2014年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试文科数学答案

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2014黑龙江省哈师大附中高三三模考试文科数学试题含答案

2014黑龙江省哈师大附中高三三模考试文科数学试题含答案3.已知条件P：x<0，条件q ：2x x>，则￢p 是￢q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件 4. 已知等比数列}{n a 的前n项和为n S ,且满足639S S =,则公比q = A ．12 B ．12±C ．2D ．2±5.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>离心率为3，直线2y =与双曲线C ，则双曲线C的方程是22.21A x y -=22.18y B x -=22.1510x y C -= 224.1510x y D -=6．王明早晨在6：30~7：00之间离开家去上学，送奶员在早上6：45~7：15之间把牛奶送到王明家，则王明离开家之前能取到牛奶的概率为A .18 B .14 C .78 D .587. 右图是“二分法”解方程的流程图.在①~④处应填写的内容分别是A .()()0f a f m ⋅<；a m=；是；否 B . ()()0f b f m ⋅<；b m =；是；否 C . ()()0f a f m ⋅<；m b =；否；是 D.()()0f b f m ⋅<；b m=；否；是8. 设,,0x y R a ∈>，且x y a +≤，21x y ++最大值小于2，则实数a 的取值范围为A .()0,1 B .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C .1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .(]0,1ABC中AB AC+ 10．Rt ABC 中CA CB ==，M 为AB 的中点，将ABC 沿CM 折叠，使A 、B 之间的距离为1，则三棱锥M ABC -外接球的表面积为 A ．163π B ．4π C ．3π D ． 73π11. 已知F 为抛物线24y x =的焦点， ,A B 是抛物线24y x =上异于顶点O 的两个点，直线OA 与直线OB 的斜率之积为定值-4，AOF ，BOF 的面积为12,S S ，则2212S S +的最小值为（）A.8B.6C.4D.212．函数3223,0(),0x x x x f x ax x e⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在[]2,2-上的最大值为1，则实数a 的取值范围是A ．[)0,+∞ B ．[]0,e C ．(],0-∞ D ．(],e -∞第II 卷(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在题中横线上） 13．过点(3,4)P 作抛物线22x y =的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的斜率为14、某几何体的三视图如图所示（x =1），则该几何体的体积为________ 15．利用回归分析的方法研究两个具有线性相关关系的变量时，下了说法正确的是： ① 相关系数r 满足1r ≤，而且r 越接近1，变量间的相关程度越大； ②r越接近0，变量间的相关程度越小；③ 可以用2R 来刻画回归效果，对于已获取的样本数据，2R 越小，模型的拟合效果越好； ④ 如果残差点比较均匀地落在含有x 轴的水平的带状区域内，那么选用的模型比较合适；这样的带状区域越窄，回归方程的预报精度越高； ④ 不能期望回归方程的到的预报值就是预报变量的精确值. 16. 数列{}n a 的通项为(1)(21)cos 12n n n a n π=--⋅+ 前n 项和为n S ，则60S =_________. 三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444x x xm n =-=，记()f x m n =⋅，（I）求()f x 的值域和单调递增区间；（I I ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，若1()2f A =-，2a =，求ABC∆的面积．18.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，2DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角的正切值为. (Ⅰ)求证：直线//AC 平面EF B；（Ⅱ）求直线AC与平面ABE 所成角的正弦值.19.（本小题满分12次高三数学模拟考试甲、乙两班题成绩（满分60分）,统计后（以十位数字为茎，个位数示：A B DFE(I )分别计算两组数据的平均数，并比较哪个班级的客观题平均成绩更好；（Ⅱ）从这两组数据中分别抽取一个数据，求其中至少有一个是满分（60分）的概率；（Ⅲ）规定：客观题成绩不低于55分为“优秀客观卷”，从甲班的十个数据中任意抽取两个，求两个都是“优秀客观卷”的概率。

2014哈三中校三模】黑龙江省哈三中2014届高三第三次高考模拟考试数学文 Word版含答案

2014哈三中校三模】黑龙江省哈三中2014届高三第三次高考模拟考试数学文Word版含答案XXX2013-2014年高三下学期第三次高考模拟考试数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

1.答题前，请填写姓名和准考证号码。

选择题使用2B铅笔填涂，非选择题使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚。

2.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第I卷选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.已知全集U=R，集合A={x|x-2x-3>0}，B={x|2<x<4}，那么集合(C∪A)∩B=A) {x-1≤x≤4} (B) {x^2<x≤3} (C) {x^2≤x<3} (D) {x-1<x<4}2.复数1+i+i+⋯+i等于A) i (B) -i (C) 2i (D) -2i3.已知a=2.3^(210)，b=log2 3，c=log2 4，则A) a>b>c (B) a>c>b (C) b>c>a (D) c>b>a4.已知直线m,n和平面α，则XXX的一个必要条件是A) m//α，n//α (B) m⊥α，n⊥α (C) m//α，n⊂α (D) m,n与α成等角5.已知x与y之间的一组数据。

x 1 2 3y 3 5.5 7已求得关于y与x的线性回归方程为ŷ=2.1x+0.85，则m 的值为A) 1 (B) 0.85 (C) 0.7 (D) 0.56.在数列{an}中，已知a1+a2+⋯+an=2n-1，则a1^2+a2^2+⋯+an^2=A) n^2 (B) n(4n-1) (C) 4n-1 (D) 3n^27.执行如图所示的程序框图，若输出S=15，则框图中①处可以填入A) n>4 (B) n>8 (C) n>16 (D) n<16开始S=0,n=1S=S+nn=2n否①是输出S结束8.已知z=2x+y，其中实数x,y满足x+y≤2，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是A) 2/11 (B) 1/11 (C) 4 (D) 11/49.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b)$的右焦点为$F$，过$F$的直线$l$交双曲线的渐近线于$A,B$两点，且与其中一条渐近线垂直，若$AF=4FB$，则该双曲线的离心率是$\frac{5}{4}$。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2013-2014学年度高二下学期第一学段试题数学文科

黑龙江省哈尔滨市第三中学2013－2014学年度高二下学期第一学段试题数学文科考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数ii+-12对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 为了了解儿子与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 关于x 的线性回归方程必通过以下哪个点A ．)175,174( B ．)175,176( C ．)176,174( D ．)176,176( 3. 命题“对任意的x R ∈，3210x x -+≤”的否定是A ．不存在x R ∈，3210x x -+≤ B ．存在x R ∈，3210x x -+≤ C ．存在x R ∈，3210x x -+> D ．对任意的x R ∈，3210x x -+> 4. 执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a 的值为2.1-，第二次输入的a 的值为2.1，则第一次、第二次输出的a 的值分别为A ．2.0,2.0B ．2.0,8.0C ．8.0,2.0D ．8.0,8.05. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到如下的列联表：由公式算得：8.7))()()(()(22≈++++-=d b c a d c b a bc ad n K附表：参照附表，得到的正确结论是：A ．有%99以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”B ．有%99以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过%1.0的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过%1.0的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关”6. 已知函数)1(2)(2f x x x f '+=,则)1(-f 与)1(f 的大小关系是A ．)1()1(f f =-B ．)1()1(f f <-C ．)1()1(f f >-D ．无法确定7. 给出命题p : x x x f cos 3sin )(+=的周期为π；命题q :若数列{}n a 前n 项和n n S n 22+=，则数列{}n a 为等差数列，则下列四个命题“p 且q ”,“p 或q ”,“非p ”,“非q ”中，真命题个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 8. 函数a ax x y +-=23在()1,0内有极小值,则实数a 的取值范围是A ．()3,0B ．()3,∞-C ．()+∞,0D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,09. 右图是把二进制数)2(11111化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是A ．4i >B ．4i ≤C ．5i >D ．5i ≤10. 已知函数qx px x x f --=23)(的图像与x 轴切于点()0,1,则)(x f 的A ．极大值为274,极小值为0 B ．极大值为0,极小值为274- C ．极小值为275-,极大值为0 D ．极小值为0,极大值为27511. 设)(4)(2R x x x x f ∈-=，则0)(>x f 的一个必要不充分条件是A ．1-<xB ．0<x 或 4>xC ．11>-xD ．32>-x12. 已知二次函数1)(2++=bx ax x f 的导函数为)(x f ',0)0(>'f ,对任意的实数x ,都有0)(≥x f ,则)0()1(f f '的最小值为 A ．2 B ．23 C ．3 D ．25 第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13. 已知某工厂加工零件个数x 与时间y 之间的线性回归方程为5.002.0+=∧x y ，则加工600个零件所需时间约为．14. 复数32321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-i 的值是．15. 已知x x x x f cos sin sin )(+=,则⎪⎭⎫⎝⎛'4πf 等于．16. 若函数()()1,0 log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间⎪⎭⎫⎝⎛-0,21内单调递增，则实数a 的取值范围是．三、解答题(本大题共6小题，17题10分，18—22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （Ⅰ）已知a 是实数，i 是虚数单位，()()ii i a --1是纯虚数，求a 的值；（Ⅱ）设iii i z 4342)1)(41(++++-=，求z .18. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，收集数据如下：（Ⅱ）如果加工的零件是50个，预测所要花费的时间．（参考公式：∑∑==--=ni i ni ii xn x yx n yx b1221ˆ，x b y aˆˆ-=）19. 已知函数x x x f 321)(2-=，x m x g ln 2)(-=．（Ⅰ）求)(x f 在2=x 处的切线方程；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得)(x f y =的图象与)(x g y =的图象有且仅有三个不同的交点？若存在，求出m 的值或范围；若不存在，说明理由．20. 在对哈三中高二学生喜欢学的科目的一次调查中，共调查了200人，其中男同学120人，女同学80人，男同学中有80人喜欢学数学，另外40人喜欢学语文；女同学中有30人喜欢学数学，另外50人喜欢学语文．（Ⅰ）填表，完成22⨯列联表；（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与喜欢科目有关系？参考公式()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2221. 设函数()()R a ax x a x x f ∈++-= 6132)(23．（Ⅰ）若)(x f 为R 上的单调递增函数，求a 的值；（Ⅱ）若[]3,1∈x 时，)(x f 的最小值为4，求a 的值．22. 已知函数x xppx x f ln 2)(--=. （Ⅰ）若函数)(x f 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；（Ⅱ）设函数xex g 2)(=，若在[]e ,1上至少存在一个0x ，使得)()(00x g x f >成立，求实数p 的取值范围．哈三中2013—2014学年度下学期高二学年第一模块数学（文）试卷答案喜欢科目性别女男总计数学语文总计一选择题1. D2. D3. C4. C5. A6.C7. C8. D9.B 10. A 11.C 12. A 二填空题 13. 5.12 14. 1 15. 21 16. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,43 三解答题17.解：（1）1-（2）218.解：（1）5.5182.0+=∧x y （2）5.92 19.解：（1）02=++y x （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛--25,42ln 2 20.解：（1（2）能 21.解：（1）1=a （2）2=a 22.解：（1）1≥p （2）142->e ep。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2014届高三第二次模拟考试文科数学试题(含答案)(2014.04)

直线 B1S : y
1 1 1 x 1, B2T : y x 1 ，两条直线的交点为 Q2 3, 6 2 2 1 2
若交点在一条直线上则此直线只能为 l : y
验证对任意的 k ,

3 3 ，直线 B1S 与直线 B2T 的交点 Q 都在定直线 , 2 2
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哈尔滨市第三中学二模数学（文）参考答案
1-12 13-16 17 题（I） f ( x ) 2 sin( 2 x ADBCB,CCDCA,BB
80 X 4800(100 X 160) ………8 分 8000(160 X 200)
………12 分
x2 （I）椭圆方程为 y2 1 4
……4 分
y kx 2 （II） x 2 1 4k 2 x 2 16kx 12 0 2 y 1 4
[]
16k x1 x 2 3 1 4k 2 0, k 2 , 12 4 x1 x2 1 4k 2
取直线 y x 2 与椭圆
x2 6 4 y 2 1 交于两点 S , , T 2, 0 4 5 5
l:y
1 1 1 上，设直线直线 B1S 与直线 l : y 交点为 Q0 x0 , y0 ，直线 B2T 与直线 l : y 2 2 2
' ' 交点为 Q0 ' x0 ，设点 S x1 , y1 , T x2 , y2 , y0

2014年哈三中三模文科数学试题(含答案)(高清扫描版)

y kx 2 2 (4k 2 3) x 2 16kx 4 0 ， x y2 1 3 4
1 1 ，又 k 0 ，所以 k ． ………………………… 6 分 4 2 16k 8k 6 因为 x1 x 2 2 ，所以 x 0 2 ， y0 kx0 2 2 ． ……… 8 分 4k 3 4k 3 4k 3 0 k2
OB1 平面 ABB1 A1
所以 OB1 平面ABC ,即 OB1 平面BCD ,
B1O 即点 B1 到平面BCD 的距离,
S BCD 1 S ABC 1 2
B1O 3
…………………………9 分 ………………………… 11 分
所以 VC BB1D V B1 BCD
1 …………12 分 2
A1
所以 AB 平面 B1OD ，因为 OD 平面 B1OD ，所以 AB OD ．…3 分由已知， BC BB1 ，又 OD // BC ，所以 OD BB1 ，因为 AB BB1 B ， O 所以 OD 平面 ABB1 A1 ．
B1
C1
3 ． 2
5 2 ． ) ，故 B 或 6 3 3

3 2 2 若B ，则 C ，于是 S ABC 3 6
，则 C

，于是 S ABC
1 ab 2 3 ； ………………………… 10 分 2 1 ab sin C 3 ． ………………………… 12 分 2
2014 年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学答案（文史类）
选择题: 1B 2A 3A 4D 5D 6D 7B 填空题:13．解答题: 17. 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得 2a 2 (2b 3c)b (2c 3b)c ，整理得 b 2 c 2 a 2 3bc ，所以 cos A ………………………… 2 分 ………………………… 4 分 8B 9D 10D 11A 12D 15.

