湖南省湘潭市高考数学备考复习(理科)专题五：导数及其应用

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(完整版)导数知识点总结及应用

《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。

2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。

函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。

由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。

当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。

特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。

5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。

高考理科数学二轮课件专题导数及其应用

最优化决策
结合边际分析和弹性分析的结果，确定经济变量的最优取值范围，为制定经济政策提供科学依据。
05 微分方程初步知识及其应用
微分方程基本概念和分类
微分方程定义
微分方程是描述自变量、未知函数及其导数之间关系的数学方程。可分为一阶、二阶等微分方程；根据方程形式，可分为线性、非线性微分方程。
函数能够满足问题的需求。
利用构造函数法证明不等式的步骤
03
首先构造函数，然后求导并判断函数的单调性或最值，最后根
据函数的性质证明不等式。
04 导数在优化问题中的应用
最值问题求解策略
一阶导数测试法
闭区间上连续函数的性质
通过求一阶导数并判断其符号变化来确定函数的单调性，进而找到函数的极值点。
对于闭区间上的连续函数，通过比较区间端点和驻点的函数值来确定函数的最值。
优化方法的选择
针对不同类型的优化问题，选择合适的优化方法，如梯度下降法、牛顿法等，进行求解。
经济学中边际分析和弹性分析
边际分析
利用导数研究经济变量之间的边际关系，如边际成本、边际收益等，为经济决策提供定量依据。
弹性分析
通过导数研究经济变量之间的相对变化率，如需求弹性、供给弹性等，揭示经济变量之间的相互影响程度。
02
01
电路分析问题
电路中的电压、电流等物理量的变化可以通过电路微分方程进行分析和计算。
04
03
06 总结与提高
知识体系回顾与总结
A
导数的定义与计算
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，可以通过极限的定义进行计算。
导数的几何意义与应用
导数在几何上表示切线斜率，可以用于求曲线的切线方程和法线方程。

高考数学导数及其应用知识点

高考数学导数及其应用知识点数学导数及其应用知识点一函数的单调性在a，b内可导函数fx，f′x在a，b任意子区间内都不恒等于0.f′x≥0?fx在a，b上为增函数.f′x≤0?fx在a，b上为减函数.1、f′x>0与fx为增函数的关系：f′x>0能推出fx为增函数，但反之不一定.如函数fx=x3在-∞，+∞上单调递增，但f′x≥0，所以f′x>0是fx为增函数的充分不必要条件.2、可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′x0=0是可导函数fx在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有y′|x=0=0，但x=0不是极值点.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.3、可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.数学导数及其应用知识点二函数的极值1、函数的极小值：函数y=fx在点x=a的函数值fa比它在点x=a附近其它点的函数值都小，f′a=0，而且在点x=a附近的左侧f′x<0，右侧f′x>0，则点a叫做函数y=fx的极小值点，fa叫做函数y=fx的极小值.2、函数的极大值：函数y=fx在点x=b的函数值fb比它在点x=b附近的其他点的函数值都大，f′b=0，而且在点x=b附近的左侧f′x>0，右侧f′x<0，则点b叫做函数y=fx的极大值点，fb叫做函数y=fx的极大值.极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.数学导数及其应用知识点三函数的最值1、在闭区间[a，b]上连续的函数fx在[a，b]上必有最大值与最小值.2、若函数fx在[a，b]上单调递增，则fa为函数的最小值，fb为函数的最大值;若函数fx在[a，b]上单调递减，则fa为函数的最大值，fb为函数的最小值.数学导数及其应用知识点四求可导函数单调区间的一般步骤和方法1、确定函数fx的定义域;2、求f′x，令f′x=0，求出它在定义域内的一切实数根;3、把函数fx的间断点即fx的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数fx的定义区间分成若干个小区间;4、确定f′x在各个开区间内的符号，根据f′x的符号判定函数fx在每个相应小开区间内的增减性.数学导数及其应用知识点五函数极值的步骤1、确定函数的定义域;2、求方程f′x=0的根;3、用方程f′x=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格;4、由f′x=0根的两侧导数的符号来判断f′x在这个根处取极值的情况.六、求函数fx在[a，b]上的最大值和最小值的步骤1、求函数在a，b内的极值;2、求函数在区间端点的函数值fa，fb;3、将函数fx的各极值与fa，fb比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高考数学导数及应用知识点

高考数学导数及应用知识点导数是高中数学中重要的概念之一，也是高考数学必考的知识点。

掌握导数的概念和应用是理解数学中许多问题的关键。

本文将以“step by step thinking”为主线，逐步讲解导数的基本概念、性质以及常见的应用。

一、导数的概念导数可以理解为函数在某一点上的变化率。

对于给定的函数f(x)，在某一点x上的导数表示为f’(x)，它的定义如下：f’(x) = lim(h→0)[f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量x的增量。

导数的定义可以理解为当自变量x的增量h趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化量与自变量增量的比值。

二、导数的性质 1. 常数函数的导数为0：对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，其导数为f’(x) = 0。

因为常数函数在任意一点的函数值都相同，所以其变化率为0。

2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，其导数为f’(x) = n *x^(n-1)。

幂函数的导数是指数函数。

3. 指数函数的导数：对于指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，其导数为f’(x) = ln(a) * a^x。

指数函数的导数是指数函数本身与常数ln(a)的乘积。

4. 对数函数的导数：对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，其导数为f’(x) = 1 / (x * ln(a))。

对数函数的导数是关于自变量的倒数。

5. 三角函数的导数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)。

它们的导数分别为cos(x)、-sin(x)和sec^2(x)。

三、导数的应用导数在数学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.切线和法线：导数可以用来求曲线上一点处的切线和法线。

