1.2 .1怎样判定三角形全等(1)
直角三角形全等的判定(1)
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 证明的规范性在于：条理清晰，因果
相应,言必有据.这是初学证明者谨记 和遵循的原则.
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求证:△ABC≌△A′B′C′.
B
B′
C
A C′
A′
直角三角形全等的判定定理
定理: 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等(斜边,直角边或HL).
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵ AC=A′C ′
AB=A′B′ ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
1.已知:如图,D是△ABC的BC边上的中 点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且 DE=DF. 求证: △ABC是等腰三角形.
A
F
E
B
D
C
老师期望:请将证明过程规范化书写出来 .
2.已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分 别为E,F,DE=BF.
求证:(1)AE=AF (2)AB∥CD.
B
B′
C
A C′
A′
知识在于积累
判断下列命题的真假,并说明理由:
两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两直角边对应相等的两个直角三角形全等; 一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等 的两个直角三角形全等. 一个角和一条直角分别相等的两个直角三角形全 等.
两个三角形全等的识别方法：
A
A`
B
C B`
C`
① 边边边（S S S）
全等三角形的判定(一)
14.2 三角形全等的判定（一）教学目标】知识技能：1、理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边” 。
2 、经历探究“边角边”判定方法的过程，能运用“ SAS”判定方法解决有关问题。
数学思考：经历探究三角形全等的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动，学习有条理的思索方式。
问题解决：使学生充分经历探索的过程，进一步培养学生合作交流与自主探究的能力。
情感态度：通过几何证明的学习，培养学生严谨的分析能力，使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯。
【教学重、难点】1 ．应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等（重点）2 ．能运用“ SAS”证明简单的三角形全等问题，寻找判定三角形全等的条件（难点）。
【教学准备】1.教师准备：课件2.学生准备：剪刀、白纸、作图工具。
【学情介绍】这节课是探究三角形全等条件的第一课，学生已了解全等三角形的概念及特征，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。
另外，学生也具备了利用已知条件作三角形的基本作图能力，这为学生主动参与本节课的操作和探究做好了准备。
“SAS”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。
【内容分析】教材通过尺规作图作出一个与已知三角形的两边及其夹角对应相等的三角形，发现这两个三角形能够重合，从而归纳出判定三角形全等的第一种方法“ SAS” 。
【教学过程】一、温故知新1．什么叫全等三角形?2、全等三角形的性质是什么？二、探究新知：问题：1、如何判定连个三角形全等？2、三角形中共有几个元素？3、三角形有六个基本元素（三条边和三个角），只给定其中的一个或两个元素，能够确定一个三角形的形状和大小吗？分类讨论、探究：1、只给定一个元素（一边或者一角）学生验证。
2、只给定两个元素（请学生画图验证）①两条边长分别为4cm,5cm;②一条边长为4cm，一个角为45°；③两个角分别为45°,60 °。
教师几何画板演示，得出结论：一个或者两个元素不能判定两个三角形全等。
怎样判定三角形全等
的判定方法，并熟练运用全等三角形的判定解 决实际问题。
基本概念：
一、“全等”的理解全等的图形必须满足：
（1）形状相同的图形；
知 识 梳 理
（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。 同样我们把能够完全重合的两个三角形叫 做全等三角形。
二、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等； （2）全等三角形对应角相等；
两 个
SSS
三
角
形 全
SAS
等
的
判 定
ASA
方
法
AAS
例1、如图所示，：已知AC=AD，请你添加一个条件————，
使得
△ABC≌△ABD 思路
隐含条件AB=AB
找另一边 (SSS)
已 知 两 边
找夹角 (SAS)
变式1：如图，已知∠C=∠D，请你添加一个条件————，使得
△ABC≌△ABD
思路
等三角形？请任选一对给予证明。
E
答： △ABF≌△DEC
A
F
C
D
△ABC≌△DEF △CBF≌△FEC
B
练习
1：如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全
等三角形？请任选一对给予证明。
A
F
E C
答： △ABF≌△DEC
证明：∵ AB∥DE
D
∴ ∠A=∠D
在△ABF和△DEC 中
..学..科..网. 隐含条件AB=AB
已 知 一 这边为角的对边 边 一 角
找任一角(AAS)
变式2：如图，已知∠CAB=∠DAB，请你添加一个条件————，使得
1.2,1怎样判定三角形全等(SAS)
【提出问题】
(1)全等三角形
等.
