综上所述,直线AD过定点(1,0).4.(2018四川德阳二诊)已知长度为3的线段AB的两个端点A,B分别在x轴和y轴上运动,动点P满足=2,设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点(4,0)且斜率不为零的直线l与曲线C交于M,N两点,在x轴上是否存在定点T,使得直线MT与NT的斜率之积为常数.若存在,求出定点T的坐标以及此常数;若不存在,请说明理由.解(1)设P(x,y),A(m,0),B(0,n),由于=2,所以(x,y-n)=2(m-x,-y)=(2m-2x,-2y),即所以又|AB|=3,所以m2+n2=18,从而+9y2=18.即曲线C的方程为=1.(2)由题意设直线l的方程为:x=my+4,M(x1,y1),N(x2,y2),由得(m2+4)y2+8my+8=0,所以故x1+x2=m(y1+y2)+8=,x1x2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16=,假设存在定点T(t,0),使得直线MT与NT的斜率之积为常数,则k MT·k NT==.当t2-8=0,且t-4≠0时,k MT·k NT为常数,解得t=±2.显然当t=2时,常数为;当t=-2时,常数为,所以存在两个定点T1(2,0),T2(-2,0),使得直线MT与NT的斜率之积为常数,当定点为T1(2,0)时,常数为;当定点为T2(-2,0)时,常数为.命题角度5圆锥曲线的探究、存在性问题高考真题体验·对方向1.(2015全国Ⅰ·20)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a),或M(-2,a),N(2,a).又y'=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2==.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.2.(2015全国Ⅱ·20)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.(1)证明设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故x M=,y M=kx M+b=.于是直线OM的斜率k OM==-,即k OM·k=-9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)解四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l过点,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3.由(1)得OM的方程为y=-x.设点P的横坐标为x P.由,即x P=.将点的坐标代入l的方程得b=,因此x M=.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即x P=2x M.于是=2×,解得k1=4-,k2=4+.因为k i>0,k i≠3,i=1,2,所以当l的斜率为4-或4+时,四边形OAPB为平行四边形.3.(2014山东·21)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,①证明直线AE过定点,并求出定点坐标;②△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.解(1)由题意知F,设D(t,0)(t>0),则FD的中点为.因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+,解得t=3+p或t=-3(舍去).由=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)①由(1)知F(1,0).设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(x D,0)(x D>0),因为|FA|=|FD|,则|x D-1|=x0+1.由x D>0得x D=x0+2,故D(x0+2,0).故直线AB的斜率k AB=-.因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y=-x+b,代入抛物线方程得y2+y-=0,由题意Δ==0,得b=-.设E(x E,y E),则y E=-,x E=.当≠4时,k AE==-, 可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0),由=4x0,整理可得y=(x-1),直线AE恒过点F(1,0).当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0).所以直线AE过定点F(1,0).②由①知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2.设直线AE的方程为x=my+1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=.设B(x1,y1),直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),由于y0≠0,可得x=-y+2+x0,代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0.所以y0+y1=-,可求得y1=-y0-,x1=+x0+4.所以点B到直线AE的距离为d===4.则△ABE的面积S=×4≥16,当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.所以△ABE的面积的最小值为16.新题演练提能·刷高分1.(2018山西太原一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F2(2,0),点B(2,-)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=kx(k≠0)与椭圆C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N,在x轴上,是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化,总有∠MPN为直角?