四川省昭觉中学高中数学模块测试题新人教版必修5

一．填空题
1.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=。

2.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a,则cosB=。

3. {a n }是等差数列， ，则使 的最小的n 值是 。

4.设α、β是方程x 2-2x+k 2
=0的两根，且α,α+β,β成等比数列，则k=。

5.已知m ＝a
＋1a －2(a ＞2)，n ＝2x 2
12
-（）
(x ＜0)，则m 与n 的大小关系为. 6.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m 的范围是
7.若以2,3，x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的范围为.
8.数列{a n }中，a n ＞0且{a n a n+1}是公比为q(q ＞0)的等比数列，满足a n a n+1+a n+1a n+2＞a n+2a n+3(n∈N *
)，则公比q 的取值范围是。

9.三角形两条边长分别为 3 cm,5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2
-7x-6=0的根，则此三角形的面积是____________________.
10.数列{a n }的通项公式为a n =2n-49，S n 达到最小时，n 等于_______________。

11.一段长为L m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积是。

12. 在△ABC 中,若sinB 、cos
2
A
、sinC 成等比数列,则此三角形的形状为。

13．将给定的25个数排成如图所示的数表， 若每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a 33=1,则表中所有数之和为。

14.半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC.则四边形OACB 的面积最大值是。

二、解答题
15.已知{}n a 是等差数列，其中1425,16a a == （1）求{}n a 的通项; （2）数列{}n a 从哪一项开始小于0; （3）求13519a a a a ++++L 值。

16.在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322
=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。

求：(1)角C 的度数； (2)AB 的长度。

17.已知不等式2
230x x --<的解集为A ，不等式2
60x x +-<的解集为B 。

（1）求A∩B；
（2）若不等式2
0x ax b ++<的解集为A∩B，求不等式2
0ax x b ++<的解集。

18.一缉私艇发现在北偏东ο
45方向,距离12 nmile 的海面上有一走私船正以10 nmile/h 的速度沿东偏南ο
15方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北
偏东
α+ο
45的方向去追,.求追击所需的时间和α角的正弦值.
19．某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。

该公
费用(万元)
a n 4
C
北
东 10110,0S S ><0n
a <
司第n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用n a 的信息如下图。

（1）求n a ；
（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利； （3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？
20．设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的n N +，都有2)2(8+=n n a S 。

（1）写出数列{a n }的前3项； （2）求数列{a n }的通项公式(写出推证过程)；
（3）设14+⋅=
n n n a a b ，n T 是数列{b n }的前n 项和，求使得20
m
T n <对所有n N +都成立的最小正整数m 的值。

21．在ABC ∆中，角..A B C 所对的边分别为a,b,c.已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且2
14
ac b =
. （Ⅰ）当5
,14
p b =
=时，求,a c 的值；(Ⅱ)若角B 为锐角，求p 的取值范围； 22．设无穷等差数列 的前n 项和为 ．
（1）若首项 ，公差1=d ，求满足 的正整数
； （2）求所有的无穷等差数列 ，使得对于一切正整数k 都有 成立． {}n a n S 13
2
a =22()k k S S =22
()
k k
S S ={}n a k
答案 1.1. 2.
4
3。

提示:∵a 、b 、c 成等比数列,∴b 2=ac.又∵c=2a,∴b 2=2a 2
. ∴cosB=ac b c a 2222-+=2
222424a
a a a -+=43
. 4. ±2。

提示：α+β=2，αβ=k 2
,又(α+β)2
=αβ，∴4=k 2
.∴k=±2.
5.m ＞n ．提示：m ＝a －2＋1
a －2
＋2≥2＋2＝4(当且仅当a ＝3时取等号)
而x 2
－2＞－2(∵x ＜0)，∴n ＝2x 212-（）
＜(12)－2＝4.∴m ＞n 6. m ＞2.提示:设A ＞B ＞C,则B=
3π,A+C=3
2π,0＜C ＜6π
,于是 m=
c a =C
A
sin sin =C C
C C C sin sin 21cos 23sin )32sin(
+=-π=23cotC+2
1,∵3＜cotC,∴m＞2. 7.5＜x 13。

提示：由余弦定理可知：cos A ＝4＋9－x 2
12＞0，cos B ＝4＋x 2
－9
4x
＞0，
cos C ＝9＋x 2
－46x ＞0，由此联立得：5＜x 13。

8. 0＜q ＜
2
5
1+.提示：令n=1，不等式变为a 1a 2+a 2a 3＞a 3a 4， ∴a 1a 2+a 1a 2q ＞a 1a 2q 2
，∵a 1a 2＞0,∴1+q＞q 2
.解得0＜q ＜
2
5
1+. 9. 6 cm 2
.提示：由5x 2
-7x-6=0,得x 1=-5
3
, x 2=2(舍去), ∴c os θ=-53,sin θ=54.∴S=21×3×5×5
4=6 (cm 2
).
10.24.提示：∵a n =2n-49,∴{a n }是等差数列，且首项为-47，公差为2. 由⎩⎨
⎧≤=>=0,49-1)-2(n a 0,
49-2n a 1
-n n 解得n=25.
∴从第25项开始为正，前24项都为负数，故前24 项之和最小. 11.L 2
8。

提示：由题意设长、宽各为x 、y m ，则x ＋2y ＝L 又∵S ＝xy ，∴L ＝x ＋2y ≥22xy ∴xy ≤L 2
8。

12.等腰三角形。

提示:易知cos 2
=sinB·sinC,∴1+cosA=2sinBs inC,
即1-cos(B+C)=2sinBsinC,即1-cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinC.
∴1-cosBcosC=sinB sinC ，∴cos(B-C)=1.∵0＜B ＜π,0＜C ＜π,∴-π＜B-C ＜π.
∴B-C=0,B=C ，∴△ABC 为等腰三角形.
13. 25.提示:第一行的和为5a 13,第二行的和为5a 23，…，第五行的和为5a 53,故表中所有数之和为5(a 13+a 23+a 33+a 43+a 53)=5×5a 33=25.
14.2＋5
4
3。

