高中数学必修五北师大版 2 三角形中的几何计算 作业(含答案)3
高中数学北师大版必修5同步精练2.2三角形中的几何计算 Word版含答案
基础巩固在△中，等于( )在△中，已知＝°，＝，则边上的高等于( )．．．在△中，＝，＝，当△的面积等于时，＝.在△中，＝°，＝，＝，则△的面积等于．若△面积为，＝，＝°，求、的值．在△中，已知＝，求证：△为等腰三角形．已知三角形的一个角为°，面积为，周长为，求此三角形各边长．已知△三边的长分别为＝，＝，＝.求此三角形的面积．综合过关半径为的圆内接三角形的面积为，求此三角形三边长的乘积．在△中，＝，＝，，是方程－＋＝的两个根，且(＋)＝，求：()角的度数；()的长度；()△的面积．已知圆内接四边形的边长分别为＝，＝，＝＝，求四边形的面积．能力提升在△中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角．()求最大角的余弦值；()求以此最大角为内角，夹此角两边之和为的平行四边形的最大面积．参考答案答案：解析：边上的高等于＝.答案：解析：△的面积＝＝，解得＝，所以＝＝，所以＝＝－，所以＝.答案：解析：由余弦定理得＝＋－·°，∴－＋＝.∴＝.△＝·°＝×××＝.答案：分析：本题为三角形面积的应用，主要是构建方程求得、.解：根据题意：＝·＝°＝，∴＝.由余弦定理，得＝＋－＝，∴＝.分析：欲证△为等腰三角形，可利用余弦定理证明两边相等．证明：由余弦定理，得＝.又＝，∴＝.整理得＝.∴＝.∴△是等腰三角形．分析：此题条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但都与边或角相关，故可设出边长，利用所给的条件列出方程求解．解：设三角形的三条边长为，，，＝°，则依题意，得(\\(°＝(＋－)，,()°＝()，＋＋＝，))∴(\\(＋＋＝，①＝＋－，②＝.③))由①式得＝[－(＋)]＝＋＋＋－(＋)．④将②代入④得＋－(＋)＝，再将③代入④得＋＝.由(\\(＋＝，＝，))得(\\(＝，＝，))或(\\(＝，＝，))∴＝.∴该三角形的三边长为.解：根据余弦定理的推论，得＝＝≈，＝≈≈.应用＝，得≈×××≈()．分析：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：＝＝＝，其中为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式△＝发生联系，对进行整体求解．解：设△三边为，，，。
高中数学北师大版必修5 第二章2 三角形中的几何计算 作业 Word版含解析
[学业水平训练]．边长为、、的三角形的最大角与最小角的和是( )．°．°．°．°解析：选.设中间角为θ，则θ＝＝，θ＝°，°－°＝°即为所求．．在△中，三式·≤，·≤，·≤中可以成立的( )．至少个．至多个．一个也没有．三式可以同时成立解析：选.∵·≤，∴≤，∴≥，同样≥，≥，故至多有一个成立．．在△中，角、、所对的边分别是、、.若＝，则＋等于( )．－．－．解析：选.∵＝，∴＝，即－＝，∴－(－)＝，∴＋＝.．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是( )．锐角三角形．钝角三角形．直角三角形．与增加的长度有关解析：选.在△中，＝＋，设三边增加相同长度后，新三角形为△′′′，根据余弦定理得′＝＝>，而角′是最大的角，故新三角形为锐角三角形，故选.．在△中，＝°，＝，且△＝，则边的长为( )．．解析：选.∵△＝···得，×°＝，∴＝，∴＝)＝°)＝.故选.．在△中，＝，＝，当△的面积等于时，＝．解析：△的面积＝＝，解得＝，所以＝)＝，所以＝＝－，所以＝.答案：．在△中，若＝，＝，＝，则＝；＝．解析：由＝，得＝．又＋＝，得＝.又∵＝，＝，根据正弦定理，应用)＝)，∴＝)＝＝.答案：．已知在锐角三角形中，＝，＝，△的面积为，则·＝．解析：∵＝，∴＝×××.∴＝，又∵∠为锐角，∴＝.∴·＝××＝.答案：．在△中，角，，所对的边分别为，，，且满足＝，·＝.()求△的面积；()若＝，求的值．解：() ＝－＝×()－＝.又∈(，π)，＝＝，而·＝··＝＝，所以＝，所以△的面积为：＝××＝.()由()知＝，而＝，所以＝，所以＝)＝＝.．在△中，内角，，对边的边长分别是，，.已知＝，∠＝.()若△的面积等于，求，的值；()若＝，求△的面积．解：()∵＝＝·＝，∴＝.①∵＝＋－＝(＋)－－＝(＋)－＝.∴＋＝.②由①②可得＝，＝()∵＝，∴＝.又∵＝＋－＝(＋)－＝，∴＝，＝.∴＝＝.[高考水平训练]．在△中，角，，所对的边分别是，，，若(＋－) ＝，则)的值为( ) ．解析：选.由余弦定理＋－＝⇔＝⇒＝，由正弦定理)＝)⇒)＝＝，故选. ．设△的内角，，所对的边分别为，，若(＋－)(＋＋)＝，则角＝.解析：由(＋－)(＋＋)＝，可知＋－＝－.又＝＝－，所以∠＝°.答案：°．设△的内角，，所对的边长分别为，，且＝，＝.()当＝°时，求的值；()当△的面积为时，求＋的值．解：()因为＝，所以＝.由正弦定理)＝)，可得°)＝，所以＝.()因为△的面积＝·，＝，所以＝，＝.由余弦定理得＝＋－，得＝＋－＝＋－，即＋＝.。
2020-2021学年北师大版高中数学必修五《三角形中的几何计算》课时作业及解析
（新课标）最新北师大版高中数学必修五课时作业14 三角形中的几何计算时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )A．75°B．60°C．45°D．30°【答案】 B【解析】本小题主要考查三角形面积公式、三角函数等基础知识．∵33＝12×4×3sinC，∴sinC＝3 2，∴C＝60°，故选B.2．△ABC的对边分别为a、b、c，且a＝1，B＝45°，且其外接圆直径为52，则S△ABC＝( )A．4 B．3C．2 D．5【答案】 C【解析】 由正弦定理得52＝b sinB ＝bsin45°，∴b ＝5，由余弦定理得c ＝42，∴S △ABC ＝12acsinB ＝12×1×42×22＝2.3．在△ABC 中，若|AB →|＝2，|AC →|＝5，AB →·AC →＝－5，则S △ABC 等于( )A.532 B. 3C.52D ．5【答案】 A【解析】 由向量知识可知：AB→·AC →＝|AB →||AC →|·cosA ＝10cosA ＝－5， 所以cosA ＝－12，所以sinA ＝32.所以S △ABC ＝12|AB →||AC →|×sinA ＝12×2×5×32＝532.4．在△ABC 中，a ＋b ＋10c ＝2(sinA ＋sinB ＋10sinC)，A ＝60°，则a ＝( )A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．不确定 【答案】 A【解析】 由已知及正弦定理，得a ＋b ＋10c sinA ＋sinB ＋10sinC ＝asinA＝2，a ＝2sinA ＝2sin60°＝3，选A.5．在锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(1，3) C ．(3，5) D ．(1，5)【答案】 C【解析】 由已知及余弦定理，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2>c 2，b 2＋c 2>a 2，由此解得3<a< 5.6．在△ABC 中，a ＝2bcosC ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 【答案】 A【解析】 由已知及正弦定理，得sinA ＝2sinBcosC ，sin(B ＋C)＝2sinBcosC ，sinBcosC ＋cosBsinC ＝2sinBcosC ，sin(B －C)＝0，又－π<B －C<π，B －C ＝0，B ＝C.7．(2013·辽宁理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC ＋csinBcosA ＝12b ，且a>b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】 A【解析】 本题考查解三角形，正弦定理，已知三角函数值求角．由正弦定理可得sinB(sinAcosC ＋sinCcosA)＝12sinB ，∵sinB ≠0，∴sin(A＋C)＝12，∴sinB ＝12，由a>b 知A>B ，∴B ＝π6.选A.【点评】 在三角形中，已知边角混合等式，可以转化为角的关系式，也可转化为边的关系式．本题可利用余弦定理转化为边的关系式求解．二、填空题(每小题5分，共15分)8．等腰三角形的腰长为2，底边中点到腰的距离为32，则此三角形外接圆半径为________．【答案】 233【解析】 设AB ＝AC ，D 为底边中点，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， 则由DE ＝32，知BF ＝ 3.又AB ＝2，∴AF ＝1∴CF ＝AC －AF ＝1，tanC ＝BFCF ＝3，∴C ＝60°，2R ＝AB sinC ＝433，∴R ＝233.9．在△ABC 中，已知ab ＝60，sinA ＝cosB ，三角形面积为15，则A ＝______，B ＝______，C ＝______.【答案】 120° 30° 30°【解析】 S ＝12absinC 得：15＝30sinC∴sinC ＝12，∴C ＝30°或150°.由sinA ＝cosB 知B 为锐角，且由sinA ＝sin(90°－B)知A ＝90°－B 或A ＝180°－(90°－B)＝90°＋B若A ＋B ＝90°，C ＝90°矛盾舍去．若A ＝90°＋B ，则A 为钝角，故C 只能为30°，从而A ＝120°，B ＝30°.10．对于△ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sinA ＝cosB ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A ＋sin 2B＋cos 2C ＜1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)【答案】 ③【解析】 ①sin2A ＝sin2B ，∴A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形，或2A ＋2B ＝π⇒A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形．故①不对．②sinA ＝cosB ，∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2.∴△ABC 不一定是直角三角形．③sin 2A ＋sin 2B ＜1－cos 2C ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2＜c 2. ∴△ABC 为钝角三角形．三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)等腰三角形的底边长为a ，腰长为2a ，求腰上的中线． 【解析】如图所示，过A 作AD ⊥BC ，交BC 于D.在等腰三角形ABC 中，BC ＝a ，AB ＝AC ＝2a ，BM 为腰上的中线，则CM ＝a ，∴△BCM 为等腰三角形，在Rt △ACD 中，cos α＝14，在△BMC 中，由余弦定理，得BM 2＝BC 2＋MC 2－2BC ·MCcos α＝32a 2，∴BM ＝62a.12．(15分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinBcosA ＝sinAcosC ＋cosAsinC.(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．【解析】 (1)由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A<π，故A ＝π3.(2)(解法一)因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2 ＝14(AB →2＋AC →2＋2AB→·AC →) ＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74， 所以|AD →|＝72.从而AD ＝72.(解法二)因为a 2＝b 2＋c 2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72. 13．(20分)(2013·湖北文)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A －3cos(B ＋C)＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sinBsinC 的值．【解析】 思路分析：(1)由三角形内角和及诱导公式可求得A ； (2)由S ＝12bcsinA 求得c ，再由余弦定理求得a ，再由正弦定理可求得sinBsinC.解 ：(1)由cos2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cosA －2＝0， 即(2cosA －1)(cosA ＋2)＝0，解得cosA ＝12或cosA ＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bcsinA ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理得sinBsinC ＝b a sinA ·c a sinA ＝bc a 2sin 2A＝2021×34＝57. 【点评】 本题主要考查诱导公式及正弦定理和余弦定理，在解题过程中要特别注意正余弦定理的变形的应用．。
