三角形中的三角函数问题

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三角函数及解三角形测试题(含答案)

三角函数及解三角形测试题(含答案)三角函数及解三角形1.在锐角三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。

根据正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中R为三角形外接圆的半径。

根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。

根据正切的定义，$\tan A=\frac{a}{b}$。

根据余切的定义，$\cotA=\frac{b}{a}$。

根据正割的定义，$\sec A=\frac{c}{a}$。

根据余割的定义，$\csc A=\frac{c}{b}$。

2.选择题：1.设$\alpha$是锐角，$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3+\sqrt{22}$，则$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{22}}{36}$。

2.一艘船向XXX，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时5海里。

4.已知函数$f(x)=3\sin\omega x+\cos\omega x$，$y=f(x)$的图象与直线$y=2$的两个相邻交点的距离等于$\pi$，则$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})$，其中$k\in Z$。

5.圆的半径为4，$a,b,c$为该圆的内接三角形的三边，若$abc=162$，则三角形的面积为$22$。

6.已知$\cos\alpha=-\frac{4}{\pi}$，且$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{7}{7}$。

(完整版)初中三角函数练习题及答案

三角函数练习1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（） A 、缩小2倍 B 、扩大2倍 C 、不变 D 、不能确定12、在Rt △ABC 中，∠C=900,BC=4，sinA=54,则AC=（）A 、3B 、4C 、5D 、63、若∠A 是锐角，且sinA=31，则( ）A 、00〈∠A<300B 、300<∠A 〈450C 、450〈∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=31，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（）A 、74B 、31C 、21D 、05、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a:b ：c=（）A 、1：1:2B 、1:1：2C 、1：1：3D 、1:1：226、在Rt △ABC 中,∠C=900，则下列式子成立的是（）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB 7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是( )A ．sinB=23B ．cosB=23C ．tanB=23D ．tanB=328．点（—sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是( ）A ．（32，12）B ．（-32，12)C ．（—32，—12）D ．（-12，-32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆12米远的地方,当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，•若这位同学的目高1。

6米，则旗杆的高度约为（ )A ．6.9米B ．8。

5米C ．10.3米D ．12.0米 10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地,此时王英同学离A 地（）（A ）350m （B ）100 m(C ）150m（D ）3100m11、如图1，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为（）A.82米B.163米C.52米 D 。

