破解线性代数的秘密
探索高中数学中的线性代数问题的解题技巧
探索高中数学中的线性代数问题的解题技巧高中阶段的数学学科中，线性代数问题一直是难点和重点之一。
许多学生在学习这一部分时常常会遇到各种各样的问题，而其中最大的问题则在于解题技巧。
在今天的文章中，我们将会探索一下在高中数学中，如何更加高效的解决线性代数问题。
一、了解基本概念在学习线性代数问题时，首先需要了解一些基本的概念，例如向量、矩阵等。
向量可以看做是一个有向线段，其长度为模长，方向为方向角；而矩阵则是由数个数构成的矩形阵列。
学生们应该首先了解这些基本概念，并且掌握它们之间的互相转化关系。
二、掌握基本运算法则解决线性代数问题的一个必要条件就是掌握基本的运算法则，例如加法、减法、数乘、转置、乘法等。
在掌握了这些基本运算法则之后，我们就能够更加容易地进行计算，从而更快、更准确地得出答案。
三、熟练应用高斯消元法高斯消元法是解决线性代数问题的一种经典方法。
在数学高中阶段学习线性代数时，学生们应该熟悉并掌握这一方法的应用，从而在进行数学计算时更加得心应手。
四、重视矩阵的秩和行列式在矩阵的秩和行列式中，包含了比如求解线性方程组解、判断矩阵线性无关等重要概念。
掌握这一点，可以帮助学生们更加深入理解线性代数的相关内容。
五、注重实际应用在学习数学的过程中，不仅仅只需要理解具体的概念和方法，还需要注重实际应用。
因此，在学习过程中，需要关注线性代数的实际应用，例如掌握矩阵在计算机图形处理中的应用、了解线性代数在人工智能中的应用等等。
六、注重举一反三学习数学，不仅仅是掌握具体的概念、方法和应用，还需要注重举一反三。
在解决一道线性代数问题的过程中，如果能够形成思维习惯，逐渐掌握一般化的解题方法和思路，那么对于提高解题效率和分析问题能力来说，是非常有帮助的。
七、勤于联系最后，无论是在解决线性代数问题的过程中还是在整个数学学习过程中，勤于联系对于提高数学能力和解题效率来说都是非常重要的。
只有通过大量的联系和实际运用，才能更加深入地了解和掌握线性代数问题的解题技巧。
经济数学·线性代数：解题方法技巧归纳
经济数学·线性代数：解题方法技巧归纳
常见的解题方法技巧：
1.高斯消元法：用于解决线性方程组的方法，通过
消去未知数的系数，使方程组的每一行的未知数
只有一个。
2.高斯-约旦消元法：用于解决线性方程组的方法，
通过消去未知数的系数，使方程组的每一行的未
知数只有一个，并通过交换方程的顺序来解决无
解或多解的情况。
3.矩阵消元法：用于解决线性方程组的方法，将方
程组写成矩阵形式，通过消去未知数的系数，使
矩阵的每一行的未知数只有一个。
4.高斯-约旦分解法：用于解决线性方程组的方法，
通过将方程组写成两个矩阵的乘积的形式。
5.广义逆矩阵法：用于解决线性方程组的方法，通
过求出矩阵的广义逆（也叫做伪逆），将方程组写
成矩阵的形式，求解未知数的值。
6.矩阵的特征值与特征向量：用于解决矩阵的本征
值问题的方法，通过求解矩阵的特征方程，求得
矩阵的特征值与特征向量，并利用它们来求解其
他问题。
7.奇异值分解：用于解决矩阵的奇异值分解问题的
方法，将矩阵分解为三个矩阵的乘积的形式，并利用它们来求解其他问题。
8.广义逆矩阵的求法：用于求解矩阵的广义逆（也叫做伪逆）的方法，包括计算机辅助的方法和数学计算的方法。
了解高中数学中的线性代数问题的解题技巧
了解高中数学中的线性代数问题的解题技巧线性代数是数学的一个分支，广泛应用于科学、工程和经济等领域。
在高中数学中，线性代数也是一门重要的课程，通过学习线性代数，不仅可以提高学生的数学思维能力，还可以帮助他们解决实际问题。
本文将介绍高中数学中线性代数问题的解题技巧，包括向量、矩阵和线性方程组的解法等。
一、向量的基本概念和运算向量是线性代数中的重要概念，它可以表示大小和方向。
在解决向量问题时，首先要了解向量的基本概念，包括向量的表示方法、向量的模长和方向角等。
其次，需要熟练掌握向量的运算法则，如向量的加法、减法、数量乘法和内积等。
通过灵活运用这些运算法则，可以简化向量计算过程，提高解题效率。
二、矩阵的基本概念和运算矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它可以用来表示一组数。
在解决矩阵问题时，首先要了解矩阵的基本概念，包括矩阵的行、列、秩和转置等。
其次，需要掌握矩阵的运算法则，如矩阵的加法、减法、数量乘法和乘法等。
同时，矩阵的逆矩阵和行列式等相关概念和运算也是解决矩阵问题的关键。
掌握了这些基本概念和运算法则，可以更好地理解和解决与矩阵相关的数学问题。
三、线性方程组的解法线性方程组是线性代数中的重要问题之一，它可以用来描述多个线性方程的关系。
在解决线性方程组时，可以采用消元法、矩阵方法和向量方法等不同的解题技巧。
消元法是线性方程组解法中最常用的方法，将线性方程组转化为行阶梯形式，然后逐步消去未知数，得到解的过程。
矩阵方法通过将线性方程组转化为矩阵的形式，然后通过行初等变换或矩阵的逆矩阵等方法求解。
向量方法通过将线性方程组表示为向量的形式，通过向量之间的线性组合求解。
在解决线性方程组问题时，根据具体情况选择合适的解题方法，可以提高解题效率。
四、矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，它们对于理解矩阵的本质和性质有着重要的作用。
矩阵的特征值表示矩阵在某个方向上的伸缩因子，特征向量表示在相应特征值方向上的向量。
线性代数求解方法和技巧
线性代数求解方法和技巧线性代数是数学中重要的一个分支，研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。
在实际问题中，我们常常需要用线性代数的方法来解决问题，因此掌握线性代数的求解方法和技巧对于理解和应用数学是非常重要的。
首先，我们讨论线性方程组的求解方法。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数的次数都为1。
