材料力学卡式定理
材料力学能量法第3节 卡式定理
q 2 M ( x) (l x) M e 2
M 1 M e
（2）计算 B 截面转角 B
M q 2 1 M ( x) (l x) M e M e 2 M ( x) M ( x) Bq M e dx EI M e 1 l q 2 [ ( l x ) M ] ( 1 ) d x e EI 0 2 3 l ql 顺时针转向 Me EI 6 ql 3 顺时针转向 B 令 Me 0 6 EI
2
1 dFi dyi U dFi yi 2
(3)
比较(2)(3)式
1 dFi dyi U dFi yi (3) 2 U ( F1 , F2 , Fn ) yi i 1,2,3,... Fi
U U dFi Fi
(Hale Waihona Puke 2)梁的变形能对某一载荷 Fi 的偏导数，等于 在该载荷处沿载荷方向的位移，这就是卡氏定理， 也称卡氏第二定理。由意大利工程师 A 卡斯蒂利亚 诺（1847-1884）于1873年提出的。卡氏定理对其他 线弹性结构也是适用的。
广义力的函数：设在如图所示梁上，作用有 n 个力 y2 ， ， yn 。 F1， F2 ， ， Fn ，其相应位移分别为 y1， 在载荷施加过程中，外力所做的功转变成梁的变形 能。这样，变形能应为广义力 Fi 的函数
U f ( F1, F2 ,, Fn )
若 Fi
(1) ( 2)
Fi dFi ， 则 U
U U dFi Fi
卡式定理的推导 —— 改变加力的次序 (1)先施加 dFi ：在施加 dFi 时，其作用点沿 dFi 方向的 1 dF dy 位移为 dyi ，梁的变形能为 i i；
材料力学第三章 能量法
三、卡氏第二定理（线弹性体）
Di
Vc Fi
在线弹性范围内
余能定理 Vc V
Di
V Fi
卡氏第二定理： 线弹性杆件或杆系的应变能对于 作用在该杆件或杆系上的某一荷 载的变化率，就等于与该荷载相 应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体。
卡氏第二定理公式D及i 含义VF：i
若结构的应变能 V 表示为F1、F2 …Fi …的函数，则应变 能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
C
与需求位移相应的虚设外力
F。求偏导后令其为零。
（2）列弯矩方程
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
（3）求梁的应变能
M 2 l/2
x
1
V 2 0
dx
2EI
EI
l/2
0
F 2
ql 2
x
qx 2 2
2 dx
1 EI 1 EI
V W
一、杆件基本变形的应变能
(一)轴向拉伸(压缩)
1、杆的应变能
轴力沿轴线不变的情况:
dW Fd(Dl) W Dl1 Fd(Dl) 0
线弹性范围内 W 1 FDl
1
2
V
F
W
FN
2
F Dl Dl
FNl EA
应变能
V
FN2l 2EA
F
l
Dl
F
Dl d (Dl)
Dl1
Dl
(一)轴向拉伸(压缩)
第九讲-卡氏定理
基本公式
一般物体 载荷 f : 0 → F 相应位移 δ : 0 → ∆ 线性弹性体
dW= fdδ =
W = ∫ fdδ
0
∆
f ∝δ f =kδ
k － 线弹体在载荷作
用点、 用点、沿其作用方向 产生单位位移所需之 力，称为刚度系数 称为刚度系数
W = ∫ kδdδ
0
∆
k∆2 = 2
F∆ W= = 2
施加矩为 Me的力偶 －附加力偶
θB(q) = [θB(q, Me )]M =0
e
θB (q) =
∫
e
2. 位移计算
ql Me FAy = − 2 l x ∂M qlx Me x qx2 =− M( x) = − − l ∂Me 2 l 2 M( x) ∂M( x) θB (q) = dx l EI ∂Me M =0
∆A
A1 A′
B
B
合力的相应位移
∆A =
2 ∆A = (∆A + fA ) 2
2 ∂U 2 ∂U ∂U = = = (∆A + fA ) 2 ∂F 2 ∂F ∂ 2 F
(
)
FN2 = −F
2F ⋅ 2l (-F)l ⋅ 2+ ⋅ (-1) EA EA (2 2 + 1)Fl EA
∆By =
∆By =
（↓ ）
例 3-2 利用卡氏定理计算θB
EI EI
－附加力法
解：1. 分析方法
转角θ 所对应的载荷？ 转角θB所对应的载荷？
M( x) ∂M( x) dx l EI ∂Me M =0
∂Vc ∵ ∆k = ∂Fk
My ( x) ∂My Mz ( x) ∂Mz FN ( x) ∂FN ( x) T( x) ∂T( x) ∆k = ∫ dx+∫ dx+∫ dx+∫ dx l EA l GI l EI l EI ∂Fk ∂Fk t y ∂F k z ∂F k
卡氏定理材料力学
