八年级数学下册6.4多边形的内角和与外角和习题课件(新版)北师大版
北师大版八年级数学下册6.多边形的内角和与外角和课件
A．270°
B．560° C．1 800° D．1 900°
3.八边形的七个内角都为150°，则第八个内角=____3_0_°__
4.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个 三角形，这个多边形是几边形？它的内角和是多少？21·
七边形，内角和为900°
合作探究
1.正三角形（等边三角形）的内角和等于多少度？ 每个内角等于多少度？你是怎么计算的？ 2.正四边形（正方形）的内角和等于多少度？每个内 角等于多少度？你是怎么计算的？
解：不正确. 设该正多边形的边数为n，如果结果正确，则 145°n=180°(n-2) 解得n= 12
7
6.有两个多边形，边数之比为3﹕4，内角和之比 为1﹕2，求这两个多边形的边数.
3，4
7.如图所示的模板，按规定，AB，CD的延长线相交成 80°的角，因交点不在板上，不便测量，质检员测得 ∠BAE=122°，∠DCF=155°．如果你是质检员，如何 知道模板是否合格？为什么？
拓展延伸
截去一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个 角？这个多边形的内角和是多少度？与同伴交流.
剪去一张长方形纸片的一个角后，纸片
还剩几个角？这个多边形的内角和是多少度？ 与同伴交流.
剪去一张长方形纸片的一个角后，纸片
还剩几个角？这个多边形的内角和是多少度？ 与同伴交流.
剪去一张长方形纸片的一个角后，纸片还
3.正五边形、正六边形、正八边形呢···正n边形呢？
知识讲授 正n边形的每个内角度数为： (n 2) 180
n
随堂训练
1.正八边形的每个内角都是( D )
A．60° B．80° C．100° D．135°
2.一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是( C )
多边形的内角和与外角和-北师大版八年级数学下册课件
正多边形
特点：它们的边（ 都相等 ） 它们的内角（ 都相等 ）
定义：在平面内，内角都相等，边都相等的多边形 叫正多边形
课堂小结
1.多边形的外角及外角和的定义； 2.n边形的内角和为（n-2）×1800
3.多边形的外角和等于360°，与边数无关；
4.在探求过程中我们使用了视察、归纳的数学方法， 并且运用了类比、转化等数学思想。
360° n
正多边形的一个内角=180°-
360° n
360
360
°
°
360
360
°
°
新知归纳
多边形的内角和：所有内角的和。 n边形的内角和为（n-2）×1800
例 求十五边形内角和的度数。 解: （n-2）×1800
=（15-2)×1800 = 23400 答：十五边形的内角和是23400
例：已知一个多边形的内角和是1440O，求这个多边 形的边数。
4.若正多边形的内角和是 540°,则该正多边 形的一个外角为（ C ）
A.45° B.60° C.72° D.90°
怎样利用多边形的外角和计算正多边形的一 个外（外）角的度数？
正多边形的一个外角=
360° n
正多边形的一个内角=180°- 36n0°
定理 多边形的外角和都等于360°.
正多边形的一个外角=
第六章 平行四边形
6.4.2 多边形的内角和与外角和
多边形
在在在平在平平面平面面内面内内，内，，由，由由四由若五条三干条不条不不在不在在同在同同一同一一直一直直线直线线上线上上的上的的线的线线段线段段首段首首尾首尾尾顺尾顺顺次顺次次连次连 接接连连组组接接成成组组的的成成封封的封闭闭封闭图图闭图形形图形叫叫形叫做做叫做多四做三边边五角形形边形。。形。。
北师大版数学八年级下册6.4《多边形的内角和与外角和》说课稿
北师大版数学八年级下册6.4《多边形的内角和与外角和》说课稿一. 教材分析北师大版数学八年级下册6.4《多边形的内角和与外角和》这一节主要讲述了多边形的内角和与外角和的概念及其计算方法。
多边形的内角和是指多边形所有内角的度数之和，而外角和则是指多边形所有外角的度数之和。
这部分内容是初中数学的重要知识点，对于学生来说，掌握这部分内容对于理解和掌握整个初中数学知识体系具有重要意义。
二. 学情分析在教学之前，我们需要对学生的学习情况进行分析。
学生们在学习了多边形的概念、四边形的性质等基础知识后，对于多边形的内角和与外角和的学习已具备了一定的基础。
然而，由于多边形的内角和与外角和的概念较为抽象，部分学生可能对其理解和运用存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我们需要关注学生的学习情况，针对性地进行教学，帮助学生理解和掌握这部分内容。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握多边形的内角和与外角和的概念及其计算方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生在解决实际问题的过程中感受到数学的价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：多边形的内角和与外角和的概念及其计算方法。
2.教学难点：多边形内角和与外角和计算方法的推导过程，以及如何运用所学知识解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生通过观察、操作、推理等过程主动学习，提高学生的学习兴趣和参与度。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学辅助手段，帮助学生直观地理解多边形的内角和与外角和的概念及其计算方法。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些多边形的图片，引导学生观察多边形的特征，从而引出多边形的内角和与外角和的概念。
2.自主学习：让学生通过阅读教材，了解多边形的内角和与外角和的概念及其计算方法。
北师大版八年级下册《多边形的内角和与外角和》
2、（1）一个十边形的每一个内角都相等，那么这
个十边形的每一外角等于( C )
A、144°
B、 72 °
C、 36°
D 、18°
（2）一个多边形每一个外角都等于45°，则这个多
边形的内角和等于( C )
A、 720°
B、 675°
C、 1080°
D、945°
课堂跟踪训练
1.八边形的内角和是__1_0_8_0____度.
