离散全部算法
适合解决离散问题的算法
适合解决离散问题的算法
适合解决离散问题的算法有很多种，以下是一些常见的算法：
枚举法：对于一些规模较小的问题，可以通过枚举所有可能的解来找到最优解。
分支限界法：通过设置搜索的优先级和边界条件，可以在搜索过程中剪枝，提高搜索效率。
回溯法：通过递归地搜索所有可能的解，并在搜索过程中进行剪枝，可以找到问题的所有解。
动态规划法：通过将问题分解为子问题，并利用子问题的解来求解原问题，可以避免重复计算，提高效率。
贪心算法：通过选择当前状态下的最优解，逐步逼近全局最优解，可以在一些问题上得到较好的近似解。
模拟退火算法：通过模拟物理中的退火过程，在搜索过程中引入随机性，可以在一些问题上找到全局最优解。
以上算法在离散问题中都有广泛的应用，具体选择哪种算法取决于问题的特点和要求。
离散数学 等值式 范式 消解算法
15
命题公式的范式
(3) 使用分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC)
求合取范式 求析取范式
公式范式的不足不惟一
16
求公式的范式
例5 求下列公式的析取范式与合取范式 (1) (pq)r (2) (pq)r
p q r 1 1 0 M6
p q r 1 1 1 M7
mi与Mi的关系： mi Mi, Mi mi
23
主析取范式与主合取范式
主析取范式——由极小项构成的析取范式 主合取范式——由极大项构成的合取范式 例如，n=3, 命题变项为 p, q, r 时，
(pqr)(pqr) m1m3 ——主析取范式 (pqr)(pqr) M1M7——主合取范式 公式A的主析取(合取)范式——与A 等值的主析取(合取)范式 定理2.5 (主范式的存在惟一定理) 任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的
等值演算与置换规则
1. 等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式的过程 2. 等值演算的基础：
(1) 等值关系的性质：自反性、对称性、传递性 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则（见3） 3. 置换规则 设 (A) 是含公式 A 的命题公式，(B) 是用公式 B 置换 (A) 中所有的 A 后得到的命题公式 若 BA，则 (B)(A)
(pr)(qr) （对分配律） 合取范式
18 r (pq) r 消去 ((pq) r) (r (pq)) 消去 ( (pq) r) (r pq) 消去
((p q) r) ( p q r ) 否定内移
合取范式：
离散数学中常用的图论算法简介
离散数学中常用的图论算法简介图论是高等数学中的一个分支，主要涉及在图中寻找什么样的路径，以及什么样的点之间有什么样的关系。
在计算机科学中，图论的应用越来越广泛。
因为所有的计算机程序都是基于数据结构的，而图是一种最基本的数据结构之一。
离散数学中的图论算法大致可以分为两类：一类是针对稠密图的算法，另一类是针对稀疏图的算法。
稠密图指的是一种图，其中每对顶点都有一条边相连，而稀疏图则是指只有一部分顶点之间相连的图。
以下是一些常见的图论算法的简介。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于求图中最短路径的算法，也是最常用的图论算法之一。
Dijkstra算法的主要思想是通过贪心策略，从起点出发，逐步扩展最短路径的范围，直到找到终点。
Dijkstra算法可以用来解决单源最短路径问题。
如果图中有n个顶点，算法的时间复杂度为O（n²）。
2. Kruskal算法Kruskal算法是一种用于求最小生成树的算法。
最小生成树指的是，通过连接图中一些顶点形成一棵树，使得这些顶点之间的总权重最小。
Kruskal算法的主要思想是将图中的所有边按照权重进行排序，然后依次加入到生成树中，如果新加入的边会形成环，则不将其加入到生成树中。
如果图中有n个顶点，那么算法的时间复杂度为O（nlogn）。
3. Floyd算法Floyd算法用于求图中任意两个点之间的最短路径。
如果图中所有的权重都是正的，那么Floyd算法的时间复杂度为O（n的三次方），但是如果存在负权重，那么该算法不适用。
关于负权环的处理，可以通过Bellman-Ford算法进行解决。
4. Prim算法Prim算法是一种用于求最小生成树的算法。
与Kruskal算法不同的是，Prim算法是基于顶点集来实现，而不是基于边集。
Prim 算法首先找到一个起点，将其加入到生成树中，然后找到与其相连的边中权重最小的那一条，将其相连的顶点加入到生成树中，重复这一步骤直至所有顶点都被加入到生成树中。
离散数学沃舍尔算法
离散数学沃舍尔算法沃舍尔算法（Warshall's Algorithm）是一种经典的离散数学算法，用于寻找有向图的传递闭包。
它通过对图的邻接矩阵进行逐步的更新操作，最终得到传递闭包的结果。
在这篇文章中，我们将详细介绍沃舍尔算法的原理及应用。
首先，让我们先来了解一下什么是有向图的传递闭包。
对于一个有向图G=(V,E)，如果存在一个顶点vi到vj的路径，则称vj是vi的后继节点。
如果对于任意的vi,vj∈V，都存在一条从vi到vj的路径，则这个有向图被称为是传递闭的。
换句话说，传递闭包包含原图中所有可能的路径。
沃舍尔算法的基本思想是通过一系列的传递操作，将图中的传递闭包逐步构建出来。
算法的核心是一个二维的邻接矩阵，用来表示有向图的边。
假设邻接矩阵为A，A[i][j]=1表示存在从vi到vj的边，A[i][j]=0表示不存在。
算法的步骤如下：1. 初始化邻接矩阵A，将A[i][j]赋值为1当且仅当存在从vi到vj的边。
2. 对于每一个节点vk∈V，遍历所有的节点vi,vj∈V，如果发现存在路径vi→vk并且vk→vj，则将A[i][j]置为13.重复步骤2，直到没有新的节点对需要更新为止。
通过这样的传递操作，最终邻接矩阵A将表示有向图的传递闭包。
算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n是图中节点的数量。
下面我们通过一个具体的例子来演示沃舍尔算法的运行过程。
