2017襄阳四中高考数学五模(文科)

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湖北省襄阳四中2017届高三下学期5月适应性考试文综历史试题含答案

绝密★启用前襄阳四中2017年普通高等学校招生全国统一考试（适应性）文科综合能力测试本试题卷共15页，46题(含选考题)。

全卷满分300分。

考试用时150分钟。

★祝考试顺利★一、选择题（本卷共35小题，每小题4分,共140分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

24．殷商西周时期被称为青铜时代,该时期青铜器纹饰多是凌驾于世间存在的种种具体动物形象之上的抽象的饕餮图案.到了战国年代，“饕餮失其权威，多缩小而降低于附庸地位”.这反映了A．青铜铸造工艺出现了衰退B．动荡时代人们内心的彷徨C．礼崩乐坏造成贵族制衰落D．百家争鸣带来的思想纷呈文科综合试卷第6页（共15页)25．北魏孝文帝时察举制再度进入盛期，“州举茂异，郡贡孝廉，对扬（面君奏对)王庭，每年逾众”.北齐的地方长官还对秀才进行初试，这实际就是后世“乡试”制度的起源。

材料说明了A．科举制度在北魏时期形成B．察举制在向科举制进化C．察举制已经衰落D．南北朝时期注重选拔寒门人才26．唐诗反映了唐代社会生活的方方面面。

其中，白居易“江州司马青衫湿”（《琵琶行》）、“暗淡绯衫称老身”(《故衫》)等与服饰有关的诗句折射出唐代A．社会生活的多姿多彩B．物质生活的市民倾向C．等级森严的礼仪制度D．开放多元的精神风貌27．祈风与祭海对于海商来说是一项必不可少、神圣而重要的活动.在宋代，朝廷直接派遣官员出面主持这项活动，并把海商信仰之神及祭祀活动兴隆的地方赐以封位和名号。

该行为在实质上反映了A．通过神的力量控制海商以增加财政收入B．皇权与神权相结合以昭示皇权至高无上C．封建政府加强对海外贸易的控制与干预D．祭海祈风是海商贸易活动重要组成部分28．广州地方官府在处理中外纠纷时,倘若中国人杀了外国人，官厅绝不偏袒，总是杀人者抵死，所以外国人很满意。

只有外国人杀中国人的案子麻烦，中国会要求外国人也交凶抵死。

不过在十八世纪中叶以前，外人遵命者多，以后则拒绝交凶，拒绝接受中国官厅的审理。

湖北省八校联考(荆州中学、襄阳五中、襄阳四中等)高考

2017年湖北省八校联考（荆州中学、襄阳五中、襄阳四中等）高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z=，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则（∁U A）∩B=（）A．{7}B．{3，5}C．{1，3，6，7}D．{1，3，7}3．下列选项中说法正确的是（）A．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件B．向量，满足，则与的夹角为锐角C．若am2≤bm2，则a≤bD．“∃x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≥0”4．若等差数列{a n}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值等于（）A．4 B．5 C．6 D．75．过双曲线﹣=1（b＞0）的左焦点的直线交双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=6，这样的直线可以作2条，则b的取值范围是（）A．（0，2]B．（0，2） C．（0，]D．（0，）6．已知若，是夹角为90°的两个单位向量，则=3﹣，=2+的夹角为（）A．120°B．60°C．45°D．30°7．a=（﹣cosx）dx，则（ax+）9展开式中，x3项的系数为（）A．﹣B．﹣C．D．8．如图是求样本x1、x2、…x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（）A．S=S+x n B．S=S+C．S=S+n D．S=S+9．设F为抛物线x2=4y的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若++=，则|FA|+|FB|+|FC|的值为（）A．3 B．6 C．9 D．1210．函数y=f（x）的定义域是R，若对于任意的正数a，函数g（x）=f（x+a）﹣f（x）都是其定义域上的减函数，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B． C．D．11．公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（d）的立方成正比”，此即V=kd3，与此类似，我们可以得到：（1）正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ma3；（2）正方体的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=na3；（3）正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ta3；那么m：n：t=（）A．1：6：4 B．：12：16 C．：1： D．：6：412．记f（n）为最接近（n∈N*）的整数，如f（1）=1，f（2）=1，f（3）=2，f（4）=2，f（5）=2，…，若+++…+=4054，则正整数m的值为（）A．2016×2017 B．20172C．2017×2018 D．2018×2019二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，则|φ|的最小值为．14．袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸得红球”为事件A，“摸得的两球同色”为事件B，则概率P（B|A）为．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为．16．已知动点P（x，y）满足：，则x2+y2﹣6x的最小值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若0＜A＜，a=6，且△ABC的面积S=，求△ABC的周长．18．某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求频率分布表中x、y的值，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人重随机抽取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35，40）内的人数为X，求X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=1，M为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）设直线AM与平面ABCD所成的角为α，二面角M﹣AC﹣B的大小为β，求sinαcosβ的值．20．设椭圆E： +=1（a＞0）的焦点在x轴上．（Ⅰ）若椭圆E的离心率e=a，求椭圆E的方程；（Ⅱ）设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为直线x+y=2与椭圆E的一个公共点，直线F2P交y轴于点Q，连结F1P，问当a变化时，与的夹角是否为定值，若是定值，求出该定值，若不是定值，说明理由．21．设函数f（x）=x2﹣a x（a＞0，且a≠1），g（x）=f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数）．（1）当a=e时，求g（x）的极大值点；（2）讨论f（x）的零点个数．请考生在第22、23题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．将圆x2+y2=1上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+y+1=0与C的交点为P1、P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【选修4-5：不等式选讲】23．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c的最大值为10．（1）求a+b+c的值；（2）求（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2的最小值，并求出此时a、b、c的值．2017年湖北省八校联考（荆州中学、襄阳五中、襄阳四中等）高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z=，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求得z的坐标得答案．【解答】解：∵z==，∴z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，﹣3），在第三象限．故选：C．2．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则（∁U A）∩B=（）A．{7}B．{3，5}C．{1，3，6，7}D．{1，3，7}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】由补集定义先求出C U A，再由交集定义能求出（∁U A）∩B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，∴C U A={1，3，6，7}，（∁U A）∩B={1，3，7}．故选：D．3．下列选项中说法正确的是（）A．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件B．向量，满足，则与的夹角为锐角C．若am2≤bm2，则a≤bD．“∃x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≥0”【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】A，根据p∨q、p∧q的真值表判定；B，根据向量数量积的定义，向量，满足，则与的夹角为锐角或同向；C，如果m2=0时，am2≤bm2成立，a≤b不一定成立；D，“∃x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＞0”．【解答】解：对于A，若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，则“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的必要不充分条件，正确；对于B，根据向量数量积的定义，向量，满足，则与的夹角为锐角或同向，故错；对于C，如果m2=0时，am2≤bm2成立，a≤b不一定成立，故错；对于D，“∃x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＞0”，故错．故选：A．4．若等差数列{a n}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a1，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时n的值．【解答】解：由a5是a2与a6的等比中项，可得a52=a2a6，由等差数列{a n}的公差d为2，即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10），解得a1=﹣11，a n=a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，由a1＜0，a2＜0，…，a6＜0，a7＞0，…可得该数列的前n项和S n取最小值时，n=6．故选：C．5．过双曲线﹣=1（b＞0）的左焦点的直线交双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=6，这样的直线可以作2条，则b的取值范围是（）A．（0，2]B．（0，2） C．（0，]D．（0，）【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的通径与弦长丨AB丨的关系，即可求得b的取值范围．【解答】解：由题意过双曲线﹣=1（b＞0）的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=6，A，B位于双曲线的左支，即当直线的斜率不存在时，丨AB丨最短，这样的直线有且仅有两条，则=b2＜|AB|=6，解得0＜b＜，故选D．6．已知若，是夹角为90°的两个单位向量，则=3﹣，=2+的夹角为（）A．120°B．60°C．45°D．30°【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知可得，，进一步求得，代入数量积求夹角公式得答案．【解答】解：∵，是夹角为90°的两个单位向量，∴，，∴=；=；=（3﹣）•（2+）=．设与的夹角为θ， ∴cosθ==，∵θ∈[0°，180°]，∴θ=45°．故选：C ． 7．a=（﹣cosx ）dx ，则（ax +）9展开式中，x 3项的系数为（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【考点】DB ：二项式系数的性质；67：定积分．【分析】a=（﹣cosx ）dx==﹣1，则（ax +）9即=﹣，通过的通项公式即可得出．【解答】解：a=（﹣cosx ）dx==﹣1，则（ax +）9即=﹣，的通项公式T r +1==x 9﹣2r ．令9﹣2r=3，交点r=3．∴x 3项的系数==﹣．故选：A ．8．如图是求样本x 1、x 2、…x 10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（）A．S=S+x n B．S=S+C．S=S+n D．S=S+【考点】EF：程序框图；BB：众数、中位数、平均数．【分析】由题目要求可知：该程序的作用是求样本x1，x2，…，x10平均数，循环体的功能是累加各样本的值，故应为：S=S+x n【解答】解：由题目要求可知：该程序的作用是求样本x1，x2，…，x10平均数，由于“输出”的前一步是“=”，故循环体的功能是累加各样本的值，故应为：S=S+x n故选：A．9．设F为抛物线x2=4y的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若++=，则|FA|+|FB|+|FC|的值为（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由题意可得F（0，1）是三角形ABC的重心，故=1，再由抛物线的定义可得|FA|+|FB|+|FC|=（y1+1）+（y2+1）+（y3+1）=6．【解答】解：抛物线x2=4y焦点坐标F（0，1），准线方程：y=﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）∵++=，∴点F是△ABC重心，则=1，∴y1+y2+y3=3．由抛物线的定义可知：|FA|+|FB|+|FC|=（y1+1）+（y2+1）+（y3+1）=6，∴|FA|+|FB|+|FC|=6，故选B．10．函数y=f（x）的定义域是R，若对于任意的正数a，函数g（x）=f（x+a）﹣f（x）都是其定义域上的减函数，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B． C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据题意列出不等式，进而分析可得在自变量增大的过程中函数值的量要越来越小，分析选项可得答案．【解答】解：根据减函数定义，设x1＞x2g（x1）﹣g（x2）＜0f（x1+a）﹣f（x1）＜f（x2+a）﹣f（x2）f（x1+a）﹣f（x2+a）＜f（x1）﹣f（x2）由此我们可知在自变量增大的过程中函数值的量要越来越小，故有f′（x1）＜f′（x2）∴只有B图象符合故选：B．11．公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（d）的立方成正比”，此即V=kd3，与此类似，我们可以得到：（1）正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ma3；（2）正方体的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=na3；（3）正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ta3；那么m：n：t=（）A．1：6：4 B．：12：16 C．：1： D．：6：4【考点】F3：类比推理．【分析】求出正四面体、正方体、正八面体的体积，类比推力即可得出．【解答】解：由题意，正四面体的体积V==a3；正方体的体积V=a3；正八面体的体积V=2×=a3，∴m：n：t=1：6：4，故选A．12．记f（n）为最接近（n∈N*）的整数，如f（1）=1，f（2）=1，f（3）=2，f（4）=2，f（5）=2，…，若+++…+=4054，则正整数m的值为（）A．2016×2017 B．20172C．2017×2018 D．2018×2019【考点】3T：函数的值．【分析】写出前几项，找出规律，即可求得m的值．【解答】解：由=1，=1，2个=，=，=，=，4个=，=，=，=，=，=，6个=，=，…=，8个∴…=，∴+++…+=1×2+×4+×6+…+×2n=4034，则=4034，则2n=4034，则n=2017，∴总共有2017个，则=，故m的值为2017×2018；故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，则|φ|的最小值为．【考点】HB：余弦函数的对称性；HW：三角函数的最值．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，求得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，∴2•+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=kπ﹣，k∈Z，则|φ|的最小值为，故答案为：．14．袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸得红球”为事件A，“摸得的两球同色”为事件B，则概率P（B|A）为．【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】求出事件A发生的概率，事件AB同时发生的概率，利用条件概率公式求得P（B|A）．【解答】解：由P（A）=，P（AB）==，由条件概率P（B|A）==，故答案为：．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为41π．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是的三棱锥，将三棱锥放在对应的正方体中，把三棱锥A﹣BCD的外接球转化为对应三棱柱的外接球，结合图象由余弦定理、正弦定理求出外接球的半径，代入球的表面积公式求解即可．【解答】解：由三视图知该几何体是如图所示的三棱锥A﹣BCD将该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，E是棱的中点，所以三棱锥A﹣BCD和三棱柱DEF﹣ABC的外接球相同，设外接球的球心为O、半径是R，△ABC外接圆的圆心是M，则OM=2，在△ABC中，AB=AC=2，由余弦定理得，cos∠CAB===，所以sin∠CAB==，由正弦定理得，2CM==5，则CM=，所以R=OC==则外接球的表面积S=4πR2=41π，故答案为：41π．16．已知动点P（x，y）满足：，则x2+y2﹣6x的最小值为．【考点】7C：简单线性规划．【分析】不等式组中的第三个不等式可化为x≤y，作出该不等式组表示的平面区域，x2+y2﹣6x的几何意义求最小值．【解答】解：由，∵y+＞y+|y|≥0，∴，∵函数f（x）=是减函数，∴x≤y，∴原不等式组化为．该不等式组表示的平面区域如下图：∵x2+y2﹣6x=（x﹣3）2+y2﹣9．由点到直线的距离公式可得，P（3，0）区域中A（）的距离最小，所以x2+y2﹣6x的最小值为．故答案为：﹣．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2asinB=b ．（1）求角A 的大小；（2）若0＜A ＜，a=6，且△ABC 的面积S=，求△ABC 的周长．【考点】HR ：余弦定理；HP ：正弦定理．【分析】（1）由2asinB=b ，根据正弦定理化简即可求角A 的大小．（2）利用“整体”思想，利用余弦定理求解b +c 的值，即可得△ABC 的周长．【解答】解：（1）由题意2asinB=b ．由正弦定理得：2sinAsinB=sinB ．∵0＜B ＜π，sinB ≠0∴sinA=．∵0＜A ＜π．∴A=或．（2）∵△ABC 的面积S=，即bcsinA=，可得：bc=．由余弦定理得，a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b +c ）2﹣3bc ，即36=（b +c ）2﹣28，从而b+c=8故△ABC的周长l=a+b+c=14．18．某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求频率分布表中x、y的值，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人重随机抽取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35，40）内的人数为X，求X的分布列及数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用频率分布直方图的性质即可得出．（II）各层之间的比为5：20：35：30：10=1：4：7：6：2，且共抽取20人，可得年龄在[35，40）内层抽取的人数为7人．X可取0，1，2，P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（I）由图知，P（25≤x＜30）=0.01×5=0.05，故x=100×0.05=5；P（30≤x＜35）=1﹣（0.05+0.35+0.3+0.1）=1﹣0.8=0.2故y=100×0.2=20，其==0.04…（II）∵各层之间的比为5：20：35：30：10=1：4：7：6：2，且共抽取20人，∴年龄在[35，40）内层抽取的人数为7人．X可取0，1，2，P（X=k）=，可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=．故X的分布列为：故E（X）=0×+1×+2×=．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=1，M为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）设直线AM与平面ABCD所成的角为α，二面角M﹣AC﹣B的大小为β，求sinαcosβ的值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结OM，推导出OM∥PB，由此能证明PB∥平面ACM．（2）取DO的中点N，连结MN，AN，则MN∥PO，推导出∠MAN=α为所求的直线AM与平面ABCD所成的角，从而求出sinα=，取AO的中点R，连结NR ，MR ，则∠MRN 为二面角M ﹣AC ﹣B 的补角，即为π﹣β．从而得到cos （π﹣β）=﹣cosβ=，由此能求出sinαcosβ．【解答】证明：（Ⅰ）连结OM ，在△PBD 中， ∵O 为AC 的中点，M 为PD 的中点．∴OM ∥PB ， ∵OM ⊂平面ACM ，PB ⊄平面ACM ， ∴PB ∥平面ACM ；解：（2）取DO 的中点N ，连结MN ，AN ，则MN ∥PO ， ∵PO ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ，∴∠MAN=α为所求的直线AM 与平面ABCD 所成的角．∵MN=PO=，在Rt △ADO 中，∵DO==，AN=DO=，在Rt △AMN 中，AM==，∴sinα=，取AO 的中点R ，连结NR ，MR ，∵NR ∥AD ，∴NR ⊥OA ，MN ⊥平面ABCD ，由三垂线定理知MR ⊥AO ，故∠MRN 为二面角M ﹣AC ﹣B 的补角，即为π﹣β．∵NR=，MN=，∴cos （π﹣β）=﹣cosβ=，∴sinαcosβ==﹣．20．设椭圆E ：+=1（a ＞0）的焦点在x 轴上．（Ⅰ）若椭圆E的离心率e=a，求椭圆E的方程；（Ⅱ）设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为直线x+y=2与椭圆E的一个公共点，直线F2P交y轴于点Q，连结F1P，问当a变化时，与的夹角是否为定值，若是定值，求出该定值，若不是定值，说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题知c2=a2﹣（8﹣a2）=2a2﹣8，由得a4﹣25a2+100=0，可得a2（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），则c2=2a2﹣8，联立得点P坐标，写出直线PF2的方程求出点Q的坐标．由=，可得与的夹角【解答】解：（1）由题知c2=a2﹣（8﹣a2）=2a2﹣8，由得a4﹣25a2+100=0，故a2=5或20（舍），故椭圆E的方程为；（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），则c2=2a2﹣8，联立得8x2﹣4x+a4=0，即（2﹣a2）2，故，，直线PF2的方程为，令x=0，则，即点Q的坐标为（0，），故，故=故与的夹角为定值．21．设函数f（x）=x2﹣a x（a＞0，且a≠1），g（x）=f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数）．（1）当a=e时，求g（x）的极大值点；（2）讨论f（x）的零点个数．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）令g′（x）=0求出g（x）的极值点，判断g′（x）的符号变化即可得出答案；（2）f′（x）=2x﹣lna•a x，对a和x进行讨论，利用零点的存在性定理，结合函数的图象判断零点的个数．【解答】解：（1）a=e时，g（x）=2x﹣e x，g′（x）=2﹣e x，令g′（x）=0得：2﹣e x=0，解得x=ln2，∴当x＜ln2时，g′（x）＞0；当x＞ln2时，g′（x）＜0，∴g（x）的极大值点为ln2．（2）（Ⅰ）当a＞1时，f′（x）=2x﹣lna•a x，∴当x≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，∵f（﹣1）=1﹣＞0，f（0）=﹣1＜0，∴f（x）在（0，+∞）有一个零点；当x＞0时，令f（x）=0得x2=a x，即lna=，令h（x）=，则h′（x）=．∴当0＜x＜e时，h′（x）＞0；当x＞e时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，做出y=h（x）的图象如下图，由图象可知：①当lna＞即a＞e时，f（x）在（0，+∞）上无零点；②当lna=即a=e时，f（x）在（0，+∞）上有1个零点；③当0＜lna＜即1＜a＜e时，f（x）在（0，+∞）上有2个零点；（Ⅱ）当0＜a＜1时，f′（x）=2x﹣lna•a x，∴当x＞0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵f（0）=﹣l＜0，f（1）=1﹣a＞0，∴f（x）在（0，+∞）上有1个零点；当x＜0时，令f（x）=0得lna=，令H（x）=，则H′（x）=，∴当﹣e＜x＜0时，H′（x）＞0，当x＜﹣e时，H′（x）＜0，∴H（x）在（﹣∞，﹣e）上单调递减，在（﹣e，0）上单调递增，作出y=H（x）的函数图象如图：由图象可知：当lna＜﹣即0时，f（x）在（﹣∞，0）上无零点；当lna=﹣即a=e时，f（x）在（﹣∞，0）上有1个零点；当﹣＜lna＜0即e＜a＜1时，f（x）在（﹣∞，0）上有2个零点；综上：①当0＜a＜e或a＞e时，f（x）有1个零点；②当a=e或a=e时，f（x）有2个零点；③当e＜a＜1或1＜a＜e时，f（x）有3个零点．请考生在第22、23题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．将圆x2+y2=1上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+y+1=0与C的交点为P1、P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由坐标变换公式得x=3x′，y=y′，代入x2+y2=1中，得9x'2+y'2=1，由此能求出曲线C的参数方程．（Ⅱ）联立，得P1（﹣，0），P2（0，﹣1），由此能求出过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）∵将圆x2+y2=1上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得曲线C．∴由坐标变换公式，得x=3x′，y=y′，代入x2+y2=1中，得9x'2+y'2=1，故曲线C的参数方程为．（Ⅱ）联立，得或，由题知，P1（﹣，0），P2（0，﹣1），P1 P2线段中点M（﹣，﹣），==﹣3，故P1 P2线段中垂线的方程为y+=（x+），即3x﹣9y﹣4=0，即极坐标方程为3ρcosθ﹣9ρsinθ﹣4=0．【选修4-5：不等式选讲】23．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c的最大值为10．（1）求a+b+c的值；（2）求（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2的最小值，并求出此时a、b、c的值．【考点】RA：二维形式的柯西不等式；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）利用绝对值不等式，求出f（x）的最大值为a+b+c，即可求a+b+c 的值；（2）利用柯西不等式，即可得出结论．【解答】解：（1）f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c≤|b+a|+c，当且仅当x≥b时等号成立，∵a＞0，b＞0，∴f（x）的最大值为a+b+c．又已知f（x）的最大值为10，所以a+b+c=10．（2）由（1）知a +b +c=10，由柯西不等式得[（a ﹣1）2+（b ﹣2）2+（c ﹣3）2]（22+12+12）≥（a +b +c ﹣6）2=16，即（a ﹣1）2+（b ﹣2）2+（c ﹣3）2≥当且仅当（a ﹣1）=b ﹣2=c ﹣3，即a=，b=，c=时等号成立．2017年6月3日。

