三角形中的几何计算课件

解析： 根据仰角与俯角的含义，画图即可得知． 答案： B
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2．若点A在点B的北偏西30°，则B点在A点的(
A．西偏北30° C．南偏东30°
)
B．西偏北60° D．东偏南30°
解析： 如图，可知B在点A的南偏东30°或东偏南60°.
答案： C
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3．点 B 在点 A 的东偏北 60° 方向距 A 为 1 km 的地方，点 C 在点 A 的北偏西 30° 方向且距 A 为 2 km 的地方，则 B、C 间的距离为( A. 3 km C. 7 km B. 5 km D. 2 km )
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测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等
数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何 问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决． 如图，测量河对岸的塔形建筑AB，A为塔的顶端，B为塔的底端， 河两岸的地面上任意一点与塔底端B处在同一海拔水平面上，现给你一
x1＝15 2tsin 45° ＝15t， 则 y1＝x1＝15t.
1 2 5 5 由 tan θ＝ 可得，cos θ＝ ，sin θ＝ . 2 5 5
x2＝10 5tsin θ＝10t， 故 y2＝10 5tcos θ－40＝20t－40.
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(1)令 t＝3，P、Q 两点的坐标分别为(45,45)、(30,20)， |PQ|＝ 45－302＋45－202＝ 850＝5 34， 即出发后 3 小时两船相距 5 34海里． (2)由题意得： |PQ|＝ x2－x12＋y2－y12 ＝ 10t－15t2＋20t－40－15t2 ＝ 50t2－400t＋1 600＝ 50t－42＋800≥20 2， ∴当且仅当 t＝4 时，|PQ|取得最小值 20 2. 即两船出发后 4 小时时距离最近，最近距离为 20 2海里．
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解析：
如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求
宽度，在△ABC中， ∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°， ∴∠ACB＝75°，∴AC＝AB＝120 m. 在Rt△ACD中， CD＝ACsin∠CAD＝120sin 30°＝60(m)，
因此这条河宽为60 m.
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求距离问题要注意： (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形， 若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形 中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计 算的定理．
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某单位在抗雪救灾中，需要在 A、B 两地之间架设高压电线，测 量人员在相距 6 000 m 的 C、D 两地(A、B、C、D 在同一平面上)，测得 ∠ACD＝45° ，∠ADC＝75° ，∠BCD＝30° ，∠BDC＝15° (如图)，假如考 虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是 A、B 距离的 1.2 倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7， 7≈2.6)
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如右图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝
α，∠ABC＝β. (1)证明：sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC＝DC，求β的值． 解析： (1)证明：∵AB＝AD， 则∠ADB＝β，∴∠C＝β－α. 又∠B＋∠C＝90°，
即2β－α＝90°，则2β＝90°＋α，
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asin β ∴AC＝ . sinα－β asin β 在 Rt△ACB 中，AB＝AC· α＝ sin sin α. sinα－β 方法二：在 BC 的延长线上找一点 D，使得在 D 点测得仰角∠ADB α ＝2. 又测得 DC 的长为 m. α 在△ADC 中，∠ADC＝ ， 2 α α ∠DAC＝α－ ＝ . 2 2 ∴DC＝AC＝m，
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解析： 在△ACD 中，∠CAD＝180° －∠ACD－∠ADC＝60° ， CD＝6 000 m，∠ACD＝45° ， 根据正弦定理 AD＝ CDsin 45° ＝ sin 60° 2 CD， 3
在△BCD 中，∠CBD＝180° －∠BCD－∠BDC＝135° ， CD＝6 000 m，∠BCD＝30° ， CDsin 30° 2 根据正弦定理 BD＝ sin 135° ＝ 2 CD. 又在△ABD 中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90° ， 根据勾股定理有 AB＝ AD2＋BD2＝ 2 1 ＋ CD＝1 000 42(m)， 3 2
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【思考探究】 1.仰角、俯角、方位角有什么区别？ 提示： 三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而
方位角是相对于正北方向而言的．
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3．方向角
相对于某一正方向的水平角(如图③) (1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． (2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似．
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【思考探究】 2.如何用方位角、方向角确定一点的位置？ 提示： 一点的位置． 利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定
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1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的 关系是( ) B．α＝β D．α＋β＝180°
A．α＞β C．α＋β＝90°
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【变式训练】 3.A、B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测 得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°， 其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.