考虑以下有向图：```V1→V4↓↑V2←V3```初始的邻接矩阵A为：```0011101001010001```按照算法的步骤，我们进行传递操作：```A[1][3]=A[1][3]OR(A[1][2]ANDA[2][3])=1A[2][1]=A[2][1]OR(A[2][3]ANDA[3][1])=1A[3][4]=A[3][4]OR(A[3][1]ANDA[1][4])=1A[4][1]=A[4][1]OR(A[4][3]ANDA[3][1])=1A[4][3]=A[4][3]OR(A[4][3]ANDA[3][3])=1```更新后的邻接矩阵A为：```0011101011011011```经过多次传递操作之后，邻接矩阵A表示的就是原图的传递闭包。
离散数学 最短路径dijkstra算法
离散数学是数学的一个分支，研究离散对象和不连续对象的数量关系及其结构的数学学科。
离散数学对于计算机科学和信息技术领域有着重要的应用，其中最短路径dijkstra算法是离散数学中的一个重要算法，它被广泛应用于计算机网络、交通规划、电路设计等领域，在实际应用中发挥着重要的作用。
一、最短路径dijkstra算法的基本原理最短路径dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·达斯提出的，用于解决带权图中的单源最短路径问题。
该算法的基本原理是：从一个源点出发，按照权值递增的顺序依次求出到达其它各个顶点的最短路径。
具体来说，最短路径dijkstra算法的实现步骤如下：1. 初始化：将源点到图中各个顶点的最短路径估计值初始化为无穷大，将源点到自身的最短路径估计值初始化为0；2. 确定最短路径：从源点开始，选择一个离源点距离最近的未加入集合S中的顶点，并确定从源点到该顶点的最短路径；3. 更新距离：对于未加入集合S中的顶点，根据新加入集合S中的顶点对其进行松弛操作，更新源点到其它顶点的最短路径的估计值；4. 重复操作：重复步骤2和步骤3，直到集合S中包含了图中的所有顶点为止。
二、最短路径dijkstra算法的实现最短路径dijkstra算法的实现可以采用多种数据结构和算法，比较常见的包括邻接矩阵和邻接表两种表示方法。
在使用邻接矩阵表示图的情况下，最短路径dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n表示图中顶点的个数；而在使用邻接表表示图的情况下，最短路径dijkstra 算法的时间复杂度为O(nlogn)。
三、最短路径dijkstra算法的应用最短路径dijkstra算法可以应用于计算机网络中路由选择的最短路径计算、交通规划中的最短路径选择、电路设计中的信号传输最短路径计算等领域。
在实际应用中，最短路径dijkstra算法通过寻找起始点到各个顶点的最短路径，为网络通信、交通规划、电路设计等问题提供有效的解决方案。
数学中的离散优化离散问题的最优化方法与算法
数学中的离散优化离散问题的最优化方法与算法数学中的离散优化：离散问题的最优化方法与算法离散优化是数学中的一个重要分支，涉及到在给定的约束条件下，寻找离散决策变量的最优值。
离散问题的最优化方法与算法在现实生活中有着广泛的应用，例如在经济学、工程学、计算机科学等领域。
本文将介绍几种常见的离散优化方法与算法，并给出相应的实例说明。
1. 背包问题背包问题是一类经典的离散优化问题，其目标是在给定的背包容量下，选择一些物品放入背包中，使得物品的总价值最大化。
常见的背包问题包括0-1背包问题、分数背包问题等。
0-1背包问题要求每个物品要么完整地放入背包，要么完全不放入；而分数背包问题允许物品被切割后放入背包。
这类问题通常可以用动态规划算法来解决。
2. 蚁群算法蚁群算法是一种基于模拟蚂蚁觅食行为的启发式优化算法，在求解离散优化问题中具有很好的效果。
蚁群算法模拟了蚂蚁在搜索食物时的行为，通过信息素的引导和信息素挥发的调控，使蚂蚁集体找到最优解。
蚁群算法在TSP（旅行商问题）等多个领域取得了较好的实验结果。
3. 遗传算法遗传算法是一种模拟自然进化过程的优化算法，适用于求解离散或连续优化问题。
遗传算法通过模拟遗传、变异和选择等基本过程，生成新的解并逐代改进，最终得到一个或多个最优解。
遗传算法通过种群的进化，使解空间中的解逐渐趋向最优解，具有全局搜索能力。
遗传算法在图着色、子集选择等问题中有广泛应用。
4. 线性规划算法线性规划是研究线性约束条件下的最优解的数学方法。
虽然线性规划常被用于求解连续问题，但在离散优化问题中也有相应的应用。
例如，当变量的取值只能是整数时，可将线性规划问题转化为整数线性规划问题，再利用分支定界等方法求解。
5. 图论算法图论是数学中探讨图的性质和关系的重要分支，也是解决离散优化问题的有效工具。
图论中的最短路径算法（如Dijkstra算法、Bellman-Ford算法）、最小生成树算法（如Prim算法、Kruskal算法）等，都可以应用于离散优化中，如网络规划、通信路由等问题。
离散自由搜索算法
摘
要： 针对 离散组合优化 问题 ， 给 出一个 自由搜 索的算法。但 是仅仅通 过 自由搜 索算 法求得 的解 ， 往 往存在 交
叉现 象 ， 针对这 个问题提 出将 离散 自由搜 索算法和 交叉 消除相结合 的算 法 ， 这样 不仅 大大地提 高 了 自由搜 索算 法运
算过 程的收敛速度 ， 而且较 大程度地提 升 了结果的质 量。利用旅行 商 问题 （ Ｔ Ｓ Ｐ ） 标 准库 中的测试数据 对所提 算 法进
行 了验证 ， 结果表明该算 法比遗传算 法性 能提 高 了约 １ ． ６ ％。 关键 词 ： 旅行商 问题 ；智能算法 ；自由搜 索；交叉消除
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ａｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ
Ｉ Ｓ Ｓ Ｎ １ ００１ — ９ ０８１
２ ０１ ３． Ｏ６． ０１
计 算机 应 用 ， ２ ０ １ ３ ， ３ ３ （ ６ ） ： １ ５ ６ ３—１ ５ ６ ５ ， １ ５ ７ ０ 文 章编号 ： １ ０ ０ １ — ９ ０ ８ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６—０ １ ５ ６ ３— ０ ３
