费马点与中考试题

识别“费马点”思路快突破

例1 探究问题：

（1）阅读理解：

①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，

则称点P为△ABC的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离.

②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD＋BC·DA＝AC·BD.此为托勒密定理

.

（2）知识迁移：

①请你利用托勒密定理，解决如下问题：

如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点.求证：PB＋PC＝PA.

A BC

②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：

第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；

第二步：在上任取一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A＋P′B＋P′C＝P′A＋（P′B＋P′C）

A BC

＝P′A＋；

第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离

.

（3）知识应用：

2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.

已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.

简解：（2）①证明：由托勒密定理可知PB ·AC ＋PC ·AB ＝PA ·BC ∵△ABC 是等边三角形 ∴ AB ＝AC ＝BC ∴PB ＋PC ＝PA ②P ′D AD

（3）解：如图，以BC 为边长在△ABC 的外部作等边△BCD ，连接AD ，则知线段AD 的长即为△ABC 的费马距离.

∵△BCD 为等边三角形，BC ＝4，

∴∠CBD ＝60°，BD ＝BC ＝4. ∵∠ABC ＝30°， ∴∠ABD =90°. 在Rt △ABD 中，∵AB ＝3，BD ＝4

∴AD ＝5（km ）

∴从水井P 到三村庄A 、B 、C 所铺设的输水管总长度的最小值为5km.

点评：此题集阅读理解、创新探究、实际应用于一体，题型新颖别致，综合考查自主探究、创新应用能力，是一道不可多得的好题.命题者设置成递进式问题，后续问题的思路获取、求解都靠对上一结论的解读、利用，这也是近年“课题学习”考查的一大风向，值得重视.

如果说例1只是以“费马点”为课题学习的素材进行了考查，为了帮助同学们更好的理解三角形的费马点，我们补充几点：

（1）平面内一点P 到△ABC 三顶点的之和为PA+PB+PC ，当点P 为费马点时，距离之和最小.

特殊三角形中：

(2)三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB ，BC ，CA ，为边，向三角形外侧做正三角形ABC 1，ACB 1，BCA 1，然后连接AA 1，BB 1，CC 1，则三线交于一点P ，则点P 就是所求

的费马点.

(3)若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求. (4)当△ABC 为等边三角形时，此时外心与费马点重合.

可见，永州卷这道考题对于费马点只是以课题学习为问题载体，考得比较直截了当；巧合的是

2010年福建宁德一道考题对这个知识考查显得隐蔽了，请看：

例2 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM .

⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；

⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；

②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为时，求正方形的边长.

13

A

D

B

C

思路探求：⑴略；

⑵ ①要使AM ＋CM 的值最小，根据“两点之间线段最短”，需设法将AM ＋CM 转化为一条线段，连接AC 即可获取；

②要使AM ＋BM ＋CM 的值最小，由例3积累的知识经验：点M 应该是△ABC 的费马点.由例3中（2）的求解示范，只要连接CE 即可获得CE 为AM ＋BM ＋CM 的值最小.这样获到M 点至少帮助我们在思路获取上提高了效率.理由说明供助于第（1）问的全等获得BM=BN ，将三条线段转化到CE 上去，问题化为两点之间线段最短.

⑶根据题意，添加辅助线，构造直角三角形，过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F . 设正方形

的边长为x ，则BF ＝

x ，EF ＝.在Rt △EFC 中，由勾股定理得（）2＋（x ＋x ）2＝

232

x 2x 23

，解得即可.

()2

13+简答：⑴略；

⑵①当M 点落在BD 的中点时，AM ＋CM 的值最小.

②如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小.

理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB ≌△ENB ，∴AM ＝EN .

∵∠MBN ＝60°，MB ＝NB ，∴△BMN 是等边三角形.∴BM ＝MN .

∴AM ＋BM ＋CM ＝EN ＋MN ＋CM .

根据“两点之间线段最短”，得EN ＋MN ＋CM ＝EC 最短

∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，即等于EC 的长. ⑶过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ，∴∠EBF ＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x ，则BF ＝

x ，EF ＝.23

2

x 在Rt △EFC 中，∵EF 2＋FC 2＝EC 2，∴（

）2＋（x ＋x ）2＝.

2x 2

3

()2

13+解得，x ＝（舍去负值）.∴正方形的边长为.

22点评：本题中“AM ＋BM ＋CM 的值最小”如果没有费马点的知识积累，会在探究点M 的位置上花费不少时间，这对紧张的考试来说，势必造成“隐性失分”．

F A D B

C