2018版高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 第1课时 任意角的三角函数学案 苏教版必修4

第1课时 任意角的三角函数

学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号．

知识点一 任意角的三角函数

使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r

.

思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？

思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？

思考3 在思考1中，当取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？

梳理 任意角的三角函数的定义

知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？

梳理 三角函数值的符号，如图所示．

口诀：“一______，二________，三________，四______”．

类型一 三角函数定义的应用

命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝10

10

x ，求sin θ，tan θ.

反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：

①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值．

②在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r

，cos α＝

x

r

.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．

跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．

命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值

例2 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3

cos α的值．

反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝

b a 2＋b

2

，cos α＝a a 2＋b

2

，tan α＝b

a

. 跟踪训练2 已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．

类型二 三角函数值符号的判断

例3 (1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限． (2)确定下列各三角函数值的符号． ①sin 182°；②cos(－43°)；③tan 7π

4.

反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

跟踪训练3 (1)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角．

(2)判断下列各式的符号．

①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.

1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝________. 2．已知角α的终边上有一点P (

55，－255

)，则sin α＋cos α＝________. 3．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝3

5，则tan α＝________.

4．当α为第二象限角时，

|sin α|sin α－cos α

|cos α|

的值是________．

5．已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝x

3，求sin α和tan α.

1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数． 2．角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．

3．终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等．

答案精析

问题导学 知识点一

思考1 sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x

.

思考2 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 思考3 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x

. 梳理 y r y r x r x r y x y

x

知识点二

思考 由三角函数定义，可以判断三角函数值的符号． 梳理 全正 正弦 正切 余弦 题型探究

例1 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2

＋9， 由三角函数定义得 cos θ＝x r

＝

x

x 2

＋9

. 又∵cos θ＝

1010x ，∴x x 2＋9＝1010

x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝3

12＋32

＝310

10， tan θ＝3

1

＝3.

当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝

3－

2＋3

2

＝31010， tan θ＝3

－1＝－3.

跟踪训练1 解 ±1

例2 解 由题意知，cos α≠0.