切线是曲线在该点处的斜率，即导数；法线则是与切线垂直的直线，其斜率为导数的负倒数。

(完整版)高考数学二轮复习名师知识点总结：导数及其应用

导数及其应用高考主要考察1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程．2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导． 3．利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．4．由函数单调性和导数的关系，求参数的范围． 5．利用导数求函数的极值．6．利用导数求函数闭区间上的最值．7．利用导数解决某些实际问题． 8．考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理． 9．利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程．【复习指导】复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导. ；复习时，应理顺导数与函数的关系，理解导数的意义，体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用，重点解决利用导数来研究函数的单调性及求函数的单；复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等．基础梳理1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx .2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 ΔyΔx. (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′.4．基本初等函数的导数公式若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0；若f (x )＝x α(α∈R )，则f ′(x )＝αx α－1；若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ；若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x ；若f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝a x ln_a ；若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ；若f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝1x ln a ；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x .5．导数四则运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 6．复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 注意：一个区别曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别：曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 7．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线l 的斜率,切线l 的方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 8．导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为s ＝f (t )，则f ′(t 0)是物体运动在t ＝t 0时刻的瞬时速度． 9．函数的单调性在(a ，b )内可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0. f ′(x )≥0⇔函数f (x )在(a ，b )上单调递增； f ′(x )≤0⇔函数f (x )在(a ，b )上单调递减． 10．函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． 11．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．12．定积分(1)定积分的定义及相关概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…x i －1<x i <…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． (2)定积分的性质①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)．②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x .③⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．13．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式． 14．定积分的应用(1)定积分与曲边梯形的面积定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定：设阴影部分面积为S .①S ＝⎠⎜⎜⎛abf (x )d x ； ②S ＝－⎠⎜⎜⎛ab f (x )d x ； ③S ＝⎠⎜⎜⎛ac f (x )d x －⎠⎜⎜⎛cb f (x )d x ； ④S ＝⎠⎜⎜⎛ab f (x )d x －⎠⎜⎜⎛ab g (x )d x ＝ ⎠⎜⎜⎛ab [f (x )－g (x )]d x .(2)匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即 s ＝⎠⎜⎜⎛ab v(t)d t .双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )． A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2) D ．3(x 2＋a 2)解析 f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．答案 C2．(2011·湖南)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( )． A ．－12 B.12 C ．－22 D.22解析本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力．y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x ，把x ＝π4代入得导数值为12.答案 B3．(2011·江西)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )．A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析令f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x ＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x ＜0或x ＞2，又x ＞0，所以x ＞2.故选C.答案 C 答案 2 －24．(2011·福建)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )． A ．2 B ．3 C ．6 D ．9解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函数f (x )在x ＝1处的导数值为零，12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝⎛⎭⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号．答案 D5．已知函数f (x )＝14x 4－43x 3＋2x 2，则f (x )( )．A ．有极大值，无极小值B ．有极大值，有极小值C ．有极小值，无极大值D ．无极小值，无极大值解析 f ′(x )＝x 3－4x 2＋4x ＝x (x －2)2 f ′(x )，f (x )随x 变化情况如下x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 ＋f (x )43因此有极小值无极大值．答案 C6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析 ∵f (x )在x ＝1处取极值，∴f ′(1)＝0，又f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2，∴f ′(1)＝2×1×(1＋1)－(1＋a )(1＋1)2＝0，即2×1×(1＋1)－(1＋a )＝0，故a ＝3. 答案 32．(2011·湖南)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )．A.12 B ．1 C.32 D.3 解析 S ＝∫π3－π3cos x d x ＝2∫π30cos x d x ＝ |2sin x π30＝ 3.答案 D4．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )．双基自测1．(2011·福建)⎠⎜⎜⎛01(e x＋2x )d x 等于( )． A ．1 B ．e －1 C ．e D ．e ＋1 解析⎠⎜⎜⎛01(e x ＋2x )d x＝ ⎪⎪⎪(e x ＋x 2)1＝(e ＋1)－1＝e. 答案 C3．(2011·山东)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为 ( )．A.112B.14C.13D.712解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得交点坐标为(0,0)，(1,1)，因此所求图形面积为S ＝⎠⎜⎜⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410＝112. 答案 AA.1πB.2πC.π4D.3π定积分的计算【例1】计算下列积分 \\当原函数较难求时，可考虑由其几何意义解得．解析阴影部分的面积S ＝⎪⎪⎪⎠⎜⎜⎛0πsin x d x ＝－cos x π0＝－(－1－1)＝2，矩形的面积为2π.概率P ＝阴影部分的面积矩形面积＝22π＝1π.故应选A.答案 A考向二导数的运算【例2】►求下列各函数的导数：(1)y ＝x ＋x 5＋sin x x 2； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝11－x ＋11＋x ； [审题视点] 先把式子化为最简式再进行求导．解 (1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin x x 2＝x －32＋x 3＋sin xx2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －32′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x －52＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x . (2)法一 y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. 法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)· (x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2＋12x ＋11.(3)∵y ＝sin x 2⎝⎛⎭⎫－cos x 2＝－12sin x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x . (4)y ＝11－x ＋11＋x ＝1＋x ＋1－x (1－x )(1＋x )＝21－x，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2. (1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础．(5)由y ＝x cos x －5sin x 为奇函数⎠⎜⎜⎛－11(x cos x －5sin x ＋2)d x ＝ ⎪⎪⎪⎠⎛1－12d x ＝2x 1－1＝4.(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导．【训练2】求下列函数的导数：(1)y ＝x n e x ； (2)y ＝cos xsin x ； (3)y ＝e x ln x ； (4)y ＝(x ＋1)2(x －1)．解 (1)y ′＝nx n －1e x ＋x n e x ＝x n －1e x (n ＋x )． (2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x . (3)y ′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x ⎝⎛⎭⎫1x ＋ln x . (4)∵y ＝(x ＋1)2(x －1)＝(x ＋1)(x 2－1)＝x 3＋x 2－x －1， ∴y ′＝3x 2＋2x －1.考向三求复合函数的导数【例3】►求下列复合函数的导数．(1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)． [审题视点] 正确分解函数的复合层次，逐层求导．解 (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5，由y ＝u 5与u ＝2x －3复合而成， ∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4. (2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x .由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成．y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′＝12u －12(－1)＝－12u －12＝－123－x ＝3－x 2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y x ′＝y u ′·u x ′ y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数,逐步确定复合过程．【训练3】求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋1； (2)y ＝sin 22x ； (3)y ＝e －x sin 2x; (4)y ＝ln 1＋x 2. 解 (1)y ′＝12 x 2＋1·2x ＝xx 2＋1，(2)y ′＝(2sin 2x )(cos 2x )×2＝2sin 4x(3)y ′＝(－e －x )sin 2x ＋e －x (cos 2x )×2＝e －x (2cos 2x －sin 2x )． (4)y ′＝11＋x 2·121＋x 2·2x ＝x 1＋x 2.考向四：求曲线上某一点的切线方程【示例】► (2010·山东)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax －1(a ∈R )．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性．(1)求出在点(2，f (2))处的斜率及f (2)，由点斜式写出切线方程；(2)求f ′(x )，再对a 分类讨论．[解答示范] (1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x－1，x ∈(0，＋∞)．