相等，
相
(2)全等三角形有哪些性质？如图甲所示已
知△ AOC≌ △ BOD，则∠A=∠B，
∠C=
AC=
C 1 O A
，
，
2 D
=∠2，对应边
B
=OB，
=OD.
甲
(3)如图乙所示，已知△AOC≌△DOB，则 ∠A=∠D，∠C= 对应边AC= AO=
A 1 O C 2 B
课前准备
练习本、铅笔、橡皮、 量角器、刻度尺、 5张白纸
1.2怎样判定三角形全等 （第一课时）
（1）通过操作、叠合、思考和交流等活动，探索判定三角形全等的 方法；发现并了解只具备一个相等条件或两个相等条件不能判定两 个三角形全等。
（2）探索并掌握三角形全等的判定方法1：两边及其夹角相等的两
个三角形全等，能初步运用这个方法判定两个三角形全等。 （3）经历探索三角形全等条件的过程，丰富学生数学活动的经验； 在探索及运用结论的过程中，进行合情推理及有条理的思考和说理， 培养学生的推理能力和运用数学语言进行表达的能力。
答：两个三角形全等。
AB AD（已知） BAC DAC（已知） AC AC（公共边）
A D B
C
ABC ADC （SAS ）
A A
D
C C
当堂练习
1、如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB， ΔABC与ΔDCB全等吗？说明你的理由。
A D
B
C
2、如图，已知AB=AD，AC=AE，ΔABE与 ΔADC全等吗？说明你的理由。
3.怎样找已知条件:
[一是已知中给出的，二是图形中隐含的(如： 公共边 、公共角、对顶角、邻补角，外角、 平角等）]
11全等三角形判定一(ASA,SAS)(基础)知识讲解
全等三角形的判定一（ASA ，SAS ）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“角边角”，判定方法2——“边角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“角边角”全等三角形判定1——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠，AB ＝，∠B ＝∠，则△ABC ≌△.要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A ＝∠，AC ＝ ，则△ABC ≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】'A ''A B 'B '''A BC ''A B 'A ''A C '''A BC1、如图，已知AD ，BC 相交于点O ，OB=OD ，∠ABD=∠CDB求证：△AOB≌△COD．【思路点拨】由OB=OD ，得出∠OBD=∠ODB，进而得出，∠ABO=∠CDO，再利用ASA 证明即可．【答案与解析】解：∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵∠ABD=∠CDB，∴∠ABO=∠CDO，在△AOB 和△COD 中，，∴△AOB≌△COD（ASA ）．【总结升华】此题考查全等三角形的判定，关键是得出∠ABO=∠CDO．举一反三：【变式】如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF.求证：AB ＝CD.【答案】证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C.∵AF ∥DE ，，∴∠AFB ＝∠DEC.又∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE.在△ABF 和△DCE 中，∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）.B C BF CEAFB DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【思路点拨】由条件AB ＝AD ，AC ＝AE ，需要找夹角∠BAC 与∠DAE ，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着B 点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩【变式】如图，在Rt△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB 连接EF ，证明△AED≌△AEF．【答案】证明：∵△AFB 是△ADC 绕点A 顺时针旋转90°得到的，∴AD=AF，∠FAD=90°，又∵∠DAE=45°，∴∠FAE=90°﹣∠DAE=90°﹣45°=45°=∠DAE，又AE=AE ，在△ADE 与△AFE 中，，∴△ADE≌△AFE（SAS ）．类型三、全等三角形判定的实际应用4、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.【答案与解析】设战士的身高为AB ，点C 是碉堡的底部，点D 是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD ＝∠BAC ，∠ABD ＝∠ABC ＝90°.在△ABD 和△ABC 中，∴△ABD ≌△ABC （ASA ）∴BD ＝BC.这名战士的方法有道理.【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.ABD ABC AB ABBAD BAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩。
1.2 直角三角形全等的判定(1)s
C(C′)
B′
课堂练习： 0 1、证明:在直角三角形中，30 所对的直 角边等于斜边的一半。 已知：如图：△ABC， ∠ BCA=90°, ∠BAC＝30°， A
1 求证：BC＝ AB 2
B C D
直角三角形30°角所对的直角边 长等于斜边长的一半。 直角三角形还有其他的性质吗？ 直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半。
1.2 直角三角形全等的判定(1)
1、我们已经证明过的判定两个三角形全等的方 法有： SAS 、 ASA 、 SSS 、AAS 。 2、判定两个直角三角形全等除了上面的方法 外，还有其它的方法吗？
定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或 “HL”. 你能证明这个结论吗？
1 求证:BD= AB 4
C
B
D
A
4、在△ABC中，AB=AC，DE是过点A 的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E． （1）若BC在DE的同侧（如图①）且 AD=CE，说明：BA⊥AC． （2）若BC在DE的两侧（如图②）其他 条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请 予证明，若不是请说明理由．
1、如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F， 且DE＝DF， 求证：△ABC是等腰三角形。 A
E B E D
F C
2、如图AD⊥DB，BC⊥CA，AC、BD 相交于点O，如果AD＝BC，那么图中 还有哪些相等的线断，请证明。
D O C
A
B
3、已知：如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A=30°.