初中三角函数练习试题和答案解析

初中三角函数练习题及答案一精心选一选1、在直角三角形中,各边都扩大2倍,则锐角A 的正弦值与余弦值都 A 、缩小2倍 B 、扩大2倍 C 、不变 D 、不能确定12、在Rt △ABC 中,∠C=900,BC=4,sinA=54,则AC=A 、3B 、4C 、5D 、63、若∠A 是锐角,且sinA=31,则A 、00<∠A<300B 、300<∠A<450C 、450<∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=31,则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=A 、74B 、31C 、21D 、05、在△ABC 中,∠A ：∠B ：∠C=1：1：2,则a ：b ：c=A 、1：1：2B 、1：1：2C 、1：1：3D 、1：1：226、在Rt △ABC 中,∠C=900,则下列式子成立的是A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB 7．已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是A ．sinB=23B ．cosB=23C ．tanB=23D ．tanB=328．点-sin60°,cos60°关于y 轴对称的点的坐标是A ．32,12B ．-32,12C ．-32,-12D ．-12,-329．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式,让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆12米远的地方,当国旗升起到旗杆顶时,他测得视线的仰角为30°,•若这位同学的目高1.6米,则旗杆的高度约为A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地,再从B 地向正南方向走200m 到C 地,此时王英同学离A 地A 350m B100 m C150m D 3100m11、如图1,在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒,图145︒30︒BAD C向高楼前进60米到C 点,又测得仰角为45︒,则该高楼的高度大约为A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B 地,再由B 地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C 地,则A 、C 两地相距．A30海里 B40海里 C50海里 D60海里二细心填一填1．在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=3,则sinB=_____． 2．在△ABC 中,若BC=2,AB=7,AC=3,则cosA=________． 3．在△ABC 中,AB=2,AC=2,∠B=30°,则∠BAC 的度数是______．4．如图,如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A ＇P ＇B,且BP=2,那么PP ＇的长为____________．不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=624-,cos15°=624+5．如图,在甲、乙两地之间修一条笔直的公路,从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工,若干天后,公路准确接通,则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．6．如图,机器人从A 点,沿着西南方向,行了个4错误!单位,到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上,则原来A 的坐标为___________结果保留根号．7．求值：sin 260°+cos 260°=___________．8．在直角三角形ABC 中,∠A=090,BC=13,AB=12,那么tan B =___________． 9．根据图中所给的数据,求得避雷针CD 的长约为_______m 结果精确的到0.01m ．可用计算器求,也可用下列参考数据求：sin43°≈,sin40°≈,cos43°≈,cos40°≈,tan43°≈,tan40°≈10．如图,自动扶梯AB 段的长度为20米,倾斜角A 为α,高度BC 为___________米结果用含α的三角比表示．第6题图 xO A y B北甲北乙第5题图αBCD第4题图1 211．如图2所示,太阳光线与地面成60°角,一棵倾斜的大树与地面成30°角,•这时测得大树在地面上的影子约为10米,则大树的高约为________米．•保留两个有效数字,2≈,3≈三、认真答一答1,计算：sin cos cot tan tan 3060456030︒+︒-︒-︒⋅︒ 分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；2计算：22459044211(cos sin )()()︒-︒+-︒+--π分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解;注意分母有理化,3 如图1,在∆ABC 中,AD 是BC 边上的高,tan cos B DAC =∠; 1求证：AC ＝BD2若sinC BC ==121312，,求AD 的长;图1分析：由于AD 是BC 边上的高,则有Rt ADB ∆和Rt ADC ∆,这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解;4如图2,已知∆ABC 中∠=∠C Rt ,AC m BAC =∠=，α,求∆ABC 的面积用α的三角函数及m 表示图2分析：要求∆ABC 的面积,由图只需求出BC;解应用题,要先看条件,将图形抽象出直角三角形来解.5. 甲、乙两楼相距45米,从甲楼顶部观测乙楼顶部的俯角为30°,观测乙楼的底部的俯角为45°,试求两楼的高.6. 从A 处观测铁塔顶部的仰角是30°,向前走100米到达B 处,观测铁塔的顶部的仰角是 45°,求铁塔高.分析:求CD,可解Rt ΔBCD 或Rt ΔACD.但由条件Rt ΔBCD 和Rt ΔACD 不可解,但AB=100若设CD 为x,我们将AC 和BC 都用含x 的代数式表示再解方程即可.7、如图,一铁路路基横断面为等腰梯形ABCD ,斜坡BC 的坡度为3:2=ι,路基高AE 为3m,底CD 宽12m,求路基顶AB 的宽B ADCE300 450ArE D BCAH8.九年级1班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度3m CD =,标杆与旗杆的水平距离15m BD =,人的眼睛与地面的高度 1.6m EF =,人与标杆CD 的水平距离2m DF =,求旗杆AB 的高度．9.如图3,沿AC 方向开山修路,为了加快施工速度,要在小山的另一边同时施工;从AC 上的一点B,取∠=︒=ABD BD 145500，米,∠=︒D 55;要使A 、C 、E 成一直S 线,那么开挖点E 离点D 的距离是多少图3分析：在Rt BED ∆中可用三角函数求得DE 长;10 如图8-5,一条渔船某时刻在位置A 观测灯塔B 、C 灯塔B 距离A 处较近,两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上,渔船向正东方向航行l 小时45分钟之后到达D 点,观测到灯塔B 恰好在正北方向上,已知两个灯塔之间的距离是12海里,渔船的速度是16海里／时,又知在灯塔C 周围海里内有暗礁,问这条渔船按原来的方向继续航行,有没有触礁的危险分析：本题考查解直角三角形在航海问题中的运用,解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题．11、如图,A 城气象台测得台风中心在A 城的正西方300千米处,以每小时107千米的速度向北偏东60º的BF 方向移动,距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域;问A 城是否会受到这次台风的影响为什么若A 城受到这次台风的影响,那么A 城遭受这次台风影响的时间有多长图8-4EA C BD北东12. 如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物ABCD,且建筑物周围没有开阔平整地带,该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得,从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H,可供使用的测量工具有皮尺、测倾器;1请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物,设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案;具体要求如下：测量数据尽可能少,在所给图形上,画出你设计的测量平面图,并将应测数据标记在图形上如果测A 、D 间距离,用m 表示；如果测D 、C 间距离,用n 表示；如果测角,用α、β、γ表示;2根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度HG 用字母表示,测倾器高度忽略不计;13. 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现在其所处位置O 点的正北方向10海里处的A 点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行;为迅速实验检查,巡逻艇调整好航向,以26海里/小时的速度追赶,在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下,问1需要几小时才能追上点B 为追上时的位置2确定巡逻艇的追赶方向精确到01.︒如图 4图4参考数据：sin ..cos ..sin ..cos ..sin ..cos ..sin ..cos ..6680919166803939674092316740384668409298684036817060943270603322︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈，，，，分析：1由图可知∆ABO 是直角三角形,于是由勾股定理可求;2利用三角函数的概念即求;14. 公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠=︒QPN 30,点A 处有一所中学,AP=160m,一辆拖拉机以3.6km/h 的速度在公路MN 上沿PN 方向行驶,假设拖拉机行驶时,周围100m 以内会受噪声影响,那么,学校是否会受到噪声影响如果不受影响,请说明理由；如果受影响,会受影响几分钟NP A Q M.15、如图,在某建筑物AC 上,挂着“多彩云南”的宣传条幅BC,小明站在点F 处,看条幅顶端B,测的仰角为︒30,再往条幅方向前行20米到达点E 处,看到条幅顶端B,测的仰角为︒60,求宣传条幅BC 的长,小明的身高不计,结果精确到0.1米16、一艘轮船自西向东航行,在A 处测得东偏北°方向有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B 处,测得小岛C 此时在轮船的东偏北°方向上．之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C 最近参考数据：°≈925,°≈25, °≈910,°≈217、如图,一条小船从港口A 出发,沿北偏东40方向航行20海里后到达B 处,然后又沿北偏西30方向航行10海里后到达C 处．问此时小船距港口A 多少海里结果精确到1海里友情提示：以下数据可以选用：sin 400.6428≈,cos 400.7660≈,tan 400.8391≈,3 1.732≈．A BC北东P 北403018、如图10,一枚运载火箭从地面O 处发射,当火箭到达A 点时,从地面C 处的雷达站测得AC 的距离是6km ,仰角是43．1s 后,火箭到达B 点,此时测得BC 的距离是6.13km ,仰角为45.54,解答下列问题：1火箭到达B 点时距离发射点有多远精确到0.01km2火箭从A 点到B 点的平均速度是多少精确到0.1km/s19、经过江汉平原的沪蓉上海—成都高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①,一测量员在江岸边的A 处测得对岸岸边的一根标杆B 在它的正北方向,测量员从A 点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C 处,测得68=∠ACB .1求所测之处江的宽度.48.268tan ,37.068cos ,93.068sin ≈≈≈； 2除1的测量方案外,请你再设计一种测量江宽的方案,并在图②中画出图形.20 某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示,看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为l.6米,现要做一个不锈钢的扶手AB 及两根与FG 垂直且长为l 米的不锈钢架杆AD 和BC 杆子的底端分别为D,C,且∠DAB=66. 5°．1求点D 与点C 的高度差DH ；2求所用不锈钢材料的总长度l 即AD+AB+BC,结果精确到0.1米．参考数据：°≈,°≈,°≈答案一、选择题1——5、CAADB 6——12、BCABDAB 二、填空题图10ABOCCB图①图②1,352, 3,30°点拨：过点C 作AB 的垂线CE,构造直角三角形,利用勾股定理CE4连结PP ＇,过点B 作BD ⊥PP ＇,因为∠PBP ＇=30°,所以∠PBD=15°,利用sin15°=,先求出PD,乘以2即得PP ＇5．48点拨：根据两直线平行,内错角相等判断6．0,4+B 作BC ⊥AO,利用勾股定理或三角函数可分别求得AC 与OC的长7．1点拨：根据公式sin 2α+cos 2α=18．125点拨：先根据勾股定理求得AC=5,再根据tan ACB AB =求出结果 9．点拨：利用正切函数分别求了BD,BC 的长 10．20sin α点拨：根据sin BCAB α=,求得sin BC AB =•α11．35三,解答题可求得 1． -1； 2． 43．解：1在Rt ABD ∆中,有tan B AD BD=, Rt ADC ∆中,有cos ∠=DAC ADACtan cos B DACAD BD ADACAC BD =∠∴==，故 2由sinC AD AC ==1213；可设AD x AC BD x ===1213，由勾股定理求得DC x =5, BC BD DC x =∴+==121812即x =23 ∴=⨯=AD 122384．解：由tan ∠=BAC BCAC∴=∠=∠=∴=∴=⋅=⋅=BC AC BAC AC m BAC BC m S AC BC m m m ABC tan tan tan tan ，αααα∆12121225解过D 做DE ⊥AB 于E∵∠MAC=45° ∴∠ACB=45° BC=45在Rt ΔACB 中,BCAB tgACB =)(4545米=⋅=∴ tg BC AB在Rt ΔADE 中,∠ADE=30°DEAE tgADE =315334530=⋅=⋅=∴tg DE AE )(31545米-=-=∴AE AB CD答:甲楼高45米,乙楼高31545-米. 6 解:设CD=x在Rt ΔBCD 中,CD BCctgDBC =∴BC=x 用x 表示BC 在Rt ΔACD 中,CDACctgDAC = x ctgDAC CD AC 3=⋅=∴∵AC-BC=100 1003=-x x 100)13(=-x ∴)13(50+=x 答:铁塔高)13(50+米. 7、解：过B 作BF ⊥CD,垂足为FBF AE =∴ 在等腰梯形ABCD 中 AD=BC D C ∠=∠ 3:2=iBC AE=3m ∴DE=4.5mAD=BC,D C ∠=∠,︒=∠=∠90DEA CFB ∴∆BCF ≅∆ADE ∴CF=DE=4.5m ∴EF=3m300450Ar E D BC︒=∠=∠90AEF BFE∴BF ∴∴3m CD FB ⊥AB FB ⊥CD AB∴∥CGE AHE∴△∽△CG EG AH EH∴=CD EF FD AH FD BD -=+3 1.62215AH -∴=+11.9AH ∴=11.9 1.613.5(m)AB AH HB AH EF ∴=+=+=+=∠=︒∠=︒∴∠=︒ABD D BED 1455590，，Rt BED ∆ cos cos D DEBDDE BD D =∴=⋅， BD =500∠=︒D 55︒=∴55cos 500DE 716284AD =⨯=∵cos24°15′=ADAB, ∴2830.71cos 24150.9118AD AB ==≈'︒海里.AC=AB+BC=+12=海里. 在Rt△ACE 中,sin24°15′=CEAC, ∴CE=AC·sin24°15′=×=海里. ∵＜,∴有触礁危险;答案有触礁危险,不能继续航行; 11、1过A 作AC ⊥BF,垂足为C︒=∠∴︒=∠30601ABC在RT ∆ABC 中 AB=300km响城会受到这次台风的影A kmAC ABC ∴=∴︒=∠150302AHh hkm kmt h km v km DE kmCD kmad km AC AD AE E ，BF km AD D ，BF 1071071007107100750200,150200==∴==∴=∴==== 使上取在使上取在答：A 城遭遇这次台风影响10个小时;12 解：1在A 处放置测倾器,测得点H 的仰角为α 在B 处放置测倾器,测得点H 的仰角为β（）在中，2Rt HAI AI HI DI HI AI DI m ∆==-=tan tan αβHI m=-tan tan tan tan αββαHG HI IG mn =+=-+tan tan tan tan αββα13解：设需要t 小时才能追上; 则AB t OB t ==2426，1在Rt AOB ∆中, OB OA AB 222=+,∴=+()()261024222t t则t =1负值舍去故需要1小时才能追上; 2在Rt AOB ∆中sin .∠==≈AOB AB OB tt242609231 ∴∠=︒AOB 674. 即巡逻艇沿北偏东674.︒方向追赶; 14 解：1008030sin 1<=︒=∆AP AP APB Rt 中，）在（ ∴会影响N（）在中（米）2100806022Rt ABD BD ∆=-=6023610006022⨯⨯=∴.（分钟）分钟15 解： ∵∠BFC =︒30,∠BEC =︒60,∠BCF =︒90 ∴∠EBF =∠EBC =︒30 ∴BE = EF = 20 在Rt⊿BCE 中, )(3.17232060sin m BE BC ≈⨯=︒⋅= 答：宣传条幅BC 的长是17.3米;16 解：过C 作AB 的垂线,交直线AB 于点D,得到Rt△ACD 与Rt△BCD．设BD ＝x 海里,在Rt△BCD 中,tan∠CBD＝CDBD,∴CD＝x ·°．在Rt△ACD 中,AD ＝AB ＋BD ＝60＋x 海里,tan∠A＝CDAD,∴CD＝ 60＋x ·°．∴x·°＝60＋x·°,即 ()22605x x =+．解得,x ＝15．答：轮船继续向东航行15海里,距离小岛C 最近17 解：过B 点作BE AP ⊥,垂足为点E ；过C 点分别作CD AP ⊥, CF BE ⊥,垂足分别为点D F ，,则四边形CDEF 为矩形． CD EF DE CF ∴==，,…………………………3分30QBC ∠=,60CBF ∴∠=．2040AB BAD =∠=，,B CDAFP 北4030cos 40200.766015.3AE AB ∴=⨯≈≈； sin 40200.642812.85612.9BE AB =⨯=≈≈． 1060BC CBF =∠=，,sin 60100.8668.668.7CF BC ∴=⨯=≈≈； cos60100.55BF BC ==⨯=．12.957.9CD EF BE BF ∴==-=-=． 8.7DE CF =≈,15.38.724.0AD DE AE ∴=++=≈．∴由勾股定理,得222224.07.9638.4125AC AD CD =++=≈≈．即此时小船距港口A 约25海里 18 解1在Rt OCB △中,sin 45.54OBCB=1分 6.13sin 45.54 4.375OB =⨯≈km 3分火箭到达B 点时距发射点约4.38km 4分 2在Rt OCA △中,sin 43OACA=1分 6sin 43 4.09(km)OA =⨯= 3分()(4.38 4.09)10.3(km /s)v OB OA t =-÷=-÷≈ 5分答：火箭从A 点到B 点的平均速度约为0.3km/s 19解：1在BAC Rt ∆中,68=∠ACB , ∴24848.210068tan =⨯≈⋅=AC AB 米答：所测之处江的宽度约为248米……………………………………………………3分 2从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决问题的,只要正确即可得分 20 解：1DH=×34=米．2过B 作BM ⊥AH 于M,则四边形BCHM 是矩形． MH=BC=1 ∴AM=AH -MH=1+一l=．在RtAMB 中,∵∠A=° ∴AB=1.23.0cos66.50.40AM ≈=︒米．∴S=AD+AB+BC ≈1++1=米．答：点D 与点C 的高度差DH 为l.2米；所用不锈钢材料的总长度约为5.0米。

