2015-2016学年人教A版必修5等比数列的前n项和课件(25张)

代入
利用
a1 Байду номын сангаас－qn n－ 1 代入 (2) Sn＝ ，an＝a1q ― ― → 列方程组 ― → 求解 已知量 1－q (3) 据an＝a1qn
－1
― ― → 列方程组 ― → 求a1，q ― → 求 a4和 S5
代换
【解】 (1)设数列{an}的公比为 q(q＞0)， 则有 a5＝a1q4＝16， a11－q7 1－27 ∴q＝2， 数列的前 7 项和为 S7＝ ＝ 1－ q 1－2 ＝127. a11－qn n－1 (2)由 Sn＝ ，an＝a1q 以及已知条件得 1－ q
公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．理解等比数列前 n 项和公式与函数的关系． a11－qn a1 a1 n a1 Sn ＝ ＝ － q ，设 a＝ ，则 1－ q 1－q 1－q 1－q Sn＝a－aqn，Sn 为一个常数 a 减去 a 与指数函数 的积，即若 Sn＝a－aqn，则数列为等比数列． 4．等比数列{an}前 n 项和 Sn(Sn≠0)，前 n 项积 T2n T3n Tn， 则 Sn， S2n－Sn， S3n－S2n， „和 Tn， ， ， „ T n T 2n 都成等比数列．
等比数列前n项和的性质
等比数列前 n 项和的常用性质 (1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中， 公比为 q. ①若共有 2n 项，则 S 偶∶S 奇＝q； a1＋a2n＋2 ②若共有 2n＋1 项，则 S 奇－S 偶＝ (q≠1 1＋q 且 q≠－1)．
(2)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前
解得 a1＝5，d＝4. 所以{an}的通项公式为 an＝4n＋1.
(2)由 an＝4n＋1 得 bn＝24n＋1， 所以{bn}是首项为 b1＝25， 公比为 q＝24 的等比数 25×24n－1 列．于是得{bn}的前 n 项和 Sn＝ ＝ 4 2 －1 3224n－1 . 15
【名师点评】
a11－2n 189＝ ， 1－ 2 n－ 1 96 ＝ a · 2 ， 1
192 ∴a1· 2 ＝192，∴2 ＝ . a1 192 n ∴189＝a1(2 －1)＝a1( －1)，∴a1＝3. a1 96 n－1 又∵2 ＝ ＝32，∴n＝6. 3 (3)设公比为 q，由通项公式及已知条件得
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
an＋1 1． 数列{an}为等比数列⇔ ＝q(q≠0 且 n∈N*)． an － 2．等比数列{an}的通项公式为 an＝a1qn 1(n∈N*)．
na1＋an 2 3．等差数列的前 n 项和公式是：__________ ＝
1 na1＋ n(n－1)d. 2 _______________
2．5 等比数列的前n项和
2．5.1 等比数列的前n项和
学习目标 1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导 过程． 2．能够应用前n项和公式解决等比数列有关问 题． 3．进一步提高解方程(组)的能力，以及整体代换 思想的应用能力．
2. 5.1 等 比 数 列 的 前 n 项 和
课前自主学案
课堂互动讲练
bn ＋ 1 5 1 ∵ ＝ 3－2n ＝ ，b1＝5， bn 25 5 1 ∴{bn}是以 5 为首项， 为公比的等比数列， 25 1 n 5[1－ ] 25 125 1 ∴Sn′＝ ＝ (1－ n)． 1 24 25 1－ 25
3－2n＋1
方法感悟
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共 涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和 公比q为基本量，且“知三求二”． 2．在前n项和公式的应用中，要注意对前n项和 公式进行分类讨论，因为q≠1和q＝1时有不同的
n n
a1＋a1q2＝10， 5 3 5 a1q ＋a1q ＝ ， 4 a11＋q2＝10， 5 3 2 a1q 1＋q ＝ . ② 4
即 ①
∵a1≠0,1＋q2≠0， 1 1 3 ∴②÷ ①得，q ＝ ，即 q＝ ，∴a1＝8. 8 2 13 3 ∴a4＝a1q ＝8×( ) ＝1， 2 15 a11－q5 8×[1－2 ] 31 S5＝ ＝ ＝ . 1 2 1－q 1－ 2
变式训练 1 在等比数列{an}中， (1)已知 a1＝3， an＝96， Sn＝189， 求 n； 7 63 (2)已知 S3＝ ，S6＝ ，求 an. 2 2 a1－anq 解：(1)由 Sn＝ 可得 1－ q 3－96q 189＝ ，解得 q＝2. 1－q 又 an＝a1qn－1，∴96＝3· 2n－1，即 2n－1＝32，
∴n－1＝5，即 n＝6.
7 63 (2)已知 S6≠2S3，则 q≠1，又∵S3＝ ，S6＝ ， 2 2
a11－q3 7 ＝ 2 1－q 即 6 a11－q 63 1－q ＝ 2
① ②
②÷ ①得 1＋q3＝9，∴q＝2. 1 将 q＝2 代入①，可求得 a1＝ ， 2 n－1 n－2 因此 an＝a1q ＝2 .
在解决等差、等比数列的综合题
时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比 数列的定义、通项公式及前n项和公式是解决问 题的关键．
变式训练2
已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－n2，
an＝log5bn，其中bn＞0，求数列{bn}的前n项和．
解：设{bn}的前 n 项和为 Sn′， 当 n＝1 时，a1＝S1＝1.当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝3－2n， 又∵an＝log5bn， ∴bn＝53－2n.
等比数列的综合应用
例3
已知等差数列{an}，a2＝9，a5＝21.
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn. 【思路点拨】 首先求出a1和d，再计算an，由bn
＝2an可判断数列{bn}的类型．
【解】
(1)设等差数列{an}的公差为 d，
a1＋d＝9， 依题意得方程组 a1＋4d＝21，
a11－q30 a11－q10 ∴S30＝ ＝ (1＋q10＋q20) 1－q 1－q ＝10×(1＋2＋4)＝70. 法二：∵S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30， 30－102 ∴S30－S20＝S30－30＝ ， 10 即 S30＝70.
知新盖能
等比数列的前n项和公式
课堂互动讲练
考点突破
等比数列前n项和的有关计算
a1－anq a11－qn Sn＝ ， Sn＝ (q≠1)均为等比数列的 1－q 1－q 求和公式，一共涉及 a1，an，Sn，n，q 五个量， 通常已知其中三个，可求另外两个，而且方法就 是解方程组，这也是求解等比数列问题的基本方 法．
m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－
S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比
数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项
的和构成等比数列．
例2
已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，
前20项和S20＝30，求S30.
【 思 路 点 拨 】 法 二
法 一 ： 设公比为q ：
在等比数列{an}中， (1)若 a1＝1，a5＝16，且 an＞0，求 S7； (2)若 Sn＝189，q＝2，an＝96，求 a1 和 n； 5 (3)若 a1＋a3＝10，a4＋a6＝ ，求 a4 和 S5. 4
【思路点拨】 (1) 由an＝a1q
n－ 1
例1
― ― → 求出q ― ― → 求 S7 数据 公式
→ 根据条件列方程组 → 解出q → 代入求S30 根据题意S10，S20－S10，S30－S20成等比数列 → S10＝10，S20＝30 → S30
【解】 法一：设公比为 q，则
a11－q10 ＝10 1－q 20 a11－q 1－q ＝30
① ②
② 得 1＋q10＝3，∴q10＝2， ①