第9章 中子输运方程-分布的平衡
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下面给出输运方程的简要推导，通过推导我们会知道它只是一种平衡关系。当然你也可 以进行更加精细的推导，包括量子力学公式，但是我们认为这对于理解输运方程的基本物理 概念是不必要的。中子“数密度”定义如下：
n(r, v, t)d 3rd 3v ≡ 在时间 t ， r 处体元 d 3 r ，速度在 v 处 d 3 v 内， 中子的期望值
和 φ (r) = ∫φ(r, E)dE
(9.17)
这是研究中子扩散的起点。为了简单起见，今后将不再标出上划线，但是(9.16)式的原型应 该牢记。我们在第 10 章会再次研究这个方程的不同解法，包括对于边界条件的处理。注意 到(9.16)反映的仍然是一个平衡关系——从一个体元流入和流出的差值(扩散)与同一个体 元中产生和吸收的差值所形成的平衡。
Ⅱ. 中子输运方程——介绍
中子输运方程是在研究中子在介质中相互作用和迁移时最基本的方程。对于结构——速 度相空间中的中子，这个方程及方程的解是一个随时间变化的分布函数。得到这个分布函数 就可以解决在反应堆理论中几乎所有感兴趣的问题。但是，通常并不需要知道分布函数本身， 知道在相空间中的坐标如速度方向、能量或位置的积分就已经足够了。
(9.20)
F (E' Ω' → E, Ω) = F (Ω' → Ω)δ (E − E0 )
(9.21)
f (E) = Σ , 常数
(9.23)
这里δ ( x) 是狄拉克 δ 函数——它的值在 x ≠ 0 处皆为 0，在 x = 0 的值是无穷大(当被积分 区域包括这个点时， δ 函数的积分等于 1)。以下是 δ ( x) 函数的一些性质：
(2) 散射
∫∫∫ ΣS (E' )φ(r, E', Ω', t)d 3rdE'dΩ'∆tF (E'Ω' → EΩ)dEdΩ
(9.3)
V ,E' ,Ω'
式中，F (E' Ω' → EΩ)dEdΩ＝一个中子从(E',Ω' )散射到能量在E处dE内，方向
在Ω处dΩ内的条件概率。损失也来自两个方面，一个是碰撞，另一个是流出。
(9.8)
J+ (r, E,t) = ∫ nˆ ⋅ Ωφ(r, E, Ω ,t)dΩ nˆ⋅Ω / ≥0
(9.9)
同样，相反的方向可以表示为
J− (r, E,t) = ∫ −(nˆ ⋅ Ω)φ(r, E, Ω ,t)dΩ
nˆ⋅Ω / ≥0
我们可以定义
KG J (r,
E,
t
)
为，
（9.10）
∫ nˆ ⋅ J (r, E,t) = J+ (r, E,t) − J− (r, E,t) = nˆ ⋅ K Ωφ(r, E,Ω,t)dΩ Ω
对于稳定态问题，我们可以简单地假设中子分布以及外部的中子源都是时不变的。这样 式(9.5)中左半部分就等于 0；剩下的部分是时间独立的中子输运方程。待研究的问题有两
类，一类存在外部源另一类不存在外部源。前一种情况对应于次临界反应堆系统，这时需要 有外部源的存在来维持堆内中子密度的稳定。而第二种情况描述了处于临界状态的反应堆， 它的中子密度在没有外部源的时候也是稳定的。
中子输运方程是含有 7 个未知变量的微——积分方程。由于无论是作为边界值问题或是 初始值问题，我们都很难对它直接求解，因此在反应堆理论中，所有遇到的方程都是在原输 运方程的基础上做了某种程度近似。
中子流量 “流量”(current)常被用来表示流向某个特定方向的粒子流；它频繁地出现在粒子的
散射以及输运过程的讨论中。为了精确，首先定义中子通量φ ，正如上文所述，它是中子输
假设我们不关心中子的运动方向，那么式(9.5)可以对 Ω 进行积分。在稳定态且没有外
部源的情况下，可以得到
∫ ∫ −∇⋅ J (r, E) + dE'Σs(E')φ(r, E')F(E' → E) +vf (E) dE'Σ f (E')φ(r, E') − Σt (E)φ(r, E)
(9.13)