2017年全国统一高考数学试卷(文科)全国卷1(详解版)

2017年全国统一高考数学试卷（文科)（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）（2017•新课标Ⅰ)已知集合A=｛x|x＜2},B={x｜3﹣2x＞0｝，则（)A．A∩B=｛x｜x＜｝B．A∩B=∅C．A∪B={x｜x＜}D．A∪B=R2．（5分）（2017•新课标Ⅰ）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2,…，x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…,x n的平均数B．x1，x2,…，x n的标准差C．x1，x2，…,x n的最大值D．x1，x2，…,x n的中位数3．（5分)(2017•新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是（)A．i(1+i)2B．i2（1﹣i)C．（1+i)2D．i（1+i)4．(5分）（2017•新课标Ⅰ)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）(2017•新课标Ⅰ）已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点，P是C上一点,且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3)，则△APF的面积为（）A．B．C．D．6．(5分）（2017•新课标Ⅰ）如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点，M,N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是（)A．B．C．D．7．(5分）(2017•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（)A．0B．1C．2D．38．（5分)（2017•新课标Ⅰ）函数y=的部分图象大致为（)A．B．C．D．9．（5分）（2017•新课标Ⅰ)已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x)，则（）A．f(x）在（0,2）单调递增B．f（x）在（0,2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x)的图象关于点（1，0）对称10．（5分)（2017•新课标Ⅰ）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中,可以分别填入（)A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+211．(5分）（2017•新课标Ⅰ)△ABC的内角A,B，C的对边分别为a,b，c，已知sinB+sinA(sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（）A．B．C．D．12．（5分）(2017•新课标Ⅰ)设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是（）A．（0，1]∪［9,+∞）B．（0，］∪［9,+∞)C．(0,1]∪[4，+∞)D．（0，]∪[4，+∞）二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考状元学习秘籍

1、福建北大保送生吴盛祥：重点抄本子上随时看吴盛祥同学就以全国化学竞赛金奖的成绩保送上北京大学。

他向记者透露了自己的学习秘诀：上课认真听，做作业要挑自己的弱项先做，不能先做自己喜欢的题目，否则光做得爽，但却无法提升自己的弱项。

在化学学习方面，他总是把知识要点进行归纳总结，找出一定的规律来背，他说，这样就容易记住。

同时，他喜欢把课本中的重点抄在本子上，随身携带，有空就看看。

仅高三期间，他就抄了40多个手抄本。

【理科状元】陈思恒，男，裸分691，各科分数为：语文118分，数学137分，英语144分，理综292分；曾楚元，女，裸分691，各科分数为：语文125分，数学135分，英语147分，理综284分。

均毕业于厦门外国语学校。

陈的经验：多练习，做题保持手感。

曾的经验：遇到难题与老师妈妈沟通；淡定、冷静善于与老师交流。

吴灈杭，女，裸分691，各科分数为：语文129分，数学138分，英语142分，理综282分。

毕业于泉州市第五中学。

刘泰然，男，裸分691，各科分数为：语文124分、数学139分、英语140分、理综288分。

毕业于福州一中。

经验：每做一道题目都要真正弄懂；学习英语要在生活中使用它。

【文科状元】张翔雁，女，裸分667，毕业于泉州市第五中学。

2、吉林【理科状元】耿天毅，男，裸分706分，各科成绩：语文129分，数学149分，理综285分，英语143分。

毕业于吉林油田高中。

喜欢的格言是：别想一下造出大海，必须先由小河开始。

学习方法上，一是，做题时，吸取经验，保证做过的错题不会再错。

二是，英语成绩一开始不是很好，后来，天天多做卷练习，靠日常积累成绩逐渐提高。

三是，没有准备错题本，他觉得平时保证不粗心大意，基本上就能保证数学分在144分以上。

【文科状元】刘伊恬，女，裸分664。

毕业于东北师大附中。

经验：在学习上是一个稳扎稳打的孩子，很有思想，又乖巧可爱，是老师眼里是完美优秀的好学生。

平时学习状态特别好，认真、扎实，喜欢积极主动地找老师问问题。

2017-2018学年湖北省武汉市四校联合体高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年湖北省武汉市四校联合体高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知P={-1，0，}，Q={y|y=sinθ，θ∈R}，则P∩Q=（）A. B. C. D. 0，2.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A. 甲比乙先出发B. 乙比甲跑的路程多C. 甲、乙两人的速度相同D. 甲比乙先到达终点3.设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A. 0B. 1C.D. 54.x）D.5.已知函数：f（x）=a sin（πx+α）+b cos（πx+β），且f（-1）=3，则f（2018）的值为（）A. B. 1 C. 3 D.6.如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=，据此图象可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A. 10B. 8C. 6D. 57.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为（）A. 1B. 2C.D.8.已知，则=（）A. B. C. D.9.函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果，∈，，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A. B. C. D. 110.某函数同时具有以下性质：最小正周期是；图象关于直线对称；在上是增函数；一个对称中心为则它可以是A. B. C. D.11.幂函数y=x a，当a取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A（1，0），B（0，1），连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x a，y=x b的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么a-=（）A. 0B. 1C.D. 212.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在平面直角坐标系中，角α与角β均以x轴非负半轴为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α-β）=______．14.已知平面内有点：A（-1，1），B（1，2），C（-2，-1），D（3，4），则向量与向量的数量积为______．15.已知函数f（x）=ln+sin x，则关于a的不等式f（a-2）+f（a2-4）＜0的解集是______．16.设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在∈上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”若与在上是“关联函数”，则m的取值范围______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知关于x的方程的两根为sinθ和cosθ，其中θ∈，．求的值；求实数m的值．18.已知函数f（x）=2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．求ω的值；若x∈，求函f（x）的最小值；若将函数f（x）的图象向右移个单位，求所得图象对应的函数g（x）的解析式．19.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=-x2+2x（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围．20.如图，为加强社区绿化建设，欲将原有矩形小花坛ABCD适当扩建成一个较大的矩形花坛AMPN．要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．若设DN=x，则DN为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．21.已知函数f（x）=4cos x sin（x+）-1，（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间（Ⅱ）若sin2x+af（x+）+1＞6cos4x对任意x∈（-，）恒成立，求实数a的取值范围．22.已知函数∈是偶函数．求k的值；若函数的图象与直线没有交点，求a的取值范围；若函数f（x）+x，∈，是否存在实数m使得最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵Q={y|y=sin θ，θ∈R}，∴Q={y|-1≤y≤1}，∵P={-1，0，}，∴P∩Q={-1，0}故选：C．由题意P={-1，0，}，Q={y|y=sinθ，θ∈R}，利用三角函数的值域解出集合Q，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．本题考查两个集合的交集的定义和求法，以及函数的定义域、值域的求法，关键是明确集合中元素代表的意义．2.【答案】D【解析】解：从图中直线的看出：K甲＞K乙；S甲=S乙；甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲先与乙到达．故选：D．根据图象法表示函数，观察甲，乙的出发时间相同；路程S相同；到达时间不同，速度不同来判断即可．本题考查函数的表示方法，图象法．3.【答案】C【解析】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=-1，得f（1）=f（-1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（-1）=-f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．本题考查抽象函数求值的方法，考查函数性质在求函数值中的应用，考查了抽象函数求函数值的赋值法．灵活运用已知条件赋值是迅速解决本题的关键，考查学生的转化与化归思想．4.【答案】C【解析】解：令f（x）=e x-x-2，由图表知，f（1）=2.72-3=-0.28＜0，f（2）=7.39-4=3.39＞0，方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为（1，2），故选：C．令f（x）=e x-x-2，方程e x-x-2=0的根即函数f（x）=e x-x-2的零点，由f（1）＜0，f（2）＞0知，方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为（1，2）．本题考查方程的根就是对应函数的零点，以及函数在一个区间上存在零点的条件．5.【答案】D【解析】解：∵f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），且f（-1）=3，∴asin（-π+α）+bcos（-π+β）=-asinα-bsinβ=3，∴asinα+bsinβ=-3．则f（2018）=asin（2018π+α）+bcos（2018π+β）=asinα+bsinβ=-3，故选：D．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得asinα+bsinβ=-3，再利用诱导公式进行化简f（2018）的值，可得结果．本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=，据此图象可知，这段时间水深最小值为-4+k=2，∴k=6．故这段时间水深（单位：m ）的最大值为4+k=10，故选：A ．根据函数y=Asin （ωx+φ）+k 的最小值为k-A ，最大值为k+A ，得出结论．本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）+k 的部分图象的应用，属于基础题． 7.【答案】C【解析】解：由题意，如图，因为AD=AB ，BE=BC ， ∴，又（λ1，λ2为实数）， ∴，∴λ1+λ2=．故选：C ．作出图形，根据向量的线性运算规则，得，再由分解的唯一性得出λ1与λ2的值即可．本题考查向量基本定理，分解的唯一性是此类求参数题建立方程依据，注意体会这一规律． 8.【答案】A【解析】解：∵cos （x-）=，∴cosx+cos （x-）=cosx+cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x-）=．故选：A．利用两角差的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算得答案．本题主要考查了特殊角的三角函数值及两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由图知，T=2×=π，∴ω=2，因为函数的图象经过（-），0=sin（-+）∵，所以=，∴，令，解得,∴f(x)的对称轴方程为,当k=0时，,且,,故,所以．故选：C．通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可．本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查正余函数的图象和性质，训练了利用排除法求解选择问题，由已知函数的性质逐一核对四个函数，逐一排除得答案，是基础题.．【解答】解：由①可排除A；由②图象关于直线x=对称，可得f（）=±1，而sin（）=1，cos（）=cosπ=-1，cos（）=0，可排除D；由③，当∈时，∈[-]，函数y=sin（）为增函数，∈[0，π]，函数为减函数，排除C．故选B．11.【答案】A【解析】解：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以M（，），N（，），分别代入y=x a，y=x b，a=，b=，∴a-=-=0．故选：A．先根据题意结合图形确定M、N的坐标，然后分别代入y=x a，y=x b求得a，b；最后再求a-的值即得．本题考查指数与对数的互化，幂函数的图象，考查数形结合思想，是基础题．12.【答案】D【解析】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴≈=1093，故选：D．根据对数的性质：T=，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T=，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题．13.【答案】【解析】解：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴sinα=sinβ=，cosα=-cosβ，∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1=．故答案为：．根据角的对称得到sinα=sinβ=，cosα=-cosβ，再由两角差的余弦公式求解．本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，是基础题．14.【答案】15【解析】解：根据题意，A（-1，1），B（1，2），C（-2，-1），D（3，4），则向量=（2，1），向量=（5，5），则向量与向量的数量积•=2×5+1×5=15；故答案为：15．根据题意，由向量的坐标计算公式可得向量与向量的坐标，进而由数量积的坐标公式计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式，属于基础题．15.【答案】（，2）【解析】解：由＞0，求得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）．再根据函数满足f（-x）=ln（）+sin（-x）=-ln-sinx=-f（x），可得函数为奇函数，故关于a的不等式f（a-2）+f（a2-4）＜0，即f（a-2）＜-f（a2-4）=f（4-a2）．再由函数、sinx在的定义域（-1，1）上单调递增，可得函数f（x）在其定义域上单调递增，可得，解得＜a＜2，故答案为（，2）．由＞0，求得函数的定义域为（-1，1）．再根据函数为奇函数，不等式即 f （a-2）＜-f（a2-4）=f（4-a2）．函数f（x）在其定义域上单调递增，可得，从而求得不等式的解集．本题主要考查求函数的定义域、函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．16.【答案】，【解析】解：∵f（x）=x2-3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）-g（x）=x2-5x+4-m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得-＜m≤-2，故答案为．由题意可得h（x）=f（x）-g（x）=x2-5x+4-m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．17.【答案】解：由题意可得，sinθ+cosθ=，=sinθcosθ．∵sinθ+cosθ=，∴====cosθ+sinθ=；由sinθ+cosθ=，得，∴sinθcosθ=，即，则m=．【解析】利用根与系数的关系可得sinθ+cosθ=，=sinθcosθ，然后利用同角三角函数基本关系式求解①②．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】解：∵函数f（x）=2sinωx cosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+）的最小正周期为=π，∴ω=1．由得f（x）=sin（2x+），若x∈，，则2x+∈[，]，sin（2ωx+）∈[，1]，f（x）∈[1，]，f（x）的最小值为1．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右移个单位，所得图象对应的函数g（x）=sin（2x-+）=sin（2x-）．【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求出ω；再利用正弦函数的定义域和值域求得x时，函f（x）的最小值；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得到所得图象对应的函数g（x）的解析式．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．19.【答案】解：（1）设x＜0，-x＞0，则f（-x）=-（-x）2+2（-x）=-x2-2x，又f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），于是x＜0时f（x）=x2+2x，所以f（x）=，＞，，＜．（2）画出函数f（x）的图象，如图所示：要使f（x）在[-1，a-2]上单调递增，结合f（x）的图象知，所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．【解析】（1）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在R上的解析式；（2）由（1）画出函数f（x）的图象，根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出a的取值范围．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用二次函数图象和性质是解决本题的关键．20.【答案】解：∵DC∥AN，∴，∴∴|AM|=，（x＞0）矩形花坛AMPN的面积y=|AM|•|AN|==3（x+，当且仅当x=即x=2时取等号，∴矩形花坛AMPN的面积的最小值24．【解析】先利用相似比建立函数关系，表示出矩形花坛AMPN的面积，然后利用基本不等式求解最值．本题主要考查了一元二次不等式，基本不等式及函数的最值在实际问题中的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题．21.【答案】解：（Ⅰ）由函数f（x）=4cos x sin（x+）-1，可得：f（x）=4cos x（sin x+cos x）-1=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）由（k∈Z），解得：，∈所以：f（x）的单调增区间为（Ⅱ）由题意：当∈，时，＞原不等式等价于a•2cos2x＞6cos4x-sin2x-1，即＞恒成立令=，∵∈，，当x=0时，cos x取得最大值，即cos x=1时，那么g（x）也取得最大值为．因此，＞．【解析】（Ⅰ）先利用两角和余差的基本公式和辅助角公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（Ⅱ）求出f（x+）的值，带到题设中去，化简，求函数在x∈（-，）的最值，即可恒成立，从而求实数a的取值范围．本题考查了三角函数的图象及性质的化简能力和综合运用能力，利用三角函数的由界限求最值和参数问题．属于中档题．22.【答案】解：（1）∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，∴f（-x）=f（x），即 log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx恒成立．∴2kx=log4（4-x+1）-log4（4x+1）===-x，∴k=-（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，则方程log4（4x+1）-x=x+a即方程log4（4x+1）-x=a无解．令g（x）=log4（4x+1）-x==，则函数g（x）的图象与直线y=a无交点．∵g（x）在R上是单调减函数．＞，∴g（x）＞0．∴a≤0（3）由题意函数h（x）=4f（x）+x+m•2x-1=4x+m•2x，x∈[0，log23]，令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]，∵函数y=t2+mt的图象开口向上，对称轴为直线t=-，故当-≤1，即m≥-2时，当t=1时，函数取最小值m+1=0，解得：m=-1，当1＜-＜3，即-6＜m＜-2时，当t=-时，函数取最小值=0，解得：m=0（舍去），当-≥3，即m≤-6时，当t=3时，函数取最小值9+3m=0，解得：m=-3（舍去），综上所述，存在m=-1满足条件．【解析】（1）若函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，则f（-x）=f（x），可得k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，方程log4（4x+1）-x=a无解，则函数g（x）=的图象与直线y=a无交点，则a不属于函数g（x）值域；（3）函数h（x）=4x+m•2x，x∈[0，log23]，令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得m的值．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的值域，函数的单调性，二次函数的图象和性质，难度中档．。

