第四章 高速可压无粘流

空气动力学
2 马赫数M 马赫数M
第四章
高速可压无粘流
[2] 马赫数的物理意义 M数还代表单位质量气体动能与内能之比。 数还代表单位质量气体动能与内能之比。 动能 v 2 / 2 γ (γ − 1) 2 = = M
内能 cv T 2
1. M数很小：动能相对于内能很小，速度的变 数很小：动能相对于内能很小， 化不会引起温度的显著变化， 化不会引起温度的显著变化 ， 对于不可压 流体，密度、温度均可以认为是常值。 流体，密度、温度均可以认为是常值。 2. M数较高：动能相对于内能较大，速度的变 数较高：动能相对于内能较大， 化将引起温度的显著变化， 密度、 化将引起温度的显著变化 ， 密度 、 温度均 是变数。 是变数。
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4.1.1 完全气体的状态方程、内能和焓 四 章 完全气体的状态方程、 第
空气动力学
高速可压无粘流
任何气体的状态方程
p = p( ρ , T )
完全气体状态方程 p = ρRT
从微观角度看， 从微观角度看，完全气体具有以下性质： ①分子体积与分子间平均距离相比可忽略不计； 分子体积与分子间平均距离相比可忽略不计； ②除弹性碰撞外，分子间没有其它相互作用。 除弹性碰撞外，分子间没有其它相互作用。
§4.2 一维等熵绝热流
4.2.1一维等熵绝热流的能量方程 4.2.1一维等熵绝热流的能量方程 4.2.2一维定常绝热流的参数间的基本关系式 4.2.2一维定常绝热流的参数间的基本关系式
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4.2.1一维等熵绝热流的能量方程 4.2.1一维等熵绝热流的能量方程 一维欧拉方程的伯努利积分： 一维欧拉方程的伯努利积分：
第四章 高速可压无粘流
静参数：流动过程中任意一点处的当地流动参数。 静参数：流动过程中任意一点处的当地流动参数。
T0 γ −1 2 = 1+ M T 2
p0 γ − 1 2 γ −1 = 1 + M p 2
γ
ρ0 γ − 1 2 = 1 + M 2 ρ
熵是一个状态参数。 熵是一个状态参数。 状态参数
∆s = s 2 − s1 = ∫ ds = ∫
1
2
2
1
T2 ρ1 dq = cV ln + R ln T T1 ρ2
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4.1.3 热力学第二定律和熵 利用状态方程： 利用状态方程：
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第四章 高速可压无粘流
p2 ρ1 γ T2 ρ1 γ −1 ∆s = cV ln[ ( ) ] 或 ∆s = cV ln[ ( ) ] p1 ρ 2 T1 ρ 2
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4.1.1 完全气体的状态方程、内能和焓 四 章 完全气体的状态方程、 第
空气动力学
高速可压无粘流
对于完全气体，其内能只与绝对温度有关。 对于完全气体，其内能只与绝对温度有关。
e = e(T )
焓:代表热含量，定义为 代表热含量， p h = e+ ρ ① 焓表示单位质量气体的内能和压力能的和。 焓表示单位质量气体的内能和压力能的和。 ② 完全气体的焓只取决于温度，是一个状态参数。 完全气体的焓只取决于温度，
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2 马赫数M 马赫数M
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高速可压无粘流
[2] 马赫数的物理意义 高速空气动力学中， 高速空气动力学中，M数是一个反映压缩性 大小的相似准则。 大小的相似准则。
a2 = dp ∆p ρv v ~ ~ ~ dρ ∆ρ ∆ρ (∆ρ / ρ )
2 2
v 2 ∆ρ M2 = 2 ~ ρ a
显然， 越大则引起的压缩性越大。 M<0.3， 显然，M越大则引起的压缩性越大。当M<0.3， |△ρ/ ρ |<5%，认为不可压。 |<5%，认为不可压。
v2 dp +∫ = const 2 ρ
(沿流线) 沿流线)
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第四章 高速可压无粘流
利用等熵关系： 利用等熵关系： v2 γ p + = const 2 γ −1 ρ 利用焓的定义： 利用焓的定义：
(沿流线) 流线)
v + h = const 2
微团宏观运动的动能
2
(沿流线) 沿流线) 微观的热力运动所含有的能量
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1 音速
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高速可压无粘流
a = dp / dρ
2
音速的计算公式表明小扰动的传播速度与 介质(气体、液体、固体)的压缩性有关。 介质(气体、液体、固体)的压缩性有关。 小扰动在可压气体中的传播过程非常接近 绝热可逆过程(即等熵过程) 绝热可逆过程(即等熵过程)。
dp a = dρ = γRT s =c
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第四章 高速可压无粘流