已知：如图，
在△ABC和△A′B′C′中， ∠ACB=∠A′C′B′=90°， AB=A′B′，AC=A′C′
怎样判定三角形全等
怎样判定三角形全等（一）导学案学习目标：1、通过画图、实验的方法归纳出三角形全等的判定方法1（ASA）及它的推论（AAS）；2、对于判定方法ASA、AAS在理解其内容的基础上，能灵活地运用它们来识别三角形全等，进而说明线段或角相等；3、在经历画图、实验、发现、应用的过程中，提高分析、归纳、表达、逻辑推理等能力。
树立知识源于实践，用于实践的观念。
本节课重、难点：难点是三角形全等的判定方法1（ASA）及它的推论（AAS）的归纳过程；重点是三角形全等的判定方法1（ASA）及它的推论（AAS）的应用。
本节课基本流程：教学过程一、课前预习通过上一节的学习，我们知道全等三角形三条边分别对应相等,三个角分别对应相等。
反之，如果这六个元素分别对应相等,这样的两个三角形一定全等.但是,判断两个三角形全等是否一定需要这六个条件同时成立呢?条件能否尽可能少呢?思考1：只知道两个三角形只有一组角或者一组边对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？并用事实来说明你的结论的正确性。
思考2：如果是两个条件成立呢？（两角、两边、一角一边）。
画出适当的图形来说明你的结论。
思考3：那么知道三个条件呢？如：三角、三边、两角一边、两边一角。
请预习课本的28、29两页，寻找问题的答案。
并动手完成下面问题：画△ABC，分别满足以下条件：1、AB=10厘米，∠A=50°，∠B=70°；2、BC=12厘米，∠B=60°，∠C=40°；3、AC=9厘米，∠A=80°，∠C=30°。
二、新课学习（一）情境导入、交流发现结论1：结论2：1、下列两个三角形全等吗？为什么？（二）精讲点拨例1、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，△ABD与△CDB全等吗？为什么？1、根据全等三角形的对应边相等、对应角相等，所以由刚才的△ABD≌△CDB你能得到哪些角或线段相等？2、若把题目中的条件“∠1=∠2，∠3=∠4”换作“∠A=∠C，∠3=∠4”，你还能证得△ABD与△CDB全等吗？（三）归纳总结，得出新知：由刚才的证明过程，反思一下，提炼一下，你总结出了什么？大声地说出来吧！（四）体会全等在生活中的应用一位经历过战争的老人讲述过这样一个故事：在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日本鬼子的碉堡，需要测出我军阵地到鬼子碉堡的距离。
1.2怎样判定三角形全等(1)
二、动手实践：两组相等元素
②两组角相等：
二、动手实践：两组相等元素
③一组边和一组角相等： 先横着画一条10cm的线段，然后在线段
左侧画一个30°的角，补充成一个三角形后 同桌两个的图叠在一起，观察一下是否全等。
1.2 怎样判定三角形全等
一、提出疑问
• 至少需要几对相等的元素就能判定两三角 形全等呢？
• 一组？两组？三组？
二、动手实践：一组相等元素
一组元素相等有两种可能：
①一组相等的边； ②一组相等的角。
二、动手实践：一组相等元素
①一组相等的边 在A4纸上横着画一条6cm的线段，然后在
线段上方任意补充两条边，组成一个三角形。 画完后同桌两个的图叠在一起，观察一下是 否全等。
三组元素相等有六种具体的组合： ①角角角 ②边边角 ③边角边 ④角边角 ⑤角角边 ⑥边边边