在四边形的内角中，最多能有几个钝角？ 最多能有几个锐角？
因四边形的内角和是360度，而一个钝角的度数大于90 度，所以360除以一个钝角度数的商小于4，所以最多能有3 个钝角。又，一个锐角的度数小于90度，如果四个内角均 是锐角，则其内角和小于360，显然是不可能的（因四边形 的内角和是360度），所以至少应有一个钝角，所以在四边 形的四个内角中，最多能有3个锐角。
B C
A D
巩固练习一：
1、七边形内角和为（ 900°） 2、十边形内角和为（1440°） 3、十七边形内角和为（2700°） 4、二十边形内角和为（3240°） 5、八边形内角和为（ 1080°）
例：已知一个多边形的内角和 是1440O，求这个多边形的边数。
解：设这个多边形为n边形。 （n-2）×180° =1440° n-2=1440°÷180° n-2=8 n=10
随堂演练
1、（1）每个内角都为144°的多边形为( 十 )边形。 （2）每个内角都为140°的多边形为( 九 )边形。 （3）每个外角都为30°的多边形为(十二)边形。 （4）每个外角都为36°的多边形为( 十 )边形。 （5）正八边形的内角为( 135°)，外角为( 45°)。 （6）正十二边形的内角为( 150°)，外角为( 30°)。
多边形的内角和与外角和课件北师大版数学八年级下册
4 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形
的对角线的条数是( )
A．12
B．13
C．14
D．15
5 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分 ∠ABC，DF平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？为什么？
谢谢大家！
多边形的外角和等于360°
随堂训练
1 五边形的外角和等于( A．180° C．540°
) B．360° D．720°
2 已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边
形是( )
A．正五边形
B．正六边形
C．正七边形
D．正八边形
3 已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的
边数为( )
∠2＋∠ABC＝180°， ∠3＋∠BCD＝180°， ∠4＋∠CDE＝180°， ∠5＋∠DEA＝180°，
想一 想 如果广场的形状是四边形、三角形，那么结果会怎样?
1 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做 这个多边形的外角. 2 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这 个多边形的外角和.
第六章 平行四边形
6.4 多边形的内角和与外角和
1 情景导入
三角形的内角和是多少？
在平面内，由若干不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的
封闭图形叫做多边形.
边
. 对角线
内角
.
.
顶点
.
外角
.
2 课堂活动 知识点一 多边形的内角和 某小区健身广场中心的边缘是一个五边形（如图），你能求出它 的五个内角的和吗？
再沿直线前进10 m，又向左转30°……照这样走下去，小亮第
一次回到出ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ地A点时，他一共走了_1__2_0__m__．
北师大版(新)八年级下册数学6.4多边形的内角和与外角和(2)
2．如果广场的形状是八边形呢？
第三环节 多边形的外角与外角和
1．_____________________________________________叫做这个多边形的外角。
2．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
探究多边形的外角和，提出一般性的问题：一个任意的凸n边形，它的外角和是多少？
【教学重点】多边形外角和定理的探索和应用．
【教学难点】灵活运用公式解决简单的实际问题；转化的数学思维方法的渗透．
第一环节 创设情境，引入新课
问题：（多媒体演示）清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
挑战自我：
1．在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？
2．在n边形的n个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？
第五环节 课时小结
多边形的外角及外角和的定义；
多边形的外角和等于3纳的数学方法，并且运用了类比、转化等数学思想.
