第三章 刚体和流体的运动
第三章流体运动学
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第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
流体力学课件 第3章流体运动的基本原理
u u (x, y,z, t )
17
二、流场描述
1、迹线：某一质点在某一时段内的运动轨迹曲线。
例： 烟火、火箭、流星、子弹等轨迹线。。。。。
（1）拉格朗日法迹线方程
x x（a，b，c，t） y y（a，b，c，t）
z z（a，b，c，t）
消去参数t并给定（a，b，c）即得相应质点的迹线方 程。
说明：
*（a,b,c）=const, t为变数，可得某个指定质点在任意时刻
所处的位臵，上式即迹线方程； *（a,b,c）为变数,对应时刻 t可以得出某一瞬间不同质点 在空间的分布情况。
3、拉格朗日法的速度与加速度方程
（ 1） 流速方 程
x ux ； t y uy ； t z uz t 均为（a，b，c，t）的函数。
第三章 流体运动的基本原理
静止只是流体的一种特殊的存在形态，运动 或流动是流体更为普遍的存在形态，也更能反映 流体的本质特征。 本章主要讨论流体的运动特征（速度、加速 度等）和流体运动的描述方法，流体连续性方程、 动量守恒及能量守恒方程是研究流体运动的基础。
1
第一节、流体运动的描述方法
一、拉格朗日法（lj）
18
（2）欧拉法迹线方程 若质点P在时间dt内从A点运
Z
A
B
动到B点，则质点移动速度为：
u dr dt
O
Y
得迹线方程:
dx dy dz dt ux uy uz
2、流线
表示某一瞬时流体各点流动 趋势的曲线，其上任一点的切线 方向与该点流速方向重合。即同 一时刻不同质点的速度方向线。
根据行列式的性质，有：
22
流线微分方程
dx dy dz u x u y uz
大学物理第三章刚体和流体运动
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对刚体内各个质点的相应式子，相加得：
F r sin f
i i i i i
i i
r sin i ( mi ri )
2 i
对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则：
f
i
i
ri sin i 0
2 i i i
F r sin ( m r
r
问题中包括平动和转动。
T1 m1 g m1a m2 g T2 m2a T2 r T1r M r J
轮不打滑： 联立方程，可解得 T1 ，T2，a， 。
此装置称阿特伍德机——可用于测量重力加速度 g
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例3-4 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的 水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最 初以角速度0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它 经过多少时间才停止转动？ 解： 把圆盘分成许多环形 质元，每个质元的质量 dm=rddre ， e 是 盘 的 厚 度，质元所受到的阻力矩 为 rdmg 。 圆盘所受阻力矩为：
刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功 等于刚体转动动能的增量。
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四、刚体的重力势能 以地面为势能零点，刚体和地 球系统的重力势能：
z
i
O
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例3-5 一质量为m ，长为 l 的均质细杆，转轴在O点， 距A端 l/3 。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转 动，求(1)水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位 置时的角速度和角加速度。
第三章 刚体和流体的运动
§3-1 刚体模型及其运动 §3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系
刚体与流体
第三章 刚体和流体P.1§3-1刚体及其运动规律刚体：物体上任意两点 之间的距离保持不变 在力的作用下不发生形 变的物体。
P.23-1-1 刚体的运动平动： 刚体在运动过程 中，其上任意两点的 连线始终保持平行。
注：可以用质点动力学的方法来处理刚体的平 动问题。
P.3转动：刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。
这种运动称为刚体的转动。
这条直线称为转轴。
定轴转动： 转轴固定不动的转动。
定点转动： 转轴上一点相对于参考系 静止，转轴方向随时间不 断变化。
例如陀螺和雷达天线。
P.4P.53-1-2刚体对定轴的角动量zv viv质元：组成物体的微颗粒元质元对O点的角动量为ωv v v Li = Ri × (mi vi )Li = mi Ri v iv Li 沿转轴Oz的投影为Liz = Li cos(v Lixv riγOmiv Riyπ2− γ ) = mi Ri vi sin γ = mi ri vi = mi ri 2ωP.6刚体对Oz轴的角动量为Lz = ∑ Liz = ∑ mi ri 2ω = (∑ mi ri 2 )ωi i i令J z = ∑mi rii2kg⋅ m2J z 为刚体对 Oz 轴的转动惯量比较：Lz = J z ωp = mvP.7转动惯量的定义式：J = ∑ mi rii2连续体的转动惯量：J = ∫ r dm2 V转动惯量的物理意义：反映刚体转动惯性的量度 转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体 的质量、质量分布以及转轴的位置有关。
P.8转动惯量的计算J ＝ ∑ m i ri 2i若质量连续分布 J = r 2 dm∫在（SI）中，J 的单位：kgm2dm为质量元，简称质元。
其计算方法如下：质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布dm = λ dlλ为质量的线密度。
σ为质量的面密度。
ρ为质量的体密度。
dm = σ dsdm = ρ dV面分布线分布体分布P.9对于质量连续分布的刚体：J = ∫ r dm = ∫ r ρdV2 2 V V（体质量分布） （面质量分布） （线质量分布）J = ∫ r dm = ∫ r σdS2 2 S SJ = ∫ r dm = ∫ r λdl2 2 L LP.10例的细棒绕一端的转动惯量。
刚体和流体
y
角动量的方向: 位矢和动量的矢积方向. 特例: 如果质点绕参考点O作圆周运动
v p
O
L = r p = mv r
注意: 1.角动量与所取的惯性系有关. 2.角动量与参考点O的位置有关.