2Ma 3EI
（
）
DF FD
CD段:
M (x)
Mx , 2a
M (x) F
x,
MC
CB段: M (x) M ,
M (x) 2a x, a F
2a
C
M
AB段: M (x) 0,
M (x) x, F
a
B
A FAx
（4）带入卡氏定理求解。
Dx
l
M (x) M (x) d x EI F
FAy
2a
MC, 在D截面虚设一水平力F 。 MC
DF
C
（2）取刚架为研究对象， a
受力图如图所示。
M
FD
FAx F
B
a
A FAx
FAy
FD
F
1 2a
(M
MC)
FAy
（3）分段列出弯矩方程及偏导方程。
2a
CD段:
MC
M
( x1 )
[F
1 2a
(M
MC
)]x1
Cx aM 2
x
1
DF FD
M (x1) F
新位移 i 上也做功，系统的总的应变能为
V
Fi
i
1 2
Fi
i
（2）
由（1）＝（2），并忽略二阶小量，得
V Fi
i
V Fi
i
若将结构的应变能表示为载荷F1，F2， ，Fn 的 函数，则应变能对任一载荷Fi的偏导数，等于Fi作用
点沿Fi作用方向的位移 i ,称为卡氏第二定理。
说明 （1）卡氏定理只适用线弹性结构。
i
V Fi
FN (x) FN (x) d x L EA Fi
材料力学卡式定理
AB
(x)
P
11 x 3 L 16
M
BC
(x)
P
5( L x ) 16
③ 变形
wB U P
0
M ( x ) M ( x ) EI P
2
dx
L
L
1 EI
0 .5 L
P(
11 x 3 L 16
) dx
0 .5 L
P( ) ( L x ) dx 16 5
荷载之变化率，就等于与该荷载相应的位移。
适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中， Pi ——作用在杆件上的广义力；
i ——与 Pi 相应的广义位移。
用卡氏定理的注意事项
①U——整体结构在外载作用下的线
P1 P2
弹性变形能 ② Pi 视为变量，结构反力和变形能
等都必须表示为 Pi的函数 ③ i为 Pi 作用点的沿 Pi 方向的变形。
dx M ( x ) M ( x ) EI Pn
L
M n ( x ) M n ( x ) GI
P
L
Pn
dx
L
例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 P A 解：求挠度，建坐标系 ①求内力 M ( x ) xP A xP
EI
L
x
O
②将内力对PA求偏导
M ( x ) PA x
(
1 E 2 l
2
2
0
y dA ) dx
2 A
1 EI 2 l
2
(5)
由卡氏第一定理
m U 1 EI 2 l ( 2 ) EI θ l
材料力学第8章-能量法3-1
d
FN dx d(l) = EA
0 N
Mdx d EI
0
Tdx d GI p
0 S 0
1 F d l M d F d T d
F FN T T M M dx dx dx EA EI GI p
0 N 0 0
2.力和位移应理解为广义力和广义位移。
能量法/虚功原理 单位力法 图乘法
上节回顾
1、可能内力,可能位移,虚位移 2、虚功原理
在外力作用下处于平衡的结构，任意给它一个虚位移， 则外力在虚位移上所做的虚功，等于结构内力在虚变形上所 作的功。
W Wi
* e
e
*
外力虚功
内力虚功
l
W
Fi
5 M a 3
0 1c
2 Fa a
M
0 2c
3 a 2
Fa a 3 2 2 0 M 3c a 3
能量法/虚功原理 单位力法 图乘法
A
EI1
a
C
EI 2
a
F B
1
2Fa Fa
1
2a 5a/3
2
3a/2
-
2a/3
3
根据图乘法，自由端的挠度为：
1 1 0 0 yB 1M1c 2 M 2c EI 3M 30c EI1 2 1 Fa a 5 3 1 Fa a 2a a Fa a a EI1 2 3 2 EI 2 2 3
能量法/超静定问题 力法 例 如图超静定梁, EI为常数,试求B点的约束反力。
第八章
一、杆件的应变能
卡氏定理求解力
卡氏定理求解力卡氏定理是力学中的一项重要定理，用于计算物体所受合力的大小。
它是根据牛顿第二定律推导出来的，能够帮助我们更好地理解和解决力学问题。
卡氏定理的表述是：“当一个物体受到多个力的作用时，这些力的矢量和等于物体的质量乘以加速度的矢量。
”简单来说，就是物体所受合力等于物体质量乘以加速度。
为了更好地理解卡氏定理，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个质量为2千克的物体，在水平方向上受到两个力的作用：一个是10牛的向右的力，另一个是5牛的向左的力。
我们需要求解物体的加速度。
根据卡氏定理，我们可以将这个问题转化为一个简单的数学方程。
首先，我们需要计算合力。