对于n个未知数和m个方程的线性方程组，我们有以下几种常用的求解方法：1. 列主元消元法：这是最常用的线性方程组求解方法之一。
它的基本思想是通过行变换将线性方程组化为一个三角形式，进而求解得到方程组的解。
在进行行变换时，要选择合适的列主元，即选择主元元素绝对值最大的一列作为主元素。
2. 矩阵求逆法：对于一个可逆的n阶方阵A，我们可以通过求A的逆矩阵来求解线性方程组Ax=b。
具体地，我们首先通过高斯消元法将方程组化为三角形式，然后根据三角形式的矩阵求逆公式来求解x。
3. LU分解法：对于一个n阶非奇异矩阵A，我们可以将其分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
接着，我们可以通过LU分解来求解线性方程组Ax=b。
具体地，我们首先通过LU分解将方程组化为Lc=b和Ux=c两个方程组，然后依次求解这两个方程组得到x的值。
除了以上的求解方法，还有一些线性方程组的特殊情况和对应的求解方法：1. 齐次线性方程组：如果线性方程组右边的常数项都为0，即b=0，那么我们称为齐次线性方程组。
对于齐次线性方程组，其解空间是一个向量空间。
我们可以通过高斯消元法来求解齐次线性方程组，先将其化为三角形式，然后确定自由未知量的个数，最后确定解空间的基底。
2. 奇异线性方程组：如果线性方程组的系数矩阵A是奇异矩阵，即det(A)=0，那么我们称为奇异线性方程组。
对于奇异线性方程组，其解可能不存在，或者存在无穷多解。
我们可以通过计算矩阵A的秩来确定线性方程组的解的情况。
另外，在实际问题中，我们可能会遇到大规模的线性方程组，这时候求解方法和技巧还需要考虑到计算效率的问题。
考研数学重要知识点解析线性代数
考研数学重要知识点解析线性代数线性代数是考研数学中的一个重要知识点，也是研究线性空间和其上的线性映射的一门数学分支。
它在数学中具有广泛的应用，例如在物理学、工程学、计算机科学等领域都有着重要的地位。
线性代数的重要知识点主要包括线性空间、线性映射、矩阵和向量等。
首先，线性空间是指满足一定条件的集合，其中的元素称为向量。
线性空间具有加法和数乘两种运算，满足一定的性质。
线性空间的基可以用来表示该空间中的任意向量，并且可以通过坐标来表示向量。
线性映射是线性代数中的一个重要概念，它是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。
线性映射保持向量空间的加法和数乘运算。
线性映射的矩阵也是线性代数中的一个重要概念，它可以通过矩阵乘法来表示。
矩阵是一个矩形的数表，由行和列组成。
矩阵是线性代数中的重要工具，可以用来表示线性映射、线性方程组等。
向量是线性代数中的另一个重要概念，它可以用来表示一个点或一个方向。
向量具有大小和方向两个属性，可以通过加法和数乘来进行运算。
向量的点乘和叉乘是线性代数中的两种重要运算，它们分别表示向量的数量积和向量的向量积。
在研究线性代数时，我们需要掌握线性映射和矩阵的基本性质，理解线性方程组、特征值和特征向量的概念，掌握矩阵的行列式和逆矩阵的计算方法，熟练运用向量的点乘和叉乘进行计算等。
同时，在解决线性代数相关问题时，我们还可以运用线性代数的一些方法和技巧，如矩阵的变换、矩阵的秩等。
这些方法和技巧在解决实际问题时往往能够提高解题的效率和准确度。
总之，线性代数是考研数学中的一个重要知识点，掌握线性空间、线性映射、矩阵和向量等的基本概念和性质，熟练运用相关的计算方法和技巧对于考研数学的学习和考试至关重要。
通过对线性代数的深入理解和应用，我们可以更好地理解和应用数学在实际问题中的作用。
线性代数题求解答技巧
线性代数题求解答技巧线性代数是一门重要的数学学科，应用广泛，涉及到众多的概念和定理。
解线性代数题有一些技巧和方法可以帮助我们更好地理解问题和找到解答。
在本文中，我将向您介绍一些解线性代数题的技巧。
1. 熟悉基本概念和定理：了解线性代数的基本概念和定理，例如矩阵、行列式、向量空间、线性变换等，对于解题非常重要。
熟悉这些基础知识将帮助您更好地理解问题和找到解答。
2. 理解题目中的关键信息：仔细阅读题目，并理解其中的关键信息和要求。
对于一些复杂的题目，可以将问题进行拆解，将其转化为更简单的子问题来解决。
3. 画图和示意图：对于涉及到向量、矩阵和线性变换的题目，可以尝试画图和示意图以帮助理解问题。
图形可以直观地表示线性变换的作用和向量的变化，有助于更好地理解问题的本质。
4. 利用矩阵运算法则：运用矩阵的基本运算法则，例如加法、减法、乘法和转置等来进行计算。
通过运用这些法则，可以简化计算和转化问题的形式。
5. 找到未知量的线性关系：对于涉及到向量和矩阵的方程组，可以通过列向量和矩阵相乘得到一个线性方程组。
通过求解这个方程组，可以找到未知量之间的线性关系。
6. 利用行列式的性质：行列式是解线性方程的重要工具之一。
了解行列式的性质和计算方法，可以帮助我们更好地理解和解决问题。
通过对行列式的计算，可以判断矩阵是否可逆、线性方程组是否有唯一解等关键问题。
7. 利用向量空间的性质：向量空间是研究向量的重要概念之一。
了解向量空间的性质，例如维数、基、秩等，可以帮助我们更好地理解向量空间的结构和性质，从而解决相关问题。
8. 利用特殊矩阵的性质：对于一些特殊的矩阵，例如对称矩阵、上三角矩阵、对角矩阵等，它们具有一些特殊的性质和特点。
通过利用这些性质，可以简化计算和解决问题。
9. 利用线性变换的性质：线性变换是研究线性代数的重要工具之一。
了解线性变换的性质和运算法则，可以帮助我们更好地理解和解决线性变换的问题。
10. 训练解题技巧：解线性代数题需要一些技巧和经验。
解答线性代数问题的五大数学思想方法
解答线性代数问题的五大数学思想方法线性代数是数学中一门重要的学科，它研究向量空间及其上的线性映射。