第06讲三角形中的三角函数问题

在△ABC中,由余弦定理,
6 a 4
【回顾与反思】要创造条件在△ABD或△ABC中求AB长
18/22
�
4
17/22
【解法二】因为∠ADC=∠ADB+∠CDB=60° 又因为∠ACD=60° 所以∠DAC=60°,
A
30 30
B
45
60
3 所以AD=DC=AC= a . 2
在△BCD中,∠DBC=45°, 故
BC DC 6 = , 则 BC= a sin 30 sin 45 4
2 2 2 o
D
C
3 2 AB = AC + BC 2 AC BC cos 45 = a 8 6 a 所以 AB = 4 所以伊拉克的这两支精锐部队的距离为 AB =
2
12/22
sin B cos C + cos C sin B sinA (2)解法 1 cotB+cotC= : = (*) sin Bsin C sin Bsin C 由正弦定理及(1)的结论,
7 2 c 1 a2 2 9 14 3 式(*)= = × = . 1 2 sinA bc 3 c 9 3
b
a
b
B A
a
C
a
b B
A
B
B2 A
关系式解的个数
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b 无解一解两解
a≥b 一解
a≤b 无解
a>b 一解
4/22
高考速递
1.(2008江西卷江西卷)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对江西卷 A+ B C 2 A +tan = 4, sin BsinC= cos , 求角A,B及b,c. 的边,a= 2 3 , tan 2 2 2 【解析】由

三角形三边关系公式三角函数

三角形三边关系公式三角函数三角形是初中数学中一个重要的几何形体，也是很多高中数学的基础知识。

而三角形的三边关系公式和三角函数则是三角形相关的必备知识。

下面我们来详细了解一下这方面的内容。

一、三角形三边关系公式三角形三边关系公式是求解三角形的重要公式，在初中的教学中，通过这些公式，可以求解任意三角形的内角和、周长、面积等重要性质。

1. 余弦定理：在任意三角形ABC中，设三边对应的内角分别为α、β、γ，边长分别为a、b、c，则有：cos α = (b² + c² - a²) / 2bccos β = (a² + c² - b²) / 2accos γ = (a² + b² - c²) / 2ab其中，cos表示余弦函数，a、b、c表示三边，α、β、γ表示与其对应的内角。

2. 正弦定理：在任意三角形ABC中，设三边对应的内角分别为α、β、γ，边长分别为a、b、c，则有：a / sin α =b / sin β =c / sinγ其中，sin表示正弦函数。

3. 勾股定理：在直角三角形ABC中，设斜边AB对应的内角为α，直角边AC和BC分别对应的内角为β、γ，斜边AB的长度为c，直角边AC和BC的长度分别为a、b，则有：a² + b² = c²二、三角函数三角函数是三角学中的重要分支，是数学和物理学中非常基础而常用的知识。

