2002年湖北省数学竞赛试题

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2002~2013年全国初中数学竞赛试题及答案(完整版)

2002年全国初中数学竞赛试题一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则ba ba -+的值为【】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、32．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于【】A 、65 B 、54 C 、43 D 、32ABC DEF G4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3π，则x 、y 、z 中至少有一个值【】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于0 5．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【】A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112-＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、()b a +21D 、a ＋b 二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为。

8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为。

9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝。

湖北省黄冈市初中数学竞赛试题

4 收费"．若这两家旅行社每人的原票价相同，那么优惠条件较好的旅行社是 5
果有，指出这两条相等的线段，并给出证明；如果没有，也要说明理由． 10．(10 分)已知：在直角坐标系 XOY 中点 A(-4，O)、点 B(O，-3)．若有一个直角三角形与 Rt△ABO 全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形第三个顶点的坐标(不必写出计算过程)，并画出相对应的图形． 11．(15 分)有四个工厂 A、B、C、D，且 AB=a(千米)、BC=a(千米)、CD=a(千米)、∠ACB=90 °、∠BCD=120°，现在要找一个供应站 H 的位置，使它到四个工厂的距离和 HA+HB+HC+HD 为最小，说明道理，并求出最小值． 12．(15 分)家具厂的沙发框架装配流水线可以把锯、刨好的木料装配成沙发框架，主要有四道工序：打磨抛光、喷涂保护层、装配、贴厂名标签．按照工艺流程的要求，喷涂保护层不能安排在打磨抛光之前，而贴厂名标签必须在喷涂保护层之后进行．已知：贴标签需要 1 分钟；抛光需要 5 分钟，但装配之后再抛光则只需 3 分钟；喷涂保护层需要 8 分钟，但装配之后再喷涂只需 6 分钟；如果喷涂保护层前装配需要 6 分钟；否则只需 4 分钟．试为这条流水线安排一个加工顺序，使总加工时间最短．
2
5 ，tanB=2，AB=29cm,则△ABC 的面积 13
等于 cm ．二、解答题(共 60 分) 2 7．(10 分)观察：1·2·3·4+1=5 ， 2 2·3·4·5+1=11 ， 2 3·4·5·6+1=19 ， ………… (1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明． (2)根据(1)，计算 2000·2001·2002·2003+1 的结果(用一个最简式子表示)． 8．(10 分)如右图，已知 Rt△ABC 中，∠C=Rt∠，沿过 B 点的一条直线 BE 折叠这个三角形，使 C 点落在 AB 边上的点为 D，要使点 D

2002年全国高中数学联赛试题及参考标准答案

２002年全国高中数学联赛试题及参考答案试题一、选择题（本题满分36分,每小题6分）1、函数ｆ(x)=ｌｏg1/２(x2-2x-３）的单调递增区间是（）。

（A)（－∞,－１)（Ｂ)（－∞,１)(C)(1，＋∞)(D）（3, +∞)2、若实数ｘ,y满足(x＋5)2＋（y-12)２=１4２，则x2＋y2的最小值为( ）。

(A)2（B)1 （C）√3 (D)√23、函数ｆ（x)＝x/1-2x－x/2（)(A)是偶函数但不是奇函数（B)是奇函数但不是偶函数（C)既是偶函数又是奇函数（D)既不是偶函数也不是奇函数４、直线x/4+y/3＝１与椭圆x２/16+ｙ２/9=1相交于Ａ，B两点，该椭圆上点Ｐ,使得ΔPAＢ面积等于３,这样的点P共有（）。

(A）１个（Ｂ)2个（C）3个（D)4个５、已知两个实数集合A=｛a１,ａ２,…，ａ1０0}与B={ｂ1,b2,…，ｂ50},若从A到B的映射ｆ使得B中每个元素都有原象，且f（a1）≤f(a２)≤…≤f(a１00)则这样的映射共有()。

(A)C50１00（B)C４899(C）C4９１0０（D）C499９6、由曲线x2＝4y,ｘ2＝－4ｙ，x=4,x=－4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1;满足ｘ２+y2≤16,ｘ2+(y-2）2≥4，ｘ２+(y+２)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V２，则(）。

（A)V１=（1/2）V2 (Ｂ)V1=（2/3)V２（C)V1=V2（D)V1=2Ｖ2二、填空题(本题满分5４分,每小题９分)7、已知复数Z1，Ｚ２满足∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝３,若它们所对应向量的夹角为60°,则∣(Z1＋Ｚ2)／(Z１＋Z２)∣＝。

8、将二项式（√x＋1/（２４√x))n的展开式按ｘ的降幂排列,若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。

9、如图，点Ｐ1,Ｐ2,…，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（P1，Pｉ,Ｐｊ,P k)(1<i＜j＜k≤10)有个。