由于两个力的方向相反，所以合力的大小等于10牛减去5牛，即5牛。
然后，我们需要计算物体的加速度。
根据卡氏定理，合力等于物体质量乘以加速度，所以加速度等于合力除以物体质量，即5牛除以2千克，得到2.5米每平方秒。
通过这个例子，我们可以看出卡氏定理的应用和价值。
它可以帮助我们计算物体所受合力的大小，并进一步求解物体的加速度。
在力学问题中，卡氏定理是一个非常重要的工具，可以帮助我们分析和解决各种力学问题。
除了上述例子中的计算方法，我们还可以通过向量的方法来应用卡氏定理。
在向量法中，我们可以将力和加速度用向量表示，然后利用向量的运算规则来求解问题。
这种方法在处理复杂的力学问题时更加方便和直观。
卡氏定理还可以用于解决一些实际问题。
例如，在工程中，我们经常需要计算物体所受的合力和加速度，以确定结构的强度和稳定性。
在运动学和动力学的研究中，卡氏定理也是一个重要的工具，可以帮助我们理解和描述物体的运动规律。
卡氏定理是力学中一项重要的定理，可以帮助我们计算物体所受的合力和加速度。
它是根据牛顿第二定律推导出来的，具有广泛的应用价值。
通过应用卡氏定理，我们可以更好地理解和解决力学问题，在工程和科学研究中发挥重要作用。
希望通过本文的介绍，读者能够对卡氏定理有一个更清晰的认识，并能够灵活运用它解决实际问题。
44卡氏第二定理
Mechanics of Materials卡氏第二定理d d E A I N Δl l ii x xF GI F E F M ++∂∂⎰⎰T T P N ()()()()d ()()i l i x F x x EA M x M x x M x F ∂=∂∂∂⎰22F M EIEI 2NTεP ()()()d d d 222x M x x V x x x EA GI =++⎰⎰⎰F xk N 1Δnj j Nj i j j j iF l F E A F =∂=∂∑桁架结构N ()F x T ()M x ()M x N ()F x T ()M x ()M x S S ()()d 2ix F x GA F ∂+∂⎰组合变形构件图示外伸梁抗弯刚度为EI，只考虑弯曲变形，试求外伸端C的挠度wC 和截面B 的转角θB 。
解：⑴求支座约束力解得：-=AyFa F l=AyFaFl⑵求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数【例题】AB段BC段(0)x l≤≤()==AyFaM x F x xl()∂=∂M x axF l()l x l a≤≤+()()=+-M x F l a x()∂=+-∂M xl a xF⑶ 求载荷作用点相应的位移0()()()()d d +∂∂=+∂∂⎰⎰ll a C l M x M x M x M x w x xEI F EI F 231()33=+Fa l Fa EI 011d ()()d +=⋅++-⋅+-⎰⎰l l a lFa a x x x F l a x l a x x EI l l EI AB 段BC 段(0)x l ≤≤()==Ay Fa M x F x xl ()∂=∂M x ax F l()l x l a ≤≤+()()=+-M x F l a x ()∂=+-∂M x l aF⑶ 求载荷作用点相应的位移11221200()()()()d d ∂∂=+∂∂⎰⎰la C M x M x M x M x w x x EI F EI F 231()33=+Fa l Fa EI 1112220011d d =⋅+⋅⎰⎰l a Fa a x x x Fx x x EI l l EI AB 段BC 段1(0)≤≤x l 111()==Ay FaM x F x x l11()∂=∂M x a x F l 2(0)≤≤x a 22()=M x Fx 22()∂=∂M x xFlM x F x x Fa M Ay a ==-()111M lM x x a ∂=-∂()11M x Fx =()22M M x a∂=∂0()2⑵ 求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数AB 段BC 段≤≤x l (0)1x a ≤≤(0)2⑴ 求支座约束力 解得：∑=MB0:Fa F l M Ay a --=0lF Fa M Aya =-↑()有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）1122120()()()()d d θ∂∂=+∂∂⎰⎰la B a a M x M x M x M x x x EI M EIM 11122011()d 0d a a laa M M Fa M x x x Fx x EIl lEI ==-=⋅-+⋅⎰⎰-Fal11()-=aFa M M x x l⑵ 求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数 AB 段BC 段⑶ 求载荷作用点相应的位移结果负值说明位移方向与对应载荷方向相反3EI =【讨论】图示情况 含义FV ∂∂εFV B D ∂∂ε求 B 处 F 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）1. 