在初中数学中，学习三角函数有助于理解三角形的各种性质，同时也是后续高中数学学习的基础。

1. 正弦函数：在直角三角形ABC中，设斜边AB对应的内角为α，斜边AB的长度为c，直角边AC的长度为a，则有正弦函数：sin α = a / c2. 余弦函数：在直角三角形ABC中，设斜边AB对应的内角为α，斜边AB的长度为c，直角边BC的长度为b，则有余弦函数：cos α = b / c3. 正切函数：在直角三角形ABC中，设直角边AC对应的内角为α，直角边BC的长度为b，直角边AC的长度为a，则有正切函数：tan α = b / a4. 余切函数：在直角三角形ABC中，设直角边BC对应的内角为α，直角边BC的长度为b，直角边AC的长度为a，则有余切函数：cot α = a / b通过学习上述三角形三边关系公式和三角函数的知识，我们可以更深刻地理解三角形的结构和性质，从而更好地解决与其相关的问题。

高考数学三角形中的三角函数式解析

高考数学三角形中的三角函数式解析三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.●难点磁场(★★★★★)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A +C =2B .BC A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos2CA -的值. ●案例探究［例1］在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C 处。

(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？命题意图：本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力.知识依托：主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系. 错解分析：考生对方位角识别不准，计算易出错.技巧与方法：主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题.解：(1)在Rt △P AB 中，∠APB =60° P A =1，∴AB =3 (千米) 在Rt △P AC 中，∠APC =30°，∴AC =33(千米) 在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90°)/(30261330330)3()33(2222时千米=÷=+=+=∴AB AC BC(2)∠DAC =90°－60°=30° sin DCA =sin(180°－∠ACB )=sin ACB =101033303==BCABsin CDA =sin(∠ACB －30°)=sin ACB ·cos30°－cos ACB ·sin30°10103=. 2010)133()10103(121232-=-⋅- 在△ACD 中，据正弦定理得CDAACDCA AD sin sin =，∴13392010)133(1010333sin sin +=-⋅=⋅=CDA DCA AC AD 答：此时船距岛A 为1339+千米. ［例2］已知△ABC 的三内角A 、B 、C 满足A +C =2B ，设x =cos 2CA -，f (x )=cosB (CA cos 1cos 1+). (1)试求函数f (x )的解析式及其定义域； (2)判断其单调性，并加以证明； (3)求这个函数的值域. 命题意图：本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力，并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题. 错解分析：考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题.技巧与方法：本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f (x )的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式.在求定义域时要注意|2CA -|的范围.解：(1)∵A +C =2B ，∴B =60°，A +C =120°,3421221)cos()cos(2cos2cos2cos cos cos cos 21)(22-=-+-=-++-+=⋅+⋅=x xx x C A C A CA C A C A C A x f∵0°≤|2C A -|＜60°，∴x =cos 2C A -∈(21，1]又4x 2－3≠0，∴x ≠23，∴定义域为(21，23)∪(23，1］. (2)设x 1＜x 2，∴f (x 2)－f (x 1)=342342211222---x x x x=)34)(34()34)((222212121--+-x x x x x x ，若x 1，x 2∈(23,21)，则4x 12－3＜0，4x 22－3＜0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0即f (x 2)＜f (x 1)，若x 1，x 2∈(23，1］，则4x 12－3＞0. 4x 22－3＞0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0.即f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在(21,23)和(23，1]上都是减函数.(3)由(2)知，f (x )＜f (21)=－21或f (x )≥f (1)=2. 故f (x )的值域为(－∞，－21)∪［2，+∞).●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有： (1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)给出四个命题：(1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4 二、填空题2.(★★★★)在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan2tan 32tan 2tan CA C A ++的值为__________.3.(★★★★)在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A +C )=－34，sin B =54，则cos2(B +C )=__________.三、解答题4.(★★★★)已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB =2，BC =6，CD =DA =4，求四边形ABCD 的面积.5.(★★★★★)如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin rθ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？6.(★★★★)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，27cos 22sin 42=-+A C B .(1)求角A 的度数；(2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值.7.(★★★★)在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、3c 成等比数列，又∠A －∠C =2π，试求∠A 、∠B 、∠C 的值. 8.(★★★★★)在正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上，在这种情况下，若要使AD 最小，求AD ∶AB 的值.参考答案难点磁场解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°. 设α=2CA -，则A －C =2α，可得A =60°+α，C =60°－α， ,43cos cos sin 43cos 41cos sin 23cos 211sin 23cos 211)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1222-αα=α-αα=α+α+α-α=α-︒+α+︒=+C A 所以依题设条件有,cos 243cos cos 2B-=-αα .2243cos cos ,21cos 2-=-αα∴=B整理得42cos 2α+2cos α－32=0(M )(2cos α－2)(22cos α+3)=0，∵22cos α+3≠0，∴2cos α－2=0.从而得cos222=-C A . 解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°22cos 1cos 1,2260cos 2-=+∴-=︒-CA①，把①式化为cos A +cos C =－22cos A cos C②，利用和差化积及积化和差公式，②式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos 2C A C A CA C A -++-=-+③，将cos 2CA +=cos60°=21，cos(A +C )=－21代入③式得：)cos(2222cosC A C A --=-④ 将cos(A －C )=2cos 2(2C A -)－1代入 ④：42cos 2(2C A -)+2cos 2CA -－32=0，(*)，.222cos :,022cos 2,032cos 22,0)32cos 22)(222cos 2(=-=--∴=+-=+---C A C A C A C A C A 从而得歼灭难点训练一、1.解析：其中(3）(4）正确. 答案： B二、2.解析：∵A+B+C =π，A+C=2B ，.32tan 2tan 32tan 2tan )2tan 2tan 1(32tan 2tan ,3)2tan(,32=++-=+=+=+∴CA C A C A C A C A C A 故π答案：33.解析：∵A 为最小角∴2A +C =A +A +C ＜A+B+C =180°. ∵cos(2A +C )=－54，∴sin(2A+C )=53. ∵C 为最大角，∴B 为锐角，又sin B =54.故cos B =53. 即sin(A+C )=54，cos(A +C )=－53. ∵cos(B+C )=－cos A =－cos ［(2A+C )－(A+C )］=－2524， ∴cos2(B+C )=2cos 2(B+C )－1=625527. 答案：625527三、4.解：如图：连结BD ，则有四边形ABCD 的面积：S =S △ABD +S △CDB =21·AB ·AD sin A +21·BC ·CD ·sin C ∵A+C =180°，∴sin A =sin C故S =21(AB ·AD +BC ·CD )sin A =21(2×4+6×4)sin A =16sin A由余弦定理，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·AD ·cos A =20－16cos A 在△CDB 中，BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cos C =52－48cos C ∴20－16cos A =52－48cos C ，∵cos C =－cos A ，∴64cos A =－32，cos A =－21，又0°＜A ＜180°，∴A =120°故S =16sin120°=83.5.解：R =r cos θ，由此得：20,cos 1π<θ<θ=R r ，RR h Rk I Rk R k I R k R k r k I 22tan ,33sin ,392)32()()sin 1)(sin 1(sin 2)(2)cos (sin cos sin sin 232222222222222=θ==θ⋅≤⋅≤θ-θ-⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅=此时时成立等号在由此得 .1221:23 2:3,3.3)(21221cos 2cos :)2(60,1800,21cos ,01cos 4cos 45cos 4)cos 1(4,271cos 2)]cos(1[2:,180272cos 2sin 4)1(:.6222222222222⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+==+==-+∴=-+∴=-+=︒=∴︒<<︒=∴=+-=-+=+-+-︒=++=-+c b c b bc c b bc c b a bc a c b bc a c b A bca cb A A A A A A A A A C B C B A A C B 或得由代入上式得将由余弦定理得即得及由解 7.解：由a 、b 、3c 成等比数列，得：b 2=3ac∴sin 2B =3sin C ·sin A =3(－21)［cos(A +C )－cos(A －C )］ ∵B =π－(A+C ).∴sin 2(A+C )=－23［cos(A+C )－cos 2π］即1－cos 2(A+C )=－23cos(A+C )，解得cos(A+C )=－21.∵0＜A+C ＜π，∴A+C =32π.又A －C =2π∴A =127π，B =3π，C =12π.8.解：按题意，设折叠后A 点落在边BC 上改称P 点，显然A 、P 两点关于折线DE 对称，又设∠BAP =θ，∴∠DP A =θ，∠BDP =2θ，再设AB =a ，AD =x ，∴DP =x .在△ABC 中， ∠APB =180°－∠ABP －∠BAP =120°－θ，由正弦定理知：APBABBAP BP sin sin =.∴BP =)120sin(sin θθ-︒a 在△PBD 中，︒=-︒︒⋅==60sin 2sin )120sin(sin ,60sin sin ,sin sin θθθθx a x BP BDP BP DBP DP 从而所以,.3)260sin(23)120sin(2sin 60sin sin ++︒=-︒⋅︒⋅=∴θθθθaa x∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时， sin(60°+2θ)=1，此时x 取得最小值)332(323-=+a a ，即AD 最小，∴AD ∶DB =23－3.。