2017届高考数学仿真卷：文科数学试卷(2)(含答案解析)

2017高考仿真卷·文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元))的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y 仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解(1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解(1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),( A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种,则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB·DD1=×2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。

解三角形题型汇总(最新人教版优质教案)( 含解析 )

解三角形图形类问题【方法技巧与总结】解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【题型归纳目录】题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题题型五：中线问题题型六：高问题题型七：重心性质及其应用题型八：外心及外接圆问题题型九：两边夹问题题型十：内心及内切圆问题【典例例题】题型一：妙用两次正弦定理例⒈(2022·全国·高三专题练习)在①cos Bcos C=-b2a+c，②sin Asin B-sin C=b+ca+c，③2S=-3BA⋅BC三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且______，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足∠ACD=π3，AD=3，求BC的取值范围.例⒉(2020·北京·北师大二附中高三期中)如图，四边形ABCD中∠BAC=90∘，∠ABC=30∘，AD⊥CD，设∠ACD=θ.(1)若ΔABC面积是ΔACD面积的4倍，求sin2θ；(2)若∠ADB=π6，求tanθ.例⒊(江苏省南京市宁海中学2022届高三下学期4月模拟考试数学试题)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，A=150∘，点D在边BC上，满足CD=2BD，且sin∠BADb+sin∠CADc=32a．(1)求证：AD=13a；(2)求cos∠ADC．例⒋(广东省2022届高三二模数学试题)如图，已知△ABC 内有一点P ，满足∠PAB =∠PBC =∠PCA =α．(1)证明：PB sin ABC =AB sin α．(2)若∠ABC =90∘，AB =BC =1，求PC ．例⒌(2022·全国·高三专题练习)如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =27，求梯形ABCD 的面积；(2)若AC ⊥BD ，求tan ∠ABD ．例⒍(2022·河南安阳·模拟预测(理))如图，在平面四边形ABCD中，DC =2AD =42，∠BAD =π2，∠BDC =π6．(1)若cos ∠ABD =53，求△ABD 的面积；(2)若∠C =∠ADC ，求BC ．例⒎(2019·安徽省怀远第一中学高三阶段练习(理))ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，设(sin A +sin B+sin C)⋅(sin A+sin B-sin C)=2sin A sin B.(1)求C；(2)若D为BC边上的点，M为AD上的点，CD=1，∠CAB=∠MB D=∠D MB.求AM．例⒏(2022·山东烟台·一模)如图，四边形ABCD中，AB2+BC2+AB⋅BC=AC2．(1)若AB=3BC=3，求△ABC的面积；(2)若CD=3BC，∠CAD=30∘，∠BCD=120∘，求∠ACB的值．例⒐(2022·全国·高三专题练习)在①AB=2AD，②sin∠ACB=2sin∠ACD，③S△ABC=2S△ACD这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=π，BC=CD=2，且______.(1)证明：tan∠ABC=3tan∠BAC；(2)若AC=3，求四边形ABCD的面积.例⒑(2022·福建·厦门一中高一阶段练习)在平面四边形ABCD 中，∠ABC =π3，∠ADC =π2，BC =4.(1)若△ABC 的面积为33，求AC ；(2)若AD =33，∠BAC =∠DAC ，求tan ∠DAC .例⒒(2022·湖北武汉·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD 中，∠BCD =π2，AB =1，∠ABC =3π4.(1)当BC =2，CD =7时，求△ACD 的面积；(2)当∠ADC =π6，AD =2时，求cos ∠ACD .题型二：两角使用余弦定理例⒓(2022·湖北·襄阳四中模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A 的平分线AD 交BC 边于点D .(1)证明：AB AC=DB DC ，AD 2=AB ⋅AC -DB ⋅DC ；(2)若AD =1，A =2π3，求DB ⋅DC 的最小值.例⒔(2022·湖北武汉·二模)如图，△ABC内一点P满足PB⊥PC,AC=BP=2.(1)若AB=6,PC=2，求sin∠ACP的值；(2)若AB=5,sin∠ACP=110，求AP的长.例⒕(2022·江苏·泗阳县实验高级中学高一阶段练习)如图，在凸四边形ABCD中，已知AB=AD=4，BC=6．(1)若∠ADB=π6，C=π3，求cos∠BDC的值；(2)若CD=2，四边形ABCD的面积为4，求cos A+C的值．例⒖(2021·全国·高考真题)记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC 上，BD sin∠ABC=a sin C.(1)证明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.例⒗(2022·全国·高三专题练习(理))如图，在△ABC中，D是AC边上一点，∠ABC为钝角，∠DBC= 90°．(1)证明：cos∠ADB+sin C=0；(2)若AB=27，BC=2，再从下面①②中选取一个作为条件，求△ABD的面积．①sin∠ABC=32114；②AC=3AD．注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．例⒘(2022·重庆·二模)已知△ABC的外心为O，M,N为线段AB,AC上的两点，且O恰为MN中点.(1)证明：|AM|⋅|MB|=|AN|⋅|NC|(2)若|AO|=3，|OM|=1，求S△AMNS△ABC的最大值.题型三：张角定理与等面积法例⒙(广东省2022届高三三模数学试题)已知△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2a sin A= 2b+csin B+2c+bsin C.(1)求角A的大小；(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD=2，b=3，求△ABC的面积.例⒚(2022·湖北武汉·模拟预测)在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c -b sin C =a -b sin A +sin B(1)求A ；(2)若D 为BC 上的点，AD 平分角A ，且c =32，AD =3，求BD DC.例⒛(2022·辽宁·高一期中)如图，在△ABC 中，AB =2，3sin 2B -2cos B -2=0，且点D 在线段BC 上．(1)若∠ADC =2π3，求AD 的长；(2)若BD =2DC ，sin ∠BAD sin ∠CAD=42，求△ABD 的面积．例21(2022·江苏·华罗庚中学三模)在△ABC 中，已知AB =4，AC =5，cos B =57. (1)求sin A 的值；(2)若AD 是∠BAC 的角平分线，求AD 的长．例22(2022·山东淄博·三模)已知函数f(x)=3sinωx cosωx-cos2ωx+12(ω>0)，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为4+π2 4．(1)求函数f(x)的解析式；(2)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a=4，bc=12，f(A)=1．若角A的平分线AD交BC于D，求AD的长．例23(2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习(理))在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2b cos C=2a+c．(1)求角B的大小；(2)若b=23，D为AC边上的一点，BD=1，且______，求△ABC的面积．①BD是∠B的平分线；②D为线段AC的中点．(从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答)．题型四：角平分线问题例24(2022·北京·首都师范大学附属中学三模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且3sin π6+B +sin π3-B =0.(1)求∠B 的值；(2)给出以下三个条件：条件①：a 2-b 2+c 2-3c =0；条件②a =3；条件③S △ABC =1534.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：(i )求sin A 的值；(ii )求∠ABC 的角平分线BD 的长.例25(2022·江苏·南京师大附中模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2c b=1+tan A tan B .(1)求角A ；(2)角A 的内角平分线交BC 于点M ，若a =47，AM =33，求sin ∠AMC .例26(2022·北京八十中模拟预测)在△ABC中，3sin B+π6=-cos B+π6.(1)求B的值；(2)给出以下三个条件：①a2-b2+c2+3c=0；②a=3，b=1；③S△ABC=1534，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：(i)求sin A的值；(ii)求∠ABC的角平分线BD的长.例27(2022·河南·模拟预测(理))如图，在△ABC中，D为边BC的中点，∠ACB的平分线分别交AB，AD于E，F两点．(1)证明：sin∠ABC⋅sin∠CAD=sin∠ACB⋅sin∠BAD；(2)若∠BAC=π2，sin∠ABC=23，AD=32，求DE．例28(2022·广东佛山·三模)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b sin A+3a cos B= 0，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2．(1)求B；(2)若a=3，求b．例29(2022·山东潍坊·模拟预测)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积为3a2+b2-c24．(1)求∠C；(2)若∠A=π2，∠C的角平分线CE与边AB相交于点E，延长CE至点D，使得CE=DE，求cos∠ADB．题型五：中线问题例30(2022·广东佛山·高三期末)△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C=(2b-c) cos A.(1)求角A的大小；(2)若b=2,BC边上的中线AD=3，求△ABC的面积.例31(2022·全国·模拟预测)在△ABC中．sin A cos A-π6=34．(1)求角A；(2)若AC=8，点D是线段BC的中点，DE⊥AC于点E，且DE=334，求CE的长．例32(2022·海南海口·二模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=π3，b=75a．(1)求sin A；(2)若a=5，AB边的中点为D，求CD．例33(2022·山东·烟台二中模拟预测)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C+3c sin Ba+c=1．(1)求角B的大小；(2)设D，E分别为边AB，BC的中点，已知△BCD的周长为3+3，且AECD=192，若c<5a，求a．例34(2022·新疆克拉玛依·三模(理))在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若2a2=a2+c2-b21-sin B cos B．(1)求角C；(2)若c=210，sin A=1010，D为AC的中点，求BD的长度．例35(2022·湖北·模拟预测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若b2+c2-a2=2ab sin C.(1)求角A；(2)若AB=32,AC=3，点P在线段BC上，且CP=13CB,Q是线段AC中点，AP与BQ交于点M，求cos∠A MB.例36(2022·陕西·交大附中模拟预测(理))设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a=b cos C+33c sin B．(1)求B；(2)若c=1，a=3，AC的中点为D，求BD的长．题型六：高问题例37(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(理))在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2-b2=c a cos B-b2．(1)求角A的大小；(2)若c=8，△ABC的面积为43，求BC边上的高．例38(2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测)从①A为锐角且sin B-cos C=c2-a22ab；②b=2a sin C+π6这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C 的对边分别为a，b，c，．(1)求角A；(2)若b=34c且BC边上的高AD为23，求CD的长．例39(2022·北京房山·二模)在△ABC中，a cos B+12b=c,b=2.(1)求∠A；(2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC边上的高.条件①：cos B=-23；条件②：sin B=22；条件③：△ABC的面积为3+32.注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.例40(2022·山东青岛·一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B-sin C2=sin2A -sin B sin C．(1)求角A；(2)若b=5，BC边上的高为1077，求边c．例41(2022·福建·模拟预测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c-b=2a cos B.(1)求角A；(2)若3b2sin B+c-b2cos B=7，b-c=2，求BC边上的高.题型七：重心性质及其应用例42(2022·湖北省仙桃中学模拟预测)如图，在△ABC 中，已知AB =2，AC =23，∠BAC =30°，BC 边上的中线AM 与∠ABC 的角平分线BN 相交于点P ．(1)∠MPN 的余弦值．(2)求四边形PMCN 的面积.例43(2022·全国·高三专题练习)G 是△ABC 的重心，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，若20aGA +15bGB+12cGC =0 ，则cos A =( )A.0B.35C.45D.1例44(2022·全国·高三专题练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B +3a sin B=c +1，b =1，点G 是△ABC 的重心，且AG =213，则△ABC 的面积为( )A.32B.3C.3D.23例45(2022·全国·模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的外接圆的面积为π，b -c sin B +2sin 2C =a sin A ．(1)求A ；(2)AD 是角A 的平分线，若BD =3DC ，△ABC 的重心为G ，求AG 的长．题型八：外心及外接圆问题例46(2022·全国·高三专题练习)设O 为△ABC 的外心，若AO =AB +2AC ，则sin ∠BAC 的值为___________.例47(2022·江苏·泰兴市第一高级中学高三阶段练习)在△ABC 中，AB =4，AC =6，BC =5，点O 为△ABC 的外心，若AO =λAB +μAC，则λ+μ=( )A.23B.35C.47D.59例48(2022·广东·模拟预测)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且a 3sin B -cos C =c -b cos A .从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.①O 为△ABC 的内心；②O 为△ABC 的外心；③O 为△ABC 的重心.(1)求A ；(2)若b =6,c =10，__________，求△OBC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.例49(2022·黑龙江齐齐哈尔·二模(理))△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 3sin B -cos C =c -b cos A ．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．①O 为△ABC 的内心；②O 为△ABC 的外心．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．(1)求A ；(2)若b =3,c =5，________，求△OBC 的面积．例50(2022·江苏省白蒲高级中学高三阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；3b=4c，cos C=45.(1)求cos A的值；(2)若△ABC的外心在其外部，a=7，求△ABC外接圆的面积.例51(2022·辽宁·三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A=π3，c=4.(1)若sin B-cos B=22，求△ABC外接圆的直径；(2)若a=13，求△ABC的周长.例52(2022·四川·树德中学模拟预测(理))已知的数f x =3sin x2cosx2-cos2x2+12．(1)求f x 的单调增区间；(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f A =12，a=3，求△ABC外接圆的面积．例53(2022·湖南·长郡中学高三阶段练习)法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B -C =cos A 23b sin C -a .以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 2，O 3.(1)求A ；(2)若a =3，△O 1O 2O 3的面积为7312，求△ABC 的周长.题型九：两边夹问题例54(2021•双流区校级模拟)在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos A +sin A -2sin B +cos B=0，则a +b c 的值是( )A.2 B.3 C.2 D.1例55(2020•苏州二模)在ΔABC中，已知边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若2sin2B+3sin2C= 2sin A sin B sin C+sin2A，则tan A= ．例56(2013•成都模拟)在ΔABC中，若(cos A+sin A)(cos B+sin B)=2，则角C= ．例57(2018•如皋市二模)在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，设S是ΔABC的面积，若b2+ c2=13a2+433S，则角A的值是．题型十：内心及内切圆问题例58(2022·全国·高三专题练习)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，a=6，b+12cos B=2c.(1)求A的大小；(2)M为△ABC内一点，AM的延长线交BC于点D，________，求△ABC的面积.请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使△ABC存在，并解决问题.①M为△ABC的外心，AM=4；②M为△ABC的垂心，MD=3；③M为△ABC的内心，AD=33.例59(2022·安徽·芜湖一中一模(理))已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan C= sin A2-cos A(1)求b c的值；(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN⎳BC且c=2，求a的值．例60(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A 为锐角，a =32，AB ⋅AC =3，再从条件①：b sin B +C 2=a sin B ，条件②：b tan A =(2c -b )tan B ，这两个条件中选择一个作为已知.求：(1)角A ；(2)△ABC 的内切圆半径r .例61(2022·陕西·武功县普集高级中学一模(文))在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知b =4，c =2，且sin C =sin B +sin (A -B )．(1)求角A 和边a 的大小；(2)求△ABC 的内切圆半径．例62例62．(2022·全国·高三专题练习)如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，AD 平分∠BAC .(1)求证：BDDC =AB AC；(2)若AC =2，CD =1，AD =322，求△ABC 的内切圆面积.例63(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(理))在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且3b sin C-c cos B tan C=a.(1)求角A；(2)若△ABC的内切圆面积为4π，求△ABC面积S的最小值.例64(2022·全国·高三专题练习)已知函数f x =23sin x cos x+2cos2x(1)求函数f x =23sin x cos x+2cos2x的对称轴；对称中心；单调递增区间；(2)在ΔABC中，a,b,c分别是A,B,C所对的边，当f A =2，a=2时，求ΔABC内切圆面积的最大值.例65(2022·河南南阳·高三期末(理))在△ABC中，3sin C+cos C=sin B+sin Csin A.(1)求A；(2)若△ABC的内切圆半径r=2，求AB+AC的最小值.例66(2022·陕西·模拟预测(文))已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a =6,b =54c ,A =2C ，设O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为_________．例67(2022·全国·高三专题练习)已知点O 是ABC 的内心，若AO =49AB +19AC ，则cos ∠BAC =( )A.15B.16C.18D.19解三角形图形类问题【方法技巧与总结】解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【题型归纳目录】题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题题型五：中线问题题型六：高问题题型七：重心性质及其应用题型八：外心及外接圆问题题型九：两边夹问题题型十：内心及内切圆问题【典例例题】题型一：妙用两次正弦定理例⒈(2022·全国·高三专题练习)在①cos B cos C =-b 2a +c ，②sin A sin B -sin C =b +c a +c ，③2S =-3BA ⋅BC 三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，作AB ⊥AD ，使得四边形ABCD 满足∠ACD =π3，AD =3，求BC 的取值范围.【答案】(0,2).【解析】根据题意，选择①②③求得B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理求得AC =2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理求得可得BC =43sin θ+π6 ⋅sin θ=233sin 2θ-π3 +1，结合0<θ<π3和三角函数的性质，即可求解.