上式应用了式(9.6)。方程描述了中子的空间和能量分布。由于含有两个未知变量“中子通 量”和“净流量”，这并不是一个封闭方程。为了进一步简化，通常使用关于扩散的斐克定 律(Fick’law)来对中子通量和中子流量的关系做近似，其中斐克定律描述为
J = −D∇φ
（9.14）
这样就可以推导出处于稳态下的大体积系统的扩散方程
∫ ∫ [D∇2 − Σt ]φ(r, E) + vf (E) dE'Σ f (E' )φ(r, E' ) + dE'Σs (E' )φ(r, E' )F (E' → E) = 0
（9.15）
这是一个与能量有关的扩散方程，但仍然无法求解。既然方程也描述了中子慢化的过程，那 么就可以考虑进一步的简化。
设想一个体积为 V 表面为 S 的子系统，那么在时间间隔 ∆t 内，体积 V 内，能量在 E 处 dE 内，方向在 Ω 处 dΩ 内中子数的变化可以表示为：
∫ [n(r, E,Ω,t + ∆t) − n(r, E,Ω,t)]d 3rdEdΩ = 增量 − 损失
V
其中，增量来自两种贡献。
(9.1)
(1) 裂变和外部中子源
G
G
为了计算方便，通常使用标量 E 和一个二维的矢量 Ω 来代替矢量变量 v ，这样
v = (vx , vy , vz ) → (v,θ ,ϕ ) → (E,θ ,ϕ ) 。因此， d 3v = v2dvdΩ ，而 dΩ = sinθdθdϕ 。这
样，就可以得到
n(r, v, t)d 3rd 3v ≡ n(r, E,Ω, t)d 3rdEdΩ = 在时间t，r处体元d3r， 飞行方向在Ω处dΩ，能量在E处dE内，中子数目的期望值
f
( E )φ ( r,
E ' , Ω' , t)
+
S(r, E,Ω,t)
(9.5)
∫+ dE'dΩ'Σs (E' )φ(r, E',Ω',t)F (E'Ω' → EΩ) − Σt (E)φ(r, E,Ω,t) − Ω ⋅ ∇φ(r, E,Ω,t) E '，Ω‘
方程(9.5)就是均匀（各向同性）介质中的中子输运方程。对于非均匀体系，我们可以
到目前为止，可以从两个方面进行进一步的简化。一个是通过对能量 E 进行积分从而将 其消除。这样的结果就是如下的中子扩散问题
D∇2φ (r) + [vΣ f − Σa ]φ (r) = 0
(9.16)
式中的上划线表示了两种不同的能量积分结果，一个是有效平均通量截面，另一个是积分通 量
Σ = ∫ dEΣ(E)φ(r, E) ∫ dEφ(r, E)
运方程的解。既然流量和通量使用同样的量纲，那么二者的区别到底是什么？令
由于粒子通量为
J (r, E,t) ≡ ∫G Ωφ(r, E,Ω,t)dΩ Ω = ∫G vn(r, E,Ω,t)dΩ Ω
（9.6）
vn(r, E,Ω, t)dEdΩ∆tdAcosθ = 能量在 E 处 dE 内，飞行方向在 Ω 处 dΩ 内，
(9.11)
这与式(9.6)是统一的，于是我们可以得到如下解释
nˆ ⋅ J (r, E,t)dEdA∆t = 能量在E处dE内，在时间间隔∆t内，由dA的"-"法线 方向进入"+"法线方向通过dA的“净”中子数。 （9.12）
nˆ ⋅ J 与 J + 的差别在于“净”这个字。
问题分类
中子分布函数包含 7 个变量，3 个是中子的位置，3 个是中子的速度或是 1 个能量加 2 个运动方向，最后一个变量是时间。通过对某个或某几个变量进行积分，或将某些变量如能 量设为指定值，可以得到简化的分布函数。这样做之后，就可以将输运问题分解为一些更为 简单的问题，比如中子慢化、中子扩散、中子热化、以及同速中子的输运，而每个问题又可 以通过进一步的近似方法来进行分别研究。这些单独的问题不仅在物理上分别有所侧重，也 可以互相联系起来，从而有助于理解中子输运的本质。
S
V
∫ 失”相加，除以 ∆t ，并且取极限 ∆t → 0 ，我们可以将平衡方程(9.1)写成 [] = 0 的形式。
V
既然 V 是系统中的任意部分，则欲使任意 V 时积分都为 0，被积函数[]必须恒等于 0。因此
可以得到，