在解答线性代数问题时，有五种常用的数学思想方法，它们是：1. 向量空间思想向量空间思想是线性代数的核心概念，它通过引入向量、线性组合和线性相关性等概念，将问题抽象为向量空间中的运算和性质。
在解答线性代数问题时，我们可以利用向量空间的性质，如线性独立性和子空间的性质，对问题进行分析和推导。
2. 矩阵运算思想矩阵运算思想是解答线性代数问题的重要手段。
通过将向量和线性映射表示为矩阵形式，我们可以利用矩阵的运算法则，如矩阵的加法、乘法和转置等，对线性代数问题进行简化和求解。
3. 特征值和特征向量思想特征值和特征向量思想是线性代数中的重要概念，它们与线性映射的性质密切相关。
通过求解矩阵的特征值和特征向量，我们可以揭示线性映射的几何效应和特征，进而对线性代数问题进行深入分析和解答。
4. 线性方程组思想线性方程组思想是解答线性代数问题的基础方法。
通过建立线性方程组，我们可以通过消元法、矩阵求逆或矩阵行列式等方法，求解线性方程组的解，从而解答线性代数问题。
5. 内积和正交思想内积和正交思想是解答线性代数问题的重要工具和思想方法。
通过定义内积和正交的概念，我们可以利用内积的性质，如正交投影、正交分解和正交对角化等，对线性代数问题进行求解和分析。
综上所述，解答线性代数问题的五大数学思想方法包括向量空间思想、矩阵运算思想、特征值和特征向量思想、线性方程组思想以及内积和正交思想。
这些方法能够帮助我们深入理解线性代数的概念和性质，解答各类线性代数问题。
解行列式的方法
解行列式的方法
哇塞，解行列式可是线性代数中超级重要的一部分呢！那到底怎么解行列式呢？这就来详细说说。
首先呢，最常见的方法就是按行或按列展开。
就像剥洋葱一样，一层一层地把行列式展开。
步骤就是选定一行或一列，然后用这一行或一列的元素分别乘以它们对应的代数余子式，再把这些乘积加起来。
这里要注意哦，代数余子式的符号可不能搞错啦！这个方法简单直接，但有时候计算量可能会有点大哦。
在解行列式的过程中呀，安全性那是杠杠的，只要你按照步骤来，一步一步认真算，就不太会出错。
稳定性也很高呀，不管行列式多大，都可以用这个方法慢慢解出来。
那它都有啥应用场景和优势呢？哎呀呀，那可多了去啦！在很多工程问题、物理问题中都有它的身影呢。
它的优势就在于能把复杂的问题转化为行列式的计算，让我们可以有条理地去解决。
而且一旦掌握了方法，就像拿到了一把钥匙，能打开很多知识的大门呢！
来举个实际案例吧。
比如说在研究电路网络的时候，通过建立行列式就能分析出电流的分布情况。
哇，是不是很神奇？就像我们找到了一个神奇的工具，能让复杂的电路变得清晰明了。
所以呀，解行列式真的是超级厉害的工具呢！它能帮我们解决好多难题，让我们在数学和其他领域都能游刃有余呀！。
考研数学线性代数题解题技巧与方法
考研数学线性代数题解题技巧与方法线性代数是考研数学中的一门重要课程，也是许多考生感到头疼的科目。
在考研数学线性代数题中，解题技巧和方法是至关重要的。
本文将探讨几种在解线性代数题目时常用的技巧和方法，希望能对考生们有所帮助。
一、方程组求解1. 列主元消去法：列主元消去法是求解线性方程组的一种常用方法。
它的基本思想是通过一系列的行变换，将方程组化为“简化行梯阵”，然后逆序回代求解未知数。
在进行列主元消去法时，可以采用高斯-约当消去法或高斯-塞尔曼消去法。
2. 矩阵求逆法：求解线性方程组可以借助矩阵求逆。
当方程组可用矩阵表示时，我们可以通过求解矩阵的逆矩阵来求解方程组。
矩阵求逆法可以使用伴随矩阵法、初等变换法或分区法等方法求解。
二、特征值和特征向量1. 特征方程法：求解特征值和特征向量可以通过解特征方程来实现。
根据定义，特征值和特征向量满足方程AX = λX，其中 A 是给定的 n阶方阵，X 是 n 维非零向量，λ 是标量。
我们可以通过解特征方程det(A-λI) = 0 来获得特征值λ，然后代入方程组进行求解得到特征向量X。
2. 相似对角化法：相似对角化是一种常用的特征值和特征向量求解方法。
根据特征分解定理，对于 n 阶矩阵 A，若存在可逆矩阵 P，使得P⁻¹AP = D，其中 D 是对角矩阵，那么 D 的对角线上的元素就是 A 的特征值，P 的列向量就是 A 的特征向量。
三、向量空间1. 基与维数：向量空间是线性代数的重要概念之一。
对于给定的向量空间 V，若存在 V 的一个向量组 v₁, v₂, ..., vₙ，满足：(1) 向量组中的向量线性无关；(2) 向量空间 V 中的任意向量都可以由该向量组线性表示；那么这个向量组就是 V 的一组基。
而向量空间 V 的维数就是它的基的向量个数。
2. 基变换与坐标表示：在向量空间中，基的选择对于向量的表示是至关重要的。
不同的基会导致不同的坐标表示。
线性代数超强的总结(不看你会后悔的)
线性代数超强的总结(不看你会后悔的).doc线性代数超强总结（不看你会后悔的）引言线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于科学、工程、经济学和社会科学等领域。
本文档旨在提供一个全面而深入的线性代数总结，帮助读者掌握这一重要学科的核心概念和应用。
矩阵理论矩阵运算加法：两个同型矩阵对应元素相加。
乘法：矩阵乘积涉及到行与列的点积。
转置：矩阵的转置是将行列互换。
逆矩阵：方阵的逆矩阵满足 ( AA^{-1} = A^{-1}A = I )。
特殊矩阵单位矩阵：对角线上全是1，其他位置为0的方阵。
对角矩阵：除了对角线上的元素，其他位置元素都是0。
上三角矩阵和下三角矩阵：上三角矩阵的对角线以下元素为0，下三角矩阵的对角线以上元素为0。
向量空间向量空间的定义向量空间是满足加法和标量乘法封闭性的集合。
基和维数基：向量空间的一组基是线性无关的向量集合，任何向量都可以唯一地表示为基向量的线性组合。
维数：向量空间的维数是其基中向量的数量。
子空间子空间是向量空间的一个子集，它自身也是一个向量空间。
线性变换线性变换的定义线性变换是满足加法和标量乘法保持性的函数。
线性变换的矩阵表示任何线性变换都可以用一个矩阵来表示。