2014年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(文科)

2014年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＞0}，B={x|2＜x＜4}，那么集合C U A∩B=（）A.{x|-1≤x≤4}B.{x|2＜x≤3}C.{x|2≤x＜3}D.{x|-1＜x＜4}【答案】B【解析】解：由不等式的解法，容易解得A={x|x＞3或x＜-1}，B={x|2＜x＜4}．则C U A={x|-1≤x≤3}，于是（C U A）∩B={x|2＜x≤3}，故选B．分析可得，A、B都是不等式的解集，由不等式的解法，容易解得A、B，进而可得C U A，对其求交集可得答案．本题考查集合间的交、并、补的混合运算，这类题目一般与不等式、方程联系，难度不大，注意正确求解与分析集合间的关系即可．2.复数1+i+i2+…+i10等于（）A.iB.-iC.2iD.-2i【答案】A【解析】解：因为i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1，故原式=1+i+i2+0+0=i，故选A．本题考查的知识点是复数的基本及复数代数形式的乘除运算及复数单位i的性质，由i n 呈周期性变化，易得结论．i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1（n∈Z）．3.已知a=0.20.3，b=log0.23，c=log0.24，则（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.c＞b＞a【答案】A【解析】解：由于函数y=log0.2x在（0，+∞）上是减函数，故有c＜b＜0．由a=20.3＞20=1，可得a＞b＞c，故选：A．由函数y=log0.2x在（0，+∞）上是减函数，可得b，c的大小．再由a的范围推出a，b，c大小关系．本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．4.已知直线m n和平面α，则m∥n的一个必要条件是（）A.m∥α，n∥αB.m⊥α，n⊥αC.m∥α，n⊂αD.m，n与α成等角【答案】D【解析】解：A．m、n可以都和平面垂直，不必要B．m、n可以都和平面平行，不必要C．n没理由一定要在平面内，不必要D．平行所以成的角一定相等，但反之如果两直线相交成等边三角形之势则不平行，所以是必要非充分故选：Dm、n可以都和平面垂直，推断A是不必要条件；m、n可以都和平面平行，可推断B是不必要条件；n没理由一定要在平面内，可推断出C是不必要条件；最后平行所以成的角一定相等，但反之如果两直线相交成等边三角形之势则不平行，所以推断D是必要非充分本题主要考查了空间直线与直线之间的关系，必要条件，充分条件与充要条件的判断．熟练掌握判断充分条件，必要条件和充分必要条件的原理，是解题的关键．已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A.1B.0.85C.0.7D.0.5【答案】D【解析】解：∵==，=，∴这组数据的样本中心点是（，），∵关于y与x的线性回归方程=2.1x+0.85，∴=2.1×+0.85，解得m=0.5，∴m的值为0.5．故选：D．求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值．本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．6.等比数列{a n}中，a1+a2+…+a n=2n-1，则a12+a22+…+a n2=（）A.（2n-1）2B.C.4n-1D.【答案】D【解析】解：∵a1+a2+…+a n=2n-1…①∴a1+a2+…+a n-1=2n-1-1，…②，①-②得a n=2n-1，∴a n2=22n-2，∴数列{a n2}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴=，故选：D．首先根据a1+a2+…+a n=2n-1，求出a1+a2+…+a n-1=2n-1-1，两式相减即可求出数列{a n}的关系式，然后求出数列{a n2}的递推式，最后根据等比数列求和公式进行解答．本题主要考查数列求和和求数列递推式的知识点，解答本题的关键是求出数列{a n}的通项公式，本题难度一般．7.执行如图所示的程序框图．若输出S=15，则框图中①处可以填入（）A.n＞4B.n＞8C.n＞16D.n＜16【答案】B【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S n循环前/01第一圈是12第二圈是34第三圈是78第四圈是1516，因为输出：S=15．所以判断框内可填写“n＞8”，故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加变量k的平方到S并输出S，模拟程序的执行过程，分析出进行循环的条件，可得答案．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．8.已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵z=2x+y既存在最大值，又存在最小值，∴不等式表示的平面区域为一个有界区域，可得m＜1作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（m，m），C（m，2-m）设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值；当l经过点B时，目标函数z达到最小值∴z最大值=F（1，1）=3；z最小值=F（m，m）=3m∵z的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3m，解之得m=故选：A根据题意，可得m＜1且不等式的表示的平面区域为一个有界区域．由此作出不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=1时z取得最大值3，当x=y=m时z取得最小值3m．结合题意建立关于m的方程，解之即可得到m的值．本题给出含有字母参数的二元一次不等式组，求在目标函数z=2x+y的最大值等于最小值的4倍的情况下求参数m的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．9.已知双曲线＞，＞的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且与其中一条渐近线垂直，若，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=-x，设A（m，），B（n，-），∵，∴（c-m，-）=4（n-c，-），∴c-m=4（n-c），-=-4，解之可得m=，n=，∴B（，），由FB⊥OB可得，斜率之积等于-1，即•=-1，化简可得5b2=3a2，即5（c2-a2）=3a2，解之可得5c2=8a2，即e==故选D由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=-x，设A（m，），B（n，-），由可得方程，解之可得m=，n=，可得B（，），由FB⊥OB可得，斜率之积等于-1，进而可得ab的关系式，结合双曲线abc的关系，可得离心率．本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解，属中档题．10.已知函数f（x）=3sin（2x-），则下列结论正确的是（）A.若f（x1）=f（x2）=0，则x1-x2=kπ（k∈Z）B.函数f（x）的图象与g（x）=3cos（2x+）的图象相同C.函数f（x）的图象关于（-，0）对称D.函数f（x）在区间[-π，π]上是增函数【答案】D【解析】解：∵f（x）=3sin（2x-），若f（x1）=f（x2）=0，则，，，，∴，．∴选项A错误；当x=0时，f（0）=3sin（-）=-，g（0）=3cos=．∴函数f（x）的图象与g（x）=3cos（2x+）的图象不同．∴选项B错误；∵f（）=3sin[2×（）-]=-3，∴函数f（x）的图象不关于（-，0）对称．∴选项C错误；当x∈[-π，π]时，2x-∈[，]，∴函数f（x）在区间[-π，π]上为增函数．故选：D．由f（x1）=f（x2）=0求解x1-x2的取值集合判断A；取x=0求对应的函数值否定B；直接代值验证否定C；由x的范围得到2x-的范围判断D．本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，训练了特值验证思想方法，是中档题．11.已知一个正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为3的正方形，则该正四面体的内切球的表面积为（）A.6πB.54πC.12πD.48π【答案】A【解析】解：∵正四面体的俯视图是如图所示的边长为3正方形ABCD，∴此四面体一定可以放在正方体中，∴我们可以在正方体中寻找此四面体．如图所示，四面体ABCD 满足题意，由题意可知，正方体的棱长为3，∴正四面体的边长为6，∴正四面体的高为2∴正四面体的内切球的半径为，∴正四面体的内切球的表面积为4πR2=6π故选：A．由正四面体的俯视图是边长为2的正方形，所以此四面体一定可以放在棱长为2的正方体中，求出正四面体的边长，可得正四面体的内切球的半径，即可求出正四面体的内切球的表面积．本题的考点是由三视图求几何体的表面积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的表面积公式分别求解，考查了空间想象能力．12.定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2-x；记函数g（x）=f （x）-k（x-1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A.[1，2）B.，C.，D.，【答案】C【解析】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f （x）=2-x所以f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]．由题意得f（x）=k（x-1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）所以可得k的范围为＜故选C．根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）=k （x-1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.从1，2，3，4，5，6这六个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是______ ．【答案】【解析】解：其中偶数有2，4，6；奇数有1，3，5，2数之和为偶数有两种情况，一、2数都为奇数，有=3个，二、2数都为偶数，有=3个，从6个数中任取2个有=15个，∴2个数的和为偶数的概率为=．故答案为：．利用分类计数原理计算2数之和为偶数的情况种数，再计算从6个数中任取2个数的情况种数，代入古典概型的概率公式计算．本题考查了排列、组合的应用及古典概型的概率计算，熟练掌握分类计数原理及组合数公式是解答本题的关键．14.若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足=+，则•= ______ ．【答案】【解析】解：∵等边△ABC的边长为2，∴CA=CB=2，=2×2×cos60°=2．∵=+，∴，，∴=，=．∴•==-=--=-．故答案为：-．由等边△ABC的边长为2，可得=2×2×cos60°．由=+，可得，，进而得到=，=．即可得出•=．本题考查了数量积的运算及其性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．15.已知cos（θ+）=-，θ∈（0，），则sin（2θ-）= ______ ．【答案】【解析】解：∵cos（θ+）=-，θ∈（0，），∴θ+∈（，），sin（θ+）=，∴sin2θ=-cos（2θ+）=1-2=，cos2θ=sin2（θ+）=2sin（θ+）cos（θ+）=-，sin（2θ-）=sin2θcos-cos2θsin=+=，故答案为：．由题意可得θ+∈（，），sin（θ+）=，再利用诱导公式、二倍角公式求得sin2θ=-cos（2θ+）的值、cos2θ=sin2（θ+）的值，从而求得sin（2θ-）=sin2θcos-cos2θsin的值．本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题．16.若在由正整数构成的无穷数列{a n}中，对任意的正整数n，都有a n≤a n+1，且对任意的正整数k，该数列中恰有2k-1个k，则a2014= ______ ．【答案】45【解析】解：∵对任意的正整数k，该数列中恰有2k-1个k，∴数列是1，2，2，2，3，3，3，3，3，…设a2014在第n+1组中，则1+3+5+…+（2n-1）=n2＜2014，解得：n＜45．∴a2014在第45组中，故a2014=45故答案为：45．由对任意的正整数k，该数列中恰有2k-1个k，可知数列为：1，2，2，2，3，3，3，3，3，…假设a2014在第n+1组中，由等差数列的求和公式求出前n组的和，解不等式n2＜2014，得到n值后加1得答案．本题考查数列递推式，解答的关键是对题意的理解，是中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2asin A=（2b-c）sin B+（2c-b）sin C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，b=2，求△ABC的面积．【答案】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，整理得，所以．又A∈（0，π），故．（Ⅱ）由正弦定理可知，又a=2，，，所以．又，，故或．若，则，于是；若，则，于是．【解析】（Ⅰ）△ABC中，由正弦定理得，再由余弦定理求得cos A=，A=；（Ⅱ）△ABC中，由正弦定理得到，进而得到角B，再由内角和为π得到角C，由三角形面积公式即得结论．本题主要考查正弦定理、余弦定理，以及三角形面积公式的应用，属于中档题18.某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率．【答案】解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率为1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3，∴小矩形的高为0.030，补全频率分布直方图如图：（Ⅱ）由频率频率分布直方图知前三组的频率之和为0.1+0.15+0.15=0.4，∴中位数在第四组，设中位数为70+x，则0.4+0.030×x=0.5⇒x=，∴数据的中位数为70+=，（Ⅲ）第1组有60×0.1=6人（设为1，2，3，4，5，6）第6组有60×0.05=3人（设为A，B，C）从9人中任取2人有=36种方法；其中抽取2人成绩之差的绝对值大于10的抽法是从第1组与第6组各抽取1人，抽法由=18种，∴抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率为．【解析】（I）利用所有小矩形的面积之和为1，求得分数在[70，80）内的频率，再根据小矩形求得小矩形的高，补全频率分布直方图；的高=频率组距（II）根据中位数的左、右两边的小矩形的面积之和相等，求从左数频率之和等于0.5的横坐标的值；（III）利用组合数公式计算从从第1组和第6组所有人数中任取2人的取法种数，再计算从第1组与第6组各抽取1人的取法种数，代入古典概型概率公式计算．本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数、频数，考查了古典概型的概率计算，．在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=频数样本容量19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1B=B1A=AB=BC=2，∠B1BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B1D．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）求三棱锥C-BB1D的体积．【答案】（Ⅰ）证明：取AB中点为O，连接OD，OB1．因为B1B=B1A，所以OB1⊥AB．又AB⊥B1D，OB1∩B1D=B1，所以AB⊥平面B1OD，因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD．…（3分）由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC，所以OD⊥BB1，因为AB∩BB1=B，所以OD⊥平面ABB1A1．又OD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1．…（6分）（Ⅱ）解：三棱锥C-BB1D的体积=三棱锥B1-BCD的体积由（Ⅰ）知，平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1=AB，OB1⊥AB，OB1⊂平面ABB1A1所以OB1⊥平面ABC，即OB1⊥平面BCD，B1O即点B1到平面BCD的距离，…（9分）…（11分）所以…（12分）【解析】（Ⅰ）取AB中点为O，连接OD，OB1，证明AB⊥平面B1OD，可得AB⊥OD，又OD⊥BB1，因为AB∩BB1=B，即可证明平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）证明B1O即点B1到平面BCD的距离，即可求三棱锥C-BB1D的体积．本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．Q为抛物线y2=12x的焦点，且•=0，2+=0．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过定点P（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点（M在P，N之间），设直线l的斜率为k（k＞0），在x轴上是否存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）由已知Q（3，0），F1B⊥QB，|QF1|=4c=3+c，所以c=1．…（1分）在R t△F1BQ中，F2为线段F1Q的中点，故|BF2|=2c=2，所以a=2．…（2分）于是椭圆C的标准方程为．…（4分）（Ⅱ）设l：y=kx+2（k＞0），M（x1，y1），N（x2，y2），取MN的中点为E（x0，y0）．假设存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，则AE⊥MN．⇒，＞⇒＞，又k＞0，所以＞．…（6分）因为，所以，．…（8分）因为AE⊥MN，所以，即，整理得．…（10分）因为＞时，，，，所以，．…（12分）【解析】（Ⅰ）由已知Q（3，0），F1B⊥QB，|QF1|=4c=3+c，解得c=1．在R t△F1BQ中，|BF2|=2c=2，所以a=2，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设l：y=kx+2（k＞0），M（x1，y1），N（x2，y2），取MN的中点为E（x0，y0）．假设存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，由⇒，由此利用韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查在x轴上是否存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形的确定与实数m的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.已知函数f（x）=lnx-ax+1（a＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若a=，且关于x的方程f（x）=-x+b在[1，4]上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）设各项为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+1=lna n+a n+2（n∈N*），求证：a n≤2n-1．【答案】（Ⅰ）解：函数的定义域为（0，+∞），＞，，，＞，单调递增，，∞，＜，单调递减当时，f（x）取最大值…（4分）（Ⅱ）解：，由得在[1，4]上有两个不同的实根，设，，，，x∈[1，3）时，g'（x）＞0，x∈（3，4]时，g'（x）＜0，所以g（x）max=g（3）=ln3，因为，，＜，得g（1）＜g（4）所以，…（8分）（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知当a=1时，lnx＜x-1．由已知条件a n＞0，a n+1=lna n+a n+2≤a n-1+a n+2=2a n+1，故a n+1+1≤2（a n+1），所以当n≥2时，＜，＜，…，＜，相乘得＜，又a1=1，故，即…（12分）【解析】（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设，，，求出函数的最大值，比较g（1），g（4），即可求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明a n+1+1≤2（a n+1），可得当n≥2时，＜，＜，…，＜，相乘得＜，即可证明结论．本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查数列与函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，有难度．22.选修4-1：几何证明选讲．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．证明：（1）AD•AE=AC2；（2）FG∥AC．【答案】证明：（1）∵AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AD•AE=AC2．（2）由（1）有=，∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴GF∥AC．【解析】（1）利用切线长与割线长的关系及AB=AC 进行证明．（2）利用成比例的线段证明角相等、三角形相似，得到同位角角相等，从而两直线平行．本题考查圆的切线、割线长的关系，平面的基本性质．解决这类问题的常用方法是利用成比例的线段证明角相等、三角形相似等知识．23.在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）求极点在直线l上的射影点P的极坐标；（2）若M、N分别为曲线C、直线l上的动点，求|MN|的最小值．【答案】解：（1）由直线的参数方程消去参数t得l：，则l的一个方向向量为，，设，，则，，又，则，得：，将代入直线l的参数方程得，，化为极坐标为，．（2）ρ=4cosθ⇒ρ2=4ρcosθ，由ρ2=x2+y2及x=ρcosθ得（x-2）2+y2=4，设E（2，0），则E到直线l的距离，则．【解析】（1）由直线的参数方程设设，，得向量的坐标，再利用它与l的一个方向向量垂直得到一个关于参数t的方程，解得t值，最后将P的坐标化成极坐标即可；（2）欲求|MN|的最小值，即求出圆上一点何时到直线的距离最小，先转化为圆心到直线的距离最小值求解，结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得．本题考查点的极坐标、直线的参数方程和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．24.已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=-|x+3|+m．（Ⅰ）若关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|-5≤x≤-1}，求实数m的值；（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）因为g（x）=-|x+3|+m≥0，所以|x+3|≤m，所以-m-3≤x≤m-3，由题意，所以m=2；…（5分）（Ⅱ）若f（x）＞g（x）恒成立，所以|x-2|+|x+3|＞m恒成立，因为|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5，当且仅当（x-2）（x+3）≤0时取等，所以m＜5．…．（10分）【解析】（Ⅰ）利用关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|-5≤x≤-1}，建立方程组，即可求实数m的值；（Ⅱ）若f（x）＞g（x）恒成立，所以|x-2|+|x+3|＞m恒成立，求出左边的最小值，即可求实数m的取值范围．此题主要考查绝对值不等式的应用问题，有一定的灵活性，属于中档题．。