初中三角函数练习题及答案

4如图2,已知中 , ,求的面积用的三角函数及m表示
图2
分析：要求的面积,由图只需求出BC;
解应用题,要先看条件,将图形抽象出直角三角形来解.
5. 甲、乙两楼相距45米,从甲楼顶部观测乙楼顶部的俯角为30°,观测乙楼的底部的俯角为45°,试求两楼的高.
6. 从A处观测铁塔顶部的仰角是30°,向前走100米到达B处,观测铁塔的顶部的仰角是 45°,求铁塔高.
A30海里 B40海里 C50海里 D60海里
二填空
1．在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,则sinB=_____．
2．在△ABC中,若BC= ,AB= ,AC=3,则cosA=________．
3．在△ABC中,AB=2,AC= ,∠B=30°,则∠BAC的度数是______．
4．如图,如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B,且BP=2,那么PP＇的长为____________．不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°= ,cos15°=
5．如图,在甲、乙两地之间修一条笔直的公路,从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工,若干天后,公路准确接通,则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．
6．如图,机器人从A点,沿着西南方向,行了个4 单位,到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上,则原来A的坐标为___________结果保留根号．
2根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度HG用字母表示,测倾器高度忽略不计;
13.人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行;为迅速实验检查,巡逻艇调整好航向,以26海里/小时的速度追赶,在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下,问1需要几小时才能追上

第十四讲三角形中的三角函数(解析)

第十四讲三角形中的三角函数昆山陆家高级中学陈忠【学习目标】1．能熟练利用正、余弦定理将三角形的边角进行转化．2．掌握三角形形状的判断方法；三角形有关三角函数求值，能证明与三角形内角有关的三角恒等式．一、【基础训练】 1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．答案：2 32.在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝________．答案：60°3. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2bcosC ，则此三角形一定是________三角形．答案：等腰4. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a2＋b2－c2＝ab ，则∠C ＝________．答案：60°5. 在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13，则△ABC 的面积为________．答案：4 3二、【知识梳理】1. 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)．2. 余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA ，或cosA ＝b2＋c2－a22bc.3. 三角形中的常见结论 (1) A ＋B ＋C ＝π.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB. (3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)；② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc4R；三、【例题精选】题型1 正余弦定理解三角形在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1) 若△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab ＝4. 因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2) 由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，所以sinBcosA ＝2sinAcosA. 当cosA ＝0时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝233.当cosA ≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233.练习：在△ABC 中， ,,a b c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos 5A =，tan 3B =．（1）求角C 的值；（2）若4a =，求△ABC 面积．（1）C 的值为4π；（2）△ABC 面积为6． ;64C S π==题型2 三角形形状的判定在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解： (1)由已知得：2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c . 即a 2＝b 2＋c 2＋bc由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ∴cos A ＝－12∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°.(2)由(1)得：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C又sin B ＋sin C ＝1得sin B ＝sin C ＝12∵0°<B <60°，0°<C <60°. ∴B ＝C . ∴△ABC 是等腰的钝角三角形．题型3 三角形中的三角函数的范围问题在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知acosC ＋ccosA ＝2bcosA. (1) 求角A 的值；(2) 求sinB ＋sinC 的取值范围．解：(1) 因为acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，所以sinAcosC ＋sinCcosA ＝2sinBcosA ，即sin(A ＋C)＝2sinBcosA.因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C)＝sinB.从而sinB ＝2sinBcosA.因为sinB ≠0，所以cosA ＝12.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2) sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝sinB ＋sin 2π3cosB －cos 2π3sinB＝32sinB ＋32cosB ＝3sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6. 因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6.所以sinB ＋sinC 的取值范围为⎝⎛⎦⎤32，3.练习：设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2b sin A . (1)求角B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．解： (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12，由△ABC 为锐角三角形得B ＝π6.(2)cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin(π－π6－A )＝cos A ＋sin(π6＋A )＝cos A ＋12cos A ＋32sin A＝3sin(A ＋π3)．由△ABC 为锐角三角形知，π2＞A ＞π2－B ，又π2－B ＝π2－π6＝π3. ∴2π3＜A ＋π3＜5π6，∴12＜sin(A ＋π3)＜32. 由此有32＜3sin(A ＋π3)＜32×3＝32，所以cos A ＋sin C 的取值范围为(32，32)．题型4 三角形中的应用问题如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东北方OB ，现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，为了市民出行方便与城市环境问题，现要求市中心O 到AB 的距离为10 km ，设OAB α∠=．（1）试求AB 关于角α的函数关系式；（2）问把A 、B 分别设在公路上离市中心O 多远处，才能使AB 最短，并求其最短距离．解（1）如图，作OM 垂直AB ，垂足为M ，则OM =10，由题意135A O B∠=︒，(0,45)α∈︒︒，45OBA α∠=︒-．在AOB ∆中，由正弦定理得sin135sin AB OB α=︒，即sin OBAB α=．在MOB ∆中，10sin(45)OB α=︒-，所以102sin 2sin sin(45)OB AB ααα===︒-．（2）102sin (sin 45cos cos 45sin )AB ααα=︒-︒ 21020sin cos sin sin 2cos 21ααααα==-+-=．因为(0,45)α∈︒︒，所以当22.5α=︒时有AB的最小值1)．此时，224105.22sin 10+===OB OA ．答：A ，B 都设在公路上离市中心22410+km 处，才能使AB最短，其最短距离是1)km ．四、【能力提升】1．在△ABC 中，若cos C ＝2sin A sin B －1，则△ABC 的形状一定是三角形. 答案：等腰三角形2．在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为 . 答案：16653．在△ABC 中，设命题p ：a sin B ＝b sin C ＝csin A，命题q ：△ABC 是等边三角形，则命题p 是命题q 的 (充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件或既不充分也不必要条件) 答案：充要条件4．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a ＋b ＋c )·(sin A ＋sin B －sin C )＝3a sin B ，则C ＝ . 答案：C ＝π35．在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，则B ＝ . 答案：π36. 已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为________．答案：4＋4 27．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中b ＝32，tan A ＋tan C ＋tan π3＝tan A ·tan C ·tan π3.(1)求角B 的大小；(2)求a ＋c 的取值范围．【解析】(1)tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C1－tan A ·tan C＝3tan A ·tan C －31－tan A ·tan C＝－3，∴A ＋C ＝2π3，∴B ＝π3.(2)由正弦定理有2R ＝b sin B ＝a sin A ＝csin C＝1，∵a ＋c ＝2R (sin A ＋sin C )＝sin A ＋sin C＝sin A ＋sin(23π－A )＝32sin A ＋32cos A＝3sin(A ＋π6)又由0＜A ＜23π，有π6＜A ＋π6＜56π，∴32＜a ＋c ≤3，即a ＋c 的取值范围是(32，3] 8. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别是a 、b 、c. (1) 若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a 、b 的值；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．解：(1) ∵ c ＝2，C ＝π3，∴ 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC ，得a2＋b2－ab ＝4.又△ABC的面积为3，∴ 12absinC ＝3，即ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2) 由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，得sin(A ＋B)＋sin(B －A)＝2sinAcosA ，即2sinBcosA ＝2sinAcosA ，∴ cosA ·(sinA －sinB)＝0，∴ cosA ＝0或sinA －sinB ＝0.当cosA ＝0时，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sinA －sinB ＝0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴ △ABC 为等腰三角形或直角三角形． 9. 在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且acosC ＋12c ＝b.(1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝15，b ＝4，求边c 的大小．解：(1) 用正弦定理，由acosC ＋12c ＝b ，得sinAcosC ＋12sinC ＝sinB.∵ sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ， ∴ 12sinC ＝cosAsinC. ∵ sinC ≠0，∴ cosA ＝12.∵ 0<A<π，∴ A ＝π3.(2) 用余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA. ∵ a ＝15，b ＝4， ∴ 15＝16＋c2－2×4×c×12.即c2－4c ＋1＝0. 则c ＝2±3.10.在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且120ABC ∠= ，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠= ，路宽24AD =米，设灯柱高AB h =（米），ACB θ∠=（3045θ≤≤ ）. （1）求灯柱的高h （用θ表示）；（2）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．CBAD。