中 图分 类 号 ： Ｔ Ｐ ３ ０ １ 文献标志码 ： Ａ Ｄｉ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅ ｆ ｔ ＂ ｅ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｉ ｎ
Ｇ Ｕ Ｏ Ｘ ｉ ｎ ，Ｓ Ｕ Ｎ Ｌ ｉ ｊ ｉ ｅ ，Ｌ Ｉ Ｇ ｕ ａ ｎ ｇ ｍ ｉ ｎ ｇ ，Ｊ Ｉ Ａ Ｎ Ｇ Ｋ ａ ｉ ｚ ｈ ｏ ｎ ｇ
离散数学知识点
说明：定义：红色表示。
定理性质：橙色表示。
公式：蓝色表示。
算法:绿色表示页码：灰色表示数理逻辑：1.命题公式：命题，联结词(，，，，)，合式公式，子公式2.公式的真值：赋值，求值函数，真值表，等值式，重言式，矛盾式3.范式：析取范式，极小项，主析取范式，合取范式，极大项，主合取范式4.联结词的完备集：真值函数，异或，条件否定，与非，或非，联结词完备集5.推理理论：重言蕴含式，有效结论，P规则，T规则，CP规则，推理6.谓词与量词:谓词，个体词，论域，全称量词，存在量词7.项与公式:项，原子公式，合式公式，自由变元，约束变元，辖域，换名，代入8.公式语义:解释，赋值，有效的，可满足的，不可满足的9.前束范式:前束范式10.推理理论:逻辑蕴含式，有效结论，-规则（US），+规则（UG），-规则(ES)，+规则(EG), 推理集合论：1.集合: 集合, 外延性原理, , , , 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补,对称差2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包r(R),对称闭包s(R), 传递闭包t(R)4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射，反函数, 复合函数7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集代数结构：1.运算及其性质：运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺元,零元,逆元2.代数系统：代数系统，子代数，积代数，同态，同构。
3.群与子群：半群,子半群,元素的幂，独异点，群，群的阶数，子群,平凡子群，陪集，拉格朗日（Lagrange）定理4.阿贝尔群和循环群：阿贝尔群(交换群)，循环群,生成元5.环与域：环，交换环，含幺环，整环，域6.格与布尔代数：格，对偶原理，子格，分配格，有界格，有补格，布尔代数，有限布尔代数的表示定理图论：1.图的基本概念：无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正则图、子图、补图，握手定理，图的同构2.图的连通性:通路，回路，简单通路，简单回路（迹）初级通路（路径），初级回路（圈），点连通，连通图，点割集，割点，边割集，割边，点连通度，边连通度，弱连通图，单向连通图，强连通图，二部图（二分图） 3. 图的矩阵表示：关联矩阵，邻接矩阵，可达矩阵4. 欧拉图与哈密顿图：欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图，哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图5. 无向树与根树：无向树，生成树，最小生成树，Kruskal ，根树，m 叉树，最优二叉树，Huffman 算法6. 平面图:平面图，面，欧拉公式，Kuratoski 定理数理逻辑：命题：具有确定真值的陈述句。
离散数学 等值式 范式 消解算法
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值:
(1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
0
1
0
1
0
1
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极小项与极大项
定义2.4 在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式） 中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现 一次，而且第i个文字出现在左起第i位上（1in），称这 样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.
几点说明： n个命题变项有2n个极小项和2n个极大项 2n个极小项（极大项）均互不等值 用mi表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p q r
1 1 1 m7
极大项
公式
成假赋值 名称
pqr
0 0 0 M0
p q r 0 0 1 M1
p q r 0 1 0 M2
p q r 0 1 1 M3
p q r 1 0 0 M4
p q r 1 0 1 M5
Bj Bj(pipi) (Bjpi)(Bjpi) 重复这个过程, 直到所有简单析取式都是长度为n的极 大项为止 (3) 消去重复出现的极大项, 即用Mi代替MiMi (4) 将极大项按下标从小到大排列
26
实例
城市空间结构离散程度的计算方法
一、概述在城市规划与设计领域，对城市空间结构离散程度的计算方法进行研究具有重要意义。
城市空间结构离散程度是指城市内部各个空间要素之间的距离和关联程度。
准确计算城市空间结构离散程度，有助于评估城市空间的紧凑程度、通达性和可持续性，为城市规划与设计提供科学依据。
二、城市空间结构离散程度的计算方法城市空间结构离散程度的计算方法主要包括以下几种：1. 基于GIS技术的离散程度计算方法利用地理信息系统（GIS）技术，可以通过获取城市各个空间要素的空间数据，计算它们之间的距离、关联程度等指标，从而得出城市空间结构的离散程度。
这种方法可以精确获取城市空间结构的空间信息，但需要大量的数据处理和计算，且对GIS技术的应用要求较高。
2. 基于网格化方法的离散程度计算方法网格化方法是将城市空间划分为多个网格单元，通过统计每个网格单元内部的空间要素数量和密度，来反映城市空间结构的离散程度。
这种方法简单直观，适用于对城市空间结构进行大致评估，但无法准确反映空间要素的实际分布情况。