2014年哈尔滨市南岗区三模数学试卷及答案

2014年初中升学考试调研测试（三）数学试卷参考答案与评分标准一、选择题（每小题3分，共计30分）二、（每小题3分，共计30分）三、解答题（其中21~24题各6分，25~26题各8分，27~28题各10分，共计60分） 21．(本题满分6分) 解：4 (1))1)(1(1)1)(1(11)1(1)111(2'-=-+⨯+=-+⨯+-+=-÷+-x xx x x x x x x x x x x x 因为1..................................................................3212-460cos 24'=⨯=︒-=x 所以'1..........................................................................................21311)111(2=-=-=-÷+-x x x x22．(本题满分6分) （1）图①..................................................................................................................................3'题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 CDBCABBCBA题号 11 12131415 选项21x ≥-)3)(3(-+x x x34x ≤＜40题号 1617 18 19 20选项1=x61 1或5281255ADCB（2）图②图②画对一种情况..........................................................................................3' (本题满分6分) 23. 解：(1)240÷40%=600(人)．600-180-60-240=120(人)如图………………………………………………………………………………………3'(2)8000×600180=2400(人)．答：该居民区有8000人，估计爱吃A 粽的人有2400人．………………………………3'24.(本题满分6分)解：∵∠ADB=∠CBD-∠BAD=60°-30°=30°=∠BAD ∴BD=AB=72（米）……………………………'2在Rt △BCD 中，∠DBC=60°， ∴BC=BD •cos60°=2172⨯=36 CD=BD •sin60°=2372⨯=336；………………………………'2在Rt △BCE 中，∠EBC=45°，∴CE=BC=36； ………………………………'1 塔高DE=CD ﹣EC=36336- ················································································ '1 答：塔高DE 为)36336(-米． 25.（本题满分8分）解：（1）∵E F ∥CD ∴∠EFB=∠DBF ∵弧BE=弧BE ∴∠EFB=∠BAC ···················································· '1∴∠DBF=∠BAC 又∵∠CBE=∠DBF ∴∠CBE=∠BAC ······································································································ '1∵AB 是直径 ∴∠AEB=90°EA CBAEC B∴∠ABE+∠BAC=90°∴∠ABE+∠CBE=90°∴∠ABC=90° ····································· '1∴AB CD ⊥ ∴CD 为⊙O 的切线 ········································································ '1（2）∵CD ⊥AB ，E F ∥CD ，∴EF ⊥AB 又∵AB 是直径，∴EG=FG ． ···························································································· '1 连接E O ，设OG=x ，则BG=9-x ．由勾股定理可知：22222OE OG BE BG EG -=-=，即2222)9(69x x --=-，7=x ． ················································································· 2' 因此28227922=-==EG EF ． ·········································································· '126.（本题满分8分）解：(1)设乙工程队每天完成x 米，则甲工程队每天完成2x 米.10260006000+=xx 解得x =300 ………………………… '2经检验：x =300是原方程的解 ·························································································· '12x=2×300=600 ·············································································································· '1 答：略（2）设两工程队合作施工a 天，7600)500700(700600)600300(6000≤++⨯+-a a………………………… '2∴4a ≤ ∴两工程队最多可合作施工4天………………………… '227.（本题满分10分）（1）依题意可得224(8)4(8)4040a a c a a c ⎧=⨯-+⨯-+⎪⎨=⨯+⨯+⎪⎩ 解得184a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所求抛物线的解析式为2114 (282)y x x '=--+.（2）解法一;如图1，可求D （43-，0）........................................................................................1'xyL P QDBA CO图1过点D 作DL ⊥AC ，垂足为点L.连接PC 、PQ.∵∠DAL=∠CAO ∠ALD=∠AOC=90°∴△ADL ∽△ACO ∴2034845DL AL== ∴DL=534 AL=538 ∴CL=AL ==-53853454 ∴∠DCL=45° ∴∠ACP=2∠DCL=90° ······································································· '1由△CPO ∽△ACO 可得OP=2 PC=52 ∴CQ= PC=52 ∴t=PB=OB-OP=4-2=2 ·········································································································· '1∴点Q 的运动速度为2552=······················································································· '1 解法二：如图2，可求D （43-，0）........................................................................................1'连接DQ 、PQ. 设PQ 与CD 的交点为点E则直线CD 垂直平分PQ ∴ PD=DQ ，PC=CQ ，∠PDE=∠EDQ ∴tan ∠EDQ=tan ∠PDE=3OCOD= 令DE=n ，则PE=EQ=3n ，PD=10n.过点Q 作QF ⊥x 轴于F.由△PDE ∽△PQF 得QF=3105a ，PF=9105a∴DF=9410101055a a a -= 图2 ∵tan ∠QAF=tan ∠CAO=12OC OA = ∴310152aAF = ∴AF=6105a ∴AD=64410102108553a a a +==- ∴a=103∴AQ=525FQ = ·········································································································· '1∴t=PB=BD-PD=10310344⨯-+=2 ·············································································· '1∴点Q 的运动速度为2552=······················································································· '1(3)如图3，由（2）可求 P(2，0) Q(-4，2) ∵2PN NQ NA =⨯ ∴PN NANQ PN= 又∵∠QNP=∠PNA ∴△NPQ ∽△NAP∴∠NPQ=∠NAP ........................................................................................1'∴tan ∠MPQ=tan ∠CAO=12∴12QM PM = 过点M 作直线l ∥x 轴，过点P 、Q 分别作PG ⊥l 、QH ⊥l ，垂足分别为点G 、H.∵∠QMH+∠PMG=90°,∠MPG+∠PMG=90°∴∠QMH=∠MPG 又∵∠QHM=∠PGM=90°∴△QMH ∽△MPG ∴12QH HM QM MG PG PM === ∴MG=2QH PG=2HM ........................................................................................1'设点M 的坐标为（m ，n ） ∴22(2)2(4)m n n m -=-⎧⎨=+⎩ 解得24m n =-⎧⎨=⎩∴点M 的坐标为（-2，4）........................................................................................1'211482y x x =--+ 当2x =-时，2119(2)(2)44822y =-⨯--⨯-+=≠∴点M 不在（1）中的抛物线上．........................................................................................1'图328.(本题满分10分) （1）如图1，正方形ABCD 中，AB=BC=DC, ∠BCD=90°∵BH ⊥CD ∴∠BHE=90°∴∠CBF+∠DEB=90°,又∵∠CDE+∠DEB=90° 图1∴∠CBF=∠CDE ················································································································ '1∴△CBF ≌△CDE ············································································································ 2'∴CF=CE ∵CD ∥AB ∴CE GEBC AG= ······························································································· '1 ∴CF GEAB AG= ··············································································································· '1（2） ○1当点F 在线段DC 上时（如图2）连接DQ ，连接QG 并延长交DE 于点N.由△CQF ∽△AQB 得 CF QCAB AQ= ∵CF GE AB AG = ∴GE QCAG AQ= ∴11GE QC AG AQ +=+ 即AE ACAG AQ=又∵∠QAG=∠CAE ∴△AQG ∽△ACE ∴∠AQG=∠ACE 图2∴QG ∥CE △CQG 为等腰直角三角形 ································································· '1∵BC=CD ∠BCQ=∠DCQ CQ=CQ ∴△CBQ ≌△CDQ ∴∠CBQ=∠CDQ∵∠CBQ=∠CDE ∴∠CDQ=∠CDE 又∵DG=DG ∠DGQ=∠DGN=90° ∴△DQG ≌△DNG∴QG=GN 又∵∠QHN=90°∴GH=QG ∴∠QHG=∠HQG=∠HBC∴∠CPQ=∠GHQ+∠CED =∠HBC +∠CED =90° ························································· '1 过点G 作GM ⊥GP 交CP 于点M ，设PC 与QG 的交点为O ∵∠PQG+∠POQ =∠MCG +∠COG =90° ∠POQ=∠COG ∴∠PQG=∠MCG 同理∠PGQ=∠MGC 又∵QG=CG ∴△GPQ ≌△GMC ∴PQ=CM 又∵2PM PG =O MNGQPFHD ABCE∴2PC PQ PC CM PM PG -=-== ····································································· 2'○2当点F 在线段DC 延长线上时（如图3） 2PQ PC PG -=············································································································································ '1图3（以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分）。

2014年哈尔滨市道外区三模数学试卷答案及评分标准

数学参考答案及评分标准二、填空题11.1.514×109 12.x ≠21 13.x(x+y)(x-y) 14.±3 15.4 16.6 17.10% 18.926yx - 19.27° 20.31327或三、解答题21.化简得a-2（4分） a=3+2（1分）代入求值得3（1分）22.（1）正确画出图形（3分）（2）正确画出图形（3分）23.连接OD ，证出∠ABC=∠A （1分）得到∠ABC=∠ODB （1分）∴∠A=∠ODB （1分）得到AC ∥OD （1分）∵DF ⊥AC ∴OD ⊥EF （1分） ∴EF 是⊙O 的切线（1分）24.（1）建立恰当坐标系，得到点的坐标（1分）求得抛物线解析式y=-42542+x (2分) （2）∵-42542+x =3（2分） ∴x=±25（1分）答：两盏景观灯的距离为5m.25.（1）求得B 组100人（1分）∴60+100+30+10=200（2分）答：共抽取了200名学生.（2）正确补出图形（2分）（3）300×20030=450（2分）估计每天参加体育活动时间合格的学生有450人.（1分）26.（1）设甲型饰品的生产成本为x 元，则乙型饰品的生产成本为（x-15）元. 15280400-=x x （1分） x=50（1分）经检验x=50是原方程的解（1分） x-15=35（1分）答：甲型饰品的生产成本为50元，乙型饰品的生产成本为35元.（2）设甲型饰品每天生产a 件，则乙型饰品每天生产（70-a ）件.50a+35(70-a)≥2900 解得a ≥35 (1分)20a+15(70-a)≥1225 解得a ≥35 (1分)∴a ≥35 甲型饰品每天至少生产35件（2分）答：甲型饰品每天应至少生产35件.27.（1）作CE ⊥OA ，C （3，4）（2分）（2）当Q 在CD 上时，y=2t 2-16t+30(25≤t<3)（2分）当Q在AC上时，y=-2t2+16t-30(3<t<5)(2分)（3）延长BC交OD于G，作QH⊥BG于H，作FM∥BG交AD于M.求出FQ∶QP=5∶11（2分）求出FD∶OD=5∶11（2分）28.（1）连接CD，作DE⊥PD，证出△ADE≌△CDP（1分）得出PE=2PD（1分）∴2PD+PC=AP（1分）（2）2PD-PC=AP（2分）（3）作DE⊥PD交PA的延长线于G，∠APD=45°，△CDE∽△PDC（1分）∴CD∶PD=5∶7，AC=5（1分）得出PC=4（1分）求出PB=65（2分）。