建立内力方程【总结】卡氏第二定理求位移的解题步骤()()d ∂∂⎰l i M x M x x EI F ()[()]d -∂-∂⎰l iM x M x x EI F 2. 内力方程对 F i 求偏导3. 将内力方程及偏导代入积分表达式求位移各段内力方程坐标原点可以不一样 若所求位移处无对应载荷，可虚设对应载荷，偏导后才能令该虚载荷等于 0若所求位移为正，说明实际位移方向与对应载荷方向一致，否则与对应载荷方向相反内力正负规定不会影响计算结果 内力方程不要用约束力表示。
材料力学卡氏第二定理
卡氏第二定理的重要性
总结词
卡氏第二定理在材料力学中具有重要意义，它为分析和预测材料的应力分布提供了理论基础。
详细描述
卡氏第二定理是材料力学中一个重要的基本定理，它为解决复杂弹性体的应力分析问题提供了重要的理论依据。 通过卡氏第二定理，可以推导出许多其他的弹性力学公式和定理，从而更好地理解和预测材料的力学行为。
多学科交叉
加强与其他学科的交叉融合， 如物理学、化学、生物学等， 拓展卡氏第二定理在跨学科 领域的应用价值。
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04 卡氏第二定理的扩展与应 用
卡氏第二定理在弹性力学中的应用
总结词
卡氏第二定理在弹性力学中具有广泛的应用，它为解决复杂的弹性问题提供了重要的理 论支持。
详细描述
卡氏第二定理在弹性力学中主要用于求解弹性体的位移、应力和应变分布。通过应用卡 氏第二定理，可以建立各种弹性问题的基本方程，如弹性力学中的平衡方程、应变-位
02 卡氏第二定理的公式与推 导
公式展示
公式
(W = DeltaOmega + Delta K)
描述
该公式表示外力功（(W)）等于变形能（(DeltaOmega)）和动能（(Delta K)）之和。
公式推导过程
第一步
根据牛顿第二定律，外力对物体所做的功等 于物体动能的增量，即 (W = Delta K)。
弯曲梁的实例
总结词
卡氏第二定理在弯曲梁分析中起到关 键作用。
详细描述
弯曲梁在受到外力作用时会产生弯曲 变形，卡氏第二定理可以用来计算梁 内部的应力分布，确保梁的稳定性与 安全性。
扭转轴的实例
总结词
卡氏第二定理在分析扭转轴时具有重 要应用。
材料力学第27讲 Chapter3-2第三章 能量法(卡氏定理)
1
Ax
450
2
l2
l1 Ay
变形协调关系
Ax l1; A ysin4 5 0 A xco s4 5 0 l2
450
V
FN21l1 FN22l2 2EA 2EA
E2lA1 l12 E2lA2 l22
l FNl EA
E 2 lA 1 A x2 E 2 lA 2 A ysin 4 5 0 A xc o s4 5 02
变能V数值上等于余能Vc，则余能定理此时可改写为： Nhomakorabeai
V
(F1,F2 Fi
Fn)
卡氏第二定理
卡氏第二定理只适用于线性弹性情况。
19
例2 求简支梁中点作用集中力F作用时中点处的挠度。
（梁的弯曲刚度为EI，长为l）。
EI
F
A
C
l
2
l
解: 先求应变能
B
V
l M 2(x) d x 2
l 2
(
F 2
x)2 dx
Fn
1 2 i
n
图示梁（材料为线性，也可为非线性）
作用n个集中载荷Fi (i=1,2…n)，
相应位移为i (i=1, 2…n)
5
F1 F2 Fi
Fn
1 2 i
n
梁内的应变能： V W
n
i 0
fid i
i 1
可见，最终梁内的应变能应是关于i (i=1,2…n)的函数，即
V V (1,2 n)
15
F1 F2 Fi
Fn
1 2 i 梁内的余能：Vc Wc
n
n
F i
0
id
fi
i 1
可见，最终梁内的余能应是关于Fi (i=1,2…n)的函数，即
材料力学2.3卡氏第2定理
例2.8
EI=常量,求B点水平和 垂直位移
先求垂直位移y
B
M=PRcosf
P
—M—=Rcosf P
Afy=S—MI— —PMds=
—PR—3p—
4EI
再在B点施加水平力Pa
M=PrcosfPaR(1-sinf)
— M—=R(1- sinf) Pa
Af
B P Pa
[ ] x=
S
—M— —M EI Pa
2
F2
F3
3 1
F1Δδ1 F2 Δδ2 Fi Δδi
结构应变能的增量为
ΔVε
1 2 ΔFi Δδi
F1Δδ1 F2 Δδ2
Fi Δδi
略去高阶微量
1 2 ΔFi Δδi
ΔVε F1Δδ1 F2 Δδ2 Fi Δδi
如果把原来的力看作第一组力,而把 Fi 看作第二组力.