∫ ∂n(r, E,Ω,t) ∂t
=
vf (E) 4π
G E' ,Ω'
dE 'd Ω'Σ
所损失掉的能量 E，用 Σt 来表示，与通过裂变产生的中子能量，以及从其它能量散射到 E
的中子的能量是平衡的。我们将在下一讲讨论(9.18)的不同解。
除了(9.16)和(9.18)以外，通过(9.5)还可以推导出另两个等式。假设所有的中子都只 有单一的能量 Eo，则可以等价地写出
φ(r, E,Ω) = φ(r,Ω)δ (E − E0 )
(3) 碰撞
(4) 净流出量
∫ Σt (E)φ(r, E,Ω,t)d 3rdEdΩ∆t
V
∫ Ω ⋅ nˆvn(rS , E,Ω,t)dsdEdΩ∆t = ∫ d 3rΩ ⋅ ∇φ(r, E,Ω,t)dEdΩ∆t
S
V
(9.4)
∫ ∫ 式中 nˆ 是 rs 处的外法线方向，并且应用了散度定理 d s ⋅ F = d 3r∇ ⋅ F 。将“增加”与“损
∫a+εδ (x − a)dx = 1，
简单的令 Σ(E ) → Σ(r, E ) 。可以看出这是一个线性方程，因为我们已经忽略了中子——中
子反应（这类事件的平均自由程为 108cm 或更大）。有时，中子的输运方程又被称为玻尔兹 曼（Boltzmann）方程；不过在使用这个术语时应该谨慎，因为在气体分子运动学中，玻尔 兹曼方程是用来处理粒子间的相互碰撞问题的，通常是非线性的。
22.54 中子与物质的相互作用及应用（2004 年春季） 第九讲 （2004 年 3 月 4 日） 中子输运方程——分布的平衡
_______________________________________________________________________________ 参考文献： J. J. Duderstadt and W. R. Martin, Transport Theory (Wiley Interscience, 1979). G. I. Bell and S. Glasstone, Nuclear Reactor Theory (Van Nostrand Reinhold, 1970) K. M. Case, F. deHoffmann, G. Placzek, Introduction to The Theory of Neutron Diffusion, vol. 1, LASL, 1953. R. K. Osborn and S. Yip ,The Foundations of Neutron Transport Theory (Gordon and Breach, 1966).
∫ [vΣ f (E) − Σt (E)]φ(E) + ΣS (E ' )φ(E ' )F (E ' → E)dE ' = 0
(9.18)
式中使用同样的符号表示进行空间积分后的流量，
φ(E) = ∫φ(r, E)d 3r
V
(9.19)
方程(9.18)就是讨论中子慢化的起点。同样，它也是能量空间的平衡——中子在各种反应中
对(9.15)的另一种简化是通过对系统的体积积分从而去掉方程的空间依赖性。积分之 后，(9.15)的第 1 项等于 0，
∫ D∇2φ(r, E)d 3r = D∫ ∇ ⋅ J (r, E) ⋅ d 3r = D∫ J (r, E) ⋅ dS
V
V
S
它与系统表面的总流量成正比。而第 2 项在大(无穷)体系下等于 0。这样，(9.15)的剩余项 变为
∫∫∫ ∫ vf
( E )dEd Ω 4π
V
,Ω' ,E'
Σ
f
(E'
)φ ( r,
E',
Ω',
t )dE 'd Ω'd
3r∆t
+
V
S(r,
E , Ω, t )d
3rdEd Ω∆t
(9.2)
式中，f(E)裂变能谱，φ(r, E ',Ω',t) ≡ n(r, E ',Ω',t)v 为中子通量，S 是外部源分布。
在时间间隔 ∆t 内，通过 dA 中子数的期望值
(9.7)
设 J + (r, E, t)dEdA∆t = 能量在 E 处 dE 内，在时间间隔 ∆t 内，沿 dA 的法线 nˆ 的‘-’方向 进入‘+’方向通过 dA 的中子数的期望值