特征值和特征向量特征值：使得 ( Av = \lambda v ) 成立的标量 ( \lambda )。
特征向量：对应的非零向量 ( v )。
线性方程组线性方程组的表示线性方程组可以表示为矩阵形式 ( Ax = b )。
高斯消元法高斯消元法是一种通过行操作求解线性方程组的方法。
克拉默法则当系数矩阵是可逆的，克拉默法则提供了一种解线性方程组的公式。
特征值和特征向量特征多项式特征多项式是 ( \det(A - \lambda I) )，其根即为矩阵 ( A ) 的特征值。
对角化如果矩阵 ( A ) 有足够多的线性无关的特征向量，则 ( A ) 可以对角化。
内积空间内积的定义内积是一个二元运算，满足正定性、线性和对称性。
考研数学线性代数的解题技巧
考研数学线性代数的解题技巧线性代数是考研数学中的重要组成部分，对于很多考生来说，线性代数的解题是一个相对较难的任务。
然而，只要掌握了一些解题技巧，就能够在考试中更好地应对线性代数题目。
本文将为大家介绍几种常用的解题技巧，希望对考生的复习有所帮助。
一、矩阵的基本变换在解线性代数题目时，经常需要进行矩阵的基本变换。
常见的矩阵变换包括行变换、列变换和矩阵的转置等。
行变换是通过对矩阵的行进行加减乘除等运算，使得矩阵的某些元素变为零或者满足特定的条件。
列变换与行变换类似，只不过是对矩阵的列进行操作。
矩阵的转置是将矩阵的行与列对调形成的新矩阵，如矩阵A的转置记为A^T。
转置后，矩阵的主对角线元素不变，其它元素按照相应位置互换。
通过合理运用矩阵的基本变换，可以简化解题过程，提高解题效率。
二、矩阵的初等变换矩阵的初等变换是指对矩阵进行行变换、列变换或者矩阵转置的运算。
常见的初等变换包括倍加行、倍减行、行交换等操作。
倍加行是将一个矩阵的某一行的每个元素都乘以一个非零数然后加到另一行上。
倍减行与倍加行类似，只不过是将一个矩阵的某一行的每个元素都乘以一个非零数然后减去另一行。
行交换是将矩阵的两行进行互换位置。
通过矩阵的初等变换，可以将矩阵化简为最简形或者找到矩阵的特殊解等。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，解题中经常会用到。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个λ使得A*x = λ*x，其中x为非零向量，那么λ称为矩阵的特征值，对应的x称为特征向量。
求矩阵的特征值和特征向量可以通过求解矩阵的特征方程来实现。
特征值和特征向量的求解对于解线性方程组、矩阵的对角化等都具有重要的作用。
在解题时，可通过特征值和特征向量的性质来简化问题，提高解题效率。
四、向量空间和基在线性代数中，向量空间是指由一组向量线性组合而成的集合。
解题中，对于给定的向量空间和一组基，可以通过判断向量是否属于该向量空间，求解向量的线性表示等来解题。
数学线性代数基础知识及解题技巧
数学线性代数基础知识及解题技巧数学线性代数是一门重要的数学分支，它广泛应用于科学、工程、经济学等领域。
线性代数的基础知识和解题技巧对于学习和应用数学线性代数来说至关重要。
本文将介绍数学线性代数的基础概念、常用方法和解题技巧。
1. 向量与矩阵向量是线性代数的基本元素之一，它可以用一组有序的数字表示。
向量有大小和方向，可以进行加法和数乘运算。
矩阵是由若干个向量组成的矩形阵列，矩阵的每个元素也可以是一个数字。
矩阵的加法、数乘和乘法等运算规则与向量类似。
了解向量和矩阵的基本概念及运算规则是学习线性代数的基础。
2. 线性方程组线性方程组是由一组线性方程组成的方程组。
在线性方程组中，未知数的次数与方程的个数相同，并且每个未知数的次数都是一次。
线性方程组的解是使得方程组中的每个方程均成立的未知数的值。
解线性方程组的常用方法有高斯消元法、矩阵法和克拉默法则等。
掌握解线性方程组的方法和技巧是线性代数的关键。
3. 向量空间向量空间是由一组向量所组成的集合，满足一定的运算规则。
向量空间具有加法、数乘和零向量等运算规则。
线性代数中的许多概念和理论都是在向量空间中进行研究的。
了解向量空间的概念和性质对于进一步理解线性代数的相关内容很重要。
4. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值是指矩阵与它的特征向量相乘得到的向量与特征向量平行的数值。
特征值与特征向量是研究线性变换的重要工具，它们可以帮助我们理解矩阵的性质和变换过程。
特征值与特征向量可以通过求解特征方程组得到。
5. 线性变换线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换。
线性变换具有保持向量空间的加法和数乘运算规则的性质。
线性变换是研究线性代数的重要对象，可以通过矩阵的乘法来表示线性变换。
线性变换的性质和特点对于理解和应用线性代数具有重要意义。
6. 解题技巧解题技巧在学习线性代数时非常重要。
首先，要注意理解和掌握基本概念和运算规则。
其次，要善于运用数学工具和方法，如矩阵的转置、逆矩阵和行列式等。
线性代数解题方法与技巧
线性代数解题方法与技巧
线性代数是一门高等数学的分支，主要研究向量空间和线性映射之间的关系。
有时也可以被用来求解复杂的数学问题。
本文将介绍一些常用的线性代数解题方法与技巧。
首先，在求解线性代数问题之前，需要分析问题，找出问题的条件和特征，并归纳出问题的表达形式，以便有针对性的解决。
其次，要认真看清线性代数形式，要区分方程组中的等式和不等式，这样可以更好地理解求解的步骤。
第三，必须考虑到线性代数的基本性质，比如向量的加法、叉乘和点积、矩阵的乘法等。
使用这些基本性质可以更容易地解决线性代数问题。
第四，要了解不同形式的线性代数，比如可以利用矩阵、向量和有理函数来表达，这样可以更容易地理解问题，并有效解决。
第五，有时候线性代数问题太复杂，可以考虑使用拟合技术来求解，使用类似于最小二乘法的拟合方法可以达到较好的性能。