课后反思：
课题：第8课时多边形的内角和与外角和（2）
教师个性化设计、学法指导或学生笔记
教学目标：【知识与技能】经历探索多边形的外角和公式的过程;会应用公式解决问题；
【过程与方法】培养学生把未知转化为已知进行探究的能力，在探究活动中，进一步发展学生的说理能力与简单的推理能力．
【情感态度与价值观】让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造．
方法Ⅰ：类似探究多边形的内角和的方法，由三角形、四边形、五边形…的外角和开始探究；
八年级数学下册 第6章 平行四边形 6.4 多边形的内角和与外角和课件
∴ ∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C） = 360°－ 180° =180°.
如果一个(yī ɡè)四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
第九页，共三十五页。
【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补， BE平分(píngfēn)∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证： △DCF为直角三角形．
2
2
第十六页，共三十五页。
二 多边形的外角和
小刚每跑完一圈，身体转过的角度(jiǎodù)之和是多少？
第十七页，共三十Байду номын сангаас页。
概念学习
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角
叫做(jiàozuò)这个多边形的外角. 如图，∠A的外角是∠1.
多边形所有外角的和叫做 B
(jiàozuò)这个多边形的外角和.
2
1A 5
E
C3
4 D
第十八页，共三十五页。
如图，在五边形的每个顶点(dǐngdiǎn)处 各取一个外角．
1A
B
5
2 C3
E 4
D
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
互补(hù bǔ) 问题2：五个外角加上它们分别(fēnbié)相邻的五个内角和是多少？
5×180°=900°
第十九页，共三十五页。
个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
每个内角(nèi jiǎo)的度 (n 2)180 ,
数是
n
每个外角(wài jiǎo)的度数3 6 0 .
是
n
练一练：(1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正
____六边形.
(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是
北师大版数学八年级下册6.4《多边形的内角与外角和》说课稿
北师大版数学八年级下册6.4《多边形的内角与外角和》说课稿一. 教材分析《多边形的内角与外角和》是北师大版数学八年级下册第6.4节的内容。
本节课主要让学生理解并掌握多边形的内角和定理以及外角和定理，能够运用这些定理解决一些简单的问题。
教材通过引出多边形的内角和外角的概念，引导学生探究多边形的内角和外角和与边数的关系，从而得出多边形的内角和定理和外角和定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，以及多边形的定义。
他们已经具备了一定的探究能力，能够通过观察和操作来发现规律。
但是，学生对于多边形的内角和外角的概念可能还不够清晰，需要通过实例和活动来进一步理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解并掌握多边形的内角和定理和外角和定理，能够运用这些定理解决一些简单的问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察和操作，培养观察能力、操作能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与学习活动，克服困难，增强自信心，培养合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握多边形的内角和定理和外角和定理。
2.教学难点：学生能够运用多边形的内角和定理和外角和定理解决一些简单的问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：本节课采用问题驱动法、观察法、操作法、合作学习法等教学方法，引导学生主动探究，发现规律。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等教学手段，直观地展示多边形的内角和外角的概念和性质。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些多边形的图片，引导学生回顾多边形的定义，激发学生对多边形的内角和外角的好奇心。
2.探究多边形的内角和：引导学生观察多边形的内角，发现多边形的内角和与边数的关系，通过操作和推理得出多边形的内角和定理。
3.探究多边形的外角和：引导学生观察多边形的外角，发现多边形的外角和与边数的关系，通过操作和推理得出多边形的外角和定理。
多边形的内角和与外角和课件数学北师大版八年级下册
每增加 1，内角和就增加 180° .
感悟新知
知1－练
例1 如图 6-4-1，五边形 ABCDE 是正五边形，求∠ BCA
的度数 .
解题秘方：紧扣多边形的内角和公式求出相关角
的度数.
感悟新知
知1－练
解：∵五边形 ABCDE 是正五边形，
∴∠ B=
° ×(－)
A.45°
B.60°
C.110°
D.135°
)
多边形的内角
和与外角和
内角
内角和
外角
外角和
多边形
已知内角和，设出边
数 n，利用内角和公
式列出方程求边数 n
感悟新知
知1－练
(2) 正多边形的每个内角均为 120° .