黑龙江省哈三中2014届高三第三次高考模拟考试数学理 Word版含答案

黑龙江省哈尔滨市第三中学2013-2014年高三下学期第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知全集R U =，集合}032{2>--=x x x A ，}42{<<=x x B ，那么集合 =B A C U )(（A ）}41{≤≤-x x （B ）}32{≤<x x （C ）}32{<≤x x （D ）}41{<<-x x 2. 复数1021i i i +++等于（A ）i （B ）i - （C ）i 2 （D ）i 2- 3. 已知3.02.0=a ，3log 2.0=b ，4log 2.0=c ，则（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ） a b c >> 4. 已知直线n m ,和平面α，则n m //的一个必要条件是（A ）α//m ，α//n （B ）α⊥m ，α⊥n （C ）α//m ，α⊂n （D ）n m ,与α成等角 5. 如果n x x )13(32-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是（A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-6. 在数列{}n a 中，已知1221-=+++n n a a a ，则22221na a a +++ 等于（A ）()212-n（B ）()3122-n（C ）14-n（D ）314-n7. 执行如图所示的程序框图，若输出15=S ，则框图中①处可以填入（A ）4>n （B ）8>n （C ）16>n（D ）16<n8. 已知y x z +=2，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（A ）112 （B ）41（C ）4 （D ）2119. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A , B 两点，且与其中一条渐近线垂直，若4=，则该双曲线的离心率是（A ）5 （B ）52 （C ）510（D ） 510210. 已知,31)(23m ax x x x f ++-=其中0>a ，如果存在实数,t 使0)(<'t f ，则)312()2(+'⋅+'t f t f 的值（A ）必为正数（B ）必为负数（C ）可能为零（D ）可正可负11. 已知一个正四面体纸盒的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为23的正方形，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（A ）2 （B ）1 （C ）2 （D ）312. 定义在),1(+∞上的函数)(x f 满足下列两个条件：（1）)(2)2(x f x f =成立；（2）当(]2,1∈x 时，x x f -=2)(．记函数=)(x g )1()(--x k x f ，若函数)(x g 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）[)2,1 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛2,34 （D ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,342014年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足2131+=，则=⋅ .14. 从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 . 15. 已知)2,0(,1010)4cos(πθπθ∈=+，则=-)32sin(πθ . 16. 若在由正整数构成的无穷数列}{n a 中，对任意的正整数n ，都有1+≤n n a a ，且对任意的正整数k ，该数列中恰有12-k 个k ，则2014a = .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，满足C b c B c b A a sin )32(sin )32(sin 2-+-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2=a ，32=b ，求ABC ∆的面积．18. （本小题满分12分）某花店每天以每枝10元的价格从农场购进若干支玫瑰花，并开始以每枝20元的价格出售，已知该花店的营业时间为8小时，若前7小时内所购进的玫瑰花没有售完，则花店对没卖出的玫瑰花以每枝5元的价格低价处理完毕（根据经验，1小时内完全能够把玫瑰花低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进玫瑰花）．该花店统计了100天内玫瑰花在每天的前7小时内的需求量n （单位：枝，*∈N n ）（由于某种原因需求量频数表中的部分数据被污损而无法看清），制成如下表格（注：*∈N y x ,；视频率为概率）．（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列及数学期望；（Ⅱ）若花店每天购进16枝玫瑰花所获得的平均利润比每天购进17枝玫瑰花所获得的平均利润大，求x的取值范围．19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，BC AB A B B B ===11，︒=∠901BC B ，D 为AC 的中点，D B AB 1⊥．（Ⅰ）求证：平面⊥11A ABB 平面ABC ；（Ⅱ）求直线D B 1与平面11A ACC 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角C D B B --1的余弦值．20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 12222=+by a x （0>>b a ）的左，右焦点分别为21,F F ，上顶点为B ．Q 为抛物线xy 122=的焦点，且01=⋅F ，=+1212QF F F 0．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过定点)2,0(P 的直线l 与椭圆C 交于N M ,两点（M 在N P ,之间），设直线l的斜率为k （0>k ），在x 轴上是否存在点)0,(m A ，使得以AN AM ,为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．ABD1A1B 1CA21. （本小题满分12分）已知函数x ax x x f 221ln )(2--=（0<a ）.（Ⅰ）若函数)(x f 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若21-=a ，且关于x 的方程b x x f +-=21)(在[]4,1上恰有两个不等的实根，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）设各项为正数的数列{}n a 满足11=a ，2ln 1++=+n n n a a a （*∈N n ），求证：12-≤n n a .请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. （本小题满分10分）选修4－1如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，CGE CFD ADE ,,都是⊙O 的割线，AB AC =（Ⅰ）证明：2AC AE AD =⋅；（Ⅱ）证明：AC FG //．23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-= 21 233t y t x （t 为参数）. （Ⅰ）过极点作直线l 的垂线，垂足为点P ，求点P 的极坐标；（Ⅱ）若点N M ,分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数m x x g x x f ++-=-=3)(,2)(.（Ⅰ）若关于x 的不等式0)(≥x g 的解集为}15{-≤≤-x x ，求实数m 的值；（Ⅱ）若)()(x g x f >对于任意的R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.2014年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学答案（理工类）选择题:1B 2A 3A 4D 5C 6D 7B 8B 9D 10B 11A 12D填空题:13．98- 14.2111 15.10334- 16.45 解答题:17. 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得c b c b c b a )32()32(22-+-=，整理得bc a c b 3222=-+， ………………………… 2分所以23cos =A ． ………………………… 4分又),0(π∈A ，故6π=A ． ………………………… 5分（Ⅱ）由正弦定理可知B b A a sin sin =，又2=a ，32=b ，6π=A ，所以23sin =B ． ………………………… 6分又)65,0(π∈B ，故3π=B 或32π． ………………………… 8分若3π=B ，则2π=C ，于是3221==∆ab S ABC ； ………………………… 10分若32π=B ，则6π=C ，于是3sin 21==∆C ab S ABC ． ………………………… 12分18. 解：（Ⅰ）当14=n 时，130)5()1416(1014=-⨯-+⨯=X 元， ……………… 1分当15=n 时，145)5()1516(1015=-⨯-+⨯=X 元， ……………… 2分当16=n 或17时，160=X 元， ……………… 3分所以X 的分布列为……………… 4分154)(=X E 元． ……………… 5分（Ⅱ）设花店每天购进17枝玫瑰花时，当天的利润为Y 元，则当14=n 时，125)5()1417(1014=-⨯-+⨯=Y 元，当15=n 时，140)5()1517(1015=-⨯-+⨯=Y 元，当16=n 时，155)5()1617(1016=-⨯-+⨯=Y 元，当17=n 时，1701017=⨯=Y 元， ……………… 7分所以x xx Y E 15.05.159100701701001552.01401.0125)(-=-⨯+⨯+⨯+⨯=， … 9分由于)()(Y E X E >，所以x 15.05.159154->，解得3110>x ， ……………… 10分又*∈N y x ,，所以]69,37[∈x ，*∈N x ． ……………… 12分 19. 解：（Ⅰ）取AB 中点为O ，连接OD ，1OB ．因为A B B B 11=，所以AB OB ⊥1．又D B AB 1⊥，111B D B OB = ，所以⊥AB 平面OD B 1，因为⊂OD 平面OD B 1，所以OD AB ⊥．…由已知，1BB BC ⊥，又BC OD //，所以1BB OD ⊥，因为B BB AB =1 ，所以⊥OD 平面11A ABB ．又⊂OD 平面ABC ，所以平面⊥ABC 平面11A ABB ． ……………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1,,OB OD OB 两两垂直．以O 为坐标原点，的方向为x 轴的方向，|| 为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -．由题设知)3,0,0(1B ，)0,1,0(D ，)0,0,1(-A ，)0,2,1(C ，)3,2,0(1C ．则)3,1,0(1-=B ，)0,2,2(=，)3,0,1(1-=CC ．设平面11A ACC 的法向量为m ),,(z y x =，则m 0=⋅AC ，m 01=⋅CC ，即0=+y x ，03=+-z x ，可取m )1,3,3(-=．… 6分设直线D B 1与平面11A ACC 所成角为θ，故721sin =θ． ………………………… 7分（Ⅲ）由题设知)0,0,1(B ，可取平面D BB 1的法向量n 1)1,3,3(=， ………………………… 8分平面DC B 1的法向量n 2)1,3,3(-=， ………………………… 9分故<cos n 1，n 2>71=， ………………………… 11分所以二面角C D B B --1的余弦值为71． ………………………… 12分 20. 解：（Ⅰ）由已知)0,3(Q ，QB B F ⊥1，c c QF +==34||1，所以1=c ． ……… 1分在BQ F Rt 1∆中，2F 为线段Q F 1的中点，故=||2BF 22=c ，所以2=a ．……… 2分于是椭圆C 的标准方程为13422=+y x ．…4分（Ⅱ）设2:+=kx y l （0>k ），),(),,(2211y x N y x M ，取MN 的中点为,(00y x E 假设存在点)0,(m A 使得以AN AM ,0416)34(13422222=+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=kx x k y x kx y ， 4102>⇒>∆k ，又0>k ，所以21>k ． ………………………… 6分因为3416221+-=+k k x x ，所以34820+-=k k x ，3462200+=+=k kx y ． ……… 8分因为MN AE ⊥，所以k k AE 1-=，即k m k k k 1348034622-=-+--+，整理得kk k km 3423422+-=+-=． ………………………… 10分因为21>k 时，3434≥+k k ，]123,0(341∈+kk ，所以)0,63[-∈m ． ……… 12分 21.解：（Ⅰ）函数的定义域为()+∞,0，)0(12)(2>-+-='x xx ax x f ，依题意0)(≥'x f 在0>x 时恒成立，则1)11(2122--=-≤x x x a 在0>x 时恒成立，即[])0(1)11(min 2>--≤x xa ，当1=x 时，1)11(2--x 取最小值-1，所以a 的取值范围是(]1,-∞-⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分（Ⅱ）21-=a ，由b x x f +-=21)(得0ln 23412=-+-b x x x 在[]4,1上有两个不同的实根，设[]4,1,ln 2341)(2∈+-=x x x x x gxx x x g 2)1)(2()(--='，[)2,1∈x 时，0)(<'x g ，(]4,2∈x 时，0)(>'x g22ln )2()(min -==g x g ，22ln 2)4(,45)1(-=-=g g ，0)4ln 43(412ln 243)4()1(<-=-=-g g ，得)4()1(g g <则⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈45,22ln b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分（Ⅲ）易证当0>x 且1≠x 时，1ln -<x x .由已知条件12212ln ,01+=++-≤++=>+n n n n n n n a a a a a a a ，故),1(211+≤++n n a a 所以当2≥n 时，,21101≤++<-n n a a ,211021≤++<--n n a a ⋅⋅⋅，,211012≤++<a a 相乘得,211011-≤++<n n a a 又,11=a 故n n a 21≤+，即12-≤n n a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分 22解：（Ⅰ）由切割线定理知AE AD AB ⋅=2,又AB AC =，得AE AD AC ⋅=2⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分（Ⅱ）由AE AD AC ⋅=2得CDA ∆∽ACE ∆，所以CEA ACD ∠=∠又四边形GEDF 四点共圆，所以CED CFG ∠=∠ 故ACF CFG ∠=∠,所以AC FG //⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 23解：（Ⅰ）点P 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛32,23π⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分（Ⅱ）MN 的最小值为21⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分24. 解：（Ⅰ）因为03)(≥++-=m x x g ，所以m x ≤+3，所以33-≤≤--m x m ，由题意⎩⎨⎧-=--=--1353m m ,所以2=m ； …………..5分（Ⅱ）若)()(x g x f >恒成立，所以m x x >++-32恒成立，因为5)3()2(32=+--≥++-x x x x 当且仅当)3)(2(≤+-x x 时取等，所以5<m . ………….10分。

数学_2014年黑龙江省某校高考数学三模试卷(文科)(含答案)

