天津专用高中数学人教必修5《等差数列及其性质》学案(人教A版)

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人教A版数学必修五《等差数列》教学设计新部编版

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校人教A版数学《等差数列》一、教材的地位与作用本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教A版）第二章数列第二节等差数列第一课时．数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用．等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广．同时等差数也为今后学习等比数列提供了联想、类比的思想方法。

教学目标：⑴知识与技能目标理解等差数列、等差中项的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题灵活运用。

⑵过程与方法目标通过对等差数通项公式的推导培养学生的观察力和归纳推理能力并通过对等差数列通项公式的变形培养学生思维的深刻性和灵活性。

⑶情态与价值目标通过对等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察能力，积极思维、追求新知的创新意识。

2、重点难点：重点：理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数之间的联系。

难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

二、教法与学法：教法：探究、启发式以及讲练结合的教学模式，教师为主导，设置情境、问题诱导，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师引导下发现和解决问题。

学法：在引导分析时，给学生提供观察、思考的机会，让学生尝试去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

三、教学过程：1、复习上一节课的内容：数列的概念，会求简单数列的通公式。

（出示幻灯片2，提问学生回答）2、问题引入：观察下列数列，找出它们的共同点：（1）5，5，5，5，5，5（2）4，5，6，7，8，9，10（3）2，0，-2，-4，-6（出示幻灯片3，让学生合作学习，共同讨论这些数列有哪些共同的特点，然后提问学生有怎样的讨论结果，对回答不正确的同学，再指定另一同学给予指正，至到学生能找到等数列的共同特点）。

高中数学等差数列教案(新人教A版必修5)

数学：2.2《等差数列》教案（新人教A必修5）（原创）一、设计思想1、教材分析：本节内容是在学生学习了数列的一些基本知识之后，转入对特殊数列----等差数列的学习。

是本章的重点内容之一，并且等差数列在日常生活中有着广泛的应用，也是培养学生数学能力的良好题材。

等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习无论在知识上还是方法上都具有积极的意义。

2、学情分析：学生已具有一定的分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。

3、设计理念：设计本节课时，力求强调过程，强调学生探索新知的经历和获得新知的体验。

教学时不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情景，让学生自己去发现、证明。

充分体现学生的主体地位，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题的能力，培养学生的创造力。

4、教学指导思想：结合学生的实际情况及本节内容特点，我采用的是“问题教学法”，以探究式教学思想为主，提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出结论，从而使学生获得新知识的同时又提高了能力。

二、教学目标：知识与能力：理解等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式；培养学生的观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程思想过程与方法：经历等差数列的产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析能力，体验从特殊到一般认知规律，培养学生积极思维，追求新知的创新意识。

三、教学重点：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数之间的联系。

四、教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

五、教学准备：根据本节知识的特点，为突出重点、突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学的知识，我利用计算机辅助教学。

高中数学 2.2等差数列的性质导学案新人教A版必修5

2.2等差数列性质预习案【学习目标】1.准确理解等差数列的性质，掌握由等差数列的通项公式研究其图象的方法，提高运算求解能力.2.通过对等差数列通项公式的推导和等差数列性质的探究，进一步渗透数形结合思想、函数思想及方程思想.3.激情参与、惜时高效，激励学生自主探究，发现规律，感受等差数列的内在奥妙. 【重点】：等差数列的性质. 【难点】：等差数列的性质的应用. 【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1. 等差数列的通项公式是什么？与一次函数有什么关系？2. 利用等差数列的通项公式可以解决那些问题？3. 若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 、b 的________，即A=_______________4. 判断一个数列是否为等差数列的方法有哪些？ Ⅱ.教材助读1.依据等差数列的概念，你能写出等差数列的通项公式吗？公差对数列的增减性有何影响？2.已知等差数列的公差为d ，第m 项为m a ，第n 项为n a （n>m ）则n a =m a +_________3.已知一个等差数列的首项是1a ，公差为d ，（1）将数列的前m 项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（2）取出数列的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（3）取出数列中所有项数是7的倍数的项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（4）数列,,,543432321a a a a a a a a a ++++++......是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？【预习自测】1.在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则B 等于（） A ．30 B.60 C.90 D.不能确定2.若{a n }是等差数列，则,,,543432321a a a a a a a a a ++++++987a a a ++,……,n n n a a a 31323++--,……( )A.一定不是等差数列B.一定是递增数列C.一定是等差数列D ．一定是递减数列 3.已知等差数列{a n }中，741a a a ++=39，33852=++a a a ，则963a a a ++等于（） A ．30 B.27 C.24D.21【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究一：等差数列的性质问题1：如果数列{a n}是等差数列，首项为a1,公差为d，则通项公式a n=____________=___________.其中变化的量为n，a n，则点(n,a n)在直线____________上；点(n,a n)的横坐标每增加1，函数值增加_____.问题2：等差数列的性质：已知一个等差数列{a n}，其中首项是a1，公差为d，（1）下标成等差数列且公差为m的项a k，a k+m，a k+2m，…（k,m∈N*）组成公差为_____的等差数列.（2）a1+a2，a3+a4,a5+a6，…组成公差为_____的等差数列. a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m，a2m+1+a2m+2+…+a3m,…组成公差为_____的等差数列.（3）若{b n}是公差为d0的等差数列，则数列{pa n+qb n}（p，q为常数）是公差为________的等差数列.（4）若{a n}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都_______，且等于_______________.（5）若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则a m+a n与a p+a q相等吗？说明理由.（6）若m+n=2p，则a m+a n_____2a p，a m+a n_____a2p（填“=”或“≠”）.【归纳总结】等差数列的性质有哪些？数列{a n}为等差数列，首项是a1，公差为d.（1）d＞0,{a n}是递增数列；d＜0，{a n}是递减数列；d=0,｛a n｝是常数列.（2）a n=a m+(n-m)d(m,n∈N*).（3）a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m,…组成公差为m2d的等差数列.（4）a m,a2m,a3m,…,a km,…组成公差为md的等差数列.（5）若数列{b n}是公差为b的等差数列，p，q为常数，则{pa n±qb n}是公差为pd±qb的等差数列.（6）若m,n,p,q∈N*，且满足m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q.探究二：等差数列性质的应用（重难点）【例1】若{a n}是等差数列，a15=8,a60=20，求a75的值. 【规律方法总结】等差数列{an}的性质：（1）a1+a n=a2+a n-1=….（2）m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q a m+a n=a p+a q.（3）若m,n,p∈N*,且m,n,p 成等差数列，则a m,a n,a p成等差数列.（4）a n=a m+(n-m)d.（5）若数列{a n}是等差数列，则a n=an+b（a,b为常数,n∈N*）.（6）若{a n}与{b n}均为等差数列，则{a n±b n}也是等差数列.【拓展提升】已知等差数列{a n}中,a3a7=-16，a4+a6=0，求{a n}的通项公式.探究三：综合应用（重难点）【例2】数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n(n∈N*).若b3=-2，b10=12，则a8等于( )A.0B.3C.8D.11【规律方法总结】（1）求通项公式常用的方法：①不完全归纳法；②公式法；③叠加法；④累积法.（2）判断一个数列是等差数列常用的方法有：①定义法；②等差中项法；③函数法：若a n=an+b（a,b为常数）,则数列{a n}是等差数列.（3）求数列的最大（小）项常用的方法：①不等式组法；②函数单调性判断法.Ⅱ.我的知识网络图训练案一、基础巩固------把简单的事做好就叫不简单！1．已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )A．15 B．30 C．31 D．642.已知{a n}是等差数列，a3＋a11＝40，则a6－a7＋a8等于( )A．20 B．48 C．60 D．723. 已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )．A.a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 Ca3＋a100≤0 D．a51＝04.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m等于( ) A．4 B．6 C．8 D．125. 在等差数列{a n}中，a18＝95，a32＝123，a n＝199，则n=________.6. 已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20=_________7. 设数列{a n},{b n}都是等差数列, 若711=+ba,2133=+ba, 则=+55ba___。

