2019年高考数学(文)课时18空间几何体的表面积与体积单元滚动精准测试卷 含答案解析

课时18 空间几何体的表面积与体积

模拟训练（分值：60分 建议用时：30分钟）

1．一个空间几何体的三视图如图12－14所示，则这个空间几何体的表面积是( )

A ．4π

B ．4π＋4

C ．5π

D ．6π 【答案】B

2．如图12－13(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm ，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为( )

图12－13

A ．29 cm

B ．30 cm

C ．32 cm

D ．48 cm 【答案】A

【解析】 设小圆柱的高为h 1，大圆柱的高为h 2，则9πh 2＋π(20－h 2)＝πh 1＋9π(28－h 1)，即8h 2＋20＝－8h 1＋252，故h 1＋h 2＝232

8

＝29(cm)．

3．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=底面积 高）时，其高的值为 （ ）

（ ）

A ．33

B ．23

C ．

23

3

D ．3

【答案】B

4．某品牌香水瓶的三视图如图12－2(单位：cm)，则该香水瓶的表面积为( )

A.⎝

⎛⎭⎪⎫95－π2 cm 2

B.⎝

⎛⎭⎪⎫94－π2 cm 2

C.⎝

⎛⎭⎪⎫94＋π2 cm 2

D.⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋π2 cm 2

【答案】C

【解析】这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱．所以说几何体的表面积为

3×1×2＋3×1×2＋3×3＋3×3－π4＋π＋4×2×2＋4×2×2＋4×4×2－π4＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫94＋π2 cm 2.

5．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________ cm.

【答案】13

【知识拓展】求立体图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型.这类题目的特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上.为了便于发现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决.其基本步骤是：展开（有时全部展开，有时部分展开）为平面图形，找出表示最短距离的线段，再计算此线段的长.

6．一个底面半径为1，高为6的圆柱被一个平面截下一部分，如图12－18，截下部分的母线最大长度为2，最小长度为1，则截下部分的体积是________．

【答案】3π

2

【解析】这样的几何体我们没有可以直接应用的体积计算公式，根据对称性可以把它补成如图所示的圆柱，这个圆柱的高是3，这个圆柱的体积是所求的几何体体积的2倍，故所求的几何体的体积是12×π×12

×3＝3π2

.

7．如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．

【答案】2πR 2

【解析】 如图为轴截面，令圆柱的高为h ，底面半径为r ，侧面积为S ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22

＋r 2＝R 2

，即h

＝2R 2

－r 2

.因为S ＝2πrh ＝4πr R 2

－r 2

＝4πr 2

·R 2

－r 2

≤4π

r 2＋R 2－r 22

2

＝2πR 2

，取等

号时，内接圆柱底面半径为

2

2

R ，高为2R ，∴S 球－S 圆柱＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2. 8．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正(主)视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧(左)视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．

(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .

9．正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的表面积和球的半径．

【解析】过PA 与球心O 作截面PAE 与平面PCB 交于PE ，与平面ABC 交于AE ，因△ABC 是正三角形，易知AE 即是△ABC 中BC 边上的高，又是BC 边上的中线，作为正三棱锥的高PD 通过球心，且D 是三角形△ABC 的重心，据此根据底面边长为26，即可算出DE ＝13AE ＝13×3

2

×26＝2，

PE ＝1＋2

2

＝3，

由△POF ∽△PED ，知r DE

＝1－r

PE

，

∴

r

2＝1－r

3

，r ＝6－2. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝3×12×26×3＋34

×(26)2

＝92＋6 3.

[新题训练] （分值：10分建议用时：10分钟）

10．（5分）图中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是

1

4

，则此长方体的体积是________．

【答案】3

【解析】设长方体的高为h，则图中虚线矩形的边长分别是2h＋1,2h＋2，实线围成的部分的

面积是2＋4h，根据题意

2＋4h

2h＋12h＋2

＝

1

4

，即2h2－5h－3＝0，解得h＝－

1

2

(舍去)或h＝3，

故长方体的体积是3.

11. （5分）正四面体的四个顶点都在同一个球面上，且正四面体的高为4，则这个球的表面积是________．

【答案】36π