2014年黑龙江省某校高考数学三模试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 设复数z =(1−i)2（i 是虚数单位），则z ¯的虚部是（） A 2i B −2i C 2 D −22. 已知cosα=−13，α是第三象限角，则tanα=( )A 2√2B −2√2C √24 D −√243. 已知条件p:a <0，条件q:a 2>a ，则￢p 是￢q 的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S6S 3=9，则公比q =( )A 12B ±12C 2D ±25. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)离心率为3，直线y =2与双曲线C 的两个交点间的距离为√6，则双曲线C 的方程是（） A 2x 2−y 2=1 B x 2−y 28=1 Cx 25−y 210=1 D4x 25−y 210=16. 王明早晨在6:30∼7:00之间离开家去上学，送奶员在早上6:45∼7:15之把牛奶送到王明家，则王明离开家之前能取到牛奶的概率为（） A 18B 14C 78D 587. 如图是“二分法”解方程的流程图．在①∼④处应填写的内容分别是（）A f(a)f(m)<0；a =m ；是；否B f(b)f(m)<0；b =m ；是；否 C f(b)f(m)<0；m =b ；是；否 D f(b)f(m)<0；b =m ；否；是8. 设x ，y ∈R ，a >0，且|x|+|y|≤a ，2x +y +1最大值小于2，则实数a 的取值范围为（）A (0, 1)B (0, 12) C [12, 1) D (0, 1]9. 已知△ABC 中，BC =2，∠A =π3，则|AB →+AC →|的最大值（） A√213 B 2√213C 2√3D 4√3 10.Rt △ABC 中CA =CB =√2，M 为AB 的中点，将△ABC 沿CM 折叠，使A ，B 之间的距离为1，则三棱锥M −ABC 外接球的表面积为( ) A16π3B 4πC 3πD 7π311. 已知A ，B 是抛物线y 2=4x 上异于顶点O 的两个点，直线OA 与直线OB 的斜率之积为定值−4，△AOF ，△BOF 的面积为S 1，S 2，则S 12+S 22的最小值为（） A 8 B 6 C 4 D 212. 函数f(x)={2x 3+3x 2，x ≤0axex，x >0在[−2, 2]上的最大值为1，则实数a 的取值范围是（） A [0, +∞) B [0, e] C (−∞, 0] D (−∞, e]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13. 过点P(3, 4)作抛物线x 2=2y 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的斜率为________．14. 某几何体的三视图如图所示(x =1)，则该几何体的体积为________．15. 利用回归分析的方法研究两个具有线性相关关系的变量时，下列说法正确的是：________①相关系数r 满足|r|≤1，而且|r|越接近1，变量间的相关程度越大，|r|越接近0，变量间的相关程度越小；②可以用R 2来刻画回归效果，对于已获取的样本数据，R 2越小，模型的拟合效果越好； ③如果残差点比较均匀地落在含有x 轴的水平的带状区域内，那么选用的模型比较合适；这样的带状区域越窄，回归方程的预报精度越高；④不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值． 16. 数列{a n }的通项为a n =(−1)n (2n −1)⋅cosnπ2+1前n 项和为S n ，则S 60=________．三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知向量n →=(√3sin x4, −1)，n →=(cos x4, cos 2x4)，记f(x)=m →⋅n →，（1）求f(x)的值域和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a−c)cosB=bcosC，若f(A)=−12，a=2，求△ABC的面积．18. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF // DE，DE=2AF，BE与平面ABCD所成角的正切值为√22．（1）求证：直线AC // 平面EFB；（2）求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．19. 某校随机抽取某次高三数学模拟考试甲、乙两班各10名同学的客观题成绩，统计后获得成绩数据的茎叶图（以十位数字为茎，个位数字为叶），如图所示：（1）分别计算两组数据的平均数，并比较哪个班级的客观题平均成绩更好；（2）从这两组数据中分别抽取一个数据，求其中至少有一个是满分的概率；（3）规定：客观题成绩不低于55分为“优秀客观卷”，从甲班的十个数据中任意抽取两个，求两个都是“优秀客观卷”的概率．20. 已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C方程为x2a2+y2b2=1，椭圆上的点到焦点距离最大值为3，离心率e=12．（1）求椭圆C的方程；（2）A，B为椭圆上的点，△AOB面积为√3，求证：|OA|2+|OB|2为定值．21. 已知f(x)=axe kx−1，g(x)=lnx+kx．（1）求g(x)的单调区间；（2）当k=1时，f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做题时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22. 如图，假设两圆O1和O2交于A、B，⊙O1的弦BC交⊙O2于E，⊙O2的弦BD交⊙O1于F，证明：（1）若∠DBA =∠CBA ，则DF =CE ；（2）若DF =CE ，则∠DBA =∠CBA ．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 已知直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2+t （t 为参数），在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C 的极坐标方程分别为ρ2=4√2ρsin(θ−π4)−6 （1）求直线l 与圆C 的直角坐标方程；（2）设A(−1, 2)，P ，Q 为直线l 与圆C 的两个交点，求|PA|+|AQ|．【选修4-5：不等式选讲】 24. 设函数f(x)=|x −a|．（1）当a =2时，解不等式f(x)≥4−|x −1|；（2）若f(x)≤1的解集为{x|0≤x ≤2}，1m +12n =a(m >0, n >0)．求证：m +2n ≥4．2014年黑龙江省某校高考数学三模试卷（文科）答案1. C2. A3. B4. C5. B6. A7. B8. B9. C 10. D 11. D 12. D 13. 3 14. 1615. ①③④ 16. 12017. 解：（1）由题意可得f(x)=m →⋅n →=√3sin x4cos x4−cos 2x4=√32sin x 2−1+cos x22=sin(x2−π6)−12，故函数的值域为[−32, 12]．令 2kπ−π2≤x 2−π6≤2kπ+π2，k ∈z ，求得 4kπ−2π3≤x ≤4kπ+4π3，k ∈z ，故函数的单调递增区间为[4kπ−2π3, 4kπ+4π3]，k ∈z ．（2）在△ABC 中，∵ (2a −c)cosB =bcosC ，由正弦定理可得 2sinAcosB −sinCcosB =sinBcosC ，即 2sinAcosB =sinA ，∴ cosB =12，B =π3．∵ f(A)=sin(A 2−π6)−12=−12，∴ sin(A 2−π6)=0，∴ A 2−π6=0，∴ A =π3，∴ C =π−A −B =π3，∴ A =B =C ，∴ △ABC 为等边三角形，再根据a =2，可得△ABC 的面积S =12×2×2sin π3=√3． 18. （1）证明：设AC ，BD 交于O ，取EB 中点M ，连结FM ，MO ，在△BDE 中，OM = // 12DE ，FA = // 12DE ，∴ OM = // FA ，∴ 四边形FAOM 是平行四边形，∴ FG // AO ，又AO 不包含平面EFB ，FG ⊂平面EFB ， ∴ 直线AC // 平面EFB ．（2）解：∵ ED ⊥平面ABCD ， ∴ BD 是BE 在面ABCD 上的射影，∴ ∠EBD 是直线BE 与平面BCD 所成的角，tan∠EBD =EDBD =ED 2√2=√22，解得ED =2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意知A(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)， B(2, 2, 0)，E(0, 0, 2)，∴ AC →=(−2,2,0)，AB →=(0,2,0)，AE →=(−2,0,2)，设平面ABE 的法向量n →=(x,y,z)，则{n →⋅AE →=−2x +2z =0˙，取x =1，得n →=(1,0,1)，设直线AC 与平面ABE 所成角为θ， sinθ=|cos <AC →，n →>|=√8×√2=12． ∴ 直线AC 与平面ABE 所成角的正弦值为12．19. 解：（1）甲、乙两组数据的平均数分别为51.5，49，甲班的客观题平均成绩更好．（2）设从甲班数据中取1个数据，至少有1个满分为事件A ，从乙班数据中取1个数据，至少有1个满分为事件B ，则P(A)=210=15，P(B)=110，则从这两组数据中分别抽取一个数据，至少有一个是满分的概率是P(AB)=15⋅110=150．（3）设从甲班数据中任取2个数据，两个都是优秀客观卷为事件C甲班10个数据中任意抽取两个有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45种情况甲班10个数据中任意抽取两个都是优秀客观卷有5+4+3+2+1=15种情况则P(C)=1545=13． 20. 解：（1）由题意可得{a +c =3c a=12，解得{a =2c =1， ∴ b 2=3，∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，①当直线AB 斜率不存在时，S △AOB =√3=|x 1y 1|⇒x 12y 12=3⇒y 123=1x 12，代入x 124+y 123=1，得x 12=2，则y 12=32，∴ |OA|2+|OB|2=x 12+y 12+x 22+y 22=2(x 12+y 12)=7； ②当直线AB 斜率存在时，设直线AB:y =kx +m ，与x 24+y 23=1联立得，(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0，△=48(4k 2−m 2+3)>0，由韦达定理得，{x 1+x 2=−8km4k 2+3x 1x 2=4m 2−124k 2+3，原点O 到直线AB 的距离d =√1+k 2，|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(−8km 4k 2+3)2−4⋅4m 2−124k 2+3=4k 2+3˙，则S △AOB =√3=12√1+k 2|x 1−x 2|√1+k2，代入整理得14=(4k 2+3)−m 2(4k 2+3)2⋅m 2，化简得2m 2=3+4k 2，∴ |OA|2+|OB|2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+(3−34x 12)+x 22+(3−34x 22)=14(x 12+x 22)+6=14[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+6=14[(−8km 4k 2+3)2−2⋅4m 2−124k 2+3]+6 =2⋅4k 2m 2−3m 2+12k 2+9(4k 2+3)2+6=2⋅(4k 2−3)m 2+12k 2+9(4k 2+3)2+6=2⋅(4k 2−3)⋅4k 2+32+12k 2+9(4k 2+3)2+6=7．综上，|OA|2+|OB|2=7（定值）． 21. 解：（1）∵ g(x)=lnx +kx ， ∴ g′(x)=1x +k…当k ≥0时，g ′(x)>0在(0, +∞)恒成立，则 (0, +∞)是g(x)的增区间 … 当k <0时，由g′(x)>0⇒1x >−k ⇒0<x <−1k ，则 (0,−1k )是g(x)的单调递增区间；由g′(x)<0⇒1x<−k ⇒x >−1k，则(−1k，+∞)是g(x)的单调递减区间 …（2）若f(x)≥g(x)恒成立，即axe x −1≥lnx +x ，则a ≥lnx+x+1xe x恒成立 …设ℎ(x)=lnx+x+1xe x，ℎ′(x)=(1+x)e x −(xe x +e x )(lnx+x+1)(xe x )2=(1+x)e x (−lnx−x)(xe x )2…令ℎ′(x)>0，则−lnx −x >0，令u(x)=−lnx −x ，则u′(x)=−1x −1<0，即u(x)=−lnx −x 在(0, +∞)为减函数，且u(1)=−1<0，u(1e)=1−1e>0，故∃t ∈(0, 1)使u(t)=−lnt −t =0，…8分∴ 当x ∈(0, t)时，u(x)>0，即ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, t)上递增，当x ∈(t, +∞)时，u(x)<0，即ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(t, +∞)上递减， ∴ 当x =t 时，ℎ(x)取最大值ℎ(t)=lnt+t+1te t=1te t =1t⋅1t=1，…10分∴ a ≥1...12分22. 证明：连接AC ，AD ，AE ，AF ，则∵ ADEB 是圆内接四边形， ∴ ∠AEC =∠D ，同理∠C =∠AFD ，从而∠DAF =∠CAF(1)∵ ∠DBA =∠CBA ， ∴ AD =AE ，AF =AC ， ∴ △ADF ≅△AEC ， ∴ DF =CE ；（2）∵ DF =CE ， ∴ △ADF ≅△AEC ， ∴ AD =AE ，∴ ∠DBA =∠CBA ．23. 解：（1）直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2+t （t 为参数），消去t 可得x −y +3=0；圆C 的极坐标方程分别为ρ2=4√2ρsin(θ−π4)−6=4ρsinθ−4ρcosθ−6，∴ x 2+y 2=4y −4x −6，即(x +2)2+(y −2)2=2；（2）易知A 在直线l 上，|PA|+|AQ|=|PQ| 圆心C 到直线l 的距离d =√2=√2，圆C 半径R =√2，∴ (12|PQ|)2+d 2=R 2，解得|PQ|=√6…24. （1）解：当a =2时，不等式f(x)≥4−|x −1|即为|x −2|≥4−|x −1|， ①当x ≤1时，原不等式化为2−x ≥4+(x −1)，得x ≤−12，故x ≤−12；②当1<x <2时，原不等式化为2−x ≥4−(x −1)，得2≥5，故1<x <2不是原不等式的解； ③当x ≥2时，原不等式化为x −2≥4−(x −1)，得x ≥72，故x ≥72．综合①②③知，原不等式的解集为(−∞,−12]∪[72,+∞)．（2）证明：由f(x)≤1得|x −a|≤1，从而−1+a ≤x ≤1+a ．∵ f(x)≤1的解集为{x|0≤x ≤2}， ∴ {−1+a =0，1+a =2，得a =1，∴ 1m +12n =a =1．又m >0，n >0， ∴ m +2n =(m +2n)(1m +12n)=2+(2n m +m 2n) ≥2+2√2nm ⋅m2n =4，当且仅当2n m=m 2n，即m =2n ，等号成立．此时，联立1m +12n =1，得{m =2，n =1，则m +2n =4，故m +2n ≥4，得证．。

数学_2014年黑龙江省某校高考数学得分训练试卷(三)(文科)(含答案)