高中数学新人教A版必修5学案2.2等差数列(第2课时)

2.2等差数列(第2课时)学习目标在理解等差数列定义、怎样判断等差数列及学习等差数列通项公式的基础上, 掌握等差中项的定义及应用, 明确等差数列的性质, 并运用其进行一些等差数列的有关计算.合作学习一、设计问题 , 创建情境在上一节我们已经学习了等差数列, 掌握了等差数列的定义、通项公式与公差, 作为一类特别的数列 , 能否拥有某些特别的性质?又怎样去证明或判断一个数列是等差数列呢?二、信息沟通 , 揭露规律1.关于三个数成等差数列 , 我们定义等差中项在以下的两个数之间, 插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列.(1)2,(),4;(2)-12,(),0;(3)a,(),b.2.等差中项定义由三个数a,A,b 构成的等差数列能够当作最简单的等差数列. 这时 A 叫做 a 与 b 的等差中项 .符号表示 :2A=a+b ? A=.【思虑】 (1) 在等差数列 {a n} 中 , 能否有 2a n+1=a n+a n+2建立 ?等差数列又能够怎么表达?从第 2 项起 , 每一项为哪一项它的前一项和后一项的等差中项.(2) 等差中项可应用于判断一个数列能否为等差数列.3.等差数列的性质问题 1: 列举几个数列, 察看数列的特色, 研究公差与数列单一性的关系.性质 1: 若数列 {a n} 是等差数列 , 公差为 d. 若 d>0, 则 {a n} 是递加数列 ; 若 d<0, 则 {a n} 是递减数列 ; 若 d=0, 则 {a n} 是常数列 .问题 2: 研究等差数列{a n} 中随意两项a n,a m之间的关系 . 它们之间的关系可表示为.由此也可获得等差数列通项公式的另一种表示:a n=a m+(n-m)d公差的另一种表示:d=,性质 2:a n=a m+(n-m)d,d=.问题3: 在等差数列{a n} 中 , 若 m+n=p+q,则 a m+a n=a p+a q必定建立吗? 特别地 ,m+n=2k, 则a m+a n=2a k建立吗 ?性质 3: 在等差数列 {a n} 中, 若 m+n=p+q,则 a m+a n=a p+a q.三、运用规律 , 解决问题4. 已知数列 {a n} 的通项公式为a n =pn+q, 此中 p,q 为常数 , 那么这个数列必定是等差数列吗?证明你的结论.5. 已知等差数列 {a n} 中 ,a 1+a4+a7 =15,a 2·a4·a6=45, 求数列 {a n} 的通项公式 .四、变式训练 , 深入提升6. 三个数成等差数列, 其和为 15, 其平方和为83, 求此三个数 .7. 已知 a,b,c成等差数列,求证:b+c,c+a,a+b也成等差数列.五、反省小结 , 看法提炼参照答案二、信息沟通 , 揭露规律1.(1)3(2)-6(3)2.问题 1:略问题 2:a n=a m+(n-m)d剖析 : 证明等式 , 能够考虑从等号的双侧证明, 能够利用的是前方掌握的等差数列的通项公式 .解: 由等差数列的通项公式 a n=a1+(n-1)d, 得a m=a1+(m-1)d.a n-a m=-=(n-m)d,∴a n=a m+(n-m)d.即等式建立 .问题 3:a m+a n=a p+a q必定建立 ; 当 m+n=2k 时,a m+a n=2a k建立 .三、运用规律 , 解决问题4. 证明 : 取数列 {a n} 中的随意相邻两项a n与 a n-1 (n>1),求差得 a n-a n-1 =(pn+q)-=pn+q-(pn-p+q)=p,它是一个与n 没关的常数 , 因此 {a n} 是等差数列 .5. 解 : ∵ a1+a7=2a4, ∴a1+a4+a7=3a4=15, 由此获得a4=5.又∵ a2·a4·a6=45, ∴ a2a6=9, 即 (a 4-2d)(a 4+2d)=9, ∴ (5-2d)(5+2d)=9.得d=±2.当 d=2 时 ,a n=a4 +(n-4)d=2n-3;当 d=-2 时 ,a n =a4+(n-4)d=13-2n.四、变式训练 , 深入提升6. 解 : 设这三个数分别为x-d,x,x+d.则解得∴相应地 , 所求三个数为3,5,7或7,5,3.7. 证明 : ∵ a,b,c成等差数列,∴ 2b=a+c.∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c=a+(a+c)+c=2(a+c),∴b+c,c+a,a+b 成等差数列 .说明 : 假如 a,b,c成等差数列,常化成2b=a+c的形式去运用;反之,假如求证a,b,c成等差数列 , 常改证 2b=a+c 建立 .五、反省小结 , 看法提炼略。