v r
第三章 刚体力学基础
质点对定轴的角动量
v v v v v L = r × p = r × mv
L = mvr = mr 2ω = Jω
(原点O在棒的左端点)
第三章 刚体力学基础
例题2: 一质量为m, 半径为R的均匀圆盘, 求通过盘中心并与 盘面垂直的轴的转动惯量. 解: dm = σdS = σ 2 π rdr
J = ∫ r dm = 2 πσ ∫ r dr
2
3
J = 2πσ ∫ r dr
3
R
R
r O
dr
πσ R 1 2 = = mR 2 2
v v v 加速度: 合外力矩: M z = ∑ ri × Fi v v v v v M z = ∑ ∆mi ri × aiτ + ∑ ∆mi ri × ain
v第三章v刚体力学基础 v ai = aiτ + ain
v 2 v v v v v 其中: ri × ain = 0 ri × aiτ = ri aiτ sin 90°k = ri β k v v 2 M z = ∑ ∆mi ri β 转动惯量 J v v 转动定律: M z = Jβ
θ ( rad) 角位移: ∆θ , dθ dθ −1 ( rad ⋅ s ) 方向右旋 ω= dt v
第三章 刚体力学基础
线速度与角速度之间的关系
r v v v dv d ω v v dr a= = ×r +ω× dt dt dt v 2 v = β reτ + ω ren
第3章刚体和流体详解
第3章 刚体和流体3.1 在描述刚体转动时，为什么一般都采用角量，而不采用质点力学中常采用的线量? 答：对于刚体，用角量描述方便可行，这是因为对刚体上的各点角量（βωθ∆,,）都相同，若采用线量描述，由于刚体上各点线量（a r,,υ∆）均不相同，这对其运动的描述带来麻烦，甚至不可行。
3.2 当刚体绕定轴转动时，如果角速度很大，是否作用在它上面的合外力一定很大?是否作用在它上面的合外力矩一定很大?当合外力矩增加时，角速度和角加速度怎样变化?当合外力矩减小时，角速度和角加速度又怎样变化?答：（1）当刚体绕定轴转动时，如果角速度很大，作用在它上面的合外力不一定很大（它们没有必然联系）；（2）当合外力矩增加时，角加速度增大，若角加速度方向与角速度方向相同时，角速度也增大，反之，角速度减小。
（3）当合外力矩减小时，角加速度减小，但角速度同（2）中情况。
3.3 有人把握着哑铃的两手伸开，坐在以一定角速度转动着的(摩擦不计)凳子上，如果此人把手缩回，使转动惯量减为原来的一半。
(1)角速度增加多少?(2)转动动能会发生改变吗?答：（1）角速度增加一倍（据角动量守恒=ωJ 常量） （2）由221ωJ E k =知，转动动能增加一倍。
3.4 什么是流体?流体为什么会流动?答：具有流动性的物体叫流体。
流体之所以会流动是由于构成流体的分子间的作用很小，可以忽略，使得流体中的各分子可以自由运动。
3.5 连续性原理和伯努利方程成立的条件是什么?在推导过程中何处用过? 答：连续性方程成立的条件是理想流体作稳定流动（其核心是不可压缩性t s t s ∆=∆2211υυ）。
伯努利方程成立的条件是：理想流体，稳定流体，同一流线。
在推导中按理想稳定流体对待（未考虑粘滞力，考虑不可压缩性流线上的速度不随时间改变）。
3.6 为什么从消防栓里向天空打出来的水柱,其截面积随高度增加而变大?用水壶向水瓶中灌水时,水柱的截面积却愈来愈小?答：从救火筒理向天空打出来的水柱，其截面随高度增加而变大，是由于从高度的增加，水流的速度变小，由连续性方程就决定了液面截面积要增加。
第三章 流体运动学讲解
1 v1
2
3 3
v3
4 v4
v2 1
2
解：由题意 v4 A4 4 v4 4
v1
4
取过水断面1-1到3-3和4-4间 为对象
有： Q1 Q3 Q4 所以：
Q3 Q1 Q4
取过水断面1-1到2-2 为对象
4
有： v1 A1 v2 A2
试检查流动是否满足连续条件。
解：代入连续性方程，看是否满足连续性条件：
(2 x) (2 y ) (1) 22 0 x y
满足连续性条件
(0) (3xy) (2) 0 3x 0 x y
不满足连续性条件，说明该流动不存在。
见“流体力学课内练习”
例：不可压缩二维流动的流速分量为 ux x 4 y, u y y 4x 求 （1）流动是否存在，若存在，写出流函数表达式；（2）流 动是否有势，若有势，写出速度势表达式。 解：（1） （2） u y 4, u x 4 x y u x u y 1 u y u x 1 (1) 0 z ( )0 x y 2 x y
3-2 描述流体运动的基本概念 一、流管、元流和总流 1、流管
在流场中任取一封闭曲线，通过此封闭曲线上的每 一点作某一瞬时的流线，由这些流线所构成的管状曲 面称为流管。（P44图3-5）
2、元流 当封闭曲线所包围的面积无限小时，充满微小流管内 的液流称为元流。 3、总流 当封闭曲线取在运动液体的边界上时，则充满流管内 的整股液流称为总流。
5、掌握流函数、速度势函数与速度的关系。
3-1 1、拉格朗日法
流动描述
一、描述流体运动的两种方法
拉格朗日法又称质点系法，它是跟踪并研究每一个 液体质点的运动情况，把它们综合起来掌握整个液体 运动的规律。 在固体力学中应用较多。 2、欧拉法
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飞轮转过的角度：
飞轮转过的转数： （2）由转动定律：
. ，可得拉力：
拉力矩的功为：
.
