2-4逆矩阵

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第四讲矩阵的运算与逆矩阵

a11b12 a12b22 a13b32 a21b12 a22b22 a23b32 2×2
（2）乘法的定义与运算规律
定义4 设 A aij 是一个 m×s 矩阵,B bij 是一个s×n 矩阵,
那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个m×n 矩阵 C cij ,
s
c 其中 ij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aik bkj i 1,2,, m; j 1,2,, n k 1
a1, a2 ,
bn n1
b1a1 b1a2 b1an
, an
1n
b2a1
bna1
b2a2
bna2
b2an
bnan
nn
（3）矩阵运算的性质（与实数运算的对比）
通过以上对矩阵运算的了解，尤其是对矩阵乘法运算的
分析，我们可以对比一下矩阵的代数运算与我们所熟悉
的实数的代数运算，并找出它们之间的本质区别：
3. 对于两个 n 阶矩阵，一般
ABk Ak B k . AB2 ABAB A2 B2
如
A
2 3
46,
B
2 1
42,
AB 00
00,
AB2
0 0
0 0
;
A2 128
16 24
,
B2
8 4
016,
A2 B 2
0 0
128 192
.
线性代数第二章矩阵及其运算
11
第四讲矩阵的运算与逆矩阵
注4：方阵A的多项式定义：已知f ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn 则对应A的多项式为：f ( A) a0E a1 A a2 A2 an An;请看下例：

线性代数 2-4 可逆矩阵的逆矩阵

2a c 1, 2b d 0 , a 0, b 1,
又因为
a 0, b 1, c 1, d 2.
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
所以
0 1 A .. 1 2
1
定理2.3 矩阵 A 可逆的充要条件是 1 1 A A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
A 0 ，且
证明若 A 可逆，即有A1使AA 1 E .
故 A A1 E 1,
所以 A 0. .
当 A 0时,
例5 证明:若A是可逆的反对称,则 A 1也是反对称矩阵。证明因为
( A1 )T ( AT )1 ( A)1 A1 ,
所以 A 是反对称矩阵。
1
同理可以证明:可逆的对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。 .
例
设A,B均为n阶可逆矩阵,证明:
(1)
( AB ) B A ;
2.4 可逆矩阵的逆矩阵
一、概念的引入
在数的运算中，当数 a 0 时，有
aa a a 1,
其中 a 1 1 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）； a 在矩阵的运算中，单位阵 E相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵 A ，如果存在一个矩阵A1, 使得
1
1
AA1 A1 A E ,
a11 a12 a1n A11 A21 An1 a a22 a2 n A12 A22 An 2 21 AA a A a A a A A 11 12 1 1n 11 12 n a a a A A A n1A n a A nn n a 2 nA A 1 2 nn a

矩阵求逆的几种方法

矩阵求逆的几种方法矩阵求逆是线性代数学习的重要内容，给出一个矩阵A，要求求矩阵A的逆矩阵存在时，可以通过几种方法来解决这个问题。

本文对这几种求逆方法进行了总结，一起来学习一下。

一、矩阵求逆的2x2特例2x2矩阵求逆是求矩阵逆最为基础的方法，下面以A为例，计算A的逆矩阵。

A=begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}则A的逆矩阵为：A^{-1}=frac{1}{ad-bc}begin{pmatrix}d&-b-c&aend{pmatrix}二、增广矩阵的方法用增广矩阵的方法，可以求任意阶的方阵的逆矩阵。

由A增广矩阵B：B=begin{pmatrix}a&b&e_1c&d&e_2e_3&e_4&e_5end{pmatrix} 其中，$e_i$是单位矩阵的元素。

用行列式计算法求出$Delta_B$由$Delta_B=ad-bceq 0$可以判断行列式不等于0，即矩阵A可逆。

计算A的逆矩阵：A^{-1}=frac 1{Delta_B}begin{pmatrix}d&-b&e_3-c&a&e_4e_1&e_2&e_5end{pmatr ix}其中，$e_i$为求解此增广矩阵过程中得到的单位矩阵的元素。

