中考专题费马点讲义与练习

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化学专题费马点讲义与练习

什么是费马点

费马点（也称为零点能）是指任何化学反应从反应物到产物之间的能量差异。它定义了反应物是否能被转化为产物。当反应物的能量低于费马点时，反应是自发的。反之，如果反应物的能量高于费马点，则需要外部能量才能触发反应。

计算费马点

计算费马点需要考虑反应物和产物的电子能级，以及它们之间的距离。以下是计算费马点的公式：

费马点 =（反应物电子亲和力+ 产物电离能）/ 2 + 反应物和产物之间的距离

练

1. 将钠（Na）水解产生氢气（H2）和氢氧化钠（NaOH）时，

计算费马点。

解：首先，我们需要知道钠和氢氧化钠的电子亲和力和电离能。钠的电子亲和力为 52.8 kJ/mol，电离能为 496 kJ/mol。氢氧化钠的

电子亲和力为 -1,091 kJ/mol，电离能为 684.3 kJ/mol。根据上面的

费马点公式，我们得出以下计算：

费马点 =（52.8 + 684.3）/ 2 +（0.3 + 0.3）= 369.9 kJ/mol

2. 某个反应物的电子亲和力为 -172 kJ/mol，电离能为 490

kJ/mol，产物的电子亲和力为 -234 kJ/mol，电离能为 726 kJ/mol，

反应物和产物之间的距离为 0.1 nm。计算反应的费马点。

解：根据费马点公式，我们有：

费马点 =（-172 + 726）/ 2 +（0.1）= 280 kJ/mol

- 以上练希望能够对计算费马点有所帮助。

中考费马点例题

2022年春北师大版九年级数学中考二轮复习《费马点模型》专题突破训练（附答案）1．如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数的为（）

A．150°B．135°C．120°D．165°

2．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC 外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（）

A．△BPQ是等边三角形B．△PCQ是直角三角形

C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°

3．如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（）

A．40°B．45°C．105°D．55°

4．如图，点P是等边△ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB绕着点B逆时针旋转60°后得到△CQB，则∠APB的度数为（）

A．150°B．145°C．135°D．120°

5．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置．连接PQ，则以下结论错误的是（）

A．∠QPB＝60°B．∠PQC＝90°C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°6．已知，P为等边三角形ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则S△ABC＝．

7．点P是等边三角形ABC内部一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则三角形ACP的面积是．8．如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10．若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为．

专题37 几何最值之费马点问题【热点专题】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习(全国

模型展示：如图，在△ABC 内部找到一点 P，使得 PA＋PB＋PC 的值最小.
当点 P 满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则 PA＋PB＋PC 的值最小，P 点称为三角形的费马点. 特别地，△ABC 中，最大的角要小于 120º，若最大的角大于或等于 120º，此时费马点就是最大角的顶点 A（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于 120°）费马点的性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为 120°。
由旋转的性质可知，△ AEG 是等边三角形，∴AE＝EG，
∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，∴AE＋BE＋DE 的最小值为线段 DF 的长．
在 Rt△ AFH 中，∠FAH＝30°，AB＝ 2
2
=AF，∴FH＝
1 2
AF＝
2 ，AH＝
AF 2 FH 2 ＝
6，
在 Rt△ DFH 中，DF＝ FH 2 DH 2 (2 2 6)2 2 2 ＝ 2 3 2 ，∴BE＋AE＋ED 的最小值为 2 3 2 ．
7．在正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 AC（不含点 A）上任意一点，AB= 2 2 ；
（1）如图 1，将△ ADE 绕点 D 逆时针旋转 90°得到△ DCF，连接 EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求 EF 2 的取值范围；

中考中的费马点详解加练习

皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。

之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。

费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。

著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王。“贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。

费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。

托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，

因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。

这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。

“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。

若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。

这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的X角相等，均为120°。

【中考几何模型压轴题】专题9《费马点》

中考几何压轴题（几何模型30讲）

最

新

讲

义

专题9《费马点》

破解策略

费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．

若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．

若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点

如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点

证明：

如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP＝AP，连结PP

则△APC≌△APC，PC＝PC

因为∠BAC≥120°

所以∠PAP＝∠CAC≤60

所以在等腰△PAP中，AP≥PP

所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC

所以点A为△ABC的费马点

2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．

如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC

将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC 所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO

所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D

则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小

中考数学专题复习37几何最值之费马点问题(全国通用原卷版)

问题分析

“费马点”指的是位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。主要分为两种情况：

（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形.通常将某三角形绕点旋转60度.从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上.利用两点之间线段最短解决问题。

（2）当三角形有一个内角大于120°时.费马点就是此内角的顶点.