2014年黑龙江省某校高考数学得分训练试卷（三）（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数z =2i −1+2i的共轭复数的虚部为（）A 25B −25C 25i D −25i2. 已知{a n }是以1为首项的等比数列，若a 7⋅a 11=100，则a 9的值是（） A −10 B 10 C ±10 D 不确定3. 设a ＝40.1，b ＝log 30.1，c ＝0.50.1，则（）A a >b >cB b >a >cC a >c >bD b >c >a 4. 若a >b >0，集合M ={x|b <x <a+b 2}，N ={x|√ab <x <a}，则集合M ∩N 等于（）A {x|b <x <√ab}B {x|b <x <a}C {x|√ab <x <a+b 2} D {x|a+b 2<x <a}5. 下列命题正确的个数是（）①“在△ABC 中，若sinA >sinB ，则A >B”的逆命题是真命题；②命题p:x ≠2或y ≠3，命题q:x +y ≠5，则p 是q 的必要不充分条件； ③回归分析中，回归方程可以是非线性方程； ④函数y =tanx 的对称中心是(kπ, 0)；⑤“∀x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 3−x 2+1>0”． A 1 B 2 C 3 D 46. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是弧AB 的三等分点，M 、N 是线段AB 的三等分点，若OA =6，则MD →⋅NC →的值是（）A 2B 5C 26D 297. 已知函数f(x)=x −√x −1，g(x)=x +2x ，ℎ(x)=x +lnx ，零点分别为x 1，x 2，x 3，则（）A x 1<x 2<x 3B x 2<x 1<x 3C x 3<x 1<x 2D x 2<x 3<x 18. 假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（） A 425 B 825 C 1625 D 24259. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A 2+1+√52π B 2+1+2√52π C 2+(1+√5)π D 2+2+√52π10. 动点P 在函数y =sin2x 的图象上移动，动点Q(x, y)满足PQ →=(π8, 0)，则动点Q 的轨迹方程为（）A y =sin(2x +π8) B y =sin(2x −π8) C y =sin(2x +π4) D y =sin(2x −π4)11. 已知直线l 与双曲线C 于A ，B 两点（A ，B 在同一支上），F 1，F 2为双曲线的两个焦点，则F 1，F 2在（）A 以A ，B 为焦点的椭圆上或线段AB 的垂直平分线上 B 以A ，B 为焦点的双曲线上或线段AB 的垂直平分线上C 以AB 为直径的圆上或线段AB 的垂直平分线上D 以上说法均不正确12. 已知函数f(x)=a(x −1x )−2lnx(a ∈R)，g(x)=−ax ，若至少存在一个x 0∈[1, e]，使得f(x 0)>g(x 0)成立，则实数a 的范围为（） A [1, +∞) B (1, +∞) C [0, +∞) D (0, +∞)二、填空题：本大题共4个小题，每小题0分，共20分．把答案填在答题卡相应的位置． 13. 已知实数x ，y 满足{y ≤xx +ay ≤4y ≥1，若z =3x +y 的最大值为16，则a =________．14. 执行如图的程序框图，输出i 的值为________．15. 已知实数a >0且a ≠1，函数f(x)={a x ，x <3ax +b,x ≥3，若数列{a n }满足a n=f(n)(n ∈N ∗)，且{a n }是等差数列，则a =________，b =________．16.已知点E ，F 分别是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AA 1的中点，点M ，N 分别是线段D 1E 与C 1F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有________条．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答题需写出文字说明、证明过程和演算步骤．17. 已知函数f(x)=sinx ⋅cos(x −π6)+cos 2x −12（1）求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值x 时的取值集合；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f(A)=12，b +c =3．求a 的最小值．18. 通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意单位：名（1）从这50名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，闷样本中浦意与不满意的女游客各有多少名？（2）从（1）中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的女游客各一名的概率；(III 》很招以上列联表，问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关．19. 如图，在直三棱柱ABC −A′B′C′中，平面A′BC ⊥侧面A′ABB′．（1）求证：AB ⊥BC ；（2）设点M 是线段A′C′中点，点N 是线段A′C 中点，若AB =BC =AA′=2，求四棱锥C −MNBB′的体积．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x −y +√6=0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设P(4, 0)，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；(3)在(2)的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM →⋅ON →的取值范围．21. 已知函数f(x)=lnx +x 22−kx ，其中常数k ∈R ．（1）求f(x)的单调增区间与单调减区间；（2）若f(x)存在极值且有唯一零点x 0，求k 的取值范围及不超过x0k 的最大整数m ．请考生在第22题、23题、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑．（本小题满分10分）【选修4--1：几何证明选讲】22. 已知，在△ABC 中，D 是AB 上一点，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB =2BE ．（1）求证：BC =2BD ；（2）若CD 平分∠ACB ，且AC =2，EC =1，求BD 的长．【选修4--4：坐标系与参数方程】23. 在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为{x =√2+t y =t （t 为参数），圆C 的极坐标方程是ρ=1．(1)求直线l 与圆C 的公共点个数；(2)在平面直角坐标系中，圆C 经过伸缩变换{x′=xy′=2y 得到曲线C′，设M(x, y)为曲线C′上一点，求4x 2+xy +y 2的最大值，并求相应点M 的坐标．【选修4--5：不等式选讲】 24. 已知函数f(x)=|x −1|．（1）解不等式f(x −1)+f(1−x)≤2；（2）若a <0，求证：f(ax)−af(x)≥f(a)．2014年黑龙江省某校高考数学得分训练试卷（三）（文科）答案1. A2. B3. C4. C5. C6. C7. D8. C9. A 10. D 11. B 12. D 13. 0 14. 5 15. 2,0 16. 117. 解：（1）解：f(x)=sinx(√32cosx +12sinx)+cos 2x −12 =√32sinxcosx +12cos 2x =12(√32sin2x +12cos2x)+14 =12sin(2x +π6)+14∴ 函数f(x)的最大值为34．当f(x)取最大值时12sin(2x +π6)=1，∴ 2x +π6=2kπ+π2(k ∈Z)，解得x =kπ+π6(k ∈Z)，．故x 的取值集合为{x|x =x =kπ+π6, k ∈Z}．（2）由题意f(A)=12sin(2A +π6)+14=12，化简得 sin(2A +π6)=12 ∵ A ∈(0, π)， ∴ π6<2A +π6<13π6，∴ 2A +π6=5π6，∴ A =π3；在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2=b 2+c 2−2bccos π3=(b +c)2−3bc ， ∵ b +c =3． ∴ bc ≤(b+c 2)2=94，∴ a 2≥94，当且仅当b =c =32时取最小值32．18. 解：（1）根据分层抽样可得，样本中满意的女游客有550×30=3名，样本中不满意的女游客有550×20=2名；（2）记样本中对景区的服务满意的3名女游客编号为1，2，3，对景区的服务不满意的2名游客编号为4，5，从这5名游客中随机选取两名，共有10个等可能事件为(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, 5)，(2, 3)，(2, 4)，(2, 5)，(3, 4)，(3, 5)，(4, 5)其中事件A“选到满意与不满意的女游客各一名”包含6个基本事件：(1, 4)，(1, 5)，(2, 4)，(2, 5)，(3, 4)，(3, 5)所以所求的概率为P(A)=610=35；（3）由列联表可得K2=110×(50×20−30×10)280×30×60×50=53972≈7.486∵ P(K2>6.635)=0.010∴ 有99%的把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关．19. （1）证明：如图，作A在A′B上的射影D．∵ 平面ABC⊥侧面A′ABB′，且平面A′BC∩侧面A′ABB′=A′B，∴ AD⊥平面A′BC．∵ BC⊂平面A′BC，∴ AD⊥BC，∵ 三棱柱ABC−A′B′C′是直三棱柱，∴ AA′⊥底面ABC，∴ AA′⊥BC．又AA′∩AD=A，∴ BC⊥侧面A′ABB′，AB⊂侧面A′ABB′，故AB⊥BC．（2）解：延长MN交AC于点G，MN为△AC′C的中位线．∴ MN // CC′，∵ CC′⊥面ABC，∴ MN⊥面ABC，∵ AC⊂面ABC，∴ MN⊥AC，∵ AB=BC，G为中点，∴ BG⊥AC．∵ BG∩MN=G，∴ AC⊥面BGN，即CG为四棱锥C−MNBB′的高．∵ CG=12AC=12√22+22=√2，∴ S梯形MNBB′=12×(1+2)×√2=32√2，V四棱锥C−MNBB′=13×32√2×√2=1．20. (1)解：由题意知e=ca =12，所以e2=c2a2=a2−b2a2=14,即a2=43b2．又因为b=√6√1+1=√3，所以a 2=4，b 2=3．故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)证明：由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y =k(x −4)．由{y =k(x −4)，x 24+y 23=1，得(4k 2+3)x 2−32k 2x +64k 2−12=0．① 设点B(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)，则A(x 1, −y 1)．直线AE 的方程为y −y 2=y 2+y 1x 2−x 1(x −x 2)．令y =0，得x =x 2−y 2(x 2−x 1)y 2+y 1．将y 1=k(x 1−4)，y 2=k(x 2−4)代入，整理，得x =2x 1x 2−4(x 1+x 2)x 1+x 2−8．②由①得x 1+x 2=32k 24k 2+3，x 1x 2=64k 2−124k 2+3代入②，整理，得x =1．所以直线AE 与x 轴相交于定点Q(1, 0)． (3)解：当过点Q 的直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =m(x −1)，且M(x M , y M )，N(x N , y N )在椭圆C 上．由{y =m(x −1)，x 24+y 23=1，得(4m 2+3)x 2−8m 2x +4m 2−12=0，易知Δ>0．所以x M +x N =8m 24m 2+3，x M x N =4m 2−124m 2+3，y M y N =−9m 24m 2+3，则OM →⋅ON →=x M x N +y M y N =−5m 2+124m 2+3=−54−334(4m 2+3)．因为m 2≥0，所以−114≤−334(4m 2+3)<0，所以OM →⋅ON →∈[−4,−54)．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为x =1，解得M(1,−32)，N(1, 32)或M(1, 32)，N(1, −32)，此时OM →⋅ON →=−54．所以OM →⋅ON →的取值范围是[−4,−54]．21. 解：（1）f′(x)=1x +x −k =x 2−kx+1x (x >0)①当k ≤2时，f′(x)=1x+x −k ≥2√1x⋅x −k =2−k ≥0，则函数f(x)为增函数．②当k >2时，f′(x)=(x−x 1)(x−x 2)x，其中0<x 1=k−√k 2−42<x 2=k+√k 2−42x ，f′(x)，f(x)的取值变化情况如下表：综合①②知当k ≤2时，f(x)的增区间为(0, +∞)，无减区间；当k >2时，f(x)的增区间为(0,k−√k 2−42)与(k+√k 2−42，+∞)，减区间为(k−√k 2−42，k+√k 2−42)．（2）由（1）知当k ≤2时，f(x)无极值，当k >2时，0<x 1=k−√k 2−42=k+√k 2−4<1知f(x)的极大值f(x 1)=lnx 1+x 1(x12−k)<0，f(x)的极小值f(x 2)<f(x 1)<0，故f(x)在(0, x 2)上无零点． f(2k)=ln(2k)+4k 22−2k 2=ln(2k)>0，又1<x 2=k+√k 2−42<k ，故函数f(x)有唯一零点x 0，且x 0∈(x 2, 2k)．又f(k)=lnk +k 22−k 2=lnk −k 22，记g(k)=lnk −k 22(k >2)，g′(x)=1k −k =1−k 2k<0，则g(k)<g(2)=ln2−222=ln2−2<0，从而f(k)<0，k <x 0<2k ，1<x 0k <2，故k 的取值范围是(2, +∞)且不超过x0k的最大整数m =1．22. （1）证明：连接DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形，所以∠BDE =∠BCA ，又∠DBE =∠CBA ，所以△DBE ∽△CBA ，即有BEAB =BD BC，又AB =2BE ，所以BC =2BD …（2）由(1)△DBE∽△CBA，知BEAB =EDAC，又AB=2BE，∴ AC=2DE，∵ AC=2，∴ DE=1，而CD是∠ACB的平分线，∴ DA=1，设BD=x，根据割线定理得BD⋅BA=BE⋅BC即x(x+1)=12(x+1)[12(x+1)+1]，解得x=1，即BD=1．…23. 解：(I)直线l的参数方程{x=√2+ty=t（t为参数）化为普通方程是x−y−√2=0，圆C的极坐标方程ρ=1化为普通方程是x2+y2=1；∵ 圆心(0, 0)到直线l的距离为d=√2|√12+(−1)2=1，等于圆的半径r，∴ 直线l与圆C的公共点的个数是1；(II)圆C的参数方程是{x=cosθy=sinθ，(0≤θ<2π)；∴ 曲线C′的参数方程是{x=cosθy=2sinθ，(0≤θ<2π)；∴ 4x2+xy+y2=4cos2θ+cosθ⋅2sinθ+4sin2θ=4+sin2θ；当θ=π4或θ=5π4时，4x2+xy+y2取得最大值5，此时M的坐标为(√22, √2)或(−√22, −√2)．24. 选修4−5：不等式选讲（1）∵ f(x−1)+f(1−x)=|x−2|+|x|．因此只须解不等式|x−2|+|x|≤2．当x≤0时，原不式等价于2−x−x≤2，即x=0．当0<x<2时，原不式等价于2≤2，即0<x<2．当x≥2时，原不式等价于x−2+x≤2，即x=2．综上，原不等式的解集为{x|0≤x≤2}．…（2）∵ f(ax)−af(x)=|ax−1|−a|x−1|，又a<0时，|ax−1|−a|x−1|=|ax−1|+|−ax+a|≥|ax−1−ax+a|=|a−1|= f(a)，∴ a<0时，f(ax)−af(x)≥f(a)．…。