3. 基于网络分析的离散程度计算方法网络分析方法将城市空间抽象为网络结构，通过计算网络中节点之间的距离、路径连通性等指标，来评估城市空间的离散程度。
这种方法可以较好地反映城市空间的交通连通性和可达性，但对网络模型的构建和参数设置要求较高。
4. 基于统计模型的离散程度计算方法统计模型方法将城市空间结构转化为数学模型，通过统计分析来得出城市空间结构的离散程度。
这种方法可以结合城市规划与设计的实际需求，构建适合具体城市特征的统计模型，但需要大量的样本数据和专业知识支持。
三、城市空间结构离散程度的实际应用城市空间结构离散程度的计算方法在城市规划与设计实践中具有广泛应用。
通过计算城市空间结构的离散程度，可以评估不同城市区域的发展潜力、空间资源利用效率等，为城市规划决策提供科学依据。
还可以通过对比不同城市空间结构的离散程度，总结经验和规律，指导城市规划与设计的实践。
离散数学
大家好
25
离散数学
区别：
真值表法是把所给前提一起使用；而直接证法则 是不断使用前提和前面推出的结论，构成推导序列， 是把前提一步一步拿来使用。
大家好
26
离散数学
证明：
(W∨R) →V ,V→C∨S, S→U, ┐C∧ ┐U ┐W
大家好
27
离散数学
二、证明方法
1. 真值表法 2. 直接证法 3. 间接证法
H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn的真值均为F，则称公式H1，
H2，…，Hn是不相容大的家好。
29
离散数学
(2)证法
可以把不相容的概念应用于命题公式的证明。
设有一组前提H1，H2，…，Hn ，要推出结论C， 即证H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn C，记作S C，即 ┐C→ ┐S为永真，或C∨┐S为永真，故┐C ∧S为永 假 。因此要证明H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn C，只要证 明H1，H2，…，Hn与┐C是不相容的。类似于假定 ┐C为真，推出矛盾。
E19
E20
E21
大家好
E22
P→ (Q→R) (P∧Q) →R
P Q (P→Q) ∧(Q→P)
P Q (P∧Q) ∨(┐P∧ ┐Q)
19
┐(P Q) P ┐Q 离散数学
合取引入规则：任意两个命题公式A，B可以推出
A∧B
用直接推理法证明(p→q)∧(q→r)∧pr）
证明： ⑴ p→q
P
⑵p
P
⑶q
T⑴,⑵I（假言推理）
⑷ q→r
P
⑸r
T⑶,⑷I（假言推理）
大家好
20
离散数学
例题1 证明 (P∨Q) ∧(P→R)∧(Q→S) S∨R
离散结构及其算法
离散结构及其算法
离散结构的算法是指用于处理和操作这些离散结构的算法。
以下是一些常见的离散结构及其算法：
1. 图论：图是由节点和边组成的结构，用于表示对象之间的关系。
图论算法包括图的遍历（如深度优先搜索、广度优先搜索）、最短路径算法（如 Dijkstra 算法、Floyd 算法）等。
2. 树：树是一种层次结构，类似于倒立的树。
树的算法包括树的遍历（如前序遍历、中序遍历、后序遍历）、二叉搜索树的查找和插入、最小生成树算法等。
3. 集合：集合是由不同元素组成的无序群体。
集合算法包括并集、交集、补集的计算，以及集合的排序和查找。
4. 排序算法：排序算法用于将一组元素按照特定的顺序进行排列。
常见的排序算法包括冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序、归并排序等。
5. 查找算法：查找算法用于在给定的数据集合中查找特定的元素。
常见的查找算法包括顺序查找、二分查找、哈希查找等。
这些离散结构和算法在计算机科学中有广泛的应用，例如图论算法用于网络分析和优化，树结构用于数据存储和搜索，排序和查找算法用于数据处理和数据库操作等。
对于离散结构和算法的深入研究可以帮助我们设计更高效的算法，提高程序的运行效率，并解决各种实际问题。
离散数学最短通路的算法
离散数学最短通路的算法离散数学算法之最短通路是指在一个图（Graph）中，从一个起点到另一个终点所经过的路径中，权值之和最小的那一条路径。
求解最短通路的算法在图论以及计算机科学中有着极其广泛的应用，其中最常见的有迪杰斯特拉算法（Dijkstra算法）和弗洛伊德算法（Floyd 算法）。
一、迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是解决单源最短路径问题的一种贪心算法，可以分为两个部分：第一是使用贪心策略求最短路径；第二是通过松弛操作来更新与源点的距离。
1. 算法流程（1）初始化：对图进行初始化，包括将源点距离设为0，将其他所有节点距离设为无穷大。
（2）遍历节点：从源点开始，按照距离递增顺序遍历所有节点，当遍历到一个节点时，该节点的距离就能确定下来。
（3）松弛操作：选定一个节点后，对该节点的所有出边进行松弛操作，这里所谓的松弛是指判断通过该节点到达它的邻居节点能否缩短前者的距离。
（4）重复执行2~3步，直到所有节点距离确定。
2. 算法特点迪杰斯特拉算法能够高效地解决所有非负权图的单源最短路问题，时间复杂度为O(nlogn)或O(n2)，其中n为节点数。
二、弗洛伊德算法弗洛伊德算法是解决任意两点间最短路径的一种动态规划算法，其核心思想是通过矩阵运算来逐步求解最短路程。
1. 算法流程（1）初始化：定义一个n*n的矩阵dist，初始化为邻接矩阵（即如果i和j之间有边相连，则dist[i][j]赋为权值，否则赋为无穷大）。
（2）更新矩阵：用三重循环遍历所有的节点i、j、k，判断dist[i][j]是否大于dist[i][k]+dist[k][j]，如果是，则令dist[i][j]等于这两个值中的较小者。
（4）重复执行2~3步，直到所有节点对之间的最短路程全部确定。
2. 算法特点弗洛伊德算法能够高效地解决大多数图的任意两点间最短路径问题，时间复杂度为O(n3)，其中n为节点数。
总之，迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法虽然各具特点，但都可以高效地解决不同类型的图最短路径问题，用户可以根据需要选择适合的算法进行求解。
离散傅里叶变换及其快速算法