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、动手实践：三组相等元素
三组元素相等有六种具体的组合： ①角角角 ②边边角 ③边角边 ④角边角 ⑤角角边 ⑥边边边
二、动手实践：三组相等元素
三组元素相等有六种具体的组合： ①角角角 ②边边角 ③边角边 ④角边角 ⑤角角边 ⑥边边边
二、动手实践：两组相等元素
③一组边和一组角相等：
二、动手实践：三组相等元素
三组元素相等有四种情况： 三组角分别相等 三组边分别相等
两组边一组角分别相等 两组角一组边分别相等
二、动手实践：三组相等元素
三组元素相等有六种具体的组合： ①角角角 ②边边角 ③边角边 ④角边角 ⑤角角边 ⑥边边边
二、动手实践：三组相等元素
怎样判定三角形全等第1课时
A A C B E B D 图1-19 D C E
青岛出版社 数学八年级下册 1.2 怎样判定三角形全等
四、说教学过程
4.巩固基础,拓展训练
⑹变式 1 、一块三角形的玻 璃碎成 了两块 ，如图 1-20. 如 果要到玻璃店配一块与原来同 样大小的玻璃，你认为是否两 块碎玻璃都必须带去？如果不 需要，你认为只带哪块去就可 以了？为什么？
二、说教学目标
• 3.情感态度与价值观目标 （1）通过积极参与探究三角形全等判定方法 的活动，学生对数学有了好奇心和求知欲， 培养了他们合作交流的意识，发现问题、分 析问题、解决问题的能力； （2）通过实际生活中有关三角形全等的应用， 学生体会到了数学的特点，了解了数学的价 值，它源于生活又服务于生活。
B A D 图1-23 C
E
青岛出版社 数学八年级下册 1.2 怎样判定三角形全等
四、说教学过程
5.归纳小结,分层作业
⑵作业：B组题
③如图1-24所示，已知AB∥DE,AB=DE, AF=DC,求证：△ABC≌△DEF.
B A F
C D 图1-24
E
④如图1-25所示，已知A,B两点被一个池塘隔开无法直接测量，但两点可以 到达，现给出一种方案：找两点C,D，使AD∥BC,且AD=BC，量出CD的长 即得AB的长.理由是什么？
怎样判定三角形全等(1)教学设计
怎样判定三角形全等（1）教学设计教材分析：本节课是学生在学习了三角形的有关要素和性质、全等图形的特征的基础上进行的，它是证明线段相等、角相等的重要方法，也是将要学习其它几种判定方法切入点，是进一步研究图形的轴对称、等腰三角形、几何证明、多边形、图形的平移与旋转、相似形后继知识的基础。
探索判定三角形全等的条件，是引导学生从直观几何到论证几何，从合情推理向演绎推理的过渡，为几何证明初步准备更多素材。
教学目标：知识方面：1、掌握全等三角形判定方法（SAS），会运用此种判定方法证明两个三角形全等。
2、体会证明两线段相等，两个角相等通常转化为“证明两三角形全等”来解决的数学方法。
能力方面：1、经历观察、操作、想象、交流等活动，培养学生发现问题、提出问题的能力以及分析问题和解决问题的能力。
2、经历探索三角形全等条件的过程,体会如何探索研究问题,并初步体会分类转化等数学思想。
情感方面：通过操作、观察、归纳获得数学猜想，使学生在自主学习中体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明过程的严谨性，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神。