（3）当 t 10s 时，飞轮的角速度：
点的速度：
，则有：
t 10s 时，飞轮边缘的法向加速度：
t 10s 时，飞轮边缘的切向加速度：
总加速度大小：
uur 由于 an at ，因此总加速度方向几乎与 an 相同.
，飞轮边缘一
3-2 飞轮的质量为 60 kg，直径为 0.50 m，转速为 1 000 r/min，现要求在 5 s 内 使其制动，求制动力 F.假定闸瓦与飞轮之间的摩擦因数 μ=0.4，飞轮的质量全部分布在轮 的外周上，尺寸如图 3.1 所示.
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2．刚体的自由度 决定一个系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目称为该系统的自由度。对于刚体 来说，最多有 6 个自由度，其中 3 个是平动自由度，3 个是转动自由度（其中 2 个是表示 转动轴的方向的坐标，剩余一个则表示绕转动轴转过的角度）。
二、力矩，转动惯量，定轴转动定律 在讨论质点的运动时，我们首先引入位移、速度、加速度等运动学量，然后引入力这
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个动力学量，最后通过运动定律将二者联系起来。同样在研究刚体的转动时，也需要相应
的运动学量、动力学量以及运动方程。
1．运动学量
定轴转动中，有三个运动学量，即转过的角位移 θ ，角速度矢量 ω ，角加速度 α 。
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第 3 章 刚体和流体的运动
3.1 复习笔记
一、刚体、刚体的运动 1．刚体模型及其运动 由牛顿运动定律和守恒定律可以方便地得到质点的运动，但对于质点系的研究，特别 是分布连续的质点系，分别对每个质点求解很不方便。可以利用一些物理模型将问题简化， 刚体和理想流体就属于此类模型。 刚体是一种特殊的质点系，无论它在多大外力的作用下，其大小和形状都保持不变， 亦即系统内两质点间的距离不变。刚体两种简单的运动形式是平动和转动，在平动中，各 个质点在同一段时间通过相同的位移，且具有相同的速度和加速度；在转动中，各个质点 都绕同一直线运动。如果转轴是固定不动的，就叫做定轴转动。
大学物理课件第三章 刚体和流体
r O
m1
弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l，质量为M。
解：子弹和木棒组成的系统对轴O的 角动量守恒
1
mv0l 4 mv0l Jω
M
其 中J 1 Ml 2
3
3mv0l 9mv0
4J 4Ml
v0
mv
3-5 力矩的功
➢力矩的功
设刚体上P点受到外力
F的作用，位移为
d
r,
功为dW
dW
3. 两种运动的结合 一般运动可分解为以下两种刚体的基本运动：
随基点O（可任选）的平动 绕通过基点O的瞬时轴的定点转动 常选质心为基点。
定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固 定不动的直线（转轴）上。
各质元的线量一般不同（因为半径不同），但角量（角 位移、角速度、角加速度）都相同。
设刚体绕固定轴 z 转动，转动
3
2
3-3 刚体对定轴的角动量定理和转动定律
由质点系对轴的角动量定理，可得
d L d( J)
Mz dt dt
两边乘以dt，并积分
M t2
t1
z
d
t
L2
L1
刚体对定轴的角动量定理：在某一时间段内，作用
在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。
Mz
dL dt
d( J)
dt
当 J 转动惯量是一个恒量时，有
此时滑轮的角速度。 解：据机械能守恒定律：
大学物理1教学大纲
《大学物理Ⅰ》教学大纲课程名称：大学物理Ⅰ课程编号：课程类别：专业基础课/必修课学时/学分：60学时/3学分开设学期：第二学期开设单位：物理与机电工程学院适用专业：电气工程及其自动化说明一、课程性质与说明1．课程性质专业基础课/必修课2．课程说明物理学的研究对象具有极大的普遍性，它的基本理论渗透在自然科学的一切领域，广泛地应用于生产技术的各个部门，它是自然科学和工程技术的基础，也是许多高新技术发展的源泉和先导。
因此，《大学物理》课程是理工科各专业学生的一门重要必修基础课。
以物理学为基础的大学物理课程主要包括：力学、振动和波动、热学、电磁学、光学、狭义相对论基础、量子物理基础等基础知识，以及它们在现代科学技术中的应用等。
通过大学物理课程的教学，应为学生进一步学习打下坚实的物理基础。
在教学过程中，要注意培养学生树立科学的自然观和辨证唯物主义世界观，培养学生科学思维和分析解决问题的能力，以及学生的探索精神与创新意识。
二、教学目标1. 学习和理解物理学观察、分析和解决问题的思想方法，培养、提高学生的科学素质,激发对科学的求知欲望及创新精神。
2. 系统地掌握必要的物理学基础知识及其基本规律,能运用经典物理学的理论对力、热、电、磁、光等学科的基本问题作初步的解释、分析和处理。
3. 对物理学的基本概念、基本理论、基本方法能够有比较全面和系统的认识和正确的理解，将微积分知识具体地、灵活地应用于物理问题之中，培养学生分析、解决实际问题的能力，并为后继课程的学习作必要的知识准备。