ds
= —PR—3— Pa=0 2EI
例 求A点位移A和B点位移B
解
• 先求A点位移
由卡氏定理
因为 所以
求B点位移
加入虚载荷P’ AB段
BC段
所以
事实上并无P’,因此令P’=0有 其实可在进行以下积分前令P’=0
（4） 平面桁架 (Plane truss)
δi
Vε Fi
n FNjl j FNj j1 EA Fi
（5） 组合变形(Combined deformation)
δi
Vε Fi
[ FN2( x)dx
T 2( x)dx
M 2( x)dx ]
Fi l 2EA
l 2GIp
l 2EI
FN( x) FN( x)dx T ( x) T ( x)dx M ( x) M ( x)dx
§11-4卡氏定理
M (x) 1 qlx 1 qx 2 M f x
22
l
M(x) x
Mf l
M(x) M(x)
b
l
Pn
dx EI
q
Mf
A
B
x
l
M(x) M(x) M f
1 qx 2 2
1 2l
qx 3
b
l 0
M (x) EI
M (x) Mf
dx
1 l (1 qx2 1 qx3)dx ql3
Pl 4EI
2
(
0
l 2
x2
)dx2
Pl 3 Pl 3 (1 1) 48EI 4EI 4 8
5Pl 3 () 96 EI
U dU Pn dPn
(1)dPn
1
2 dPn (dn )
U
(2)P1, P2 ,...,Pn ,...,Pm
U dU U Pn dPn
U( P1, P2 ,..., Pn ,..., Pm ) dPnn
1
U ( P1 , P2 ,..., Pn ,..., Pm ) dPnn 2 dPn (dn )
M 2 (x2 )
P
1 2
(
l 2
x2
)
M 2 (x2 )
M 2 (x2 )
P
Pl 4
(l 2
x2 )
l
l
fc
1 EI
2
M 1 ( x1 )
0
M 1 ( x1 )
材料力学第二章4
7
2-11 温度应力和装配应力
1.温度应力 （Thermal Stress）
T 0
静定结构：
T 0
静不定结构：
Fx Fx
温度应力——由于温度的变化所产生的应力
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2．计算方法
按静不定问题求解 考虑温度对变形的影响，即
lT T l
式中 ——材料的线膨胀系数 T=T2-T1——温度的改变量 l ——杆的长度
此结构为1度静不定。 A点变形后的位置如何确定？ 2）变形协调条件（变形相容性条件）：
l1 l3 cos
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（2）
3）将虎克定律（物理条件）代入，得补充方程：
l1 l3 cos
FN1L1 FN 3 L3 cos E1 A1 E3 A3
E A
（3）
4)（1）式和（3）式联解，并令 E3 A3 n 即可求出各杆 1 1 轴力的表达式为: nP P cos 2 FN 1 FN 2 FN 3 n 2 cos 3 n 2 cos 3 总结静不定问题的解法：
X 0 FN1 cos 45 X 0 Y 0 Y FN1 sin 45 FN 2 P 0 M A 0 LFN1 cos 45 2LFN 2 2LP 0
判断此结构为几度静不定？
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6
2) 变形相容性条件
L2 2 2L1
R a l AC A EA EA FN CB b RB b lCB EA EA
FN AC a
RAa RBb 0 （3）
4)联解（1）（3），得
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方法二：利用卡氏定理求解： 1.静力分析：
材料力学2.3卡氏第2定理
ds
= —PR—3— Pa=0 2EI
例 求A点位移A和B点位移B
解
• 先求A点位移
由卡氏定理
因为 所以
求B点位移
加入虚载荷P’ AB段
BC段
所以
事实上并无P’,因此令P’=0有 其实可在进行以下积分前令P’=0
（4） 平面桁架 (Plane truss)
δi
Vε Fi
n FNjl j FNj j1 EA Fi
（5） 组合变形(Combined deformation)
δi
Vε Fi
[ FN2( x)dx
T 2( x)dx
M 2( x)dx ]
Fi l 2EA
l 2GIp
l 2EI
FN( x) FN( x)dx T ( x) T ( x)dx M ( x) M ( x)dx
卡氏定理
卡氏定理(Castigliano's Theorem),是意大利工 程师卡斯蒂利亚诺(A.Castigliano )于1873年提出 的,故得其名.