离散傅里叶变换及其快速算法离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种将离散信号转换为频域表示的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛的应用。
而快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种能够高效计算DFT的算法，大大减少了计算量。
首先，我们来看一下DFT的原理。
给定一个有限长度的离散信号序列x(n)，DFT将其转换为频谱X(k)，其中k为频率索引，取值范围为0到N-1，N为序列的长度。
DFT的定义公式如下：X(k) = Σ x(n) * exp(-j * 2π * nk / N)其中，exp为自然指数函数，j为虚数单位。
DFT将信号分解为了N个复数的和，这些复数代表了不同频率分量在信号中的贡献。
然而，直接计算DFT的时间复杂度非常高，为O(N^2)。
为了提高计算效率，Cooley和Tukey于1965年提出了FFT算法。
FFT算法基于以下性质：若N为2的整数次幂，则DFT可以被分解为两个较小长度的DFT的线性组合。
具体来说，将N个点的DFT拆分为长度为N/2的两个DFT，然后再对这两个子序列进行DFT，最后将两个子序列的结果组合起来。
这个过程可以递归地进行，直到序列长度为1，即可得到最终的DFT结果。
FFT算法的时间复杂度为O(NlogN)，远远小于直接计算DFT的复杂度。
这使得FFT成为了处理大规模数据的首选方法之一、此外，FFT还有其他一些优点，如可并行化计算、对称性质等。
FFT算法可以采用不同的实现方式，最著名的是基于蝶形运算的Cooley-Tukey算法。
这种实现方式将FFT过程分为了两个阶段：置换阶段和蝶形运算阶段。
置换阶段通过将信号重新排序，将原始序列分为奇偶两个子序列，并计算每个子序列的DFT。
这个过程可以递归地应用于子序列，直到长度为1蝶形运算阶段是FFT算法的核心部分。
蝶形运算是指将两个频域上的复数进行运算，得到新的复数。
离散的群智算法-概述说明以及解释
离散的群智算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述群智算法是一种通过模拟自然界中群体行为的计算模型，通过集体智慧解决复杂问题的方法。
在现实生活中，我们经常可以看到很多群体协作来完成某项任务，这种群体智慧的应用启发了人们发展群智算法。
离散的群智算法是群智算法的一种类型，它主要关注于解决离散型问题，如组合优化、图论等。
离散的群智算法借鉴了群体智慧的概念，通过模拟群体中每个个体的行为和交流，最终达到解决问题的目的。
本文将探讨离散的群智算法的原理、应用及未来发展方向，希望能为读者提供对于群智算法的深入了解和应用思路。
1.2 文章结构本文将按照以下方式展开对离散的群智算法的介绍和探讨：- 第一部分将从引入的角度对群智算法进行概述，介绍群智算法的基本概念和特点；- 第二部分将深入探讨离散群智算法的原理，包括其基本工作原理和算法设计方法；- 第三部分将介绍离散群智算法在实际问题中的应用，包括具体领域和案例分析；- 最后，结论部分将对本文内容进行总结，展望离散群智算法的发展前景，并提出一些个人观点和建议。
通过以上结构的安排，读者可以全面了解离散的群智算法的相关背景、原理和应用情况，有助于深入理解其在解决实际问题中的价值和意义。
1.3 目的：本文旨在介绍离散的群智算法，探讨其原理和应用。
通过对群智算法概念的阐述，帮助读者理解群智算法的基本概念和特点。
同时，通过对离散群智算法原理的探讨，让读者了解离散群智算法在问题求解中的作用机制。
最后，通过对离散群智算法的应用案例分析，展示其在不同领域的应用与实践，为读者提供更深入的认识和理解。
希望本文能够为相关领域的研究者和从业者提供参考和启发，促进离散群智算法在实际问题中的应用与发展。
2.正文2.1 群智算法概念:群智算法是一种基于集体智慧和群体行为的计算方法，通过模拟自然界群体行为的方式，利用大量个体的协作和竞争来完成计算任务。
群智算法的核心理念是“众人拾柴火焰高”，即通过众多智能个体的合作和协作，实现比单个个体更优秀的计算表现。
曲线离散算法
曲线离散算法在做CAD/CAM开发时，经常会遇到要将曲线离散成点。
例如机床要沿⼀条空间曲线或平⾯样条曲线运⾏时，实际是把先把曲线离散成很⼩的直线段。
然后进⾏直线插补运动。
本⽂列出了我经常⽤到的⼏种算法并附上源码，供⼤家参考。
主要有三种离散⽅法，按数量离散、按长度离散、按弦⾼离散，根据实际需要选择就好了。
在OpenCASCADE中，就是将TopoDS_Wire离散成gp_Pnt。
1.按数量离散将曲线离散成给定的段数，每段等长。
⽰例和代码如下。
TopoDS_Wire W=...;BRepAdaptor_CompCurve compCurve(W);GCPnts_UniformAbscissa uniAbs(compCurve, count, -1);if(uniAbs.IsDone()){for (Standard_Integer i = 1; i <= uniAbs.NbPoints(); ++i){Standard_Real u = uniAbs.Parameter(i);gp_Pnt p=compCurve.D0(u, p);//获取每个离散点}}2.按长度离散将曲线离散成多段，每段为给定长度。
最后⼀段会少于给定距离，如果想每段等距，可以先求总长度再做平均，但每段距离会略⼩于给定长度。
⽰例和代码如下。
TopoDS_Wire W=...;BRepAdaptor_CompCurve compCurve(W);GCPnts_UniformAbscissa uniAbs;uniAbs.Initialize(compCurve, distance, -1);if (uniAbs.IsDone()){for (Standard_Integer i = 1; i <= uniAbs.NbPoints(); ++i){Standard_Real u = uniAbs.Parameter(i);gp_Pnt p=compCurve.D0(u, p);//获取每个离散点}}3.按弦⾼离散将曲线离散成多段，每段的弦⾼在精度范围内。
离散数学(对偶和范式)
说明：
由公式A的主析取范式确定它的主合取范式，反之亦然.