教学重点：全等三角形判定方法（SAS）的应用教学难点：探索全等三角形判定方法（SAS）教法学法分析：为完成教学目标，从而达到培养学生的综合素质为目的，我决定采用问题启发与小组合作相结合的方法，充分调动学生的积极性，通过创设问题情境，让学生动手操作，动脑思考，动口表达，并借助多媒体，把抽象的定理转化为形象直观的知识。
从而给学生营造一个自由的空间，小组成员更能自由观察，各抒己见，体现团队合作精神。
同时向学生渗透发现问题—提出问题—解决问题的学习方法，培养他们在合作中共同探索新知识、解决新问题的能力。
前置作业：1、三角形全等的性质是什么？2、已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm则AB=____________，BC=____________，AC=____________．3、找一张硬纸片，剪出一个三角形，撕掉一部分，画出被撕掉后剩余的三角形形状（把所有可能性都画出来），并按剩余部分的元素(边、角)个数进行分类教学过程一、情境导入1、创设情境课件出示一组生活中的平行线图片问题1：观察下列各组图片，你有什么发现？问题2：生活中全等图形无处不在，你有什么问题或想法吗？2、提出问题判定两个三角形全等，除了用叠合的方法之外，能否有更简便、更适用的判定两个三角形全等的方法呢？二、探索过程探究活动1、展示课前作业3：(1)以小组为单位交流自己画出的不全的三角形，你画出了几种？按剩余元素个数分类你画出了几类？(2)你能还原出原来的三角形吗? 动动手，你能根据现有的图形画出三角形原来的形状吗？动手思考后，小组交流(3)每组派两名同学作为代表进行展示，并说明发现的问题。
【教学课件】《1.2.1怎样判定三角形全等》(青岛版)
判断两个三角形全等的推理
过程，叫做证明三角形全等.
B′
A
C A′
C′
应用所学，例题解析
例1 如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是 连接点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．
证明：∵ D 是BC 中点，
∴ BD =DC．
A
在△ABD 与△ACD 中，
AB =AC ，
第1单元 · 全等三角形
1.2怎样判定三角形全等
创设情境，导入新知
已知△ABC ≌△ A′B′ C′，找出其中相等的边与
角：
A
A′
B
AB =A′B′ ∠A =∠A′
C
B′
BC =B′C′ ∠B =∠B′
C′
AC =A′C′ ∠C =∠C′
思考 满足这六个条件可以保证△ABC≌△A′B′C′ 吗？
动脑思考，分类辨析
等？
两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三 角形的形状，所以不能保证两个三角形全等．因此， △图，探究“ASA”判定方法
问题 先在一张纸上画一个△ABC，然后在另一 张纸上画△DEF，使EF =BC，∠E =∠B，∠F =∠C． △ABC 和△DEF 能重合吗？根据你画的两个三角形 及结果，你能得到又一个判定两个三角形全等的方法 吗？
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′， 使A′B′= AB，B′C′= BC，A′C′= AC．把画好的 △A′B′C′剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？
画法: （1）画线段B′C′=BC ；
（2）分别以B′、C′为圆心，BA、BC 为半径画弧，两
弧交于点A′；
（3）连接线段A′B′，A′Ｃ′.