2002年武汉市初中数学竞赛试题

2002年武汉市初中数学竞赛试题一、选择题(每小题5分，共50分)1．16点整时，钟面上的时针与分针所成的角是（）(A)15° (B)45° (C)60° (D)120°2．两个数的和为6，差为8，以这两个数为根的一元二次方程是（）(A)x 2－6x ＋7＝0 (B) x 2－6x －7＝0 (C) x 2＋6x －8＝0 (D) x 2－6x ＋8＝03．如图：A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE ，∠BCD ＝∠ACE ＝∠DAB ，则DE 的长等于（） (A)DC (B)BC (C)AB (D)AE ＋AC4．如果a ＋b 1＝1，b ＋c 2＝1，那么c ＋a2等于（） (A)1 (B)2 (C)3 (D)45．如图，P 为平行四边形ABCD 内一点，且S △PAB ＝5，S △PAD＝2，则S △PAC 等于（）(A)2 (B)3 (C)4 (D)56．3x 2－kx ＋4被3x －1除后余3，则k 为（）(A)－2 (B)2 (C)4 (D)9 7．如图：△ABC 中，∠ABC ＝60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，则AC 的长与AE ＋CD 的关系是（） (A)AC ＞AE ＋CD (B)AC ＝AE ＋CD(C)AC ＜AE ＋CD (D)无法确定8．有n 个整数，其积为n ，其和为零，则n （）(A)一定是偶数 (B)一定是奇数 (C)可能是偶数也可能是奇数 (D)不存在9．如果a ＋b ＝22002+，a －b ＝22002-，|b 3＋c 3|＝b 3－c 3，那么a 3b 3－c 3的值为（）(A)20022002 (B)2001 (C)1 (D)0 10．如图：在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于E ，S 四边形ABCD ＝8，则BE 的长为（）(A)2 (B)3 (C).3 (D)22二、填空题(每小题5分，共20分)11．满足(x －1)200＞3300的x 的最小正整数为____________。

2002年全国初中数学竞赛试题及解析

2002年全国初中数学竞赛试题及解析一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则ba ba -+的值为【】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、32．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则A B C DA G C D S S 矩形四边形等于【】 A 、65 B 、54 C 、43 D 、32ABC DEF G4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3π，则x 、y 、z 中至少有一个值【】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于0 5．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【】 A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112-＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、()b a +21D 、a ＋b 二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为。

8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为。

9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝。

全国初中数学竞赛试题及答案(2002年)

2002年全国初中数学联合竞赛试卷（2002年4月21日8：30—10：30）一、选择题（本题42分，每小题7分）1、已知a=2-1，b=22-6，c=6-2，那么a ，b ，c 的大小关系是（）(A) a<b<c (B) b<a<c (C) c<b<a (D)c<a<b2、若m 2=n+2，n 2=m+2(m ≠n)，则m 3-2mn+n 3的值为（）(A) 1 (B)0 (C)-1 (D)-23、已知二次函数的图象如图所示，并设M=|a+b+c|-|a -b+c|+|2a+b|-|2a -b|，则（）(A)M>0 (B)M ＝0 (C)M <0 (D)不能确定M 为正、为负或为04、直角三角形ＡBC 的面积为120，且∠BAC=90º，AD 是斜边上的中线，过D 作DE ⊥AB于E ，连CE 交AD 于F ，则△AFE 的面积为（）(A)18 (B)20 (C)22 (D)245、圆O 1与O 2圆外切于点A ，两圆的一条外公切线与圆O 1相切于点B ，若AB 与两圆的另一条外公切线平行，则圆O 1与圆O 2的半径之比为（）(A)2：5 (B)1：2 (C)1：3 (D)2：36、如果对于不小于8的自然数n ，当3n+1是一个完全平方数是，n+1都能表示成个k 完全平方数的和，那么k 的最小值为（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题（每小题7分，共28分）1、已知a<0，ab<0，化简，=+----|3a b ||23b a |1 . 2、如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r ，则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为3、甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有件。