高中数学必修五北师大版 三角形中的几何计 算 作业(含答案)
一、选择题1．已知方程x 2sin A ＋2x sin B ＋sin C ＝0有重根，则△ABC 的三边a ，b ，c 的关系满足( )A ．b ＝acB ．b 2＝acC ．a ＝b ＝cD ．c ＝ab 【答案】 B【解析】 ∵由方程有重根，∴Δ＝4sin 2B －4sin A sin C ＝0，即sin 2B ＝sin A sin C ，∴b 2＝ac .2．在△ABC 中，a ＝6，b ＝4，C ＝30°，则△ABC 的面积是( )A ．12B ．6C ．12 3D ．8 3 【答案】 B【解析】 由S ＝12ab sin C 得S △ABC ＝12×6×4sin30°＝6.3．在△ABC 中，a ＝6，B ＝30°，C ＝120°，则△ABC 的面积是( )A ．9B ．8C ．9 3D ．18 3 【答案】 C【解析】 由题知A ＝180°－120°－30°＝30°.∴6sin30°＝b sin30°，∴b ＝6，∴S ＝12×6×6sin120°＝9 3.二、填空题4．在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积为________．【答案】 32【解析】 由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos30°， ∴AC 2－23AC ＋3＝0.∴AC ＝ 3.∴S △ABC ＝12AB ·AC sin30°＝12×2×3×12＝32.5．在△ABC 中，已知a ＝8，c ＝6，且S △ABC ＝123，则B ＝________.【答案】 60°或120°【解析】 S △ABC ＝12ac sin B ＝12×8×6×sin B ＝123，∴sin B ＝32，∵0°<B <180°，∴B ＝60°或120°.三、解答题6．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 【解析】 证法一：化角为边，左边＝a －c (a 2＋c 2－b 2)2ac b －c (b 2＋c 2－a 2)2bc＝a 2－c 2＋b 22a ·2b b 2＋a 2－c 2＝b a ＝sin B sin A＝右边． 证法二：化边为角，左边＝sin A －sin C cos B sin B －sin C cos A ＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A ＝右边．。
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第2章 2(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( ) A.922B.924C.928D ．9 2 解析： 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13， ∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13， 则sin θ＝223. ∴2R ＝3sin θ＝3223＝924. 答案： B2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( ) A.1＋32 B ．1＋ 3 C.2＋32 D ．2＋ 3解析： ∵2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32， ∴ac ＝6.∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac cos B －2ac .∴b 2＝4b 2－63－12，∴b 2＝23＋4，b ＝1＋ 3.答案： B3．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( )A ．1＜a ＜3B ．1＜a ＜ 5 C.3＜a ＜ 5D ．不确定 解析： 若c 为最大边，则有b 2＋a 2－c 2＝a 2－3＞0，∴a ＞3；若a 为最大边，则有b 2＋c 2－a 2＝5－a 2＞0，∴a ＜5，∴3＜a ＜ 5.答案： C4．一梯形的两腰长分别为2和6，它的一个底角为60°，则它的另一个底角的余弦值为( ) A.36 B.336C ．±36D ．±336解析： 如图所示，设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝60°，在过点D 作AB 的平行线DB ′与BC 相交于B ′.在△B ′CD 中，B ′D ＝AB ＝6，CD ＝2，∠C ＝60°，∠DB ′C ＝∠B ，于是由正弦定理知：B ′D sin C ＝CD sin ∠DB ′C， ∴sin ∠DB ′C ＝CD B ′D·sin C ＝26×sin 60°＝36， ∴cos ∠DB ′C ＝1－sin 2∠DB ′C ＝1－⎝⎛⎭⎫362＝336. ∴cos ∠B ＝336，故选B. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分) 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.解析： 根据正弦定理的变形a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，故(3b －c )cos A ＝a cos C ，等价于：(3×2R sin B －2R sin C )cos A ＝2R sin A cos C ， 整理得3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .又sin B ≠0，∴cos A ＝33. 答案： 33 6．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．解析： 由余弦定理得BD 2＝22＋22－2×2×2cos120°＝12.∴BD ＝2 3.∵BC ＝CD ＝2，∠C ＝120°，∴∠CBD ＝30°，∴∠ABD ＝90°.∴S 四边形＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×4×23sin90°＋12×2×2×sin120° ＝5 3.答案： 5 3三、解答题(每小题10分，共20分)7．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，又c ＝21，b ＝4，且BC 边上的高h ＝2 3.(1)求角C ；(2)求a 边的长．解析： (1)△ABC 为锐角三角形，过A 作AD ⊥BC 于D 点，sin C ＝234＝32，则C ＝60° (2)又由余弦定理可知：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C则(21)2＝42＋a 2－2×4×a ×12，即a 2－4a －5＝0，∴a ＝5或a ＝－1(舍)．