概率论与数理统计(8)假设检验

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北京工业大学《概率论与数理统计》课件第8章正态总体均值的假设检验

例8.2.3 假设有A、B两种药，试验者欲比较服用2小时后它们在患者血液中的含量是否一样。为此, 对药品A, 随机抽取8个病人服药，服药2小时后, 测得8个病人血液中药物浓度 (用适当的单位) 分别为:
1.23, 1.42, 1.41, 1.62, 1.55, 1.51, 1.60, 1.76. 对药品B, 随机抽取6个病人服药, 服药2小时后，测得血液中药的浓度分别为:
检验的显著性水平，简称水平。
犯第二类错误的概率的计算超出了课程的学习范围。因此，不作讨论。
例8.1.1(续) 分析该例的显著性水平。
H0: μ =10，
现在我们来分析：取上述 c 后，如果 H0 是正确的，却被我们拒绝了。这时，犯第一类错误的概率是多少呢？
分析因为当 H0: μ =10成立时，有
时，和前面不同的是：常用样本方差S2代替未知的2 ，这时
所以，对给定的显著水平 α，有
假设检验 H0的拒绝域为此检验法称作 t 检验法。
例8.2.1(续例8.1.1) 假设2未知，检验
解 n=10, =0.05, 0=10， t10-1( /2)=t9(0.025)=2.2622，
所以，接受原假设 H0: μ =10.
发生，就认为 H0 不真，即认为 H0不成立。
IV. 两类错误与显著性水平
当我们检验一个假设 H0 时，有可能犯以下两类错误之一：H0 是正确的，但被我们拒绝了，这就犯了“弃真”的错误，即抛弃了正确假设；H0 是不正确的，但被我们接受了，这就犯了“取伪”的错误，即采用了伪假设。

概率论与数理统计-假设检验

仍取=0.05,则
由
可以确定拒绝域为
( , 67.118 ) 与 ( 68.882 , + ) 因此，接受域为(67.118, 68.882)
17
18
命题当样本容量确定后,犯两类错误的
概率不可能同时减少.
证设
在水平给定下,检验假设
H0 : 0; H1 : 1 0
此时犯第二类错误的概率为
41
两个正态总体
设 X ~ N ( 1 1 2 ), Y ~ N ( 2 2 2 )
两样本 X , Y 相互独立, 样本 (X1, X2 ,…, Xn ), ( Y1, Y2 ,…, Ym ) 样本值 ( x1, x2 ,…, xn ), ( y1, y2 ,…, ym )
显著性水平
42
(1) 关于均值差 1 – 2 的检验
往生产情况,0=68.现采用了新工艺,关心的是新工艺能否提高螺钉强度,越大
越好.此时, 可作如下的假设检验:
原假设 H0 : = 68；备择假设 H1 : > 6822
当原假设H0 : = 0 = 68 为真时,
取较大值的概率较小
当备择假设 H1: > 68 为真时,
取较大值的概率较大
给定显著性水平,根据
原假设备择假设检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

概率论与数理统计--第八章假设检验(8.1--8.3)

求检 H 0:验 0 ,H 1 问 : 0 的题拒 . 绝
设 X 1,X 2, ,X n为来X 自的总样 , 体本
因为 2未知 , 不能利 X用 0来确定拒 . 绝域 / n
因为 S2是2的无偏,估故计用 S来取 ,代
即采t用 X0来作为检验 . 统计
S/ n
当观察 t xs值 /n0 过分大时 H0,就拒
烧率有显著的提高 ? 取显著水平 0.05.
解根据题意需要检验假设
H0:040 H1:0
拒绝 zx 域 / n 0z 为 0 .0 51 .64 . 5 因z 为 x /n 03.1 1 .2 65 4 , 5
z值落在拒绝域,中
故在显著 0.性下 05水拒 H 0.平绝
即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高.
1.9 0 1.6 0 1.8 0 1.5 0 1.7 0 1.2 0 1.7 0 假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变
化, 试问该机器工作是否正常?(0.05)
解因X 为 ~N (,2),0.15,
要检验假设
H 0:1.5 0 , H 1:1.5 0 ,
H 0 : 0 1 .5 ,0 H 1 : 1 .5 ,0
求检验问题 H 0:1 2,H 1 :1 2
的拒绝域
取显著性水平 . 为
引入t 统计量作为检验统 : 计量