【详解】若选①：由cos B cos C =-b 2a +c ，根据正弦定理可得cos B cos C =-sin B 2sin A +sin C，即2sin A cos B +sin C cos B =-sin B cos C ，即2sin A cos B =-sin B cos C -sin C cos B =-sin B +C =-sin A ，可得cos B =-12，因为A ∈(0,π)，所以B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC =AD sin ∠ACD，可得AC =AD sin ∠ADC sin ∠ACD=3⋅sin θ+π6 sin π3=2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B =BC sin θ，可得BC =AC ⋅sin θsin B =2sin θ+π6 ⋅sin θsin 2π3=43sin θ+π6 ⋅sin θ=4332sin θ+12cos θ sin θ=4332sin 2θ+12sin θcos θ =13(23sin 2θ+2sin θcos θ)=1323×1-cos2θ2+sin2θ =13(sin2θ-3cos2θ)+1=233sin 2θ-π3 +1，因为0<θ<π3，可得-π3<2θ-π3<π3，当2θ-π3=π3时，即θ=π3，可得233sin π3+1=2，当2θ-π3=-π3时，即θ=0，可得233sin -π3+1=0，所以BC 的取值范围是(0,2).选②：由sin A sin B -sin C =b +c a +c ，根据正弦定理可得a b -c =b +c a +c ，可得a 2+ac =b 2-c 2，即a 2+c 2-b 2=-ac ，又由余弦定理，可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =-ac 2ac =-12，因为A ∈(0,π)，所以B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC =AD sin ∠ACD，可得AC =AD sin ∠ADC sin ∠ACD=3⋅sin θ+π6 sin π3=2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B =BC sin θ，可得BC =AC ⋅sin θsin B =2sin θ+π6 ⋅sin θsin 2π3=43sin θ+π6 ⋅sin θ=4332sin θ+12cos θ sin θ=4332sin 2θ+12sin θcos θ =13(23sin 2θ+2sin θcos θ)=1323×1-cos2θ2+sin2θ =13(sin2θ-3cos2θ)+1=233sin 2θ-π3 +1，因为0<θ<π3，可得-π3<2θ-π3<π3，当2θ-π3=π3时，即θ=π3，可得233sin π3+1=2，当2θ-π3=-π3时，即θ=0，可得233sin -π3+1=0，所以BC 的取值范围是(0,2).若选③：由2S =-3BA ⋅BC ，可得2×12ac sin B =-3ac cos B ，即sin B =-3cos B ，可得tan B =-3，因为A ∈(0,π)，所以B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC =AD sin ∠ACD，可得AC =AD sin ∠ADC sin ∠ACD=3⋅sin θ+π6 sin π3=2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B =BC sin θ，可得BC =AC ⋅sin θsin B =2sin θ+π6 ⋅sin θsin 2π3=43sin θ+π6 ⋅sin θ=4332sin θ+12cos θ sin θ=4332sin 2θ+12sin θcos θ =13(23sin 2θ+2sin θcos θ)=1323×1-cos2θ2+sin2θ =13(sin2θ-3cos2θ)+1=233sin 2θ-π3 +1，因为0<θ<π3，可得-π3<2θ-π3<π3，当2θ-π3=π3时，即θ=π3，可得233sin π3+1=2，当2θ-π3=-π3时，即θ=0，可得233sin -π3+1=0，所以BC 的取值范围是(0,2).例⒉(2020·北京·北师大二附中高三期中)如图，四边形ABCD 中∠BAC =90∘，∠ABC =30∘，AD ⊥CD ，设∠ACD =θ.(1)若ΔABC 面积是ΔACD 面积的4倍，求sin2θ；(2)若∠ADB =π6，求tan θ.【答案】(1)sin2θ=32(2)tan θ=32【解析】(1)设AC =a ，可求AB =3a ，AD =a sin θ，CD =a cos θ，由题意S △ABC =4S △ACD ，利用三角形的面积公式即可求解；(2)在△ABD 中，△BCD 中，分别应用正弦定理，联立可得2sin π3+θ=3sin θ，利用两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【详解】(1)设AC =a ，则AB =3a ，AD =a sin θ，CD =a cos θ，由题意S ΔABC =4S ΔACD ，则12a ⋅3a =4⋅12a cos θ⋅a sin θ，所以sin2θ=32.(2)由正弦定理，ΔABD 中，BD sin ∠BAD =AB sin ∠ADB ，即BD sin π-θ =3a sin π6①ΔBCD 中，BD sin ∠BCD =BC sin ∠CDB ，即BD sin π3+θ =2asin π3②①÷②得：2sin π3+θ=3sin θ，化简得3cos θ=2sin θ，所以tan θ=32.例⒊(江苏省南京市宁海中学2022届高三下学期4月模拟考试数学试题)在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，A =150∘，点D 在边BC 上，满足CD =2BD ，且sin ∠BAD b+sin ∠CAD c =32a ．(1)求证：AD =13a ；(2)求cos ∠ADC ．【答案】(1)证明见解析(2)1314【解析】(1)分别在△ABD 和△ACD 中利用正弦定理表示出sin ∠BAD ,sin ∠DAC ，，代入已知等式化简整理即可得到结果；(2)根据∠ADB =-∠ADC ，在△ABD 和△ACD 利用余弦定理可整理得到a 2-b 2=2c 2；在△ABC 中，利用余弦定理可得c =3b ，进而得到a =7b ，代入cos ∠ADC 中即可求得结果.(1)∵CD =2BD ，∴CD =23a ，BD =13a ；在△ABD 中，由正弦定理得：sin ∠BAD =BD sin B AD =a sin B3AD ；在△ACD 中，由正弦定理得：sin ∠DAC =CD sin C AD =2a sin C3AD；又sin B b=sin C c =sin A a =12a ，∴sin ∠BAD b +sin ∠CAD c =a sin B 3b ⋅AD +2a sin C 3c ⋅AD =a 3AD ⋅12a +2a 3AD ⋅12a=32a ，即9AD =3a ，∴AD =13a .(2)在△ABD 中，由余弦定理得：cos ∠ADB =BD 2+AD 2-AB 22BD ⋅AD =2a 2-9c 22a 2；在△ACD 中，由余弦定理得：cos ∠ADC =AD 2+CD 2-AC 22AD ⋅CD =5a 2-9b 24a 2；∵∠ADB +∠ADC =180∘，∴∠ADB =-∠ADC ，即2a 2-9c 22a 2=-5a 2-9b 24a 2，整理可得：a 2-b 2=2c 2；在△ABC 中，由余弦定理得：cos A =b 2+c 2-a 22bc =-32，则-c 22bc =-c 2b =-32，∴c =3b ，∴a 2-b 2=6b 2，即a =7b ；∴cos ∠ADC =5a 2-9b 24a 2=35b 2-9b 228b 2=1314.例⒋(广东省2022届高三二模数学试题)如图，已知△ABC 内有一点P ，满足∠PAB =∠PBC =∠PCA=α．(1)证明：PB sin ABC =AB sin α．(2)若∠ABC =90∘，AB =BC =1，求PC ．【答案】(1)证明见解析(2)PC =105【解析】(1)由正弦定理得PB sin α=ABsin ∠APB，即PB sin ∠APB =AB sin α，即要证明sin ∠ABC =sin ∠APB 即可，由此利用三角形内角和证明可得结论；(2)由题意求得PB =sin α，继而求得PC =2sin α，在△PAB 中利用余弦定理求得sin α=55，即可求得答案.(1)证明：在△ABP 中，由正弦定理得PB sin α=ABsin ∠APB，即PB sin ∠APB =AB sin α，要证明PB sin ∠ABC =AB sin α，只需证明sin ∠ABC =sin ∠APB ，在△ABP 中，∠APB =π-α+∠ABP ，在△ABC 中，∠ABC =α+∠ABP ，所以∠APB =π-∠ABC ，所以sin ∠APB =sin π-∠ABC =sin ∠ABC ，所以PB sin ∠ABC =AB sin α．(2)由(1)知PB sin ∠ABC =AB sin α，又因为∠ABC =90∘，AB =1，所以PB =sin α，由已知得△ABC 为等腰直角三角形，所以∠BCA =∠CAB =π4，则∠BCP =π4-α，所以在△PBC 中，∠BPC =π-π4-α -α=3π4，由正弦定理得BC sin ∠BPC =PCsin ∠PBC，即1sin 3π4=PC sin α，即PC =2sin α．由余弦定理得sin 2α+2sin α 2-2sin α2sin α cos 3π4=1，由题意知sin α>0，故解得sin α=55，所以PC =105．例⒌(2022·全国·高三专题练习)如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =27，求梯形ABCD 的面积；(2)若AC ⊥BD ，求tan ∠ABD ．【答案】(1)73；(2)tan ∠ABD =233．【解析】(1)△ABC 中，利用含∠ABC 的余弦定理表达式建立BC 的方程，求出BC 而得△ABC 面积，再利用面积关系求△ADC 的面积得解；(2)由题设中角的信息用∠ABD 表示出△ABC 与△BDC 中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得tan ∠ABD 的方程，解之即得.【详解】(1)设BC =x ，在△ABC 中，由余弦定理AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos ∠ABC 得：28=22+x 2-2⋅2⋅x ⋅cos2π3，即x 2+2x -24=0，而x >0，解得x =4，所以BC =4，则△ABC 的面积S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC =12⋅2⋅4⋅32=23，梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，△ABC 与△ADC 等高，且CD =5AB2，所以△ADC 的面积S △ADC =5S △ABC2=53，则梯形ABCD 的面积S =S △ABC +S △ADC =73；(2)在梯形ABCD 中，设∠ABD =α，而AC ⊥BD ，则∠BDC =α，∠BAC =π2-α，∠DBC =2π3-a ，∠BCA =α-π6，在△ABC 中，由正弦定理AB sin ∠BCA =BC sin ∠BAC 得：2sin α-π6 =BCsin π2-α ，在△BDC 中，由正弦定理CD sin ∠DBC =BC sin ∠BDC 得：5sin 2π3-α =BCsin α，两式相除得：2sin 2π3-α 5sin α-π6 =sin αsin π2-α ⇒2⋅32cos α+12sin α5⋅32sin α-12cos α =sin αcos α，整理得53sin 2α-7sin αcos α-23cos 2α=0，即53tan 2α-7tan α-23=0解得tan α=233或tan α=-35，因为α∈π6,π2，则tan α=233，即tan ∠ABD =233．例⒍(2022·河南安阳·模拟预测(理))如图，在平面四边形ABCD中，DC =2AD =42，∠BAD =π2，∠BDC =π6．(1)若cos ∠ABD =53，求△ABD 的面积；(2)若∠C =∠ADC ，求BC ．【答案】(1)25(2)210-22【解析】(1)根据cos ∠ABD =53求得tan ∠ABD ，再结合AD =22求解即可(2)设∠ADB =θ，再在△BCD 中利用正弦定理得出关于θ的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可(1)由cos ∠ABD =53可得tan ∠ABD =32-525=25，又AD =22故AB =ADtan ∠ABD =10，故S △ABD =12AB ⋅AD =25(2)设∠ADB =θ，则cos θ=22BD ，∠C =θ+π6，在△BCD 中，由正弦定理可得BD sin C =DCsin ∠DBC，即22cos θsin θ+π6=42sin 2π3-θ ，交叉相乘化简得sin 2π3-θ =2cos θ⋅sin θ+π6 ，即sin θ+π3 =3cos θ⋅sin θ+cos 2θ，利用降幂公式有sin θ+π3 =32sin2θ+12cos2θ+12，利用辅助角公式有sin θ+π3 =sin 2θ+π6 +12，故sin θ+π3 =sin 2θ+2π3-π2 +12，利用诱导公式可得sin θ+π3 =-cos 2θ+2π3 +12=2sin 2θ+π3 -12，故2sin 2θ+π3 -sin θ+π3 -12=0，又sin θ+π3 >0，解得sin θ+π3 =1+54，又由正弦定理有42sin 2π3-θ =BC sinπ6，故BC =22sin θ+π3=221+54=210-22例⒎(2019·安徽省怀远第一中学高三阶段练习(理))ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，设(sin A+sin B +sin C )⋅(sin A +sin B -sin C )=2sin A sin B .(1)求C ；(2)若D 为BC 边上的点，M 为AD 上的点，CD =1，∠CAB =∠MB D =∠D MB.求AM ．【答案】(1)C =90∘；(2)2【解析】(1)根据正弦定理进行边角互化，利用余弦定理即可求解；(2)设∠CAB =∠MB D =∠D MB =θ，将三角形中其余角用θ表示出来，结合CD =1，表示边长，即可解出.【详解】(1)由(sin A +sin B +sin C )⋅(sin A +sin B -sin C )=2sin A sin B ，得a +b 2-c 2=2ab ，即a 2+b 2=c 2∴C =90∘；(2)令∠CAB =∠MB D =∠D MB =θ，则在ΔA MB 中，∠MB A =90∘-2θ,∠BMA =180∘-θ由正弦定理得：AM sin 90∘-2θ =AB sin 180∘-θ ，即AM =AB ⋅cos2θsin θ在ΔACD 中，∠ACD =90∘,∠CDA =2θ由正切定义：AC =tan2θ在ΔACB 中，∠ACB =90∘,∠BAC =θ由正切定义：AB =AC cos θ=tan2θcos θ，∴AM =tan2θcos θ⋅cos2θsin θ=2例⒏(2022·山东烟台·一模)如图，四边形ABCD 中，AB 2+BC 2+AB ⋅BC =AC 2．(1)若AB =3BC =3，求△ABC 的面积；(2)若CD =3BC ，∠CAD =30∘，∠BCD =120∘，求∠ACB 的值．【答案】(1)334(2)∠ACB =45∘【解析】(1)依据题意求得角B ，利用正弦定理去求△ABC 的面积；(2)利用正弦定理解三角形即可求得∠ACB 的值．(1)在△ABC 中，cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =-AB ⋅BC 2AB ⋅BC =-12，因为0∘<B <180∘，所以B =120∘．S △ABC =12AB ⋅BC sin120∘=12×3×1×32=334．(2)设∠ACB =θ，则∠ACD =120∘-θ，∠ADC =30∘+θ，∠BAC =60∘-θ．在△ACD 中，由AC sin 30∘+θ =CDsin30∘，得AC =sin 30∘+θ sin30∘CD ．在△ABC 中，由AC sin120∘=BC sin 60∘-θ ，得AC =sin120∘sin 60∘-θBC ．联立上式，并由CD=3BC得3sin30∘+θsin30∘=sin120∘sin60∘-θ，整理得sin30∘+θsin60∘-θ=14，所以sin60∘+2θ=12，因为0∘<θ<60∘，所以60∘<60∘+2θ<180∘，所以60∘+2θ=150∘，解得θ=45∘，即∠ACB的值为45∘．例⒐(2022·全国·高三专题练习)在①AB=2AD，②sin∠ACB=2sin∠ACD，③S△ABC=2S△ACD这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=π，BC=CD=2，且______.(1)证明：tan∠ABC=3tan∠BAC；(2)若AC=3，求四边形ABCD的面积.【答案】(1)证明见解析(2)9158【解析】(1)选择①，由正弦定理及角度关系推出∠BAC=∠DAC及sin∠ACB=2sin∠ACD，结合两角和的正弦公式及诱导公式，进行证明；选择②，利用正弦定理推导出∠BAC=∠DAC，直接利用两角和的正弦公式及诱导公式即可推出结论；选择③，由正弦定理，面积公式及面积的倍数关系得到∠BAC=∠DAC，sin∠ACB=2sin∠ACD，使用两角和的正弦公式及诱导公式进行证明；(2)在证明出第一问的基础上，设出边长，利用余弦定理求出AD的长及角的正弦值，进而利用面积公式进行求解.(1)方案一：选条件①.在△ABC中，由正弦定理得，ACsin∠ABC=BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠DAC=ADsin∠ACD，因为∠ABC+∠ADC=π，所以sin∠ABC=sin∠ADC，因为BC=CD，所以sin∠BAC=sin∠DAC，因为∠BAC+∠DAC<π，所以∠BAC=∠DAC，因为AB=2AD，所以sin∠ACB=2sin∠ACD.因为sin∠ACB=sin∠ABC+∠BAC，sin∠ACD=sin∠CAD+∠ADC=sin∠BAC+π-∠ABC=sin∠ABC-∠BAC，所以sin∠ABC+∠BAC=2sin∠ABC-∠BAC，即sin∠ABC cos∠BAC+cos∠ABC sin∠BAC=2sin∠ABC⋅cos∠BAC-cos∠ABC sin∠BAC，所以sin∠ABC cos∠BAC=3cos∠ABC sin∠BAC，所以tan∠ABC=3tan∠BAC.方案二：选条件②.在△ABC中，由正弦定理得，ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠DAC，因为∠ABC+∠ADC=π，所以sin∠ABC=sin∠ADC，因为BC=CD，所以sin∠BAC=sin∠DAC.因为∠BAC+∠DAC<π，所以∠BAC=∠DAC.因为sin∠ACB=sin∠ABC+∠BAC，sin∠ACD=sin∠CAD+∠ADC=sin∠BAC+π-∠ABC=sin∠ABC-∠BAC，sin∠ACB=2sin∠ACD，所以sin∠ABC+∠BAC=2sin∠ABC-∠BAC，即sin∠ABC cos∠BAC+cos∠ABC sin∠BAC=2sin∠ABC⋅cos∠BAC-cos∠ABC sin∠BAC，所以sin∠ABC cos∠BAC=3cos∠ABC sin∠BAC，所以tan∠ABC=3tan∠BAC.方案三：选条件③.因为S△ABC=12BC⋅AC⋅sin∠ACB，S△ACD=12CD⋅AC⋅sin∠ACD，且BC=CD，S△ABC=2S△ACD，所以sin∠ACB=2sin∠ACD在△ABC中，由正弦定理得，ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠DAC，因为∠ABC+∠ADC=π，所以sin∠ABC=sin∠ADC，因为BC=CD，所以sin∠BAC=sin∠DAC，因为∠BAC+∠DAC<π，所以∠BAC=∠DAC.因为sin∠ACB=sin∠ABC+∠BAC，sin∠ACD=sin∠CAD+∠ADC=sin∠BAC+π-∠ABC=sin∠ABC-∠BAC，所以sin∠ABC+∠BAC=2sin∠ABC-∠BAC，即sin∠ABC cos∠BAC+cos∠ABC sin∠BAC=2sin∠ABC⋅cos∠BAC-cos∠ABC sin∠BAC，所以sin∠ABC cos∠BAC=3cos∠ABC sin∠BAC，所以tan∠ABC=3tan∠BAC.(2)选择①②③，答案均相同，由(1)可设AD =x ，则AB =2x ，在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =4x 2-58x ，在△ACD 中，由余弦定理得，cos ∠ADC =AD 2+CD 2-AC 22AD ⋅CD =x 2-54x ，因为cos ∠ABC =cos π-∠ADC =-cos ∠ADC ，所以4x 2-58x =-x 2-54x ，解得x =102或x =-102(舍去)，所以cos ∠ABC =108，所以sin ∠ABC =sin ∠ADC =1-1082=368，所以四边形ABCD 的面积S =3S △ACD =32AD ⋅CD ⋅sin ∠ADC =9158.例⒑(2022·福建·厦门一中高一阶段练习)在平面四边形ABCD 中，∠ABC =π3，∠ADC =π2，BC =4.(1)若△ABC 的面积为33，求AC ；(2)若AD =33，∠BAC =∠DAC ，求tan ∠DAC .【答案】(1)13(2)23【解析】(1)应用三角形面积公式有S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC ，可求AB ，由余弦定理即可求AC ；(2)设∠DAC =α，在Rt △ACD 中AC =AD sin π2-α ，在△ABC 中应用正弦定理有BCsin ∠BAC =ACsin ∠ABC ，即可求tan α，得解.(1)在△ABC 中，BC =4，∠ABC =π3，∴S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC =33，可得AB =3，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC ⋅cos ∠ABC =13，∴AC =13.(2)设∠DAC =α，则∠ACD =π2-α，在Rt △ACD 中，AD =33，易知：AC =AD sin π2-α =33cos α，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC =AC sin ∠ABC ，即4sin α=3332cos α，∴2cos α=3sin α，可得tan α=23，即tan ∠DAC =23.例⒒(2022·湖北武汉·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD 中，∠BCD =π2，AB =1，∠ABC =3π4.(1)当BC =2，CD =7时，求△ACD 的面积；(2)当∠ADC =π6，AD =2时，求cos ∠ACD .【答案】(1)3414；(2)cos ∠ACD =33.【解析】(1)利用余弦定理求出AC ，cos ∠ACB ，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答.(2)在△ABC 和△ACD 中用正弦定理求出AC ，再借助同角公式求解作答.(1)当BC =2时，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos ∠ABC ，即AC 2=3-22cos 3π4=5，解得AC =5，cos ∠ACB =AC 2+BC 2-AB 22AC ⋅BC=31010，因为∠BCD =π2，则sin ∠ACD =cos ∠ACB =31010，又CD =7，所以△ACD 的面积是S △ACD =12AC ⋅CD sin ∠ACD =125×7×31010=3414.(2)在△ABC 中，由正弦定理得AB sin ∠ACB =AC sin ∠ABC ，即AC =AB sin 3π4sin ∠ACB =22cos ∠ACD ，在△ACD 中，由正弦定理得AD sin ∠ACD =AC sin ∠ADC ，即AC =AD sin π6sin ∠ACD =1sin ∠ACD ，则22cos ∠ACD =1sin ∠ACD，整理得sin ∠ACD =2cos ∠ACD ，而sin 2∠ACD +cos 2∠ACD =1，∠ACD 为锐角，所以cos∠ACD=3 3.题型二：两角使用余弦定理例⒓(2022·湖北·襄阳四中模拟预测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.(1)证明：ABAC=DBDC，AD2=AB⋅AC-DB⋅DC；(2)若AD=1，A=2π3，求DB⋅DC的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)3【解析】(1)根据题意得到sin∠BAD=sin∠CAD，sin∠ADB=sin∠ADC，由正弦定理得到ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，ACsin∠ADC=DCsin∠CAD，两式相除得到ABAC=DBDC，进而得到BD=ABAB+AC BC，DC=ACAB+AC BC，根据余弦定理，并代入化简，即可求解.(2)根据S△ABD+S△ACD=S△ABC，得到b+c=bc，结合基本不等式求得bc≥4，进而求得DB⋅DC=bc -1，即可求解.(1)解：在△ABD和△BCD中，可得∠BAD=∠CAD，∠ADB+∠ADC=π，所以sin∠BAD=sin∠CAD，sin∠ADB=sin∠ADC，由正弦定理，得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，ACsin∠ADC=DCsin∠CAD，两式相除得ABAC=DBDC，可得BD=ABAB+AC BC，DC=ACAB+AC BC，又由cos∠ABD=cos∠ABC，根据余弦定理得AB2+BD2-AD22AB⋅BD=AB2+BC2-AC22AB⋅BC所以AD2=AB2+BD2-BDBC AB2+BC2-AC2=DCBC AB2+BDBC AC2-BD BC-BD代入可得AD2=ACAB+AC AB2+ABAB+AC AC2-BD⋅DC=AB⋅AC ABAB+AC+AC AB+AC-BD⋅DC=AB⋅AC-BD⋅DC.(2)解：由AD=1，A=2π3及S△ABD+S△ACD=S△ABC，可得b+c=bc根据基本不等式得bc=b+c≥2bc，解得bc≥4，当且仅当b=c=2时等号成立，。