三、分块矩阵的求逆分块矩阵的方法是求解大型矩阵的另一种简便方法，假设A为4阶矩阵：A=begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}A_{21}&A_{22}end{pmatrix} 它的逆矩阵为：A^{-1}=begin{pmatrix}A_{11}^{-1}&-A_{11}^{-1}A_{12}-A_{21}A _{11}^{-1}&A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}end{pmatrix} 以上三种矩阵求逆的方法在实际应用中都有不同的作用，但是本质都是同一种方法，以上三种方法矩阵求逆的数学原理是一样的，只不过实现过程和求解结果有所不同而已。

2-4逆矩阵

* 1
1 A
A
又因
所以 A A
*
AA
AA
*
AE
AE A
*
n
*
E A
n
因 A 可逆， A 0，故 A
A
n 1
方阵逆阵的性质
(1) 若 n 阶方阵 A 可逆，则 A 也可逆，且（ A ） A
1 1 1
( 2 ) 若 n 阶方阵 A , B 可逆，则 AB 也可逆，且（ AB ） B
B EB (A A ) B A ( AB ) A E A
-1 1
1 1
1
1
A AE A ( BB
1
) ( AB ) B
1
EB
1
B
1
例 2 设 A 是任一 n ( n 3 )阶方阵， A 是
*
其伴随矩阵，又则必有 ( kA )
*
k 为常数，且
这样，当有

A 0时，对任意的整数

，，

A A
A

(A )

A
例 7 设 A 为 3阶方阵， A 为其伴随矩阵， A 1 2 ,求（ 1 3
因为 ( 1 3 A)
1
*
A ） 10 A .
*
1
解：
所以（ 1 3
3A , A A A
*
1
1

1 2
此时
A
1 d A A A c 1

b a
推论1 设A,B都是n阶方阵，若AB=E，则 A,B都可逆，并且
A
1

逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且（E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K证明因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K,因A K= 0 ,于是得(E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E，同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K.同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K.由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使（1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p Λ21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001 故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111 其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性：设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (2122212)12111，其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00, 其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A4.2.准三角形矩阵求逆命题设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。

二阶、三阶矩阵逆矩阵的口诀

求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀1、问题的提出在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。

经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。

针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。

2、知识储备1.1 对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得 AB=BA=E则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -11.2 n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下：112111222212......*.......n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1.3 方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*1A A A-= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式推导：假设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么根据知识储备1.2 *d b A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦所以呢，*1d b c a A A A A--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦== 4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：除以行列式，别忘记。

去一行，得一列，二变号，余不变，231 3121）整体要除以行列式，不能忘记2）去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列3）所求得的逆矩阵的第二列是按照231 312 规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号对于三阶矩阵33,ab c A de f A R g h i ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且A 可逆1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1）先分析公式（1）的第一列，研究如下表格Step1: 表格1 第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei , fg , dhStep2：表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf , id , geStep3：由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式（1）的第一列。

苏教版高中数学选修4-2：逆矩阵的概念_课件1

阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由．
课堂互动
1 (1)A＝0
120；(2)B＝10
－12；
课时作
探
业
究
1 1
(3)C＝21 21；(4)D＝01 －01.
2 2
菜单
课前
【思路探究】矩阵→对应的几何变换→
当堂
自
双
主导
判断是否存在逆变换→若存在写出逆变换→逆矩阵
基达
学
标
【自主解答】 (1)矩阵 A 对应的是伸压变换，它将平面
内点的横坐标保持不变，纵坐标沿 y 轴方向压缩为原来的12，
课
堂因此，它存在逆变换：将平面内的点的横坐标保持不变，纵课
互
时
动坐标沿 y 轴方向伸长为原来的 2 倍，所对应的变换矩阵记为
堂
课
互
(1)注意到 1×3－2×1＝1≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，且时
动
作
探究
3 A－1＝－121
－111＝－32 1
－11.
业
菜单
课前
当
(2)注意到 2×5－4×3＝－2≠0，故 B 存在逆矩阵 B－1，堂
自
双
主且
导
基达
学
5 －3
标
课
B－1＝－－24 －2
的，B 称为 A 的逆矩阵，记作：A－1＝B.
菜单
课
当
前
3．逆矩阵的性质
自
堂双
主导
基
(1)若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B，则逆矩阵是惟一的．达
学
标
(2)若二阶矩阵 A，B 均存在逆矩阵，则 AB 也存在逆矩