黑龙江省哈尔滨市第三中学高三数学第一次模拟考试试题

黑龙江省哈尔滨市第三中学2014届高三数学第一次模拟考试试题文（扫描版）2014年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试答案数学（文史类）一、选择题1.B2.B3.B4.C5.A6.B7.C8.C9.D 10.D 11.A 12.A 二、填空题 13.n n 14. 71615. 6 16. 66(2,)(,2)22--U三、解答题17.解：（I ）112,2n n a a a +-==，所以数列{}n a 为等差数列，则2(1)22n a n n =+-=；-----------------------------------------------3分11482,16b a b a ====，所以3418,2b q q b ===，则2nn b =；-------------------------------------------------------------------6分（II ）12n n n n c a b n +==，则23411222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++L345221222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++L两式相减得2341212223222n n n T n ++-=⋅+⋅+⋅++-L ----------9分整理得2(1)24n n T n +=-+.-----------------------------------------------12分18.解：（Ⅰ）因为第四组的人数为60，所以总人数为：560300⨯=，由直方图可知，第五组人数为:0.02530030⨯⨯=人，又6030152-=为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人……………………….6分（Ⅱ）第四组中抽取人数：660490⨯=人，第五组中抽取人数：630290⨯=人，所以95分以上的共2人.设第四组抽取的四人为1234,,,A A A A ，第五组抽取的2人为12,B B ，这六人分成两组有两种情况，情况一：12,B B 在同一小组有4种可能结果，情况二：12,B B 不在同一小组有6种可能结果，总共10种可能结果，所以两人在一组的概率为42105= ……………………….12分19.（I ）ΘPD PA =，Q 为AD 的中点，AD PQ ⊥∴，又Θ底面ABCD 为菱形， ︒=∠60BAD ，AD BQ ⊥∴ ,又Q BQ PQ =I ∴⊥AD 平面PQB ，又 Θ⊂AD 平面PAD ,∴平面⊥PQB 平面PAD ;----------------------------6分（II ）Θ平面⊥PAD 平面ABCD ,平面I PAD 平面AD ABCD =,AD PQ ⊥⊥∴PQ 平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ,⊥∴PQ BC ,又BQ BC ⊥,Q QP QB =I ,∴⊥BC 平面PQB ,又MC PM 2=， ∴32232332131=⋅⋅⋅⋅⋅==--PQB M QBM P V V ---------------------------12分20. 解：（I ）因为点()2,1A 在抛物线px y C 2:2=()0>p 上，所以p 24=，有2=p ，那么抛物线BACDP Q 频率组距O成绩0.020.04 0.06 75 80 85 90 95 1000.08 0.01 0.03 0.05 0.07x y C 4:2=---------------------------------------2分若直线l 的斜率不存在，直线l :5=x ，此时()()()2,1,52,5,52,5A Q P -()()0522,4522,4=+-⋅--=⋅QA PA ---------------------------------------------3分若直线l 的斜率存在，设直线l :()()0,25≠--=k x k y ，点()11,y x P ，()22,y x Q⎩⎨⎧--==2)5(42x k y xy ，有()()⎪⎩⎪⎨⎧>++=∆+-==+⇒=+--0251616820,40254421212k k k k y y k y y k y ky ，---------------------5分()()()()()()()024164212416412412,12,12121222121221212122212221212121212211=++-++-+-=++-+++-=++-+++-=--⋅--=⋅y y y y y y y y y y y y y y yy y y y y y y x x x x y x y x QA PA 那么，QAPA ⋅为定值.--------------------------------------------------------------------------7分（II ）若直线l 的斜率不存在，直线l :5=x ，此时()()()2,1,52,5,52,5A Q P -2165845421≠=⨯⨯=∆APQ S 若直线l 的斜率存在时，()()221221y y x x PQ -+-=()22221221216328011411k k k k y y y y k++⋅+=-+⋅+=-------------------9分点()2,1A 到直线l:()25--=x k y 的距离2114kk h ++=------------------------------10分()()4221125821k k k k h PQ S APQ+++=⋅⋅=∆，--------------------------------------11分满足：()()21611258422=+++k k k k有12321--=k 或12321---=k ---------------------------------------------12分21.（Ⅰ）当1a =时，函数2()3ln f x x x x =-+，则2231(21)(1)()x x x x f x x x-+--'==. ()0f x '=得：121,12x x == 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x1(0,)2121(,1)21(1,)+∞)('x f +0 －0 + )(x f极大极小因此，当12x =时，()f x 有极大值，并且5()ln 24f x =--极大值；当1x =时，()f x 有极小值，并且()2f x =-极小值.--------------------------4分（Ⅱ）由()1xg x e x =--，则()1xg x e '=-，解()0g x '>得0x >；解()0g x '<得0x <所有()g x 在(,0)-∞是减函数，在(0,)+∞是增函数，即()=(0)0g x g =最小值对于任意的12(0,),x x R ∈+∞∈，不等式12()()f x g x ≤恒成立，则有1()(0)f x g ≤即可.即不等式()0f x ≤对于任意的(0,)x ∈+∞恒成立.-------------------------------6分 22(21)1()ax a x f x x-++'= （1）当0a =时，1()x f x x-'=，解()0f x '>得01x <<；解()0f x '<得1x > 所以()f x 在(0,1)是增函数，在(1,)+∞是减函数，()(1)10f x f ==-<最大值，所以0a =符合题意.（2）当0a <时，(21)(1)()ax x f x x--'=，解()0f x '>得01x <<；解()0f x '<得1x >所以()f x 在(0,1)是增函数，在(1,)+∞是减函数，()(1)10f x f a ==--≤最大值，得10a -≤<，所以10a -≤<符合题意.（3）当0a >时，(21)(1)()ax x f x x --'=，()0f x '=得121,12x x a==12a >时，101x <<，解()0f x '>得102x a <<或1x >；解()0f x '<得112x a << 所以()f x 在(1,)+∞是增函数，而当x →+∞时，()f x →+∞，这与对于任意的(0,)x ∈+∞时()0f x ≤矛盾同理102a <≤时也不成立. 综上所述，a 的取值范围为[1,0]-.---------------------------------------------12分22. （Ⅰ）连接BD ，则ABD AGD ∠=∠，90︒∠+∠=ABD DAB ，90︒∠+∠=C CAB 所以∠=∠C AGD ，所以180︒∠+∠=C DGE ，所以,,,C E G D 四点共圆.………………………………..5分（Ⅱ）因为2⋅=EG EA EB ，则2=EB ，又F 为EB 三等分，所以23=EF ，43=FB ，又因为2FB FC FE FD FG =⋅=⋅，所以83=FC ，2=CE …………………….10分23.（I ）直线l 的普通方程为：0333=+-y x ；曲线的直角坐标方程为1)2(22=+-y x -------------------------------4分（II ）设点)sin ,cos 2(θθ+P )(R ∈θ，则 2|35)6cos(2|2|33sin )cos 2(3|++=+-+=πθθθd 所以d 的取值范围是]2235,2235[+-.--------------------------------10分 24. （I ）不等式的解集是),3[]3,(+∞--∞Y -------------------------------5分（II ）要证)()(a b f a ab f >，只需证|||1|a b ab ->-，只需证22)()1(a b ab ->-而0)1)(1(1)()1(22222222>--=+--=---b a b a b a a b ab ，从而原不等式成立.-------------------------------------------10分。

哈尔滨市第三中学高三数学第三次模拟考试试卷文【会员独享】

哈尔滨市第三中学2011年第三次高考模拟试题数学试题（文）注意事项：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

参考公式：球的表面积公式 24R S π=球的体积公式 343V R π=第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．已知复数12122,2,,z m i z i z z =+=+若为纯虚数，则实数m 的值为（）A ．1B ．-1C ．4D ．-42．命题：“2,cos2cos x R x x ∀∈≤”的否定为（）A ．2,cos2cos x R x x ∀∈> B ．2,cos2cos x R x x ∃∈>C ．2,cos2cos x R x x ∀∈<D ．2,cos2cos x R x x ∃∈≤3．已知数列{}n a 为等差数列，n S 其前n 项和，且24936,a a S =-则等于（） A ．25 B ．27 C ．50D ．544．根据下面频率分布直方图估计样本数据的中位数，众数分别为（） A ．12.5，12.5 B ．13，12.5 C ．12.5，13 D ．14，12.55．已知函数24()2,()log ,()log x f x x g x x x h x x x =+=+=+的零点依次为a ，b ，c ，则（） A ．a<b<cB ．c<b<aC ．a<c<bD ．b<a<c6．已知M 是曲线21ln 1(1)2y x x a x =++-上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均不小于4π的锐角，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．[)4,+∞C ．(],2-∞D ．(],4-∞7．已知cos 251,tan 2tan 2sin()4a a aa π=++则的值为（） A ．-8 B ．8C ．18-D ．188．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（） A ．8π+ B ．283π+C ．12π+D ．2123π+9．如图所示程序框图，若输出的结果y 的值为1，则输入的 x 的值的集合为（） A ．{3} B ．{2，3} C ．{1,32}D ．1{,2,3}210．已知数列21{}(2,)n n n n a a a a n n N --⋅=>∈满足，且122,3a a ==，则2011a =（）A ．13B ．23C ．2D ．311．函数32231(0)()(0)x x x x f x aex ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩在[-2，2]上的最大值为2，则a 的范围是（）A ．22,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．22[0,]e C ．(],0-∞D ．22,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．已知动点P 在直线220x y +-=上，动点Q 在直线240x y ++=上，线段PQ 中点00(,)M x y 满足不等式0000232x y y x ⎧≤+⎪⎨⎪≤-+⎩，则2200x y +的取值范围是（） A ．5,345⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,345⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,105⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[10，34]第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上。

哈三中2014高一数学文科下学期期末试卷有答案

合用优选文件资料分享哈三中 2014 高一数学文科下学期期末试卷（有答案）哈三中2014 高一数学文科下学期期末试卷（有答案）考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150 分．考试时间为 120 分钟；（2）第 I 卷，第 II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第 I 卷（选择题 , 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的） 1. 若复数，则的虚部为 A. B. 3C. D. 2. 命题“”的否认 A. B. C. D. 3. 已知直线、，平面、，那么以下命题中正确的选项是 A ．若，，则 B ．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 4. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次 . 设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“最罕有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A. B. C. D. 5. 若不等式的解集为，则实数等于 A. -1 B. -7 C. 7 D. -5 6. 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是 A. B. C. D. 7. 已知是函数的极小值点 , 那么函数的极大值为 A. 15 B. 16 C. 17D. 18 8. 阅读右侧程序框图，若是输出 , 那么在空白矩形框中应填入的语句为 A. B. C. D. 9. 已知三棱锥的所有极点都在球的球面上，为的中点，且，，，则此棱锥的体积为 A ． B ．C．D ．10.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为 A ．48+12 B．48+24 C．72+12 D．72+24 11. 圆在点处的切线方程为，近似地，能够 A ． B. C. D.12. 若函数的图象与求得椭圆在处的切线方程为直线相切，则的值为 A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 , 共 90 分）二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡相应的地址上 ) 13. 曲线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数为__________个. 14. 执行右侧的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为____________.15.当前四年一度的世界杯在巴西举行，为检查哈三中高二学生可否熬夜看世界杯用简单随机抽样的方法检查了110 名高二学生，结果以下表：可否熬夜看球男女是4020否 20 30可否有99%以上的掌握认为“熬夜看球与性别相关”？_____________________。

【2014哈师大附中三模】黑龙江省哈师大附中2014届高三第三次模拟考试数学(文)试卷(扫描版)

第三次模拟数学文科参考答案在BDE ∆中， 11//,//,//22OM DE FA DE OM FA ∴，即四边形FAOM 是平行四边形//,FG AO ∴又AO ⊄平面EFB ，FG ⊂平面EFB ，所以直线AC//平面EFB.……5分（II ）E D ⊥平面ABCD ⇒ BD 是BE 在面ABCD 的射影⇒∠EBD 与平面BCD 所成角tan 2ED EBD ED BD ∠===⇒= ……7分由（I ）知AC//平面BEF ⇒A,C 到平面BEF 等距⇒C BEF A BEF B AEF V V V ---== ……8分正方形ABCD 中AB ⊥AD ①DE ⊥平面ABCD ，且FA//ED ⇒FA ⊥平面ABCD ⇒ FA ⊥AB ②由 ①② 知AB ⊥平面ADEF ⇒ A B 为棱锥B-AEF 的高 ……10分因此，11222323C BEF A BEF B AEF V V V ---⨯===⋅⋅= ……12分19.(I)甲、乙两组数据的平均数分别为51.5,49，甲班的客观题平均成绩更好 ……4分（II ）设从甲班数据中取1个数据，至少有1个满分为事件A ，从乙班数据中取1个数据，至少有1个满分为事件B ，则211(),()10510P A P B === ……6分则从这两组数据中分别抽取一个数据，至少有一个是满分的概率是111()51050P AB =⋅= ……8分（III ）设从甲班数据中任取2个数据，两个都是优秀客观卷为事件C ……9分甲班10个数据中任意抽取两个有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45种情况 ……10分甲班10个数据中任意抽取两个都是优秀客观卷有5+4+3+2+1=15种情况 ……11分则151()453P C ==， ……12分（2）从这两组数据中分别抽取一个数据，至少有一个是满分的事件为A ，897()1()1101025P A P A =-=-⨯= 20.（I ）2323112a c abc c a +=⎧=⎧⎪⇒⇒=⎨⎨==⎩⎪⎩ ……2分所以椭圆C 的方程为22143x y += ……4分.（II ）设A 11(,)x y ，B 22(,)x y（1）当直线AB斜率不存在时，2221111121133AOB y S x y x y x ∆==⇒=⇒= 代入2211143x y += 得212,x =则2132y = 22222222112211||||2()7OA OB x y x y x y +=+++=+=；……6分（2）当直线AB 斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+与22143x y +=联立得， 222(43)84120k x kmx m +++-=，2248(43)0k m ∆=-+> 韦达定理得，122212284341243km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩……8分222122221(43)|4(43)1AOB k m S x x m k k∆+-==-⇒=++ 22222[2(43)]0234m k m k -+=⇒=+ ……9分 22222222222211221121122222222121222222222222331||||(3)(3)()644411841243129[()2]6[()2]626444343(43)43(43)12(43)1292262(43)OA OB x y x y x x x x x x km m k m m k x x x x k k k k k k k m k k +=+++=+-++-=++--++=+-+=--+=⋅+++++-+-++=⋅+=⋅+222967(43)k ++=+……11分综上，22||||7OA OB +=（定值） ……12分21.（I ）1()g x k x'=+ ……1分 0k ≥时'()0g x >在(0,)+∞恒成立，则 (0,)+∞是()g x 的增区间 ……2分0k <时11'()00g x k x x k >⇒>-⇒<<-，则 1(0,)k-是()g x 的增区间 11'()0g x k x x k <⇒<-⇒>- ，则1(,)k-+∞是()g x 的减区间 ……4分（II ）若()()f x g x ≥恒成立，即1ln x axe x x -≥+ 则ln 1x x x a xe ++≥恒成立 ……5分设ln 1()x x x h x xe ++=，()()()22(1)(ln 1)(1)(ln )'()x x x x x x x e xe e x x x e x x h x xe xe +-++++--== ……6分 '()0(ln )0ln 0h x x x x x >⇒-+>⇒+<，令1()ln ,'()10u x x x u x x =+=+> 则()u x 在(0,)+∞上递增，且11(1)10,()10u u e e=>=-+<，(0,1),t ∴∃∈使()ln 0u t t t =+=， ……8分(0,)x t ∴∈时，()0u x <即'()0h x >，()h x 在(0,)t 上递增，同理，()h x 在(,)t +∞上递减，max ln ln 111()()11t t t t h x h t te te t t-++∴=====⋅ ……10分 1a ∴≥……12分22. 证明：连AC 、AD 、AE 、AF ，由ADBE 是圆内接四边形，得∠AEC=∠D ，同理∠C=∠AFD ．从而∠DAF=∠CAF ． ……5分（I ）若∠DBA=∠CBA ，则AD=AE ，AF=AC ，于是，△ADF ≌△AEC ，⇒DF=CE ．（II ）若DF=CE ，则△ADF ≌△AEC ，⇒AD=AE ，⇒∠DBA=∠CAF ． ……10分23.（I ）22:30;:(2)(2)2l x y C x y -+=++-= ……5分（II ）易知A 在直线l 上，||||||PA AQ PQ +=圆心C 到直线l 的距离d ==，圆C 半径R =， 2221||2PQ d R ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得||PQ = ……10分24.（I ）17(,][,)22-∞-+∞ ……5分（II ）依题可知||111x a a x a -≤⇒-≤≤+，所以1a =，即1112m n+= 112(2)()42m n m n m n +=++≥……10分。