解：设正多边形的边数为 x，
由题意得( x－2) ·180° =120° x，
解得 x=6.
故正多边形的边数为 6.
感悟新知
知1－练
2-1. [ 中考·怀化 ] 一个多边形的内角和为900°，则
多边形的边数 .
解： ∵多边形的外角和为 360°，
∴ 360° ÷30° =12.
故这个正多边形的边数为 12.
感悟新知
知2－练
3-1. [ 中考·兰州 ] 如图①是我国古建筑墙上采用的
八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境
如同镶嵌于一个画框之中．如图②是八角形空窗
的示意图，它的一个外角∠ 1=( A
=108°，
AB=BC.
∴ ∠ BCA= ∠ BAC= ( 180 °－∠ B) =
(180 °－108°) =36° .
6.4多边形的内角和与外角和精美课件
1．(3分)(2014· 广东)一个多边形的内角和是900°， 这个多边形的边数是( D ) A．4 B．5 C．6 D．7 2．(2分)下列角度中，不能成为多边形的内角和的是( D ) A．1 800° B．900° C．540° D．450° 3．(3分)过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形 分成8个三角形，则这个多边形的边数是( C ) A．8 B．9 C．10 D．11 4．(3分)一个多边形除去一个内角后，其余各内角之和 为1 050°，则除去的这个内角的度数是 30° ．
9．(3分)多边形的内角和与某一个外角的度数 总和为1 350°，则这个多边形的边数是 九 ．
10．(3分)如图，小亮从A点出发前进10 m，向 右转15°，再前进10 m，又向右转15°…… 这样一直走下去，则他第一次回到出发点A时 240 一共走了____m. 11．(6分)已知五边形的各内角之比为 1∶3∶4∶6∶6，求各内角的度数．
北师 · 数学
6.4 多边形的内角和与外角和 得分________ 卷后分________ 评价________
1．n边形的内角和等于 ． 2．多边形内角的一边与另一边的反向延长线 所组成的角叫做这个多边形的 外角 ． 3．多边形的外角和都等于 360° ．
(n－2)· 180°北师· 数学多边形的内角和
北师 · 数学
多边形的外角和 5．(2分)若一个正多边形的外角是40°，则这 个正多边形的边数是( B ) A．10 B．9 C．8 D．6
6．(2分)如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形 ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°， 则∠AED的度数是( D ) A．110° B．108° C．105° D．100° 7．(3分)(2014· 自贡)一个多边形的内角和比外角 9 ． 和的3倍多180°，则它的边数是____ 8．(3分)(2014· 巴中)若一个正多边形的一个内角 等于135°，那么这个多边形是正 ____ 八 边形． 北师 · 数学
八年级数学下册第六章平行四边形64多边形的内角和与外角和训练课件新版北师大版
第十六页，共39页。
第十七页，共39页。
第十八页，共39页。
第十九页，共39页。
第二十页，共39页。
第二十一页，共39页。
第二十二页，共39页。
第二十三页，共39页。
第二十四页，共39页。
第二十五页，共39页。
第二十六页，共39页。
第二十七页，共39页。
第二十八页，共39页。
第一页，共39页。
第二页，共39页。
第三页，共39页。
第四页，共39页。
第五页，共39页。
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第八页，共39页。
第九页，共39页。
第十页，共39页。
第十一页，共39页。
第十二页，共39页。
第十三页，共39页。
第十四页，共39页。
第十五页，共39页。
9页。
第三十二页，共39页。
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北师大版八年级下册数学《6.4 多边形的内角和与外角和》教案
北师大版八年级下册数学《6.4 多边形的内角和与外角和》教案一. 教材分析《6.4 多边形的内角和与外角和》这一节主要让学生理解多边形的内角和、外角和的概念，掌握多边形内角和与外角和的计算方法。
教材通过生活实例引入多边形的内角和、外角和的概念，让学生在具体的情境中感受数学与生活的联系，激发学生的学习兴趣。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了多边形的基本概念，对图形的认知有一定的基础。
但是，学生对多边形的内角和、外角和的概念可能还比较模糊，需要通过实例和活动加深理解。
此外，学生可能对多边形内角和与外角和的计算方法感到困惑，需要通过引导和练习掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：理解多边形的内角和、外角和的概念，掌握多边形内角和与外角和的计算方法。