所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，(1分)因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)＝ln 2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －(ln 2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln 2＝0.(3分) (2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)．(4分)令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)．①当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；②当a ≠0时，由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a－1.a ．当a ＝12时，x 1＝x 2，g (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(7分)b ．当0＜a ＜12时，1a－1＞1＞0.x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a －1时，g (x )＜0，此时f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；x ∈⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；(9分)c ．当a ＜0时，由于1a －1＜0，x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．(11分)综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0＜a ＜12时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1，1a －1上单调递增，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞上单调递减．(12分)考向五求曲线切线的方程【例1】►已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在x ＝2处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．[审题视点] 由导数几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点．解 (1)f ′(x )＝3x 2－8x ＋5 f ′(2)＝1，又f (2)＝－2∴曲线f (x )在x ＝2处的切线方程为 y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4) f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5则切线方程为 y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)点，则x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2，或x 0＝1，因此经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.首先要分清是求曲线y ＝f (x )在某处的切线还是求过某点曲线的切线．(1)求曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线方程可先求f ′(x 0)，利用点斜式写出所求切线方程； (2)求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再写切线方程．【训练1】若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求k 的值．解设y ＝kx 与y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于P (x 0，y 0)则y 0＝kx 0，①y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，② 又y ′＝3x 2－6x ＋2，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，③ 由①②③得：(3x 20－6x 0＋2)x 0＝x 30－3x 20＋2x 0，即(2x 0－3)x 20＝0.∴x 0＝0或x 0＝32，∴k ＝2或k ＝－14. 考向六函数的单调性与导数【例2】►已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间．[审题视点] 函数单调的充要条件是f ′(x )≥0或f ′(x )≤0且不恒等于0. 解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－2ax －3. 由f ′(x )≥0，得a ≤32⎝⎛⎭⎫x －1x . 记t (x )＝32⎝⎛⎭⎫x －1x ，当x ≥1时，t (x )是增函数， ∴t (x )min ＝32(1－1)＝0. ∴a ≤0.(2)由题意，得f ′(3)＝0，即27－6a －3＝0， ∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x ，f ′(x )＝3x 2－8x －3. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：∴当x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－13，[3，＋∞)时，f (x )单调递增，当x ∈⎣⎡⎦⎤－13，3时，f (x )单调递减．函数在指定区间上单调递增(减)，函数在这个区间上的导数大于或等于0(小于或等于0)，只要不在一段连续区间上恒等于0即可，求函数的单调区间解f′(x)＞0(或f′(x)＜0)即可．【训练2】已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．解f′(x)＝e x－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝e x－a≥0，即f(x)在R上递增，若a>0，e x－a≥0，∴e x≥a，x≥ln a. 因此f(x)的递增区间是[ln a，＋∞)．(2)由f′(x)＝e x－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥e x在x∈(－2,3)上恒成立．又∵－2<x<3，∴e－2<e x<e3，只需a≥e3.当a＝e3时f′(x)＝e x－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)<0，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3. 故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上单调递减．考向七利用导数解决不等式问题【例3】►设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln 2－1且x＞0时，e x＞x2－2ax＋1.[审题视点] 第(2)问构造函数h(x)＝e x－x2＋2ax－1，利用函数的单调性解决．(1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.单调递减单调递增故f(x)f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．(2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a＞ln 2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)＞0.于是对任意x∈R，都有g′(x)＞0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a ＞ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0. 即e x －x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对∀x ∈[a ，b ]都有f (x )≥g (x )，可设h (x )＝f (x )－g (x )只要利用导数说明h (x )在[a ，b ]上的最小值为0即可．【训练3】已知m ∈R ，函数f (x )＝(x 2＋mx ＋m )e x (1)若函数没有零点，求实数m 的取值范围； (2)当m ＝0时，求证f (x )≥x 2＋x 3. (1)解由已知条件f (x )＝0无解，即x 2＋mx ＋m ＝0无实根，则Δ＝m 2－4m <0，解得0<m <4，实数m 的取值范围是(0,4) (2)证明当m ＝0时，f (x )＝x 2e x 设g (x )＝e x －x －1，∴g ′(x )＝e x －1， g (x )，g ′(x )随x 变化情况如下：由此可知对于x ∈R ，g (x )≥g 2e x ≥x 3＋x 2，即f (x )≥x 3＋x 2.考向八函数的极值与导数【例1】设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x ),若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称,且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．[审题视点] 由条件x ＝－12为y ＝f ′(x )图象的对称轴及f ′(1)＝0求得a ，b 的值，再由f ′(x )的符号求其极值．解 (1)因f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b .从而f ′(x )＝6⎝⎛⎭⎫x ＋a 62＋b －a 26，即y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－a6对称，从而由题设条件知－a 6＝－12，解得a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0，解得b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1，f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，即6(x －1)(x ＋2)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数；当x ∈(－2,1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－2,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．从而函数f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝21，在x 2＝1处取得极小值f (1)＝－6.运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．【训练1】 (2011·安徽)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解对f (x )求导得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.综合①，可知x ⎝⎛⎭⎫－∞，1212 ⎝⎛⎭⎫12，32 32 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立．因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.考向九函数的最值与导数【例2】►已知a 为实数，且函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求导函数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求函数f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值． [审题视点] 先化简再求导，求极值、端点值，进行比较得最值．解 (1)f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，得f ′(x )＝3x 2－2ax －4. (2)因为f ′(－1)＝0，所以a ＝12，有f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，所以f ′(x )＝3x 2－x －4.令f ′(x )＝0，所以x ＝43或x ＝－1.又f ⎝⎛⎭⎫43＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0，所以f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值分别为92、－5027.一般地，在闭区间[a ，b ]上的连续函数f (x )必有最大值与最小值，在开区间(a ，b )内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上单调递增，则f (a )是最小值，f (b )是最大值；反之，则f (a )是最大值，f (b )是最小值．【训练2】函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x ＋y ＝0平行 (1)求a ，b ；(2)求函数f (x )在[0，t ](t >0)内的最大值和最小值．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋1＝0，2a ＋3＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2， f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， f ′(x )与f (x )随x 变化情况如下：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x )＋－＋f (x )2－2由f (x )＝f (0)解得x ＝0因此根据f (x )的图象当0<t ≤2时，f (x )的最大值为f (0)＝2最小值为f (t )＝t 3－3t 2＋2；当2<t ≤3时，f (x )的最大值为f (0)＝2，最小值为f (2)＝－2；当t >3时，f (x )的最大值为f (t )＝t 3－3t 2＋2，最小值为f (2)＝－2.考向十利用定积分求面积【例2】求下图中阴影部分的面积．[审题视点] 观察图象要仔细，求出积分上下限，找准被积函数．解解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －4，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝4S 阴影＝⎠⎛082x d x －8＋⎠⎛02|－2x |d x ＋2＝2 ⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 3280＋2⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 3220－6＝18. 求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．【训练2】求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 210＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －13x 231＝23＋16＋43＝136. 【示例】► 已知r >0，则d x ＝________.二、积分与概率【示例】► (2010·陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为__________．。

