《运筹学》胡运权清华版-2-01对偶问题-25页精选文档
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《运筹学》胡运权清华版-2-01对偶问题
第一节 线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出
二、原问题与对偶问题的数学模型
继续
三、原问题与对偶问题的对应关系
返回
一、对偶问题的提出
题对
偶 问
实例：某家电厂家利用现有资源生产两种
产品， 有关数据如下表：
上页 下页 返回
设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
a11x1 a12x2 ... a1n xn b1 .a..21x1 a22x2 ... a2n xn b2 am1x1 am2 x2 ... amn xn bm xi 0,i 1,2,..., n
题对 偶 问
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对偶问题
min w b1 y1 b2 y2 ... bm ym
y 调试工序 –––– 元／3时
付出的代价最小， 且对方能接受。
厂家觉得比
收
自己生产有利。
购
题对 偶 问
上页 下页 返回
厂家能接受的条件：
出 用同让等代6 y数价2量应的不y资低3 源于 2 5 y自1己生2产y的2 利润y3。 1
收购方的意愿：
单位产品Ⅰ出租 收入不低于2元
单位产品Ⅱ出租 收入不低于1元
y1 a11
a12...
a1n ≤ b1
偶 问
y2 a21 ... ...
a22... ...
a2n
≤
... b2
... ...
题
ym am1 am2 ... amn ≤ bm
≥ ≥ ≥
max c1 c2 ... cn
题对 偶 问
一、对偶问题的提出
二、原问题与对偶问题的数学模型
继续
三、原问题与对偶问题的对应关系
返回
一、对偶问题的提出
题对
偶 问
实例：某家电厂家利用现有资源生产两种
产品， 有关数据如下表：
上页 下页 返回
设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
a11x1 a12x2 ... a1n xn b1 .a..21x1 a22x2 ... a2n xn b2 am1x1 am2 x2 ... amn xn bm xi 0,i 1,2,..., n
题对 偶 问
上页 下页 返回
对偶问题
min w b1 y1 b2 y2 ... bm ym
y 调试工序 –––– 元／3时
付出的代价最小， 且对方能接受。
厂家觉得比
收
自己生产有利。
购
题对 偶 问
上页 下页 返回
厂家能接受的条件：
出 用同让等代6 y数价2量应的不y资低3 源于 2 5 y自1己生2产y的2 利润y3。 1
收购方的意愿：
单位产品Ⅰ出租 收入不低于2元
单位产品Ⅱ出租 收入不低于1元
y1 a11
a12...
a1n ≤ b1
偶 问
y2 a21 ... ...
a22... ...
a2n
≤
... b2
... ...
题
ym am1 am2 ... amn ≤ bm
≥ ≥ ≥
max c1 c2 ... cn
题对 偶 问
运筹学教程（第二版）（胡运权）课后答案（清华大学出版社）
运筹学教程（第⼆版）（胡运权）课后答案（清华⼤学出版社）运筹学教程（第⼆版）习题解答第⼀章习题解答运筹学教程1.1 ⽤图解法求解下列线性规划问题。
并指出问题具有惟⼀最优解、⽆穷多最优解、⽆界解还是⽆可⾏解。
1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5 x 1 + 6 x 2≤ 82 5 ≤ x ? 1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3) 1 2 x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 21 2 ? ≥ 12 2 1 ? x , x ≥ 0 .? ?2 x 1 + x 2 ≤ 2st ?3x + 4 x (2) max Z = 3x 1 + 2 x 2x , x ≥ 0 1 2该问题⽆解≥ 12 2 1 ? ? 2 x 1 + x 2 ≤ 2st .?3 x +4 x ( 2 ) max Z = 3 x 1 + 2 x 2第⼀章习题解答3 2 1x = 1, x = 1, Z = 3是⼀个最优解⽆穷多最优解，1 2x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 2该问题有⽆界解1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5x 1 + 6 x 2第⼀章习题解答唯⼀最优解， x 1 = 10, x 2 = 6, Z = 16 ≤ 82 5 ≤ x ?1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3)第⼀章习题解答运筹学教程1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。