4. 了解各种理想物理模型，并能够根据物理概念、问题的性质和需要，抓住主要因素，略去次要因素，对所研究的对象进行合理的简化。
5. 了解近代物理学的有关基础知识。
三、学时分配表建议本课程以课堂讲授为主，采用启发式教学法。
教学中可充分利用录像、演示实验及多媒体等手段。
为加强学生对所学内容的理解，掌握解题方法、技巧，教师应推荐相应的参考书，课后留作业，按时辅导答疑。
第3章流体运动学ppt课件
div( u )
0
——连续性方程的微分形式
t
不可压缩流体 即
c
divu 0 ux uy uz 0 x y z
例：已知速度场
ux
1
y2 x2
uy
1
2xy
uz
1
2tz
t2
此流动是否可能出现？ 解：由连续性方程：
(ux ) (uy ) (uz ) 2t (2x) 2x (2t) 0
(uz )
z
dxdydzdt
dt时间内，控制体总净流出质量：
M
M x
M
y
M z
(
u
x
x
)
(u y )
y
(
u
z
z
)
dxdydzdt
udxdydzdt
div(
u )dxdydzdt
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于 密度变化而减少的质量，即
div(u)dxdydzdt dxdydzdt
➢ 根据流线的定义，可以推断：流线不能相交，也 不能转折；
➢ 在恒定流情况下，迹线与流线重合。
➢迹线和流线最基本的差别是：
迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线(与拉格 朗日观点对应); 流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切 的曲线(与欧拉观点相对应)。
例：已知速度ux=x+t，uy=－y+t 求：在t=0时过（－1，－1）点的流线和迹线方程。
微团的角变形：1
2
1 2
u y x
ux y
dt
xydt
xy
1 2
u y x
ux y
是微团在xoy平面上的角变形速度
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四、定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律 1．刚体的角动量 设刚体绕 z 轴转动，则刚体绕定轴的角动量为
2．定轴转动刚体的角动量定理 （1）角动量定理的微分形式 刚体所受到的对某给定轴的总外力矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率．
二、力矩 转动惯量 定轴转动定律 1．力矩 力矩是指力的作用点相对给定点的位矢 r 与力 F 的矢积．对于定轴转动，r 是力作用点 相对于转动轴的位矢． （1）力 F 对 O 点的力矩 M0
M0＝r×F
（2）力 F 对转轴 Oz 的力矩
图 3-1 力矩
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4．转动惯量 （1）转动惯量的定义 转动惯量是转动中惯性大小的量度，且
（2）转动惯量的积分形式
积分式中 dm 是质元的质量，r 是质元到转轴的距离． （3）平行轴定理 刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量 JC 加上 刚体质量与两轴间距离 h 的二次方的乘积． （4）刚体转动惯量大小的决定因素
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第 3 章 刚体和流体的运动
3.1 复习笔记
一、刚体模型及其运动 1．力学分析方法 对物体复杂运动的研究，一般的力学分析方法可归纳为： （1）突出主要矛盾，撇开次要因素，建立理想模型； （2）将质点系化整为零，以质点或质元为研究对象，作为突破口； （3）根据受力情况，正确地画出受力图； （4）根据已知条件或初始条件，选用所需的基本原理、定律，列出方程式； （5）根据要求，求解方程，统一变量，积零为整，用积分法求出结果； （6）讨论分析所得结果，检验是否正确． 2．刚体 刚体是一种特殊的质点系，无论在多大外力的作用下，系统内任意两质点间的距离始终 保持不变． 3．平动和转动 （1）平动 平动是指当刚体运动时，刚体内任何一条给定的直线，在运动中方向始终保持不变的运 动． 在平动中，各个质点在同一段时间内位移相同，且具有相同的速度和加速度． （2）转动
第三章：流体运动学
欧拉型连续方程式的积分形式，物理意义是：单位时间内控制体内流体质量的增减，等于同一时间内进出控制面的流体质量净通量。
使用高斯定理，将其面积分变为体积分：
第一项的微分符号移入积分号内得
所以得：
积分域τ是任取的，必有：
上式即欧拉型连续方程的微分形式。
§３-４流体微团运动的分析
流体微团的运动比较复杂，具有平移，转动，变形运动。微团的运动速度也相应地由平移速度、变形速度和转动角速度所组成。
过水断面：流管的垂直截面，
流量：每秒钟通过过水断面的体积。
微小流管的流量积分：
平均流速：
用实验方法量出体积流量Ｑ，除以σ得平均流速Ｕ。
五、条纹线
举例烟囱的流动来说明。