4、设N=23x+92y 为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x ，y ）共有对。

2002年全国高中数学联赛试题及解答

50 48 49 49
y
O
x
A．C100 B．C99 C．C100 D．C99 6．由曲线 x2=4y，x2=－4y，x=4，x=－4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V1；满足 x2＋y2≤16，x2＋(y－2)2≥4，x2＋(y＋2)2≥4 的点绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V2，则 1 A．V1= V2 2 2 B．V1= V2 3
y
D．4 个
O x
12|cosθ+sinθ－1| 设点 P(4cosθ，3sinθ)．点 P 与直线的距离 d= ， 5 π 12 当 0≤θ≤ 时，d≤ ( 2－1)，SABC≤6( 2－1)<3．即此时没有三角形面积=3； 2 5 π 12 当 <θ<2π 时，d≤ ( 2+1)，SABC≤6( 2+1)．即此时有 2 个三角形面积=3．选 B． 2 5 5．已知两个实数集合 A={a1，a2，a3，…，a100}，与 B={b1，b2，…，b50}，若从 A 到 B 的映射 f 使得 B 中每个元素都有原象，且 f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，则这样的映射共有 A．C100 B．C99 C．C100 D．C99 解：不妨设b1≤b2≤…≤b50，在a1，a2，…，a100 的每两个数间有 1 个空档，共 99 个空档，其中任选 49 个空档插入 1 条竖杠，把a1，a2，…，a100 分成 50 段，从前向后的第i段中的数映射到bi，即满足要求．共有C99种插法，选D． 6．由曲线 x2=4y，x2=－4y，x=4，x=－4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V1；满 2 足 x ＋y2≤16，x2＋(y－2)2≥4，x2＋(y＋2)2≥4 的点绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V2，则 1 A．V1= V2 2 2 B．V1= V2 3 C．V1=V2 D．V1=2V2

2002年全国高中数学联合竞赛试题与答案

2002 年全国高中数学联合竞赛试题
一、选择题 (本题满分 36 分，每小题 6 分)
1. 函数 f (x) = log1 (x2 − 2x − 3) 的单调增区间是 2
()
A. (−∞, −1) 解答
B. (−∞, 1)
C. (1, +∞)
D. (3, +∞)
y = x2 − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3) > 0 ⇒ x ∈ (−∞, −1) (3, +∞)，由复合函数
成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V2，则
()
A. V1 解答
=
1 2 V2
B.
V1
=
2 3 V2
C. V1 = V2
D. V1 = 2V2
如图，由对称性，仅考虑平面 y = t(t > 0)
与两几何体截得的图形面积.
对左图来说，外圆半径为 4，内圆半径为
2√t，截得圆环面积为 S1 = π(16 − 4t)；
1
则 ∆ = 4a2[A2C2a2 − (A2a2 + B2b2)(C2 − B2b2)]
= 4a2[A2C2a2 − (A2C2a2 + B2C2b2 − A2B2a2b2 − B4b4)]
= 4B2a2b2(A2a2 + B2b2 − C2).
于是当
A2a2 + B2b2
>
C2
时，椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=
1
与直线
Ax + By + C
=
0
相交；
当
A2a2 + B2b2

2002年全国高中数学联赛试题参考答案

2002年全国高中数学联赛试题参考答案一、选择题1、由x2-2x-3＞0有x＜-1或x＞3，故函数log1/2(x2-2x-3)的定义域为x＜-1或x＞3。

二次函数u=x2-2x-3在（-∞，-1）内单调递减，在（3，+∞）内单调递增。

而log1/2u 在(0,+∞)上单调递减，所以log1/2(x2-2x-3)在(-∞,-1)单调递增，故选A。

2、(x+5)2+(y-12)2=142是以点C(-5,12)为圆心，半径为14的圆。

设P为圆上任一点，则∣OP∣≥∣CP∣-∣OC∣=14-13=1当点C、O、P共线时，等号成立，所以P到点O的最小值为1，故选B。

3、函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，当x≠0时，因为f(-x)=(-x)/(1-2-x)-(-x)/2=(-x2x)/(2x-1)+(x/2)=(x+x(2x-1))/(1-2x)+(x/2)=(x/(1-2x))-x+( x/2)=(x/(1-2x))-(x/2)=f(x)，所以f(x)为偶函数，显然f(x)不是奇函数，故选A。

4、设P1(4cosα,3sinα)(0＜α＜(π/2))，即点P1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P1AOB面积S，S=SΔOAP1+SΔOBP1=(1/2)×4(3sinα)+(1/2)×3(4cosα)=6(sinα+cosα)=6√2sin(α=(π/4)),∴S max=6√2(此时α+(π/4)).∵SΔOAB=(1/2)×4×3=6为定值，∴SΔP1AB的最大值为6√2－6.∵6√2－6＜3,∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选B。

5、不妨设b1＜b2＜…＜b50，将A中元素a1,a2,…,a100按顺序分为非空的50组。

定义映射f:A→B，使第i组的元素在f之下的象都是b i(i=1,2,…,50).易知这样的f满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f的个数与A按足码顺序分为50组的分法数相等，而A的分法数为C4999，则这样的映射共有C4999，故选D。

2002年全国高中数学联赛试题及答案

二○○二年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设6分的0分两档，填空题只设9分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再啬其他中间档次。

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、函数f(x)=)32(log 221--x x 的单调递增区间是(A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x 2-2x-3>0⇒x<-1或x>3，令f(x)=u 21log , u= x 2-2x-3，故选A2、若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解：B 3、函数f(x)=221xx x-- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数解：A4、直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个解：设P 1(4cos ,3sin ) (0<<2π)，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。