或者，
= ∫ nˆ ⋅ Ωφ(rG, E, Ω ,t)dEdΩ∆tdA nˆ⋅Ω / ≥0
n(r, v, t)d 3rd 3v ≡ 在时间 t ， r 处体元 d 3 r ，速度在 v 处 d 3 v 内， 中子的期望值
和 φ (r) = ∫φ(r, E)dE
(9.17)
这是研究中子扩散的起点。为了简单起见，今后将不再标出上划线，但是(9.16)式的原型应 该牢记。我们在第 10 章会再次研究这个方程的不同解法，包括对于边界条件的处理。注意 到(9.16)反映的仍然是一个平衡关系——从一个体元流入和流出的差值(扩散)与同一个体 元中产生和吸收的差值所形成的平衡。
Ⅱ. 中子输运方程——介绍
中子输运方程是在研究中子在介质中相互作用和迁移时最基本的方程。对于结构——速 度相空间中的中子，这个方程及方程的解是一个随时间变化的分布函数。得到这个分布函数 就可以解决在反应堆理论中几乎所有感兴趣的问题。但是，通常并不需要知道分布函数本身， 知道在相空间中的坐标如速度方向、能量或位置的积分就已经足够了。
(9.20)
F (E' Ω' → E, Ω) = F (Ω' → Ω)δ (E − E0 )
(9.21)
f (E) = Σ , 常数
(9.23)
这里δ ( x) 是狄拉克 δ 函数——它的值在 x ≠ 0 处皆为 0，在 x = 0 的值是无穷大(当被积分 区域包括这个点时， δ 函数的积分等于 1)。以下是 δ ( x) 函数的一些性质：
(2) 散射
∫∫∫ ΣS (E' )φ(r, E', Ω', t)d 3rdE'dΩ'∆tF (E'Ω' → EΩ)dEdΩ
(9.3)
V ,E' ,Ω'
式中，F (E' Ω' → EΩ)dEdΩ＝一个中子从(E',Ω' )散射到能量在E处dE内，方向
在Ω处dΩ内的条件概率。损失也来自两个方面，一个是碰撞，另一个是流出。
(9.8)
J+ (r, E,t) = ∫ nˆ ⋅ Ωφ(r, E, Ω ,t)dΩ nˆ⋅Ω / ≥0
(9.9)
同样，相反的方向可以表示为
J− (r, E,t) = ∫ −(nˆ ⋅ Ω)φ(r, E, Ω ,t)dΩ
nˆ⋅Ω / ≥0
我们可以定义
KG J (r,
E,
t
)
为，
（9.10）
∫ nˆ ⋅ J (r, E,t) = J+ (r, E,t) − J− (r, E,t) = nˆ ⋅ K Ωφ(r, E,Ω,t)dΩ Ω
对于稳定态问题，我们可以简单地假设中子分布以及外部的中子源都是时不变的。这样 式(9.5)中左半部分就等于 0；剩下的部分是时间独立的中子输运方程。待研究的问题有两
类，一类存在外部源另一类不存在外部源。前一种情况对应于次临界反应堆系统，这时需要 有外部源的存在来维持堆内中子密度的稳定。而第二种情况描述了处于临界状态的反应堆， 它的中子密度在没有外部源的时候也是稳定的。
中子输运方程是含有 7 个未知变量的微——积分方程。由于无论是作为边界值问题或是 初始值问题，我们都很难对它直接求解，因此在反应堆理论中，所有遇到的方程都是在原输 运方程的基础上做了某种程度近似。
中子流量 “流量”(current)常被用来表示流向某个特定方向的粒子流；它频繁地出现在粒子的
散射以及输运过程的讨论中。为了精确，首先定义中子通量φ ，正如上文所述，它是中子输
假设我们不关心中子的运动方向，那么式(9.5)可以对 Ω 进行积分。在稳定态且没有外
部源的情况下，可以得到
∫ ∫ −∇⋅ J (r, E) + dE'Σs(E')φ(r, E')F(E' → E) +vf (E) dE'Σ f (E')φ(r, E') − Σt (E)φ(r, E)
(9.13)
上式应用了式(9.6)。方程描述了中子的空间和能量分布。由于含有两个未知变量“中子通 量”和“净流量”，这并不是一个封闭方程。为了进一步简化，通常使用关于扩散的斐克定 律(Fick’law)来对中子通量和中子流量的关系做近似，其中斐克定律描述为