2.过程与方法：通过生活实例和数学活动，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：感受数学与生活的联系，增强学生对数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：多边形的内角和、外角和的概念及计算方法。
2.难点：多边形内角和与外角和的计算方法的灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入多边形的内角和、外角和的概念，让学生在具体的情境中感受数学与生活的联系。
2.活动教学法：学生进行数学活动，引导学生动手操作、观察发现，培养学生的观察能力和思考能力。
3.引导发现法：教师引导学生发现问题、解决问题，培养学生的解决问题的能力。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具：学生每人一份多边形的内角和、外角和的计算练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的多边形图片，如自行车轮胎、篮球场等，引导学生观察多边形的特征。
然后提出问题：“你们认为多边形有哪些特征？”，让学生思考并回答。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体呈现多边形的内角和、外角和的概念，并用具体例子解释。
例如，一个四边形的内角和为360度，外角和为360度。
北师大版八年级数学下册《平行四边形——多边形的内角和与外角和》教学PPT课件(2篇)
A.1800° B.540 °
C.720 °
D.710 °
3.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形
内角和等于（ B ）
A.360°
B.540 ° C.720 ° D.900 °
课堂小结
多边形的 内角和
内角和计 算公式
(n-2) × 180 °(n 是不小于3的 任意整数）
第六章 平行四边形 6.4 多边形的内角和与外角和
问题2：运用所学的知识，证明自己的推论.
已知：四边形ABCD.
A
求证：∠A+∠B+∠C=∠D=360°.
证明：如图，连接AC,
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
B
180°×2=360°.
D C
课程讲授
1 多边形的内角和
问题3：你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五 边形和六边形内角和吗?
？？
内角和
180° 360° 360° ？360°
课程讲授
1 多边形的内角和
问题1：根据前面所学的知识，我们已经知道三角形， 正方形和长方形的内角和，那么任意一个四边形的内角 和是否为一个定值呢？
D
A
提示：可将四边形分割成两个三角形.
归纳：四边形ABCD的内角和是 360°.
B
C
课程讲授
1 多边形的内角和
E
A
A
F
B
E
B
D
C
D
C
课程讲授
1 多边形的内角和
E
A
A
B
B
D
F E
C
D
C
归纳：五边形的内角和是540°.六边形的内角和是720°.
多边形的内角和与外角和 第一课时-八年级数学下册课件(北师大版)
A．27
B．35
C．44
D．54
2 一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形的内角和是1 620°，
则原来多边形的边数是( D )
A．10
B．11
C．12
D．以上都有可能
3 已知n 边形的内角和θ＝(n－2)×180°. (1)甲同学说，θ 能取360°，而乙同学说，θ 也能取630°.甲、 乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由； (2)若n 边形变为(n＋x )边形，发现内角和增加了360°，用列 方程的方法确定x.
n 边形内角和等于(n－2)×180°求解．
例2 如图，在四边形ABCD 中，∠A＋∠C=180°.∠B 与∠D 有怎
样的关系？
解：∵ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D
＝(4－2)×180°＝360°，
∴∠B＋∠D ＝360°－(∠A＋∠C )
＝360°－180° ＝180°.
总结
如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.
7
2 若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数
是( B )
A．6
B．12
C．16
D．18
3 若一个正n 边形的每个内角为144°，则这个正n 边形的
所有对角线的条数是( C )
A．7
B．10
C．35
D．70
1 一个多边形除一个内角外其余内角的和为1 510°，则这个多边
形对角线的条数是( C )
解：(1)甲对，乙不对．
∵θ＝360°，∴(n－2)×180°＝360°.解得n＝4.
∵θ＝630°，
∴(n－2)×180°＝630°，解得n＝
11 2
.
∵n 为整数，∴θ 不能取630°.