S=11OBP OAP S S ∆∆+=ααcos 4321sin 3421⨯⨯+⨯⨯=6(sin +cos )=)4sin(26πα+∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6∴626)(max 1-=∆AB P S ∵626-<3∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B5、已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有(A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 4999C解：不妨设b 1<b 2<…<b 50，将A 中元素a 1, a 2, … , a 100按顺序分为非空的50组，定义映射f ：A →B ，使得xyOA B P 1第i 组的元素在f 之下的象都是b i (i=1,2,…,50)，易知这样的f 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f 的个数与A 按足码顺序分为50组的分法数相等，而A 的分法数为4999C ，则这样的映射共有4999C ，故选D 。

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2002年全国高中数学联赛试题及解答一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数集，若Ａ＝｛ｘ｜≤0｝，Ｂ＝｛ｘ｜＝10ｘ｝，则Ａ∩是（）．Ａ．｛2｝Ｂ．｛－1｝Ｃ．｛ｘ｜ｘ≤2｝Ｄ．2．设ｓｉｎα＞0，ｃｏｓα＜0，且ｓｉｎ＞ｃｏｓ，则的取值范围是（）．Ａ．（2ｋπ＋π／6，2ｋπ＋π／3），ｋ∈ＺＢ．（2ｋπ／3＋π／6，2ｋπ／3＋π／3），ｋ∈ＺＣ．（2ｋπ＋5π／6，2ｋπ＋π），ｋ∈ＺＤ．（2ｋπ＋π／4，2ｋπ＋π／3）∪（2ｋπ＋5π／6，2ｋπ＋π），ｋ∈Ｚ3．已知点A为双曲线ｘ2－ｙ2＝1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ＡＢＣ是等边三角形，则△ＡＢＣ的面积是（）．Ａ．／3 Ｂ．3／2 Ｃ．3 Ｄ．64．给定正数ｐ，ｑ，ａ，ｂ，ｃ，其中ｐ≠ｑ．若ｐ，ａ，ｑ是等比数列，ｐ，ｂ，ｃ，ｑ是等差数列，则一元二次方程ｂｘ2－2ａｘ＋ｃ＝0（）．Ａ．无实根Ｂ．有两个相等实根Ｃ．有两个同号相异实根Ｄ．有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线ｙ＝5／3ｘ＋4／5的距离中的最小值是（）．Ａ．／170 Ｂ．／85 Ｃ．120 Ｄ．1306．设ω＝ｃｏｓ＋ｉｓｉｎ，则以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是（）．Ａ．ｘ4＋ｘ3＋ｘ2＋ｘ＋1＝0Ｂ．ｘ4－ｘ3＋ｘ2－ｘ＋1＝0Ｃ．ｘ4－ｘ3－ｘ2＋ｘ＋1＝0Ｄ．ｘ4＋ｘ3＋ｘ2－ｘ－1＝0二、填空题〖ＨＴＫ〗（本题满分54分，每小题9分）7．ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎ2000°）＝_______．8．设ａｎ是（3－）ｎ的展开式中ｘ项的系数（ｎ＝2，3，4，…），则＝_______． 9．等比数列ａ＋ｌｏｇ23，ａ＋ｌｏｇ43，ａ＋ｌｏｇ83的公比是______． 10．在椭圆ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝1（ａ＞ｂ＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B．若该椭圆的离心率是，则∠ＡＢＦ＝______． 11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为ａ，则这个球的体积是______．12．如果：（1）ａ，ｂ，ｃ，ｄ都属于｛1，2，3，4｝；（2）ａ≠ｂ，ｂ≠ｃ，ｃ≠ｄ，ｄ≠ａ；（3）ａ是ａ，ｂ，ｃ，ｄ中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是______．三、解答题〖ＨＴＫ〗（本题满分60分，每小题20分）13．设Ｓｎ＝1＋2＋3＋…＋ｎ，ｎ∈Ｎ，求ｆ（ｎ）＝的最大值．