概率论 第8章 假设检验

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4986 5000 u 0 / n 1400 / 12 1.296 u 1.645
故可接受 H 0 ，认为这批产品合格。
x 0
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解：依题意建立如下的原假设和备择假设
H 0 : 0.5 , H1 : 0.5
由于 0 0.0152 已知，可用U 检验法，
2
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它的拒绝域为
| u |
x 0
/ n
u /2
由 0.05 ，查表得 因
现从一大批产品中抽出12件试验结果如下： 5059，3897，3631，5050，7474， 5077,4545，6279，3532，2773，7419，5116. 假设该产品的寿命 X ~ N ( ,1400 ) 问这批产品是否合格？ （显著性水平 0.05 ）
，
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x 0 n
k
P| u | u /2
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由此得拒绝域为
| u |
x 0
根据一次抽样后得到的样本观测值 x1 , x2 ,, xn 计算出 u 的观测值。 若 | u | u /2 , 则拒绝原假设 H 0 若 | u | u /2 , 则接受原假设 H 0
2
检验假设
H 0 : 0 , H1 : 0
.
其中 0 为已知常数。
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当 H 0 为真时,
u
故选取
X 0
/ n
~ N (0,1),
u
作为检验统计量。
拒绝域形式为
| u |
对于给定的显著性水平 ,
/
其中 0 为已知常数， 拒绝域为 ：
u
/
x 0
，
n
u
(ii) 左边检验：
H 0 : 0 , H1 : 0
其中 0 为已知常数，拒绝域为 ：
u
/
x 0
，
n
u
21
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例4 设某电子产品平均寿命5000小时为达到标准，
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当 H 0 为真时,
T X 0 S/ n ~ t ( n 1),
故选取T作为检验统计量, 记其观测值为t，
相应的检验法称为t--检验法.
由于 X 是
T