概率论与数理统计第8章

后所生产的灯管中抽取 25 只，测得平均寿命为 1675 小时。问采用新工艺后，灯管寿命是否有显著性提高?
现在的问题就是要判别新产品的寿命是服从 μ >1500 的
正态分布，还是服从 μ ≤1500的正态分布? 若是前者，我们就说新产品的寿命有显著性提高；若是后者，就说新产品的寿命没有显著性提高。
≤1500 ”；第二个假设为备择假设，即“ H 1 ：μ >1500 ”。至于在两个假设中用哪一个作为原假设，哪一个作为备择假设，要根据具体的目的和要求而定。假如我们的目的是希望从样本观测值取得对某一陈述的强有力支持，我们通常把这一陈述的否定作为原假设，而把陈述本身作为备择假设。
很多实际问题都是这样的。例如，例 8－1 中所提出的新工艺是延长灯管寿命的一种革新，我们当然希望新工艺对产品寿命确有提高，但它又不可能像老产品那样有较多的数据。因此，我们取“寿命没有提高(μ ≤1500 )”作原假设，并以 “寿命有提高( μ >1500 )”作为备择假设。有时，使数学上的处理方便也是选定原假设的一个考虑因素。就原假设 H 0与备择假设 H 1的结合形式的不同，假设检验可以分为双边检验与单边检验(包括左边检验和右边检验) 。
种比较也只能在样本的基础上进行。怎样在样本的基础上得
出一个有较大把握的结论就是假设检验问题，它是统计推断的另一个主要方面。实际上，很多问题都可以作为假设检验

概率论与数理统计第八章假设检验

H0: p=0.35, 及其备择假设
H1: p>0.35.
(2) 在H0 成立的假设下, 计算观测数据出现的概率P.
➢ 如果P很小(一般用0.05衡量), 就应当否定H0, 承认 H1;
整理课件
9
➢ 如果P不是很小, 也不必急于承认H0, 这是因为证据往往还不够充分.
如果继续得到的观测数据还不能使得P降低下来, 再承认H0不迟.
|
z/2}
9
本例中，如果取=0.05, 则
W{|
Z||
x90
|z0.025
1.96}
9
根据抽样数据，得|z| = 1.97时, 不该发生的小
概率事件发生了, 于是否定原假设H0.
整理课件
29
在例5中，α称为检验的显著性水平, 简称为显著
性水平, 检验水平, 或水平(level); Z称为检验统
计量; {|Z|≥ zα/2}称为检验的拒绝域或否定域;
再作一个备择假设
H1: p> 0.35. 在本问题中,如果判定H0不对,就应当承认H1.
检验: 三起交通事故的发生是相互独立的, 他们
之间没有联系.
如果H0为真, 则每一起事故发生在隧道南的概率都是0.35, 于是这三起交通事故都发生在隧
道南的概率是
P= 0.353 ≈ 0.043.
这是一个很小的概率,整一理课件般不容易发生.

概率论与数理统计学习指导及习题解析第8章假设检验

第 8 章假设检验
（3）根据具体情况，选取适当的显著性水平α及样本容量n
（4）利用W的分布求出W相应于α和n的临界值及H0的拒
（5）由样本观察值计算出W的观测值，并与临界值作比较，决定拒绝原假设H0还是接受原假设H0。
第 8 章假设检验
2. 1) 设总体X~N(μ，σ2)，均值μ未知，X1，X2， …，Xn是 X的一个样本，要求检验假设H0：μ=μ0，μ0为已知常数，取显著性水平为α （1）对于σ2已知的情形，构造检验统计量
第一批： n1=10， x =27.3， s1=6.4 第二批： n2=8， y =30.5， s2=3.8 已知砖的抗折强度服从正态分布，在显著性水平为0.05的条件
（1）（2）两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差异？
第 8 章假设检验
解（1）待检验的假设为
H0 :12 22 ， H1:12 22
第 8 章假设检验
概率论与数理统计学习指导及习题解析第8章假设检验
第 8 章假设检验
第一节知识梳理
第 8 章假设检验
第二节重点解析
1. （1）根据实际问题的要求，提出原假设H0与备择假设 H1。当H1为双侧备择假设时， H1 （2）选取适当的检验统计量W，并在原假设H0成立的前提下，确定出统计量W的概率分布。