高一数学人教A版必修5第二章2.2等差数列的性质教案

学科数学年级/册高一（必修5）教材版本人教版课题名称等差数列的性质难点名称1、理解等差数列概念的基础上探究等差数列性质；2、用等差数列的概念及通项公式来证明其性质。

难点分析从知识角度分析为什么难等差数列是一种最基本的数列,研究它的性质,需要通过观察、分析、归纳和猜想才能有所发现；而且等差数列的学习需要前后知识的链接，要循序渐进，掌握好每一个知识点。

从学生角度分析为什么难学生对等差数列有了一定的认识与理解，但是还不能熟练求解和灵活运用；同时高一学生思维活跃，积极性高，但往往不能很好的控制，容易开小差；而且学生的计算和变通能力还比较薄弱。

难点教学方法1、通过搭设台阶，降低坡度，引导学生从等差数列的概念出发，通过观察、分析、归纳、推理来探究其性质；2、通过对等差数列性质的讲解，进一步渗透函数思想。

教学环节教学过程导入在上一节中我们已经学习了等差数列，掌握了等差数列的定义、通项公式与公差，作为一类特殊的数列，它是否具有某些特殊的性质，又如何去证明或判定一个数列是等差数列呢？（设计意图：本节主要进一步熟练等差数列的通项公式的运用和对一些性质的掌握，因此设计的引入比较直接）知识讲解（难点突破）问题1：对于三个数成等差数列,我们定义等差中项在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列.(1)3,(),5;(2)-8,(),0;(3)a,(),b.（设计意图：通过三个数成等差数列引出等差中项的概念。

）等差中项定义：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b组成等差数列，可以看成最简单的等差数列。

这时A叫做a与b的等差中项。

问题2：观察下列几个数列，研究公差与数列单调性的关系（1）1，3，5，7，9……；（2）16，12，8，4，0……；（3）3，3，3，3，3……；（设计意图：引导学生观察，得出数列的第一个性质。

）性质一：若数列{}n a是等差数列，公差为d，若0>d,则{}n a是递增数列；若0<d,则{}n a是递减数baA+=2⇒。

新人教A版必修5高中数学学案教案： (2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式)示范教案

2.2 等差数列2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式从容说课本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观察——分析概括——师生互动，形成概念——启发引导，演绎结论——拓展开放，巩固提高.在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力.使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化.教学重点理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题.教学难点 (1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用;(2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式. 教具准备多媒体课件，投影仪三维目标一、知识与技能1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.二、过程与方法1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力；2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性.三、情感态度与价值观通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.教学过程导入新课师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子)(1)0，5，10，15，20，25，…;(2)48，53，58，63，…;(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…;(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，….请你们来写出上述四个数列的第7项.生第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510.师我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说.生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为78.师说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征.生1 每相邻两项的差相等，都等于同一个常数.师作差是否有顺序，谁与谁相减？生1 作差的顺序是后项减前项，不能颠倒.师以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列.这就是我们这节课要研究的内容.推进新课等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示).（1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（2）对于数列{a n}，若a n-a n-1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列，d叫做公差.师定义中的关键字是什么?(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力)生从“第二项起”和“同一个常数”.师很好！师请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？生数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5n-15.5，….师好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考.［合作探究］等差数列的通项公式师等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得什么?生a2-a1=d,即a2=a1+d.师对，继续说下去!生a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;……师好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗?生由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d.师很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项a n了.需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗?生前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用.证明过程是这样的：因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,a n-a n-1=d.将它们相加便可以得到：a n=a1+(n-1)d.师太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了.［教师精讲］由上述关系还可得：a m =a 1+(m-1)d ,即a 1=a m -(m-1)d .则a n =a 1+(n -1)d =a m -(m-1)d +(n -1)d =a m +(n -m)d ,即等差数列的第二通项公式a n =a m +(n -m)d .(这是变通的通项公式) 由此我们还可以得到n m a a d n m --=. ［例题剖析］【例1】（1）求等差数列8，5，2,…的第20项; （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？分析（1）师这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗?生1 这题太简单了!首项和公差分别是a 1=8,d =5-8=2-5=-3.又因为n =20，所以由等差数列的通项公式，得a 20=8+(20-1)×(-3)=-49.师好!下面我们来看看第（2）小题怎么做.分析（2）生2由a 1=-5,d =-9-(-5)=-4得数列通项公式为a n =-5-4(n -1).由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得-401=-5-4(n -1)成立,解之,得n =100，即-401是这个数列的第100项.师刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是a n ,a 1,d ,n 组成的方程(独立的量有三个).说明:(1)强调当数列｛a n ｝的项数n 已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题.这类问题学生以前见得较少，可向学生着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式a n ，判断是否存在正整数n ，使得a n =-401成立.【例2】已知数列{a n }的通项公式a n =p n +q ，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？例题分析：师由等差数列的定义，要判定{a n }是不是等差数列，只要根据什么?生只要看差a n -a n -1(n ≥2)是不是一个与n 无关的常数.师说得对，请你来求解.生当n ≥2时，〔取数列{a n }中的任意相邻两项a n -1与a n (n ≥2)〕a n -a n -1=(p n +1)-［p(n -1)+q ］=p n +q-(p n -p+q)=p 为常数, 所以我们说{a n }是等差数列，首项a 1=p+q ，公差为p.师这里要重点说明的是：(1)若p=0，则{a n }是公差为0的等差数列，即为常数列q ，q ，q ，….(2)若p≠0，则a n 是关于n 的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n ，a n )均在一次函数y=px+q 的图象上，一次项的系数是公差p ，直线在y 轴上的截距为q.(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项a n =p n +q(p 、q 是常数)，称其为第3通项公式.课堂练习(1)求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项. 解：根据题意可知a 1=3，d =7-3=4.∴该数列的通项公式为a n =3+(n -1)×4，即a n =4n -1(n ≥1，n ∈N *).∴a 4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39.评述：关键是求出通项公式.(2)求等差数列10，8，6，…的第20项.解：根据题意可知a 1=10，d =8-10=-2.所以该数列的通项公式为a n =10+(n -1)×(-2)，即a n =-2n +12，所以a 20=-2×20+12=-28. 评述：要求学生注意解题步骤的规范性与准确性.(3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. 分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n 值，使得a n 等于这个数.解：根据题意可得a 1=2，d =9-2=7.因而此数列通项公式为a n =2+(n -1)×7=7n -5. 令7n -5=100，解得n =15.所以100是这个数列的第15项.(4)-20是不是等差数列0， 213-，-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.解：由题意可知a 1=0，213=d ,因而此数列的通项公式为2727+-=n a n . 令202727-=+-n ，解得747=n .因为202727-=+-n 没有正整数解，所以-20不是这个数列的项.课堂小结师（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生活中能否运用？(让学生反思、归纳、总结,这样来培养学生的概括能力、表达能力)生通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a n -a n -1=d (n ≥2);其次要会推导等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1)d (n ≥1).师本课时的重点是通项公式的灵活应用，知道a n ，a 1，d ，n 中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个.最后，还要注意一重要关系式a n =a m +(n -m)d 和a n =p n +q(p 、q 是常数)的理解与应用.布置作业课本第45页习题2.2 A 组第1题，B 组第1题.板书设计等差数列的概念、等差数列的通项公式1.定义2.数学表达式例1.(略)3.等差数列的通项公式例2.(略) 练习。