运筹学清华大学出版社胡运权着课后答案
�12 x1 � 3 x2 � 6 x3 � 3 x4 � 9
(1)
st
��8 ��3
x1 x1
� �
x2 x6
� 4 x3 �0
�
2 x5
� 10
�� x j � 0�, j � 1,� ,6�
min Z � 5 x1 � 2 x2 � 3 x3 � 2 x4
� x1 � 2 x2 � 3 x3 � 4 x4 � 7
运筹学教程�第二版� 习题解答
运筹学教程
1.1 用图解法求解下列线性规划问题。并指出问 题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可 行解。
min Z � 2 x1 � 3 x2 � 4 x1 � 6 x2 � 6
(1) st .�� 2 x1 � 2 x2 � 4 �� x1 , x2 � 0
Z
0
0.5
2
0
5
0
0
1
1
5
2/5
0
11/5
0
43/5
page 10 6 January 2011
School of Management
运筹学教程
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划 问题�并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解 法中可行域的哪一顶点。
max Z � 10 x1 � 5 x2 �3 x1 � 4 x2 � 9
max Z � x1 � x2 �6 x1 � 10 x2 � 120 (3) st.�� 5 � x1 � 10 �� 5 � x2 � 8
max Z � 3x1 � 2 x2 �2 x1 � x2 � 2
(2) st.��3x1 � 4 x2 � 12 �� x1, x2 � 0
运筹学胡运权第02章
•极大化问题的每个约束对应于极小化问题 的一个变量，其每个变量对应于对偶问题 的一个约束。
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn
对 偶 问 题 的 定 义
a11 x1 a12 x 2 a1n x n (, )b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n (, )b2 a x a x a x (, )b m2 2 mn n m m1 1 x j 0( 0, 或符号不限) j 1 ~ n
c3 x3 c3 x3 max z c1 x1 c2 x2
对偶变量 y1 y2′
y2″
y3′
非 对 偶 形 式 的 原对 偶 问 题
例2-4
b2 y2 b3 y3 min w b1 y1 b2 y2
令各约束对应的对偶变量分别为y1、y2′、y2″、 -y3′
（2.4a） （2.4b） （2.4c）
（2.4d）
先转换成对称形式，如下：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a13 x3 b1 a x a x a x a x b 2 21 1 22 2 23 3 23 3 s.t. a21 x1 a22 x2 a23 x3 a23 x3 b 2 a x a x a x a x b3 31 1 32 2 33 3 33 3 x1 0，x2 0，x3 0，x3 0
a11 y1 a21 y2 a21 y2 a31 y3 c1 a y a y a y a y c 2 12 1 22 2 22 2 32 3 s.t. a13 y1 a23 y2 a23 y2 a33 y3 c 3 a y a y a y a y c 3 23 2 33 3 13 1 23 2 y1 0，y2 0，y2 0，y3 0
《运筹学》胡运权清华版-2-01对偶问题
对偶问题往往具有非线性、非凸性和大规模等特性 ，求解难度较大，需要发展高效的求解算法。
应用场景限制
对偶问题在某些应用场景中可能存在限制， 需要探索更广泛的应用领域和场景。
对偶问题的未来发展方向
交叉学科融合
对偶问题将与数学、物理、工程等多个学科交叉融合，形成新的 研究领域和方向。
算法优化与并行计算
针对大规模对偶问题的求解，将发展更高效的算法和并行计算技 术，提高求解效率。
应用领域拓展
02
对偶问题在优化、机器学习、大数据等领域的应用将进一步深
化，推动相关领域的发展。
算法创新
03
针对对偶问题的求解算法将不断创新，提高求解效率，满足大
规模复杂问题的求解需求。
对偶问题的研究难点与挑战
理论证明
对偶理论中的一些基本定理和性质仍需进一 步证明和完善，以增强其数学严谨性。
求解难度
求解动态规划对偶问题的方法包括状态转移方程、最优子结构、备忘录法等。这些方法可以帮助我们找 到最优解，并避免重复计算。
在求解动态规划对偶问题时，需要注意对偶问题的最优解并不一定对应原问题的最优解，因此需要对解 进行验证和调整。
博弈论对偶问题的求解方法
01
博弈论是研究多个决策者之间 决策问题的学科，而博弈论对 偶问题则是将原问题转化为求 最大值的问题。
题