逆矩阵的几种求法及解析

. .. . .. ..逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1求证: 如果方阵A 满足A K= 0, 那么E-A是可逆矩阵, 且（E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K证明因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K,因A K= 0 ,于是得(E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E，同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K.同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K.由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001 故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111 其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A *，于是有A 1-=A 1 A *.证明必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性：设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111，其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1 A *. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡WZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00, 其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A4.2.准三角形矩阵求逆命题设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。

2-4方阵的逆矩阵

第二章
矩阵
中南财经政法大学信息系
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一、概念的引入
在数的运算中，在数的运算中，当数a ≠ 0 时，有
aa −1 = a −1a = 1,
的倒数，的逆）；其中 a−1 = 1 为 a 的倒数，或称 a 的逆）；（ a 在矩阵的运算中，单位阵 E相当于数的乘法运算中在矩阵的运算中，的1，那么，对于矩阵 A ，，那么，如果存在一个矩阵A−1, 使得
1 * 1 d −b A = A= . | A| ad − bc −c a
−1
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例4
1 2 3 的逆矩阵. 求方阵 A = 2 2 1 的逆矩阵. 3 4 3
1 2 3 Q A=2 2 1 3 4 3
= 2,
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8
a11 a12 L a1n A A21 L An1 11 a a22 L a2n A A22 L An2 12 ∗ 21 AA = A + a A + L+ a A = A aL 11 L 12 L 1n 1nL L 11 L 12 L L a a L a A A L A n1 n2 nn 1n 2n nn
A = Aij
*
( )
T
.
称为矩阵 A 伴随矩阵. 的伴随矩阵
AA∗ = A∗ A = A E .
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7
证明过程中用到了行列式按行列展开公式. 证明过程中用到了行列式按行列展开公式
公式： D, (i = s) ai1 As1 + ai 2 As2 +Lain Asn = 0 0, (i ≠ s) D, ( j = t) 或 a1 j A t + a2 j A2t +Lanj Ant = 0 . 1 0, ( j ≠ t)

第2.4节逆矩阵

0 ⎞ ⎛ 1/ 3 0 若 A = ⎜ 0 1/ 4 0 ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 1/ 7 ⎟ ⎝ ⎠
则B=_____
⎛3 ⎜ B = ⎜0 ⎜0 ⎝
0 0
2
0⎞ ⎟ 0⎟ 1⎟ ⎠
−1 2 •已知n 阶矩阵满足 A − 3 A + 4 E = O ，则(E − A) =
(A2 − A) −(2A− 2E) + 2E = O A(A − E) −2(A− E) + 2E = O ( E − A)(A−2E) = 2E
⎛ 1 = ⎜ 1 ⎜ ⎝ 4 1 ⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎠
0⎞ ⎛ 3 1 ⎞ = 1 ⎟ ⎜ 0 −1 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠
0⎞ 1⎟ ⎠ 0⎞ 2⎟ ⎠
−1
AXB = C
X = A−1 C B−1
⎛1 2 3⎞ ⎛1 3⎞ ⎛2 1⎞ ⎜ ⎟ 例设 A = ⎜2 2 1⎟,B = ⎜ ⎟,C = ⎜ 2 0 ⎟, ⎜ ⎟ ⎝5 3⎠ ⎜ 3 4 3⎟ ⎜3 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 求矩阵 X 使满足 AXB = C . 解若A-1，B-1存在，则由A-1左乘上式，B-1右乘上式，有 A-1 (AXB)B-1=A-1CB-1, 即 X = A-1CB-1. A = 2, B = 1, 所以A、B都可逆. 又且
2°
AB = E ⇒ BA = E ⇒ BA = E ⇒ AB = E ⇒
A−1 = B, B −1 = A A−1 = B, B −1 = A
=
1 A
A ∗.
推论若A、B均为n阶方阵，且AB=E（或BA=E）,则 B=A-1 证明因
A B = A B = E = 1,
A ≠ 0,
解（1）计算|A|，当 |A| ≠0 时，A可逆；由于|A|=2 ≠0，故A可逆。（2）求A的伴随矩阵A∗ ； ∗ = ⎜ −3 A ⎜