高二数学人教A版必修5教学教案2-2等差数列(3)

普通高中课程标准实验教科书数学（人教A版）必修 5等差数列（第1课时）1、设计思想：数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

2、教材分析：【教学目标】1．知识与技能（1）理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列：（2）账务等差数列的通项公式及其推导过程：（3）会应用等差数列通项公式解决简单问题。

2.过程与方法在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。

3.情感、态度与价值观通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。

在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。

【教学重点】①等差数列的概念；②等差数列的通项公式【教学难点】①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；②等差数列的通项公式的推导过程．3、学情分析我所教学的学生是我校高一（382）班的学生（实验班学生），经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展．【设计思路】1．教法①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性．②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性．③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点．2．学法引导学生首先从三个现实问题（姚明罚球问题、运动鞋尺码问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法．【教学过程】一：创设情境，引入新课1．姚明刚进NBA一周训练罚球的个数6000，6500，7000,7500,8000,8500,90002．运动鞋的尺码组成一个什么数列？教师：以上二个问题中的数蕴涵着三列数．学生：1：6000，6500，7000,7500,8000,8500,9000，…．2：35，36，37，38，39,40,41,42（设置意图：从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型．通过分析,由特殊到一般，激发学生学习探究知识的自主性，培养学生的归纳能力．二：观察归纳，形成定义①6000，6500，7000,7500,8000,8500,9000，…．②35，36，37，38，39,40,41,42思考1上述数列有什么共同特点？思考2根据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗？思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗？教师：引导学生思考这三列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念．学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定．教师引导归纳出：等差数列的定义；另外，教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义．（设计意图：通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性；使学生体会到等差数列的规律和共同特点；一开始抓住：“从第二项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的准确表达．）三：举一反三，巩固定义1.判定下列数列是否为等差数列？若是，指出公差d.(1)1,1,1,1,1;(2)1,0,1,0,1;(3)2,1,0,1,2;(4)4,7,10,13,16.教师出示题目,学生思考回答．教师订正并强调求公差应注意的问题．注意：公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0 ．（设计意图：强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用）．2思考4:设数列{a n}的通项公式为a n=3n+1，该数列是等差数列吗？为什么？（设计意图：强化等差数列的证明定义法）四：利用定义，导出通项1.已知等差数列：8，5，2，…，求第200项？2.已知一个等差数列｛a n｝的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项a n呢？教师出示问题，放手让学生探究，然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展示．根据学生在课堂上的具体情况进行具体评价、引导，总结推导方法，体会归纳思想以及累加求通项的方法；让学生初步尝试处理数列问题的常用方法．（设计意图：引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力．学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识．鼓励学生自主解答，培养学生运算能力）五：应用通项，解决问题1判断100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？2在等差数列{a n}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和a n.3求等差数列3,7,11，…的第4项和第10项教师：给出问题，让学生自己操练，教师巡视学生答题情况．学生：教师叫学生代表总结此类题型的解题思路，教师补充：已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式（设计意图：主要是熟悉公式,使学生从中体会公式与方程之间的联系．初步认识“基本量法”求解等差数列问题．）六：反馈练习：教材13页练习1七：归纳总结：1.一个定义：等差数列的定义及定义表达式2.一个公式：等差数列的通项公式3.二个应用：定义和通项公式的应用教师：让学生思考整理，找几个代表发言，最后教师给出补充（设计意图：引导学生去联想本节课所涉及到的各个方面，沟通它们之间的联系，使学生能在新的高度上去重新认识和掌握基本概念，并灵活运用基本概念．）【设计反思】本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增强学生学习数列的兴趣．在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力．本节课教学采用启发方法，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率．。

《等差数列》(人教A版必修5)教学设计

§2.2 等差数列（第一课时）一、教学内容分析本节课是人教A版（必修5）第二章数列第二节等差数列第一课时。

等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视通过具体实例（如教育贷款、购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等），使学生理解这两种数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力。