因此所求角C ＝60°，a 边长为5.8.如图所示，四边形ABCD 中，已知∠A ＝120°，∠ABC ＝90°，AD ＝3，BC ＝33，BD ＝7，求(1)AB 的长；(2)CD 的长．解析： (1)在△ABC 中，设AB ＝x ，由余弦定理得，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠A ，即72＝x 2＋32－2x ·3·cos 120°，∴x 2＋3x －40＝0，(x －5)(x ＋8)＝0，∴x 1＝5或x 2＝－8(舍)，即AB ＝5.(2)在△ABD 中，由正弦定理得AD sin ∠ABD ＝BD sin 120°， 即3sin ∠ABD ＝7sin 120°， ∴sin ∠ABD ＝3sin 120°7＝3314. 在△BCD 中，由余弦定理，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD cos ∠CBD＝27＋49－2×33×7cos(90°－∠ABD )＝27＋49－2×33×7×3314＝49， ∴CD ＝7.尖子生题库☆☆☆9．(10分)常用a ，b ，c 分别表示△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边的边长，用R 表示△ABC 的外接圆半径．(1)如图，在以O 为圆心、半径为2的⊙O 中，BC 和BA 都是⊙O的弦，其中BC ＝2，∠ABC ＝45°，求弦AB 的长；(2)在△ABC 中，若∠C 是钝角，求证：a 2＋b 2＜4R 2.解析： (1)△ABC 的外接圆半径为2，在△ABC 中，由正弦定理可知，AC ＝2R sin ∠ABC ＝22，sin ∠BAC ＝BC 2R ＝12，∠BAC ＝30°， 由余弦定理得：AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC cos ∠ACB ＝4＋8＋82cos(A ＋B )＝4×(3＋2)＝2×(3＋1)2，所以AB ＝6＋ 2.(2)证明：由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R， 由于∠C 是钝角，∠A ，∠B 都是锐角，得cos A ＝12R4R 2－a 2， cos B ＝12R4R 2－b 2， cos C ＝－cos(A ＋B )＝14R2(ab －4R 2－a 24R 2－b 2)＜0， 所以a 2b 2＜(4R 2－a 2)(4R 2－b 2)，所以16R 4－4R 2(a 2＋b 2)＞0，即a 2＋b 2＜4R 2.。
2022版高中数学第二章解三角形2三角形中的几何计算基础训练北师大版必修5
三角形中的几何计算基础过关练题组一几何中的长度问题1.(2020湖南长沙长郡中学高一下期末)如图,在△ABC中,B=45°,AC=8,D是BC边上一点,DC=5,DA=7,则AB的长为()A.4√2B.4√3C.8D.4√62.如图所示,已知圆内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,BD=7,∠BDC=45°,则BC=.3.如图所示,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,D=135°,AB=10,AC=16,CD=8√2,则AD=,BC=.4.在△ABC中,若c=4,b=7,BC边上的中线AD长为72,求边长a.题组二几何中的角度问题5.在△ABC中,B=π4,BC边上的高为13BC,则sin∠BAC=()A.310B.√1010C.√55D.3√10106.在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=√3BD,BC=2BD,则sin C的值为 ()A.√33B.√36C.√63D.√667.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=14,则sin B=.8.在△ABC中,∠ABC=π3,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=17.(1)求sin∠BAD;(2)求BD,AC的长.题组三几何中的面积问题9.如图,四边形ABCD中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于()A.√3B.5√3C.6√3D.7√310.(2021湖南长沙长郡中学高三上月考)《易经》中记载着一种几何图形——八卦图,图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习,去测量当地八卦田的面积,如图,现测得正八边形的边长为8 m,代表阴阳太极图的圆的半径为2 m,则每块八卦田的面积为m2.深度解析11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2+b2+c2=ab+bc+ca.(1)证明:△ABC是正三角形;(2)如图,点D在边BC的延长线上,且BC=2CD,AD=√7,求sin∠BAD的值.能力提升练一、选择题1.()已知在△ABC中,|BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=10,BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-16,D为边BC的中点,则|BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |等于()A.6B.5C.4D.32.()如图,在△ABC中,AB=AC=2,BC=2√3,点D在BC边上,∠ADC=45°,则AD的长度为()A.√3B.√2C.1D.23.(2020河北邯郸高三二模,)如图,在△ABC中,tan∠ACB=4,CD是AB边上的高,若CD2-AD·BD=3,则△ABC的面积为()A.4B.6C.8D.124.()在△ABC中,AC=√7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()A.√32B.3√32C.√3+√62D.√3+√3945.(2020安徽滁州部分重点中学高一下期中联考,)如图,△ADC是等边三角形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD与AC交于点E.若AB=2,则AE的长为()A.√6-√2B.12(√6-√2)C.√6+√2D.12(√6+√2)6.()若平行四边形两邻边的长分别是√3和√6,它们的夹角是45°,则这个平行四边形的两条对角线的长分别是()A.√3和√5B.2√3和2√5C.