人教版高中数学选修4-2课件：2.4 逆变换与逆矩阵 (共49张PPT)

4．求矩阵乘积 AB 的逆矩阵．
(1)A＝02 10，B＝01 40； (2)A＝－01 －10，B＝31 42.
解：(1)(AB)－1＝B－1A－1
1 ＝0
0 1 1 2 4 0
01＝120
0 1. 4
(2)(AB)－1＝B－1A－1
－2 1
＝3 2
－12
－1
0
0 －1
2 －1
＝－32
求满足 AXB＝C 的矩阵 X.
[思路点拨] 由 AXB＝C 得 X＝A－1CB－1，从而求解．
[精解详析] ∵A－1＝－23 －12，
B－1＝－21 －32，
∴X＝A－1CB－1＝－23
－2 0 1 1
1
2
0 －1
＝－12
－3
2
2 －1
－23＝－10
01.
－3 2
此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵，若位置错误，则得不到正确结果，原因是矩阵乘法并不满足交换律．
则xy′′＝10
－2 1
xy＝x－y2y.
∴xy′′＝＝yx.－2y，故xy＝＝yx.′′＋2y′， ∴P(x′＋2y′，y′)．又 P 点在圆上，∴(x′＋2y′)2＋(y′)2＝1. 展开整理为(x′)2＋4x′y′＋5(y′)2＝1. 故所求曲线方程为 x2＋4xy＋5y2＝1.
[例 4] 已知矩阵 A＝－21 －32，B＝12 23，C＝10 01，
－y＋2w＝1.
x＝25，解得yz＝＝15－，15，
w＝25.
2 故矩阵 A 的逆矩阵为 A－1＝51
5
－15 2. 5
1 0
1
6．已知矩阵 M＝0
1，N＝2

四阶行列式的逆矩阵

四阶行列式的逆矩阵矩阵是数学中一个重要的概念，它被广泛地用于几何、线性代数、数值分析和概率统计等领域。

矩阵的逆是矩阵的一个重要的概念，它表示一组矩阵之间的关系。

本文主要研究四阶行列式逆矩阵。

一、四阶行列式在数学中，四阶行列式是一类特殊的方阵，其大小为4*4，它的值可以用Aij（i=1,2,3,4；j=1,2,3,4）来表示。

每个元素Aij称为“单元”，这种特殊的矩阵有许多不同的表示法，如数学上的高斯-约旦分解法、Cramer法等。

二、四阶行列式逆矩阵四阶行列式逆矩阵是一类特殊的矩阵，它的大小为4*4，它由四阶行列式逆矩阵的元素Aij构成，这些元素的值可以通过以下公式计算得到：Aij=Aij detA/Aij其中，Aij是四阶行列式A的第i行第j列的元素，detA是四阶行列式A的行列式的大小，detA/Aij是四阶行列式A的代数余子式的大小。

因此，通过这个公式，可以计算出四阶行列式A的逆矩阵的每个元素的值。

三、计算四阶行列式逆矩阵计算四阶行列式逆矩阵的方法有多种，其中最常用的是通过计算行列式的值和余子式的值，然后使用上面所述的公式，根据行列式的值和余子式的值，来计算得到四阶行列式逆矩阵的每个元素的值。