高考数学：专题一第五讲导数及其应用课件

a>1， 4 即－ aa＋3a－6>0， 3 24a>0.
解得 1<a<6，故 a 的取值范围是(1,6).
题型与方法
方法提炼利用导数研究函数单调性的一般步骤：
第五讲
(1)确定函数的定义域； (2)求导数 f′(x)；
本讲栏目开关
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数 f(x)的定义域内解(或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0. ② 若已知 f(x) 的单调性，则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立问题求解.
答案
D
考点与考题
第五讲
1 3.(2012· 课标全国)已知函数 f(x)＝， y＝f(x)的图则 lnx＋1－x 象大致为
本讲栏目开关
(
)
考点与考题
第五讲
解析
1 当 x＝1 时，y＝ <0，排除 A； ln 2－1
当 x＝0 时，y 不存在，排除 D；
本讲栏目开关
当 x 从负方向无限趋近 0 时，y 趋向于－∞，排除 C，
∴当 f′(x)≥0 时，
即 ex(1＋x)≥0，即 x≥－1，
∴x≥－1 时函数 y＝f(x)为增函数.
同理可求，x<－1 时函数 f(x)为减函数. ∴x＝－1 时，函数 f(x)取得极小值.
考点与考题
第五讲
5.(2011· 课标全国)在下列区间中，函数 f(x)＝ex＋4x－3 的零点所在的区间为 1 A.(－，0) 4 1 1 C.( ， ) 4 2 ( C ) 1 B.(0， ) 4 1 3 D.( ， ) 2 4

导数及其应用第二讲导数的应用—2023届高考理科数学一轮复习课件(共33张PPT)

a.求函数 f (x) 在 (a，b) 内的导数 f (x) ；
b.求方程（f x） 0 在 (a，b) 内的根； c.求在 (a，b) 内使（f x） 0 的所有点的函数值和 f (x) 在闭区间端点处的函数值（f a），（f b）；比较上面所求的值，其中最大者为函数 y （f x）在闭区间[a，b] 上的最大值，最小者为函数 y （f x）在闭区间[a，b] 上的最小值.
3
又
0
m
2
，所以实数
m
的取值范围为
4 3
,
2
.
故选 B.
Thanks
依据函数 h(x) 的图象关于直线 x 2 对称，得当 x (,2) 时，
不等式 5 f (2 x) (x 2) f (5) 0 的解集为 3 x 2 ，
故原不等式的解集为 (3,2) (2,7) ，故选 D.
考点2：导数与函数的极（最）值
1.函数的极值 a.函数的极值的定义一般地，设函数 f (x) 在点 x x0 及其附近有定义，（1）若对于 x0 附近的所有点，都有（f x）（f x0），则（f x0）是函数 f (x) 的一个极大值，记作 y极大值（f x0）；
（2）求导数 f (x) ；（3）求方程 f (x) 0 的根；（4）检查 f (x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，
则（f x）在这个根处取得极大值；如果左正右负，则（f x）在这个根处取得极小值（最好通过列表法）.
2. 函数的最值（1）函数的最小值与最大值定理若函数 y （f x）在闭区间[a，b] 上连续，
[解析]
由已知得当 x (0,) 时， xf (x) f (x) 0 .
令 g(x)

高考数学导数及其应用考点

高考数学导数及其应用考点高考数学中，导数及其应用是一个重要的考点，它不仅在函数的研究中发挥着关键作用，还与实际问题的解决紧密相关。

一、导数的定义导数的定义是函数在某一点处的瞬时变化率。

如果函数＄y ＝ f(x)＄在点＄x_0$ 处的增量＄＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＄与自变量的增量＄＼Delta x$ 之比当＄＼Delta x ＼to 0$ 时的极限存在，那么这个极限值就称为函数＄y ＝ f(x)＄在点＄x_0$ 处的导数，记作＄f'（x_0)＄。

通俗来讲，导数就像是函数图象在某一点处的“斜率”，它反映了函数在这一点处的变化快慢程度。

二、导数的几何意义导数的几何意义是函数在某一点处的切线斜率。

函数＄y ＝ f(x)＄在点＄x_0$ 处的导数＄f'（x_0)＄，就是曲线＄y ＝ f(x)＄在点＄（x_0, f(x_0)）＄处的切线斜率。

通过导数，我们可以求出函数图象在某一点处的切线方程。

假设切点为＄（x_0, y_0)＄，导数为＄f'（x_0)＄，那么切线方程为＄yy_0 ＝ f'（x_0)（x x_0)＄。

三、基本初等函数的导数公式1、常数函数的导数：＄（C)＇＝ 0$ ，其中＄C$ 为常数。

2、幂函数的导数：＄（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＄。

3、正弦函数的导数：＄（＼sin x)＇＝＼cos x$ 。

4、余弦函数的导数：＄（＼cos x)＇＝＼sin x$ 。

5、指数函数的导数：＄（a^x)＇＝ a^x ＼ln a$ （＄a ＞ 0$ 且＄a ＼neq 1$ ）；特别地，＄（e^x)＇＝ e^x$ 。

6、对数函数的导数：＄（＼ln x)＇＝＼frac{1}｛x}＄；＄（｛＼log}＿a x)＇＝＼frac{1}｛x ＼ln a}＄（＄a ＞ 0$ 且＄a ＼neq 1$ ）。