14．若函数ｆ（ｘ）＝－1／2ｘ2＋13／2在区间［ａ，ｂ］上的最小值为2ａ，最大值为2ｂ，求［ａ，ｂ］．15．已知Ｃ0：ｘ2＋ｙ2＝1和Ｃ1：ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝1（ａ＞ｂ＞0），那么，当且仅当ａ，ｂ满足什么条件时，对Ｃ1上任意一点P，均存在以P为顶点、与C0外切、与Ｃ1内接的平行四边形？并证明你的结论．参考答案或提示一、1．Ｄ；2．Ｄ；3．Ｃ；4．Ａ；5．Ｂ；6．Ｂ．提示：1．易得Ａ＝｛2｝，Ｂ＝｛－1，2｝，则Ａ∩＝．2．由2ｋπ＋π／2＜α＜2ｋπ＋π，得2ｋπ／3＋π/6＜α＜2ｋπ／3＋π／3（ｋ∈Ｚ）．又由ｓｉｎ＞ｃｏｓ，得2ｋπ＋π／4＜＜2ｋπ＋5π／4（ｋ∈Ｚ）．∴α∈（2ｋπ＋π／4，2ｋπ＋π／3）∪（2ｋπ＋5π／6，ｋπ＋π）（ｋ∈Ｚ）．3．不妨设Ｂ点在ｘ轴上方，则ＡＢ：ｙ＝／3ｘ＋／3，代入ｘ2－ｙ2＝1，得Ｂ（2，）．同理可得Ｃ（2，－）．故Ｓ△ＡＢＣ＝3．4．由2ｂ＝ｐ＋ｃ，2ｃ＝ｑ＋ｂ，得ｂ＝2ｐ＋ｑ3，ｃ＝ｐ＋2ｐ3．于是从而Δ＝4ａ2－4ｂｃ＜0，方程无实根．5．整点（ｘ0，ｙ0）到直线5ｘ－3ｙ＋12＝0的距离为ｄ＝｜25ｘ0－15ｙ0＋12｜／5．因25ｘ0－15ｙ0是5的倍数，所以｜25ｘ0－15ｙ0＋12｜≥2，当ｘ0＝－1、ｙ0＝－1时等号成立．故／85即为所求．6．由ω＝ｃｏｓ＋ｉｓｉｎ知，ω，ω2，ω3，…，ω10（＝1）是1的10个十次方根，则（ｘ－ω）（ｘ－ω2）（ｘ－ω3）…（ｘ－ω10）＝ｘ10－1．①又ω2，ω4，ω6，ω8，ω10是1的5个五次方根，则（ｘ－ω2）（ｘ－ω4）（ｘ－ω6）（ｘ－ω8）（ｘ－ω10）＝ｘ5－1．②①÷②后，再两边同除以ｘ－ω5（＝ｘ＋1），得（ｘ－ω）（ｘ－ω3）（ｘ－ω7）（ｘ－ω9）＝ｘ4－ｘ3＋ｘ2－ｘ＋1．二、7．－π／9；8．18；9．1／3；10．90°；11．ａ3；12．28．提示：7．原式＝ａｒｃｓｉｎ［ｓｉｎ（－π／9）］＝－π／9．8．∵ａｎ＝Ｃｎ2·3ｎ－2，∴3ｎ／ａｎ＝…＝18（）．∴原式＝18＝ (18)9．公比，由等比定理，得10．由ｃ／ａ＝，得ｃ2＋ａｃ－ａ2＝0．又｜ＡＢ｜2＝ａ2＋ｂ2，｜ＢＦ｜2＝ａ2，故｜ＡＢ｜2＋｜ＢＦ｜2＝…＝3ａ2－ｃ2．而｜ＡＦ｜2＝（ａ＋ｃ）2＝…＝3ａ2－ｃ2＝｜ＡＢ｜2＋｜ＢＦ｜2，故∠ＡＢＦ＝90°．11．易知球心O为正四面体的中心，O点与棱的中点连线成为球的半径ｒ，则ｒ＝，故球的体积为Ｖ＝…＝．12．按中所含不同数字的个数分三类：（1）恰有2个不同的数字时，组成＝6个数；（2）恰有3个不同数字时，组成＝16个数；（3）恰有4个不同数字时，组成＝6个数．故符合要求的四位数共有6＋16＋6＝24（个）．三、13．，当且仅当ｎ＝64／ｎ，即ｎ＝8时，上式等号成立，故ｆ（ｎ）ｍａｘ＝1／50． 14．分三种情况讨论：（1）当0≤ａ＜ｂ时，ｆ（ａ）＝2ｂ，ｆ（ｂ）＝2ａ．解得［ａ，ｂ］＝［1，3］．（2）当ａ＜0＜ｂ时，ｆ（0）＝2ｂ，ｆ（ａ）＝2ａ或ｆ（ｂ）＝2ａ．解得［ａ，ｂ］＝［－2－，13／4］．（3）当ａ＜ｂ≤0时，ｆ（ａ）＝2ａ，ｆ（ｂ）＝2ｂ．无解．综上，［ａ，ｂ］＝［1，3］或［－2－，13／4］．15．所求条件为1／ａ2＋1／ｂ2＝1．证明如下：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心．假设结论成立，则对点（ａ，0），有（ａ，0）为顶点的棱形与Ｃ1内接，与Ｃ0外切．（ａ，0）的相对顶点为（－ａ，0），由于菱形的对角线互相垂直平分，另外两个顶点必在ｙ轴上，为（0，ｂ）和（0，－ｂ）．菱形一条边的方程为ｘ／ａ＋ｙ／ｂ＝1，即ｂｘ＋ａｙ＝ａｂ．由于菱形与Ｃ0外切，故必有，整理得1／ａ2＋1／ｂ2＝1．必要性得证．充分性：设1／ａ2＋1／ｂ2＝1，P是Ｃ1上任意一点，过P、O作C1的弦PＲ，再过O作与ＰＲ垂直的弦ＱＳ，则PQRS为与Ｃ1内接的菱形．设｜ＯＰ｜＝ｒ1，｜ＯＱ｜＝ｒ2，则点P的坐标为（ｒ1ｃｏｓθ，ｒ1ｓｉｎθ），点Ｑ的坐标为（ｒ2ｃｏｓ（θ＋），ｒ2ｓｉｎ（θ＋）），代入椭圆方程，得又在Ｒｔ△ＰＯＱ中，设点O到PQ的距离为ｈ，则同理，点Ｏ到ＱＲ，ＲＳ，ＳＰ的距离也为1，故菱形PQRS与Ｃ0外切．充分性得证．说明：今年高中数学联赛第4题由陕西省永寿县中学安振平老师提供，第6题和第10题由西安市西光中学刘康宁老师提供．。