非线性规划对偶问题是将原非线 性规划问题的目标函数和约束条 件转换为对偶形式后得到的新问 题。
对偶问题的重要性
理论意义
对偶问题在运筹学理论中具有重要的 地位，它揭示了原问题与对偶问题之 间的内在联系，有助于深入理解运筹 学的基本原理。
应用价值
在实际应用中，对偶问题可以用于求 解原问题的近似解或启发式解，提高 求解效率，尤其在处理大规模优化问 题时具有显著的优势。
应用场景限制
对偶问题在某些应用场景中可能存在限制， 需要探索更广泛的应用领域和场景。
对偶问题的未来发展方向
交叉学科融合
对偶问题将与数学、物理、工程等多个学科交叉融合，形成新的 研究领域和方向。
算法优化与并行计算
针对大规模对偶问题的求解，将发展更高效的算法和并行计算技 术，提高求解效率。
应用领域拓展
02
对偶问题在优化、机器学习、大数据等领域的应用将进一步深
化，推动相关领域的发展。
算法创新
03
针对对偶问题的求解算法将不断创新，提高求解效率，满足大
规模复杂问题的求解需求。
对偶问题的研究难点与挑战
理论证明
对偶理论中的一些基本定理和性质仍需进一 步证明和完善，以增强其数学严谨性。
求解难度
求解动态规划对偶问题的方法包括状态转移方程、最优子结构、备忘录法等。这些方法可以帮助我们找 到最优解，并避免重复计算。
在求解动态规划对偶问题时，需要注意对偶问题的最优解并不一定对应原问题的最优解，因此需要对解 进行验证和调整。
博弈论对偶问题的求解方法
01
博弈论是研究多个决策者之间 决策问题的学科，而博弈论对 偶问题则是将原问题转化为求 最大值的问题。
题
非线性规划对偶问题是将原非线 性规划问题的目标函数和约束条 件转换为对偶形式后得到的新问 题。
对偶问题的重要性
理论意义
对偶问题在运筹学理论中具有重要的 地位，它揭示了原问题与对偶问题之 间的内在联系，有助于深入理解运筹 学的基本原理。
应用价值
在实际应用中，对偶问题可以用于求 解原问题的近似解或启发式解，提高 求解效率，尤其在处理大规模优化问 题时具有显著的优势。
运筹学PPT完整版胡运权
约束方程的系数矩阵为25矩阵????????10261001115ara22阶子矩阵有10个其中基矩阵只有9个即??????????????????????????????????????1??????????????????????10011600211120101015061111005261161015987654321bbbbbbbbbpage31图解法图解法线性规划问题的求解方法一般有两种方法图解法单纯形法两个变量直角坐标三个变量立体坐标适用于任意变量但必需将一般形式变成标准形式般形式变成标准形式下面我们分析一下简单的情况只有两个决策变量的线性规划问题这时可以通过图解的方法来求解
x
v a 2x2 x a dv 0 dx
2(a 2 x) x (2) (a 2 x)2 0
x a 6
Page 14
线性规划问题的数学模型
Page 15
例1.2 某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分 别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工 艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台 时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使 企业总的利润最大？
设备 产品
A
B
C
D 利润（元）
甲
2
1
4
0
2
乙
2
2
0
4
3
有效台时
12
8
16 12
线性规划问题的数学模型
Page 16
解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量，则数学模型为：
max Z = 2x1 + 3x2 2x1 + 2x2 ≤ 12
x1 + 2x2 ≤ 8
s.t.
4x1
x
v a 2x2 x a dv 0 dx
2(a 2 x) x (2) (a 2 x)2 0
x a 6
Page 14
线性规划问题的数学模型
Page 15
例1.2 某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分 别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工 艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台 时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使 企业总的利润最大？
设备 产品
A
B
C
D 利润（元）
甲
2
1
4
0
2
乙
2
2
0
4
3
有效台时
12
8
16 12
线性规划问题的数学模型
Page 16
解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量，则数学模型为：
max Z = 2x1 + 3x2 2x1 + 2x2 ≤ 12
x1 + 2x2 ≤ 8
s.t.