最后，在求解线性代数问题时，要尽量避免暴力枚举法，尽量从数学的角度出发，从数学原理出发花费更少的时间，从而更好地求解问题。
总的来说，线性代数的解题需要考虑问题的特征，归纳出问题的表达形式，正确识别基本性质，以及使用不同的数学技术等，这些都是线性代数解题方法与技巧。
解析考研数学线性代数高分解题技巧
解析考研数学线性代数高分解题技巧在考研数学线性代数这个科目中，许多考生认为解题技巧是取得高分的重要因素之一。
本文将分析解析考研数学线性代数高分解题技巧，希望能给考生提供实用的指导。
一、理解基本概念要想在线性代数中取得高分，首先要对基本概念有深入的理解。
线性代数中的基本概念包括矩阵、向量、行列式等。
建议考生在备考过程中，将这些基本概念的定义和性质牢记于心，并多做相关题型的练习，以加深对这些概念的理解和应用。
二、掌握基本定理和性质熟练掌握线性代数中的基本定理和性质是解题的基础。
比如矩阵的秩与零空间的维数的关系、特征值与特征向量的性质等。
考生要牢记这些基本定理和性质，并能够熟练灵活地运用于解题过程中。
三、强化计算能力在线性代数的考试中，计算题是比较常见的一种题型。
因此，考生需要通过大量的计算练习，提高计算的准确性和速度。
对于矩阵的运算和行列式的计算，考生要掌握相应的运算法则和计算技巧，以提高解题的效率。
四、注意题目中的关键信息在解题过程中，考生需要仔细阅读题目，注意题目中的关键信息。
有时候，题目中隐藏着解题的关键。
比如，题目中给定了一个矩阵的特定性质，可以利用该性质进行解题；题目中提到了矩阵的秩和零空间的维数之间的关系，可以通过这一关系推导出相关的结论。
因此，考生需要善于发现题目中的关键信息，并能够巧妙地运用于解题过程中。
五、分析解题方法在解题过程中，考生可以根据题目的不同，选择不同的解题方法。
比如，在求解矩阵的特征值和特征向量时，可以选择特征方程和特征多项式法，也可以选择初等变换法；在计算矩阵的秩时，可以选择高斯消元法或行阶梯形法。
考生需要对各种解题方法有所了解，并能够灵活选择和应用于解题过程中。
总结起来，解析考研数学线性代数高分解题技巧包括理解基本概念，掌握基本定理和性质，强化计算能力，注意题目中的关键信息以及分析解题方法。
通过不断的练习和实践，考生将能够更好地掌握这些解题技巧，提高解题能力，取得更好的成绩。
线性代数解析
线性代数解析线性代数是数学的一个重要分支，研究数学对象与其代数性质之间的关系。
它在许多领域中都具有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。
本文将分析线性代数的基本概念、矩阵运算、线性变换以及特征值和特征向量等内容。
一、线性代数的基本概念线性代数的基本概念包括向量、矩阵和线性方程组等。
向量是指在空间中具有大小和方向的几何实体，常用箭头表示。
矩阵是一个由数字排列成的矩形阵列，可以进行各种运算，如加法、乘法等。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，方程中的未知数和系数都是实数或复数。
二、矩阵运算矩阵运算是线性代数中的重要内容，包括矩阵的加法、减法、乘法和转置等。
矩阵的加法和减法都是对应元素相加或相减的运算。
矩阵的乘法是指两个矩阵相乘的运算，新的矩阵的每个元素都是原矩阵中对应行和对应列的元素乘积的和。
矩阵的转置是指矩阵的行和列互换的运算。
三、线性变换线性变换是指由一个向量空间到另一个向量空间的映射，满足线性性质。
线性变换可以用矩阵来表示，称为线性变换矩阵。
线性变换具有保持向量加法和标量乘法的性质，即对于任意向量v和标量k，有T(v+w)=T(v)+T(w)和T(kv)=kT(v)。
四、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ为一个标量，则称λ为矩阵A的特征值，v为对应的特征向量。
特征值和特征向量对于矩阵的性质和应用具有重要意义，可以用于矩阵的对角化和求解微分方程等问题。
结论线性代数是一门重要的数学学科，它研究数学对象之间的代数性质，广泛应用于各个领域。
通过对线性代数的基本概念、矩阵运算、线性变换以及特征值和特征向量的解析，我们能够更好地理解线性代数的核心内容，并将其应用于实际问题的求解和分析中。
在今后的学习和工作中，我们应该注重对线性代数的掌握和运用，从而提高解决问题的能力和思维水平。
数学练习巧解复杂的线性代数问题
数学练习巧解复杂的线性代数问题线性代数是数学中重要的一个分支，它研究向量空间及其线性变换的性质。
在实际应用中，线性代数常常被用于解决复杂的问题。
然而，对于初学者来说，直面这些复杂的线性代数问题可能会感到困扰。
本文将介绍几种巧解复杂线性代数问题的方法，并提供相应的示例。
1. 利用矩阵的特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵的重要性质，利用它们可以简化线性代数问题的求解过程。
对于一个n × n的矩阵A，特征值λ和特征向量v满足Av = λv。
通过求解矩阵的特征值，我们可以得到线性代数问题的解。
例如，考虑一个二阶矩阵A = [3 1; 1 3]，我们可以通过求解其特征值来解决线性代数问题。
首先，我们求解矩阵A的特征方程det(A - λI) = 0，其中I是单位矩阵。
解得特征值λ1 = 4和λ2 = 2。
接下来，我们可以求解相应的特征向量v1和v2。
将特征值代入(A - λI)v = 0，我们得到两个特征向量v1 = [1 1]和v2 = [-1 1]。
通过特征值和特征向量，我们可以得到矩阵A的对角化形式A = PDP^(-1)，其中D是对角矩阵，P是由特征向量组成的矩阵。
2. 应用行列式的性质行列式是线性代数中的重要概念，它可以用于求解矩阵的逆、判断矩阵的秩、计算矩阵的行列式等。
利用一些行列式的性质，我们可以巧妙地解决复杂的线性代数问题。