2017年高考数学真题(含答案)

2017年高考数学真题（含答案）本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为 A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A ．33 B ．32 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ． 2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ==C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种；（ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分）如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β．（Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=；（Ⅱ）若,,1962AB ππαβ===，求BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据，试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ．（Ⅰ）求证： BC ⊥平面P AB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内；（Ⅲ）当P A ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分）已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-= （Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。

湖北省襄阳市第四中学2023届高三下学期5月适应性考试(二)数学试题(含解析)

湖北省襄阳市第四中学2023届高三下学期5月适应性考试（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．14B ．385．已知函数()cos sin f x x x ωω⎛=-+ ⎝ω的取值范围为（）二、多选题m=时，存在唯一的点A．当2m=时，存在点P满足B．当2四、解答题(1)证明：直线SD (2)求二面角S AE -19．在ABC 中，(1)若6=BC ，求(2)若2BAC BCD ∠=∠参考答案：所以，在复平面内35z ≤≤所表示的区域的面积是故选：C.3．B【分析】通过圆锥的底面半径和高，柱的侧面积可求得剩下几何体的表面积则12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩由对称性可知PQ 、12F F 的中点均为原点O 因为P 、1F 、Q 、2F 四点共圆，则有F F ∠⎧⎨∠⎩由勾股定理可得2221212PF PF F F +=，即则()2,0,0A ，0,2,2m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,B 对于选项A ，当2m =时，AP =u u u r 由0AP MP ⋅=得2222x x y y -+-即()()22110x y -+-=，解得x =所以存在唯一的点P 满足APM ∠则P 的轨迹方程103x y --=表示的轨迹就是线段而523NQ =，故C 正确.对于选项D ，当233m =时，M 则232,,,3AP x y MP x ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝u u u r u u u r 记()()224113x y -+-=的圆心为令2y =，可得1231,13x x =+=而12233x x -=，所以SOT ∠=根据对称性可知点P 轨迹长度为故选：BC.-对于A选项，当点P的坐标为(4,0所以()0,0A ，()2,0B ，()1,1C ，因为圆C 与直线BD 相切，而BD l 所以半径1555r ==，所以圆C当311,e 3e a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，y a =和()e 4tg t t =+，(),4t ∈-∞-与,CD CB均垂直的方向作为则(0C ，0，0)，(1S (0CA =，2，2)，AS 设平面SAE 的一个法向量为2m AS x y z ⎧⋅=--（2）设,AC x BC y ==，））联立双曲线与直线2233y kx mx y =+⎧⎨-=⎩，则223()3kx m x +-=，222(3)230k x mkx m ----=，则222244(3)(3)0m k k m ∆=+-+=，整理得223m k +=，故23M mk k x k m ==--，23M k y m m m=-+=-，31()k y x m k m+=-+，令0y =，则4kx m =-，令0x =，则4y m =-，44(,)k P m m --，显然22222416484()16163()k k m m m m-==+=+⋅-，。

湖北省襄阳第四中学2025届高考语文一模试卷含解析

湖北省襄阳第四中学2025届高考语文一模试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

1、阅读下面的文字，完成各题。

开源软件是指开放源代码的软件，即代码创作者在遵循相关开源协议的基础上，将自己开发的软件源代码向全世界公开，允许其他开发者进行自主学习、测试、修改、二次开发和传播等，以协同方式改善软件产品的质量和优化软件功能等。

开源软件在操作系统、数据库、中间件等都有许多流行的软件产品，如Linux电脑操作系统、安卓手机操作系统、MySQL和PostgreSQL开源数据库等。

在软件世界中，开源软件已成为数字企业的流行趋势，也成为数字企业的战略方向和商业模式，开源战略对于数字企业具有重要作用。

开源战略有利于数字企业降低产品开发成本，提高数字产品质量。

数字产品开发具有典型的“高固定成本、低边际成本”的特征，企业初始进入市场时往往需要较大的研发资本投入，一般企业难以承受，而通过开源战略，数字企业可以有效分摊巨额开发成本。

另外，数字企业的产品往往使用很多其他公司的专利，需要支付大量的专利费用，而开源战略可以大幅减少数字企业使用专利的授权费用。

开源战略通过将开源产品向开发者、合作伙伴等开放，通过众多参与者的力量对产品进行测试、改进和优化，以精益求精的精神完善产品，从而使开源产品的质量和用户体验越来越好。

开源战略有利于降低数字经济的技术风险水平。

作为数字经济的技术基础，ABC等信息技术的风险对数字经济的风险水平有重要的影响。

相比于闭源软件等，开源软件在技术上更具有自主可控的优势。

闭源软件是一个黑箱，用户难以清楚认识内部情况，因此闭源软件等产品存在较大的被监控、被劫持、被攻击、被禁售、密钥和证书失控、无法打补丁等安全风险，而开源产品由于源代码开放，具有较高的透明度，并且可以修改和优化代码，因此技术风险水平较低。

湖北省黄冈中学、华师一附中、襄阳四中、襄阳五中、荆州中学等八校2022年高一上数学期末教学质量检测模

2
4
【详解】 g(x) 8 f 2 (x) 6 f (x) 1 0 , f (x) 1 或 f (x) 1
2
4
根据函数解析式以及偶函数性质作 f (x) 图象，
当 0 x 2时， f x x 12 .，是抛物线的一段，
当 x 2, x 2k, 2k 2, k 1, 2,3,,时，f x 1 f x 2 ，由 x2k 2, 2k,
故选：C
【点睛】本题考查函数零点个数，解题方法是数形结合思想方法，把函数零点个数转化为函数图象与直线交点个数，
由图象易得结论
12、D
【解析】 log2
a
0 ，则 0
a
1
；
1 2
b
1，则 b
0 ，故选
D
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13、 ①.448 ②.600 【解析】销售价格与销售量相乘即得收入，对分段函数，可分段求出最大值，然后比较
且在 0, 上单调递增， f 1 0，
f x 1 0 得： 0 x 11 或 x 1 1
解得 x,2 1,0.
故选：D 8、A
【解析】由于除掉 2 处的数字后剩余 5 个数据的中位数为 15 10 x 10 x ，故污点1处的数字为 2
x 5 ， 8 13 24 20 y 17 ，则污点 2 处的数字为 y 7 ，故选 A. 6
22．在① A B B ；②“ x A”是“ x B ”的充分条件：③“ x R A ”是“ x R B ”的必要条件，在这三个条件中任
选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题
问题：已知集合 A {x∣a x a 2} ， B {x∣(x 1)(x 3) 0} （1）当 a 2 时，求 A B ；（2）若________，求实数 a 的取值范围

2017年全国统一高考数学试卷及答案详解(文科-新课标Ⅲ)

2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．5．（5分）设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣3，0]B．[﹣3，2]C．[0，2]D．[0，3]6．（5分）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．7．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．29．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB． C．D．10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC11．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣ B．C．D．1二、填空题13．（5分）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=．14．（5分）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，则a=．15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=．16．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是．三、解答题17．（12分）设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．19．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣﹣2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

远程授课湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期第四次段考数学试题试卷

远程授课湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期第四次段考数学试题试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不．正确的是（）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．天津的往返机票平均价格变化最大C ．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D ．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 2．已知曲线11(0x y aa -=+>且1)a ≠过定点(),kb ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（）. A ．92 B ．9C ．5D ．523．已知全集{},1,2,3,4,U Z A ==()(){}130,B x x x x Z =+->∈，则集合()U A C B ⋂的子集个数为（） A ．2B ．4C ．8D ．164．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（） A ．16B ．17C ．18D ．195．设复数z 满足31ii z=+，则z =（）A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122i --6．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（） A ．12B ．22C ．32D ．337．设i 是虚数单位，若复数103m i++（m R ∈）是纯虚数，则m 的值为（） A ．3- B ．1-C ．1D ．38．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅的值为（）A ．201912--B ．201912-+C ．201912-D ．201912+9．设函数()f x 在定义城内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．10．已知双曲线22214x y b-=（0b >）的渐近线方程为30x y ±=，则b =（）A ．23B ．3C ．32D ．4311．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．12．设12F F ，是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且123PF PF =，则双曲线的离心率为（）A ．212+ B ．21+C ．312+ D ．31+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