√3和√15D.√5和√15二、填空题7.()若等腰三角形的腰长为2,底边中点到腰的距离为√3,则此三角形外接圆的半径2为.8.(2021河南南阳六校高二上联考,)已知圆内接四边形ABCD中,AB=2,BC=6,AD=CD=4,则四边形ABCD的面积为.三、解答题9.()如图,在圆内接四边形ABCD中,AB=2,AD=1,√3BC=√3BD cos α+CD sin β.(1)求角β的大小;(2)求四边形ABCD周长的取值范围..10.()如图所示,在四边形ABCD中,AD=1,CD=3,AC=2√3,cos B=√33(1)求△ACD的面积;(2)若BC=2√3,求AB的长.答案全解全析 §2 三角形中的几何计算基础过关练1.D 在△ACD 中,由余弦定理的推论得cos ∠ADC =72+52-822×7×5=17,所以cos ∠ADB =-17,又∠ADB 为三角形内角,所以sin ∠ADB =4√37,在△ADB 中,由正弦定理得BB sin B =BBsin∠BBB ,所以AB =BB ·sin∠BBB sin B=7×4√37√22=4√6.2.答案7√63解析 在△ABD 中,由余弦定理的推论得cos A =32+52-722×3×5=-12,∴A =120°,∴C =60°. 在△BDC 中,由正弦定理得BBsin45°=7sin60°,∴BC =7sin45°sin60°=√2√3=7√63.3.答案 8(√3-1);14解析 设AD =x (x >0),在△ADC 中,由余弦定理得AC 2=AD 2+CD 2-2AD ·CD ·cos D ,即162=x 2+(8√2)2-2·x ·8√2cos 135°, ∴x 2+16x -128=0,∴x =8(√3-1)或x =-8(√3+1)(舍去), ∴AD =8(√3-1), ∴cos∠DAC =BB 2+BB 2-BB 22BB ·BB=√3-22√2)22×8(√3-1)×16=√32,∴sin∠BAC =12,∴cos∠BAC =cos(90°-∠DAC )=sin ∠DAC =12.在△ABC 中,由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos ∠BAC ,即BC 2=102+162-2×10×16×12=196,∴BC =14(负值舍去).4.解析 如图,∵AD 是BC 边上的中线, ∴可设CD =DB =x (x >0), ∴CB =a =2x. ∵c =4,b =7,AD =72,∴在△ACD 中, cos C =72+B 2-(72)22×7×B,在△ABC 中, cos C =72+(2B )2-422×7×2B,∴72+B 2-(72)22×7×B=72+(2B )2-422×7×2B,解得x =92,∴a =2x =9.5.D 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ,由题意得AD =BD =13BC ,DC =23BC ,tan ∠BAD =1,所以tan ∠CAD =2,tan ∠BAC =tan(∠BAD +∠CAD )=1+21-1×2=-3,又∠BAC 为三角形内角, 所以sin ∠BAC =3√1010.6.D 设AB =AD =√3, 则BD =√3AB =2,BC =2BD =4.在△ABD 中,由余弦定理的推论得 cos A =√3)2√3)222×√3×√3=13,∵A 是三角形的内角,∴sin A =√1-(13)2=2√23.在△ABC 中,由正弦定理得BB sin B =BBsin B ,∴sin C =BB sin B BB =√3×2√234=√66,故选D.7.答案√154解析 由已知及余弦定理的推论得cos C =B 2+B 2-B 22BB=5-B 24=14,解得c =2或c =-2(舍去),所以b =c ,所以B =C ,所以sin B =sin C.由cos C =14得sin C =√154,所以sin B =√154. 8.解析 (1)在△ADC 中,由cos ∠ADC =17得sin ∠ADC =4√37,由∠ADC =∠ABC +∠BAD 得∠BAD =∠ADC -∠ABC ,所以sin ∠BAD =sin(∠ADC -∠ABC )=sin ∠ADC ·cos ∠ABC -cos ∠ADC ·sin ∠ABC =4√37×12-17×√32=3√314. (2)在△ABD 中,由正弦定理得BD =BB ·sin∠BBB sin∠BBB =BB ·sin∠BBB sin(π-∠BBB )=BB ·sin∠BBB sin∠BBB =8×3√3144√37=3,∴BC =BD +DC =5,在△ABC 中,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos ∠ABC =82+52-2×8×5×12=49,所以AC =7(负值舍去).9.B 连接BD ,在△BCD 中,由已知可得∠DBC =30°,故∠ABD =90°. 由余弦定理知,BD 2=22+22-2×2×2×cos 120°=12, 解得BD =2√3(负值舍去),所以S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =12×4×2√3+12×2×2×sin 120°=5√3. 10.答案 16√2+16-π2信息提取 ①正八边形可分割成8个全等的等腰三角形;②正八边形的边长为8 m,代表阴阳太极图的圆的半径为2 m;③求每块八卦田的面积.数学建模 以八卦田的面积为背景,构建解三角形的数学模型,利用正弦定理、三角形的面积公式求解.由题图可知,正八边形被分割成8个全等的等腰三角形,顶角为45°,设等腰三角形的腰长为a ,利用正弦定理可求出a 的值,再利用三角形和圆的面积公式求解即可. 解析 由题图可知,正八边形被分割成8个全等的等腰三角形,顶角为360°8=45°,设等腰三角形的腰长为a m,由正弦定理可得Bsin135°2=8sin45°,解得a =8√2sin135°2,所以三角形的面积S =12(8√2sin135°2)2×sin 45°=32√2×1-cos135°2=16(√2+1)m 2,则每块八卦田的面积为16(√2+1)-18×π×22=16√2+16-π2(m 2). 方法总结对平面图形的面积的求解,要注意分割与补形这两种策略的灵活应用,通过割补将图形转化为易于求得面积的规则图形,再将求得的各块图形的面积相加、减即可得到所求平面图形的面积.11.解析 (1)证明:由a 2+b 2+c 2=ab +bc +ca 得(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2=0, 所以a -b =b -c =c -a =0, 所以a =b =c , 即△ABC 是正三角形.(2)因为△ABC 是等边三角形,BC =2CD , 所以AC =2CD ,∠ACD =120°.