例如，考虑一个三阶矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，我们可以利用行列式的性质求解该矩阵的逆。
首先，我们计算矩阵A的行列式det(A) = 0。
由于行列式为零，说明矩阵A不可逆。
接下来，我们可以计算矩阵A的秩来判断其可逆性。
通过高斯消元法，我们可以将矩阵A变为行最简形式[1 0 -1; 0 1 2; 0 0 0]，可以看出秩为2。
由于秩小于矩阵的阶数，说明矩阵A不可逆。
3. 利用矩阵的特殊性质在现实问题中，有些矩阵具有特殊的性质，利用这些性质可以更加高效地解决线性代数问题。
高中线性代数解决问题方法探索
高中线性代数解决问题方法探索高中线性代数是数学中的一个重要分支，也是许多学生感到困惑的一个难点。
然而，通过一些具体的操作方法和分析性循序推理论点，我们可以更好地解决线性代数中的问题。
本文将通过举例说明具体操作方法，分析性循序推理论点，并给出实践导向结论，同时对问题进行进一步阐释，以帮助学生更好地掌握线性代数的解决问题方法。
首先，我们可以通过学习和掌握线性代数的基本概念和原理来解决问题。
例如，在求解线性方程组时，我们可以通过消元法或矩阵的行列式来求解未知数的取值。
通过掌握这些基本方法，我们可以更好地理解线性代数的问题，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。
其次，我们可以通过分析性循序推理的方法来解决线性代数中的问题。
例如，在求解矩阵的特征值和特征向量时，我们可以通过分析矩阵的特征多项式和特征方程来求解。
通过分析矩阵的性质和特点，我们可以更好地理解矩阵的特征值和特征向量的意义，并能够更好地解决相关问题。
接下来，让我们通过一个具体的例子来说明线性代数解决问题的方法。
假设我们需要解决以下线性方程组：2x + 3y = 74x + 5y = 11我们可以通过消元法来解决这个线性方程组。
首先，我们可以将第一个方程乘以2，将第二个方程乘以4，得到：4x + 6y = 144x + 5y = 11然后，我们可以将第一个方程减去第二个方程，得到：y = 3将y的值代入第一个方程，可以求得x的值：2x + 3(3) = 72x + 9 = 72x = -2x = -1因此，该线性方程组的解为x = -1，y = 3。
通过这个例子，我们可以看到，在解决线性方程组时，我们可以通过具体的计算步骤和分析性循序推理来求解未知数的值。
这种方法不仅能够解决具体的线性方程组问题，还能够帮助我们更好地理解线性代数的原理和概念。
综上所述，通过具体的操作方法和分析性循序推理论点，我们可以更好地解决高中线性代数中的问题。
在解决问题时，我们应该掌握线性代数的基本概念和原理，并能够灵活运用各种方法来解决具体的问题。
解决考研数学线性代数难题的思路
解决考研数学线性代数难题的思路数学线性代数作为考研的一门重要科目，常常是考生们的难点之一。
尤其是在解决线性代数难题时，许多考生感到头痛和困惑。
但只要我们掌握了一些解题的思路和方法，线性代数难题也能迎刃而解。
本文将从理清问题、建立逻辑框架、运用适当的定理和技巧等方面，介绍解决考研数学线性代数难题的思路。
一、理清问题在解决考研数学线性代数难题之前，首先要理清题目所问的问题。
有些难题在表达上可能会很复杂，但只要一步一步分析，并找到问题的关键，就能够明确解题思路。
例如，对于一个题目要求证明两个矩阵的相等性，我们可以先逐个比较两个矩阵的对应元素，然后运用相应的性质和定理来推导出它们相等的结论。
理清问题，找到题目的关键性质是解决线性代数难题的第一步。
二、建立逻辑框架在解决考研数学线性代数难题时，我们需要建立一个清晰的逻辑框架，以便有条不紊地进行推导和证明。
一般来说，可以分为以下几个步骤：1. 从已知条件入手，利用已知的性质和限制条件进行推导；2. 运用适当的定理和公式，将已知条件与要求结合起来，逐步推导出所需要的结论；3. 如果题目中存在一些未知量或未知条件，可以尝试假设和推理，然后进行反证或逆否推理，最终得出结论；4. 最后，利用所得的结论对题目进行归纳总结，确保推导的完整性和正确性。
建立逻辑框架可以帮助我们清晰地分析问题，合理地组织思路，并且避免遗漏和混乱。
三、运用适当的定理和技巧解决考研数学线性代数难题还需要熟练掌握一些常用的定理和技巧。
这些定理和技巧可以帮助我们快速推导和解决问题。
例如，当我们遇到一个线性方程组的问题时，可以利用消元法、伴随矩阵法或克莱姆法则来求解未知数；当问题涉及到矩阵的特征值和特征向量时，可以运用特征多项式和线性变换的性质来求解。
熟练应用这些定理和技巧，能够大大提高解题的效率和准确性。
另外，注意审题和反复演算也是解决数学线性代数难题的重要因素。
仔细阅读题目，理解题意，判断所给信息的重要性和关联性，有助于我们找到正确的解题方法。
线性代数的奥秘
线性代数的奥秘线性代数就是由解线性方程组的“加减消元法”发展来的线性变换和线性取代理论，利用行列式、向量、矩阵为工具研究齐次、非齐次的线性方程组和二次型，其思想精髓就是通过初等变换剔除被表示的因素，保留秩数个有效因素。
即线性取代理论。
一、内容构架（总、分）二、需要熟练掌握的运算过程三、线性取代理论四、线性取代理论与矩阵五、线性取代理论与向量六、线性取代理论与解线性方程组七、线性取代理论与特征值理论八、线性取代理论与二次型一、内容框架（总、细节）二、需要熟练掌握的运算过程1、化行阶梯形和行最简形2、矩阵的一般运算和特殊运算3、初等变换求逆4、讨论向量组的相关性5、解齐次、非齐次线性方程组6、解特征值和特征向量7、施密特正交法三、线性取代理论1、线性取代理论的混合描述所谓的线性取代就是被别人线性表示，就是通解与特解的关系，就是被别人所决定的向量空间所包含，如i 和j 表示了一整个平面，平面上的所有向量都可以有ai+bj 来表示，这样的i 和j 线性无关，谁也表示不了谁，都是老大基，他们对应于线性方程组中没有被加减消元消去的有效方程，对应向量组中的极大无关组，对应矩阵被初等变换后的非零行，对应齐次方程组的基础解系，对应向量空间的基，这些剩下的真正的能表示别人的有效因素的个数对应的概念是秩。