怎样判定三角形全等
自主学习：【教师活动】展示学习目标极及重难点。
【学生活动】学生了解学习目标和学习的重难点，以便更好的抓住本节课的学习任务，能够有针对性的学习和了解。
【教师活动】介绍已知三角形两边和夹角画三角形的方法。
【学生活动】画一画：画一个三角形，使它的一个内角45°，夹这个角的一条边为３厘米，另一条边长为４厘米.【教师活动】出示课件总结画法。
合作探究：【学生活动】探索新知三角形全等判定方法如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
(可以简写成“边角边”或“SAS”)用符号语言表达为：在△ABC 与△DEF 中AC DF C F BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△DEF（SAS ）ABCDEFCBADO21【教师活动】应用举例：如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC，求证:△ABD≌△ACD．点拨：（1）紧扣“SAS”的条件 。
（2）公共边是图形隐含的已知条件。
证明: ∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．在△ABD 与△ACD 中，AB ＝AC ，∠BAD＝∠CAD，AD ＝AD (公共边)∴ △ABD≌△ACD（SAS ）巩固练习：【学生活动】小试牛刀：１、如图，已知AB 和CD 相交与O ，OA=OB ，OC=OD ，证明:△OAD≌△OBC 。
2.如图所示,根据题目条件，判断下面的三角形是否全等．图1（1） AC＝DF，∠C＝∠F，BC＝EF；（2） BC＝BD， ∠ABC＝∠ABD．答案: (1)全等; (2)全等.【学生活动】探索：那么边边角对应相等时情况又是怎样的呢？做一做：以3cm，4cm为三角形的两边，长度为3cm的边所对的角为45°，动手画一个三角形，把你画的三角形与同桌同学画的三角形进行比较，那么所有的三角形都全等吗？【教师活动】待多数学生画出符合条件的一个三角形后，教师提出问题：你能画出符合条件而形状不同的三角形吗？当学生发现有两种情况时，教师不失时机发问，符合“边边角”能否判定两个三角形全等？接着动画演示两种情况的图形。
全等三角形怎样判定三角形全等
全等三角形怎样判定三角形全等pptxx年xx月xx日•引言•全等三角形的判定方法•全等三角形的证明举例目录•结论•复习题01引言介绍全等三角形判定方法的研究背景和意义阐述本课题的主要内容和结构课题介绍给出全等三角形的定义及概念说明全等三角形的性质和特点全等三角形定义强调全等三角形判定方法的重要性简单介绍全等三角形判定方法的种类及适用范围全等三角形判定方法的重要性02全等三角形的判定方法总结词当两个三角形的三条边对应相等时，这两个三角形全等。
详细描述在两个三角形中，如果有三条边分别相等，那么这两个三角形的对应角也必然相等，因为对应边的长度相等，所以两个三角形可以通过边边边(SSS)判定为全等。
边边边(SSS)判定全等总结词当两个三角形的两个角和一条对应边相等时，这两个三角形全等。
详细描述在两个三角形中，如果有两个角相等，并且这两个角所夹的对应边也相等，那么这两个三角形的对应角也必然相等，因为已经有两个角相等，所以两个三角形可以通过角角边(ASA)判定为全等。
角角边(ASA)判定全等当两个三角形的两个对应角和一条边相等时，这两个三角形全等。
总结词在两个三角形中，如果有两个对应角相等，并且这两个角所夹的对应边也相等，那么这两个三角形的对应边也必然相等，因为已经有两个角相等，所以两个三角形可以通过角边角(SAS)判定为全等。
详细描述角边角(SAS)判定全等边角边(SSA)判定全等总结词当两个三角形的两条对应边和夹角相等时，这两个三角形全等。
详细描述在两个三角形中，如果有两条对应边相等，并且这两条对应边所夹的角也相等，那么这两个三角形的对应角也必然相等，因为已经有两条对应边相等，所以两个三角形可以通过边角边(SSA)判定为全等。
但是需要注意，这种方法不能用来判断两个锐角三角形的全等。
03全等三角形的证明举例总结词边边边(SSS)是全等三角形判定中最基础的方法之一，通过三边对应相等的两个三角形全等。
详细描述已知两个三角形的三条边分别为a、b、c和A、B、C，且a=A、b=B、c=C，则这两个三角形全等。
《1.2怎样判定三角形全等(1)》
《1.2怎样判定三角形全等(1)》-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1怎样判定三角形全等（1）学习目标1、已知三角形的二边及夹角会做三角形，熟记三角形全等的判定（一），会应用“SAS”判定两个三角形全等．2、经历探索“SAS”判定全等三角形的过程，解决简单的问题．培养有条理的思考和表达能力，形成良好的合作意识。
学习重点掌握“SSS”判定两个三角形全等的方法，及证明问题的步骤和依据.学习难点掌握图形特征，寻找适合条件的两个三角形一次备课（一磨）二次备课（二磨）【课前延伸案】【复习回顾】1、什么叫全等三角形2、已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边角【课内探究案】【环节一：自主学习】思考：1.满足以上这六个条件可以保证△ABC ≌△ DEF吗2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC ≌△ DEF吗探究： 1.只给一个条件（1）只给一条边时；（2）只给一个角时；交流发现：只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况①两边；②一边一角；③两角。
结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。