用公式A的真值表求A的主范式.
2021/3/10
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主范式的用途(续)
例 某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕 业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须 满足以下条件：
(1)若赵去，钱也去； (2)李、周两人中至少有一人去； (3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人； (4)孙、李两人同去或同不去； (5)若周去，则赵、钱也去. 试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出 国？
2021/3/10
6
析取范式与合取范式
定理： 简单合取式为永假式的充要条件是：它 同时含有某个命题变元及其否定。
定理： 简单析取式为永真式的充要条件是：它 同时含有某个命题变元及其否定。
2021/3/10
7
析取范式与合取范式
简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, … 析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式
主对角线上。
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大项的性质：
(a) 没有两个大项是等价的。
(b) 任 何 两 个 不 同 大 项 之 析 取 是 永 真 的 ， 即
Mi∨MjＴ，i≠j。
n
(c) 所有大项之合取为永假，即 MiＦ。
(d) 每个大项只有一个解释为假i， 1 且其真值0位于
主对角线上。
2021/3/10
显然，A也是A*的对偶式。可见A与A*互为 对偶式。
2021/3/10
2
对偶式和对偶原理
定理 设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,pn是出现在A和 A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式， 则 (1) A(p1,p2,…,pn) A* ( p1, p2,…, pn)
离散化算法
离散化算法离散化是一种常用的数据处理技术，它将实数区间映射为离散的数值区间。
在数据挖掘、统计学、机器学习或者人工智能等领域中，离散化广泛应用于特征构造、数据预处理、数据挖掘、决策树建模等任务中。
离散化的算法包括等频离散化、等宽离散化、聚类离散化和基于频率的离散化等。
以下是这些离散化算法的详细介绍。
1. 等频离散化等频离散化是将数据划分为k个等分位数的离散化方法。
首先，将数据按照从小到大排序，然后将排序后的数据分为k等份。
每一等份内的数据的频率都是1/k，最后将每个数据映射到所在的离散化区间。
优点：受离群值干扰程度小，适合对非线性分布的数据离散化。
缺点：对于密集区间数据分割效果不好，分割的分界点可能是略带随机性的。
优点：容易理解和实现，计算速度快，适用于数据的分布相对均匀的情况。
缺点：易受离群值的影响，不适用于数据分布不均匀或者值域较大的数据。
3. 聚类离散化聚类离散化是一种基于聚类分析的离散化方法。
首先，通过聚类算法将原始数据分为k个簇，得到k个聚类中心。
最后，将每个数据映射到距离最近的聚类中心所在的簇。
优点：对于数据分布不均匀，离群值较多的情况下，聚类离散化的效果较好。
缺点：需要选择合适的聚类算法和聚类中心数量；KMeans算法的初始化和迭代过程等决策，可能导致聚类结果有些波动。
4. 基于频率的离散化基于频率的离散化是一种基于数据出现频率的离散化方法。
首先，将数据按照从小到大排序，然后计算每个数据在原始数据中出现的频率。
然后，将数据按照出现频率从高到低排序，将出现频率最高的k个数据划分为一个簇，接下来将剩余的数据逐个加入簇中，当这个簇内的数据的总频率到达t时，设置t为下一个簇的出现频率，继续进行聚类操作。
缺点：可能出现连续数值被分成不同分位的情况，难以确定合理的k值和阈值t。
总的来说，离散化是一种数据预处理的常用技术，可以有效的提高数据分析和建模的效率和准确度。
在应用时，需要综合考虑数据的分布情况、离散化方法的特点和需求场景来选择合适的离散化算法。
离散化算法
离散化算法
离散化算法是一种常用的算法，其主要作用是将连续的数值转换成离散的数值。
在实际应用中，离散化算法可以应用在统计、数据挖掘、机器学习等领域。
离散化算法的核心思想是将一段连续的数值区间分成若干个离散的区间，每个离散的区间代表一个离散的数值。
离散化的过程可以分为以下几个步骤：
1. 将原始的数值按照大小排序。
2. 根据离散化的要求，将排序后的数值分成若干个离散的区间。
3. 将每个数值映射到对应的离散区间中。
4. 统计每个离散区间中数值的数量。
离散化算法的优点是可以将大量连续的数值转换成少量的离散数值，从而降低了计算复杂度。
同时，在统计和数据挖掘中，离散化可以将连续的数值转换成具有可比性的离散数值，从而方便进行数据分析和挖掘。
在实际应用中，离散化算法有多种实现方式，例如等宽离散化、等频离散化等。
不同的离散化算法适用于不同的场景，选择合适的离散化算法可以提高算法的准确性和效率。
- 1 -。
离散数学 算法
离散数学算法
离散数学与算法是计算机科学中非常重要的两个领域。
离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。
它包括了离散集合、离散函数、离散逻辑等内容。