从几何意义上讲，秩是空间的维数，一组线性无关的谁也表示不了谁的老大基构成一个向量空间，能装下比它低维的空间，如ijk （直角坐标）描述的三维空间可以表示由ij 表示的二维空间。
若一组向量A 被另一组向量B 表示，就意味着R(A) R(B) ，低维不能装下高维，就像球放不进桌面。
2、线性取代理论的统一描述n 个无关的n 维向量决定一个n 维空间①理论解释如直角坐标系下：轴向的单位向量i （1，0）和j （0，1）决定了一个二维平面空间，平面上的任意向量都可以由a i +b j 来表示，（i ,j ）成为一组基，或者极大无关组，它们两个线性无关，二维空间，基数为2，秩为2.同理，单位轴向向量i （1，0，0），j （0，1，0），k （0，0，1）决定了一个三维空间，三维空间内的任意向量都可以由a i +b j +c k 来表示，（i ，j ，k ）称为一组基，或极大无关组，它们三个线性无关，三维空间基数为3，秩为3.若m = a i +b j ，则i ,j m 是线性相关的，即m 在i ,j 所表示的空间里，即若干个向量线性相关，它的结构是“有效因素+被表示因素”构成。
线性代数探索
线性代数探索线性代数是数学的一个分支，专注于向量空间、线性映射以及这些概念的推广。
它广泛应用于科学、工程、计算机科学和社会科学等领域，是理解现代数学和应用数学的基础工具之一。
本文将简要介绍线性代数的基本概念和应用。
基本概念向量空间：在数学中，向量空间（也称为线性空间）是一个可以加法和数量乘法的集合，满足一系列公理。
实数向量空间是最常见的类型，其元素是可以按分量进行算术运算的向量。
基与维度：向量空间的一组基是该空间的一个线性无关子集，使得空间中的每个元素都可以唯一地表示为基元素的线性组合。
空间的维度就是基中元素的数量。
矩阵与线性变换：矩阵是排列成行和列的数表，可用于表示线性变换。
线性变换是向量空间到自身的映射，保持向量加法和标量乘法的结构。
应用实例计算机图形学：在计算机图形学中，线性代数用于处理图像的旋转、缩放和平移等操作。
通过矩阵乘法，可以轻松实现这些变换。
数据分析：在数据分析领域，主成分分析（PCA）是一种常用的技术，它依赖于线性代数来降低数据的维度，同时尽可能保留原始数据的特征。
电路分析：在电子工程中，线性代数用于简化复杂电路的分析。
通过建立电路方程组，并将其表示为矩阵形式，可以有效求解电路中的电流和电压。
结论线性代数不仅是数学理论的重要组成部分，也是现代科学技术不可或缺的工具。
它以简洁优雅的方式描述了自然界和社会现象中的线性关系，提供了解决问题的强大方法和框架。
随着计算技术的发展，线性代数的应用范围还在不断扩大，对科学和工程的贡献日益显著。
---以上内容仅为线性代数的浅显介绍，实际学习和应用中还有更多深入和复杂的理论与方法等待探索。
希望本文能够激发读者对线性代数的兴趣，进一步深入研究这一迷人的数学分支。
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[转]线性代数学科的真相！献给即将开课的学妹学弟们以及重修的同志们。
（早看到这个就不至于挂了……）前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。
于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。
很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情。
可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。
比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。
大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。
这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。
对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。
长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。
事实上，我并不是特例。
一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。
这种情形在国内外皆然。
瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。
”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。
”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。
大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。
即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。
比如说：* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？* 对于矩阵转置运算A T，有(AB)T = B T A T，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。
两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？* 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。