【环节二：合作探究】.1、如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况①三角；②三边；③两边一角；④两角一边。
2、已知△ABC，画一个△A′B′C′使A B =A′B′,A C =A′ C ′, ∠A =∠A′然后将画的三角形减下来与已知△ABC重合，你有什么发现结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等【环节三：精讲点拨】判定方法1：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(简写成“边角边”或“SAS”用符号语言表达为;在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）【环节四：有效训练】1.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：(1)如图，在△AOB和△DOC中AO=DO(已知)______=________( )BO=CO(已知)∴△AOB≌△DOC（）(2)如图，在△AEC和△ADB中AE =AD (已知)_____= ______( )AC= AB (已知)∴△AEC≌△ADB（）2、已知: 如图，AC=AD，∠CAB=∠DAB.△ABC与△ADC全等吗说明你的理由3、.已知: 如图AC=BD，∠CAB= ∠DBA，你能判断BC=AD吗说明理由。
2022年数学精品初中教学设计《怎样判定三角形全等》 教案
学生分组讨论、探索、归纳, 最后以组为单位出示结果并作补充交流．结果展示：给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边．①3cm3cm3cm30︒30︒30︒②50︒50︒30︒30︒③6cm4cm4cm6cm可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等． 3、给出三个条件画三角形, 你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有四种可能．即：两边一内角、两内角一边、三内角、三条边． 这节课我们先来探索“两边一内角〞的情况．一个三角形的三条边长分别为AB=6cm 、BC=8cm 、∠B=45°你能画这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比拟, 它们全等吗？ 1．作图方法：先画一线段AB, 使得AB=6cm, 再用量角器画∠B=45°, 再量取BC=8cm, 连接AC.2．以小组为单位, 把剪下的三角形重叠在一起, 发现都能够重合．这说明这些三角形都是全等的．3．特殊三角形有这样的规律, 要是任意画一个三角形ABC, 根据前面作法, 同样可以作出一个三角形A ′B ′C ′, 使AB=A ′B ′、BC=B ′C ′、∠B=∠B ′．将△A ′B ′C ′剪下, 发现两三角形重合．这反映了一个规律： 两条边及 的两个三角形全等, 简写为“ 〞．用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程, 叫做证明三角形全等．所以“SAS 〞是证明三角形全等的一个依据． 三、例题讲解：例1、如图, AB=AD,∠BAC=∠DAC,△ABC 与△ADC 全等吗?学生口述, 教师展示解答过程．一、教材分析1、地位作用：随着课改的深入, 数学更贴近生活, 更着眼于解决生产、经营中的问题, 于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题. 这类问题的解答依据是“两点之间, 线段最短〞或“垂线段最短〞, 由于所给的条件的不同, 解决方法和策略上又有所差异. 初中数学中路径最短问题, 表达了数学来源于生活, 并用数学解决现实生活问题的数学应用性.2、目标和目标解析：〔1〕目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题, 体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.〔2〕目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点〞“河〞抽象为数学中的线段和最小问题, 能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间, 线段最短〞问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中, 体会轴对称的“桥梁〞作用, 感悟转化思想.3、教学重、难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间, 线段最短〞问题教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题突破难点的方法：利用轴对称性质, 作任意点的对称点, 连接对称点和点, 得到一条线段, 利用两点之间线段最短来解决.二、教学准备：多媒体课件、导学案三、教学过程根本思路：由于两点之间线段最短, 所以首先可连接PQ , 线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC , 这样问题就转化为“点P , Q 在直线BC 的同侧, 如何在BC 上找到一点R , 使PR 与QR 的和最小〞． 问题5 造桥选址问题 如图, A 和B 两地在一条河的两岸, 现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？