竞赛模拟试题(六)参考答案

竞赛模拟试题（六）参考答案1、（2002年湖北省竞赛试题）若0634=--z y x ，072=-+z y x ，则代数式222222103225zyx zy x ---+的值等于（）A 、21-B 、219-C 、15-D 、13-答案：D提示：解关于x 、y 的方程组得：z x 3=，z y 2=，代入代数式中求得值为13-.2、（2002年湖北省黄冈市竞赛试题）如图，已知等边ABC ∆外有一点P ，P 落在ABC ∠内，设P 到BC 、CA 、AB 三边的距离分别为1h ，2h ，3h ，且满足6132=-+h h h ，那么等边ABC ∆的面积为（）A 、312B 、39C 、38D 、34 答案：A考点：等边三角形的性质。

专题：计算题。

分析：根据等边三角形的面积即可计算（123h h h -+）是等边ABC ∆的高，根据等边三角形的高即可求得BC 的值，即可求得ABC ∆的面积，即可解题。

解答：设等边ABC ∆的边长为a ，连接P A 、PB 、PC 则ABC PBC PAC PAB S S S S ∆∆∆∆=-+ 从而212343212121aah ah ah =-+即()21234321ah h h a =-+∵212343212121aah ah ah =-+∴34=a ∴312432==∆aS ABC故选A ．点评：本题考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长的关系，本题中根据等P 第2题图 CABh 1 h 2h 3边三角形的高计算等边三角形的面积是解题的关键。

3、（2001年北京市竞赛试题）下面四个命题：①两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等； ②两个三角形有两角及一边对应相等，则这两个三角形全等； ③两个三角形的三条边对应相等，则这两个三角形全等； ④两个三角形的三个角分别对应相等，则这两个三角形全等。

其中真命题有（）A 、②③B 、①③C 、③④D 、②④ 答案：A分析：只有②③是正确的。

2002年湖北省四通杯高中数学知识应用竞赛试题

湖北省四通杯高中数学知识应用竞赛试题（2002．11．10． 8：00-11：00）1．（购车问题）据《汽车周刊》2002年6月5日报道：上海大众新推出的POLO 牌A 型轿车市场上售价约为14.4万元/辆，深受用户青睐，已成为家庭轿车市场上的亮点。

某人计划购买一辆此种轿车，考虑购买后轿车一年的养路费，保险费，汽油费，存车费约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%，试问大约使用几年后，花费在该车上的费用能达到该车现在的售价14.4万元？（10分）2．（密码问题）为了增加破译密文的难度，有一种密码把英文的明文，按两个字母一组分组，如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组。

例如：I am your friend 添一个 o, 分组为: Ia my ou rf ri en do得到：913151818514,,,,,,,1252169145⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中9表示I 的序号，1表示a 的序号，然后用一个变换公式，比如：'23,'4,x x y y x y =+⎧⎨=+⎩ 将91⎛⎫ ⎪⎝⎭变成'29312121'94113x y =⨯+⨯=⎛⎫⎛⎫⇒ ⎪ ⎪=+⨯⎝⎭⎝⎭，即la 变成um; 将1325⎛⎫ ⎪⎝⎭变成 '2133252675x =⨯+⨯=+除以26的余数得23，即w; '13425113y =+⨯=除以26的余数得9即I 。

试按上述方法将明文 I am your friend 写成密文。

（15分）3．（沙漠绿化）某地区位于沙漠边缘地区，人与自然进行了长期顽强的斗争，到1999年底，全地区的绿化率已达到30%。

从2000年开始，预计将出现以下变化：原有沙漠的面积的16%栽上树，并成为绿洲；同时。

原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠。

问至少经过多少年的努力，才能使全地区的绿洲的面积超过60%？（15分）4．（排队问题）某机场为了提高服务质量进行了下面的调查并发现：当还未开放安检通道时，一部分旅客已经在排队等候通过安检，并且排队旅客按一定的速度增加。