卡氏第二定理
卡氏第一定理
卡氏定理的证明
设弹性结构在支座的约束下无 任何刚性位移.
作用有外力:
F1 ,F2 , ,Fi ,
相应的位移为：
2
F2
RAy=
—m—+m—2 2a
RD=
—m—+m—2 2a
aa
2a
C
m2
B
m
A
RAy
D
RD
RAy=
—m—+m—2 2a
RD=
—m—+m—2 2a
求AB,BC,CD各段的弯 矩方程,并对m2求偏导, 最后由卡氏定理求得C 截面的转角qC。
材料力学公式大全
材料力学公式大全材料力学是研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度和稳定性的学科。
在工程设计和分析中，材料力学公式起着至关重要的作用。
下面为大家详细介绍一些常见的材料力学公式。
一、应力与应变1、正应力公式：轴向拉伸与压缩时，正应力＄＼sigma ＝＼frac{F}｛A}＄，其中＄F$ 是轴力，＄A$ 是横截面面积。
圆轴扭转时，横截面上的切应力＄＼tau ＝＼frac{T}｛Ip}＄，＄T$ 是扭矩，＄Ip$ 是极惯性矩。
2、线应变公式：轴向拉伸与压缩时，线应变＄＼epsilon ＝＼frac{＼Delta L}｛L}＄，＄＼Delta L$ 是长度的改变量，＄L$ 是原长。
3、切应变公式：圆轴扭转时，切应变＄＼gamma ＝＼frac{r\theta}｛L}＄，＄r$ 是半径，＄＼theta$ 是扭转角，＄L$ 是轴的长度。
二、胡克定律1、轴向拉伸与压缩时：＄＼sigma ＝ E\epsilon$ ，其中＄E$ 是弹性模量。
2、剪切胡克定律：＄＼tau ＝ G\gamma$ ，＄G$ 是剪切模量。
三、杆件的内力1、轴力＄F_N$ ：通过截面法求解，沿杆件轴线方向的内力。
2、扭矩＄T$ ：外力偶矩对杆件产生的内力。
3、剪力＄F_Q$ 和弯矩＄M$ ：在梁的弯曲分析中，通过截面法求解。
四、梁的弯曲应力1、纯弯曲时的正应力：＄＼sigma ＝＼frac{M y}｛I_z}＄，＄y$ 是所求应力点到中性轴的距离，＄I_z$ 是横截面对于中性轴的惯性矩。
2、横力弯曲时的正应力：需要考虑切应力的影响，进行修正。
五、梁的弯曲变形1、挠度＄y$ 和转角＄＼theta$ 的计算公式：通过积分法或叠加法求解。
2、挠曲线近似微分方程：＄EIz'＇＝ M(x)＄。
六、组合变形1、拉（压）弯组合：分别计算拉伸（压缩）应力和弯曲应力，然后叠加。
2、弯扭组合：先计算弯曲应力和扭转切应力，然后根据强度理论进行强度校核。
第九讲-卡氏定理
位移互等定理 位移互等定理
F1D12 F2D21
当F1= F2时
D12 D21
当F1与F2的数值相等时， F2在点1沿F1方位引起 的位移D12，等于F1在点2沿F2方位引起的位移D21
§3 余能与卡氏第二定理
余能概念
克罗第－恩格塞定理 卡氏定理 例题
余能概念 余功与余能
第 11 章 能量法（一）
讲授内容
§1 §2 §3 §4 §5
外力功与应变能 互等定理 余能与卡氏第二定理 变形体虚功原理 单位载荷法
上讲回顾
上讲回顾
相应位移 载荷 F 作用点处 沿载荷作用方向的位移 D. 由所有载荷共同引起 外力功 载荷 F 在其相应 位移 D 上所作之功 应变能 构件因变形而储 存的能量（变形能） 广义载荷 力，力偶，一对大小相等、方向相反 的力或力偶等 广义位移 线位移，角位移，相对线位移，相 对角位移等
克罗第－恩格塞定理
dWc D k dFk
dVc Vc dFk Fk
d Wc d Vc
Vc Dk Fk
弹性体的余能对载荷 Fk 的偏导数，等于该载 荷的相应位移 Dk－ 克罗第－恩格塞定理 Crotti-Engesser’s theorem
卡氏定理
对于线性弹性体：
施加矩为 Me的力偶 －附加力偶
B ( q) B ( q , M e )M 0
e
B (q)
e
2. 位移计算
ql M e 2 l M x qlx M e x qx 2 M ( x) M e l 2 l 2 M ( x ) M ( x ) B (q) dx l EI M e M 0 FAy
材料力学卡式定理
材料力学卡式定理力学卡式定理是朗格朗日动力学的核心定理之一，它建立了广义坐标和广义速度与系统的拉格朗日函数之间的关系。
力学卡式定理提供了一种便捷的方法来描述物体在运动中所受到的力和受力对象之间的相互关系。
力学卡式定理最初是由拉格朗日(lagrange)在18世纪中叶提出的。