〔假定河的两岸是平行的直线, 桥要与河垂直〕思维分析：1、如图假定任选位置造桥ＭＮ, 连接ＡＭ和ＢＮ, 从A 到B 的路径是AM+MN+BN, 那么怎样确定什么情况下最短呢？2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？思维点拨：改变AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？〔估计有以下方法〕 1、把A 平移到岸边. 2、把B 平移到岸边.3、把桥平移到和A 相连.独立完成, 交流经验观察思考, 动手画图,用轴对称知识进行解决各抒己见体会转化思想,体验轴对称知识的应用动手体验B AＭ Ｎ B A A B C P Q 山河岸大桥求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题要找到其中一个点关于这条直线的对称点, 连接对称点与另一个点那么与该直线的交点即为所求．如下图, 点A , B 分别是直线l 同侧的两个点, 在l 上找一个点C , 使CA ＋CB 最短, 这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′, 那么点C 是直线l 与AB ′的交点．2.如图, A 和B 两地之间有两条河, 现要在两条河上各造一座桥MN 和PQ.桥分别建在何处才能使从A 到B 的路径最短？〔假定河的两岸是平行的直线, 桥要与河岸垂直〕A B如图, 问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥MN 和PQ 在中间, 且方向不能改变, 仍无法直接利用“两点之间, 线段最短〞解决问题, 只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到A 点处、都平移到B 点处、MN 平移到A 点处, PQ 平移到B 点处Q NA BM P .〔二〕变式训练：如图, 小河边有两个村庄A , B , 要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．(1)假设要使厂部到A , B 村的距离相等, 那么应选择在哪建厂？ (2)假设要使厂部到A , B 两村的水管最短, 应建在什么地方？〔三〕综合训练：茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会, 桌子摆成如图a 所示两直排(图中的AO , BO ), AO 桌面上摆满了橘子, OB 桌面上摆满了糖果, 站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果, 然后到D 处座位上, 请你帮助他设计一条行走路线, 使其所走的总路程最短？独立思考, 合作交流.想.提炼方法, 为课本例题奠定根底.图a 图b。
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两对边和它的夹角 两对边和它一边的对角
两对角和它的夹边
判别三角 （2）两对角和 形全等的 一对边分别相等 三个条件
两对角和一角的对边
（3）三对边分别相等 （4）三对角分别相等 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等， 简写成“边角边”或“SAS”.
30° 45°
30° 45° 30° 45°
（3）两对边分别相等时 如：
4cm 4cm 6cm来自两个条件不能判定三角形全等
3
寻求判别三角形全等的条件
（1）两对边和 一对角分别相等
两对边和它的夹角 两对边和它一边的对角
两对角和它的夹边
（2）两对角和 三个条件 一对边分别相等
两对角和一角的对边
（3）三对边分别相等 （4）三对角分别相等
A
D
\\ \
\\ \
B
C
E
F
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等， 简写成“边角边”或“SAS”.
符号语言：在△ABC和△ DEF中，
AB=DE ∠B=∠E BC=EF ∴ △ABC≌△DEF (SAS)
例1
如图，已知 AB=AD ，∠BAC= ∠DAC △ABC 和△ADC 全等吗？说明你C 的理由. D B
A
D
B
C
E
F
已知：△ABC ≌ △DEF,找出其中相等的边和角
△ABC ≌ △DEF
AB=DE，BC=EF，CA=FD ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
反之，判别两个三角形全等需要哪些条件？
1
寻求判别三角形全等的条件
（1）一对边相等
一个条件
（2）一对角相等
（1）只给一对边相等时 如：
3cm
3cm
3cm
（2）只给一对角相等时 如：
45°
45°
45°
一个条件
不能判定三角形全等
2
寻求判别三角形全等的条件
（1）一对边和一对角分别相等
两个条件
（2）两对角分别相等
（3）两对边分别相等
（1）一对边和一对角分别相等时 如：
30° 3cm
30° 3cm
30° 3cm
（2）两对角分别相等时 如：
A
注意: 要充分利用图形中“公共边”这个条 件.
如图，AB=AC，AD=AE，△ABE和△ACD全等吗？
请说明理由.
B D
A E C
注意: 要充分利用图形中“公共角”这个条 件.
A 如图,已知AC 与 BD相交于点O， OA=OC，OB=OD，△AOB与△COD全等 吗？说明你的理由. D C
B
O
例2
为测量一池塘边上不能直接到达的A，B之间的 距离，小亮设计了如下方案：先在平地上取一个可 直接到达A，B的点C，然后在射线AC上取一点D， 使DC=AC，在射线BC上取一点E，使EC=BC. 最 后测量DE的长，那么DE的长就是A，B之间的距 离.他的方案对吗？为什么？
A
B
·C
E
D
归纳总结