2002年黄冈市初中数学竞赛

ab ab 若 ≤ ≤ 则 2 13 36中等数学2002 年黄冈市初中数学竞赛一、填空题(满分 30 分 ,每小题 5 分)1. 已知 m 、n 互为相反数 , a 、b 互为负倒数 , x 的绝对值等于 3. 则 x 3 - (1 + m + n + ab ) x 2 + ( m +n ) · x 2 001 + ( - ab )2 002的值等于 . 2. 已知正数 a 、b ,有下列命题 :(1) 请写出一个具有普遍性的结论 ,并给出证明 ; (2) 根据(1) ,计算 2 000 ×2 001 ×2 002 ×2 003 + 1的结果(用一个最简式子表示) .8. ( 10 分) 如图 2 ,(1) 若 a = 1 , b = 1 ,则 ≤1 ;已知 Rt △ABC 中 , ∠C(2) a = 1 2 , b = 5 ,3; 2 2 = 90°,沿过点 B 的一条直线 B E 折叠这个三角 (3) 若 a = 2 , b = 3 ,则 5;形 ,使点 C 落在 AB 边上的点为 D . 要使点 D图 2(4) 若 a = 1 , b = 5 ,则 ≤3.恰为 AB 的中点 ,问在图中还需添加什么条件 ?根据以上几个命题所提供的信息 , 请猜想 : 若a = 6 ,b = 7 , 则 ab ≤.3. 已知 k = a + b - c = a - b + c = - a + b + c ,(1) 写出两个满足边的条件 ;(2) 写出两个满足角的条件 ;(3) 写出一个满足除边、角以外的其他条件. cba且 m - 5 + n 2 + 9 = 6 n . 则关于自变量 x 的一次函数y = kx + m + n 的图像一定经过第象限.4. 如图 1 , ∠AOB = 45°,角内有一点 P , PO = 10 , 在角的两边上有两点 Q 、R (均不同于点 O ) . 则 △PQR 的周长的最小值为 .5. 某公司规定一个退图 1休职工每年可获得一份退休金 ,金额与他工作的年数的算术平方根成正比例. 如果他多工作 a 年 ,他的退休金比原有的多 p 元 ;如果他多工作 b 年 ( b ≠a ) ,他的退休金比原有的多 q 元. 那么 , 他每年的退休金是 ( 以 a 、b 、p 、q 表示) 元.6. 已知在 △ABC 中 , ∠A 、∠B 是锐角 ,且 sin A = 5,tan B = 2 , AB = 29 cm. 则 △ABC 的面积等于c m 2.二、解答题(满分 70 分)7. (10 分) 观察 :1 ×2 ×3 ×4 + 1 = 52,9. (10 分) 在一次数学竞赛中 ,组委会决定用 NS公司赞助的款购买一批奖品. 若以 1 台NS 计算器和 3 本《数学竞赛讲座》书为一份奖品 , 则可买 100 份奖品 ;若以 1 台 NS 计算器和 5 本《数学竞赛讲座》书为一份奖品 ,则可买 80 份奖品. 问这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书 ,可各买多少 ?10. ( 15 分) 如图 3 , OB 是以(0 , a ) 为圆心、a 为半径的 ⊙O 1 的弦 , 过点 B 作 ⊙O 1 的切线 , P为劣弧OB 上的任一点 , 且过 P 作 OB 、图 3AB 、OA 的垂线 , 垂足分别是 D 、E 、F .(1) 求证 : PD 2 = PE ·PF ;(2) 当 ∠BOC = 30°, 点 P 为OB 的中点时 , 求 D 、 E 、F 、P 四个点的坐标及 S △DEF .11. (10 分) 若 a 、b 、c 、d > 0 ,证明 :在方程 12 ×3 ×4 ×5 + 1 = 112, 3 ×4 ×5 ×6 + 1 = 192 ,x 2 + 2 a + bx + 21 x 2+ 2 b + cx + 2= 0 ; ①= 0 ;②ab ab cd ada 5 设 BD2 2 2 2002 年第 4 期1 x 2+ 2 c + dx + 21 x 2+ 2 d + ax +2= 0 ;③= 0④37角的关系 :(1) ∠A = ∠DB E ; (2) ∠A = ∠CB E ; (3) ∠DEA = ∠DEB ; (4) ∠DEA = ∠B EC ;中 ,至少有两个方程有两个不相等的实数根.12. ( 15 分) 有麦田 5 块 A 、B 、C 、D 、E , 它们的产量(单位 : 吨) 、交通状况和每相邻两块麦田的距离如图 4 所图 4示 ,要建一座永久性打麦场 ,这 5 块麦田生产的麦子都在此打场. 问建在哪块麦田上 (不允许建在除麦田以外的其他地方) 才能使总运输量最小 ? 图中圆圈内的数字为产量 ,直线段上的字母 a 、b 、d 表示距离 ,且b < a < d .(5) ∠A = 30°; (6) ∠CBD = 60°; (7) ∠CED = 120°;(8) ∠A ED = 60°.边的关系 :(1) AB = 2 BC ; (2) AC = 3 BC ; (3) 2AC = 3 AB ;(4) B E = A E .三角形的关系 : △B EC ≌△A ED .9. 设每台计算器 x 元 ,每本《数学竞赛讲座》书 y元 ,这笔钱为 s 元. 则有100 ( x + 3 y ) = s = 80 ( x + 5 y ) .化简得 x = 5 y . 解得 s = 800 y .则这笔款可买《数学竞赛讲座》800 本.参考答案又 ∵y = x, ∴s = 160 x . 一、1. 28 或 - 26 2.aq 2 - bp 213223. 三、四4. 10 2则这笔款可买计算器 160 台.10. (1) 提示 :连结 ED 、DF ,证 △FDP ∽ △DEP ;5.2 ( bp - aq )333 33 6. 145.(2) D -4 a 4, E - a , 4 a , 过点 C 作 AB 的垂线 ,垂足为 D . F - 3 a ,0 , P - 3 , a,sin A = 513 =CD , m > 0 ,AC2 223 3 2 ∴CD = 5 m , A C = 13 m . S △DEF =16 a .∵tan B =CD= 2 , 可设 n > 0 , CD = 2 n , BD = n , ∴BD = n = CD = 5m .11. 写出这四个方程的判别式Δ1 、Δ2 、Δ3 、Δ4 . 注意到Δ1 +Δ3 > 0 ,Δ2 +Δ4 > 0 , 故Δ 、Δ 、Δ 、Δ 中至少有两个大于零 ,即所得四 221234∴AD =(13 m ) 2 - (5 m ) 2 = 12 m .从而得 AB = AD + BD = 12 m + 5 m = 29m .由 29 =29m ,得 m = 2. 则 CD = 5 m = 10. 个方程中至少有两个方程有不相等的实数根.12. 设在 x 处的最少运输量为 S ( x ) . 据三角形三边长度关系 ,有 a + b > d . 于是 ,S ( A ) = 3 a + 5 ( a + b ) + 4 ( a + d ) + 6 a= 18 a + 5 b + 4 d ;故 S △ = 1 AB ·C D = 1×29 ×10 = 145 (cm 2 ) .S ( B ) = 10 a + 3 b + 4 d ; ABC2 2二、7. (1) 对于自然数 n ,有n ( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) + 1= ( n 2 + 3 n ) ( n 2 + 3 n + 2) + 1= ( n 2 + 3 n ) 2+ 2 ( n 2 + 3 n ) + 1 = ( n 2 + 3 n + 1) 2. (2) 由(1) 得2 000 ×2 001 ×2 002 ×2 003 + 1 =4 006 0012. 8. 要使 D 为AB 的中点 ,可添加下列条件之一 :S ( C ) = 18 a + 13 d ; S ( D ) = 14 a + 13 b ; S ( E ) = 26 a + 6 b ;经比较 ,知min{ S ( A ) , S ( B ) , S ( C ) , S ( D ) , S ( E ) } = S ( B ) .故 B 处为最佳选择.(南秀全提供)ab bc ∵。