提示:设∠AOB ＝α，在△AOB 中，由余弦定理得
AB 2
＝12
＋22
－2×1×2cos α＝5－4cos α，于是，四边形OACB 的面积为
S ＝S △AOB ＋S △ABC ＝12OA·OB sin α＋34
AB 2
＝12×2×1×sin α＋34(5－4cos α)＝sin α－3cos α＋543＝2sin (α－π3)＋5
4 3 ∵0＜α＜π，
∴当α－π3＝π2，α＝56π，即∠AOB ＝5π6时，四边形OACB 面积最大为2＋5
4 3.
15.解：（1）4133a a d d =+∴=-Q 283n a n ∴=-
（2） 1
283093
n n -<∴>Q ∴数列{}n a 从第10项开始小于0 （3）13519a a a a ++++L 是首项为25，公差为6-的等差数列，共有10项
其和109
1025(6)202
S ⨯=⨯+
⨯-=- 16. 解：（1）()[]()2
1
cos cos cos -
=+-=+-=B A B A C π∴C ＝120°
（2）由题设：2
a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
︒
-+=•-+=∴120cos 2cos 222222ab b a C BC AC BC AC AB ()()
102322
2
22=-=-+=++=ab b a ab b a 10=∴AB 。

17.解：（1）由2
230x x --<得13x -<<，所以A=（-1，3） 由2
60x x +-<得32x -<<，所以B=（-3，2），∴A∩B=（-1，2） （2）由不等式2
0x ax b ++<的解集为（-1，2），
所以10420
a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩∴2
20x x -+-<，解得解集为R.
18.解: 设A,C 分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 x 小时后在B 处追上, 则有 14,10,120.AB x BC x ACB ==∠=o
222(14)12(10)240cos120x x x ∴=+-o 2,28,20,x AB BC ∴===
∴sin12020sin12053
sin .2814
BC AB α=
==o o 所以所需时间2小时,.14
3
5sin =
α 19.解：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：
12(1)2n a a n n =+-=
（2）设纯收入与年数n 的关系为f(n),则：
2(1)
()21[22]2520252
n n f n n n n n -=-+
⋅-=-- 由f(n)>0得n 2
-20n+25<0 解得1053n 1053-<<+ 又因为n N ∈,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利 （3）年平均收入为
n )
n (f =20-25(n )202510n
+≤-⨯= 当且仅当n=5时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大。

20.解:(1) n=1时 2
118(2)a a =+∴12a = n=2时 2
1228()(2)a a a +=+∴26a = n=3时 2
12338()(2)a a a a ++=+∴310a = (2)∵28(2)n n S a =+∴2
118(2)(1)n n S a n --=+>
两式相减得: 2218(2)(2)n n n a a a -=+-+ 即22
11440n n n n a a a a -----=
也即11()(4)0n n n n a a a a --+--=
∵0n a >∴14n n a a --= 即{}n a 是首项为2,公差为4的等差数列 ∴2(1)442n a n n =+-⋅=- (3)1441111
()(42)(42)(21)(21)2(21)(21)
n n n b a a n n n n n n +=
===-⋅-+-+-+
∴12111111[(1)()()]2335(21)(21)
n n T b b b n n =+++=
-+-++--+L L 11111
(1)2212422
n n =
-=-<++ ∵20n m T <
对所有n N +∈都成立 ∴
1
202
m ≥ 即10m ≥ 故m 的最小值是10 。

22、（1）当时， ，由2)(2k k S S =得， 2224)21
(21k k k k +=+ ，即0)141(3=-k k ，又0≠k ，所以4=k ．
（2）设数列{}n a 的公差为d ，则在2
)(2
k k
S S =中分别取2,1=k 得 即，由（1）得01=a 或11=a ． 当01=a 时，代入（2）得：0=d 或6=d ；
当0,01==d a 时，0,0==n n S a ，从而2
)(2k k S S =成立；
当6,01==d a 时，则)1(6-=n a n ，由183=S ，216,324)(923==S S 知， 2
39)(S S ≠，故所得数列不符合题意；
当11=a 时，0=d 或2=d ，当11=a ，0=d 时，n S a n n ==,1，从而2
)(2k k S S = 成立；当11=a ，2=d 时，则2
,12n S n a n n =-=，从而2)(2k k S S =成立，综上
共有3个满足条件的无穷等差数列；
=n a 或
1
=n a 或
1
2-=n a n ．
另解：由2
)(2k k S S =得 对于一切正整数k 都
成立，则有解之得：100d a =⎧⎨=⎩或101d a =⎧⎨=⎩或121d a =⎧⎨=⎩ 所以所有满足条件的数列为：
=n a 或
1
=n a 或
1
2-=n a n ．
n n n n n S n +=-+=22
12)1(231,231==d a ⎩⎨⎧==2
242
1
1)()(S S S S ⎪⎩
⎪⎨⎧⨯+=⨯+=211211)2122(2344
d a d a a a 1
2212
211110
4210
211042d d da d a a d d da ⎧-=⎪⎪⎪
-=⎨⎪⎪-++-=⎪⎩
222
21111[(1)][(1)]22
k a k d k a k d +-=+-12222211111111
()()()042242
d d k da d k a a d d da -+-+-++-=。