北师版八年级下册6.4多边形及内角和(含答案详解)
北师版八年级下册6.4多边形及其内角和１基本概念⑴多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．⑵多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．⑶多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．⑷多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．⑸多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．⑹多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．⑺正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．⑻凸多边形：如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧的多边形．２基本性质⑴稳定性．⑵内角和与外角和定理．如下图，n边形的内角和为(2)180n≥，多边形的外角和都是360︒．n-⨯︒(3)⑶ n 边形的对角线：一个顶点有(3)n -条对角线，共有(3)2n n-条对角线． ⑷ 不特别强调多边形都指凸多边形，凸多边形的每个内角都小于180︒．模块一 多边形的对角线【例1】 如果一个多边形共有27条对角线，则这个多边形的边数是 ． 【解析】略 【答案】9．【巩固】已知从n 边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边之长．【解析】提示：根据对角线条数先判断边数，在设未知数列方程求解． 【答案】567891011，，，，，，．【巩固】已知一个多边形的对角线的条数为边数的2倍，求该多边形的边数． 【解析】提示：设边数为x ，则()322x xx -=．【答案】7【例2】 一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，这个多边形是（ ）边形．分割成(n-2)个三角形求内角和n 个平角-内角和【解析】设多边形有n条边，则根据题意可列：(3)2n nn-=，解得n1=5，n2=0（舍去），故多边形的边数为5．【答案】C．【巩固】一个n边形的边数增加一条，那么它的对角线增加条．【解析】略【答案】1；【例3】从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（）【解析】从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n-2）．【答案】C【巩固】一个多边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，把这个多边形分成了12个三角形，则这个多边形的边数（）【解析】通过分析可知，n-2=12，则n=14．【答案】A．模块二多边形的内角和与外角和内角和【例4】已知一个多边形的内角和是540︒，则这个多边形是( )A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【解析】略【答案】Ｂ．【巩固】一个多边形共有14条对角线，则它的内角和为___________.【解析】一个n 边形，从一个顶点出发，有()3n -条对角线，故共有()132n n -条对角线，于是有()13142n n -=，从而7n =，∴这个三角形的内角和为()72180900-⋅︒=︒【答案】900︒【例5】 在四边形ABCD 中，60D ∠=︒，B ∠比A ∠大20︒，C ∠是A ∠的2倍，求A ∠，B ∠，C ∠的大小． 【解析】设(度)，则，．根据四边形内角和定理得，． 解得，，∴，，．【答案】，，【巩固】如图，已知在一次科技活动中，需要将一张面积为210cm 的四边形四角都剪去一个扇形的区域，扇形的半径均为1cm ，求剩余纸张的面积．【解析】四边形ABCD 的内角和为360︒，故四个扇形的面积和等于π，∴剩余纸张的面积为10π-． 【答案】10π-【例6】 一个凸多边形的内角中，最多有 个锐角．x A =∠20+=∠x B x C 2=∠360602)20(=++++x x x 70=x ︒=∠70A ︒=∠90B ︒=∠140C ︒=∠70A ︒=∠90B ︒=∠140C DCB A【答案】3【巩固】如果一个多边形的边数增加1倍后，它的内角和是2160︒，那么原来多边形的边数是 ． 【解析】略 【答案】7【巩固】如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于2，则第n 个多边形中，所有扇形面积之和是 (结果保留π)．【解析】略 【答案】π2n ． 外角和【例7】 若一个正多边形的一个外角是40︒，则这个正多边形的边数是( )A ．10B ．9C ．8D ．6【解析】略 【答案】Ｂ【答案】已知一个五边形的外角度数之比为1:2:3:4:5，求它的内角大小．第3个第2个第1个【答案】60︒，84︒，108︒，132︒，156︒；【例8】 如右图，小明从点A 出发，向前走2米，左拐20︒，再向前走2米，再左拐20︒，如此下去，小明能否回到出发点A ？如果能，第一次回到出发点共走了多少路程？【解析】略【答案】能，36m ．【例1】 如图，讲六边形ABCDEF 沿直线GH 折叠，使点A B ，落在六边形CDEFGH 内部，则下列结论正确的是（ ）A ．()129002C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠B ．()1210802CDEF ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ C ．()12720C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ D ．()1123602C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ 【解析】如图，设FA 的延长线与CB 的延长线交于点P ，'GA 的延长线与'HB 的延长线交于点'P ，连接'PP ，由对称性知，12'22'APP BPP ∠=∠∠=∠，，A222220︒20︒20︒B'A'21FEDC BA∴122APB ∠+∠=∠， 又∵()540APB C D E F ∠=︒-∠+∠+∠+∠，∴()1210802C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠．【答案】B模块三 正多边形与镶嵌知识点播：几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．【例9】 下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）A .正三角形B .正方形C .正五边形D .正六边形【解析】用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．不能铺满地面的是正五边形．【答案】C ．【巩固】若限于用同一种正多边形磁砖镶嵌（要求镶嵌的正多边形的边必须与另一正多边形的边重合），则不能镶嵌成一个平面的正多边形磁砖的形状是（ ） A 、正三角形 B 、正方形 C 、正六边形 D 、正八边形【解析】A 、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B 、正方形的每个内角是P'PB'A'21FEDCB A90°，4个能密铺；C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；D、正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺．【答案】D．【例10】有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（）A.4种B.3种C.2种D.1种【解析】①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能够铺满地面；②正方形的每个内角是90°，能整除360°，能够铺满地面；③正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能够铺满地面；④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能够铺满地面；⑤正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能够铺满地面．【答案】B．【巩固】下列平面图形中，不能镶嵌平面的图形是（）A.任意一种三角形B.任意一种正方形C.任意一种正五边形D.任意一种正六边形【解析】∵用一般凸多边形镶嵌，用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案，∴A、B能镶嵌平面的图形；C、任意一个正五边形的内角为108°，不能镶嵌平面的图形；∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图∴D能镶嵌平面的图形．【答案】C．【例11】下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（）A、B、C、D、【解析】A、从一个顶点处看，由正六边形和正三角形镶嵌而成的；B、从一个顶点处看，由正方形和正三角形镶嵌而成的；C、从一个顶点处看，由正六边形和正方形镶嵌而成的；D、从一个顶点处看，由正三角形、正方形、正六边形三种镶嵌而成的．【答案】D．【巩固】张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（）A、B、C、D、【解析】∵能够铺满地面的图形是内角能凑成360°，∵正三角形一个内角60°，正方形一个内角90°，正五边形一个内角108°，正六边形一个内角120°，只有正五边形无法凑成360°．【答案】C．【巩固】小莹家的地面是由一个小正方形和四个等腰梯形这样的正方形地板砖镶嵌而成的，小莹发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八边形图案需要这样的地板砖至少（）A.8B.9C.11D.12【解析】由于正方形的一个内角为90°，同一顶点处等腰梯形的一个内角为：（360-90）÷2=135°，而八边形的内角为：180-360÷8=135°，那么小正方形的边长即为八边形的边长，画图如下．【答案】A．【例12】黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满．按第1，2，3个图案（如图）所示规律依次下去，则第n个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）A、n2+n+2，2n+1B、2n+2，2n+1C、4n，n2-n+3D、4n，2n+1【解析】第1个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是4，2×1+1=3；第2个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是2×4=8，2×2+1=5；第3个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是3×4=12，2×3+1=7；…第n个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是4n，3+（n-1）×2=2n+1．【答案】D．1. 请你分别在下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把10边形分成（）个三角形．【解析】四边形可分割成4-2=2个三角形；五边形可分割成5-2=3个三角形；六边形可分割成6-2=4个三角形；七边形可分割成7-2=5个三角形，同理，10边形可分割成10-2=8个三角形【答案】82. 一凸n边形最小的内角为95︒，其它内角依次增加10︒，则n=_________．【解析】这个凸n边形的内角由小到大依次为95105115125︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，它的外角依次为857565554535︒︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，而这六个外角之和为857565554535360︒+︒+︒+︒+︒+︒=︒∴6n=．【答案】63. 已知小娟家的地板全由同一形状且大小相同的地砖紧密地铺成．若此地砖的形状是一正多边形，则下列何者不可能是此地砖的形状（）课后作业A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形【解析】A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；C、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．【答案】C．。
北师大版八年级下册数学 6.4关于多边形的边数求内角和问题同步习题(含解析)