竞赛模拟试题(五)

图 1PACBDOMN 图 2ACBD图 3 ACBPD图 4ACBF 竞赛模拟试题五1、（2002年湖北省预赛试题）已知a 是正数，且12=-a a ，则224aa -等于（） A 、5 B 、3 C 、1 D 、3- 2、（2002年全国竞赛试题）已知20001999+=x a ，20011999+=xb ，20021999+=xc ，则多项式ac bc ab c b a ---++222的值为（）A 、0B 、1C 、2D 、33、（2001年“TI ”杯全国竞赛试题）如图1，若PB PA =，ACB APB ∠=∠2，AC 与PB 交于点D ，且4=PB ，3=PD ，则DC AD ⋅等于（）A 、6B 、7C 、12D 、164、（2002年“希望杯”初二年级试题）一个三角形的三条边的长分别是a 、b 、c （a 、b 、c 都是质数），且16=++c b a ，则这个三角形是（）A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、等边三角形D 、直角三角形或等腰三角形5、（2004年重庆市试题）已知0132=+++x x x ，则2004321x x x x +++++ 的值为（） A 、0 B 、1 C 、1- D 、20046、（2001年湖北省武汉市竞赛试题）如图2，︒=∠20MON ，A 为OM 上一点，34=OA ，D 为ON 上一点，38=OD ，C 为AM 上一点，B 为OD 上一点，那么折线ABCD 的长CDBC AB ++的最小值为（）A 、12B 、14C 、312D 、316 7、如图3，P 是等边ABC ∆内部一点，APB ∠，BPC ∠，CPB ∠的大小之比为7:6:5，则以P A 、PB 、PC 为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是 .8、（全国竞赛题）江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完。