胸中有丘壑立马振山河襄阳四中高三数学二轮备考建议

——练后即讲：
5、二轮课堂教学形式课堂教学形式，主要是专题（项）训练和综合训练。要认真研究训练课
和讲评课的特点、规律，形成具有学科特点的切合实际的课堂教学模式。 ⑴课堂教学要抓好抓实五个“环节”，练、讲、练、评、补。
①练，诊断性训练，通过练习，找出学生存在的不足。 ②讲，重在梳理知识结构，构建知识体系，解决学生的“三易”（易混点、易错点、易疏漏点）问题。坚持“三讲”、“三不讲” “三讲”：讲重点、疑点，
一、认识二轮复习
高三二轮复习承上启下，是使知识系统化、条理化、促进灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期。二轮复习质量的好坏，关系到高考的成败。
1、二轮复习时间确定为：2月20至4月30。 2、二轮复习原则是：
巩固[巩固一轮复习成果]、完善[知识体系]、综合[方法、规律、解题能力]、提高[通过做题，提高能力。]。 3、二轮复习要达到三个目的一是从全面基础复习转入重点复习，对各重点、难点进行提炼和掌握；二是将第一轮复习过的基础知识运用到实战考题中去，将已经掌握的知识转化为实际解题能力；三是要把握高考各题型的特点和规律，掌握解题方法，初步形成应试技
预祝2021届高考取得辉煌成绩
胸中有丘壑立马振山河
襄阳四中周琦 2021年1月17日
前言先来一段通俗的说法：二轮专题复习本就是在高考重要考点的再强化和深挖掘，最终达到学生能够见题能够“套”“ 靠”“ 绕” “冒”的复习目标，即见题能够套做过的题型，能往知识考查点上靠，正面不会会绕道反面解答，未见新题型敢于去冒险尝试。因此在二轮复习中教师成为最重要的引导者，用数学的思想引领学生突破一道道关卡，达到专题复习的目的。为达到预定的复习要求，我们必须对每一个专题的重点考察点和考试方向再做深层次的研究后，选取有代表性的例题进行深挖掘后把重点思维突破过程呈现给学生，引导他们对重点考点有新的认识和归纳整理，形成数学思考的经验。在二轮中特奥班的老师一定要在“套”上夯实工，在“靠”上施巧工，在“冒”上下苦工。比如导数解答专题中我们经常会把专题细分为导数与单调性，导数与最值，导数含参问题等等很多专题，在每个专题的呈现中我们首先想达到的目标是通过专题引导学生能归纳出题型特点，解题方法入手角度已达到会“套”目的。再在选题条件上多做变动引导学生会“靠”，形成一定的经验后，最后在难题突破上关键点去 “冒”。若不会套说明基础知识点不熟，不会考说明知识迁移不够，能不能冒、会不会冒就是一种数学思维能力的体现。德国数学家C。F，克莱因说过：没有猜测，我们验证什么。要寻求一种办法，让问题在“直观上变得显然起来”，很多时候解决压轴题需要直觉、转换视角、合情推理等思维方式，除了需要综合我们在基本点、交汇点上的经验外，主要是直观合情推理，主要不是知识，而是常识；主要不是我们通过大量训练获知的规律，而是数学活动的经验。特奥班的教师在二轮复习中要选题上要经典，重点在上课的教学过程中，给足学生思考时间鼓励学生敢于去尝试，让学生提出思考方向带领学生一起思考，不怕错，不怕解不出来，就怕不敢想，教师要做好充足的准备工作，思维碰撞的课堂才能让学生活起来。当然为保证课堂效果可以提前给个别学生布置任务，改革开放是让小部分人先富起来，数学课堂也可以让小部分人先思考起来以带动其他学生动起来。专题复习课堂一定要有总结环节，让学生做，分小组做都行。一切都是空话，只有落在实处才是掷地有声。高三数学组的老师们，你们的努力将再创数学组的辉煌！！

湖北省襄阳五中2016-2017学年高二上学期10月月考数学试卷(文科)Word版含解析

2016-2017学年湖北省襄阳五中高二（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={y|y=x2﹣2x，x∈A}，则A∪B=（）A．[﹣1，2] B．[0，2]C．（﹣∞，2]D．[0，+∞）2．已知，是夹角为60°的两个单位向量，则=2+与=﹣3+2的夹角的正弦值是（）A．B．﹣C．D．﹣3．下列说法中不正确的是（）A．对于线性回归方程=x+，直线必经过点（，）B．茎叶图的优点在于它可以保存原始数据，并且可以随时记录C．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变D．掷一枚均匀硬币出现正面向上的概率是，那么一枚硬币投掷2次一定出现正面4．定义某种运算S=a⊗b，运算原理如图所示，则式子：的值是（）A．B． C．3 D．45．设数列{a n}是以3为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则b a1+b a2+b a3+b a4=（）A．15 B．60 C．63 D．726．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（）A ．D 1O ∥平面A 1BC 1B ．D 1O ⊥平面MACC ．异面直线BC 1与AC 所成的角为60°D ．MO 与底面所成角为90°7．在△ABC 中，A=60°，b=1，其面积为，则等于（）A ．3B ．C ．D ．8．直线y=kx +3与圆（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=4相交于M ，N 两点，若|MN |≥2，则k 的取值范围是（）A ．[﹣，0]B ．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞]C ．[﹣，] D ．[﹣，0]9．将函数f （x ）=sin （2x +φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度后，所得函数g（x ）为奇函数，则函数f （x ）在[0，]上的最小值（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．10．函数f （x ）=（m 2﹣m ﹣1）x是幂函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，满足＞0，若a ，b ∈R ，且a +b ＞0，ab ＜0，则f （a ）+f （b ）的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断 11．已知x ，y 均为正数且x +2y=xy ，则（）A ．xy +有最小值4B ．xy +有最小值3C ．x +2y +有最小值11 D ．xy ﹣7+有最小值1112．函数f （x ）=，若方程f （x ）=﹣x +a 有且只有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（） A ．（﹣∞，0） B ．[0，1） C ．（﹣∞，1） D ．[0，+∞）二、填空题13．直线x ﹣ysin θ+1=0（θ∈R ）的倾斜角范围是．14．如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为．15．设实数x，y满足，则的最大值是．16．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线3x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为．三、解答题17．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）x：y 1：1 2：1 3：418．已知两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0．（1）若直线m经过点（，4），且被l1，l2所截得线段长为2，求直线m的方程；（2）若直线n与l1，l2都垂直，且与坐标轴围成三角形面积是2，求直线n的方程．19．已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．20．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；（3）证明：EF⊥平面PAB．21．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且a n=2﹣1，n∈N*，数列b1，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b n﹣b n（n≥2）是首项和公比均为的等比数列．﹣1（1）求证数列{S n}是等差数列；（2）若c n=a n b n，求数列{a n}的前n项和T n．22．如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（Ⅱ）当时，求直线l的方程；（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．2016-2017学年湖北省襄阳五中高二（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={y|y=x2﹣2x，x∈A}，则A∪B=（）A．[﹣1，2] B．[0，2]C．（﹣∞，2]D．[0，+∞）【考点】并集及其运算．【分析】分别求出集合A，B的范围，取并集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x≤0}=[0，2]，B={y|y=x2﹣2x，x∈A}=[﹣1，0]，则A∪B=[﹣1，2]，故选：A．2．已知，是夹角为60°的两个单位向量，则=2+与=﹣3+2的夹角的正弦值是（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积的定义和性质即可得出．【解答】解：∵，是夹角为60°的两个单位向量，∴=1，=．∴=（2+）（﹣3+2）==﹣6+2+=﹣．==，===．∴设=2+与=﹣3+2的夹角为θ，则cosθ===﹣．∴sinθ==．故选：A．3．下列说法中不正确的是（）A．对于线性回归方程=x+，直线必经过点（，）B．茎叶图的优点在于它可以保存原始数据，并且可以随时记录C．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变D．掷一枚均匀硬币出现正面向上的概率是，那么一枚硬币投掷2次一定出现正面【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．利用线性回归方程为=x+的直线必经过样本中心点（，），从而可知A 的正误；B．利用茎叶图表示数据有两个优点，可判断B之正误；C．利用方差的概念s2= [++…+]可判断C之正误；D．利用古典概型的性质，可得一枚硬币投掷2次出现的所有可能结果，可判断其正误．【解答】解：A．对于线性回归方程=x+，直线必经过样本中心点（，），故A正确；B．用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示，故B正确；C．由方差公式s2= [++…+]可知，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，故C正确；D．掷一枚均匀硬币出现正面向上的概率是，那么一枚硬币投掷2次，会出现：正正，正反，反正，反反四种可能，故D错误．故选：D．4．定义某种运算S=a⊗b，运算原理如图所示，则式子：的值是（）A．B． C．3 D．4【考点】程序框图．【分析】根据流程图，a≥b时，a⊗b=a（b+1）；a＜b时，a⊗b=a（b﹣1），可得结论．【解答】解：根据流程图，a≥b时，a⊗b=a（b+1）；a＜b时，a⊗b=a（b﹣1），可得：=（﹣）⊗（﹣1）+⊗2=（﹣）×（﹣1+1）+×（2﹣1）=．故选：A．5．设数列{a n}是以3为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则b a1+b a2+b a3+b a4=（）A．15 B．60 C．63 D．72【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】分别运用等差数列和等比数列的通项公式，求出a n，b n，再由通项公式即可得到所求．【解答】解：数列{a n}是以3为首项，1为公差的等差数列，则a n=3+（n﹣1）×1=n+2，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则b n=2n﹣1，则b a1+b a2+b a3+b a4=a3+b4+b5+b6=22+23+24+25=60．故选B．6．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（）A．D1O∥平面A1BC1B．D1O⊥平面MACC．异面直线BC1与AC所成的角为60°D．MO与底面所成角为90°【考点】直线与平面所成的角．【分析】由线面平行的判定证明A正确；由线面垂直的判定说明B正确；由异面直线所成角的概念结合正方体的面对角线相等说明C正确；求出∠MOB为二面角M﹣AC﹣B的平面角，从而得到D错误．【解答】解：如图，连接B1D1，交A1C1于N，则可证明OD1∥BN，由OD1⊄面A1BC1，BN⊂面A1BC1，可得D1O∥面A1BC1，A正确；由三垂线定理的逆定理可得OD1⊥AC，设正方体棱长为2，可求得OM2=3，OD12=6，MD12=9，则OD12+OM2=D1M2，有OD1⊥OM，由线面垂直的判定可得D1O⊥平面AMC，B正确；由正方体的面对角线相等得到△A1BC1为正三角形，即∠A1C1B=60°，∴异面直线BC1与AC所成的角等于60°，C正确；因为BO⊥AC，MO⊥AC，∴∠MOB为二面角M﹣AC﹣B的平面角，显然MO与底面所成的角不是90°，故D不正确；故选：D．7．在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为，则等于（）A．3B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由A的度数求出sinA和cosA的值，根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把b，sinA及已知的面积代入求出c的值，再由cosA，b，c的值，利用余弦定理求出a的值，由a及sinA的值，根据正弦定理求出三角形ABC外接圆的直径2R，根据等比合比性质即可求出所求式子的值．【解答】解：∵A=60°，b=1，其面积为，∴S=bcsinA=c=，即c=4，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，∴a=，由正弦定理得：===2R==，则=2R=．故选B8．直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞]C．[﹣，]D．[﹣，0]【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长等于2，故当弦长大于或等于2时，圆心到直线的距离小于或等于1，解此不等式求出k的取值范围．【解答】解：设圆心（3，2）到直线y=kx +3的距离为d ，由弦长公式得，MN=2≥2，故d ≤1，即≤1，化简得 8k （k +）≤0，∴﹣≤k ≤0，故k 的取值范围是[﹣，0]．故选：A9．将函数f （x ）=sin （2x +φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度后，所得函数g（x ）为奇函数，则函数f （x ）在[0，]上的最小值（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，求出g （x ）的解析式，再根据题意求x ∈[0，]时的最小值即可．【解答】解：∵函数f （x ）=sin （2x +φ）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数解析式为：y=sin [2（x +）+φ]=sin （2x ++φ）为奇函数，∴+φ=k π，即φ=k π﹣，k ∈Z ；∵|φ|＜， ∴φ=﹣，∴f （x ）=sin （2x ﹣）；又x ∈[0，]，∴2x ∈[0，π]，2x ﹣∈[﹣，]，∴﹣≤sin （2x +）≤1；∴函数f （x ）在[0，]上的最小值﹣．故选：A ．10．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断【考点】幂函数的性质．【分析】根据题意，求出幂函数f（x）的解析式，利用函数f（x）的奇偶性与单调性，求出f（a）+f（b）＞0．【解答】解：根据题意，得f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2或m=﹣1；又f（x）在第一象限是增函数，且当m=2时，指数4×29﹣25﹣1=2015＞0，满足题意；当m=﹣1时，指数4×（﹣1）9﹣（﹣1）5﹣1=﹣4＜0，不满足题意；∴幂函数f（x）=x2015是定义域R上的奇函数，且是增函数；又∵a，b∈R，且a+b＞0，∴a＞﹣b，又ab＜0，不妨设b＜0，即a＞﹣b＞0，∴f（a）＞f（﹣b）＞0，f（﹣b）=﹣f（b），∴f（a）＞﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0．故选：A．11．已知x，y均为正数且x+2y=xy，则（）A．xy+有最小值4 B．xy+有最小值3C．x+2y+有最小值11 D．xy﹣7+有最小值11【考点】基本不等式．【分析】由x+2y=xy，得y=，由x、y为正数知x＞2，可得xy=的范围，把选项中的x+2y替换为xy，令xy=t，利用函数的单调性可排除A、B、C；利用基本不等式可判断C的正确性．【解答】解：由x+2y=xy，得y=，由x、y为正数知，x＞2，xy==（x﹣2）++4≥2+4=8，当且仅当x﹣2=，即x=4时取等号，∴xy的范围是[8，+∞）．令t=xy，则t≥8，t+在[8，+∞）单调递增，∴t+的最小值为8+=．排除A、B；x+2y+=xy﹣7++7+7=11，当且仅当，即或时取等号，∴x+2y+的最小值为11故C正确；xy﹣7+=xy﹣7+，令t=xy，则t≥8，由上知t﹣7+在[8，+∞）上单调递增，∴t﹣7+的最小值为8﹣7+，排除D．故选：C．12．函数f（x）=，若方程f（x）=﹣x+a有且只有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[0，1）C．（﹣∞，1）D．[0，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题知f（x）为分段函数，当x＜0时，由f（x）=f（x+1）可知f（x）为周期函数；当x大于等于0时函数为增函数，而方程f（x）=﹣x+a有且只有两个不相等的实数根即f（x）与y=﹣x+a由两个交点，在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=﹣x+a 的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示，作出直线l：y=a﹣x，向左平移直线l观察可得函数y=f（x）的图象与函数y=﹣x+a的图象有两个交点，即方程f（x）=﹣x+a有且只有两个不相等的实数根，即有a＜1，故选：C．二、填空题13．直线x﹣ysinθ+1=0（θ∈R）的倾斜角范围是．【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的倾斜及和斜率的关系，以及正切函数的值域可得．【解答】解：设直线x﹣ysinθ+1=0的倾斜角为α，当时，则sinθ=0，符合题意，当时，sinθ≠0，可得直线的斜率k=，又∵0＜α＜π，∴或．综上满足题意的倾斜角范围为：故答案为：14．如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由三视图还原原几何体，再由棱锥体积求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，则四棱锥A﹣BCDE是底面为直角梯形，AB为高的四棱锥，其体积为．故答案为：．15．设实数x，y满足，则的最大值是．【考点】基本不等式．【分析】先画出不等式组所表示的平面区域，然后根据的几何意义是区域内一点与坐标原点连线的斜率，从而可求出的最大值．【解答】解：根据实数x，y满足，画出约束条件，如右图中阴影部分而的几何意义是区域内一点与坐标原点连线的斜率当过点A（1，）时斜率最大，最大值为故答案为：16．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线3x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为．【考点】圆的标准方程．【分析】由O向直线3x+y﹣4=0做垂线，垂足为D，当D恰为圆与直线的切点时，圆C的半径最小，此时圆的直径为O（0，0）到直线3x+y﹣4=0的距离，由此能求出圆C面积最小值．【解答】解：∵AB为直径，∠AOB=90°，∴O点必在圆C上，由O向直线3x+y﹣4=0做垂线，垂足为D，则当D恰为圆与直线的切点时，圆C的半径最小，此时圆的直径为O（0，0）到直线3x+y﹣4=0的距离d=，∴此时圆的半径r==，∴圆C面积最小值S min=πr2==．故答案为：．三、解答题17．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）5090【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．18．已知两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0．（1）若直线m经过点（，4），且被l1，l2所截得线段长为2，求直线m的方程；（2）若直线n与l1，l2都垂直，且与坐标轴围成三角形面积是2，求直线n的方程．【考点】直线的截距式方程．【分析】（1）求出l1、l2之间的距离，设直线m与l1所成锐角为θ，求解θ=30°，推出直线m的倾斜角为90°或30°，然后求解直线方程．（2）求出直线n的斜率是，设直线n的方程为，利用三角形的面积求解即可．【解答】（1）解：l1、l2之间的距离，设直线m与l1所成锐角为θ，则，∴θ=30°，直线m的倾斜角为90°或30°所以，直线m的方程为或即或．（2）解：直线l1的斜率是，∵n⊥l，∴直线n的斜率是设直线n的方程为，令y=0得，令x=0得y=b∴，∴b=±2，∴直线n的方程为或．19．已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【考点】半角的三角函数；正弦定理的应用．【分析】（1）先根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式将函数f（x）化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由三角函数的性质可得答案．（2）先由（1）中结果确定函数f（x）的解析式，然后将A代入求出A的值，再由正弦定理求出最后结果．【解答】解：（1）∵当x=π时，f（x）取得最小值∴sin（π+θ）=﹣1即sinθ=1又∵0＜θ＜π，∴（2）由（1）知f（x）=cosx∵，且A为△ABC的内角∴由正弦定理得知或当时，，当时，综上所述，或20．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；（3）证明：EF⊥平面PAB．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）因为AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB，因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD，由此能够证明PH⊥平面ABCD．（2）连接BH，取BH中点G，连接EG，因为E是PB的中点，所以EG∥PH，因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，由此能够求出三棱锥E﹣BCF的体积．（3）取PA中点M，连接MD，ME，因为E是PB的中点，所以，因为ME，所以ME DF，故四边形MEDF是平行四边形．由此能够证明EF⊥平面PAB．【解答】解：（1）证明：∵AB⊥平面PAD，∴PH⊥AB，∵PH为△PAD中AD边上的高，∴PH⊥AD，∵AB∩AD=A，∴PH⊥平面ABCD．（2）如图，连接BH，取BH中点G，连接EG，∵E是PB的中点，∴EG∥PH，∵PH⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，则，∴=（3）证明：如图，取PA中点M，连接MD，ME，∵E是PB的中点，∴ME，∵，∴ME DF，∴四边形MEDF是平行四边形，∴EF∥MD，∵PD=AD，∴MD⊥PA，∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB，∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面PAB，∴EF⊥平面PAB．21．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且a n=2﹣1，n∈N*，数列b1，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b n﹣b n（n≥2）是首项和公比均为的等比数列．﹣1（1）求证数列{S n}是等差数列；（2）若c n=a n b n，求数列{a n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【分析】（1）由已知条件推导出a1=1，S n≥1，由，得到，由此能证明数列是等差数列．（2），a n=2n﹣1，，由此利用错位相减法和分组法语和法能求出数列{a n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵a n=2﹣1，n∈N*，∴由，得a1=S1=1，又{a n}的各项均为正数，∴S n≥1，n∈N*，∵，∴，∴，，∴数列是等差数列；（2）∵，∴，a n=2n﹣1；∵，∴，先求数列的前n项和A n，∵，，∴，，∴，∴．22．如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（Ⅱ）当时，求直线l的方程；（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）根据已知，容易写出直线l的方程为y=3（x+1）．将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．（Ⅱ）过A（﹣1，0）的一条动直线l．应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线l与x 轴垂直时，进行验证．当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于弦长，利用垂径定理，则圆心C到弦的距离|CM|=1．从而解得斜率K来得出直线l 的方程为．（Ⅲ）同样，当l与x轴垂直时，要对设t=，进行验证．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得到一个二次方程．充分利用“两根之和”和“两根之积”去找．再用两根直线方程联立，去找．从而确定t=的代数表达式，再讨论t是否为定值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，故k l=3，所以直线l的方程为y=3（x+1）．将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣1符合题意；当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于，所以|CM|=1．由，解得．故直线l的方程为x=﹣1或4x﹣3y+4=0．（Ⅲ）当l与x轴垂直时，易得M（﹣1，3），，又A（﹣1，0）则，，故．即t=﹣5．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得（1+k2）x2+（2k2﹣6k）x+k2﹣6k+5=0．则，，即，=．又由得，则．故t=．综上，t的值为定值，且t=﹣5．另解一：连接CA，延长交m于点R，由（Ⅰ）知AR⊥m．又CM⊥l于M，故△ANR∽△AMC．于是有|AM|•|AN|=|AC|•|AR|．由，得|AM|•|AN|=5．故．另解二：连接CA并延长交直线m于点B，连接CM，CN，由（Ⅰ）知AC⊥m，又CM⊥l，所以四点M，C，N，B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理得．2016年12月25日。