为了培养学生对数学内部联系的认识，教材需要将不同的数学内容相互沟通，比较等差数列与一次函数的图像，发现它们之间的联系。

同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

二、学生学习情况分析我所教授学生经过一年多的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

实现激发学生学习数学的兴趣，体会学习成功的快乐，增强学习的信心。

三、教学目标1.知识与技能：通过实例，理解等差数列的概念；探索等差数列的通项公式，发现数列的等差关系并能用等差数列的通项公式解决简单问题。

体会等差数列与一次函数的关系。

2.过程与方法：让学生对日常生活中的实际问题出发，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列的模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作，并在操作过程中通过类比函数的概念和性质表达式得到对等差数列相应问题的研究。

教学过程渗透方程思想和函数思想。

3.情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求索精神和归纳能力；使学生逐步养成从观察、分析到归纳、类比，进而得出猜想、结论，最终证明猜想的数学思维习惯。

四、教学重难点1.重点：①理解等差数列的概念。

②探索并推导等差数列的通项公式。

会应用通项公式解决一些简单问题。

人教A版高中数学必修五第二章第2节《等差数列》(第2课时)教案

2.2.2等差数列的性质
一、教学目标：
1.明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,
2.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能运用等差数列的性质解决某些问题。

二、教学重点难点：
教学重点：等差数列的定义及性质的理解与应用
教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
三、教学策略及设计
“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。

基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，重视学生在学习过程中，能否运用等差数列的定义发现和推导等差数列的性质。

设计流程如下:
四、教学过程：。

人教A版高中数学必修五等差数列导学案新

2．2 等差数列【学习目标】1. 通过实例，理解等差数列的概念；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。

【研讨互动问题生成】1.等差数列的概念2.等差数列的通项公式【合作探究问题解决】⑴在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n 的数列的图象。

这个图象有什么特点？ ⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列q pn a n +=与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系。

【点睛师例巩固提高】例1.⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？例2．某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4千米）计费10元。

如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？例3．已知数列}{n a 的通项公式为,q pn a n +=其中p 、q 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗?【要点归纳反思总结】①等差数列定义：即d a a n n =--1(n ≥2)②等差数列通项公式：=n a d n a )1(1-+(n ≥1)推导出公式：d m n a a m n )(-+=【多元评价】自我评价: 小组成员评价: 小组长评价:学科长评价: 学术助理评价:【课后训练】1.在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于( )A.40B.42C.43D.452.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=( )A ．120B ．105C ．90D ．753.已知等差数列2,5,8，……，该数列的第3k （k ∈N ＊）项组成的新数列｛b n ｝的前4项是。

高中数学 2.2.2 等差数列的性质学案新人教A版必修5

2.2.2等差数列的性质导学案一、课前预习：等差数列的常见性质：若数列{}n a 为等差数列，且公差为d ，则此数列具有以下性质： ①()d m n a a m n -+=； ②m n a a n a a d m n n --=--=11； ③若q p n m +=+（*,,,N q p n m ∈），则q p n m a a a a +=+；④m n m n n a a a +-+=2用等差数列的定义证明：二、课内探究：1、等差数列的其它性质：①{}n a 为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即 =+==+=+=+-+--i n i n n n a a a a a a a a 123121。

②下标成等差数列且公差为m 的项()*2,,,,N m k a a a mk m k k ∈++ 组成公差为md 的等差数列。

③若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}{}b ka b a n n n +±,（b k ,为非零常数）也为等差数列。

④m 个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来m 个等差数列的公差之和。

2、典例分析：例1、已知{}n a 是等差数列，17,582==a a ,求数列的公差及通项公式。

Key ：d=2，an=2n+1【变式】已知{}n a 是等差数列，（1）已知：20,86015==a a ,求75a（2）已知：153,334515==a a ,求61a 。

Key （1）75a =24（2）61a =185例2、已知{}n a 是等差数列，若45076543=++++a a a a a ,求82a a +。

Key ：82a a +=180【变式1】在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（）A. 40B. 42C. 43D. 45Key ：B【变式2】等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a n=+==则为（）A. 48B. 49C. 50D. 51Key ：C【变式3】已知等差数列{}n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值为（）A ．15B ．30C ．31D ．64Key ：A三、课后提高：1、已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（）A ．30B ．45C ．90D ．1862、已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____________3、三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．．4、已知a 、b 、c 成等差数列，求证：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 也成等差数列．答案1、【解析】由21151634153a a d aa a d d=+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩, 33(1)3,na n n∴=+-=26,n nb a n==所以5630590.2S+=⨯=【答案】 C2、【标准答案】：１５【试题解析】：由于{}na为等差数列，故3856a a a a+=+∴538622715a a a a=+-=-=3、解设三个数分别为x－d，x，x＋d．则－＋＋＋－＋＋＋(x d)x(x d)=15 (x d)x(x d)=83222⎧⎨⎩解得x＝5，d＝±2∴所求三个数为3、5、7或7、5、3说明注意学习本题对三个成等差数列的数的设法4、证∵a、b、c成等差数列∴2b=a＋c∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．说明如果a、b、c成等差数列，常化成2b＝a＋c的形式去运用；反之，如果求证a、b、c 成等差数列，常改证2b=a＋c．。