费马点问题解题的核心技巧：

旋转60° 构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题

模型展示：如图.在△ABC内部找到一点P.使得PA＋PB＋PC的值最小.

当点P满足△APB＝△BPC＝△CPA＝120º.则PA＋PB＋PC的值最小.P点称为三角形的费马点.

特别地.△ABC中.最大的角要小于120º.若最大的角大于或等于120º.此时费马点就是最大角的顶点A

（这种情况一般不考.通常三角形的最大顶角都小于120°）

费马点的性质：

1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

最值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形.这条边所对两顶点的距离即为最小值。证明过程：

几何最值之费马点问题方法技巧

将△APC 边以A 为顶点逆时针旋转60°.得到AQE.连接PQ.则△APQ 为等边三角

形.PA=PQ 。

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC.当B 、P 、Q 、E 四点共线时取得最小值BE

【例1】如图.四边形 ABCD 是菱形.A B =6.且△ABC =60° .M 是菱形内任一点.连接

AM .BM .CM .则AM +BM +CM 的最小值为________．

2022年中考数学几何模型之动点最值之费马点模型(讲+练)(解析版)

专题12 动点最值之费马点模型

费马点模型：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.

当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.

特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A

（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）

费马点的性质：

1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

费马点最小值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值

证明过程：

将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE

例题1. 已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。△AGC=△AGB=△BGC=120°.

求证：GA+GB+GC的值最小.

【解析】证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△CGB△△CPD；

△ △CPD=△CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,△GCB=△PCD.

△ △GCP=60°,△ △BCD=60°,△ △GCP和△BCD都是等边三角形。

△ △AGC=120°, △CGP=60°.△ A、G、P三点一线。

△ △CPD=120°, △CPG=60°.△ G、P、D三点一线。

△ AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。

△ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.

中考复习之线段和差最值之费马点问题-附练习题含参考答案

中考数学复习线段和差最值系列之费马点

皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．

言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点．问题：在△ABC 内找一点P ，使得P A +PB +PC 最小．

【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．以上依据似乎都用不上，怎么办？

若点P 满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC 值最小，P 点称为该三角形的费马点．

一、如何作费马点

问题要从初一学到的全等说起：

（1）如图，分别以△ABC 中的AB 、AC 为边，作等边△ABD 、等边△ACE ．（2）连接CD 、BE ，即有一组手拉手全等：△ADC ≌△ABE ．

（3）记CD 、BE 交点为P ，点P 即为费马点．（到这一步其实就可以了）

（4）以BC 为边作等边△BCF ，连接AF ，必过点P ，有∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．

在图三的模型里有结论：（1）∠BPD =60°；（2）连接AP ，AP 平分∠DPE ．有这两个结论便足以说明∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．

但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是∠BAC <120°，若120BAC ∠≥︒ ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：

中学考试中地费马点详解加练习

皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。

之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。

费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。

著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王。

“贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。

费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。

托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，

因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。

这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。

“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。

若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。

这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。

中考数学复习专题：几何最值模型—费马点专题

【费马点】平面内，到三角形的三个顶点的距离之和最小的点称为费马点

【结论】如图所示，△ABC 的三个内角均不大于120°，P 为三角形内一点，当点P 与△ABC 三个顶点的连线夹角均为120°时，PA +PB +PC 的值最小.（PA +PB +PC=AD=BE=CF ）【费马点作法】

如图，以△ABC 的三边向外分别作等边三角形，然后把外面的三个顶点与原三角形的相对顶点相连，交于点P ，点P 就是原三角形的费马点.

【证明】如图，将△ABP 绕点B 逆时针旋转60°，得到△A 'BP '，

连接P P '，则△BPP 是等边三角形，所以PB =PP '. 由旋转的性质可得P A +PB +PC =P 'A '+PP '+PC >A 'C 因此，当A '、P '、P 、C 四点共线时，

P A 十PB 十PC 的值最小.