襄阳四中襄阳五中2017年高中自主招生录取名单

序列襄阳五中2017年自主招生录取学校序列襄阳四中2017年自主招生录取学校1枣阳阳光1襄阳五中实验中学2四中义教2襄阳市三十五中3襄阳五中实验中学3襄阳市三十五中4襄阳五中实验中学4枣阳阳光5襄阳五中实验中学5四中义教6襄阳五中实验中学6四中义教7襄阳五中实验中学7四中义教8襄阳五中实验中学8四中义教9枣阳吴店中学9四中义教10四中义教10四中义教11枣阳阳光11四中义教12四中义教12四中义教13保康马桥镇中13襄阳五中实验中学14枣阳阳光14襄阳市三十五中15襄阳五中实验中学15四中义教16枣阳阳光16四中义教17襄阳五中实验中学17襄阳市七中18四中义教18四中义教19枣阳市实验中学19四中义教20襄阳五中实验中学20四中义教21枣阳阳光21襄阳市三十二中学22枣阳阳光22襄阳市二十中23宜城市城关初级中学23襄阳市三十一中24襄阳五中实验中学24枣阳阳光25四中义教25四中义教26襄阳五中实验中学26四中义教27枣阳吴店中学27四中义教28襄阳五中实验中学28襄阳市第三十三中学29枣阳阳光29四中义教30谷城县盛康镇中心学校30襄阳五中实验中学31襄阳市七中31襄阳市二十中32襄阳五中实验中学32枣阳阳光33四中义教33襄阳市三十七中学34枣阳市实验中学34四中义教35襄阳市七中35襄阳市二十中36枣阳阳光36襄阳市三十二中学37襄阳市二十中37枣阳阳光38襄阳市八中38襄阳市三十七中学39襄阳市三十二中学39枣阳市实验中学40襄阳市三十七中学40襄阳市三十七中学41襄阳市二十中41四中义教42老河口四中42襄阳市三十五中43襄阳市三十七中学43枣阳阳光44襄阳市三十二中学44枣阳吴店45襄阳市二十中45四中义教46襄阳市二十中46老河口市第三中学47襄阳市三十二中学47四中义教48襄阳市三十五中48襄阳市三十五中49襄州区石桥镇中心学校49四中义教50襄阳市二十七中50四中义教51襄阳市三十二中学51襄阳市三十七中学52襄阳市三十一中52南漳县实验中学53襄阳市星旺学校53襄阳市二十中54襄阳市三十九中54襄阳市二十中55襄阳市东风中学55四中义教56襄阳市三十七中学56襄阳市三十五中57襄阳市三十七中学57四中义教58老河口市第三中学58襄阳市三十七中学59襄阳市二十中59襄阳市二十中60襄阳市三十七中学60襄阳市三十九中61襄阳市三十七中学61襄阳市二十中62襄阳市三十七中学62襄州区石桥镇中心学校63襄阳市四十二中63枣阳市第六中学64襄阳市二十中64四中义教65襄阳市三十一中65南漳县板桥中学66襄阳市三十九中66襄阳市三十七中学67襄阳市三十七中学67襄阳市三十七中学68襄阳市东风中学68襄阳市二十中69襄阳市四十二中69襄阳市二十中70襄阳市三十七中学70襄阳五中实验中学71襄阳市三十五中71枣阳市实验中学72襄阳市三十五中72襄阳五中实验中学73襄阳市星旺学校73襄阳市第三十三中学74襄阳市三十七中学74襄州区第四中学75襄阳市二十中75四中义教76襄阳市三十五中76四中义教77襄阳市三十七中学77四中义教78襄阳市三十二中学78襄阳市三十二中学79襄阳市二十中79四中义教80襄阳市三十五中80四中义教81襄阳市三十七中学81老河口四中82南漳县实验中学82四中义教83襄阳市三十七中学83襄阳市三十七中学84襄阳市三十五中84四中义教85襄州区石桥镇中心学校85襄阳市三十七中学86襄阳市二十中86襄阳市三十二中学87襄阳市二十中87四中义教88襄阳市三十七中学88东津镇中心学校89襄阳市三十二中学89牛首一中90襄阳市三十七中学90宜城市志达91襄阳市二十中91四中义教92襄阳市三十一中92太平店中学93襄阳市三十五中93襄阳市三十七中学94襄阳市三十七中学94襄州区双沟镇中心学校95襄阳市三十五中95襄阳市三十二中学96襄阳市三十七中学96襄阳市四十一中97襄阳市二十中97襄阳市三十五中98襄阳市三十二中学98枣阳阳光99襄阳市二十中99枣阳市实验中学100襄阳市三十七中学100襄阳市第三十三中学。

湖北襄阳四中七年级数学下册第八章【二元一次方程组】经典测试(课后培优)

1．若方程组a 2b 43a 2b 8+=⎧⎨+=⎩，则a+b 等于（） A ．3 B ．4 C ．2 D ．12．如图，周长为78cm 的长方形团由10个形状大小完全相同的小长方形拼成，其汇总一个小长方形的面积为（）A ．232cmB ．235cmC ．236cmD ．240cm3．解方程组232261s t s t +=⎧⎨-=-⎩①②时，①—②，得（） A ．31t -= ．B ．33t -=C ．93t = D ．91t = 4．如图，长方形ABCD 被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形ABCD 的周长为l ，若图中3个正方形和2个长方形的周长之和为94l ，则标号为①正方形的边长为（）A ．112lB ．116lC ．516lD ．118l 5．解方程组229229232x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩得x 等于( )A ．18B ．11C ．10D ．9631A ．224x y x y -=⎧⎨+=⎩B ．253x y x y -=⎧⎨+=⎩C ．32x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．2536x y x y -=⎧⎨+=⎩ 7．已知x ，y 满足方程组4,5,x m y m +=⎧⎨-=⎩则无论m 取何值，x ，y 恒有的关系式是（） A ．1x y += B ．1x y +=- C ．9x y += D ．9x y -=- 8．由方程组223224x y m x y m -=+⎧⎨+=+⎩可得x 与y 的关系式是（） A ．3x ＝7+3m B ．5x ﹣2y ＝10 C ．﹣3x+6y ＝2 D ．3x ﹣6y ＝2 9．下列方程中，是二元一次方程的是（）．A ．324x y z -=B ．690+=xC ．42x y =-D ．123y x+= 10．已知关于x 、y 方程组734521x y x y m +=⎧⎨-=-⎩的解能使等式4x ﹣3y ＝7成立，则m 的值为（） A ．8 B ．0C ．4D ．﹣2 11．小明4天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数多8页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读的页数的2倍少10页．若小明､小颖平均每天分别阅读x 页､y 页，则下列方程组正确的是（）A ．485210x y y x -=⎧⎨=-⎩B ．485210x y y x +=⎧⎨=+⎩C ．458210x y y x =-⎧⎨=-⎩D ．458210x y y x =+⎧⎨=+⎩二、填空题12．已知x ，y 满足方程组612328x y x y +=⎧⎨-=⎩，则x +y 的值为__． 13．一天，小明从家出发匀速步行去学校上学，几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学作业，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路回家（爸爸追上小明时交流时间忽略不计）．小明拿到书后立即提速14赶往学校，并在从家出发后23分钟到校，两人之间相距的路程y （米）与小明从家出发到学校的步行时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为______米．14．若2a m b 2m +3n 与a 2n ﹣3b 8的和仍是一个单项式，则m ＝_____n ＝_____．15．对x ，y 定义一种新运算“※”，规定：x y mx ny =+※（其中m ，n 均为非零常数），若3213,218==※※．则12※的值是_______16．已知方程组2221x y x y +=⎧⎨+=⎩，那么x y +=_________． 17．设()554325432031x a x a x a x a x a -=++++，则035a a a ++的值为______________18．单项式-x 2m-n y 3与单项式3m+n 2x y 3可以合并，则多项式4m-2n+（-m-n ）2-2（n-2m ）2的值是______．19．某风景区有4个相同的出口、4个相同的入口，假设在任何情况下每个入口的人数均是匀速出入，每个出口的人数均是匀速出入，当风景区人数已达到可容纳人数的20%时，若同时开放4个入口和2个出口，则1.6小时刚好达到可容纳人数；若同时开放2个入口和2个出口，则8小时刚好达到可容纳人数．受疫情影响，2020年五一期间，该风景区游览人数只允许达到平时可容纳人数的60%，当风景区人数已达到平时可容纳人数的10%时，若同时开放3个入口和2个出口，则经过__________小时刚好达到平时可容纳人数的60%． 20．130+-++=x y y ，则x y -=________．21．若2|327|(521)0a b a b +++-+=，则a b +=______. 三、解答题22．解方程组．（1）32923x y x y -=⎧⎨+=⎩；（2）1343(1)41x y x y ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩．23（1）()3223553x y ⎨+=-⎪⎩．（2）132321x y x y ⎧-=-⎪⎨⎪-=⎩．24．甲、乙两人同时解方程组1542ax by x by +=⎧⎨=-⎩①②时，甲看错了方程①中的a ，解得31x y =-⎧⎨=-⎩，乙看错了②中的b ，解得54x y =⎧⎨=⎩．求原方程组的正确解． 25．把y ax b =+（其中a 、b 是常数，x 、y 是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”当y x =时，“雅系二元一次方程y ax b =+”中x 的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当y x =时，雅系二元一次方程”34y x =-化为34x x =-，其“完美值”为2x =．（1）求“雅系二元一次方程”56y x =-+的“完美值”；（2）3x =是“雅系二元一次方程”3y x m =+的“完美值”，求m 的值；（3）“雅系二元一次方程”1y kx =+（0k ≠，k 是常数）存在“完美值”吗？若存在，请求出其“完美值”，若不存在，请说明理由．1．对于任意实数，规定新运算：x y ax by xy =+-※，其中a 、b 是常数，等式右边是通常的加减乘除运算．已知211=※，()322-=-※，则a b ※的值为（）A ．3B ．4C ．6D ．72．如图，宽为25cm 的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积是（）A ．2200cmB ．2150cmC ．2100cmD ．275cm3．《孙子算经》是中国古代著名的数学著作．在书中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？ ”译成白话文： “现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设木头的长度为x 尺，绳子的长度为y 尺．则可列出方程组为（）A ． 4.512x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩B ． 4.512y x y y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩C ． 4.512y x y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩D ． 4.512x y y y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩4．若关于x ，y 的二元一次方程组432x y k x y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2310x y +=的解，则x y -的值为（）A ．2B ．10C ．2-D ．4 5．下列方程中是二元一次方程的是（） A ．(2)(3)0x y +-= B ．-1x y =C ．132x y=+ D ．5xy = 6．已知关于x ，y 的方程组232x y a x y a-=-⎧⎨+=⎩，其中﹣2≤a≤0．下列结论：①当a ＝0时，x ，201＝1﹣a 的解；其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 7．已知1,2x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程24x ay +=的一组解，则a 的值为（） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-8．小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如下,那么一支笔和一本笔记本应付（）小月:您好,我要买5支签字笔和3本笔记本售货员:好的,那你应付款52元小月:刚才我把两种文具的单价弄反了,以为要付44元A ．10元B ．11元C ．12元D ．13元9．若关于x y ，的二元一次方程组232320x y k x y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解，则k 的值为（）A ．34-B ．34C ．43D ．43- 10．已知21x y =-⎧⎨=⎩是方程25mx y +=的解，则m 的值是（） A ．32- B ．32 C ．2- D ．211．方程组320x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是（） A ．11x y =⎧⎨=⎩B ．12x y =⎧⎨=⎩C ．21x y =⎧⎨=⎩D ．30x y =⎧⎨=⎩二、填空题 12．现有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为20cm ，各装有12cm 高的水，甲、乙、丙三个杯子的底面积如下表.分别从甲、乙两杯中取出相同体积的水倒入丙杯，过程中水没溢出，最后甲、乙两杯水的高度之和等于丙杯水的高度.则从甲杯中倒出的水的体积为3 底面积（2cm ）甲杯40 乙杯60 丙杯 8013．金秋十月，丹桂飘香，重庆市綦江区某中学举行了创新科技大赛，该校初二年级某班共有18人报名参加航海组、航空组和无人机组三个项目组的比赛（每人限参加一项），其中航海组的同学比无人机组的同学的两倍少3人，航空组的同学不少于5人但不超过9人，班级决定为航海组的每位同学购买2个航海模型，为航空组的每位同学购买3个航空模型，为无人机组的每位同学购买若干个无人机模型，已知航海模型75元每个，航空模型98元每个，无人机模型165元每个，若购买这三种模型共需花费6939元，则其中购买无人机模型的费用是_______．14．若2a m b 2m +3n 与a 2n ﹣3b 8的和仍是一个单项式，则m ＝_____n ＝_____．15．若方程2x 2a ＋b －4＋4y 3a －2b －3＝1是关于x ，y 的二元一次方程，则a ＝________，b ＝________．16．如图，在两个形状、大小完全相同的大长方形内放入四个如图③的小长方形后得到如图①、②，已知大长方形的长为m ，则（1）若记小长方形的长为a ，宽为()b a b >，则a 和b 之间的数量关系是_________；（2）图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的和是________（结果用含m 的代数式表示）.17．“九九重阳节，浓浓敬老情”，今年某花店在重阳节推出“松鹤长春”“欢乐远长”“健康长寿”三种花束.“松鹤长春”花束中有8枝百合，16 枝康乃馨；“欢乐远长”花束中有6枝百合，16枝康乃馨，2枝剑兰；“健康长寿”花束中有4枝百合，12枝康乃馨，2枝剑兰．已知百合花每枝1元，康乃馨每枝34元，剑兰每枝5元，重阳节当天销售这三种花束共2549元，其中百合花的销售额为458元，则剑兰的销售量为________枝． 18．如果()2x 2y 1x y 50-+++-=，那么 x =______，y =____192311320．若x a y b =⎧⎨=⎩是方程组2155x y x y -=⎧⎨-+=⎩的解，则a+4b ＝_____． 21．如果28a b --与()21a b ++互为相反数，那么a b =________．三、解答题22．某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批A ，B 两种型号的新能源汽车据了解，2辆A 型汽车和3辆B 型汽车的进价共计80万元；3辆A 型汽车和2辆B 型汽车的进价共计95万元．（1）求A ，B 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；（2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进的B 种型号的新能源汽车数量多于A 种型号的新能源汽车数量，请直接写出该公司的采购方案．23．解方程或方程组：（1）7234(2)x x -=--；（2）2151136x x +--=；（按要求解方程并在括号里注明此步依据）解：去分母，得____________________________．（）去括号，得_____________________________．（）移项，得______________________________．（）合并同类项，得_____________________________．系数化为“1”，得_____________________________．（3）52253415x y x y +=⎧⎨+=⎩24．解下列方程组（1）34225x y x y +=⎧⎨-=⎩（2）234347x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩ 25．把y ax b =+（其中a 、b 是常数，x 、y 是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”值”．例如：当y x =时，雅系二元一次方程”34y x =-化为34x x =-，其“完美值”为2x =．（1）求“雅系二元一次方程”56y x =-+的“完美值”；（2）3x =是“雅系二元一次方程”3y x m =+的“完美值”，求m 的值；（3）“雅系二元一次方程”1y kx =+（0k ≠，k 是常数）存在“完美值”吗？若存在，请求出其“完美值”，若不存在，请说明理由．1．如图，天平上放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一个香蕉的重量的（）A ．23倍 B ．32倍 C ．2倍 D ．3倍 2．如图，在数轴上标出若干个点，每相邻的两个点之间的距离都是1个单位，点A 、B 、C 、D 表示的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且满足2319a d ，则b c +的值为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．03．若a 为方程250x x +-=的解，则22015a a ++的值为（）A ．2010B ．2020C ．2025D ．20194．为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种5．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x 只，树有y 棵，由题意可列方程组（） A ．3551y x y x +=⎧⎨-=⎩ B ．3551y x y x -=⎧⎨=-⎩C ．15355x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩D ．5315x y x y -⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 6．已知1,2x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程24x ay +=的一组解，则a 的值为（） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-7．如图，周长为34的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为A．280 B．140 C．70 D．1968．某校七年级1班学生为了参加学校文化评比买了22张彩色的卡纸制作如下图形（每个图形由两个三角形和一个圆形组成），已知一张彩色卡纸可以剪5个三角形，或3个圆形，要使圆形和三角形正好配套，需要剪三角形的卡纸有x张，剪圆形的卡纸有y张，可列式为（）A．2256x yx y+=⎧⎨=⎩B．2265x yx y+=⎧⎨=⎩C．22310x yx y+=⎧⎨=⎩D．22103x yx y+=⎧⎨=⎩9．小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如下,那么一支笔和一本笔记本应付（）小月:您好,我要买5支签字笔和3本笔记本售货员:好的,那你应付款52元小月:刚才我把两种文具的单价弄反了,以为要付44元A．10元B．11元C．12元D．13元10．小明、小颖、小亮玩飞镖游戏，他们每人投靶5次，中靶情况如图所示．规定投中同一圆环得分相同，若小明得分21分，小亮得分17分，则小颖得分为（）A ．19分B ．20分C ．21分D ．22分11．小明骑着自行车以每分钟120m 的速度匀速行驶在环城公路上，每隔5min 就和一辆公交车迎面相遇，每隔15min 就被同向行驶的一辆公交车追上，如果公交车是匀速行驶的，并且每相邻的两辆公交车从起点车站发出的间隔时间相等，则公交车的速度是（）． A ．180min m B ．200min m C ．240min m D ．250min m二、填空题12．如图，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，则这个长方形的面积为_______．13．某水稻种植中心培育了甲、乙、丙三种水稻，将这三种水稻分别种植于三块大小各不相同的试验田里．去年，三种水稻的平均亩产量分别为300kg ，500kg ，400kg ，总平均亩产量为450kg ，且丙种水稻的的总产量是甲种水稻总产量的4倍，今年初，研究人员改良了水稻种子，仍按去年的方式种植，三种水稻的平均亩产量都增加了．总平均亩产量增长了40%，甲、丙两种水稻的总产量增长了30%，则乙种水稻平均亩产量的增长率为_______． 14．为减轻“新冠”带来的影响，西城天街商场决定在国庆期间开展促销活动，方案如下：在负二楼兑奖区旁放置一个不透明的箱子，箱子里有大小、形状、质地等完全相同的黑、白、红球各一个，顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中黑、白、红三种颜色的球可分别返还现金100元、60元、20元．商场分上午、下午和晚上三个时间段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果如下：下午摸到黑球次数为上午的3倍，摸到白球次数为上午的2倍，摸到红球次数为上午的4倍；晚上摸到黑球次数与上午相同，摸到白球次数为上午的4倍，摸到红球次数为上午的2倍，三个时间段返现总金额共为5020元，晚上返现金额比上午多840元，则下午返现金额为_______元．15．某公园的门票是10元/人，团体购票有如下优惠：60 票价无折扣超出30人的部分，票价打八折超出60人的部分，票价打五折某校七年级两个班到该公园秋游，其中甲班多于30人，乙班不足30人，如果以班为单位分别购票，两个班一共应付598元．如果两个班作为一个团体购票，一共应付545元，则甲班有_____人，乙班有_____人．16．已知方程组2221x y x y +=⎧⎨+=⎩，那么x y +=_________． 17．已知关于x ，y 的方程组111222a b c a b c x y x y +=⎧⎨+=⎩的唯一解是41x y =⎧⎨=⎩，则关于m ，n 的方程组()()11112222a 2m 6b c b a 2m 6b c b n n ⎧--=+⎪⎨--=+⎪⎩的解是____________． 18．如果()2 x 2y 1x y 50-+++-=，那么x =______，y =____ 19．我们称使方程2323x y x y ++=+成立的一对数x ，y 为“相伴数对”，记为(),x y ．（1）若()6,y 是“相伴数对”，则y 的值为______；（2）若(),a b 是“相伴数对”，请用含a 的代数式表示b =______．20．2017年复兴号的成功研制生产，标志着我国高速动车组走在了世界先进前列．2019年全世界最长的高速动车组复兴号CR 400A ﹣B 正式运营，全长约440米，如图，将笔直轨道看成1个单位长度为1米的数轴，CR 400A ﹣B 停站时首尾对应的数分别为a ，b ，向右行驶一段距离后，首尾对应的数分别为c ，d ，若c ﹣d ＝2（|a |﹣|b |），则b 的值为__．21．若方程2(3)31a a x y --+=是关于x ，y 的二元一次方程，则a 的值为_____．三、解答题22．解方程组（1）310518x y x y +=⎧⎨+=⎩2312491a b ⎪-=-⎩ 23．某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批A ，B 两种型号的新能源汽车据了解，2辆A 型汽车和3辆B 型汽车的进价共计80万元；3辆A 型汽车和2辆B 型汽车的进价共计95万元．（1）求A ，B 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；（2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进的B 种型号的新能源汽车数量多于A 种型号的新能源汽车数量，请直接写出该公司的采购方案．24．我市新建植物园以其优美独特的自然植物景观，现已成为我市市民春游踏青、赏四季花卉、观景的重要旅游景区．若该植物园中现有A 、B 两个园区，已知A 园区为长方形，长为()x y +米，宽为()x y -米；B 园区为正方形，边长为(3)x y +米．（1）请用代数式表示A 、B 两园区的面积之和并化简：（2）现根据实际需要对A 园区进行整改，长增加(11)x y -米，宽减少(2)x y -米，整改后A 区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米，求此时x 、y 的值．（3）在（2）的条件下，若整改后A 园区全部种植C 种花，B 园区全部种植D 种花，且C 、D 两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表：求整改后A 、B 两园区旅游的净收益之和．（净收益＝收益－投入）25．某硫酸厂接到一批订单，急需一批浓度为60%的硫酸1200吨．但工厂只有一大批浓度70%和浓度55%的硫酸，却没有浓度60%的硫酸，马上生产时间已经来不及．由于签订了合同，到期交不了货，就得赔违约金，搞不好，这个月连工资都发不了．现在请你帮忙仔细算一算这两种硫酸各需多少吨，才能配制成浓度为60%的硫酸1200吨？。