4x1
运筹学完整版胡运权
Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用
线性规划问题的数学模型
Page 13
1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。
线性规划问题
n
maxZ cj xj (1) j1
s.t
n j1
aij
xj
bi
(i 1,2,,m)
(2)
xj 0, j 1,2,,n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
x3 6x2
x4 2x3
3 x5
2
x
j
0,
j
1,,5
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
5 1 A1 0 6
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1 5 0 1 1
B 1 106 B 2 6 2 B 3 101 B 4 6 0
目标函数的转换 如果是求极小值即 化为求极大值问题。
mzin ， 则c可jx将j 目标函数乘以(-1)，可
即 mza x z cjxj
也就是：令 z z，可得到上式。
变量的变换
若存在取值无约束的变量 ，x 可j 令 其中：xj, xj 0
xj xj xj
设备 产品
A
B
C
最新清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第一章)
-1
x2
0
x3
0
x4
-M
x5
-M
x6
CB
xB
x5
x6
x4
i
-M -M 0
3 6 4
[3] 4 1
1 3 2
0 -1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0 0
1 3/2 4 3 6/5 9/5
cj zj
7M-4
1 2 3 1 0 0 0
4M-1
1/3 [5/3] 5/3
5M/3+1/3
-M
0 -1 0 -M
5
x20x30x4CBxB
x3
0 0 0 10 5
9 8 21/5 8/5 3/2
3 [5] 10 0 1 0 0
4 2 5 [14/5] 2/5 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 -3/5 1/5 -2
0点
x4
cj zj
x3
x1
cj zj
x2
A1点
5/14 -3/14
10
x1
1
1
0
0
max Z 3x1 x2 2 x3 12x1 3x2 6 x3 3x4 9 8 x x 4 x 2 x 10 1 2 3 5 st 3x1 x6 0 （ , j 1, ,6） x j 0
(1)
(2)
min Z 5 x1 2 x2 3x3 2 x4 x1 2 x2 3x3 4 x4 7 st 2 x1 2 x2 x3 2 x4 3 x 0, ( j 1, 4) j
目标函数最优值的上界为：21
运筹学PPT完整版胡运权
另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择 与评价，工程优化设计等。
运筹学在工商管理中的应用
Page 10
组织 联合航空公司 Citgo石油公司 AT&T 标准品牌公司 法国国家铁路公司 Taco Bell Delta航空公司
Interface上发表的部分获奖项目
应用
效果
在满足乘客需求的前提下，以最低成本进 行订票及机场工作班次安排
5x110x1x2
x3 x4 3 6x2 2x3 x5
2
x
j
0,
j
1,,5
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
5 A 10
1 6
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1
5 0
Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用
线性规划问题的数学模型
Page 13
1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
运筹学在工商管理中的应用
Page 10
组织 联合航空公司 Citgo石油公司 AT&T 标准品牌公司 法国国家铁路公司 Taco Bell Delta航空公司
Interface上发表的部分获奖项目
应用
效果
在满足乘客需求的前提下，以最低成本进 行订票及机场工作班次安排
5x110x1x2
x3 x4 3 6x2 2x3 x5
2
x
j
0,
j
1,,5
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
5 A 10
1 6
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1
5 0
Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用
线性规划问题的数学模型
Page 13
1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
运筹学课程03-线性规划对偶理论及其应用(胡运权 清华大学)
对偶模型不强调等式右端项 b≥0
15
二、线性规划的对偶模型