在△ACD 中,由余弦定理可得AD 2=AC 2+CD 2-2AC ·CD ·cos ∠ACD , 即7=4CD 2+CD 2-4CD ·CD ·cos 120°, 解得CD =1(负值舍去).在△ABD 中,BD =3CD =3,由正弦定理可得sin ∠BAD =BB ·sin B BB =3×√32√7=3√2114.能力提升练一、选择题1.D 设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , 由题意可得bc cos A =-16,故由余弦定理得100=b 2+c 2-2bc cos A ,即b 2+c 2=68.设|BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=x (x >0),则在△ADC 中,b 2=x 2+25-2x ·5cos ∠ADC ,在△ADB 中,c 2=x 2+25-2x ·5cos ∠ADB ,所以b 2+c 2=2x 2+2×25, 即2x 2=18,解得x =3(负值舍去),故选D . 2.B ∵在△ABC中,AB =AC =2,BC =2√3,∴cos C =2√3)222×2×2√3=√32,∵C 为三角形内角,∴sin C =12.在△ACD 中,由正弦定理, 得BB sin B =BBsin∠BBB, ∴AD =2sin45°×12=√2.故选B .3.B 由题得S △ABC =12BC ·AC sin ∠ACB =12BC ·AC cos ∠ACB ·tan ∠ACB =2BC ·AC ·cos ∠ACB =BC 2+AC 2-AB 2=AC 2+BC 2-(AD +BD )2=AC 2+BC 2-AD 2-BD 2-2AD ·BD =(AC 2-AD 2)+(BC 2-BD 2)-2AD ·BD =2CD 2-2AD ·BD =2(CD 2-AD ·BD )=2×3=6.4.B 设AB =c (c >0),在△ABC 中,由余弦定理知AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B , 即7=c 2+4-2×2×c ×cos 60°, 所以c 2-2c -3=0,即(c -3)(c +1)=0,又c >0,所以c =3.设BC 边上的高等于h ,由三角形面积公式知S △ABC =12AB ·BC ·sin B =12BC ·h ,即12×3×2×sin 60°=12×2×h ,解得h =3√32.5.A 由题意可得AC =BC =CD =DA =√2,∠BAC =45°,∠ACB =90°,∠ACD =60°,∠BCD =∠ACB +∠ACD =90°+60°=150°,△BCD 为等腰三角形,∴∠CBE =15°,∴∠ABE =45°-15°=30°,∴∠AEB =105°.∵sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=√6+√24, ∴在△ABE 中,BBsin30°=BBsin105°,即BB12=√6+√24,∴AE =√6-√2.6.C 设一条对角线长为l 1(l 1>0),则B 12=(√3)2+(√6)2-2×√3×√6·cos 45°=3;设另一条对角线长为l 2(l 2>0),则B 22=(√3)2+(√6)2-2×√3×√6·cos 135°=15,所以l 1=√3,l 2=√15.二、填空题 7.答案2√33解析 如图,设AB =AC ,D 为底边的中点,DE ⊥AC 于点E ,BF ⊥AC 于点F ,则由DE =√32,知BF =√3.又AB =2,∴AF =1,∴CF =AC -AF =1,tan C =BBBB =√3,∴C =60°,设此三角形外接圆的半径为R ,则2R =BB sin B =4√33,∴R =2√33.8.答案 8√3解析 连接BD ,由圆内接四边形对角互补,知A +C =π,利用余弦定理,得42+62-2×4×6cosC =22+42-2×2×4cos(π-C ),∴cos C =12,∵0<C <π,∴C =π3,∴A =2π3,∴四边形ABCD 的面积S =12×6×4×sin π3+12×4×2×sin 2π3=8√3.三、解答题9.解析 (1)∵√3BC =√3BD cos α+CD sin β, ∴√3sin ∠BDC =√3sin βcos α+sin αsin β, ∴√3sin(α+β)=√3sin βcos α+sin αsin β,∴√3(sin αcos β+sin βcos α)=√3sin βcos α+sin αsin β, ∴√3sin αcos β=sin αsin β, 易知sin α≠0,∴tan β=√3, 又β∈(0,π),∴β=π3.(2)根据题意及(1)可知∠BAD =2π3,∴BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos ∠BAD =4+1-2×2×1×cos 2π3=7,又BD 2=CB 2+CD 2-2CB ·CD cos β =(CB +CD )2-3CB ·CD ≥(CB +CD )2-3(BB +BB )24=(BB +BB )24,11 ∴CB +CD ≤2√7,当且仅当CB =CD =√7时,等号成立, 又CB +CD >√7,∴3+√7<AB +CB +CD +DA ≤3+2√7,∴四边形ABCD 的周长的取值范围为(3+√7,3+2√7]. 10.解析 (1)因为AD =1,CD =3,AC =2√3, 所以cos D =BB 2+BB 2-BB 22BB ·BB =-13.因为D ∈(0,π),所以sin D =√1-cos 2B =2√23,所以S △ACD =12AD ·CD ·sin D =12×1×3×2√23=√2.(2)因为AC =2√3,BC =2√3,所以∠ACB =π-2B.因为BB sin B =BBsin∠BBB ,所以2√3sin B =BB sin(π-2B )=BBsin2B=BB 2sin B cos B =2√33sin ,所以AB =4.。
北师大版数学高二必修五 作业 2.2三角形中的几何计算