人教A版高中数学必修五 2-2 等差数列学案精品

2.2 等差数列-----学案一、学习目标1．理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点)3．掌握等差数列的判定方法．(重点)4．掌握等差数列的有关性质．(重点、易错点)二、自主学习教材整理1等差数列的含义阅读教材P36～P37思考上面倒数第二自然段，完成下列问题．1．等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．(2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)．2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.教材整理2等差数列的通项公式阅读教材P37思考上面倒数第2行～P38，完成下列问题．1．等差数列的通项公式：以a1为首项，d为公差的等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n －1)d.2．从函数角度认识等差数列{a n}若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d个单位．教材整理3 等差数列的性质阅读教材P39探究及练习第4,5题，完成下列问题．1．等差数列的图象等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，a n是一固定常数；当d≠0时，a n相应的函数是一次函数；点(n，a n)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．等差数列的性质(1){a n}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m＋a n＝2a k.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．(5){n d，则d>0⇔{a n}为递增数列；d<0⇔{a n}为递减数列；d＝0⇔{a n}为常数列．三、合作探究探究1.等差数列的判定与证明例1.已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn 2＋qn (p ，q ∈R ，且p ，q 为常数)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列．【精彩点拨】利用等差数列定义判断或证明a n ＋1－a n 为一个常数即可．【自主解答】 (1)欲使{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q 应是一个与n 无关的常数，所以只有2p ＝0，即p ＝0时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：因为a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，所以a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q .而(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2p 为一个常数，所以{a n ＋1－a n }是等差数列．归纳总结：等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．探究2：等差中项的应用例2.已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列，求p ，q 的值．【精彩点拨】将x 1，x 4，x 5用p ，q 表示出来，由x 1，x 4，x 5成等差数列，即2x 4＝x 1＋x 5列出关于p ，q 的方程组求解．【自主解答】由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，①又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，②由①②得q ＝1，p ＝1.归纳总结：三数a ，b ，c 成等差数列的条件是b ＝a ＋c 2(或2b ＝a ＋c )，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{a n }为等差数列，可证2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)．探究3.等差数列的通项公式及其应用例3.(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 10＝25，求通项公式a n ；(2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，求a 15的值．【精彩点拨】设出基本量a 1，d ，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式a n ＝a m ＋(n －m )d 求解．【自主解答】 (1)∵a 4＝7，a 10＝25，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝7，a 1＋9d ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝3， ∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5，∴通项公式a n ＝3n －5(n ∈N *)．(2)法一：由⎩⎨⎧ a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得a 1＝114，d ＝－34， ∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 法二：由a 7＝a 3＋(7－3)d ，即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34， ∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 归纳总结：1．应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋m －d ＝a ，a 1＋n －d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式． 2．若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷．探究4. 灵活设元解等差数列例4.已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．【精彩点拨】 (1)能否直接设出首项和公差，用方程组求解？(2)等差数列相邻四项和为26，这四项有对称性吗？能否用对称设法求解？【自主解答】法一：设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b －a ＝c －b ＝d －c ，a ＋b ＋c ＋d ＝26，bc ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝5，c ＝8，d ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝11，b ＝8，c ＝5，d ＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝26，a 1＋d a 1＋2d ＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝11，d ＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法三：设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝26，a －d a ＋d ＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.归纳总结：1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a 1，公差为d ，利用已知条件建立方程组求出a 1和d ，即可确定数列．2．当已知数列有2n 项时，可设为a －(2n －1)d ，…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，a＋(2n －1)d ，此时公差为2d .3．当已知数列有2n ＋1项时，可设为a －nd ，a －(n －1)d ，…，a －d ，a ，a ＋d ，…，a＋(n －1)d ，a ＋nd ，此时公差为d .四、学以致用1．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n a n －－1a n －2＝a n －2a n －＝12. 又b 1＝1a 1－2＝12，∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知b n ＝12＋(n －1)×12＝12n .∵b n ＝1a n －2，∴a n ＝1b n ＋2＝2n ＋2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2， 2．若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，则m 与n 的等差中项是________.【解析】由m 和2n 的等差中项为4，则m ＋2n ＝8，又由2m 和n 的等差中项为5，则2m ＋n ＝10.两式相加，得m ＋n ＝6，∴m 与n 的等差中项为m ＋n 2＝62＝3. 【答案】 33．－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？【解】由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5－4(n －1)＝－4n －1.由题意知，－401＝－4n －1，得n ＝100，即－401是这个数列的第100项.4．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.【解】 (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，a －d a ＝a ＋d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2. 五、自主小测1．数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( )A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为5的等差数列C ．是首项为5的等差数列D ．是公差为n 的等差数列2．等差数列的前3项依次是x －1，x ＋1,2x ＋3，则其通项公式为( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝2n －3C ．a n ＝2n －1D ．a n ＝2n ＋13．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．4．已知1，x ，y,10构成等差数列，则x ，y 的值分别为________.5．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝9，a 8＝6，则a 2＝______________________.6．若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________.参考答案1.【解析】 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2，∴{a n }是公差为2的等差数列．【答案】 A2.【解析】 ∵x －1，x ＋1,2x ＋3是等差数列的前3项，∴2(x ＋1)＝x －1＋2x ＋3，解得x ＝0，∴a 1＝x －1＝－1，a 2＝1，a 3＝3，∴d ＝2，∴a n ＝－1＋2(n －1)＝2n－3，故选B.【答案】 B3.【解析】设首项为a 1，公差为d ，由a 3＝7，a 11＝－1，得a 1＋2d ＝7，a 1＋10d ＝－1，所以a 1＝9，d ＝－1，则a 7＝3.【答案】 34.【解析】由已知，x 是1和y 的等差中项，即2x ＝1＋y ，①y 是x 和10的等差中项，即2y ＝x ＋10，②由①②解得x ＝4，y ＝7.【答案】 4,75.【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝9，a 8＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3d ＝9，a 2＋6d ＝6，解之得a 2＝4. 【答案】 46.【解析】由题意得该等差数列的公差d ＝9－25－1＝74，所以c －a ＝2d ＝72. 【答案】 72。

天津市高二数学必修5导学案：2.2等差数列(2)

二、新课导学 ◆ 学习探究探究任务：等差数列的性质1. 在等差数列{}n a 中，d 为公差， m a 与n a 有何关系？2. 在等差数列{}n a 中，d 为公差，若,,,m n p q N +∈且m n p q +=+，则m a ，n a ，p a ，q a 有何关系？◆ 典型例题例1 在等差数列{}n a 中，已知510a =，1231a =，求首项1a 与公差d .变式：在等差数列{}n a 中，若56a =，815a =，求公差d 及14a .小结：在等差数列{}n a 中，公差d 可以由数列中任意两项m a 与n a 通过公式m na a d m n-=-求出. 例2 在等差数列{}n a 中，23101136a a a a +++=，求58a a +和67a a +.小结：在等差数列中，若m+n=p+q ，则m n p q a a a a +=+，可以使得计算简化.※ 动手试试练1.在等差数列{a n }中 (1) 若a 5=a, a 10=b, 求a 15; (2) 若a 3+a 8=m, 求a 5+a 6; (3) 若a 5=6, a 8=15, 求a 14;(4) 若a 1+a 2+…+a 5=30, a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15.练2. 在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，求369a a a ++的值.练3. 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个相同项？◆ 知识拓展判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：（1）定义法: 证明a n -a n-1=d (常数) （2）中项法: 利用中项公式, 若2b=a+c,则 a, b, c 成等差数列.（3）通项公式法: 等差数列的通项公式是关于n 的一次函数.(0)n a pn q p =+≠ 3．等差数列的其它性质： ①{}n a 为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即=+==+=+=+-+--i n i n n n a a a a a a a a 123121②下标成等差数列且公差为m 的项()*2,,,,N m k a a a m k m k k ∈++ 组成公差为md 的等差数列。