他认为，任何一个力学系统都可以通过选取适当的广义坐标来描述。
广义坐标是描述物体位置和状态的参数，例如物体的位置、速度、角度等。
拉格朗日将系统的动能和势能表示为广义速度和广义坐标的函数，他提出了一个形式简洁的拉格朗日方程：d/dt (∂L/∂q') - ∂L/∂q = Q其中，L是系统的拉格朗日函数，q和q'分别是广义坐标和广义速度，Q表示外力，d/dt表示对时间的导数。
这个方程就是力学卡式定理的数学表达形式。
根据这个方程，可以得到系统的运动方程。
力学卡式定理的重要性在于，它从整体的角度描述了物体的运动，将动能和势能作为系统的性质进行分析，并通过广义坐标和广义速度的选择，实现了对系统的普遍描述。
拉格朗日函数能够统一描述刚体、弹性体和流体等多种物体的力学行为，从而使得力学分析变得更加简洁和系统化。
以一个简单的弹簧振子为例，来说明力学卡式定理的应用。
假设一个弹簧振子由一个质量为m的物体和一个劲度系数为k的弹簧组成。
我们可以选择物体的位置和速度作为广义坐标和广义速度，那么系统的拉格朗日函数可以表示为：L = T - V = (1/2)m(q')^2 - (1/2)kq^2其中，T表示动能，V表示势能。
根据力学卡式定理，我们可以得到运动方程：d/dt (∂L/∂q') - ∂L/∂q = 0化简后可以得到：m(q'') + kq = 0这个方程就是弹簧振子的运动方程。
从这个简单的例子中可以看出，力学卡式定理提供了一种简洁的描述物体运动的方法，并能够方便地得到系统的运动方程。
力学卡式定理在物理学中的应用非常广泛。
卡式定理求挠度
卡式定理求挠度
其实我们一般不直接使用互等定理求解位移，我们推导互等定理主要是为了证明后面的卡氏定理和单位载荷法，如果求解结构在外力作用下的变形问题，无论是求你说的梁的挠度，还是求结构某点的位移或者某截面的转角，我们都是用“卡氏定理”或者“单位载荷法”来求解，重点推荐使用“单位载荷法”，直接使用互等定理做题是不提倡的，特别是初学者，所以我希望你继续学习互等定理后面的章节，其实当你完整学习了能量法这章的内容，特别是学习完“单位载荷法”以后，再回过头来看互等定理，你会对互等定理理解得更清楚。
当然，因为互等定理是后面的卡氏定理和单位载荷法的基础和来源，所以直接用互等定理也可以求解变形问题，但那需要对互等定理和能量法这章有个透彻的了解，不适合初学者。
简单回答一下你的问题，第二组力是假设的，理论上可以任意假设，但做题肯定不是任意假设，因为我们要求解问题，越简单越好，所以我们都是假设的那组力一般都是一个大小为1的力（这显然计算最简单），而假设的这个大小为1的力作用在哪里，方向如何，当然取决于具体问题里我们要求什么，所以互等定理解题比较灵活，不适合初学者，建议你继续学习后面章节。
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l
(2)
于是(1)式改写为
y / l
(3)
3
梁内任一点处的比能
u
1 2
E 2
1 2
E 2
l2
y2
(4)
梁的应变能
l
U VudV 0 (AudA)dx
l 1 E 2
( 02
l2
y2dA)dx 1 EI 2
A
2l
(5)
由卡氏第一定理
m U 1 EI (2 ) EIθ
(6)
2 lx)
2
dx
1 ( 5PL3 RC L3 ) 0
EI 48
3
RC
5P 16
能量法求解超静定结构，适 用任意荷载作用下、线性或 非线性弹性杆系、刚架或曲 杆等超静定系统。
14
2.求 wB
① 求内力
M
AB ( x)
5P 16
(L
x)
P(0.5L
x)
M BC ( x)
5P 16
Px L EI Px
1 EI
x 0
P(L
x1 ) ( x1
x)dx1
P
x3 [
(L
x)x2
Lx 2 ]
EI 3
2
12
例6 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。
P 0.5 L
B
A
L
解：1.依 wC 0 求多余反力，
卡氏定理解 ① 取静定基如图 C 超静定结构
② 求内力
M AB ( x) RC (L x) P(0.5L x)
L x1
O
x
w
①求内力 M AB ( x1) P(L x1) Px ( x x1) M BC ( x1) P(L x1)
②将内力对Px 求偏导后，令Px=0
M AB ( x) Px
Px 0 x1x
M BC ( x) Px
Px 0 0
11