熟练掌握这些基本初等函数的导数公式，是解决导数问题的基础。

(湖南专用)高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数在函数单调性、极值中的应用教学案理

3.2 导数在函数单调性、极值中的应用考纲要求1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．函数的单调性与导数2．函数的极值与导数 (1)函数的极小值若函数y ＝f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值____，且f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧________，右侧________，则点a 叫做函数的极小值点，f (a )叫做函数的极小值．(2)函数的极大值若函数y ＝f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值____，且f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧________，右侧________，则点b 叫做函数的极大值点，f (b )叫做函数的极大值，______和______统称为极值．1．(2012陕西高考)设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )．A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点2．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是( )．A ．a ＞0B ．－1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜13．函数y ＝x sin x ＋cos x 在(π，3π)内的单调增区间为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2，3π D ．(π，2π) 4．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是__________．5．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的极小值是__________．一、利用导数研究函数的单调性【例1】已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x(x ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)函数f (x )是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由．方法提炼1．导数法求函数单调区间的一般流程：求定义域→求导数f ′ x →求f ′ x ＝0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f ′ x 在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性提醒：当f (x )不含参数时，也可通过解不等式f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)直接得到单调递增(或递减)区间．2．导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤： (1)求f ′(x )．(2)确认f ′(x )在(a ，b )内的符号．(3)作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．3．已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )，转化为不等式恒成立问题求解．提醒：函数f (x )在(a ，b )内单调递增，则f ′(x )≥0，f ′(x )＞0是f (x )在(a ，b )内单调递增的充分不必要条件．请做演练巩固提升1,5 二、函数的极值与导数【例2－1】已知实数a ＞0，函数f (x )＝ax (x －2)2(x ∈R )有极大值32. (1)求函数f (x )的单调区间； (2)求实数a 的值．【例2－2】已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a ＞0，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．方法提炼利用导数研究函数的极值的一般流程：请做演练巩固提升3,4书写不规范而致误【典例】设函数f (x )＝x (e x－1)－12x 2，求函数f (x )的单调增区间．错解：f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x－1)·(x ＋1)，令f ′(x )＞0得，x ＜－1或x ＞0.所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．错因：结论书写不正确，也就是说不能用符号“∪”连接，应为(－∞，－1)和(0，＋∞)．正解：因为f (x )＝x (e x－1)－12x 2，所以f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x－1)·(x ＋1)．令f ′(x )＞0，即(e x－1)(x ＋1)＞0，得x ＜－1或x ＞0. 所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．答题指导：1.利用导数求解函数的单调区间是高考的热点内容，这类问题求解并不难，即只需由f ′(x )＞0或f ′(x )＜0，求其解即得．但在求解时会因书写不规范而导致失分．2．对于含有两个或两个以上的单调增区间(或单调减区间)，中间用“，”或“和”连接，而不能用符号“∪”连接．1．(2012辽宁高考)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )．A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)2．(2012重庆高考)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )．3．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是__________．4．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．5．设f (x )＝ex 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．参考答案基础梳理自测知识梳理1．单调递增单调递减2．(1)都小 f ′(x )＜0 f ′(x )＞0 (2)都大 f ′(x )＞0 f ′(x )＜0 极大值极小值基础自测1．D 解析：由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＝0可得x ＝2.当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故x ＝2为f (x )的极小值点．2．A 解析：∵y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33， ∴当－33＜x ＜33时， ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33＜0.∴要使y ′＜0，必须取a ＞0.3．B 解析：∵y ＝x sin x ＋cos x ， ∴y ′＝x cos x .当x ∈(π，3π)时，要使y ′＝x cos x ＞0，只要cos x ＞0，结合选项知，只有B 满足．4．3 解析：∵f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，∴f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2在[1，＋∞)上恒成立，而当x ∈[1，＋∞)时， (3x 2)min ＝3×12＝3. ∴a ≤3，故a max ＝3.5．c 解析：由f ′(x )的图象知，x ＝0是f (x )的极小值点， ∴f (x )极小值＝f (0)＝c . 考点探究突破【例1】解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x，∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x＝(－x 2＋2)e x.令f ′(x )＞0，即(－x 2＋2)e x＞0， ∵e x ＞0，∴－x 2＋2＞0，解得－2＜x ＜ 2.∴函数f (x )的单调递增区间是(－2，2)． (2)若函数f (x )在R 上单调递减，则f ′(x )≤0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x≤0对x ∈R 都成立． ∵e x ＞0，∴x 2－(a －2)x －a ≥0对x ∈R 都成立．∴Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的．故函数f (x )不可能在R 上单调递减．若函数f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x≥0对x ∈R 都成立．∵e x ＞0，∴x 2－(a －2)x －a ≤0对x ∈R 都成立．而Δ＝(a －2)2＋4a ＝a 2＋4＞0，故函数f (x )不可能在R 上单调递增．综上可知，函数f (x )不可能是R 上的单调函数．【例2－1】解：(1)f (x )＝ax 3－4ax 2＋4ax ，f ′(x )＝3ax 2－8ax ＋4a .令f ′(x )＝0，得3ax 2－8ax ＋4a ＝0. ∵a ≠0，∴3x 2－8x ＋4＝0，∴x ＝23或x ＝2.∵a ＞0，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0. ∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23和(2，＋∞)； ∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )＜0， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2. (2)∵当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0.∴f (x )在x ＝23时取得极大值，即a ·23⎝ ⎛⎭⎪⎫23－22＝32.∴a ＝27.【例2－2】解：(1)由函数f (x )的图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3.①由f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2，得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋n ，则g (x )＝f ′(x )＋6x＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n .而g (x )的图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0.所以m ＝－3，代入①得n ＝0.于是f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．由f ′(x )＞0得x ＞2或x ＜0，故f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；由f ′(x )＜0得0＜x ＜2，故f (x )的单调递减区间是(0,2)． (2)由(1)得f ′(x )＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2，当x ，当0＜a ＜1时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极大值f (0)＝－2，无极小值；当a ＝1时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值；当1＜a ＜3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极小值f (2)＝－6，无极大值；当a ≥3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值．综上得：当0＜a ＜1时，f (x )有极大值－2，无极小值；当1＜a ＜3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a ＝1或a ≥3时，f (x )无极值．演练巩固提升1．B 解析：对函数y ＝12x 2－ln x 求导，得y ′＝x －1x ＝x 2－1x(x ＞0)，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1x ≤0，x >0，解得x ∈(0,1]．因此函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1]．故选B.2．C 解析：由题意可得f ′(－2)＝0，而且当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，此时xf ′(x )＞0；当x ∈(－2，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时若x ∈(－2,0)，xf ′(x )＜0，若x ∈(0，＋∞)，xf ′(x )＞0，所以函数y ＝xf ′(x )的图象可能是C.3．a ＞2或a ＜－1 解析：∵f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]，∴f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)．令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0.∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0， ∴a ＞2或a ＜－1.4．2 解析：f (x )＝x 3－3x 2＋1， f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＞0，解得x ＜0或x ＞2. 令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜2.所以函数f (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝2处取得极小值． 5．解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.① (1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.＋所以，x 1＝2是极小值点，x 2＝2是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号．结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.。

湘教版高考总复习一轮数学精品课件第4章一元函数的导数及其应用第1节导数概念及其意义、导数运算

x.又因为f(x)=f(x+π)=f(x+2π),所以f(x)=(x+2π)sin x,此时f'(x)=sin
x+(x+2π)cos x,
所以
3π
3π
3π
3π
f'(- 2 )=sin(- 2 )+(- 2 +2π)cos(- 2 )=1+0=1.故选
B.
考点三导数的几何意义(多考向探究预测)
考向1求切线方程
1
1
x0= (x-x0),又切线过坐标原点,所以-ln x0= (-x0),解得 x0=e,
0
0
1
y-1= (x-e),即
e
1
y= x.
e
1
当 x<0 时,y=ln(-x),设切点为(x1,ln(-x1)),由 y'=,所以 y'| =
C.
e
f'(1)=e+3f'(1),解得 f'(1)=- ,
2
, ≥ 0,
3
(3)函数 f(x)=
的导函数为 f'(x),则 f'(- 2 )=( B )
( + ), < 0
A.0
B.1

C.
2

D.1+
2
解析设x∈(-2π,-π),则x+2π∈(0,π),所以f(x+2π)=(x+2π)sin(x+2π)=(x+2π)sin
(g(x)≠0).
④复合函数的求导法则:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导
数间的关系为y'x= y'u·u'x ,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数

湘教版高考总复习一轮数学精品课件第4章一元函数的导数及其应用第2节利用导数研究函数的单调性

的单调递减区间是 (0,π)
.
解析由于f(x)=sin x-x,所以f'(x)=cos x-1,因为x∈(0,π),所以f'(x)<0,因此f(x)在
(0,π)内单调递减,即函数的单调递减区间是(0,π).
题组三连线高考
7.(2023·新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)内单调递增,则a的最
1
0<()
<
1
,即
e
a≥e-1.故选 C.
8.(2023·全国乙,理16)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)单调递增,则
a的取值范围是
[
√5-1
,1)
2
.
解析由题意得f'(x)=ax·
ln a+(1+a)x·
ln(1+a).
易知f'(x)不恒为0.
∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,
试讨论函数f(x)的单调性.
解因为f(x)=2x3+3(1+m)x2+6mx,所以f'(x)=6x2+6(1+m)x+6m=6(x+1)(x+m).
①若m=1,则f'(x)=6(x+1)2≥0在x∈R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增.
②若-m<-1,即m>1,当x∈(-∞,-m)∪(-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,-m)和(-1,+∞)
是 (1,+∞)
.
解析依题意 f'(x)=(x +2x)e