但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。
就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，面对这样的问题，很多老手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”来搪塞。
然而，这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。
直到多年以后，我们已经发觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧？我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。
上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。
比如，如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提问者的疑惑得到解决。
他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。
像我们的教科书那样，凡事用数学证明，最后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。
自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。
然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。
数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。
然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。
反之，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶。
对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考了四、五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚升教授的《线性代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics（《数学概观》）以及Thomas A. Garrity的《数学拾遗》都给我很大的启发。
不过即使如此，我对这个主题的认识也经历了好几次自我否定。
比如以前思考的一些结论曾经写在自己的blog里，但是现在看来，这些结论基本上都是错误的。
因此打算把自己现在的有关理解比较完整地记录下来，一方面是因为我觉得现在的理解比较成熟了，可以拿出来与别人探讨，向别人请教。
另一方面，如果以后再有进一步的认识，把现在的理解给推翻了，那现在写的这个snapshot也是很有意义的。
因为打算写得比较多，所以会分几次慢慢写。
也不知道是不是有时间慢慢写完整，会不会中断，写着看吧。
-今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。
这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。
但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。
首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。
线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。
赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。
总之，空间有很多种。
你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。
这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。
我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。
仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2. 这些点之间存在相对的关系；3. 可以在空间中定义长度、角度；4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动，上面的这些性质中，最最关键的是第4条。
第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间。
而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。
只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。
认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。
事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。
你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。
因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。
下面我们来看看线性空间。
线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。
那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。