③变形（ 注意：Px=0）
w( x ) U M ( x ) M ( x ) dx
余能定理
故有
i
U Pi
卡氏第二定理
卡氏第二定理：弹性杆件的应变能U对于杆件上某一 荷载之变化率，就等于与该荷载相应的位移。
适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中，
Pi ——作用在杆件上的广义力；
i ——与 Pi 相应的广义位移。 6
➢用卡氏定理的注意事项
P1 P2
1 2
①U——整体结构在外载作用下的线 弹性变形能
L xO
③求变形（ 注意：M A=0）
M ( x)
1
M A M 0
A
A
L
M (x) M (x) dx EI M A
L Px dx 0 EI
PL2
2 EI
A
PL2 2EI
“负号”说明 A与所加广义力MA反向。
10
例5 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。
x A
Px P BC
解：求挠曲线——任意点的挠度 w(x) 没有与w(x)相对应的力，加之。
适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中， Pi ——作用在杆件上的广义力；
i ——与 Pi 相应的广义位移。
2
例4 抗弯刚度为EI的悬臂梁如图，试按卡氏第一定理，根 据自由端已知转角 确定施加于自由端的力偶m。梁的材 料在线弹性范围内工作。
解： 梁内任一点的线应变为
y/
(1)
梁纯弯曲，挠曲线为圆弧
P 0.5 L
B A
L
C RC
O
x
w
M BC ( x) RC (L x) ③ 将内力对RC求偏导
M AB ( x) L x RC
M BC ( x) L x
RC
13
④ 变形
wC
U RC
L
M ( x ) M ( x ) dx
EI RC
变形协调条件
1 EI
0.5L
0
P(0.5L
x)(L
(L
x)
② 将内力对P求偏导
M AB ( x) 11x 3L
P
16
M BC ( x) 5(L x)
P
16
15
③ 变形
wB
U P
L
M ( x ) M ( x ) dx EI P
1 EI
0.5L 0
P(11x 16
3L
)2
dx
L P( 5 )2(L 0.5L 16
x
)2
dx
7PL3 （向下） 768 EI
② Pi 视为变量，结构反力和变形能 等都必须表示为 Pi的函数
③ i为 Pi 作用点的沿 Pi 方向的变形。
④ 当无与 i对应的 Pi 时，先加一沿 i n Pn 方向的 Pi ，求偏导后， 再令其为零。
7
三、线弹性变形杆的卡氏定理
U
N 2 (x) dx
M
2 n
(
x)
dx
M 2 (x) dx
16
L x O ②将内力对PA求偏导
M ( x ) x
PA
③变形
wA
U PA
L
M ( x ) M ( x ) dx EI PA
L Px2 dx PL3
0 EI
3EI
（向下）
9
求转角A。 没有与A向相对应的力（广义力），加之。
P M ①求内力 M ( x) xP M A
A ②将内力对MA求偏导后，令M A=0
L 2EA
L 2GIP
L 2EI
n
U Pn
L
N ( x) N ( x) dx
EA Pn
M n ( x) M n ( x) dx M ( x) M ( x) dx
L GIP
Pn
L EI Pn
8
例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。
解：求挠度，建坐标系
P
EI
A ①求内力 M ( x) xPA xP
§9-2 卡氏定理
一、卡氏第一定理
设梁上有n个集中荷载作用，相应的最后位移分别为
1 ,2 , ,n 。则梁内应变能
n
U W
i 0
Pi d i
i 1
而
dU
U
i
• di
,
dW Pidi
由 dU dW
U
Pi i
卡氏第一定理
1
Pi
U
i
卡氏第一定理
卡氏第一定理：弹性杆件的应变能U对于杆件上与某 一荷载相应的位移之变化率，就等于该荷载的数值。
l
4
二、卡氏第二定理
设梁上有n个集中荷载作用，相应的最后位移分别为
1 ,2 , ,n 。则梁内余能
n
U c Wc
Pi i dPi
0
(1)
i 1
而 dWc idPi ,
(2)
dUc
U c Pi
• dPi
,
(3)
由
dUc dWc
(4)
5
将(2)、(3)代入(4),
i
U c Pi
对线弹性杆件， U Uc