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解析： 在△ABD 中， ∠BDA＝180° －45° －120° ＝15° . AB AD 由sin 15° sin 45° ＝ ，得 2 800× 2 AB· 45° sin AD＝ ＝ ＝800( 3＋1)(m)． sin 15° 6－ 2 4 ∵CD⊥平面 ABD，∠CAD＝45° ，∴CD＝AD＝800( 3＋1)(m)． 故山高 CD 为 800( 3＋1)m.
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【变式训练】 1.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝
10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．
解析：
在 △ ABD 中 ， 设 BD ＝ x ， 则 BA2 ＝ BD2 ＋ AD2 －
2BD·AD·cos ∠BDA，
解析： 由题意知∠BAC＝60° ，AB＝1，AC＝2 ∴BC2＝AB2＋AC2－2AB· cos∠BAC AC· ＝1＋4－2×2×1×cos 60° ＝3. ∴BC＝ 3.
答案： A
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4．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹
角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h、15 n mile/h，则下午2时 两船之间的距离是________n mile.
即142＝x2＋102－2·10x·cos 60°， 整理得x2－10x－96＝0，
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解之得，x1＝16，x2＝－6(舍去)． BC BD 由正弦定理得 ＝ ， sin∠CDB sin∠BCD 16 ∴BC＝sin 135°sin 30° · ＝8 2.
答案： 8 2
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cos 2β＝－sin α，即cos 2β＋sin α＝0. ①
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DC AC (2)在△ADC 中， ＝ ， sin α sin β 即 sin β＝ 3sin α. ② ①代入②整理得： 2 3sin2β－sin β－ 3＝0. 3 3 解得 sin β＝ 2 ，或 sin β＝－ 3 舍去， 又 β 为锐角，则 β＝60° .
答案： 60
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以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值和优
化等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解
决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三 角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解 之．
命以10 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度
从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
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解析： 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船，画出示意图如图， 则有 CD＝10 3t，BD＝10t. 在△ABC 中，∵AB＝ 3－1，AC＝2，∠BAC＝120° ， ∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB· cos∠BAC AC· ＝( 3－1)2＋22－2×( 3－1)×2×cos 120° ＝6， ∴BC＝ 6，
架测角仪(可以测量仰角、俯角和视角)，再给你一把尺子(可以测量地面
上两点间距离)，图中给出的是在一侧河岸地面C点测得仰角∠ACB＝α， 请设计一种测量塔建筑高度AB的方法(其中测角仪支架高度忽略不计，计 算结果可用测量数据所设字母表示)．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析： 方法一：选择水平基线 BC，在 BC 的延长线上取一点 D， 在 D 点测得仰角∠BDA＝β，同时测得 CD 的长度为 a. 在△ADC 中∠DAC＝α－β， 在△ADC 中，由正弦定理 AC DC ＝ ， sin β sinα－β
解析： 如图，由题意可得 OA＝50， OB＝30. 而 AB2＝OA2＋OB2－2OA· OBcos 120°
1 ＝50 ＋30 －2×50×30×－2
2 2
＝2 500＋900＋1 500＝4 900，∴AB＝70.
答案： 70
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5．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标 记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽 度为________m.
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测量角度问题也就是通过解三角形求角问题，求角问题可以转化为
求该角的函数值．如果是用余弦定理求得该角的余弦，该角容易确定， 如果用正弦定理求得该角的正弦，就需要讨论解的情况了． 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(－1) n mile的B处有 一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉
第8课时 三角形中的几何计算、
解三角形的实际应用举例
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1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方 水平线 下方 的角叫俯角(如图①)． 的角叫仰角，在
2．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为 α(如图②)．
实际所需电线长度约为 1.2AB≈7 425.6(m)．
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【变式训练】 2.如图所示， 甲船由 A 岛出发向北偏东 45° 的方向作 匀速直线航行，速度为 15 2海里/小时，在甲船从 A 岛出发的同时，乙
1 tan θ＝ 的方向作匀 船从 A 岛正南 40 海里处的 B 岛出发，朝北偏东 θ 2
速直线航行，速度为 10 5海里/小时． (1)求出发后 3 小时两船相距多少海里？ (2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？
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解析： 以 A 为原点， 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角 BA 坐标系． 设在 t 时刻甲，乙两船分别在 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
在 Rt△ACB 中，AB＝ACsin α＝msin α.
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方法三：如图，在河的这岸抽取一点 D，测得 CD＝b，并测∠BCD ＝γ，∠BDC＝β. 在△BCD 中，∠CBD＝π－γ－β. BC CD 由正弦定理得 ＝ ， sin∠BDC sin∠CBD CD· sin∠BDC b· β sin ∴BC＝ ＝ . sin∠CBD sinβ＋γ b· βtan α sin 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan ∠ACB＝ . sinβ＋γ