因为△BPP '是等边三角形，即∠BPP '=60°，所以∠BPC =120°.

因为∠APB =∠A 'P 'B ，∠BP 'P =60°，所以∠APB =180°-60°=120°，

则∠CP A =360°-120°-120°=120°，故∠BPC =∠APB =∠CP A =120°.

费马点结论

1) 对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点; 2) 对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点. 费马问题解决问题的方法是运用旋转变换.

1) 利用旋转把三条共点线段转化成折线段， 2) 利用两点之间线段最短构造直角三角形，利用勾股定理模型巧记

费马点初中几何模型经典例题

费马点，又称为费马-托里拆利点，是三角形内的一个特殊点，具有以下性质：从该点向三角形的三个顶点连线，与三角形的三边形成的三个小三角形中，每个小三角形的角都是120度。此外，从费马点到三角形三个顶点的距离之和最短。

下面是一个关于费马点的初中几何模型经典例题：

例题：在三角形ABC中，求作一点P，使得PA + PB + PC的和最小。

解题步骤：

1.作三角形的外接圆：首先，作出三角形ABC的外接圆。

2.找出外接圆上的两交点：然后，在三角形ABC的一边上（例如边BC）作一个等边三角形BCD（其

中D点位于BC的延长线上）。同样地，在三角形ABC的另一边上（例如边AC）也作一个等边三角形ACE。

这样，等边三角形BCD和等边三角形ACE会与三角形ABC的外接圆相交于两点F和G。

3.连接FG并找出交点：连接点F和G，它们会相交于一点P。

4.验证结果：通过计算或几何证明，可以验证点P就是使得PA + PB + PC和最小的点。

这个例题展示了费马点的性质和应用，通过构造等边三角形和利用外接圆，我们可以找到满足条件的点P。

在实际解题过程中，还需要结合三角形的具体形状和条件进行具体分析。

中考专题费马点讲义与练习

图4—11P

C B

从“费马点”说起

前言

解题题海战术通性通法过程与结果内化一、走近费马点 1．（浙教版数学八下P82）设计题你听说过费马点吗？如图4—11，P 为△ABC 所在平面上一点。如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P 就叫做费马点。费马点有许多有趣并且有意义的性质，例如，平面内一点P 到△ABC 三顶点的距离之和为PA+PB+PC ，当点P 为费马点时，距离之和最小。假设A,B,C 表示三个村庄，要选一处建车站，使车站到三个村庄的公路路程的和最短。若不考虑其他因素，那么车站应建在费马点上。

请按下列步骤对费马点进行探究：

（1）查找有关资料，了解费马点被发现的历史背景；

（2）在特殊三角形中寻找并验证费马点。例如，当△ABC 是等边三角形、等

腰三角形或直角三角形时，费马点有哪些性质？

（3）把你的研究结果写成一篇小论文，并通过与同学交流来修改完善

你的小论文。

2．（2009年浙江省湖州市中考题）若P 为ABC △所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=°，则点P 叫做ABC △的费马点. （1）若点P 为锐角ABC △的费马点，且60ABC PA PC ∠===°，3，4，则PB 的值为________；（2）如图，在锐角ABC △外侧作等边ACB △′连结BB ′. 求证：BB ′过ABC △的费马点P ，且BB ′=PA PB PC ++.

3．（2010年湖南省永州市中考数学试题）探究问题：

(1)阅读理解：

①如图(1)，在已知△ABC 所在平面上存在一点P ，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P 为△ABC 的费马点，此时PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离．

旋转之“费马点”模型13种题型(学生版)--中考数学专项训练

旋转之“费马点”模型13种题型

【知识梳理】

最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。

【考点剖析】

一．一元一次方程的应用(共1小题)

1(2020春•江北区期末)如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠BOD，∠BOC：∠AOC=1：3．

(1)求∠DOE，∠COF的度数；

(2)若射线OF，OE同时绕O点分别以2°/s，4°/s的速度，顺时针匀速旋转，当射线OE，OF的夹角为90°

时，两射线同时停止旋转．设旋转时间为t，试求t值．

二．二次函数综合题(共1小题)