另外，还可以利用行列式和逆矩阵的关系进行计算：A-1 detA = det A-1其中，A-1为四阶行列式A的逆矩阵，detA为四阶行列式A的行列式的值，detA-1为A的逆矩阵的行列式的值。

可以使用这个公式将四阶行列式A的行列式和它的逆矩阵相乘，来计算出四阶行列式A 的逆矩阵。

四、用四阶行列式逆矩阵解决问题四阶行列式逆矩阵不仅可以用来计算四阶行列式的逆矩阵，而且还可以应用于各种问题的求解。

例如有一个4*4的线性方程组，可以用矩阵的乘法来解决这类问题，其公式为：Ax=b其中，A为四阶行列式，x为未知数，b为常数项。

可以计算出A 的逆矩阵，然后令A-1Ax=A-1b将上式两边同时乘以A-1，可以得到：x=A-1b可以用于求解未知数x。

矩阵转置和逆的运算法则

矩阵转置和逆的运算法则
矩阵转置的运算法则是对矩阵的行列进行交换。

对于一个矩阵A，其转置记作A^T，其中A的第i行第j列元素变成A^T的第j行第i列元素。

矩阵逆的运算法则是对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得A乘以B得到单位矩阵I。

这个逆矩阵B记作A^-1。

以下是一些运算法则：
1. (A^T)^T = A：矩阵转置的转置等于原矩阵。

2. (A + B)^T = A^T + B^T：矩阵和的转置等于矩阵转置的和。

3. (AB)^T = B^T * A^T：矩阵乘积的转置等于乘数的转置与顺序颠倒的乘数的转置的乘积。

4. (A^-1)^T = (A^T)^-1：矩阵逆的转置等于矩阵转置的逆。

需要注意的是，并非所有的矩阵都有逆矩阵。

一个矩阵存在逆矩阵的充要条件是其行列式不为零。

二阶逆矩阵公式推导方法

二阶逆矩阵公式推导方法
摘要：
一、引言
1.背景介绍
2.二阶逆矩阵的重要性
二、二阶逆矩阵公式推导
1.二阶矩阵的定义
2.二阶矩阵的性质
3.二阶矩阵的逆矩阵定义
4.二阶逆矩阵的求解方法
5.二阶逆矩阵公式的推导过程
三、二阶逆矩阵的应用
1.矩阵的乘法运算
2.矩阵的求逆运算
3.矩阵的逆矩阵在实际问题中的应用
四、结论
1.二阶逆矩阵公式的意义
2.二阶逆矩阵的应用价值
正文：
在数学中，二阶矩阵是一个基本且重要的概念。