轨迹线、流线、条纹线这三条线中，流线最为重要。
§３-３连续性方程式
连续性方程式：质量守恒定律在流体力学中的表达式。
一、一元运动的连续性方程式
§３-２几个基本概念
一、定常运动与非定常运动
定常运动：任意固定空间点处所有物理量均不随时间而变化的流动，反之称为非定常运动。
对于定常运动，所有的物理量不随时间而变化，仅是空间坐标（ｘ，y，ｚ）的函数：
ｖｘ＝ｖｘ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｙ＝ｖｙ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｚ＝ｖｚ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｐ＝ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）
ρ＝ρ（ｘ，ｙ，ｚ）
３）质点的加速度
４）由质点一般运动规律
可求得拉格朗日变数ａ与ｂ的表达式为
代回拉格朗日法表示的速度表达式，得欧拉法表示的速度表达式：
欧拉法表示的加速度：
应用欧拉法研究流体运动，又有两种处理方法。一种是在流场空间取一微元体（如六面体），分析流体通过该微元体时流体微团的运动规律，建立流体运动时各种微分方程式。因此这种方法叫微分法。另一种方法是在流场中取一有限的任意形状的固定控制体（其边界封闭曲面称为控制面），分析流体通过该控制体时的运动规律，建立流体运动时各种整体关系式（即积分方程式），这种方法叫控制体方法，或称积分方法。
刚体转动和流体运动
刚体转动和流体运动平动 刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同. 转动 刚体中所有点都绕某一直线作圆周运动. 力F 对转轴的力矩M =r ×F刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为零 M = M ij =0由质点i 的切向运动方程F it +F it ′=Δm i ɑit 知F it r i +F it ′r i =Δm i r i 2α所以 F it r i + F it ′r i = (Δm i r i 2)α又 F it ′r i =0 所以 F it r i = (Δm i r i 2)α 转动惯量J= Δm i r i 2对于质量连续分布的物体J= r 2dm转动定律刚体绕定轴转动时,刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比. M =J α细棒(转动轴通过中心与棒垂直)J=ml 212圆柱体(转动轴沿几何轴)J=mR 22薄圆环(转动轴沿几何轴)J=mR 2圆筒(转动轴沿几何轴) J=m2(R 12−R 22)球体(转动轴沿几何轴) J=2m R 25细棒(转动轴通过棒的一端与棒垂直)J=m l 23平行轴定理J=J c +md 2 角动量L =r ×p =m r ×v 由F =d(m v )dt知r ×F =r ×ddt (m v )又ddt (r ×m v )=r ×ddt (m v )+d rdt ×m v d rdt ×v =v ×v =0 所以r ×F =ddt (r ×m v )作用于质点的合力对参考点O 的力矩,等于质点对该点O 的角动量随时间的变化率 M=d Ldt冲量矩M dt质点的角动量定理 对同一参考系O,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.M dt t2t 1=L 2-L 1 质点的角动量守恒定律当质点所受对参考系O 的合力矩为零时,质点对参考点O 的角动量为一常矢量. L= r ×m v 为常矢量(M =0)由d L=M dt= J αdt 知 d L = J αdt=J αdt 所以L =J ω角动量定理 当转轴给定时,作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量.M dt t2t 1=J 2ω2-J 1ω1角动量守恒定律如果物体所受的合外力矩等于零,或者不受外力矩的作用,物体的角动量保持不变. J ω为常矢量力矩做功 刚体在外力矩的作用下绕定轴转动而发生角位移. dW=Mdθ W= Md θ力矩的功率P=dW dt =M d θdt =Mω由12Δm i v i 2=12Δm i r i 2ω2知∑i12Δm i r i 2ω2=12(∑iΔm i r i 2)ω2转动动能E k =12J ω2由dW=Jαdθ=J d ωdtdθ= J d θdtdω=Jωdω知W= dW=J ωd ωω2ω1=12J ω22-12J ω12刚体绕定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所做的功等于刚体转动动能的增量.W=E k2-E k1刚体的平面平行运动动能等于质心的平动动能与刚体绕质心的转动动能之和.E k =12mv c 2+12J c ω2流体连续性方程ΔS 1v 1=ΔS 2v 2 伯努利方程ρv 122+ρg h 1+p 1=ρv 222+ρg h 2+p 2 洛伦兹速度变换式 u x =u x ′+v x1+u x ′′v ′c2高速运动时 质量m=m 0(1−v 2c2)12动量p=m 0v(1−v 2c2)12动能E k =m 0c 21(1−v 2c2)12−1质量与能量的关系E=mc 2。