J = −D∇φ
（9.14）
这样就可以推导出处于稳态下的大体积系统的扩散方程
∫ ∫ [D∇2 − Σt ]φ(r, E) + vf (E) dE'Σ f (E' )φ(r, E' ) + dE'Σs (E' )φ(r, E' )F (E' → E) = 0
（9.15）
这是一个与能量有关的扩散方程，但仍然无法求解。既然方程也描述了中子慢化的过程，那 么就可以考虑进一步的简化。
设想一个体积为 V 表面为 S 的子系统，那么在时间间隔 ∆t 内，体积 V 内，能量在 E 处 dE 内，方向在 Ω 处 dΩ 内中子数的变化可以表示为：
∫ [n(r, E,Ω,t + ∆t) − n(r, E,Ω,t)]d 3rdEdΩ = 增量 − 损失
V
其中，增量来自两种贡献。
(9.1)
(1) 裂变和外部中子源
G
G
为了计算方便，通常使用标量 E 和一个二维的矢量 Ω 来代替矢量变量 v ，这样
v = (vx , vy , vz ) → (v,θ ,ϕ ) → (E,θ ,ϕ ) 。因此， d 3v = v2dvdΩ ，而 dΩ = sinθdθdϕ 。这
样，就可以得到
n(r, v, t)d 3rd 3v ≡ n(r, E,Ω, t)d 3rdEdΩ = 在时间t，r处体元d3r， 飞行方向在Ω处dΩ，能量在E处dE内，中子数目的期望值
f
( E )φ ( r,
E ' , Ω' , t)
+
S(r, E,Ω,t)
(9.5)
∫+ dE'dΩ'Σs (E' )φ(r, E',Ω',t)F (E'Ω' → EΩ) − Σt (E)φ(r, E,Ω,t) − Ω ⋅ ∇φ(r, E,Ω,t) E '，Ω‘
方程(9.5)就是均匀（各向同性）介质中的中子输运方程。对于非均匀体系，我们可以
到目前为止，可以从两个方面进行进一步的简化。一个是通过对能量 E 进行积分从而将 其消除。这样的结果就是如下的中子扩散问题
D∇2φ (r) + [vΣ f − Σa ]φ (r) = 0
(9.16)
式中的上划线表示了两种不同的能量积分结果，一个是有效平均通量截面，另一个是积分通 量
Σ = ∫ dEΣ(E)φ(r, E) ∫ dEφ(r, E)
运方程的解。既然流量和通量使用同样的量纲，那么二者的区别到底是什么？令
由于粒子通量为
J (r, E,t) ≡ ∫G Ωφ(r, E,Ω,t)dΩ Ω = ∫G vn(r, E,Ω,t)dΩ Ω
（9.6）
vn(r, E,Ω, t)dEdΩ∆tdAcosθ = 能量在 E 处 dE 内，飞行方向在 Ω 处 dΩ 内，
(9.11)
这与式(9.6)是统一的，于是我们可以得到如下解释
nˆ ⋅ J (r, E,t)dEdA∆t = 能量在E处dE内，在时间间隔∆t内，由dA的"-"法线 方向进入"+"法线方向通过dA的“净”中子数。 （9.12）
nˆ ⋅ J 与 J + 的差别在于“净”这个字。
问题分类
中子分布函数包含 7 个变量，3 个是中子的位置，3 个是中子的速度或是 1 个能量加 2 个运动方向，最后一个变量是时间。通过对某个或某几个变量进行积分，或将某些变量如能 量设为指定值，可以得到简化的分布函数。这样做之后，就可以将输运问题分解为一些更为 简单的问题，比如中子慢化、中子扩散、中子热化、以及同速中子的输运，而每个问题又可 以通过进一步的近似方法来进行分别研究。这些单独的问题不仅在物理上分别有所侧重，也 可以互相联系起来，从而有助于理解中子输运的本质。
S
V
∫ 失”相加，除以 ∆t ，并且取极限 ∆t → 0 ，我们可以将平衡方程(9.1)写成 [] = 0 的形式。
V
既然 V 是系统中的任意部分，则欲使任意 V 时积分都为 0，被积函数[]必须恒等于 0。因此
可以得到，
∫ ∂n(r, E,Ω,t) ∂t
=
vf (E) 4π
G E' ,Ω'
dE 'd Ω'Σ
所损失掉的能量 E，用 Σt 来表示，与通过裂变产生的中子能量，以及从其它能量散射到 E