《概率论与数理统计》第八章1假设检验的基本概念

如：对于例4,
当H0
:
μ
500为真时，U
X σ
/
μ0 n
~
N 0,1,
P{| U | u / 2 | H0为真} ,
如果
|
u
|
|x
/
0
n
|
u
/2 ,则称x与0差异是显著的
,则
我们拒绝H 0 ;
反之，如果
|
u
|
|x
/
0
n
|
u
/2
,则称
x与0差异是不
显著的，则我们接受H 0 ;
上述 x与0有无显著差异的判断是在显著性水平
由于要检验的假设涉及总体均值，可借助样
本均值X进行判断.
由样本算得 x 0.511, 样本均值和总体均值之间
存在着差异，面对这种差异，有两种不同的解释：
（1）由于抽样具有随机性，x与0之间出现的差异是
由于抽样的随机性导致的，所以，原假设H0正确。
（2）x与0之间出现的差异不是由于抽样的随机性
导致的，而是它们之间存在着实质性的差异，或者说，他们之间存在着显著性差异，
单侧检验 H0 : 0 1000, H1 : 1000
2. 从某批矿砂中，抽取10样本，检验这批砂矿的含铁量是否为3%？
双侧检验 H0 : 0 3%, H1 : 3%

第8章假设检验 (第2讲)

7
b(m)=(za-)的图形. b (m ) a 1
b
m0
O
m0+d
m
8
由b(m)的连续性可知, 当参数的真值m(m>m0)在 m0附近时, 检验法的功效很低, 即b(m)的值很大, 亦即犯第II类错误的概率很大. 因为a通常取得比较小, 而不管多么小, n多么大, 只要n 给定, 总存在m0附近的点m(m>m0)使b(m)几乎等于1-a. 这表明, 无论n取多么大, 要想对所有mH1都控制第II类错误的概率都很小是不可能的. 但可规定一个正数d>0, 使当真值mm0+d时, 犯第II类错误的概率不超过给定的b, 以此标准来确定样本容量n.
21
例3 考虑在显著性水平a=0.05下进行t检验 H0:m=14, H1:m14. 要求在H1中|m-14|/0.4时犯第II类错误的概率不超过b=0.1, 求所需样本容量. 解此处a=0.05, b=0.1, d=0.4, 查表得n=68.
22
在实际过程中经常是未知, 则先做n1次试验, 计算出样本方差S2作为2的估计, 然后根据此估计值和给定的a,b,|m1-m2|的值查表获得一个容量数n2, 如果n2小于n1, 则用已经获得的数据进行检验就足够了, 而如果n2大于n1, 则再补做n2-n1次试验, 获得的n2个样本的样本方差作为2的估计, 再去查表获得正确的样本容量n3, 这样重复下去很快就能够找到所求的样本容量n.