2、非对称型对偶问题
NEUQ
矩阵形式：P max Z CX AX b X 0
D min W Y b AY C Y 无符号限制（无约束）
16
NEUQ 例二、原问题 max Z 2 x1 3 x 2 4 x 3
2 x1 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
解：对偶问题为 minW 2 y1 3 y 2 5 y 3 2 y1 3 y 2 y 3 2 3 y1 y 2 4 y 3 3 5 y1 7 y 2 6 y 3 4 y , y , y 无约束 2 3 1
NEUQ
minW 4 y1 2 y 2 y1 y 2 2 y1 y 2 1 （对） y1 0, y 2 0
无界
无可 行解
28
例：已知
NEUQ
D : minW 2 y1 y2 y1 2 y2 1 y1 y2 2 y1 y2 0 y1 , y2 0
对偶问题： max W 5 y1 4 y 2 6 y 3 y1 2 y 2 2 y1 y3 3 3 y1 2 y 2 y 3 5 y1 4 y 2 y 3 1 y1 0, y 2 0, y 3无 约 束
__
__
NEUQ
推论1 原问题的任何可行解目标函数值是其对偶问题目 标函数值的下限 对偶问题的任何可行解目标函数值是其原问题目
15
二、线性规划的对偶模型
2、非对称型对偶问题
NEUQ
矩阵形式：P max Z CX AX b X 0
D min W Y b AY C Y 无符号限制（无约束）
16
NEUQ 例二、原问题 max Z 2 x1 3 x 2 4 x 3
2 x1 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
解：对偶问题为 minW 2 y1 3 y 2 5 y 3 2 y1 3 y 2 y 3 2 3 y1 y 2 4 y 3 3 5 y1 7 y 2 6 y 3 4 y , y , y 无约束 2 3 1
NEUQ
minW 4 y1 2 y 2 y1 y 2 2 y1 y 2 1 （对） y1 0, y 2 0
无界
无可 行解
28
例：已知
NEUQ
D : minW 2 y1 y2 y1 2 y2 1 y1 y2 2 y1 y2 0 y1 , y2 0
对偶问题： max W 5 y1 4 y 2 6 y 3 y1 2 y 2 2 y1 y3 3 3 y1 2 y 2 y 3 5 y1 4 y 2 y 3 1 y1 0, y 2 0, y 3无 约 束
__
__
NEUQ
推论1 原问题的任何可行解目标函数值是其对偶问题目 标函数值的下限 对偶问题的任何可行解目标函数值是其原问题目
《运筹学》胡运权清华版-2-01对偶问题
对应关系进行求解。
3
对偶定理
运用对偶定理将原问题转化为对偶问题， 从而获得解的有效信息。
优化算法
利用优化算法对对偶问题进行求解，如 单纯运输网络、供应链管理等领域有着广泛的应用。它提供了一种分析和解决实际问题的思 路和方法。
对偶问题在线性规划中的应用
在线性规划中，对偶问题可以通过对偶定理求解，从而获得原问题的最优解。 对偶问题的解释和分析在实际问题中具有重要的意义。
总结
对偶问题是运筹学中一个重要的概念和研究方向。掌握对偶问题的特征、性质、求解方法和应用，将有助于我 们在实际问题中更好地进行分析、建模和决策。
对偶问题的特征
对偶性质
对偶问题与原问题具有相关性，其解与原问题 的解有一定的对应关系。
约束条件
对偶问题的约束条件通常是原问题的目标函数 的系数的线性组合。
目标函数
对偶问题的目标函数通常是原问题的约束条件 的线性组合。
解的含义
对偶问题的解可以提供有关原问题的附加信息， 如原问题的可行域范围。
对偶问题的性质
数学抽象
对偶问题的性质通过数学模型进 行抽象表示，便于分析和求解。
问题解决
对偶问题的性质可以帮助我们从 不同的角度思考和解决现实生活 中的复杂问题。
方程系统
对偶问题的性质可以转化为一组 等式和不等式的方程系统，使得 问题的求解更加简化。
求解对偶问题的方法
1
线性规划方法
2
运用线性规划的方法，通过对偶问题的
《运筹学》胡运权清华版 -2-01对偶问题
在运筹学中，对偶问题是一个重要的概念。它具有独特的特征和性质，可以 通过特定的方法求解。本讲座将介绍对偶问题的定义、特征、求解方法以及 在线性规划中的应用。
运筹学胡运权
这种运输网络问题也是静态决 策问题。但是，按照网络中点的分 布，可以把它分为5个阶段，而作 为多阶段决策问题来研究。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
为了便于求解和表示决策及过程的 发展顺序，而把所给问题恰当地划分为 若干个相互联系又有区别的子问题，称 之为多段决策问题的阶段。一个阶段， 就是需要作出一个决策的子问题，通常， 阶段是按决策进行的时间或空间上先后 顺序划分的。用以描述阶段的变量叫作 阶段变量，一般以k表示阶段变量．阶 段数等于多段决策过程从开始到结束所 需作出决策的数目，图7—1所示的最短 路问题就是一个四阶段决策过程。
策略(Policy)也叫决策序列．策略有全过
程策略和k部子策略之分，全过程策略是指具有 n个阶段的全部过程，由依次进行的n个阶段决
策构成的决策序列，简称策略，表示为
p1,n{u1,u2,…,un}。从k阶段到第n阶段，依次进 行的阶段决策构成的决策序列称为k部子策略, 表示为pk,n{uk,uk+1,…,un} ，显然当k=1时的k部