的中子的能量是平衡的。我们将在下一讲讨论(9.18)的不同解。
除了(9.16)和(9.18)以外，通过(9.5)还可以推导出另两个等式。假设所有的中子都只 有单一的能量 Eo，则可以等价地写出
φ(r, E,Ω) = φ(r,Ω)δ (E − E0 )
(3) 碰撞
(4) 净流出量
∫ Σt (E)φ(r, E,Ω,t)d 3rdEdΩ∆t
V
∫ Ω ⋅ nˆvn(rS , E,Ω,t)dsdEdΩ∆t = ∫ d 3rΩ ⋅ ∇φ(r, E,Ω,t)dEdΩ∆t
S
V
(9.4)
∫ ∫ 式中 nˆ 是 rs 处的外法线方向，并且应用了散度定理 d s ⋅ F = d 3r∇ ⋅ F 。将“增加”与“损
∫a+εδ (x − a)dx = 1，
简单的令 Σ(E ) → Σ(r, E ) 。可以看出这是一个线性方程，因为我们已经忽略了中子——中
子反应（这类事件的平均自由程为 108cm 或更大）。有时，中子的输运方程又被称为玻尔兹 曼（Boltzmann）方程；不过在使用这个术语时应该谨慎，因为在气体分子运动学中，玻尔 兹曼方程是用来处理粒子间的相互碰撞问题的，通常是非线性的。
22.54 中子与物质的相互作用及应用（2004 年春季） 第九讲 （2004 年 3 月 4 日） 中子输运方程——分布的平衡
_______________________________________________________________________________ 参考文献： J. J. Duderstadt and W. R. Martin, Transport Theory (Wiley Interscience, 1979). G. I. Bell and S. Glasstone, Nuclear Reactor Theory (Van Nostrand Reinhold, 1970) K. M. Case, F. deHoffmann, G. Placzek, Introduction to The Theory of Neutron Diffusion, vol. 1, LASL, 1953. R. K. Osborn and S. Yip ,The Foundations of Neutron Transport Theory (Gordon and Breach, 1966).
∫ [vΣ f (E) − Σt (E)]φ(E) + ΣS (E ' )φ(E ' )F (E ' → E)dE ' = 0
(9.18)
式中使用同样的符号表示进行空间积分后的流量，
φ(E) = ∫φ(r, E)d 3r
V
(9.19)
方程(9.18)就是讨论中子慢化的起点。同样，它也是能量空间的平衡——中子在各种反应中
对(9.15)的另一种简化是通过对系统的体积积分从而去掉方程的空间依赖性。积分之 后，(9.15)的第 1 项等于 0，
∫ D∇2φ(r, E)d 3r = D∫ ∇ ⋅ J (r, E) ⋅ d 3r = D∫ J (r, E) ⋅ dS
V
V
S
它与系统表面的总流量成正比。而第 2 项在大(无穷)体系下等于 0。这样，(9.15)的剩余项 变为
∫∫∫ ∫ vf
( E )dEd Ω 4π
V
,Ω' ,E'
Σ
f
(E'
)φ ( r,
E',
Ω',
t )dE 'd Ω'd
3r∆t
+
V
S(r,
E , Ω, t )d
3rdEd Ω∆t
(9.2)
式中，f(E)裂变能谱，φ(r, E ',Ω',t) ≡ n(r, E ',Ω',t)v 为中子通量，S 是外部源分布。
在时间间隔 ∆t 内，通过 dA 中子数的期望值
(9.7)
设 J + (r, E, t)dEdA∆t = 能量在 E 处 dE 内，在时间间隔 ∆t 内，沿 dA 的法线 nˆ 的‘-’方向 进入‘+’方向通过 dA 的中子数的期望值
或者，
= ∫ nˆ ⋅ Ωφ(rG, E, Ω ,t)dEdΩ∆tdA nˆ⋅Ω / ≥0