概率统计第八章假设检验参考答案

概率论与数理统计作业

班级姓名学号任课教师

第八章假设检验

教学要求：

一、理解假设检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误；

二、了解一个正态总体均值与方差的假设检验，了解两个正态总体均值差与方差比的假设检验；

三、了解总体分布假设的2χ检验法，会应用该方法进行分布拟合优度检验（选学）．

重点：假设检验的基本思想、假设检验的基本步骤、单个正态总体均值和方差的假设检验．难点：正态总体均值和方差的假设检验．

一、基本计算题

1．某灯泡厂生产一种节能灯泡，其使用寿命（单位：小时）长期以来服从正态分布

）（2150,1600N ．现从一批灯泡中随意抽取25只，测得它们的平均寿命为1636小时．假定

灯泡寿命的标准差稳定不变，问这批灯泡的平均寿命是否等于1600小时（取显著性水平

05.0=α）？

解：(1) 依题意，检验假设1600:00==μμH ，（1600:01=≠μμH ）; (2) 由于标准差σ已知，在0H 成立时，采用U 检验法.选择统计量：

X U σ

μ0

～()1,0N

(3) 对于给定的显著性水平05.0=α，当25=n 时，查正态分布表得临界点

96.1025.02

==z z α

（4）由25=n ，，1636=x ，150=σ，计算统计值：

2.125

150

1600

16360

=-=

x u σ

(5) 由于96.12.1025.02

==<=z z u α落在拒绝域

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪

⎩⎪⎨⎧≥-==20

ασμz n x u W

之外，所以在显著性水平05.0=α下，接受1600:0=μH .即认为这批灯泡的平均寿命等于1600.

概率论与数理统计 --- 第八章{假设检验} 第六节：假设检验的两类错误

显著性水平α
数理统计
假设强力指标服从正态分布 N(μ,σ2),
且已知 σ=1.2公斤, 问在显著性水平 α=0.01 下,
新生产织物比过去的织物强力是否有提高?
解:提出假设: H0 : 21 H1 : 21
数理统计
取统计量: U
X 21

~ N (0,1)
n
否定域为W : u u0.01 =2.33 代入 σ=2, n=25, 并由样本值计算得统计量U的实测值:
假设检验的两类错误
实际情况
数理统计
决定拒绝H0
接受H0
H0为真
H0不真
第一类错误
正确
正确
第二类错误
犯两类错误的概率: P{拒绝H0|H0为真}=α, P{接受H0|H0不真}=β. 显著性水平 α为犯第一类错误(Type I error)的概率; β为犯第二类错误(Type II error)的概率.
X 0

n
u0.05 1.645
否定域为W : u u0.05 =1.645
代入 σ=2, n=25, 并由样本值计算得统计量U的实测值: u=3.125>1.645
落入否定域
故拒绝H0 , 即认为这批燃料率较以往生产的有显著的提高。
例2: 某织物强力指标X的均值 μ0=21公斤. 改进工艺后生产一批织物, 今从中取30件, 测得 X =21.55公斤.

概率论与数理统计解题辅导】第八章假设检验

第七章假设检验

题型归类与解题方法

1. 一个正态总体均值的假设检验

例7.1 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平05.0=α下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？

分析本题属于2

σ未知，检验假设00H μμ=：，应选取统计量

()1-n t ~n

X U 0μ-=

解（1）原假设70H 0=μ：,备择假设70H 1≠μ：;

（2）在0H 成立条件下选择检验统计量

()1-n t ~n

X U 0αμ-=

（3）在05.0=α下拒绝域为()12

-≥n t t α,查t 分布表得()0301.235025.0=t ,即拒绝域

为()()+∞⋃-∞-,0301.20301.2,

（4）计算:4.136

15705.660=-=

x t μ

因为()0301.214.12

=-<=n t t α落在拒绝域外，故接受0H ，因此可以认为这次考试全体

考生的平均成绩为70分.