已知多边形的边数求内角和一、选择题1、如图，正三角形ABC（图1）和正五边形DEFGH（图2）的边长相同．点O为△ABC的中心，用5个相同的△BOC拼入正五边形DEFGH中，得到图3，则图3中的五角星的五个锐角均为( )A .36°B .42°C .45°D . 48°2、正八边形的内角和等于( )A .720°B .1080°C .1440°D .1880°3、如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A'重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（）A．140°B．130°C．110°D．70°4、从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则这个n边形的内角和为（）A．720°B．900°C．1080°D．1260°二、填空题5、如图，在正六边形ABCDEF的外侧，作正方形EFGH，则∠DFH的度数为__________6、如图，正五边形FGHIJ的顶点在正五边形ABCDE的边上，若∠1＝20°，则∠2＝__________°．7、正多边形的一个内角的度数恰好等于它的相邻外角的度数的3倍，则这个多边形的边数为__________ ．8、如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A=147°，∠B=121°，则∠C=__________.9、如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的∠1= __________ ．10、如图，在六边形ABCDEF中，BA⊥FA，BC⊥DC，∠α、∠β分别是∠ABC和∠EDC的补角，∠α=55°，∠β=30°，则∠E+∠F的度数为__________．11、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=__________．12、用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=__________度．13、正多边形的中心角为72度，那么这个正多边形的内角和等于__________ 度．三、解答题14、多边形的内角和随着边数的变化而变化．设多边形的边数为n，内角和为N，则变量N与n之间的关系可以表示为N=（n-2）•180°．例如：如图四边形ABCD的内角和：N=∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180°=360°问：（1）利用这个关系式计算五边形的内角和；（2）当一个多边形的内角和N=720°时，求其边数n．15、如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数。
北师大版数学八年级下册数学课件：第六章4多边形的内角和与外角和
（2）存在. 设边数为n，这个外角的度数是x°,则 （n-2）×180-（180-x）+x=600. 整理得x=570-90n. ∵0＜x＜180， 即0＜570-90n＜180，并且n为正整数， ∴n=5或n=6. 答：这个多边形的边数是6，这个外角的度数为 30°.
解：连接A6A8.依题意，有 ∵135°×5+180°+∠A7A6A8+∠A7A8A6= （7-2）×180°=900°, ∴∠A7A6A8+∠A7A8A6=45°. ∴∠A7=135°. ∴优角A7为360°-135°=225°.
第六章 平行四边形
4 多边形的内角和与外角和
第2课时 多边形的内角和与外角 和（二）
角不相邻的（n-1）个内角的度数的和为q，则p与q的
关系是（ D ）
A. p=q
B. p=q-（n-1）·180°
C. p=q-（n-2）·180° D. p=q-（n-3）·180°
8. 设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，
则a与b的关系是（ B ）
A. a＞b B. a=b C. a＜b
B. 6
C. 7
D. 8
3. 如图6-4-3，在四边形ABCD中，若
∠A+∠B+∠C=260°，则∠D的度数为（ C ）
A. 120°
B. 110°
C. 100°
D. 40°
4. 将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，
那么这两个多边形的内角和相加不可能是
（D ） A. 360°
B. 540°
C. 720°
D. 900°
5. 如图6-4-4，将一张四边形纸片沿直线剪开，如 果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪 法中，符合要求的是（ B ）
八年数学下册第6章平行四边形集训课堂测素质多边形的内角和外角和习题课件新版北师大版
莉莉的解法：从四边形中剪去一个三角形，剩余部分是三 角形，其内角和为180°. 佳佳的解法：剩余部分是四边形，其内角和为360°. 请问莉莉和佳佳的解法是否正确？如果不正确，请写出正 确解法．
解：莉莉和佳佳的解法不正确．正确解法如下： 如图①，剩余部分是三角形，其内角和为180°； 如图②，剩余部分是四边形， 其内角和为360°； 如图③，剩余部分是五边形， 其内角和为540°.
17 (10分)如图是两个小朋友在探究某多边形的内角和时 的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们是在求 几边形的内角和？少加的内角为多少度？
解：1 140°÷180°＝6……60°， 则边数是6＋1＋2＝9. 所以他们是在求九边形的内角和． 180°－60°＝120°， 所以少加的那个内角为120°.
11 从多边形的一个顶点所引的对角线把这个多边形分成 7个三角形，则这个多边形共有___2_7____条对角线．
12 【中考·广安】如图，正五边形ABCDE中，对角线AC 与BE相交于点F，则∠AFE＝____7_2_°__.
13 如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°.将 △BMN沿MN翻折得到△FMN，若MF∥AD，FN∥DC， 则∠B＝________. 95°
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用 列方程的方法确定x. 解：依题意， 得(n－2)×180°＋360°＝(n＋x－2)×180°， 解得x＝2.
19 (10分)如图，从四边形ABCD中剪去一个三角形(只剪一 刀)，剩余的部分是几边形？请画出示意图(边数相同的 情况只需画一个示意图)，并写出剩余部分多边形的内 角和.
2 【教材P155习题T1变式】从多边形的任意一个顶点出发
可以画出4条对角线，则该多边形的边数为( C )