二阶矩阵是指一个具有两个行和两个列的方阵，它的元素都是实数。

在许多实际问题中，我们需要求解二阶矩阵的逆矩阵，因此了解二阶逆矩阵的推导方法显得尤为重要。

首先，我们来回顾一下二阶矩阵的定义。

一个二阶矩阵可以表示为：
```
[ A = begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{bmatrix} ] 其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{21}$ 和$a_{22}$ 是矩阵的元素。

接下来，我们来探讨二阶矩阵的逆矩阵。

逆矩阵的定义如下：若矩阵A 的行列式|A| ≠ 0，则称矩阵A 的逆矩阵为B，满足AB = BA = A。

求解二阶矩阵的逆矩阵，我们可以通过以下步骤来进行：
1.计算二阶矩阵的行列式|A|。

2.求出单位矩阵E，使得|A| × E = I，其中I 是单位矩阵。

3.用步骤2得到的矩阵E 乘以A 的转置矩阵AT，得到矩阵B。

下面我们来推导二阶逆矩阵的公式。

二阶矩阵求逆矩阵口诀

二阶矩阵求逆矩阵口诀
二阶矩阵求逆矩阵是数学中常见的一种运算，可以用于解线性方程组等问题。

下面我将介绍二阶矩阵求逆矩阵的口诀。

首先，假设有一个二阶矩阵A，表示为：
A = | a b |
| c d |
求其逆矩阵A的口诀如下：
1. 计算矩阵A的行列式D，D = ad - bc。

2. 如果D等于零，则矩阵A没有逆矩阵。

3. 如果D不等于零，则矩阵A存在逆矩阵。

4. 计算矩阵A的伴随矩阵，AdjA，即将A的元素对应位置的代数余子式构成的矩阵。

AdjA = | d -b |
| -c a |
5. 计算矩阵A的逆矩阵A^-1，A^-1 = (1/D) * AdjA。

6. 将伴随矩阵AdjA中的元素除以行列式D，即可得到矩阵A的逆矩阵A^-1。

通过以上步骤，我们可以求得二阶矩阵A的逆矩阵A^-1。

这个口诀可以帮助我们更快地求解二阶矩阵的逆矩阵，提高数学运算的效率。

希望这篇文章能对你有所帮助。

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二阶方阵的逆矩阵的计算

二阶方阵的逆矩阵的计算逆矩阵是在线性代数中非常重要的一个概念。

二阶方阵的逆矩阵是一个使得该矩阵与其逆矩阵的乘积等于单位矩阵的方阵。

在本文中，我们将介绍如何计算二阶方阵的逆矩阵，并展示一个具体的计算示例。

一个二阶方阵的一般形式可以表示为：A=[[a,b],[c,d]]其中a、b、c和d是实数。

要计算二阶方阵A的逆矩阵，我们需要使用以下公式：A-1 = (1 / det(A)) * [[d, -b],[-c,a]]其中 det(A) 表示 A 的行列式，计算方式为 ad - bc。

在计算 A 的逆矩阵之前，我们首先需要计算 det(A)。

如果 det(A)等于零，那么 A 没有逆矩阵。

否则，我们可以按照上述公式计算 A 的逆矩阵。

让我们通过一个具体的示例来演示如何计算一个二阶方阵的逆矩阵。

示例：考虑以下二阶方阵A：A=[[2,3],[1,4]]首先，我们需要计算 A 的行列式 det(A)：det(A) = 2 * 4 - 3 * 1 = 8 - 3 = 5行列式 det(A) 不等于零，因此 A 有逆矩阵。

接下来，我们使用上述公式计算A的逆矩阵A-1：A-1 = (1 / det(A)) * [[d, -b],[-c,a]]=(1/5)*[[4,-3],[-1,2]]=[[4/5,-3/5],[-1/5,2/5]]因此，二阶方阵A的逆矩阵为：A-1=[[4/5,-3/5],[-1/5,2/5]]这就是二阶方阵A的逆矩阵的计算过程及结果。

总结：在本文中，我们介绍了如何计算一个二阶方阵的逆矩阵。

通过使用行列式的概念和逆矩阵的公式，我们可以计算一个二阶方阵的逆矩阵。

然而，需要注意的是，只有当方阵的行列式不等于零时，方阵才有逆矩阵。

通过计算示例，我们展示了具体的计算过程，并给出了二阶方阵的逆矩阵的结果。

我们希望本文能够帮助读者更好地理解二阶方阵的逆矩阵的计算方法。

如果读者对此有任何疑问，请随时提问。

二阶、三阶矩阵逆矩阵的口诀

经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。

针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。

2、知识储备1.1对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得AB=BA=E 则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -11.2n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下：1.3方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*1A A A -= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式推导：假设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么根据知识储备1.2*d b A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦所以呢，*1d b c a A A A A--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦== 4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：除以行列式，别忘记。

去一行，得一列，二变号，余不变，2313121）整体要除以行列式，不能忘记2）去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列3）所求得的逆矩阵的第二列是按照231312规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号对于三阶矩阵33,ab c A de f A R g h i ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且A 可逆 1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1）先分析公式（1）的第一列，研究如下表格公式（1）矩阵的第一列是表1所有元素的组合，组合规律称为（231312规律）Step1:表格1第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei,fg,dhStep2：表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf,id,geStep3：由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式（1）的第一列。