评点（1）该题主要是利用一个正态总体均值的假设检验的定义和性质解题；

（2）若本题中2

σ已知，则应选取如下统计量：

()1-n N ~n

X U 0

σμ-=

2. 一个正态总体方差的假设检验

例7.2 某厂生产的电子仪表的寿命服从正态分布，其标准差为6.1=σ，改进新工艺后，从新的产品中抽出9件，测得平均寿命8.52=x ，19.12

=S ，问应用新工艺后仪表的寿命的方差是否发生了显著变化？()05.0=α

分析本题中μ未知，原假设为2

0:σσ=H ，应选取检验统计量()20

自考-概率论与数理统计第八章假设检验

小概率事件在一次实验中发生了,故假设不合情理, 即:否定原假设,简便方法测得均值有系统偏差.
8.1.2统计假设的概念
•定义:任何一个关于总体分布的假设称为统计假设, 简称假设. •若总体的分布类型已知,只要对一个或几个未知参数作出假设,就可以完全确定总体的分布. •定义:只涉及到总体分布的未知参数的统计假设称为参数假设. •在实际问题中,我们有时不知总体分布的类型,需要对未知分布函数或者它的某些特征提出假设. •定义:对总体的未知分布函数或者它的某些特征提出的统计假设,称为非参数假设.
这一讲我们讨论对参数的假设检验 . 让我们先看一个例子.
例：某工厂生产10欧姆的电阻.根据以往生产的电阻实际情况,可以认为其电阻值 X～N( , 2),标准差σ =0.1.现在随机抽取 10个电阻,测得它们的电阻值为: 9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10, 10.5, 10.1, 10.2. 试问:从这些样本,我们能否认为该厂生产的电阻的平均值为10欧姆?
临界值
临界值Байду номын сангаас
例1 某车间为了提高零件的强度进行了技改，已知零件强度X（单位：kg/mm2）服从正态分布N （52.8，0.82 ），其中μ0=52.8kg/mm2 是零件强度，现进行了技改后，抽取n=16的样本，测得强度为：（kg/mm2） 51.9 53.4 52.9 54.3 53.8 52.4 53.7 54.0 52.4 52.5 53.5 51.3 54.9 52.8 54.5 52.9 假设 2=0.82 不变，试问技改后零件强度是否发生了实质性变化？

概率论与数理统计第八章假设检验

2. 2未知，未知，检验
由于 2未知，而样本方差s2 是 2的无偏估计，用s替代，
选统计量t

X s

~
t(n 1)
n
t检验
假设检验，拒绝域等的讨论与1相同，只是换了统计量
Z

X 0
~
N (0,1)换成了t

X
s
~
t(n 1)
Z 检验 n
n t检验
例3.用药物治疗某病，抽查10人，记下服药前后血红蛋白量，由数据，
在检验假设中，不可避免地会犯这两类错，只能要求犯错的概率尽量小，但实际要求两个犯两种错的概率都很小往往艰难，通常是控制第一错误
的概率 (比较好求), 称为显著性水平，置信水平。
二、如何设计要检验的假设
根据问题的实际情况提出假设 H0, 备择假设 H1
H0 :
一般把不能够轻易否定的事作为假设 H0 或者把包含等式的假设为 H0
H0 :
一般为难以拒绝的事件或包含等式的假设
H1 : H0 的逆事件，小概率事件，概率为， 0.05,0.01
若否定H0 ,就得接受H1
(1)提出总体数学期望等于0的假设，然后根据样本的数据对
假设进行判断即判断假设H0 : 0;备择假设H1 : 0

[理学]上海大学2011级概率论与数理统计第8章

2 2
n1 n2
且 X , Y 分别是1, 2 的无偏估计,所以当 H0 为真时: (1) (x y) 不应很大;
5、取样，根据样本观察值作出是接受还是拒绝 H0的决策。
§2 单正态总体的假设检验
一、单个总体均值的检验
1、已知 2 ，关于的检验
（1）双边检验
双边检验问题为： H0 : 0 , H1 : 0
拒绝域为
|
Z
|
|x

/
0
n
|

Z
/2
通常称这种检验为 u 检验法。
例3：某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从
正态分布 N (, 2 ) ， 40cm / s, 2cm / s，现
在用新方法生产了一批推进器，从中随机取 25 只，
测得燃烧率的样本均值为 x 41.25cm / s ，设在新方法下总体均方差仍为 2cm / s ，问用新方法生产的
/ n
这时称区域 W 为拒绝域，拒绝域的边界点为临界点。
如上例的拒绝域为 (, Z/2) (Z 2, )
Z /2 为临界点。当
x 0 n
k
时, 称 x与0 有显著差异,
否则称两者差异不显著。
三、单边检验
我们将形如 H0 : 0 , H1 : 0

概率论与数理统计(8)假设检验

第八章假设检验

第一节假设检验问题

第二节正态总体均值的假设检验

第三节正态总体方差的检验

第四节大样本检验法

第五节 p值检验法

第六节假设检验的两类错误

第七节非参数假设检验

第一节假设检验问题

前一章我们讨论了统计推断中的参数估计问题，本章将讨论另一类统计推断问题——假设检验.在参数估计中我们按照参数的点估计方法建立了参数的估计公式，并利用样本值确定了一个估计值，认为参数真值。由于参数是未知的，只是一个假设（假说，假想），它可能是真，也可能是假，是真是假有待于用样本进行验证（检验）.