高速流动问题中，气体的粘性内摩擦、 高速流动问题中 ， 气体的粘性内摩擦 、 激波的出 现以及因温度梯度存在而引起的热传导等因素， 现以及因温度梯度存在而引起的热传导等因素 ， 导致流动过程不可逆。 导致流动过程不可逆。 一般说来，在流场的大部分区域， 一般说来 ， 在流场的大部分区域 ， 速度梯度和温 度梯度不很大，流动过程可近似认为绝热可逆的， 度梯度不很大 ， 流动过程可近似认为绝热可逆的 ， 熵增△ ，称为等熵流。 熵增△s=0，称为等熵流。 在流体力学中， 在流体力学中 ， 把熵值沿一条流线保持不变叫沿 流线等熵；全流场熵值相同称为均（ 熵流。 流线等熵；全流场熵值相同称为均（匀）熵流。 等熵关系式
2
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2 马赫数M 马赫数M
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高速可压无粘流
[1] 马赫数的定义 流场中任一点处流速与当地音速之比定义 为马赫数M 为马赫数M： v
M = a
一般说， 一般说，流场中各点的流速和音速各不相 指的是当地值，称当地马赫数。 同，故M指的是当地值，称当地马赫数。 来流马赫数M 来流马赫数M∞= v∞/ a∞：来流速度与来流温 度所对应的音速之比。 度所对应的音速之比。
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1 音速
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高速可压无粘流
考虑一个固定扰源在静止空气中不断发生微弱扰 动的情况。采用和球面波固连在一起的动坐标： 动的情况。采用和球面波固连在一起的动坐标：
ρ 连续方程：adA = (ρ + dρ )(a − dv )dA 连续方程：
adρ = ρdv
a 2 = dp / dρ
dp 动量方程： = ρadv 动量方程：
取 T = 0 时，
e = h = 0 则有
e = cV T
h = c pT
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4.1.2 热力学第一定律和比热
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第四章 高速可压无粘流
比热比： 比热比：等压比热和等容比热之比
γ = c p cV
由焓的定义可得
c p = cV + R
焓用比热比可写为
h=
γ γ −1
RT =
γ
p
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γ −1 ρ
4.1.3 热力学第二定律和熵
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第四章 高速可压无粘流
热力学第二定律：指明能量相互转化是有条件、 热力学第二定律：指明能量相互转化是有条件、 有方向性的，即一个方向的变化过程可以实现， 有方向性的，即一个方向的变化过程可以实现， 而逆方向的变化过程或者不能实现或者只能有条 件地实现。 件地实现。 可逆过程、不可逆过程： 可逆过程、不可逆过程：如果将变化过程一步步 地倒回去， 地倒回去，介质的一切热力学参数均回到初始值 且外界情况也都复旧，则过程可逆， 且外界情况也都复旧，则过程可逆，否则就是不 可逆过程。 可逆过程。
结论：当沿流线速度增大时，温度、音速和焓值 结论：当沿流线速度增大时，温度、 均下降，但动能和焓的总和保持不变。 均下降，但动能和焓的总和保持不变。
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4.2.2一维定常绝热流参数间的关系 4.2.2一维定常绝热流参数间的关系 [一]驻点参数
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第四章 高速可压无粘流
驻点是指流动速度等熵地降为零的一点。 驻点是指流动速度等熵地降为零的一点。该点 等熵地降为零的一点 的状态参数叫驻点参数，或称总参数。 的状态参数叫驻点参数，或称总参数。空气动学第四章 高速可压无粘流
§ 4.1 热力学基础 § 4.2 一维等熵绝热流 § 4.3 马赫波与膨胀波 § 4.4 正激波 § 4.5 斜激波 § 4.6 喷管及超音速风洞
§4.1热力学基础
4.1.1完全气体的状态方程、内能和焓 4.1.1完全气体的状态方程、内能和焓 4.1.2热力学第一定律和等容等压比热 4.1.2热力学第一定律和等容等压比热 4.1.3热力学第二定律和熵 4.1.3热力学第二定律和熵
v2 γ p γ p0 + = 2 γ − 1 ρ γ − 1 ρ0 v2 + h = h0 2
γ γ v2 + RT = RT0 2 γ −1 γ −1
2 v2 a2 a0 + = 2 γ −1 γ −1
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4.2.2一维定常绝热流参数间的关系 4.2.2一维定常绝热流参数间的关系
空气动力学
热力学第二定律指出， 热力学第二定律指出 ， 在绝热变化过程的孤立系统 如果过程可逆熵值保持不变， 中，如果过程可逆熵值保持不变，∆s = 0 ，称为等 熵过程；如果过程不可逆，熵值必增加， 熵过程；如果过程不可逆，熵值必增加，∆s > 0 。 因此热力学第二定律亦可称为熵增原理。
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4.1.3 热力学第二定律和熵
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4.2.1一维等熵绝热流的能量方程 4.2.1一维等熵绝热流的能量方程
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第四章 高速可压无粘流
γ v + RT = const 2 γ −1
2
(沿流线) 沿流线)
v2 a2 + = const 2 γ −1 −1