直角三角形的三角函数试题

直角三角形的三角函数试题1.已知一个直角三角形，其中一条直角边长为3，斜边长为5。

求另一条直角边长度以及三个基本三角函数的值。

解析：根据勾股定理，设另一条直角边长为x，则有 x^2 + 3^2 =5^2。

解方程可得x=4。

然后可以求出三角函数的值：正弦、余弦和正切。

正弦函数：sinθ = 对边/斜边 = 3/5。

余弦函数：cosθ = 邻边/斜边 = 4/5。

正切函数：tanθ = 对边/邻边 = 3/4。

答案：另一条直角边长为4，正弦函数值为3/5，余弦函数值为4/5，正切函数值为3/4。

2.已知一个直角三角形，其中一条直角边长为6，另一条直角边长度为8。

求斜边长度以及三个基本三角函数的值。

解析：根据勾股定理，设斜边长为y，则有 6^2 + 8^2 = y^2。

解方程可得y=10。

然后可以求出三角函数的值：正弦、余弦和正切。

正弦函数：sinθ = 对边/斜边 = 8/10 = 4/5。

余弦函数：cosθ = 邻边/斜边 = 6/10 = 3/5。

正切函数：tanθ = 对边/邻边 = 8/6 = 4/3。

答案：斜边长度为10，正弦函数值为4/5，余弦函数值为3/5，正切函数值为4/3。

3.已知一个直角三角形，其中一条直角边长为5，另一条直角边长度为12。

求斜边长度以及三个基本三角函数的值。

解析：根据勾股定理，设斜边长为z，则有 5^2 + 12^2 = z^2。

解方程可得z=13。

然后可以求出三角函数的值：正弦、余弦和正切。

正弦函数：sinθ = 对边/斜边 = 12/13。

余弦函数：cosθ = 邻边/斜边 = 5/13。

正切函数：tanθ = 对边/邻边 = 12/5。

答案：斜边长度为13，正弦函数值为12/13，余弦函数值为5/13，正切函数值为12/5。

4.已知一个直角三角形，其中一条直角边长为9，另一条直角边长度为40。

求斜边长度以及三个基本三角函数的值。

解析：根据勾股定理，设斜边长为w，则有 9^2 + 40^2 = w^2。

任意三角形三角函数公式

任意三角形三角函数公式一、正弦定理正弦定理是三角形中的重要定理之一，它描述了三角形的边长和角度之间的关系。

在任意三角形ABC中，我们可以用正弦定理来表示三角形的边长和角度之间的关系。

正弦定理的数学表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中a、b、c分别表示三角形ABC的三边的长度，A、B、C表示对应的角度。

通过正弦定理，我们可以计算出三角形中任意一个角的正弦值，从而进一步计算出三角形的边长。

二、余弦定理余弦定理是三角形中的另一个重要定理，它描述了三角形的边长和角度之间的关系。

在任意三角形ABC中，我们可以用余弦定理来表示三角形的边长和角度之间的关系。

余弦定理的数学表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中a、b、c分别表示三角形ABC的三边的长度，C表示对应的角度。

通过余弦定理，我们可以计算出三角形中任意一个角的余弦值，从而进一步计算出三角形的边长。

三、正切定理正切定理是三角形中的另一个重要定理，它描述了三角形的边长和角度之间的关系。

在任意三角形ABC中，我们可以用正切定理来表示三角形的边长和角度之间的关系。

正切定理的数学表达式为：tanA = a/b其中a、b分别表示三角形ABC的两边的长度，A表示对应的角度。

通过正切定理，我们可以计算出三角形中任意一个角的正切值，从而进一步计算出三角形的边长。

正弦定理、余弦定理和正切定理是三角形中常用的三角函数公式。

它们描述了三角形中边长和角度之间的关系，可以方便地计算三角形的边长和角度。

在实际应用中，这些三角函数公式被广泛运用于测量、导航、建筑等领域。

通过测量三角形的边长和角度，我们可以确定物体的位置、测量距离、计算高度等。

这些三角函数公式为我们提供了一个强大的工具，帮助我们解决实际问题。

正弦定理、余弦定理和正切定理是解决三角形问题的重要工具。

它们通过三角函数的关系，将三角形的边长和角度联系起来，为我们提供了便捷的计算方法。

三角函数与三角形边的关系

三角函数与三角形边的关系
三角函数和三角形边的关系
三角函数是研究三角形角转换为实数的函数，它是反三角函数的反函数。

换言之，三角函数可以用来表示三角形形状的变化。

三角函数描述的是三角形的数量特性，所以它可以用作三角形角的度量，并且可用它来定义三角形的边。

三角形的边和三角函数之间的关系如下：
1. 三角形的边长和三角函数之间有一种直接的关系，三角函数的数值可以用来表示三角形的边长。

2. 三角函数可以用来求出三角形边与角之间的关系，如sin（α）= b / c，用来求解三角形的边长。

即通过求解sin（α）的值，可以求出三角形的边长。

3. 三角函数也可以用来求出两边长和角与边之间的关系，如cos （α）= a / b，用来求解三角形的边长。

4. 如果已知三角形的两个角，则可以用cos（α）= b / c来求取三角形的边长。

5. 如果已知三角形的三条边，则可以用cos（α）= a / b来求取三角形的角度。

因此，三角函数可以用来研究三角形边与角之间的关系，通过它可以表示三角形的形状，并可以用它来求出三角形的边长和角度。

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三角函数定理公式大全

三角函数定理公式大全在数学中，三角函数是一组基本的函数，用于描述角度和边长之间的关系。

三角函数定理是描述三角形中角度和边长之间的关系的公式集合。

三角函数定理被广泛应用于三角形的计算和解决各种实际问题。

在本篇文章中，我们将介绍三角函数的各种定理公式。

1. 正弦定理（Sine Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC这意味着一个三角形的任意一边的长度与它所对应的角的正弦值成比例。