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)依题意,c=2.∵点B(2,-)在C上,∴=1.∵a2=b2+c2,∴a2=8,b2=4,∴椭圆方程为=1.(2)假设存在这样的点P,设P(x0,0),E(x1,y1),则F(-x1,-y1),联立消去y化简得(1+2k2)x2-8=0,解得x1=,y1=.∵A(-2,0),∴AE所在直线方程为y=·(x+2),∴M0,,同理可得N0,,=-x0,,=-x0,,由=0,得-4=0.∴x0=2或x0=-2.∴存在点P,使得无论非零实数k怎么变化,总有∠MPN为直角,点P坐标为(2,0)或(-2,0).2.(2018山东菏泽一模)已知抛物线E的顶点为平面直角坐标系xOy的坐标原点O,焦点为圆F:x2+y2-4x+3=0的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A,D两点,交圆F于B,C两点,A,B 在第一象限,C,D在第四象限.(1)求抛物线E的方程;(2)是否存在直线l使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.解(1)∵圆F的方程为(x-2)2+y2=1,∴圆心F的坐标为(2,0),半径r=1.根据题意设抛物线E的方程为y2=2px(p>0),∴=2,解得p=4.∴抛物线E的方程为y2=8x.(2)∵2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项,|BC|=2r,∴|AB|+|CD|=4|BC|=4×2r=8.∴|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10r=10.讨论:若l垂直于x轴,则l的方程为x=2,代入y2=8x,解得y=±4.此时|AD|=8,不满足题意;若l不垂直于x轴,则设l的斜率为k(k≠0),此时l的方程为y=k(x-2),由得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.∵拋物线E的准线方程为x=-2,∴|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4.∴+4=10,解得k=±2.当k=±2时,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化为x2-6x+4=0.∵(-6)2-4×1×4>0,∴x2-6x+4=0有两个不相等的实数根.∴k=±2满足题意.∴存在满足要求的直线l:2x-y-4=0或2x+y-4=0.3.(2018山西晋城一模)已知直线l1是抛物线C:x2=2py(p>0)的准线,直线l2:3x-4y-6=0,且l2与抛物线C没有公共点,动点P在抛物线C上,点P到直线l1和l2的距离之和的最小值等于2.(1)求抛物线C的方程;(2)点M在直线l1上运动,过点M作抛物线C的两条切线,切点分别为P1,P2,在平面内是否存在定点N,使得MN⊥P1P2恒成立?若存在,请求出定点N的坐标,若不存在,请说明理由.解(1)作PA,PB分别垂直l1和l2,垂足为A,B,抛物线C的焦点为F0,,由抛物线定义知|PA|=|PF|,所以d1+d2=|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,易知d1+d2的最小值即为点F到直线l2的距离,故d==2,∴p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)由(1)知直线l1的方程为y=-1,当点M在特殊位置(0,-1)时,易知两个切点P1,P2关于y轴对称,故要使得MN⊥P1P2,点N必须在y轴上.故设M(m,-1),N(0,n),P1x1,,P2x2,,抛物线C的方程为y=x2,求导得y'=x,所以切线MP1的斜率k1=x1,直线MP1的方程为y-x1(x-x1),又点M在直线MP1上,所以-1-x1(m-x1),整理得-2mx1-4=0,同理可得-2mx2-4=0, 故x1和x2是一元二次方程x2-2mx-4=0的两根,由韦达定理得=x2-x1,·(-m,n+1)=(x2-x1)[-4m+(n+1)(x2+x1)]=(x2-x1)[-4m+2m(n+1)]=m(x2-x1)(n-1),可见n=1时,=0恒成立,所以存在定点N(0,1),使得MN⊥P1P2恒成立.4.(2018河北衡水中学七调)如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4(+1).一双曲线的顶点是该椭圆的焦点,且双曲线的实轴长等于虚轴长,设P为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A,B和C,D,且点A,C在x轴的同一侧.(1)求椭圆和双曲线的标准方程;(2)是否存在题设中的点P,使得||+||=?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)由题意知,椭圆离心率e=,即a=c,又2a+2c=4(+1),所以a=2,c=2,所以b2=a2-c2=4,所以椭圆的标准方程为=1.所以椭圆的焦点坐标为(±2,0).又双曲线为等轴双曲线,且顶点是该圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为=1.(2)设P(x0,y0)(x0≠±2),则,因为点P在双曲线=1上,所以=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PF1的方程为y=k(x+2),所以直线PF2的方程为y=(x-2), 联立得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-8=0,所以x1+x2=-,x1·x2=,所以|AB|=.同理可得|CD|=.由题知||+||=|·||·cos θ(θ=∠F1PF2),即cos θ=.因为=||||cos θ,即(-2-x0)(2-x0)+(-y0)(-y0)=,又因为=4,所以2(-4)=,所以=8,=4.即存在满足题意的点P,且点P的坐标为(±2,±2).。