2(2018秋•沙坪坝区校级期中)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-8的图象与x轴交于

A、B两点，与y轴交于点C，直线y=kx+5

(k≠0)经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC=2OA，OB=3OA．

(1)求抛物线与直线的解析式；

(2)如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P作PH⊥AR于点H，过点P作PQ∥x轴交抛物线于

点Q，过点P作PH′⊥x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK=23PQ，点I为第四象限内一点，且

在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l=13

PH-1

PQ，m=IP+IQ+IK，当l取得最大值时，求出点

P的坐标，并求出此时m的最小值．

(3)如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M作MN⊥x轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′(点M、N、D、N′在同一平面内)，连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．

费马点问题(含答案)(训练习题)

费马点的问题

定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：

1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；

2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这一结果为最短路线原理。

性质：费马点有如下主要性质：

1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

3．费马点为三角形中能量最低点。

4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。

例1：已知：△ABH是等边三角形。

求证：GA+GB+GH最小

证明：∵△ABH是等边三角形。G是其重心。

∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。

以HB为边向右上方作等边三角形△DBH.

以HG为边向右上方作等边三角形△GHP.

∵AH=BH=AB=12.

∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°.

∴A、G、P三点一线。

再连PD两点。

∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°.

∴∠PHD=30°,.

在△HGB和△HPD中

∵HG=HP

∠GHB=∠PHD；

HB=HD；

∴△HGB≌△HPD；（SAS）

∴∠HPD=∠HGB=120°；

∵∠HPG=60°.

∴G、P、D三点一线。

∴AG=GP=PD,且同在一条直线上。

∵GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.

∴G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。也就是重心。例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。

中考数学常见几何模型专题12 最值模型-费马点问题(原卷版)

专题12 最值模型-费马点问题

最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。

【模型解读】

结论1：如图，点M 为△ABC 内任意一点，连接AM 、BM 、CM ，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时，MA +MB +MC 的值最小。

注意：上述结论成立的条件是△ABC 的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A 。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）

【模型证明】以AB 为一边向外作等边三角形△ABE ，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN ． △△ABE 为等边三角形，△AB ＝BE ，△ABE ＝60°．而△MBN ＝60°，△△ABM ＝△EBN ．

在△AMB 与△ENB 中，△AB BE

ABM EBN BM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，△△AMB △△ENB （SAS ）

．连接MN ．由△AMB △△ENB 知，AM ＝EN ．△△MBN ＝60°，BM ＝BN ，△△BMN 为等边三角形． △BM ＝MN ．△AM +BM +CM ＝EN +MN +CM ．△当E 、N 、M 、C 四点共线时，AM +BM +CM 的值最小．此时，△BMC ＝180°﹣△NMB ＝120°；△AMB ＝△ENB ＝180°﹣△BNM ＝120°；

旋转之“费马点”模型13种题型(解析版)--中考数学专项训练

旋转之“费马点”模型13种题型

【知识梳理】

【考点剖析】

一．一元一次方程的应用(共1小题)

1(2020春•江北区期末)如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠BOD，∠BOC：∠AOC=1：3．

(1)求∠DOE，∠COF的度数；

(2)若射线OF，OE同时绕O点分别以2°/s，4°/s的速度，顺时针匀速旋转，当射线OE，OF的夹角为90°

时，两射线同时停止旋转．设旋转时间为t，试求t值．

【分析】(1)根据平角的定义和∠BOC：∠AOC=1：3可求∠BOC的度数，根据对顶角相等可求∠AOD的度数，根据角的和差关系可求出∠DOE的度数，根据平角的定义和角平分线的定义可求∠BOF的度数，

根据角的和差关系求出∠COF的度数；

(2)先求出∠EOF的度数，再根据射线OE、OF的夹角为90°，列出方程求解即可．【解答】解：(1)∵∠BOC：∠AOC=1：3，

∴∠BOC=180°×1

1+3

=45°，

∴∠AOD=∠BOC=45°，

∵∠BOE=90°，

∴∠AOE=90°，

∴∠DOE=∠AOE+∠AOD=90°+45°=135°，

∠BOD=180°-∠AOD=180°-45°=135°，

∵FO平分∠BOD，

∴∠BOF=1

2∠BOD=1

×135°=67.5°，

∴∠COF=∠BOC+∠BOF=45°+67.5°=112.5°；

(2)∠EOF=∠EOB+∠BOF=90°+67.5°=157.5°，