的无偏估计量，
n ~ t ( n 1),
,
,
X 0 S /
S
2
是 2 的无偏估计量
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单边检验
.
H0 : 0 , H1 : 0
H0 : 0 , H1 : 0
右边检验
左边检验 H1 : 0 ,
H 0 : 0
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§8.2 正态总体均值的假设检验 §8.2.1单个正态总体均值 的假设检验 由于对总体均值进行检验设时，该总体中的另一 个参数，即方差是否已知会影响到对于检验统计量的 选择，故下面分两种情形进行讨论. 1．方差 已知情形（ U 检验法）
,则认为原假设不成立，
反之，认为原假设不成立。
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3.选择显著性水平，给出Baidu Nhomakorabea绝域
在检验过程中，我们作出判断的根据是随机样 本，因此，检验结果与真实情况有可能吻合，也有 可能不吻合.就是说，检验是有可能犯错误的.即 H 0 为真的时候，仍可能作出拒绝 H 0的判断.
第8章 假设检验
第8章
假设检验
§8.1假设检验的基本思想 §8.2正态总体均值的假设检验 §3.3正态总体方差的假设检验 §3.4分布的拟合优度检验
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2
第8章
假设检验
统计推断的另一基本问题是假设检验 .它与参数估
计类似，但是考虑问题角度不同 .参数估计是利用样
X 71 P 当H 0为真拒绝H 0 P k 2.5
可得拒绝域的具体形式表示为 x 71 W ( x1 , x2 , , xn ) u /2 2.5 注：在统计学上可能犯两类错误： 1.弃真错误 ------称为第一类错误 2.取伪错误 ------称为第二类错误 在“显著性检验”中，常常只控制第一类错 误发生的概率
本信息推断未知的总体参数，而假设检验则是对总
体分布中的未知参数或未知分布形式作出一个假设
，然后利用样本信息判断假设是否成立. 假设检验包
括参数假设检验和非参数假设检验。参数假设检验
是对总体分布函数中的未知参数提出的假设进行检
验，非参数假设检验是对总体分布函数形式或类型 的假设进行检验。
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解： 由题意建立原假设和备择假设
H 0 : 5000, H1 : 5000
而 0
1400 已知，因此采用 U 检验法，
x 0
，
拒绝域为
计算知
/ n x 4986 , n 12 .
u
u
， .
由 0.05 得
，
u u0.05 1.645
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命题成立时对应于H0，命题不成立时对应于 H1，在数理统计中这两个参数集合都称为统计假 设，简称假设.并且称H0为原假设， H1为备选假 设. 4° 当H1成立的时，连续三次抽到黑球的概 率为，这是一个很小的概率，根据“小概率事件 在一次试验中几乎不会发生”原理，我们有理由 推测H1成立.这种根据试验的样本对假设正确与否 作出判断的过程，在统计学中称为检验.
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2. 选择检验统计量，给出拒绝域的形式 在例2中统计量
X 71 u ~ N (0,1) 2.5
拒绝域形式为 W ( x1 , x2 , , x)
x 71
k 2.5
若 ( x1 , x2 , , xn ) W
u /2 u0.025 1.96
,
0.509 0.5 u 1.8 1.96 0.015 / 9
， ，
没有落入拒绝域内 W
故接受原假设，即认为生产正常。
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类似地，对单边检验有: (i) 右边检验：
H 0 : 0 , H1 : 0
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4. 根据样本观测值作出判断 若 Z 的观测值满足
x 71 u k u /2 2.5
则拒绝 H 0 ； 而当
；
（临界点）
x 71 u k u /2 2.5
时，则接受 H 0 。
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8.1.2 设检验的基本步骤
通过一个正态总体的例子，来说明假设检验的基 本步骤. 例2 根据经验某一门课考试的成绩X可以认为服从 正态分布N(, 2)，已知标准差=5. 现在从中随机地 抽取10个学生的成绩，得到如下一组样本值： 72，65，81，81，63，52，75，69，70，86， 其平均值=71.4，问能否认为这门课考试的平均成绩是 71分？
13
在例2中取显著性水平 0.05，则
k u0.05/2 u0.025 1.96
而
x 71 u 0.253 1.96 2.5
.
于是接受 H 0 。 即，可以认为这门课考试的平均分为71。
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其他情况： 双边假设检验
| t | t / 2 (n 1),
则拒绝原假设 H 0 ;
| t | t / 2 (n 1), 则接受原假设 H 0 .
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类似地，对单边检验有： (i) 右边检验： H 0 拒绝域为： t (ii) 左侧检验：H 0 拒绝域为 ：
§8.1假设检验的基本思想
8.1.1 假设检验问题陈述
在实际问题中，人们经常要对某个“假设”作出 判断，确定它是真的还是假的. 例1 设有两个箱子 ，甲箱中有99个白球，1个黑 球；乙箱中有1个白球，99个黑球．现随机取出一箱， 连续放回抽样三次，结果都是黑球.问能否认为抽取到 的黑球是来自乙箱？
在例2中，给出一个较小的数 (0 1) 为了使得犯这类错误的概率不超过 ，即
11 H } P{当H 0为真拒绝 0
称 为显著性水平，通常可选取0.01，0.05，0.10等。
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由于允许犯这类错误的概率最大为 由
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2．方差未知情形（检验法） 由于 未知，显然此时不能再用 Z 检验法了，
2
但是我们注意到样本方差 S 是 的无偏估计，
2
2
因此我们可以用样本标准差 S 来代替 检验假设
H 0 : 0 , H1 : 0
0 为已知常数.
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1. 建立假设 根据实际问题，确立原假设和备选假设. 在例2中，原假设和备选假设如下：
H0 : 71
H1 : 71
在建立假设时，应该注意以下几点： （1）原假设和备选假设是对立的. （2）通常备选假设是我们所关心的，是想予以 支持或者证实的. （3）在假设检验中，等号“=”通常放在原假设中. 例如， ( A) H0 : 0 , H1 : 0 , 问题 ( B) H0 : 0 , H1 : 0 , 问题 (C) H0 : 0 , H1 : 0 . 问题 （4）原假设和备选假设的提出有一定的主观性.
/ n
u /2
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例3 糖厂用自动包装机包糖，要求每袋0.5公斤， 假定该机器包装糖重量 X ~ N (,0.0152 ) 现从生产线上随机取9袋称重得 x 0.509 问该包装机生产是否正常（显著性水平为0.05）？
，
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5°如果假设可以用一个参数的集合表示，该
假设检验问题称为参数假设检验问题，否则称为
非参数假设检验问题.例1显然是一个参数假设检 验的问题，如果是要对总体服从什么分布作出假 设检验，就是非参数假设检验问题.
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分析： 1°这不是一个参数估计的问题. 2°这是在给定的条件下，要求对命题“抽取到 的黑球是来自乙箱”作出回答:“是”还是“否”？这 类问题称为统计假设检验问题，简称假设检验问题.
3°用P表示一次抽样得到黑球的概率，则当抽 取到的黑球是来自乙箱时，p=0.99，则命题“抽取 到的黑球是来自乙箱”正确与否仅仅涉及p，从而 此命题正确与否将涉及如下关于参数的两个集合： H0:p=0.99, H1:p≠0.99.
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故拒绝域形式为
x 0 | t | k s/ n
对于给定的显著性水平
,

，由
P | T | t / 2 (n 1)
.
得拒绝域为
| t |
x 0 s/ n
t /2 (n 1).
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根据一次抽样后得到的样本观测值 x1 , x2 , , xn 计算出T 的观测值t, 若 若