圆锥曲线与方程

1 2 1 2
平面内到一个定点F和一条定直线 l（F不在l上） 抛物线的定义：
l d
. F
.M
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
可用表达式 MF=d 表示,其中d为F到l的距离.
（三）
圆锥曲线的统一定义：
平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l F不在l上的距离的比 等于常数 e的点的轨迹
l d
2 2 2 2
典型例题
【例3】已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上， 设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，
且AF+BF=8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q（6、0），
及 本 法 有小 中 题 求 四结 2 2 解： 又 y1 2 px1 , y 2 2 px 2 垂 是 解 种： 线 综 是 形抛 的 合 最 式物 ∴ x1 x 2 x1 x 2 12 2 p 0 。 有 抛 基 ，线 ∵AB 与 x 轴不垂直， 关 物 本 用的 知 线 的 待标 ∴ x1 x 2 ，故 x1 x 2 12 2 p 8 p 12 2 p 0 ， 识 的 方 定准 解 定 法 系方 2 即 p=4,从而抛物线方程为 y 8 x 题 义 。 数程 。 求此抛物线方程。
a 2 45 2 b 5
x2 y2 1 (2)当焦点在y轴上时，同理得，椭圆方程为 85 85 小结：本题用待定系数法求椭圆的标准方程， 9 但在无法判断焦点所在的坐标轴时，要分情况讨论
x y 此时所求的椭圆方程为 45 5 1
典型例题
【例2】 已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点
基础训练
x y (7)已知椭圆 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3， 25 9 35 则点 P 到椭圆右准线的距离为 4 x2 y2 (8)以椭圆 1 的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线 25 16 100
的抛物线与椭圆的右准线交于 A、B 两点，则 AB=
2 2
3
小结：要熟练掌握圆锥曲线的基础知识，以解决基 本问题。
典型例题
【例4】 （2009·江苏）如图所示，在平面直角坐标系xOy中， x2 y2 A1，A2，B1，B2为椭圆 （a>b>0）的四个顶点，F为 1 2 2 a b 其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交 点M恰为线段OT的中点，求该椭圆的离心率. 解 由题意结合图形得，
小结：本题是利用渐近线方程、a，b，c三者之间的 关系,求解双曲线方程
y2 x2 故双曲线方程为 64 36 1.
典型例题
【例3】已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上， 设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，
且AF+BF=8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q（6、0），
a2 x c
c,0
双 x2 y2 2 1 2 a b 曲 x a 线 （a 0, b 0）
抛 物 线
y 2 2 px
a,0
c,0
p ,0 2
（p 0）
x0
（0，0） e=1
x
p 2
其中椭圆中 c 2 a 2 b 2 ，双曲线中 c 2 a 2 b 2 ，双曲线的渐近 线方程为 y
典型例题
【例4】 （2009·江苏）如图所示，在平面直角坐标系xOy中， x2 y2 A1，A2，B1，B2为椭圆 （a>b>0）的四个顶点，F为 1 2 2 a b 其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交 点M恰为线段OT的中点，求该椭圆的离心率. 解： 又 M 在椭圆上
M
o
.
焦点、准线
x
F
渐近线(双曲线）
（六）
方程 范围
对称性 顶点
关于x、 y轴、 原点 对称 关于x、 y轴、 原点 对称 关于 x轴 对称
离心率 准线
焦点
椭 圆
x2 y2 1 a2 b2
x a
（a b 0） y b
a,0 0,b
a2 x 0<e<1 c
e>1
l
.
.M
d
F
.M . F
l
d .M
. F
0 e 1 椭圆
e 1 抛物线
e 1 双曲线
定点是焦点，定直线叫做准线，常数e是离心率 .
（四） 椭圆的标准方程：
x y 2 1 2 a b
2 2
a b 0
y x 2 1 a b 0 2 a b y2 x2 2 1 a 0, b 0 2 a b
变式训练
F2,点P在右支上,|PF1|=4|PF2|,求双曲线离心率e的最大值.