在算法设计和分析中，离散数学提供了一种抽象和形式化的工具，用于解决实际问题。
算法是指解决特定问题或执行特定任务的一系列步骤或规则。
在计算机科学中，算法是实现计算功能的基本方法。
算法设计和分析是计算机科学的核心内容之一。
离散数学与算法有密切的关系。
离散数学提供了算法设计和分析所需要的数学工具和技术。
离散数学中的图论、集合论、逻辑等概念和方法被广泛应用于算法设计和分析中。
算法的正确性和效率分析也离不开离散数学的理论支持。
离散数学与算法在计算机科学和信息技术的各个领域都有广泛的应用。
在数据结构、算法设计、人工智能、网络安全等方面，离散数学与算法的知识和技术都是必不可少的。
掌握离散数学和算法的基本原理和方法，对于计算机科学和软件工程等领域的学习和研究都具有重要的意义。
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第一章数理逻辑中的算法1．1逻辑联结词的定义方法（1）逻辑连接词“非”（2）逻辑连接词“合取”（3）逻辑连接词“析取”（4）逻辑连接词“蕴涵”（5）逻辑连接词“等值”1．2 合式公式的表示方法给出任意一个合式公式，我们应该怎样将它用C语句表示出来，并且能够计算它在各组真值指派下所应有的真值（或是逻辑运算的结果）呢？显然，方法是多种多样的。
这里我们给出一种较为简便的方法。
上面我们已经给出了逻辑连结词的定义，根据这种定义方法，我们也可以把一个合式公式表示成为条件语句中的条件表达式，这样我们就不难得到该合式公式的逻辑运算结果了。
例如，的程序如下：算法验证合式公式的表示方法“1.3 构造任意合式公式的真值表A)功能给出任意变元的合式公式，要求构造该合式公式的真值表。
算法（1）（1）将二进制加法器模拟器A(N)赋初值。
0⇒a i (i=1,2,….,n)。
（2）（2）计算模拟器中所对应的一组真值指派下合式公式的真值（200语句）。
（3）（3）输出真值表中对应于模拟器所给出的一组真值指派及这组真值指派所对应的一行真值。
（4）（4）在模拟器A(N)，模拟的产生下一个二进制数值。
（5）（5）若A(N)中的数值等于2n,则结束，否则转（2）。
第二章集合论中的算法为了强调集合论中各运算的基本概念及各运算的基本算法，这里假设各集合均为每个元素都是数字而组成的集合。
在后面各章中也均作这种假设，并不再重述。
2.1 求并集A)功能给定集合A和B，要求出A和B的并集C（C=A∪B）。
B)基本思想由于并集的组成为：C={x|x∈A∨x∈B}，所以，只要将集合A与B合在一起就得到了并集C。
但是，在一个集合中，同样的元素没必要出现两次或两次以上，所以，在将集合A送入并集C后，应将集合B中与A中相同的元素删除，再将集合B送入并集C之中。
C)算法（1）集合B的元素个数送M，集合A的元素个数送N。
（2）A⇒C。
（3）1⇒i。
（4）若i> M,则结束。
（5）否则，对于j=1，2，…….，n，判：b i=a j，若相等，则转（7）。
（6）否则，b i⇒C。
（7）i+1⇒i，转（4）。
2．2求交集A）功能已知所给集合A和B，求A与B 的交集C（C=A∩B）。
B）基本思想根据交集的定义：C={x|x∈A∧x∈B}，我们将集合A的各个元素与集合B的元素进行比较，若在集合B中存在某个元素并和集合A中一元素相等，则将该元素送入交集C之中。
C）算法（1）将集合A的元素送N。
（2）1⇒i（3）若i>N,则结束。
（4）否则，将a i与集合B中的每个元素进行比较，若a i与集合B中所有元素均不相同，则转（6）。
（5）否则，a i⇒C。
（6）i+1⇒i，转（3）。
2．3求差集A)功能已知所给集合A和B，求集合A、B的差集C（C=A-B）。
B）基本思想差集C的定义：C={x|x∈A∧x∉B}清楚的告诉我们，对于集合A中的元素a i，若不存在b j ∈B（j=1，2，…..，m），使得a i=b j，则a i ∈差集C。
C）算法（1）将集合A的元素个数送N。
（2）1⇒i。
（3）i>N，则结束。
（4）否则，将a i与集合B中的每个元素相比较，若a i与集合B中的某个元素相同，则转（6）。
（5）否则，a i⇒C。
（6）i+1⇒i，转（3）。
2．4求笛卡儿乘积A)功能已知集合A和B，求A和B的笛卡儿乘积C（C=A×B）。
B）基本思想笛卡儿乘积是以有序偶为元素组成的集合，它的定义为C={<x,y>|x∈A∧y∈B}。
所以，欲求笛卡儿乘积。
只需取尽由集合A的元素及集合B的元素，并构成序偶<a i，b j>送入C之中即可。
C）算法（1）将集合A的元素个数送入N。
（2）将集合B的元素个数送入M。
（3）1⇒i。
（4）若i>N,则结束。
（5）1⇒j。
（6）若j>M，则转（9）。
（7）<a i，b j>⇒C。
（8）j+1⇒j，转（6）。
（9）i+1⇒i，转（4）。
第三章关系中的算法在第一篇中我们已经介绍过，关系是笛卡儿乘积的子集，因此，我们可以采用集合论中表示集合的方法来表示关系。
但是，一个关系也可以由关系矩阵给出。
显然。
用关系矩阵来表示关系比用数组表示有序偶更为方便。
所以，在后面的各算法中，关系将由关系矩阵给出，并设R⊆X×X，其中，X={1，2，…..，n}。
3．1 判断关系R是否为自反关系及对称关系A）功能已知关系R由关系矩阵M给出，要求判断由M表示的这个关系是否为自反关系和对称关系。
B）基本思想从给定的关系矩阵来判关系R是否为自反、对称、是很容易的。
若M（R的关系矩阵）的主对角线元素均为1，则R是自反关系；若M为对称矩阵，则R是对称关系。
因为R为自反的、对称的是等价关系的必要条件，所以，本算法可以作为判等价关系算法的子程序给出。
因此，在程序中设置标志变量F，若R是自反的、对称的。