高考数学必做客观题——导数及其应用

高考数学必做客观题——导数及其应用高考数学必做客观题——导数及其应用一、什么是导数1、定义导数是一种量，它表示一个函数同某点处某方向上另一点函数值变化率的大小和变化方向，用数学上通常表示为斜率或者倒数，常被称为：导数或导函数。

2、特性导数具有无穷小级数性质、积分及微分运算的等价性以及连续性等特性，是高等数学中最基本的概念之一。

3、表示方法字母表示：$f'(x)$切线表示：二、导数的应用1、解决函数极值问题通过求导数可以求出函数的极大值和极小值，如果导数为0，则该点可能为函数的极值点，同时通过判断导数是正数或者负数，可以进一步确定该极值点是极大值点还是极小值点。

2、解决方程组问题可以运用链式法则和导数求解一些函数方程组，使用其中一个函数表示另一个函数，然后将所有方程式对导数求值，有了导数之后，则可以解决方程组问题。

3、求曲线的切线和切面可以利用曲线的导数本身表示其某点的切线斜率，从而求出直线的方程，以及曲面切面的法向量。

4、求极限可以运用导数的性质来求无界极限问题，利用导数值代替函数值，从而简化极限求解问题，可以考虑到导数和折回点、拐点、零点、无穷大等情况来判断极限情况。

三、备考提示1、掌握好基本知识如掌握好求导的方法，掌握好反函数求导，以及求函数最大最小值的方法，掌握好偏导以及全部导数的求取方法等。

2、多练习多刷题是考高考数学的必备考前备考技巧，大量练习可以让你更深入的熟悉高考数学考试的试题风格与类型，也能帮助你正确判断题目类型，提高解题效率。

总之，高考数学中出现的导数及其应用是最重要的考点，考生需要综合、准确地掌握相关知识，以及记住考试中重点的解题思想，多练习，才能取得较高的分数。

湖南高考数学导数知识点

湖南高考数学导数知识点导数是高中数学中的一个重要概念，也是湖南高考数学考试中经常涉及的知识点之一。

导数在数学中具有广泛的应用，特别是在物理、经济等领域中的实际问题的计算与分析中起到了重要的作用。

本文将介绍湖南高考数学中导数的基本定义及其相关的常用性质。

一、导数的定义导数是函数研究中的一个重要概念，表示函数在某一点的变化率。

对于函数y=f(x)，在x=a点的导数可用极限的形式表示为：f'(a)=lim(x→a) [f(x)-f(a)]/[x-a]。

这个极限表示了函数在x=a点的瞬时变化率。

二、导数的计算1. 常用函数的导数计算常用函数的导数计算是湖南高考数学中的常见命题。

例如，幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等都有相应的导数公式。

通过灵活运用这些公式，可以快速计算函数的导数。

2. 导数的四则运算在导数的计算中，有一些常用的四则运算法则。

例如，导数的四则运算法则包括：和函数的导数的和等于导数的和、函数的导数的积等于导数的积、函数的导数的商等于导数的商。

应用这些法则，可以将导数的计算转化为简单的代数运算。

三、导数的应用导数在数学中具有广泛的应用。

以下是几个常见的应用领域。

1. 切线和法线的问题通过求出函数某一点的导数，可以得到这一点对应的切线斜率，从而求出切线方程。

切线和法线问题是湖南高考中经常涉及的内容，通过运用导数的相关概念和原理，可以解决这类问题。

2. 函数图像的研究通过导数可以研究函数的增减性、极值、拐点等性质，进而描绘函数的图像。

通过对导数的分析，可以得到函数在不同区间的变化规律，进而绘制出函数的图像。

3. 最值问题求解函数的最值问题是数学中的一个重要应用。

通过求出函数的导数，可以得到函数的增减性，从而找到函数的极值点。

通过分析这些极值点，可以求解函数的最值点。

四、导数概念的拓展除了导数的基本定义和计算方法之外，还有一些拓展的概念与应用需要深入了解。

1. 高阶导数函数的高阶导数表示函数的导数的导数，也可以看做是导数的导数。

湖南省湘潭市第一中学导数及其应用多选题试题含答案

湖南省湘潭市第一中学导数及其应用多选题试题含答案一、导数及其应用多选题1．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的有（）A ．()f x在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C．(2)f f f <<D ．若21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，则2e k <【答案】ACD 【分析】利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A ；利用函数的单调性和函数值的范围判断B ；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C ；利用不等式有解问题的应用判断D ．【详解】函数2ln ()x f x x =，所以2431ln 212ln ()(0)x x xx x f x x x x⨯-⨯-'==>，令()0f x '=，即2ln 1x =，解得x =当0x <<()0f x '>，故()f x在上为单调递增函数．当x >()0f x '<，故()f x在)+∞上为单调递减函数．所以()f x在x =12f e=，故A 正确；当0x <<()0f x '>，()f x在上为单调递增函数，因为()10f =，所以函数()f x在上有唯一零点，当x ≥2ln ()0xf x x=>恒成立，即函数()f x在)+∞上没有零点，综上，()f x 有唯一零点，故B 错误．由于当x >()0f x '<，()f x在)+∞上为单调递减函数，因为2>>>(2)f f f <<，故C 正确；由于21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，故221ln 1()x k f x x x +<+=有解，所以2ln 1()max x k x +<，设2ln 1()x g x x+=，则32ln 1()x g x x --'=，令()0g x '=，解得x =当x >()0f x '<，故()f x在)+∞上为单调递减函数．当0x <<时，()0f x '>，故()f x在上为单调递增函数．所以()22max e eg x g e ==-=．故2ek <，故D 正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.2．已知函数()1ln f x x x x=-+，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()121()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()2110g x x x''=--<，所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()110,12ln 202g g '=>=-+<，所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确；由函数()1ln f x x x x=-+，当0x >时，()1ln f x x x x=-+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点，当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减；又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点，综上可得函数()1ln f x x x x=-+在定义域内只有2个零点，所以B 不正确；令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-，设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-，可得()1ln 1x x x ϕ'=+-，则 ()2110x x xϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增，又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增，当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=，又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，可得()()12222222211111ln ln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()121()f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 121x x =，即121=x x ，同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.3．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减【答案】AD 【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误．【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos xf x x x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()242cos 2sin 242y x y x y x ϕ=-=++，其中22cos 44y y ϕϕ==++1≤即2415y ≤，故1515y -≤≤，当y =时，有1cos 4ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max 15y =，故B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确．当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，1sin20x -<<，故314sin 21x -<+<，因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，故14sin 20x +=在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭有唯一解0x ，故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确．故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．4．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上 B ．若阿基米德三角形PABC ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC 【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A ：把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线AB 一定存在斜率，所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，由2'2yx y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩，解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx mx kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -，因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，112x x =-⇒=，因此正三角形PAB，所以正三角形PAB的面积为11sin 602224︒==，故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时，所以1212121222121122122114PAPBx x x xx x kk x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---，直线AB 的方程为：14y kx =+所以P 点坐标为：1(,)24k -，点 P 到直线AB 的距离为：=||AB ===，因为12121,4x x k x x +==-，所以21AB k =+，因此直角PAB的面积为：2111(1)224k ⨯+=≥，当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以1||AB x x ===-，点P 到直线AB 的距离为：212== 所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x x S x x -=⋅-=，故本选项说法不正确. 故选：ABC【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.5．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()22x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自然对数的底数），则（）A ．()()()m x f x g x =-在0x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2- C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]2,1-D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2ey =-【答案】BD 【分析】对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断；对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为2e y kx =-；可得到222x ekx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用导数证明()2eh x ≤-，进而作出判断. 【详解】对于A ，()()()2122x m x f x g x x =-=-， ()322121022x m x x x x +'∴=+=>，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误；对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，22x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立，所以21480k b ∆=+≤，所以0b ≤，又12kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，因为0b ≤，所以0k ≤且21480b k ∆=+≤，所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤，所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]2,0-，故B 正确，C 错误；对于D ，函数()f x 和()h x的图象在x =∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(2e y k x -=，即2e y kx =-，则222x ekx ≥-（x ∈R），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，则()24420k e ∆=-≤，解得k =，此时隔离直线方程为：2ey =-，下面证明()2e h x ≤-，令()()ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则()x G x x'=，当x =()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()0min G x G==，()()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即()2eh x ≤-，∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线2ey =-，D 正确. 故选：BD . 【点睛】关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.6．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（）A ．21()xx f x ee x =--B ．2()1xf x e x =+-C ．31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论．【详解】条件①()00f =；由选项可得：001(0)00f e e =--=，02(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；对于21()xx f x ee x =--，则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-'，由0x >可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；由0x <可得，()()120(1)1xxf x ee '-=+<，即函数1()f x 单调递减；满足条件②；对于2()1xf x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②；因此ACD 满足条件②；条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即()()()()21220f x f x f x f x -=-->，对于21()xx f x ee x =--，()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立，又20x >，所以222x x e e -+>，则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--，0x >，所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立，因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+，令()1xh x e x =--，0x >，则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立，所以()()00h x h >=，则()()23231210xf x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条件③；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+，令()()2ln 1u x x x =-+，0x >，则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=，则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③；综上，ACD 选项是“偏对称函数”，故选：ACD. 【点睛】思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）7．某同学对函数()sin e e x xxf x -=-进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（）A ．函数()y f x =的图象关于原点对称B ．对定义域中的任意实数x 的值，恒有()1f x <成立C ．函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D ．对任意常数0m >，存在常数b a m >>，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减【答案】BD【分析】由函数奇偶性的定义即可判断选项A ；由函数的性质可知()sin 1x xx f x e e -=<-可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x x e e x --->，构造函数()sin 0x x h x e e x x -=-->，求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B ；函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()0，πk (k Z ∈，且)0k ≠，可判断选项C ；求导分析()0f x '≤时成立的情况，即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：函数()sin e e x xxf x -=-的定义域为{}|0x x ≠，且()()sin sin x x x xx xf x f x e e e e ----===--，所以()f x 为偶函数，即函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故A 选项错误；对于选项B ：由A 选项可知()f x 为偶函数，所以当0x >时，0x x e e -->，所以()sin 1x xx f x e e -=<-，可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x xe e x --->，可设()sin 0x x h x e e x x -=-->，，()cos x x h x e e x -'=+±，因为2x x e e -+>，所以()cos 0x x h x e e x -±'=+>，所以()h x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00h x h >=，即()sin 1xxx f x e e-=<-恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()()00k k Z k π∈≠，，且，交点()0π-，与()0π，间的距离为2π，其余任意相邻两点的距离为π，故C 选项错误；对于选项D ：()()()()2cos sin 0xx x x xxee x e e xf x ee-----+-'=≤，可化为e x (cos x －sin x )()cos sin 0xex x --+≤，不等式两边同除以x e -得，()2cos sin cos sin x e x x x x -≤+，当()32244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭，，cos sin 0x x -<，cos sin 0x x +>，区间长度为12π>，所以对于任意常数m >0，存在常数b >a >m ，32244a b k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，，，()k Z ∈，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减，故D 选项正确；故选：BD 【点睛】思路点睛：利用导数研究函数()f x 的最值的步骤： ①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性； ③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.8．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()12112xx f x x e a x x e a '=-+-=-+，①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立，当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数；当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数；此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点；当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <，则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->，故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意； ③若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()(1)20xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦(){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若2ea =-，则()ln 21a -=，当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若2ea <-，则()ln 2ln 1a e ->=，当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为()0,∞+，故选：CD. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.。