8 PF1 PF2 2a PF1 3 a 解 方法一 PF1 4 PF2 PF 2 a 2 3 在△PF1F2中，cos∠F1PF2= 17 9 e 2 ，
3 e 2 ___
基础训练
(4)经过点 A（-3，1） ，且对称轴是坐标轴的等轴双曲线 2 2 x y 方程是 8 8 1
1 2 （5）抛物线 y x 的焦点坐标是 (0,-1) 4
(6)已知 M 为抛物线 焦点，定点 P
y 2 4 x 上一动点， F 为抛物线的
4
3 , 1，则 MP MF 的最小值为
| MF1 | | MF2 | 2a, (2a | F1F2 |)
表示。
平面内到两个定点F1、F2距离差的绝对值等于 双曲线的定义： .M 常数（小于F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲线。 . . F1 F
2
可用表达式 || MF | | MF || 2a, (0 2a | F F |) 表示。
PF2
x2 y2 已知双曲线 2 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、 2 a b
8 2 PF1 a, PF2 a, 3 3
y
. c 5a 2 由第二定义 e x , 又x a, F1 2 a a 3c x c 5a 2 c 5 即 a, e . 3c a 3
o
.P .
F2x
小结：本题考查了双曲线的两种定义形式，熟练运用 定义解题是基本思路。
课堂小结 课堂小结
本节课主要复习圆锥曲线的定义、标准方程、 几何性质及应用，同时注重与其他知识的综合 运用，在解题时除了要熟练掌握圆锥曲线基本知
识外，需注重利用数形结合思想解决实际问题。
8 8
y
x2 y2 已知双曲线 2 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、 2 a b
F1
.
o
.P .
F2x
要求e的最大值，只须求cos∠F1PF2的最小值，
当cos∠F1PF2=-1时e最大值为 5 . 3
变式训练
F2,点P在右支上,|PF1|=4|PF2|,求双曲线离心率e的最大值. 方法二 由以上可知
a 2c 2 b 2 (a c) 2 （续） 2 1, 2 2 2 a (a c) 4b (a c )
即4c2+a2+2ac+c2=4a2-8ac+4c2, c2+10ac-3a2=0,∴e2+10e-3=0.
又∵0<e<1,∴e= 2 7 5 . 小结：本题综合了直线和椭圆的定义、离心率等几何性质， 体现了方程的思想。
为F（0，10），两条渐近线的方程为 x y
双曲线的标准方程.
4 3
,求该
解： 依题意，双曲线焦点在y轴上，半焦距c=10,
y2 x2 可设标准方程为 2 1, 又渐近线方程 2 a 100 a 4 2 a2 4 ,1 600 16 a 2 9a 2 , a 2 64. y x ，故 ( ) 为 3 100 a 2 3
典型例题
【例1】已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上,又过点 P（3，2）,长轴长是短轴长的3倍，求该椭圆的方程。 解：由题知，椭圆的方程为标准方程。 (1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为
2a 3 2b 则： 9 4 ，解此方程组，得 a2 b2 1 2 2
x2 y2 1a b 0 a2 b2
2
2
双曲线的标准方程：
x y 2 1 a 0, b 0 2 a b
2 2
抛物线的标准方程：
y 2 px
2
p 0
x 2 2 py p 0
（五）
l
y
椭 圆 抛 物 线
d
. F
.M
o y x
范围 对称性 顶点
x
l
d
o
. F
.M
离心率
y
l
双 曲 线
d.
1、圆锥曲线的定义、标准方程、几何图形
主ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ： 江苏省镇江第一中学
王荣芳
2、圆锥曲线的简单性质及应用
（一）
圆锥曲线定义：
椭圆
圆 锥 曲 线
定义
双曲线 抛物线
标准方程
几何性质
（二）
平面内到两个定点F1、F2的距离和等于常数 椭圆的定义：
. F
M
.
1
F2
.
（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。 可用表达式
x y l A1B2 : 1, 即-bx+ay=ab, ① a b x y 即bx-cy=bc, ② lB1F : 1, c b b( a c ) 2ac 由①②求得： y , 代入 ② 得 : x , ac ac 2ac b(a c) ac b(a c) T ( , ), 则OT中点M ( , ). ac ac a c 2(a c)