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
创始时间 创始人
上个世纪50年代
美国数学家贝尔曼 （Richard. Bellman)
是运筹学的一个主要分支 是解决多阶段决策过程的最优化的一
种方法多阶段决策过程： 多阶段决策过程的最优化的目标： 达到整个活动过程的总体效果最优 •主要用于解决：
化
例1：某厂与用户签订了如表所示
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
为了便于求解和表示决策及过程的 发展顺序，而把所给问题恰当地划分为 若干个相互联系又有区别的子问题，称 之为多段决策问题的阶段。一个阶段， 就是需要作出一个决策的子问题，通常， 阶段是按决策进行的时间或空间上先后 顺序划分的。用以描述阶段的变量叫作 阶段变量，一般以k表示阶段变量．阶 段数等于多段决策过程从开始到结束所 需作出决策的数目，图7—1所示的最短 路问题就是一个四阶段决策过程。
策略(Policy)也叫决策序列．策略有全过
程策略和k部子策略之分，全过程策略是指具有 n个阶段的全部过程，由依次进行的n个阶段决
策构成的决策序列，简称策略，表示为
p1,n{u1,u2,…,un}。从k阶段到第n阶段，依次进 行的阶段决策构成的决策序列称为k部子策略, 表示为pk,n{uk,uk+1,…,un} ，显然当k=1时的k部
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多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
创始时间 创始人
上个世纪50年代
美国数学家贝尔曼 （Richard. Bellman)
是运筹学的一个主要分支 是解决多阶段决策过程的最优化的一
种方法多阶段决策过程： 多阶段决策过程的最优化的目标： 达到整个活动过程的总体效果最优 •主要用于解决：
化
例1：某厂与用户签订了如表所示
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问 题
调试工序 –––– y 3 元／时
付出的代价最小，
且对方能接受。
上页
下页
返回
厂家觉得比
收
自己生产有利。
购
厂家能接受的条件：
对 偶 问 题
出 用同让等代6y数价2量应的不y资低3源于 2 5y自1己生2产y的2 利润y3。1
单位产品Ⅰ出租 收入不低于2元
单位产品Ⅱ出租 收入不低于1元
第一节 线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出
二、原问题与对偶问题的数学模型
继续
三、原问题与对偶问题的对应关系
返回
一、对偶问题的提出
对
偶 问
实例：某家电厂家利用现有资源生产两种
题
产品， 有关数据如下表：
上页 下页 返回
设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
min w y1, y2Y,..., ym b1,b2 ,...,bm T
题
a11 a12 ... a1n
上页
s.t.
y1
,
y
2Y,...,
ym
a2
1
a22 ...
...
a2n
...
下页
am1 am2 ... amn
返回
c1, c2 ,...,cm
6x1 2 x2 24
-6x1 2 x2 24
上页
x 1, x 2 0
x 1, x 2 0
下页 m in w 1 5 y1 2 4 y 2 m in w 1 5 y1 2 4 y '2
6 y2 2
返回
5 y1 2 y2 1
C(c1,c2)
2个约束 3个变量
Y(y1,y2,y3)
返回
A(aij)
X
x1 x2
b1
b
Hale Waihona Puke b b2 3
二、对称形式的对偶问题
对
偶 问
原问题 x1 x2 ... xn min 对
题
y 1 a 11
a 12 ... a 1 n ≤ b 1
偶 问
上页 下页
约束
变量 0
上页
约束
自由变量
下页
m 个变量 变量 0 变量 0
minz
m 个约束 约束
约束
返回
自由变量 目标函数的价值向量
约束 约束条件的限定向量
约束条件的限定向量
目标函数的价值向量
例:
对
偶 问
max z 5x1 3x2 2x3 4x4
题
5x1 x2 x3 8x4 8
x1 x2 5
x1, x 2 0
一对对偶问题
上页
m w i 1 n y 5 2y4 5 y
1
2
3
下页
s.t
6y y 2
2
3
对 偶
返回
收 购
5y 2y y 1 问
1
2
3
y,y ,y 0
1
2
3
厂题
家
原问题
对 偶 问 题
x1 x2
min
对 偶
y1
0 5 ≤ 15
min
对 偶
y1
0 5 ≤ 15
问 题
无约束 y 2
6 2 = 24
上页
y3
1 1 ≤5
≥ ≥
下页
max
21
返回
结论：等式约束 对偶变量无约束
？原问题（max）的约束条件是≥
对
例：
偶 问
m ax z 2 x1 x2
max z 2 x1 x2
题
5x2 15
5x2 15
上页
.a..21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b2
下页 返回
a
m
1
x1
am 2 x2
...