2. 余弦定理（Cosine Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：c² = a² + b² - 2ab*cosCb² = a² + c² - 2ac*cosBa² = b² + c² - 2bc*cosA这意味着一个三角形的任意一边的平方与其他两边的平方以及其夹角的余弦值有关。

3. 正切定理（Tangent Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：tanA = a/btanB = b/atanC = c/a这意味着一个三角形的任意一边的长度与其他两边的长度之间的比率与对应的角的正切值成比例。

4. 正割定理（Secant Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：secA = 1/cosAsecB = 1/cosBsecC = 1/cosC这意味着一个三角形的任意一边的长度与对应的角的余弦值的倒数成比例。

5. 余割定理（Cosecant Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：cosecA = 1/sinAcosecB = 1/sinBcosecC = 1/sinC这意味着一个三角形的任意一边的长度与对应的角的正弦值的倒数成比例。

高一三角函数题型总结

高一三角函数题型总结1.已知角范围和其中一个角的三角函数值，可以求出任意角的三角函数值。

具体方法是，首先画出直角三角形，然后利用勾股定理算出三角形的大小，并根据角的范围判断三角函数的正负。

例如，已知角α为第二象限角，且sinα=，则可以求出cosα、tanα和cotα的值。

2.一个式子如果满足关于sinα和cosα的分式和齐次式，就可以实现tanα之间的转化。

例如，已知sinα-2cosα/3sinα+5cosα=-5，可以求出tanα的值。

3.已知三角函数sinα和cosα的和或差的形式，可以通过等式两边完全平方求出sinα.cosα的值。

需要注意的是，在三角函数中判断正负时，要利用角的范围进行取舍。

例如，已知角α在π/2和π之间，且sinα+cosα=，可以求出sinα.cosα的值。

4.利用“加减2kπ”大角化小角，负角化正角，可以求出三角函数的值。

例如，求值：sin(-1/4π)+cosπ·tan4π-cosπ=；可以利用大角化小角和负角化正角的方法求出sinα.cosα和cosα-sinα的值。

练题：1.已知sinα=4/5，且α为第二象限角，那么tanα的值等于-3/4.2.已知sinαcosα=3/4，且π<α<2π/3，那么cosα-sinα的值为-1/2.3.设α是第二象限角，则sinα/cosα-1/tan2α=-1.4.若tanθ=3/4，那么θ的值为arctan(3/4)。

5.已知13/23，π<θ<π，那么sinθ.cosθ的值为±10/23.6.若α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=2/3，那么三角形为直角三角形。

三角函数诱导公式诱导公式可以概括为将 $\pi/2\cdot k\pm\alpha$ 的三角函数值转化为角度 $\alpha$ 的三角函数值。

（其中 $k$ 指奇数或偶数，$\alpha$ 相当于锐角）口诀“奇变偶不变，符号看象限。

三角形中tan的关系

三角形中tan的关系在数学中，三角形是一个非常重要的概念。

它有着丰富的性质和关系，其中之一就是三角函数的关系。

在三角形中，tan函数（正切函数）是一个十分有趣的函数，它可以帮助我们理解三角形的形状和角度。

让我们回顾一下tan函数的定义。

在一个直角三角形中，tan函数等于对边的长度除以邻边的长度。

也就是说，tan函数可以告诉我们一个角度的斜率。

假设我们有一个直角三角形ABC，其中∠B是直角。

那么，tan(∠A)等于边AC的长度除以边AB的长度。

同样地，tan(∠C)等于边AC的长度除以边BC的长度。

现在，让我们来看一些具体的例子来理解tan函数在三角形中的应用。

例子1：假设我们有一个直角三角形ABC，边AB的长度为3，边BC的长度为4。

我们想要求解∠A的正切值。

根据tan函数的定义，tan(∠A)等于边AC的长度除以边AB的长度。

因此，我们需要求解边AC的长度。

根据勾股定理，我们可以求得边AC的长度为5。

因此，tan(∠A)等于5/3。

例子2：现在，让我们考虑一个更复杂的例子。

假设我们有一个直角三角形ABC，边AB的长度为5，边BC的长度为12。

我们想要求解∠A的正切值。

根据tan函数的定义，tan(∠A)等于边AC的长度除以边AB的长度。

因此，我们需要求解边AC的长度。

通过勾股定理，我们可以求得边AC的长度为13。

因此，tan(∠A)等于13/5。

通过这些例子，我们可以看出tan函数在三角形中的重要性。

它可以帮助我们求解角度的斜率，从而帮助我们理解三角形的形状和角度关系。

除了在直角三角形中，tan函数在任意三角形中也有着重要的应用。

通过使用三角恒等式和三角函数的定义，我们可以求解任意三角形的各个角度的正切值。

总结起来，三角形中tan的关系可以帮助我们理解三角形的形状和角度关系。

它在解决各种数学问题和实际应用中都发挥着重要的作用。

通过深入研究和实践，我们可以更好地掌握和应用tan函数在三角形中的关系。

初中三角函数练习题及答案

初中三角函数练习（一）精心选一选1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值都（）A、缩小2倍B、扩大2倍C、不变D、不能确定12、在Rt△ABC中，∠C=900，BC=4，sinA=，则AC=（）A、3B、4C、5D、63、若∠A是锐角，且sinA=，则（）A、00<∠A<300B、300<∠A<450C、450<∠A<600 D、600<∠A<9004、若cosA=，则=（）A、B、C、D、05、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，则a：b：c=（）A、1：1：2B、1：1：C、1：1：D、1：1：6、在Rt△ABC中，∠C=900，则下列式子成立的是（）A、sinA=sinBB、sinA=cosBC、tanA=tanB D、cosA=tanB7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）A．sinB=B．cosB=C．tanB=D．tanB=8．点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（，） B．（-，） C．（-，-） D．（-，-）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，•若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（）A．6.9米 B．8.5米 C．10.3米 D．12.0米10．王英同学从A地沿北偏西60o方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）（A）m （B）100 m（C）150m （D）m11、如图1，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，又测得仰角为，则该高楼的高度大约为（）A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40o的方向行驶40海里到达B 地，再由B地向北偏西10o的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）．（A）30海里（B）40海里（C）50海里（D）60海里（二）细心填一填1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．2．在△ABC中，若BC=，AB=，AC=3，则cosA=________．3．在△ABC中，AB=2，AC=，∠B=30°，则∠BAC的度数是______．4．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A'P'B，且BP=2，那么PP'的长为____________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=，cos15°=)5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．6．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个4单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为___________结果保留根号）．7．求值：sin260°+cos260°=___________．8．在直角三角形ABC中，∠A=，BC=13，AB=12，那么___________．9．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）10．如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为α，高度BC为___________米（结果用含α的三角比表示）．(1) (2)11．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，•这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（•保留两个有效数字，≈1.41，≈1.73）三、认真答一答1，计算：分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；2计算：分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。

(完整版)三角函数练习题(含答案)