高二物理竞赛进动课件
Z
由由•角角动 动质量量定定量理理：：：ddLL////质MM 点或刚体平动的惯性度量；
刚轴•体转对 动刚某惯轴性体的的转度对动量惯。某量：轴是刚的体绕转该 动惯量：是刚体绕该
*§3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程
重力(m轴g)对转O点的动力矩惯Mo性⊥L 的度量。
dL Mdt
Z dL
p
d dt
M
J sin
进动的角速度与外力矩成正比， 与陀螺自转的角动量成反比。
7
第二章 运动的守恒量和守恒定律
第*•§九3-6章惯理电想磁量流感体应矩模电型阵磁定场：常理流论刚动 伯体努利绕方程O点转动惯性的度量。
重力(mg)对O点的力矩M⊥ (L+mg平面)
§3-3 定轴转动中的功能关系
第二章 运动的守恒量和守恒定律
J 平动匀速圆周运动 vs 转动进动 x
进动 (precession)
第三章 刚体和流体的运动
重力(mg)对O点的力矩Mo⊥L 对于自身对称轴的角动量L //ω
§3-5
具有动量并在外力作用下
质量：质点或刚体平动的惯性度量；
对于自身对称轴的角动量L //ω
陀螺自转角速度远大于进动角速度。
第九章 电磁感应 电磁场理论
实质：三维刚体力学内容。
§3-1 刚体模型及其运动
§3-3 定轴转动中的功能关系
重力(mg)对O点的力矩Mo⊥L
J J o
yx
J xy Jy
J J
xz yz
M
Jzx Jzy Jz
3
进动
进动：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴转动的现象。
运动分解
Z
力学中的刚体的运动和流体力学
力学中的刚体的运动和流体力学在力学中，刚体是指其形状和大小保持不变的物体。
刚体运动和流体力学是力学领域中研究的两个重要方面。
本文将对刚体的运动和流体力学进行探讨。
一、刚体的运动刚体的运动可以分为平动和转动两种形式。
平动是指刚体的所有点同时以相同的速度和方向移动；转动是指刚体围绕固定轴线旋转。
1. 平动刚体的平动可以根据速度和加速度的方向分为直线运动和曲线运动。
直线运动是刚体沿着直线轨迹运动。
根据牛顿第一定律，刚体在没有受到外力的情况下会保持匀速直线运动，或者保持静止。
曲线运动是刚体沿着弯曲轨迹运动。
在曲线运动中，刚体的速度和加速度的方向都会发生改变。
曲线运动可以通过分析刚体所受的合力来进行研究。
2. 转动刚体的转动可以分为绕固定点的转动和绕固定轴线的转动。
绕固定点的转动是指刚体围绕某一点旋转。
刚体的转动可以通过研究转动惯量和力矩来进行分析。
绕固定轴线的转动是指刚体在围绕某一轴线旋转。
在绕轴线转动中，刚体的角速度和角加速度是相同的，且方向与转动方向一致。
二、流体力学流体力学是研究流体运动和流体力的学科。
流体可以分为液体和气体两种形式。
液体是一种不能保持形状的流体，而气体是一种可以自由流动的流体。
1. 流体运动流体运动可以分为定常流和非定常流。
定常流是指流体在一段时间内速度和流线分布不发生变化的流动；非定常流则是流体速度和流线分布随时间变化的流动。
在流体运动中，我们可以分析流体的速度场和压力场来研究流体的运动特性。
2. 流体力流体力是指流体对物体施加的力，它由压力力和剪切力组成。
压力力是流体压力差在物体表面上产生的力。
它是垂直于物体表面的力，大小与物体表面单位面积内的压力差成正比。
剪切力是流体剪切应力在物体表面上产生的力。
它是平行于物体表面的力，大小与流体的剪切应力成正比。
三、刚体运动和流体力学的联系刚体运动和流体力学在理论和实践中存在许多联系和应用。
在空气动力学中，研究了刚体在空气中的运动规律，包括飞机、导弹等物体的飞行稳定性与控制。
3-1 刚体及其运动规律
第三章 刚体的运动
转过的圈数 N 75 π 37.5 r
2π 2π
（2）t 6s时，飞轮的角速度
0
t
(5π
π 6
6)rad
s1
4π
rad
s1
（3）t 6s时，飞轮边缘上一点的线速度大小
v r 0.2 4π m s2 2.5 m s2
该点的切向加速度和法向加速度
at
r
0.2 (
π)m s2 6
0.105
m s2
an r 2 0.2 (4π)m s2 31.6 m s2
3 – 1 刚体及其运动规律
二 刚体的定轴转动定律
1）单个质点 m与转轴
刚性连接
Ft mat mr
M Z rF sin rFt mr 2
M Z mr 2
质量2元）受刚外体力Fi e
x，内力
Fi in
M
物体 B上。滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间 的摩擦力可略去不计。问：
A mA
C
mC
（1） 两物体的线加 速度为多少？水平和 竖直两段绳索的张力 各为多少？
mB B
（2） 物体 B 从静止
落下距离 y 时，其
速率是多少？
刚体平动 质点运动
3 – 1 刚体及其运动规律
第三章 刚体的运动
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
刚体的平面运动 .