a mn x n
bm
xi 0, i 1,2,..., n
对偶问题
对
偶 问
min w b1 y1 b2 y 2 ... bm y m
上页
s.t2x1 4x2 3x3 2x4 10
下页
x1,x2 0 x3,x4无约束
返回
对偶问题为
对
偶 问
mw i n8y11y 0 2
题
5 y1 2 y2 5
上页
s.t.
y1 4 y2 3 y1 3 y2 2
下页
8 y1 2 y 2 4
对 偶
x 设 Ⅰ产量––––1
–
x2
如何安排生产， 使获利最多？
问
Ⅱ产量––––
题 m–ax z 2 x 1 x 2
s.t.
5 x 2 15
上页
6 x 1 2 x 2 24
下页
x1 x2 5
返回
x 1, x 2 0
厂
家
设：设备A —— y1元／时
对 偶
设备B –––– y2 元／时
问 题
y2
6 2 ≤ 24
上页
y3
1 1 ≤5
≥ ≥
下页
max
21
返回
原问题
对偶问题
对 偶 问 题
m s.t. axA X z X 0 CbX m s.ti.n w Y C 0YY bA
一 上页 般
规 下页 律
3个约束 2个变量
y1, y2 0
6 y '2 2
5 y1 2 y '2 1
y1
0,
y '2
0
(y2’= - y2)
四、原问题与对偶问题的对应关系
对
偶
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
问 题
目标函数 max z n 个约束
目标函数 min w n 个变量
约束 max z 变量 0
返回
y1
0,
y 2无约束
第一节 线性规划的对偶问题
返回
谢谢
下页
y1, y'2 , y''2 , y3 0
返回
令 y2y'2y''2
对偶问题
对
偶
问 题
min w 15y1 24y2 5y3
6 y2 y3 2
上页
5y1 2 y2 y3 1
下页
y1, y3 0, y2无约束
返回
原问题
对 偶 问 题
x1 x2
6 x1 6 x1
2 x2 2 x2
24 24
返回
y3
x1 x2 5
x1, x2 0
对偶问题
对 偶 问
题 minw15y1 24y'224y''25y3
6y'26y''2y3 2
上页
5y1 2y'22y''2y3 1
用矩阵表示
对
偶 问
原问题
对偶问题
题
上页
m s.t. axA X z X 0 CbX m s.ti.n w Y C 0YY bA
下页
返回
Yy1,y2,..ym .,— 行向量
特点：
对 偶
1． ma x min
max z 2 x 1 x 2
上页
s.t.
5 x 2 15
下页
6 x 1 2 x 2 24
返回
第二个约束x 1 x 2 5
是等式 x 1, x 2 0
对
解： 原问题
偶
问 题
max z 2 x 1 x 2
y1
5 x 2 15
上页 下页
y y
'2 ' '2
题
a11 y1 a 21 y 2 ... a m1 y m c1
上页
a12 ...
y
1
a 22 y 2
...
am2 ym
c2
下页 返回
a
1
n
y1
a2n y2
...
a mn
ym
cn
y j 0, j 1,2,... m
可写成
对
偶 问
问 题
2．限定向量b 价值向量C
（资源向量）
其它形式 的对偶
?
上页 3．一个约束 一个变量。
4． mazx的LP约束“ ”minz 的
下页
LP是“ ”的约束。
返回
5．变量都是非负限制。
对偶问题的对偶是原问题
对 三、非对称形式的对偶
偶 问
1 若原问题的约束条件中有等式