则F=1，否则F=0。
C）算法（1）送入关系矩阵M（M为n介方阵）。
（2）判自反性，对于i=1，2，….，n；若存在m ii=0，则R不是自反的，转（5）。
（3）判对称性，对于i=2，3，….，n；j=1，2,……，i-1，若存在m ij=m ji，则R 不是对称的，转（5）。
（4）R是自反的、对称的，F=1。
（5）结束。
3．2 判关系R是否为可传递关系A）功能给出关系R的关系矩阵M，判关系R是否为可传递的。
B)基本思想一个关系R的可传递性定义告诉我们，若关系R是可传递的，则必有：m ik=1∧m kj=1⇒m ij=1。
这个式子也可改写成为：m ij=0⇒m ik=0∨m kj=0。
我们就是根据后一个公式来完成判断可传递性这一功能的。
同算法3.1一样，可传递性也是等价关系的必要条件。
因此，在这里也设置标志变量F，F=1标志关系R是可传递的，F=0标志关系R是不可传递的。
C）算法（1）给出关系矩阵M（M为n介方阵）。
（2）1⇒i。
（3）若i>n,则转（13）。
（4）1⇒j。
（5）若j>n，则转（12）。
（6）若m ij=1，则转（11）。
（7）1⇒k。
（8）若k>n，则转（11）。
（9）若m ik*m kj=1，则R不是可传递的，转（14）。
（10）k+1⇒k，转（8）。
（11）j+1⇒j，转（5）。
（12）i+1⇒i，转（3）。
（13）关系R是可传递的，F=1。
（14）结束。
3．3 判关系R是否为等价关系A)功能给定R的关系矩阵，据此判断所给关系R是否是等价关系。
B)基本思想判一个关系R是不是等价的，就是判R是不是自反的、对称的、可传递的。
因为前面已经给出了判R是否自反、对称及判R是否可传递的两个判断程序，故只需把它作为子程序调用，再组织一段主程序就可以了。
C)算法（1）给出R的关系矩阵M（M为n阶方阵）。
（2）调用自反、对称子程序。
（3）若F=0，则R不是等价关系，转（7）。
（4）否则，调用判可传递子程序。
（5）若F=0，则R不是等价关系，转（7）。
（6）R是等价关系。
（7）结束。
3．4 求等价类A)功能给定一个集合{1，2，…..，n}，及其上的一个等价关系R，求由R所造成的等价类。
B)基本思想给定任意关系，欲判R是否为等价关系，可用算法3.3所给出的程序。
但是，如果给定一个等价关系，那么它的关系矩阵必为对称矩阵。
为了节省存储空间，只要存放关系矩阵的一半就可以了（那一半与这一半相同）。
我们可以用一维数组来存放关系矩阵的下三角矩阵（包括主对角线在内），具体对应关系如下：根据等价类的定义可知，等价类内的各元素之间均有R关系，所以在构造等价类时，只要依据所给关系矩阵，把所有相互有R关系的各元素归为一类就可以了。
在输出时，把每一类打印在同一行上。
C)算法(1)输入关系矩阵的下三角阵到一维数组：M（（1+N）*N/2）之中。
(2)1⇒j（j为关系矩阵的列）。
(3)若j>n，则结束。
(4)若m jj=0，则转（10）（m jj=M（（1+J）*J/2））。
(5)否则，在新的一行上输出J。
(6)j+1⇒i。
(7)若i>n，则转（10）。
(8)若m ij=1，则在原行上输出I，并置元素m ij为零。
(9)i+1⇒i，转（7）。
(10)j+1⇒j，转（3）。
3．5 求极大相容类A)功能给定一个集合{1，2，…..，n}，及其上的一个相容关系R，求由R所造成的极大相容类。
B)基本思想若关系R是自反的、对称的，则称R是相容关系。
一个关系R是否为相容关系，可用本章算法3.1来判别。
若R是相容关系，那么，我们就可以利用简化关系矩阵（不含主对角线的下三角关系阵）来表示这个关系R，并可以利用该简化的关系矩阵求出R的极大相容类。
C)算法（1）输入关系矩阵的下三角阵（不含主对角线）到一维数组M（N*（N-1）/2）。
（2）R的第n级相容类为：{1}，{2}，…..，{n}。
（3）若n=1，则结束。
（4）否则，n-1⇒i。
（5）{j | m ji=1且i<j≦n}⇒A。
（6）对每个i+1级相容类S，若S∩A≠∅，则添加一个新的相容类{i}∪（S∩A）。
（7）对已得到的任意两相容类S和S’，若S’⊆S,则删除S’；并称这样合并后的相容类为第i级相容类。
（8）若i>1，则i-1⇒i，转（5）。
（9）否则（i=1），结束。
3．6 关系的合成运算A）功能设关系A是从集合X={1，2，….，n}到集合Y={1，2，…..，m}的二元关系，而关系B是从集合Y到集合Z={1，2，….，p}的二元关系，求A与B的合成关系C。
B)基本思想由关系合成的定义可知：A B={<x，z>|有y∈Y使<x，y>∈A且<y，z>∈B}。
若用关系矩阵来表示关系，则关系的合成运算类似于数值矩阵的乘法。
不同的是用“∧”代替乘，用“∨”代替加。
其中，0∨0=0，0∧0=0，0∨1=1，0∧1=0，1∨0=1，1∧0=0，1∨1=1，1∧1=1 C)算法（1）输入关系矩阵A、B。
（2）1⇒i。
（3）若i>n,则结束。
（4）1⇒j。
（5）若j>p，则转（8）。
（6）mk1=∨（a ik∧v kj）⇒c ij。
（7）j+1⇒j，转（5）。
（8）i+1⇒i，转（3）。
3．7 关系的闭包运算（1）A）功能给定关系R，求R的自反闭包及R的对称闭包。
B)基本思想若关系R的关系矩阵为M，而自反闭包为A（即r（R）=A），对称闭包为B（即S（R）=B），则有：A=M∨I B=M∨M T 其中，I为恒等矩阵，M T为M的转置矩阵。
C)算法(1)输入R的关系矩阵M。
(2)M⇒A。
(3)对于i=1，2，….，n，作a ii=1。
(4)M⇒B。
(5)2⇒i。
(6)若i>n，则结束。