下面我们先对几个问题进行分析，给出假设检验的有关概念，然后总结给出检验假设的思想和方法.

一、统计假设

某大米加工厂用自动包装机将大米装袋,每袋的标准重量规定为10kg，每天开工时，需要先检验一下包装机工作是否正常. 根据以往的经验知道,自动包装机装袋重量X服从正态分布N( )．某日开工后，抽取了

8袋，如何根据这8袋的重量判断“自动包装机工作是正常的”这个命题是否成立？

请看以下几个问题：

问题1

引号内的命题可能是真，也可能是假，只有通过验证才能确定．如果根据抽样结果判断它是真，则我们接受这个命题，否则就拒绝接受它，此时实际上我们接受了“机器工作不正常”这样一个命题．

若用H0表示“”，用H1表示其对立面，即“”，则问题等价于检验H0：是否成立，若H0不成立，则H1：成立．

一架天平标定的误差方差为10-4(g2)，重量为的物体用它称得的重量X服从N( )．某人怀疑天平的精度，拿一物体称n次，得n 个数据，由这些数据(样本)如何判断“这架天平的精度是10-4(g2)”这个命题是否成立？

概率论与数理统计第八章假设检验

第八章假设检验

第一节概述

统计推断中的另一类重要问题是假设检验(Hypothesis testing).当总体的分布函数未知，或只知其形式而不知道它的参数的情况时，我们常需要判断总体是否具有我们所感兴趣的某些特性.这样，我们就提出某些关于总体分布或关于总体参数的假设，然后根据样本对所提出的假设作出判断：是接受还是拒绝.这就是本章所要讨论的假设检验问题.我们先从下面的例子来说明假设检验的一般提法.

例8.1某工厂用包装机包装奶粉，额定标准为每袋净重0.5kg.设包装机称得奶粉重量X服从正态分布N（μ，σ2）.根据长期的经验知其标准差σ=0.015(kg).为检验某台包装机的工作是否正常；随机抽取包装的奶粉9袋，称得净重（单位：kg）为

0.499 0.515 0.508 0.512 0.498

0.515 0.516 0.513 0.524

问该包装机的工作是否正常？

由于长期实践表明标准差比较稳定，于是我们假设X~N（μ，0.0152）.如果奶粉重量X 的均值μ等于0.5kg，我们说包装机的工作是正常的.于是提出假设：

H0：μ=μ0=0.5；

H1：μ≠μ0=0.5.

这样的假设叫统计假设.

1.统计假设

关于总体X的分布（或随机事件之概率）的各种论断叫统计假设，简称假设，用“H”表示，例如：

（1）对于检验某个总体X的分布，可以提出假设：

H0：X服从正态分布，H1: X不服从正态分布.

H0：X服从泊松分布，H1: X不服从泊松分布.

（2）对于总体X的分布的参数，若检验均值，可以提出假设：

H0：μ=μ0；H1：μ≠μ0.

概率论与数理统计(8)假设检验

北京工业大学《概率论与数理统计》课件 第8章 正态总体均值的假设检验

概率论与数理统计-假设检验

概率论与数理统计--第八章 假设检验(8.1--8.3)

概率论与数理统计 第8章

概率论与数理统计第八章假设检验

概率论与数理统计学习指导及习题解析第8章 假设检验

《概率论与数理统计》第八章1假设检验的基本概念

第8章 假设检验 (第2讲)

概率统计第八章假设检验参考答案

概率论与数理统计 --- 第八章{假设检验} 第六节：假设检验的两类错误

概率论与数理统计解题辅导】第八章假设检验

自考-概率论与数理统计 第八章 假设检验

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概率论与数理统计第八章 假设检验

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