(湖南专用)高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3导数在函数最值及生活实际中的应用教学案理

3.3 导数在函数最值及生活实际中的应用考纲要求1．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 2．会利用导数解决某些实际问题．1．函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )，在[a ，b ]上____有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )______有最大值与最小值．(2)求最大值与最小值的步骤：设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下：①求f (x )在(a ，b )内的____值；②将f (x )的各____值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2．解决优化问题的基本思路1．函数f (x )＝xex ，x ∈[0,4]的最大值是( )．A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e 22．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )． A ．0≤a ＜1 B ．0＜a ＜1C ．－1＜a ＜1D ．0＜a ＜123．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值是__________，最小值是__________.4．当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的底面半径为__________时，才能使饮料罐的体积最大．5．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为__________万件．一、函数的最值与导数【例1－1】已知f (x )＝x ln x .(1)求函数y ＝f (x )的图象在x ＝e 处的切线方程；(2)设实数a ＞0，求函数F (x )＝f xa在[a,2a ]上的最小值．【例1－2】已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值．方法提炼1．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2．函数极值与最值的区别与联系：极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最大、最小值是指闭区间[a ，b ]上所有函数值的比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a ，b )内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．请做演练巩固提升1,4二、运用导数证明不等式问题【例2】设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1且x ＞0时，e x ＞x 2－2ax ＋1. 方法提炼利用导数方法证明不等式f (x )＞g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )＞0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )什么时候可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口．请做演练巩固提升5三、利用导数解决实际生活中的优化问题【例3－1】在直径为d 的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为__________．(强度与bh 2成正比，其中h 为矩形的长，b 为矩形的宽)【例3－2】某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，产品的正品率P 与日产量x (x∈N *)件之间的关系为P ＝4 200－x 24 500，每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2000元．(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)(1)将日利润y (元)表示成日产量x (件)的函数；(2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．方法提炼利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：1．分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )，根据实际意义确定定义域；2．求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0得出定义域内的实根，确定极值点；3．比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值； 4．还原到原实际问题中作答．请做演练巩固提升2关于导数主观题的规范解答【典例】 (12分)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方．分析：规范解答：(1)由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝ x ＋1 x －1x，(1分)令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)，当x ∈(0,1)时，函数f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )单调递增，(4分)所以f (x )在x ＝1处取得极小值为12.(5分)(2)当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上为增函数，(6分)∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.(7分)(3)设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝ 1－x 1＋x ＋2x 2x，(9分)当x ＞1时，F ′(x )＜0，故f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．又F (1)＝－16＜0，∴在区间[1，＋∞)上，F (x )＜0恒成立，即F (x )＜g (x )恒成立．(11分)因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )图象的下方．(12分)答题指导：1.导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法，应用导数求单调区间，关键是求解不等式的解集；最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小；参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的应用．2．对于一些复杂问题，要善于将问题转化，转化成能用熟知的导数研究问题．1．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )．A.211,e 22π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．211,e 22π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1，2e π] D ．(1，2e π)2．如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000米2，鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为( )．A ．长102米，宽5 00051米B ．长150米，宽66米C ．长、宽均为100米D ．长150米，宽2003米3．若函数f (x )＝xx 2＋a (a ＞0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为__________．4．(2012重庆高考)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．5．已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设a ≤－2，证明对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|.6．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在AB 的延长线上，N 在AD 的延长线上，且对角线MN 过C 点．已知AB ＝3米，AD ＝2米．(1)设AN ＝x (单位：米)，要使花坛AMPN 的面积大于32平方米，求x 的取值范围； (2)若x ∈[3,4)(单位：米)，则当AM ，AN 的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)必不一定 (2)①极 ②极 f (a )，f (b ) 2．用函数表示的数学问题基础自测1．B 解析：f ′(x )＝e x －x e x(e x )2＝1－xex＝e －x(1－x )，令f ′(x )＝0，∴x ＝1.又f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e，∴f (1)为最大值．2．B 解析：∵y ′＝3x 2－3a ，令y ′＝0，可得a ＝x 2. 又∵x ∈(0,1)， ∴0＜a ＜1.3．5 －15 解析：f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0，即6x 2－6x －12＝0，则x ＝－1或x ＝2.又x ∈[0,3]，故x ＝－1应舍去．当x∴f (x )max ＝5min 4.S6π解析：设圆柱形金属饮料罐的底面半径为R ，高为h .S ＝2πRh ＋2πR 2⇒h ＝S －2πR 22πR⇒V (R )＝S －2πR 22πR πR 2＝12(S －2πR 2)R ＝12SR －πR 3 ⇒V ′(R )＝12S －3πR 2，令V ′(R )＝0，∴R ＝S6π. 因V (R )只有一个极值点，故它就是最大值点．5．9 解析：因为y ′＝－x 2＋81，所以当x ＞9时，y ′＜0；当x ∈(0,9)时，y ′＞0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．考点探究突破【例1－1】解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， ∵f (e)＝e ，且f ′(e)＝2，∴函数y ＝f (x )在x ＝e 处的切线方程为y ＝2(x －e)＋e ，即y ＝2x －e.(2)F ′(x )＝1a(ln x ＋1)，令F ′(x )＝0得x ＝1e.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，F ′(x )＜0，F (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增． ①当a ≥1e 时，F (x )在[a,2a ]上单调递增，F (x )min ＝F (a )＝ln a ；②当a ＜1e ＜2a ，即12e ＜a ＜1e 时，F (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，1e 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，2a 上单调递增，F (x )min ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e a ； ③当2a ≤1e ，即0＜a ≤12e时，F (x )在[a,2a ]上单调递减． ∴F (x )min ＝F (2a )＝2ln 2a .【例1－2】解：(1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)·(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0.因此f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2.令g ′(0)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x ＜－2或x ＞2时，g ′(x )＜0，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2＜x ＜2时，g ′(x )＞0，从而g (x )在[－2，2]上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.【例2】(1)解：由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x－2，x ∈R .令f ′(x )故f (x )f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明：设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a ＞ln 2－1时，g ′(x )的最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )＞0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )＞0，所以g (x )在R 内单调递增．于是当a ＞ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0，即e x －x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1.【例3－1】63d 解析：下图为圆木的横截面，∵b 2＋h 2＝d 2，∴bh 2＝b (d 2－b 2)．设f (b )＝b (d 2－b 2)，∴f ′(b )＝－3b 2＋d 2. 令f ′(b )＝0，由于b ＞0，∴b ＝33d ，且在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33d 上f ′(b )＞0，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫33d ，d 上，f ′(b )＜0.∴函数f (b )在b ＝33d 处取得极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长h ＝63d . 【例3－2】解：(1)∵y ＝4 000·4 200－x 24 500·x －2 000⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4 200－x 24 500·x ＝3 600x －43x 3， ∴所求的函数关系式是y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N *,1≤x ≤40)．(2)由(1)知y ′＝3 600－4x 2. 令y ′＝0，解得x ＝30. ∴当1≤x ＜30时，y ′＞0；当30＜x ≤40时，y ′＜0.∴函数y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N *,1≤x ≤40)在(1,30)上是单调递增函数，在(30,40)上是单调递减函数．∴当x ＝30时，函数y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N *,1≤x ≤40)取得最大值，最大值为－43×303＋3 600×30＝72 000(元)．∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，最大值为72 000元．演练巩固提升1．A 解析：f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e xcos x .∵0≤x ≤π2，f ′(x )≥0，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不恒为0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，∴f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝21e 2π， f (x )的最小值为f (0)＝12，∴f (x )∈211,e 22π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.2．D 解析：设鱼塘长、宽分别为y 米、x 米，依题意xy ＝10 000. 设占地面积为S ，则S ＝(3x ＋8)(y ＋6)＝18x ＋80 000x＋30 048，令S ′＝18－80 000x 2＝0，得x ＝2003. 此时y ＝150.3.3－1 解析：f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2，当x ＞a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当－a ＜x ＜a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，若当x ＝a 时，f (x )max ＝a 2a ＝33，a ＝32＜1，不合题意．∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1.4．解：(1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ，由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ； f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－2,2)上为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 2＝2处取得极小值f (2)＝c －16.由题设条件知16＋c ＝28得c ＝12.此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.5．解：(1)由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.当a ≥0时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1＜a ＜0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a.则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )＞0； x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减． (2)证明：不妨假设x 1≥x 2.由(1)知当a ≤－2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．所以|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|等价于f (x 2)－f (x 1)≥4x 1－4x 2，即f (x 2)＋4x 2≥f (x 1)＋4x 1.令g (x )＝f (x )＋4x ，则g ′(x )＝a ＋1x＋2ax ＋4＝2ax 2＋4x ＋a ＋1x.于是g ′(x )≤－4x 2＋4x －1x ＝－(2x －1)2x≤0.从而g (x )在(0，＋∞)上单调递减，故g (x 1)≤g (x 2)，即f (x 1)＋4x 1≤f (x 2)＋4x 2，故对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|.6．解：由于DN AN ＝DC AM ，则AM ＝3xx －2，故S AMPN ＝AN ·AM ＝3x2x －2.(1)由S AMPN ＞32得3x2x －2＞32，因为x ＞2，所以3x 2－32x ＋64＞0，即(3x －8)(x －8)＞0，从而2＜x ＜83或x ＞8，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83∪(8，＋∞)． (2)令y ＝3x 2x －2，则y ′＝6x (x －2)－3x 2(x －2)2＝3x (x －4)(x －2)2，因为当x ∈[3,4)时，y ′＜0，所以函数y ＝3x2x －2在[3,4)上为单调递减函数，从而当x ＝3时y ＝3x2x －2取得最大值，即花坛AMPN 的面积最大为27平方米，此时AN ＝3米，AM ＝9米．。