人教A版高中数学必修五天津武清区杨村第四人教等差数列及其性质学案

等差数列及其性质（10月23日）知识要点：1等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

（定义式） 2 等差数列的判定方法：()1定义法： ⇔{}n a 为等差数列； ()2中项公式法： ⇔{}n a 为等差数列； ()3通项公式法： ⇔{}n a 为等差数列； ()4前n 项求和法： ⇔{}n a 为等差数列；3 解题基本方法（1）涉及等差数列的基本概念的问题，常用基本量1,a d 来处理；（2）若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．4 等差数列的相关性质:()1等差数列{}n a 中，()m n a a m n d =+-；()2等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等差数列．()3等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p nm a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=()4等差数列{}n a 中，2n S an bn =+（其中1,02a d d =≠） ()5两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列．()6若{}n a 是公差为d 的等差数列,则其子列2,,,k k m k m a a a ++L也是等差数列,且公差为md ; {}n ka 也是等差数列,且公差为kd(7)等差数列{}n a 中，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是一个等差数列，即点(),n n a （*n N ∈）在一条直线上; 点(),n S n n （*n N ∈）在一条直线上.(8)两个等差数列{}n a 与{}n b 中,,n n S T 分别是它们的前n 项和,则2121n n n n a S b T --=. 知识点一：等差数列的基本运算例1 等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，已知1030a =，2050a =， ①求通项n a ； ② 若242n S =，求n练习1.在等差数列{}n a 中，（1）已知3,61==d a ，则=8a _____；（2）已知2,10104-==a a ，则=7a __,d=____；2. 在等差数列{}n a 中，若450a a a a a 76543=++++，则=+82a a .3.如果一个数列的通项公式b kn a n +=，其中k,b 为实常数，则下列说法正确的是（） A.数列一定不是等差数列 B.数列是公差为k 的等差数列 C.数列是公差为b 的等差数列 D.数列不一定是等差数列4.设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项的和S n =-n 2，那么 ( )A ．a n =2n-1，d=-2B ．a n =2n-1，d=2C ．a n =-2n+1，d=-2D ．a n =-2n+1，d=2 4.已知数列{n a }为等差数列，3a a a ,10a 3215=++=则1a 与d 的值分别为（） A.3d ,2a 1=-= B 3d ,2a 1-== C 2d ,3a 1== D 2d ,3a 1-== 5.(07重庆) 若等差数列{n a }的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6知识点二：等差数列性质的应用例2.（1）若等差数列{a n }中，a 3+a 8+a 13+a 18=20，则前20项的和S 20等于（） A ．100 B ．200C ．300D ．无法确定（2）已知{a n }是等差数列，前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，则项数为______.练习.等差数列{a n }中，0≠n a ，若m>1且0121=+-+-m m m a a a ，3812=-m S ，则m=______.例3已知数列是等差数列，且18,12654321=++=++a a a a a a ，则987a a a ++等于（） A.24 B.6 C.0 D.-12练习等差数列{a n }的前m 项和30，前2m 项和为100，则数列的前3m 项和为_____.知识点三：等差数列的判断及证明例4已知数列}{n a 的前项和为n S ，且120n n n a S S -+⋅=()2n ≥，112a =()1求证：1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，()2求n a 的表达式.练习.已知函数()31xf x x =+，数列{}n a 满足11a =，()1()*n n a f a n N +=∈ （1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列（2）求n a 的表达式.知识点四：等差数列的前n 项和例5设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，120S >，130S <(Ⅰ)求公差d 的取值范围；(Ⅱ)指出1S ,2S ,…,12S ，中哪一个值最大,并说明理由练习 1 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 9 <0， S 10 >0，则此等差数列的前项和中，n 是多少时取得最小值？2 已知数列{a n }的前n 项和公式为n n S n 3022-=.（1）求出它的通项公式；并判断这个数列是否是等差数列（2）求使得S n 最小的n 的值.例6 已知数列{a n }的前n 项和n n S n 2205232+-=，求数列{|a n |}的前n 项的和.练习：已知数列{a n }的前n 项和公式为S n =12n-n 2，（1）求数列{a n }的通项公式（2）求数列{|a n |}的前n 项的和。