三角函数练习题及答案（一）选择题1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（）A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定12、在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4，sinA=45，则AC=（） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 3、若∠A 是锐角，且sinA=13，则（）A 、00<∠A<300B 、300<∠A<450C 、450<∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=13，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（） A 、47B 、 13C 、 12D 、0 5、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（）A 、1：1：2B 、1：1：√2C 、1：1：√3D 、1：1：√226、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）A ．sinB= 23B ．cosB= 23C ．tanB= 23D ．tanB=32 8．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（） A ．（32，12） B ．（-32，12） C ．（-32，-12） D ．（-12，-32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（）A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地（）（A ）350m （B ）100 m （C ）150m （D ）3100m11、如图1，在高楼前D点测得楼顶的仰角为300，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为450，则该高楼的高度大约为（）A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）．（A）30海里（B）40海里（C）50海里（D）60海里（二）填空题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．2．在△ABC中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________．3．在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC的度数是______．4．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=，cos15°=62+)5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．6．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为___________结果保留根号）．7．求值：sin260°+cos260°=___________．8．在直角三角形ABC中，∠A=090，BC=13，AB=12，那么tan B=___________．9．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）10．如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为___________米（结果用含α的三角比表示）．11．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（保留两个有效数字，2≈1.41，3≈1.73）三、简答题：1，计算：sin cos cot tan tan 3060456030︒+︒-︒-︒⋅︒分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；2计算：22459044211(cos sin )()()︒-︒+-︒+--π分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。

三角形中三角函数问题的高考常见题型及求解策略

角转化为边，变成求代数式的值（最值）或・
ｉＣ，ｓ２＝ｓＡｓＢ．ｉＣｎ故ｉＣ４ｉｎｓ则 —ｎｎｎｉｎｔ— ａＣ＋
ｔｎａＡ
ｔ
ａｃｎ
ｓＣ／ｃ４ｊｎ。ｓ
ｃｓ＼ｓＡｏＣｉｎ
ｃ。
ｓＢｉｎ
—
解法１（角全部化归为边）＋将由
：
６ｏＣ得６＋：ｃｓａ＋２６ｂ．ｃｓ６ｏＣ．２ｂ＿ａ－
ｃｚ
．
ｊ角函数的变换等知识才能顺利解决问
题．题型主要是选择题、空题或中等难填度的解答题．
一！：：＝一一；一～＝４
６
化及三角函数的变换．解题的关键是利用正弦定理或余弦定理将边化为角．时有
ＣＳＯＣａｂ１
（２ｂ）ａ＋
６
等
—
ｓ（０ｅｎＤｌ行转化ｉｘ）ａｎ＋＿ｔ进
求解策略：题主要考查正弦定理及本
：
ＣＳｉＡｉＢｓｎｉＣＳＯＣｓｎｓｎｉＡｓＯＣ
投籀：ｊｒ．３Ｏ稿挪ｓｋｉ１ｒｘ＠ｐ６Ｃｎ
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三角形中三角函数问题的
一数角一数变三函一角～一综姗函
彭秀英题问筝拥嵴
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直角三角形中三角函数的计算

直角三角形中三角函数的计算直角三角形是数学中非常重要的一个概念，而三角函数则是直角三角形中最为常用的计算工具。

在学习直角三角形的过程中，掌握三角函数的计算方法是非常关键的。

本文将以直角三角形中三角函数的计算为主题，详细介绍三角函数的定义、计算方法以及应用。

一、三角函数的定义在直角三角形中，我们可以定义三个基本的三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。

这些函数可以通过直角三角形中的边长关系来定义。

1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，即sinθ = 对边/斜边。

2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，即cosθ = 邻边/斜边。

3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边的比值，即tanθ = 对边/邻边。

二、三角函数的计算方法掌握三角函数的计算方法对于解决直角三角形相关问题至关重要。

下面将分别介绍三角函数的计算方法。

1. 已知两边求角度：如果我们已知直角三角形的两条边，想要求解其中一个角度，可以使用反正弦函数（arcsin）或反余弦函数（arccos）来计算。

例如，已知一个直角三角形的对边长为3，斜边长为5，我们想要求解角A的大小。

根据正弦函数的定义sinA = 对边/斜边，我们可以得到sinA = 3/5。

然后，使用反正弦函数可以得到A = arcsin(3/5) ≈ 36.87°。

2. 已知边长求另一边长：如果我们已知直角三角形的一条边和一个角度，想要求解另一条边的长度，可以使用正弦函数、余弦函数或正切函数来计算。

例如，已知一个直角三角形的斜边长为10，角A的大小为30°，我们想要求解对边的长度。

根据正弦函数的定义sinA = 对边/斜边，我们可以得到sin30° = 对边/10。

然后，通过代入数值计算即可得到对边的长度。

3. 已知一个角度求另一个角度：如果我们已知直角三角形中一个角度的大小，想要求解另一个角度的大小，可以使用正弦函数、余弦函数或正切函数来计算。

三角函数三角形面积

三角函数三角形面积
三角函数是解决三角形问题的重要工具，其中包括求三角形的面积。

我们可以利用正弦函数、余弦函数和正切函数来求解三角形的面积。

具体方法如下：
1. 用正弦函数求解三角形面积
设三角形的底边为a，高为h，角度为α，则三角形的面积为
S=1/2ah。

而正弦函数的定义是sinα=h/c，其中c为斜边长。

因此，将sinα代入S=1/2ah的公式中，可得S=1/2acsinα。

2. 用余弦函数求解三角形面积
设三角形的底边为a，高为h，角度为α，则三角形的面积为
S=1/2ah。

而余弦函数的定义是cosα=a/c，其中c为斜边长。

因此，将cosα代入S=1/2ah的公式中，可得S=1/2c^2cosα。

3. 用正切函数求解三角形面积
设三角形的底边为a，高为h，角度为α，则三角形的面积为
S=1/2ah。

而正切函数的定义是tanα=h/a。

因此，将tanα代入
S=1/2ah的公式中，可得S=1/2a^2tanα。

综上所述，我们可以用三角函数来求解三角形的面积，而三角函数的选择则取决于已知的角度和边长。

在实际应用中，需要根据具体问题来选择合适的三角函数。

- 1 -。

相似三角形的三角函数关系

相似三角形的三角函数关系相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。

在几何学中，相似三角形的三角函数关系起着重要的作用。

本文将详细介绍相似三角形的三角函数关系。

一、相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。

即若三角形ABC与三角形DEF相似，则有∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE = BC/EF = AC/DF。

二、正弦函数与相似三角形的关系对于一个直角三角形ABC，其中∠A为直角，BC为斜边，分别定义其两个尖角为∠B和∠C。

假设∠B = α，则∠C = 90° - α。

根据正弦函数的定义，我们可以得到：sin(∠B) = BC/AB，sin(90° - α) = AC/AB。

由于AB是一个恒定值，那么BC/AB与AC/AB之间的比值为常数。

所以，当两个三角形相似时，它们对应角的正弦函数值相等。

三、余弦函数与相似三角形的关系同样以直角三角形ABC为例，根据余弦函数的定义可得：cos(∠B) = AC/AB，cos(90° - α) = BC/AB。

与正弦函数类似，两个相似三角形的对应角的余弦函数值相等，即cos(∠B) = cos(90° - α)。

四、正切函数与相似三角形的关系正切函数是切线与斜边之比，所以对于直角三角形ABC，有tan(∠B) = BC/AB，tan(90° - α) = AC/AB。

同样地，当两个三角形相似时，它们对应角的正切函数值相等，即tan(∠B) = tan(90° - α)。

五、例题分析现在我们通过一个具体的例题来说明相似三角形的三角函数关系。

设有两个相似三角形ABC和DEF，已知AB = 5cm，BC = 8cm，AC = 10cm，且∠B = α。

求∠C和∠A。

根据三角形相似的定义，我们可以得到的比值公式是AB/DE=BC/EF=AC/DF=5/DE。

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