高考数学压轴专题湘潭备战高考《函数与导数》知识点

【最新】高考数学《函数与导数》专题解析一、选择题1．设奇函数()f x 在[]11-，上为增函数，且()11f =，若[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，不等式()221f x t at ≤--成立，则t 的取值范围是（）A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤ C ．2t ≥或2t ≤-或0t = D ．12t ≥或12t ≤-或0t =【答案】C 【解析】【分析】()f x 在[]11x ∈-，上为增函数,[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，,不等式()221f x t at ≤--成立,只需对于[]11a ∀∈-，,()2121f t at -≤--即可.【详解】∵奇函数()f x 在[]11x ∈-，上为增函数，且()11f =， ∴函数在[]11x ∈-，上的最小值为()()111f f -=-=-，又∵[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，不等式()221f x t at ≤--成立，∴()22111t at f --≥-=-，即220t at -≥， ①0t =时，不等式成立；②0t >时，()2220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≥，解得2t ≥；③0t <时，()2220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≤，解得2t ≤-故选：C. 【点睛】本题考查了含参数不等式恒成立问题，需要将不等式问题转化为函数最值问题，考查了理解辨析能力、运算求解能力和分类讨论思想，是中档题.2．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积( ) A ．1 B ．13C ．23D ．12【答案】B 【解析】【分析】利用导数的几何意义，求得曲线在点(0,2)处的切线方程，再求得三线的交点坐标，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，曲线21xy e -=+，则22x y e -'=-，所以200|2|2x x x y e -=='=-=-，所以曲线21xy e-=+在点(0,2)处的切线方程为22(0)y x -=--，即220x y +-=，令0y =，解得1x =，令y x =，解得23x y ==，所以切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积为1211233⨯⨯=，故选B ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（）．A ．5B ．23C ．23+D ．22【答案】D 【解析】试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b = 所以lg lg a b =- 所以1a b=，即1ab =，0a b >> 22a b a b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---22()22a b a b ≥-⨯=- 当且仅当2a b a b-=-，即2a b -=时等号成立所以22a b a b +-的最下值为22故答案选D考点：基本不等式．4．函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ；故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.5．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[1,1]- C ．(0,1)(1,)⋃+∞ D ．(1,)-+∞【答案】C 【解析】【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2xy t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2ax ay b t=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ，因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ，解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.6．已知3215()632f x x ax ax b =-++的两个极值点分别为()1212,x x x x ≠，且2132x x =，则函数12()()f x f x -=（） A ．1- B ．16C ．1D ．与b 有关【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导数，利用韦达定理得到12,,a x x 满足的方程组，解方程组可以得到12,,a x x ，从而可求()()12f x f x -．【详解】()2'56f x x ax a =-+，故125x x a +=，126x x a =，且225240a a ->，又2132x x =，所以122,3x a x a ==，故266a a =，解得0a =（舎）或者1a =．此时122,3x x ==， ()3215632f x x x x b =-++，故()()()()()1215182749623326f x f x -=⨯---+-= 故选B ．【点睛】如果()f x 在0x 处及附近可导且0x 的左右两侧导数的符号发生变化，则0x x =必为函数的极值点且()00f x =．极大值点、极小值点的判断方法如下：（1）在0x 的左侧附近，有()'0f x >，在0x 的右侧附近，有()'0f x <，则0x x =为函数的极大值点；（2）在0x 的左侧附近，有()'0f x <，在0x 的右侧附近()'0f x >，有，则0x x =为函数的极小值点．7．已知()ln xf x x=，则下列结论中错误的是（）A ．()f x 在()0,e 上单调递增B ．()()24f f =C ．当01a b <<<时，b a a b <D ．20192020log 20202019>【答案】D 【解析】【分析】根据21ln (),(0,)xf x x x -'=∈+∞，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，进而判断得出结论. 【详解】21ln (),(0,)xf x x x -'=∈+∞Q ∴对于选项A ，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，故A 正确；对于选项B ，()2ln 4ln 2ln 24(2)442f f ====，故B 正确；对于选项C ，由选项A 知()f x 在()0,1上也是单调递增的，01a b <<<Q ，ln ln a ba b∴<，可得b a a b <，故选项C 正确；对于选项D ，由选项A 知()f x 在(),e +∞上单调递减，(2019)(2020)f f ∴>，即ln 2019ln 202022019020>⇒20192020ln 2020log 2020ln 02019219>=，故选项D 不正确. 故选：D 【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值与最值的应用及方程与不等式的解法，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.8．已知函数()2f x x x =+，且()1231lnlog 223a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】【分析】由函数()2f x x x =+，可得()()f x f x -=，得到函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，又由由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，则函数()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，再根据对数函数的性质，结合图象，即可求解．【详解】由题意，函数()2f x x x =+，满足()()22()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为定义域上的偶函数，图象关于y 轴对称，又当0x ≥时，()2f x x x =+，由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，则函数()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，又由31ln 22<=，113222log log 1<=-，1122-=，根据对称性，可得11323(ln )(2)(log )2f f f -<<，即a c b <<，故选A ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的应用，其中解答中得到函数的单调性与奇偶性，以及熟练应用对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取极值10，则a =（）A ．4或3-B ．4或11-C ．4D ．3-【答案】C 【解析】分析：根据函数的极值点和极值得到关于,a b 的方程组，解方程组并进行验证可得所求．详解：∵322()f x x ax bx a =+++， ∴2()32f x x ax b '=++．由题意得2(1)320(1)110f a b f a b a =++=⎧⎨=+++='⎩，即2239a b a b a +=-⎧⎨++=⎩，解得33a b =-⎧⎨=⎩或411a b =⎧⎨=-⎩．当33a b =-⎧⎨=⎩时，22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥，故函数()f x 单调递增，无极值．不符合题意． ∴4a =．故选C ．点睛：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．（2）对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值．10．若函数f （x ）=()x 1222a x 1log x 1x 1⎧++≤⎪⎨+⎪⎩，，＞有最大值，则a 的取值范围为（） A ．()5,∞-+ B ．[)5,∞-+ C ．(),5∞-- D ．(],5∞-- 【答案】B 【解析】【分析】分析函数每段的单调性确定其最值，列a 的不等式即可求解. 【详解】由题()xf x 22a,x 1=++≤,单调递增，故()()f x f 14a,;≤=+()()12f x log x 1,x 1,=+>单调递减，故()()f x f 11>=-,因为函数存在最大值，所以4a 1+≥-，解a 5≥-. 故选B. 【点睛】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.11．若函数321()1232b f x x x bx ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在区间[3,1]-上不是单调函数，则函数()f x 在R 上的极小值为（）.A ．423b -B ．3223b - C ．0D ．2316b b -【答案】A 【解析】【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b 的范围，从而求出函数的单调区间，得到(2)f 是函数的极小值即可．【详解】解：2()(2)2()(2)f x x b x b x b x '=-++=--， ∵函数()f x 在区间[3,1]-上不是单调函数，31b ∴-<<，由()0f x '>，解得：2x >或x b <，由()0f x '<，解得：2b x <<，()f x ∴的极小值为()84(2)424233f b b b =-++=-，故选：A.【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题.12．函数()32xy x x =-⋅的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】排除法：根据函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称；函数有1-，0，1三个零点；当2x =时，函数值为正数，进行选项排除即可. 【详解】函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D ；函数有1-，0，1三个零点，故排除A ；当2x =时，函数值为正数，故排除B . 故选：C . 【点睛】本题考查函数的图象，根据解析式求图像通常利用排除法，依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等，属于中等题.13．设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=L ( )A ．222e e +B ．25050e e +C ．2100100e e +D ．222e e --【答案】A 【解析】【分析】由()()22f x f x -=+可得对称轴，结合奇偶性可知()f x 周期为8；可将所求式子通过周期化为()()()()1234f f f f +++，结合解析式可求得函数值. 【详解】由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称又()f x Q 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数()()()()()()()()()1281241240f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-=Q 且()()()()2123422f f f f e e +++=+()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222e e =+故选：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.14．函数()3ln 2xf x x x=+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（） A ．64y x =- B ．75y x =- C ．63=-y x D ．74y x =-【答案】B 【解析】【分析】首先求得切线的斜率，然后求解切线方程即可. 【详解】由函数的解析式可得：()221ln '6x f x x x-=+，则所求切线的斜率()221ln1'16171k f -==+⨯=，且：()012121f =+⨯=，即切点坐标为()1,2，由点斜式方程可得切线方程为：()271y x -=-，即75y x =-. 本题选择B 选项. 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.15．[]0x a,b ∃∈使得()f x m ≥成立，等价于[]()0x a,b ,[f x ]m max ∈≥16．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2−x ），若函数 y=|x 2−2x−3|与y=f （x ）图像的交点为（x 1,y 1），（x 2,y 2），…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B 【解析】试题分析：因为2(),23y f x y x x ==--的图像都关于1x =对称，所以它们图像的交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22mm ⨯=；当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=，因此选B. 【考点】函数图像的对称性【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+.17．下列求导运算正确的是（） A ．()cos sin x x '= B ．()1ln 2x x'=C ．()333log xx e '= D ．()22x x x e xe '=【答案】B 【解析】分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.详解：()'cos sin x x =-，A 不正确；()'11ln222x x x=⨯= ，B 正确；()'33ln3x x =,C 不正确；()'222xxx x e xex e =+，D 不正确，故选B.点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.18．设函数()xf x x e =⋅，则（） A ．()f x 有极大值1e B ．()f x 有极小值1e- C ．()f x 有极大值eD ．()f x 有极小值e -【答案】B【解析】【分析】利用导数求出函数()y f x =的极值点，分析导数符号的变化，即可得出结论.【详解】()x f x x e =⋅Q ，定义域为R ，()()1x f x x e '∴=+，令()0f x '=，可得1x =-. 当1x <-时，()0f x '<；当1x >-时，()0f x '>.所以，函数()x f x x e =⋅在1x =-处取得极小值()11f e-=-，故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，在求出极值点后，还应分析出导数符号的变化，考查计算能力，属于中等题.19．如图，记图中正方形介于两平行线x y a +=与1x y a +=+之间的部分的面积为()S S a =，则()S a 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据函数的部分特征，利用排除法，即可得到本题答案.【详解】①当011a ≤+<时，即10a -≤<，21()(1)2S a a =+；②当11a +=时，即0a =，1()2S a =. 由此可知，当10a -≤<时，21()(1)2S a a =+且1(0)2S =，所以,,A B C 选项不正确. 故选：D【点睛】本题主要考查根据函数的性质选择图象，排除法是解决此题的关键.20．已知函数()2ln 2xx f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2x g x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2x h x x=的最大值为3x ，则（） A ．123x x x >>B ．213x x x >>C ．312x x x >>D ．321x x x >> 【答案】A【解析】【分析】根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =<，即314x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】 ()1x f x e x x'=+-Q 在()0,∞+上单调递增且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭ 111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110x e x x +-= Q 函数()2x g x e x =+-在()0,∞+上单调递增且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭ 211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ 又()()11111211112220x g x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->= ⎪⎝⎭ 且()g x 单调递增 12x x ∴>由()21ln 2x h x x-'=可得：()()max 12h x h e e ==，即31124x e =< 123x x x ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难.。

高中数学导数及其运用

导数及其应用一、相关概念1.导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在X。

处有增量A x，那么函数y相应地有增量A y =f (x。

+ A x )-f(x )，比值包叫做函数y=f(X)在x至U x + A x之间的平均变化率，即o A x0 oA y f (x + A x) - f (x ) 八 A y一二 J一)八o,。

如果当A x f 0时，一有极限，我们就说函数y=f(x)在点xA x A x A x o处可导，并把这个极限叫做f (x)在点x o处的导数，记作f’(x0)或y'l x_x o。

A y f (x + A x) - f (x )即 f(x ) = lim - = lim -一o ------------ o-。

oA x fo A x A x f o A x①求函数的增量A y =f (x0 + A x ) -f (x o)；②求平均变化率孚=f(xo +之)-f(xo)；A x A xA y③取极限，得导数f’(x )= lim-2-。

A f o A x2.导数的几何意义函数y=f (x)在点x°处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点p (x°, f (x°))处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f (x)在点p (x o, f (x o))处的切线的斜率是f'(x o)。

相应地，切线方程为y-y =f/(x ) (x-x )。

3.导数的物理意义oo o如果物体运动的规律是s=s (t),那么该物体在时刻t的瞬间速度v= s' (t)。

如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v(t),则该物体在时刻t的加速度a=v, (t)。

二.求导数的方法1几个常用函数的导数1.若f (x) _ j 则f'(x) ；2.若f (x) _ x，则f'(x) ；3.若f (x) _ x2，则f'(x) ；4.若f (x) _ 1，则f'(x) 。