一、选择题 1．(2011·天津高考)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C的值为( )A.33 B.36 C.63 D.66解析：设AB ＝c ，则AD ＝c ，BD ＝2c 3，BC ＝4c 3，在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝c 2＋c 2－43c 22c 2＝13，则sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理得c sin C ＝BC sin A ＝4c 3223， 解得sin C ＝66. 答案：D2．(2012·荆州高二检测)已知△ABC 中，CB ＝a ，CA ＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角为( )A ．－5π6B.π6C.π6或5π6D.5π6 解析：由面积公式得S △ABC ＝12ab sin C ， ∴12×3×5×sin C ＝154.即sin C ＝12. 又∵a ·b ＝CB ·CA <0， ∴∠C 为钝角，所以C ＝5π6. 答案：D3．在△ABC 中，a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 外接圆的直径为( )A ．4 3B ． 6C ．5 2D ．6 2解析：S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×c ·sin 45°＝24c ， 又∵S △ABC ＝2，∴c ＝4 2.∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 45°＝1＋(42)2－2×1×42×22＝25. 即b ＝5.所以△ABC 的外接圆直径2R ＝b sin B ＝5 2. 答案：C4．(2011·湖北八校联考)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(1,2)解析：由正弦定理得AB sin C ＝a sin A， 则a ＝AB sin A sin C＝2sin A ∵满足条件的△ABC 有两个，∴60°<A <120°且A ≠90°，32<sin A <1. 则3<a <2.答案：C二、填空题5．(2011·福建高考)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．解析：由正弦定理可知：S △ABC ＝12BC ×CA ×sin 60°＝ 3 ，又因为BC ＝2，所以CA ＝2.即BC ＝CA ，又∠ACB ＝60°，所以三角形ABC 是正三角形，所以AB ＝2.答案：26．(2012·南京高二检测)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若n ⊥m ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________. 解析：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0.∴tan A ＝ 3.即A ＝π3. 由a cos B ＋b cos A ＝c sin C 及正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C .∴sin(A ＋B )＝sin C ＝sin 2C .则sin C ＝1，∴C ＝π2.∴B ＝π－π2－π3＝π6. 答案：π6三、解答题7．如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解：在△BAD 中，设BD ＝x ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD cos ∠BDA ，即142＝x 2＋102－2×10x cos 60°，整理得x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)．在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD， ∴BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2. 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin 2C ＝3cos C ，c ＝7，又△ABC 的面积为332，求： (1)角C 的大小；(2)a ＋b 的值．解：(1)由已知得2(1－cos 2C )＝3cos C ，∴cos C ＝12或cos C ＝－2(舍去)．[] ∴在△ABC 中C ＝60°.(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝332，∴12ab sin 60°＝332.∴ab ＝6.又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴(7)2＝a 2＋b 2－2ab cos C . ∴a 2＋b 2－ab ＝7. ∴(a ＋b )2－3ab ＝7. ∴(a ＋b )2＝25，∴a ＋b ＝5.。
高中数学必修5北师大版 三角形中的几何计算 作业(含答案)
学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，|BC →|＝3，|CA →|＝5，|AB →|＝7，则CB →·CA→的值为( )【导学号：47172091】A ．－32 B.32 C ．－152 D ．152【解析】 由余弦定理cos C ＝|CA →|2＋|BC →|2－|AB →|22|CA →|·|BC →|＝52＋32－722×5×3＝－12，∴CB →·CA →＝|CB →|·|CA →|cos C ＝3×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－152. 【答案】 C2．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A ．40 3B ．20 3C ．40 2D ．20 2【解析】 设另两边长为8x,5x ，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，解得x ＝2，∴另两边长分别为16和10， ∴S ＝12×16×10×sin 60°＝40 3.选A. 【答案】 A3．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( )图2-2-4A.1627B.23C.33D.34【解析】 设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝23. 由余弦定理得CE ＝CF＝AE 2＋AC 2－2AC ·AE cos 45°＝53， 所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF ＝45，tan ∠ECF ＝sin ∠ECF cos ∠ECF＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45245＝34. 【答案】 D4．如图2-2-5，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )图2-2-5A.33B.36C.63D.66【解析】 设AB ＝c ，则AD ＝c ，BD ＝2c 3，BC ＝4c 3， 在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝c 2＋c 2－43c22c 2＝13.则sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理得c sin C ＝BCsin A ＝4c3223，解得sin C＝66.【答案】 D5．若△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则a 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8【解析】 S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝103，∴bc ＝40， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc ·12，∴a 2＝(20－a )2－120， ∴a ＝7. 【答案】 C 二、填空题6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为________. 【导学号：47172092】【解析】 因为sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，所以sin 2B ＝sin A ·sin C ，由正弦定理得b 2＝ac ，又c ＝2a ，故cos B ＝a 2＋c 2－b22ac＝4a 2＋a 2－2a 24a 2＝34.【答案】 347．在△ABC 中，AB ＝3，点D 是BC 的中点，且AD ＝1，∠BAD ＝30°，则△ABC 的面积为________．【解析】 ∵D 为BC 的中点，∴S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12×|AB ||AD |·sin ∠BAD ＝2×12×3×1×sin 30°＝32. 【答案】 328．如图2-2-6所示，已知圆内接四边形ABCD 中AB ＝3，AD ＝5，BD ＝7，∠BDC ＝45°，则BC ＝________.。
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第2章 2
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13
，则其外接圆的直径为( ) A.922
B.924
C.928
D ．9 2
解析： 设另一条边为x ，
则x 2＝22＋32－2×2×3×13
， ∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13
， 则sin θ＝223
. ∴2R ＝3sin θ＝3223
＝924
. 答案： B
2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B
＝30°，△ABC 的面积为32
，那么b 等于( ) A.1＋32 B ．1＋ 3 C.2＋32 D ．2＋ 3 解析： ∵2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32
， ∴ac ＝6.
∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac cos B －2ac .
∴b 2＝4b 2－63－12，
∴b 2＝23＋4，b ＝1＋ 3.
答案： B
3．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( )
A ．1＜a ＜3
B ．1＜a ＜ 5 C.3＜a ＜ 5 D ．不确定
解析： 若c 为最大边，
则有b 2＋a 2－c 2＝a 2－3＞0，
∴a ＞3；若a 为最大边，
则有b 2＋c 2－a 2＝5－a 2＞0，
∴a ＜5，∴3＜a ＜ 5.
答案： C
4．一梯形的两腰长分别为2和6，它的一个底角为60°，则它的另一个底角的余弦值为
( ) A.36 B.336
C ．±36
D ．±
336
解析： 如图所示，设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝60°，在
过点D 作AB 的平行线DB ′与BC 相交于B ′.
在△B ′CD 中，B ′D ＝AB ＝6，CD ＝2，∠C ＝60°，∠DB ′C ＝∠B ，
于是由正弦定理知：B ′D sin C ＝CD sin ∠DB ′C
， ∴sin ∠DB ′C ＝CD B ′D
·sin C ＝26×sin 60°＝36， ∴cos ∠DB ′C ＝1－sin 2∠DB ′C ＝
1－⎝⎛⎭⎫362＝336. ∴cos ∠B ＝
336
，故选B. 答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分) 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.
解析： 根据正弦定理的变形
a ＝2R sin A ，
b ＝2R sin B ，
c ＝2R sin C ，
故(3b －c )cos A ＝a cos C ，
等价于：(3×2R sin B －2R sin C )cos A ＝2R sin A cos C ，
整理得3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .
又sin B ≠0，∴cos A ＝
33
. 答案： 33 6．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．
解析： 由余弦定理得
BD 2＝22＋22－2×2×2cos120°＝12.
∴BD ＝2 3.
∵BC ＝CD ＝2，∠C ＝120°，
∴∠CBD ＝30°，∴∠ABD ＝90°.
∴S 四边形＝S △ABD ＋S △BCD
＝12×4×23sin90°＋12
×2×2×sin120° ＝5 3.
答案： 5 3
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，又c ＝21，b ＝4，且BC 边上的高h ＝2 3.
(1)求角C ；
(2)求a 边的长．
解析： (1)△ABC 为锐角三角形，过A 作AD ⊥BC 于D 点，
sin C ＝234＝32
，则C ＝60° (2)又由余弦定理可知：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C
则(21)2＝42＋a 2－2×4×a ×12
，即a 2－4a －5＝0， ∴a ＝5或a ＝－1(舍)．
因此所求角C ＝60°，a 边长为5.
8.如图所示，四边形ABCD 中，已知∠A ＝120°，∠ABC ＝90°，AD ＝3，
BC ＝33，BD ＝7，求
(1)AB 的长；
(2)CD 的长．
解析： (1)在△ABC 中，设AB ＝x ，。