3 – 1 刚体及其运动规律
第三章 刚体的运动
+ 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
3 – 1 刚体及其运动规律
第三章 刚体的运动
2 刚体定轴转动的描述——四个角量
第三章刚体和流体的运动(3)
M
o
m r u
解 分析可知,以棒和小球组成 的系统的角动量守恒。 由于碰撞前棒处于静止状态，所以 碰撞前系统的角动量就是小球的角 动 lmu ;
l
l
由于碰撞后小球以速度v 回跳，棒获得的角速度为 ，所以碰撞后系统的角 ω 动量为
1 2 lmv + Ml ω 3
由角动量守恒定律得
1 2 lmu = lmv + Ml ω 3
AG环 = 6mgR
Jω 2 AG = 2 AG杆 = 2mgR
mL2 4mR 2 转动惯量： 转动惯量： J 杆 = = 3 3 mR 2 19mR 2 2 平行轴定理： 平行轴定理： J 环 = + m ⋅ (3R) = 2 2
J = J杆 + J环
代入数据，可解得：
ω = 9.82rad / s
要保证小球回跳v
< 0，则必须保证 M > 3m。
北京师范大学珠海分校 工程技术学院
3 流体的运动
在公寓楼里养的猫常喜 欢在窗台上睡觉。 欢在窗台上睡觉。如果一只 猫不慎从七层或八层楼以上 掉到人行道上， 掉到人行道上，那它受伤的 程度是随着高度的增加而减 小的。（甚至有一只猫从32 。（甚至有一只猫从 小的。（甚至有一只猫从32 层高楼上落下只有胸部和一 颗牙受点轻伤的记录） 颗牙受点轻伤的记录） 危险是如何随着高度增 加而减小的呢？ 加而减小的呢？
一个高度为H的圆筒形烟囱由于基部损坏而倒下。烟囱可以当做细杆处理，令烟 囱与竖直方向成角度θ，重力加速度为g。求（1）烟囱的角速率，（2）烟囱顶 端的径向加速度和切向加速度。 定轴转动定律（ 解：定轴转动定律（转动中的牛顿第二定律） 定轴转动定律 转动中的牛顿第二定律）
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(1)水平位置
方向： 垂直于 转动面向里
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(2)垂直位置
A
C O
B
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§3-4 定轴转动刚体的角动量定理和 角动量守恒定律 一、刚体的角动量
mi 对O 点的角动量为 Li Ri mi vi 因 vi Ri ，所以 Li 的大小为
d
r dr R e
M r r dmg g r red dr
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M r rμdmg μg rρredθdr
2 3 μgρe dθ r dr μgρeπR 0 0 3 2 2 M r μmgR m=eR 3 2 1 2 d 由定轴转动定律： mgR J mR
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角量： 角位移
线量与角量的关系：
d 角速度 dt d 角加速度 dt
匀角加速转动： 匀加速直线运动：
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三、自由度
自由度就是决定系统在空间的位置所需要的独立坐 标的数目。 质点： (x, y, z) i=3 C(x,y,z)
做直线运动的质点： 1个自由度 做平面运动的质点： 2个自由度
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四、刚体的重力势能
以地面为势能零点，对于不太大的质量为m的刚体， 刚体和地球组成的系统的重力势能是组成刚体的各 个质点的重力势能之和：
z
刚体质心的高度：
O
i
刚体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有 的势能一样。
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例题3-5 一质量为m ，长为 l 的均质细杆，转轴在O 点，距A端 l/3 。今使棒从静止开始由水平位置绕O 点转动，求：(1)水平位置的角速度和角加速度；(2) 垂直位置时的角速度和角加速度。
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ml mh 2 12
dx
例题3-2 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质 圆盘对通过直径的转轴的转动惯量。
解：(1) 圆环： r dm
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(2) 圆盘：
O r dr dm
可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。
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例题3-3 物体：m1、m2(>m1)， 定滑轮：m、r，受摩 擦阻力矩为Mr。轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体 的加速度和绳的张力。 解：由于考虑滑轮的质量和所受 的摩擦阻力矩，
2
刚体绕定轴的角动量：
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二、定轴转动刚体的角动量定理
由定轴转动定律，若J 不变，
称为角动量定理的微分形式。
t t0
t
t0
M z d t Jω ( Jω) 0
称为角动量定理的积分形式。
M z d t为t t t0时间内对给定轴的力矩的冲量和或
冲量矩之和。
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角动量定理比转动定律的适用范围更广，适用于 刚体、非刚体和物体系。 对几个物体组成的系统，如果它们对同一给 定轴的角动量分别为 J ， J ，
采用自然坐标系，上式法向和切向分量式分别为
cos i mi ain mi ri 2 Fi cos i Fi Fi sin i Fisin i mi ait mi ri 2 Fri sin i Fri sin i mi ri i i
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对刚体内各个质点的相应式子，相加得
ri sin i ( mi ri 2 ) Fi ri sin i Fi
i i i
对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则
Fi ri sin i 0
i
Fi ri sin i (mi ri 2 )
i i
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1. 刚体( J 不变)的角动量守恒 若 M=0，则 J =常量，而刚体的 J 不变，故 的大小，方向保持不变。 如：直立旋转陀螺不倒。
o
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2. 非刚体( J 可变)的角动量守恒
当 J 增大， 就减小，当 J 减小， 就增大。 如：芭蕾舞、花样滑冰、跳水中的转动等。