经典三类球：外接球、内切球、棱切球--高一数学必考题型归类(学生版)

经典三类球：外接球、内切球、棱切球1【考点预测】考点一：正方体、长方体外接球1.正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2.长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3.补成长方体(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．(3)正四面体P -ABC 可以补形为正方体且正方体的棱长a =PA 2，如图3所示．(4)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4考点二：正四面体外接球如图，设正四面体ABCD 的的棱长为a ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为22a ，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为R =22a ⋅32=64a ，即正四面体外接球半径为R =64a ．考点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体ABCD 中，AB =CD =m ，AC =BD =n ，AD =BC =t ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为a ,b ,c ，则b 2+c 2=m 2a 2+c 2=n 2a 2+b 2=t 2，三式相加可得a 2+b 2+c 2=m 2+n 2+t 22,而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R ，则a 2+b 2+c 2=4R 2，所以R =m 2+n 2+t 28．直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形)图1图2图3第一步：确定球心O 的位置，O 1是ΔABC 的外心，则OO 1⊥平面ABC ；第二步：算出小圆O 1的半径AO 1=r ，OO 1=12AA 1=12h (AA 1=h 也是圆柱的高)；第三步：勾股定理：OA 2=O 1A 2+O 1O 2⇒R 2=h 22+r 2⇒R =r 2+h 2 2，解出R 考点五：直棱锥外接球如图，PA ⊥平面ABC ，求外接球半径．解题步骤：第一步：将ΔABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：O 1为ΔABC 的外心，所以OO 1⊥平面ABC ，算出小圆O 1的半径O 1D =r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得a sin A=b sin B =c sin C =2r )，OO 1=12PA ；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R )2=PA 2+(2r )2⇔2R =PA 2+(2r )2；②R 2=r 2+OO 12⇔R =r 2+OO 12．考点六：正棱锥外接球正棱锥外接球半径：R=r2+h22h．垂面模型如图1所示为四面体P-ABC，已知平面PAB⊥平面ABC，其外接球问题的步骤如下：(1)找出△PAB和△ABC的外接圆圆心，分别记为O1和O2．(2)分别过O1和O2作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O．(3)过O1作AB的垂线，垂足记为D，连接O2D，则O2D⊥AB．(4)在四棱锥A-DO1OO2中，AD垂直于平面DO1OO2，如图2所示，底面四边形DO1OO2的四个顶点共圆且OD为该圆的直径．图1图2考点八：锥体内切球方法：等体积法，即R=3V体积S表面积考点九：棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形1【典型例题】1(2023春·天津宁河·高一校考期末)在三棱锥P-ABC中，AP=2,AB=3,PA⊥面ABC，且在△ABC中，C=60°，则该三棱锥外接球的表面积为()A.20π3B.8πC.10πD.12π2(2023·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习)在正三棱锥S-ABC中，外接球的表面积为36π，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，则此三棱锥侧棱SA=()A.1B.2C.3D.233(2023春·河南南阳·高一校联考期末)《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为正方形，EF∥平面ABCD，四边形ABFE,CDEF为两个全等的等腰梯形，EF=12AB=2,AE=23则该刍甍的外接球的体积为()A.642π3B.3π C.643π3D.642π4(2023·高一课时练习)已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为35π，则该圆台的外接球半径为()A.1055B.654C.1854D.10545(2023·高一课时练习)已知圆锥的底面半径为2，高为42，则该圆锥的内切球表面积为()A.4πB.42πC.82πD.8π6(2023·高一课时练习)一个正四棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且该四棱柱的底面面积为3，高为10，则球O的体积为()A.16πB.32π3C.10π D.28π37(2023·高一课时练习)正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如图所示，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为()A.423π B.8327π C.83π D.163π8(2023·高一课时练习)已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB=BC=CA=2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的13，则下列结论正确的为()A.球O的外切正方体的棱长为6B.球O的表面积为8πC.球O的内接正方体的棱长为3D.球O的半径为329(2023·河南开封·开封高中校考模拟预测)已知某棱长为22的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为()A.π2B.π3C.3π3D.2π210(2023·高一课时练习)正四面体ABCD的棱长为a，O是棱AB的中点，以O为球心的球面与平面BCD的交线和CD相切，则球O的体积是()A.16πa3 B.26πa3 C.36πa3 D.23πa311(2023·高一课时练习)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，如图所示，∠BAC= 90°，AB=1，AC=2，AA1=3，则四面体A-A1BC的体积为，四棱锥A1-BCC1B1的外接球的表面积为．2【过关测试】一、单选题1(2023·高一课时练习)若正四面体的表面积为83，则其外接球的体积为()A.43πB.12πC.86πD.323π2(2023·陕西渭南·高一统考期末)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，AA1=22，∠ABC=π2，则此三棱柱外接球的表面积为()A.4πB.8πC.16πD.24π3(2023春·河北衡水·高一校考阶段练习)在正四棱锥P-ABCD中，AB=4，PA=26，则平面PAB截四棱锥P-ABCD外接球的截面面积是()A.65π5B.36π5C.12πD.36π4(2023春·山西太原·高一校考阶段练习)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=3，侧棱PA 与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为()A.πB.π3C.4π D.4π35(2023春·河南鹤壁·高一河南省浚县第一中学校考阶段练习)已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足BA=BC=6，∠ABC=π2，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为()A.323π B.32π C.16π D.823π6(2023·高一课时练习)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P-ABCD 是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4．则该阳马的外接球的表面积为()A.1252π3B.50πC.100πD.500π37(2023·吉林·高一吉林一中校考阶段练习)如图，在△ABC 中，AB =25,BC =210,AC =213，D ，E ，F 分别为三边中点，将△BDE ,△ADF ,△CEF 分别沿DE ,EF ,DF 向上折起，使A ，B ，C 重合为点P ，则三棱锥P -DEF 的外接球表面积为()A.72πB.7143πC.14πD.56π8(2023·高一课时练习)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2,∠DAB =60°,E 为AB 中点.将ΔADE 与ΔBEC 分别沿ED 、EC 折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P -DCE 的外接球的体积为()A.43π27B.6π2C.6π8D.6π249(2023·高一课时练习)边长为1的正四面体内切球的体积为()A.6π8B.212C.π6D.6π21610(2023·高一课时练习)已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SAC ⊥平面SBC ，SA =AC ，SB =BC ，球O 的体积为36π，则三棱锥S -ABC 的体积为()A.9 B.18 C.27 D.3611(2023·高一课时练习)如下图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球O 的球面上，则球O 与正八面体的体积之比是()A.πB.4π3C.3π2D.2π12(2023·高一课时练习)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1所有的顶点都在球O 的球面上，球O 的体积是500π3，∠ABC =60°，AC =43，则AA 1=()A.3B.6C.4D.8二、多选题13(2023春·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习)如图，线段AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，EF ⎳AB ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且AB =2，EF =AD =1，则下列说法正确的是()A.OF ⎳平面BCEB.BF ⊥平面ADFC.三棱锥C -BEF 外接球的体积为5πD.三棱锥C -BEF 外接球的表面积为5π14(2023春·江苏无锡·高一江苏省江阴市第一中学校考阶段练习)我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有()A.正方体的棱切球的半径为2B.正四面体的棱切球的表面积为π2C.等长正六棱柱的棱切球的体积为4π3D.等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为7π1215(2023春·湖南邵阳·高一湖南省邵东市第三中学校考期中)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的各棱长均为2，下列结论正确的是()A.该正方体外接球的直径为23B.该正方体内切球的表面积为4πC.若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为2D.该正方体外接球的体积为43三、填空题16(2023春·陕西汉中·高一校考期中)已知球O是四棱锥P-ABCD的外接球，四边形ABCD是边长为1的正方形，点P在球面上运动且PA=2，则当四棱锥P-ABCD的体积最大时，球O的表面积是.17(2023·高一课时练习)、已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于18(2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习)已知某圆锥的内切球的体积为32π3，则该圆锥的表面积的最小值为．19(2023·高一课时练习)如果圆柱、圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积的比是.20(2023·高一课时练习)已知A、B、C是球面上三点，且AB=AC=4，∠BAC=90°，若球心O 到平面ABC的距离为22，则该球表面积为.21(2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考期中)已知正三棱锥S-ABC,SA=SB= SC=23,AB=3，球O与三棱锥S-ABC的所有棱相切，则球O的表面积为．22(2023春·山东德州·高一德州市第一中学校考阶段练习)边长为2的正四面体内有一个球，当球与正四面体的棱均相切时，球的体积为．23(2023春·广东江门·高一江门市培英高级中学校考期中)已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是．24(2023春·江苏苏州·高一江苏省苏州实验中学校考阶段练习)一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式为V (3R-h)h2，其中R为球的半径，h为球缺的高.若一球与一棱长为2的正方体的各棱均相切，则=π3该球与正方体的公共部分的体积为.四、解答题25(2023·全国·高一专题练习)已知球与正四面体的六条棱都相切，求球与正四面体的体积之比．26(2023·高一课时练习)有三个球，已知球O1内切于正方体，球O2与这个正方体各棱都相切，球O3过这个正方体的各个顶点，求球O1、球O2、球O3的表面积之比.。

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