黑龙江省哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学(文科)试卷有答案

………………………………………………….6分
（Ⅱ），是首项为，公比为的等比数列，
…………………….9分
……………………………………………………11分
………………………………………………..12分
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）
分数大于等于120分
分数不足120分
合计
周做题时间不少于15小时
15
黑龙江省哈尔滨市第三中学2017年第三次高考模拟考试数学（文科）试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
1、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知集合，则（）
为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题时间不少于小时的有人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足分的占，统计成绩后，得到如下的列联表：
分数大于等于120分
分数不足120分
合计
周做题时间不少于15小时
A． B． C． D．
12．正四面体中，是棱的中点，是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）
13．设，，若，则的最小值为___________．
（Ⅱ），因为，
所以，所以
，
所以，…………………….9分
令，，，在上增，在上减，，所以，整理得

2014年东北三省三校高考数学一模试卷(文科)

2014年东北三省三校高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|﹣4≤x≤0}，则A∩∁R B=（）A．R B．{x∈R|X≠0}C．{x|0＜x≤2}D．∅2．（5分）若复数z满足iz=2+4i，则复数z=（）A．2+4i B．2﹣4i C．4﹣2i D．4+2i3．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣3x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+2＜0 B．∃x∈R，x2﹣3x+2＞0C．∃x∈R，x2﹣3x+2≤0 D．∃x∈R，x2﹣3x+2≥04．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（）A．21 B．24 C．28 D．75．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）=sinx，②f（x）=cosx，③f（x）=，④f（x）=x2，则输出的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=D．f（x）=x26．（5分）变量x，y满足约束条件，则x+3y最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α；则其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=x﹣的零点依次为a，b，c，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c9．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．10．（5分）一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a ＞b，b＜c时称为“凹数”（如213，312等），若a，b，c∈{1，2，3，4}且a，b，c互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），以原点为圆心，c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A，若此圆在A点处切线的斜率为，则双曲线C的离心率为（）A．+1 B．C．2 D．12．（5分）已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若cos （）﹣sinα=，则sin （）=．14．（5分）正方形ABCD的边长为2，=2，=（），则=．15．（5分）正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）=|cosx|•sinx给出下列五个说法：①f （）=﹣；②若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x ）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序是．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．18．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如表：（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为ω）的关系式为：S=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：k2=19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=2，AD=DC=1，点E在SD上，且AE⊥SD．（1）证明：AE⊥平面SDC；（2）求三棱锥B﹣ECD的体积．20．（12分）椭圆M：（a＞0，b＞0）的离心率为，且经过点P（1，）．过坐标原点的直线l1与l2均不在坐标轴上，l1与椭圆M交于A，C两点，l2与椭圆M交于B，D两点．（1）求椭圆M的方程；（2）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+，存在函数x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求实数t的取值范围．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题．（选修4-1：几何证明选讲)22．（10分）如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB（不包括端点）上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ=∠PBC．求证：（1）；（2）△ADQ∽△DBQ．（选修4-4：坐标系与参数方程）23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．（选修4-5：不等式选讲）24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．2014年东北三省三校高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|﹣4≤x≤0}，则A∩∁R B=（）A．R B．{x∈R|X≠0}C．{x|0＜x≤2}D．∅【解答】解：由A中的不等式解得：0≤x≤2，即A={x|0≤x≤2}，∵B={x|﹣4≤x≤0}，∴∁R B={x|x＜﹣4或x＞0}，则A∩（∁R B）={x|0＜x≤2}．故选：C．2．（5分）若复数z满足iz=2+4i，则复数z=（）A．2+4i B．2﹣4i C．4﹣2i D．4+2i【解答】解：由iz=2+4i，得z==4﹣2i，故选C．3．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣3x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+2＜0 B．∃x∈R，x2﹣3x+2＞0C．∃x∈R，x2﹣3x+2≤0 D．∃x∈R，x2﹣3x+2≥0【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈R，x2﹣3x+2≥0”的否定是∃x∈R，x2﹣3x+2＜0，故选：A．4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（）A．21 B．24 C．28 D．7【解答】解：∵a+a+a=12，∴a2+a4+a6=12=3a4=12，即a4=4，则S7=，故选：C．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）=sinx，②f（x）=cosx，③f（x）=，④f（x）=x2，则输出的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=D．f（x）=x2【解答】解：由程序框图得：输出还是f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0且存在零点．∵满足f（x）+f（﹣x）=0的函数有①③，又函数③不存在零点，∴输出函数是①．故选：A．6．（5分）变量x，y满足约束条件，则x+3y最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+3y得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点A（2，1）时y=的截距最大，此时z最大．代入z=x+3y得z=2+3=5．即x+3y的最大值为5．故选：D．7．（5分）直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α；则其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：注意前提条件直线m，n均不在平面α，β内．对于①，根据线面平行的判定定理知，m∥α，故①正确；对于②，如果直线m与平面α相交，则必与β相交，而这与α∥β矛盾，故m∥α，故②正确；对于③，在平面α内任取一点A，设过A，m的平面γ与平面α相交于直线b，∵n⊥α，∴n⊥b，又m⊥n，∴m⊥b，∴m∥α，故③正确；对于④，设α∩β=l，在α内作m′⊥β，∵m⊥β，∴m∥m′，∴m∥α，故④正确．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=x﹣的零点依次为a，b，c，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：函数f（x）=2x+x的零点为a，也就是说函数，图象的交点的横坐标，同理，g（x）=log3x+x，h（x）=x﹣的零点也就是函数的图象的交点的横坐标，在同一坐标系中作出函数的图象，如下图所示：故有a＜b＜c，故选：A．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．10．（5分）一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a ＞b，b＜c时称为“凹数”（如213，312等），若a，b，c∈{1，2，3，4}且a，b，c互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，要得到一个满足a≠c的三位“凹数”，在{1，2，3，4}的4个整数中任取3个不同的数组成三位数，有C43×=24种取法，在{1，2，3，4}的4个整数中任取3个不同的数，将最小的放在十位上，剩余的2个数字分别放在百、个位上，有C43×2=8种情况，则这个三位数是“凹数”的概率是；故选：C．11．（5分）双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），以原点为圆心，c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A，若此圆在A点处切线的斜率为，则双曲线C的离心率为（）A．+1 B．C．2 D．【解答】解：设A的坐标为（m，n），可得直线AO的斜率满足k=﹣，即n=﹣m…①∵以点O为圆心，c为半径的圆方程为x2+y2=c2∴将①代入圆方程，得m2+3m2=c2，解得m=﹣，n=c将点A（﹣，c）代入双曲线方程，得化简得：c2b2﹣c2a2=a2b2，∵c2=a2+b2∴b2=c2﹣a2代入上式，化简整理得c4﹣8c2a2+4a4=0两边都除以a4，整理得e4﹣8e2+4=0，解之得e2=4+2或e2=4﹣2∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e=+1（舍负）．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]【解答】解：∵函数f（x）=的图象如下图所示：∵函数f（x）的值域是[0，2]，∴1∈[0，a]，即a≥1，又由当y=2时，x3﹣3x=0，x=（0，﹣舍去），∴a∴a的取值范围是[1，]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若cos（）﹣sinα=，则sin（）=．【解答】解：∵cos（）﹣sinα===，∴，∵sin（）=sin（）=，∴sin（）=，故答案为：14．（5分）正方形ABCD的边长为2，=2，=（），则=﹣．【解答】解：如图所示，正方形ABCD中，边长为AB=2，=2，=（），∴=（+）•（+）=•+•+•+•=×2×2cos90°+××2cos180°+×2×2cos135°+××2cos135°=0﹣﹣2﹣=﹣；故答案为：﹣．15．（5分）正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为4π．【解答】解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，∵正四面体ABCD的棱长为4，∴正方体的棱长为，可得外接球半径R满足，解得R=E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r==2，得到截面圆的面积最小值为S=πr2=4π．故答案为：4π16．（5分）已知函数f（x）=|cosx|•sinx给出下列五个说法：①f（）=﹣；②若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序是①③．【解答】解：①f（）=|cos|•sin==﹣，正确；②若|f（x1）=|f（x2）|，即|sin2x1|=|sin2x2|，则x1=0，x2=时也成立，故②不正确；③在区间[﹣，]上，f（x）=|cosx|•sinx=sin2x，单调递增，正确；④∵f（x+π）≠f（x），∴函数f（x）的周期不是π，不正确；⑤∵函数f（x）=|cosx|•sinx，∴函数是奇函数，∴f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称，点（﹣，0）不是函数的对称中心，故不正确．故答案为：①③．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）三角形ABC中，∵sinB+sin（A﹣C）=2sin2C，∴sin （A +C ）+sin （A ﹣C ）=4sinCcosC ，∴sinA=2sinC ，或cosC=0． ∴a=2c ，或C=90°（不满足a ，b ，c 成公比小于1的等比数列，故舍去）．由边a ，b ，c 成公比小于1的等比数列，可得b 2=ac ，∴b=c ，∴cosB===．（Ⅱ）∵b=，cosB=，∴ac=b 2=3，sinB=，∴△ABC 的面积S=ac•sinB=．18．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如表：（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位：元）与空气质量指数API （记为ω）的关系式为：S=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：k 2=【解答】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A…（1分）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，…（3分）∴P（A）=…．（4分）（2）根据以上数据得到如表：…．（8分）K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…．（10分）所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．…．（12分）19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=2，AD=DC=1，点E在SD上，且AE⊥SD．（1）证明：AE⊥平面SDC；（2）求三棱锥B﹣ECD的体积．【解答】（1）证明：∵侧棱SA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴SA⊥CD．…．（1分）∵底面ABCD直角梯形，AD垂直于AB和DC，∴AD⊥CD，又AD∩SA=A，∴CD⊥侧面SAD，…．（3分）∵AE⊂侧面SAD∴AE⊥CD，∵AE⊥SD，CD∩SD=D，∴AE⊥平面SDC…．（5分）（Ⅱ）解：∵CD⊥AD，CD⊥AE，AD∩AE=A，∴CD⊥平面ASD，∴CD⊥SD，=ED•DC …（7分）∴S△EDC在Rt△ASD中，SA=2，AD=1，AE⊥SD，∴ED=，AE=∴S=1，…（9分）△EDC又∵AB∥CD，CD⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，∴AB∥平面SCD，∴点B到平面SCD的距离等于点A到平面SCD的距离AE …（11分）=S△EDC•AE=…（12分）∴V B﹣ECD20．（12分）椭圆M：（a＞0，b＞0）的离心率为，且经过点P（1，）．过坐标原点的直线l1与l2均不在坐标轴上，l1与椭圆M交于A，C两点，l2与椭圆M交于B，D两点．（1）求椭圆M的方程；（2）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值．【解答】解：（1）∵椭圆M：（a＞0，b＞0）的离心率为，且经过点P（1，），∴，又∵a2=b2+c2，∴a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为．…（4分）（2）设直线AC：y=k1x，直线BD：y=k2x．联立，得方程（2k+1）x2﹣2=0，∴，…（6分）∴|OA|=|OC|=．同理，|OB|=|OD|=．…（8分）又∵AC⊥BD，∴|OB|=|OD|=•，其中k1≠0．从而菱形ABCD的面积S为S=2|OA|•|OB|=2••，整理得S=4，其中k1≠0．…（10分）当且仅当时取“=”，∴当k1=1或k1=﹣1时，…（11分）菱形ABCD的面积最小，该最小值为．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+，存在函数x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，f′（x）=﹣…．（2分）∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．…．（4分）（2）假设存在x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，则2φ（x）min＜φ（x）max．∵φ（x）=xf（x）+tf′（x）+=，∴φ′（x）=…（6分）①当t≥1时，φ′（x）≤0，φ（x）在[0，1]上单调递减，∴2φ（1）＜φ（0），即t＞3﹣＞1．…．（8分）②当t≤0时，φ′（x）＞0，φ（x）在[0，1]上单调递增，∴2φ（0）＜φ（1），即t＜3﹣2e＜0．…．（10分）③当0＜t＜1时，在x∈[0，t），φ′（x）＜0，φ（x）在[0，t]上单调递减在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在[t，1]上单调递增∴2φ（t）＜max{φ（0），φ（1）}，即2•＜{1，}（*）由（1）知，g（t）=2•在[0，1]上单调递减故≤2•≤2，而≤≤，∴不等式（*）无解综上所述，存在t∈（﹣∞，3﹣2e）∪（3﹣，+∞），使得命题成立．…（12分）四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题．（选修4-1：几何证明选讲)22．（10分）如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB（不包括端点）上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ=∠PBC．求证：（1）；（2）△ADQ∽△DBQ．【解答】证明：（Ⅰ）连接AB．∵△PBC∽△PDB，∴．同理．又∵PA=PB，∴，即．（Ⅱ）∵∠BAC=∠PBC=∠DAQ，∠ABC=∠ADQ，∴△ABC∽△ADQ，即．故．又∵∠DAQ=∠PBC=∠BDQ，∴△ADQ∽△BDQ．（选修4-4：坐标系与参数方程）23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．（选修4-5：不等式选讲）24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴原不等式转化为或或，解得：x≥6或﹣2≤x≤﹣或x＜﹣2，∴原不等式的解集为：（﹣∞，﹣]∪[6，+∞）；（2）只要f（x）max＜t2﹣3t，由（1）知，当x∈[0，1]时，f（x）max=﹣1，∴t2﹣3t＞﹣1，解得：t＞或t＜．∴实数t的取值范围为（﹣∞，）∪（，+∞）．。