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说明 1、只有垂直转轴的外力分量才产生沿转轴方向的力 矩Mz ，而平行于转轴的外力分量产生的力矩 Mxy 则 被轴承上支承力的力矩所抵消。
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2、 M z
rF2 sin F2 d
d r sin 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂。 3、力对转轴的力矩方向可用正负号 表示：力矩方向与刚体转动右手螺旋 方向一致时为正，相反时为负。 刚体所受的关于定轴的合力矩：
1 1
2 2
系统对该轴的角动量为
Lz J ii
i
且系统满足角动量定理: M dLz d z
dt
J ii dt i
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三、定轴转动刚体的角动量守恒定律
定轴转动角动量定理：
当 即
时， 有 (常量)
定轴转动角动量守恒定律：物体在定轴转动中，当 对转轴的合外力矩为零时，物体对转轴的角动量保 持不变。 适用于刚体、非刚体和物体系。
总外力矩Mz 称为刚体对转轴的转动惯量。
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d M z J J dt
刚体定轴转动定律：刚体在做定轴转动时，刚体的角 加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动 惯量成反比。
比较
平动： 线动量 转动：
mv
角动量
dv 平动定律 F ma m 转动定律 M z J J d dt dt 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。
R
对物体m用牛顿第二运动定律得
M
mg T ma
对匀质圆盘形滑轮用转动定律有
TR J
r
问题中包括平动和转动。
FT1 m1 g m1a m2 g FT2 m2 a FT2 r FT1r M r J
轮不打滑： 联立方程，可解得 FT1 ，FT2，a， 。 此装置称阿特伍德机——可用于测量重力加速度 g
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例题3-4 一半径为R，质量为m均质圆盘，平放在粗糙 的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦因数为 ，令圆盘 最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问 它经过多少时间才停止转动？ 解： 把圆盘分成许多环形 质元，每个质元的质量 dm=reddr ， e 是 盘 的 厚 度，质元所受到的阻力矩 为 rdmg 。 圆盘所受阻力矩为
第三章 刚体和流体的运动
本章教学目的及要求
1、了解刚体模型。 2、了解刚体的转动惯量。 3、掌握刚体定轴转动定律及其应用。 4、了解刚体定轴转动的功能关系、角动量定理 及角动量守恒定律。
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§3-1 刚体模型及其运动 一、刚体
刚体：既考虑物体的质量， 又考虑形状和大小，但 忽略其形变的物体模型。 刚体是一个特殊的质点系，在外力作用下，系统内任 意两点间的距离始终保持不变。
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三、定轴转动的动能定理
由定轴转动定律，
则物体在 dt 时间内转过角位移 d 时，外力矩所做 元功为 ：
d M J J dt
d dA Md J dt Jd dt
则总外力矩对刚体所做功为
刚体定轴转动的动能定理 ： 总外力矩对刚体所做的功 等于刚体转动动能的增量。
2π R 2
3 2 t 0 2 1 μg dt R dω 0 3 2 ω0
dt
3 R t 0 4 g
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§3-3 定轴转动中的功能关系 一、力矩的功
说明 1. 平行于定轴的外力对质元不做功。 2. 由于刚体内两质元的相对距离不变，内力做 功之和为零。
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设作用在质元mi上的外力
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二、平动和转动
1 、平动 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线， 在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动。 平动时，刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度 和加速度。 刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运 动，如质心。 可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。
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做空间运动的质点： 3个自由度
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自由运动刚体： 随质心的平动 + 绕过质心轴的转动 自由刚体有 6个自由度： 确定质心位置 3个平动自由度 (x, y, z) 确定过质心轴位置 2个转动自由度 (， ) 确定定轴转动角位置 1个转动自由度 ( ) 平动刚体： 3个平动自由度 定轴转动刚体：1个转动自由度
2 、转动 如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运 动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。 如果转轴是固定不动的，就叫做定轴转动。 如：门、 窗的转动等。 可以证明，刚体的一般运动可看作是平动和转动的 叠加 。 如：车轮的滚动。
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定轴转动时，刚体上各点都绕同一固定转轴做 不同半径的圆周运动。 在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但 在相同时间内转过的角度相同，称为角位移，它可 以用来描述整个刚体的转动。 做定轴转动时，刚体内各点具 有相同的角量，包括角位移、角速 度和角加速度。但不同位置的质点 具有不同的线量，包括位移、速度 和加速度。
质元
Li mi Ri vi
刚体关于O 的角动量为
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对于定轴转动， L 对沿定轴的分量 Lz 为
Lz Li cos mi Ri vi cos
mi rvi i
mi ri 2
称刚体绕定轴转动的角动量。 刚体转动惯量：
J mi ri
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二、角速度矢量
角速度的方向：与刚体转动 方向呈右手螺旋关系。 在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向。因此， 计算中可用正负表示角速度的方向。