数学人教A版高中必修5 等差数列的性质导学案

必修5 §2.2.2等差数列的性质学案【课时安排】：1课时【学习目标】1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律；2．理解等差数列的性质；3．掌握等差数列的性质及其应用．【学习重难点】1．学习重点：等差数列的性质及证明；2．学习难点：运用等差数列定义及性质解题．【知识链接】1．等差数列的定义：在等差数列{}n a 中，对任意*n N ∈，1n n a a +-= ；2．等差数列的通项公式：n a = = ；3．若a ，A ，b 成等差数列，则称A 为a ,b 的且；在等差数列{}n a 中满足：对任意*n N ∈，都有；【自学导引】一、探究发现：根据等差数列{}n a ：-1,2,5,8,11,…… 思考下列问题：1．等差数列{}n a 的通项公式是：；2．请在函数的角度观察等差数列的通项公式结构，你能发现它有些什么性质？（1）（2）3．在这个等差数列中，请计算下列结果：27a a += ，36a a += ，45a a += ．（1）在上述算式中，你能得出什么结论吗？请写出来，并加以证明．（2）任意等差数列也有类似的性质吗？请写出来，并加以证明．二、活动交流：根据任意等差数列的项及其通项公式，思考、交流下列活动．1．除了上面的性质，你能发现等差数列还有些什么性质？请把你的发现写下来，并加以证明．2．将你发现的性质与同小组的同学交流，互相验证．并把本组求证的正确结论记录下来．三、应用举例：例1．填空：（1）在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值为；（2）等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -的值是．例2．若数列{}n a 为等差数列，158a =，6020a =，求75a 的值．例3．在数列{}n a 中，2n a kn qn =+(k ,q R ∈，*n N ∈)．（1）数列{}n a 能成为等差数列吗？若能，需要满足什么条件？若不能，请说明理由．（2）求证：对任意k ,q R ∈，数列1{}n n a a +-均为等差数列．【当堂检测与变式】课堂发布于101平台．【自学反思】1．学习本节内容的收获有哪些？2．你还有哪些疑问？【拓展延伸】1．已知等差数列{}n a ：5,8,11,… 和等差数列{}n b ：3,7,11,…．（1）在两个等差数列的前100项中，有多少个相等的项？（2）把两个等差数列中的相等项按从小到大的顺序组成一个新数列{}n c ，试求{}n c 的通项公式．2．等差数列的基本性质可以判定等差数列吗？判定一个数列是等差数列有些什么方法？。

人教A版高中数学必修五等差数列学案新(1)

高中数学必修五《2.2 等差数列（3）》学案一、新课标要求：掌握等差数列性质。

二、重点与难点：等差数列性质及其应用，并能熟练应用。

三、教学过程：（一）复习：（二）新知探究：已知等差数列{},,n a d 1中，首项为a 公差为各项依次为：123,,m s t n a a a a a a a ，观察数列各项结合等差数列的定义归纳总结等差数列性质：性质（1）：通项的另一种表示：n m a a =+ d ，变形：d= 。

作用：性质（2）：若项数m ，n ，s ，t 满足m+n=s+t ，则m a +n a = 。

证明：性质（3）：若项数s ，t ，r ，…成等差，则对应项,,s t r a a a 成。

例：已知数列{}n a 成等差数列，公差为d 首项为1a ，取出该数列中的所有奇数项组成一个新的数列，这个数列是否成等差数列：公差是多少？偶数项呢？取出数列中序号为7的倍数的项呢？性质（4）,m n a n a m ==若，则m n a += 。

（二）应用实例:例1：已知等差数列{}n a 中，公差为正数，且37463712,4,,a a a a a a ∙=-+=-求及通项。

例2：等差数列{}n a 中，已知2583579,21a a a a a a ++=∙∙=-，求数列的通项。

课后作业：1．等差数列{}n a 中，2315,,610a a x x --=为方程的二根，求：7891011a a a a a ++++。

2．已知方程()()22220x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列，则m n -的值为。

（三）课后反思小结：。

人教A版高中数学必修五第二章2.2 等差数列学案

2.2等差数列【知识要点】：1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．2、由三个数a ，b ，c 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则b 称为a 与c 的等差中项．若2ca b +=，则称b 为a 与c 的等差中项． 3、若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则n a = ． 4、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-； ②11n a a d n -=- ③n ma a d n m-=-； 5、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若{}n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =+．【课堂精讲】1、等差数列基本量的计算 1.1.1 简单表示基本量例1、⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵－401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？例2、已知等差数列{}n a 中，首项51=a ，公差为2=d ，则17a 的值是（） A 、35 B 、37 C 、39 D 、41 例3、在等差数列{}n a 中，7,37362=+=+a a a a ，则公差=d （） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 例4、已知等差数列{}n a 中，863=+a a ，则=+745a a （） A 、32 B 、27 C 、24 D 、16例5、已知数列{}n a 满足)2,(2,211≥∈+==*-n N n a a a n n ，则=3a （）A 、5B 、6C 、7D 、8例6、已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？题组训练1、（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.2、在等差数列{}n a 中，若7,10673==+a a a ，则公差=d （） A 、1 B 、2 C 、3 D 、43、在等差数列{}n a 中，已知510a =，1231a =，求首项1a 与公差d .4、在等差数列{}n a 中，若56a =，815a =，求公差d 及14a .5、等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.6、在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==，求数列的首项与公差.7、已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？1.1.2 数学文化中的等差数列基本量例1、《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十棵，人别加三颗。

2.2-等差数列的性质-教学设计(人教A版必修五)

《等差数列性质》教学设计一、内容和内容解析数列是高中数学的重要内容之一，也是培养学生数学学习能力的好素材•本章内容首先从学习数学的概念开始，然后学习等差数列和等比数列两种常用的数列•数列在实际生活中有着广泛的应用，如堆放物品总数的计算、储蓄、分期付款问题等都要用到数列知识•同时，数列起着承前启后的作用，数列与前面学习的函数知识紧密联系，又为进一步学习数列的极限等作好准备。

等差数列是一种最基本的数列，研究它的性质，需要通过观察、分析、归纳和猜想才能有所发现•在探究等差数列性质的过程中使学生学会研究数列的基本方法，提高数学再创造学习的能力•掌握研究数列的基本方法对于学好《数列》整章内容起着举足轻重的作用。

本节内容是人教A版高中数学必修五第二章第二节一一等差数列。

本节是第二课时。

等差数列在日常生活中有着广泛的应用，是学生学习了等差数列的概念，通项公式的基础上，研究等差数列的性质，让学生通过本节课的学习要求理解等差数列的性质，并且了解等差数列与一次函数的关系。

本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。

在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。

同时也是初步培养学生运用等差数列模型解决问题的良好题材。

等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。

所以把教学重点定为理解等差数列的性质，并用性质解决一些相关问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。

二、目标和目标解析（一）教学目标1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，了解等差数列与一次函数的关系。

2. 探究、发现等差数列的性质，并能利用等差数列的概念及通项公式给予证明，掌握性质及运用性质解决一些简单问题；通过优化问题设计，探究等差数列的性质，培养学生观察、分析、猜想、归纳和自主探究的能力。

3. 能在具体问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。