线性规划求解在客户服务中心排班问题中的应用
初中数学知识归纳线性规划的应用
初中数学知识归纳线性规划的应用线性规划（Linear Programming，简称LP）是数学中的重要分支，也是运筹学的一种基础工具。
它可以帮助我们在特定的约束条件下，找到使目标函数达到最优值的最佳决策方案。
在实际生活中，线性规划有着广泛的应用。
本文将对初中数学中线性规划的应用进行归纳总结。
一、最大最小问题最大最小问题是线性规划的基础，也是求解其他问题的前提。
在初中数学中，我们经常遇到寻找最大最小值的问题，线性规划可以帮助我们解决这些问题。
例如，考虑以下问题：某公司生产两种产品A和B，每单位A产品需要5小时的工作时间，每单位B产品需要4小时的工作时间。
公司每天可用的工作时间为40小时，每单位A产品的利润为200元，每单位B产品的利润为150元。
如何安排生产以使得利润最大化？为了解决这个问题，我们可以定义以下变量：设x为生产的A产品数量（单位：个）设y为生产的B产品数量（单位：个）根据题目中的限制条件，我们可以得到以下约束条件：5x + 4y <= 40 （工作时间限制）x >= 0 （生产数量非负）同时，我们要最大化利润，因此目标函数为：200x + 150y （利润最大化）通过求解这个线性规划问题，我们可以得到最优解，即最大化的利润。
二、资源分配问题线性规划还可以处理资源分配问题。
在实际生活中，我们经常需要合理分配有限的资源以达到最佳效益。
例如：某餐厅每天供应A类和B类套餐，每份A类套餐需要2个鸡腿和3个薯条，每份B类套餐需要3个鸡腿和2个薯条。
餐厅每天供应的鸡腿总量为20个，薯条总量为15个。
假设A类套餐的利润为10元，B 类套餐的利润为8元，如何安排供应以使得利润最大化？我们可以定义以下变量：设x为供应的A类套餐数量（单位：份）设y为供应的B类套餐数量（单位：份）根据题目中的限制条件，我们可以得到以下约束条件：2x + 3y <= 20 （鸡腿供应限制）3x + 2y <= 15 （薯条供应限制）x >= 0 （供应数量非负）同时，我们要最大化利润，因此目标函数为：10x + 8y （利润最大化）通过求解这个线性规划问题，我们可以得到最优解，即最大化的利润。
实际问题中的线性规划方法
实际问题中的线性规划方法线性规划是数学中一种非常重要的优化方法，广泛应用于各个领域。
在实际问题中，线性规划方法可以很好地解决很多优化问题。
本文将会介绍线性规划方法在实际问题中的应用，例如网络流问题、供应链优化问题以及航空公司航班计划问题等。
一、网络流问题网络流问题是指在具有网络形式的问题中，求得网络中一些关键指标的最优解。
这些指标可能是物流方面的，也可能是通信方面的，甚至可能与能源、水资产有关。
这个问题的形式是一组由多个变量组成的线性方程组，并且这些方程组的决策变量通常用来描述网络的流量问题。
这里的问题是要求出网络中流量的最大值图。
在实际应用中，经常使用线性规划的方法来解决这种问题。
例如，在物流配送领域，我们可能需要在多个仓库和客户之间优化货物的运输路线。
当运输网络以“源点”（例如一个集散地或一个公路）开始，并以“汇点”（例如一家客户或一个仓库）结束时，通常需要考虑许多线性限制约束，例如运输成本、运输距离和货物数量等。
使用线性规划的方法，可以快速找到最小的总运输成本以及分配给每个节点的货物数量，从而提高物流的效率并降低成本。
二、供应链优化问题供应链优化问题通常可以看作是网络流问题的一个具体实例，它也可以使用线性规划的方法以最小化成本或最大化利润的方案来求解。
这个问题涉及到优化生产和分销的方案，从而最大限度地降低整个供应链的成本或提高利润。
这种问题通常包括许多限制条件，例如合理的货物存储、库存管理、运输和分销等。
线性规划的方法可以非常有效地解决这些问题，以实现最优化的运营方案。
例如，在某个制造公司中，我们可能需要考虑如何最小化原材料和物流成本，同时最大程度地利用现有的生产能力以及最大程度地满足客户要求。
这个问题涉及到许多因素，例如供应链的表现、货物的需求、生产规模等。
使用线性规划的方法，可以快速找到最佳的物流路线、最佳的生产数量以及最佳的库存管理方案等，从而提高供应链的效率。
三、航空公司航班计划问题航空公司航班计划问题是指在规定时间内，根据市场需要以及规定的飞行路线等因素，为航空公司确定一个最佳的航班计划。
线性规划的应用
线性规划的应用引言概述：线性规划是一种优化问题的数学建模方法，可以用于解决许多实际问题。
本文将探讨线性规划在不同领域的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题、金融投资和市场营销等。
一、生产计划1.1 产能规划：线性规划可以匡助企业确定最优产能规划，通过最大化产量和最小化成本，实现生产效益的最大化。
1.2 原材料采购：线性规划可以优化原材料的采购计划，确保原材料的供应充足，同时最小化采购成本。
1.3 生产调度：线性规划可以匡助企业制定最佳的生产调度方案，合理安排生产过程，提高生产效率和产品质量。
二、资源分配2.1 人力资源：线性规划可以匡助企业合理分配人力资源，根据不同部门和岗位的需求，确定最佳的人员配置方案。
2.2 设备调度：线性规划可以优化设备的调度计划，确保设备的利用率最大化，减少闲置时间和能源浪费。
2.3 资金分配：线性规划可以匡助企业合理分配资金，根据不同项目的需求，确定最佳的资金分配方案，实现资金的最大效益。
三、运输问题3.1 物流配送：线性规划可以优化物流配送路线，确定最佳的配送方案，减少运输成本和时间。
3.2 仓储管理：线性规划可以匡助企业优化仓储管理，确定最佳的仓储位置和库存量，减少库存成本和仓储空间的浪费。
3.3 运输调度：线性规划可以匡助企业制定最佳的运输调度计划，合理安排运输车辆和货物的装载，提高运输效率和减少运输成本。
四、金融投资4.1 资产配置：线性规划可以匡助投资者确定最佳的资产配置方案，平衡风险和收益，实现投资组合的最优化。
4.2 资金规划：线性规划可以优化资金的规划和运用，确保资金的最大化利用和最小化风险。
4.3 投资决策：线性规划可以匡助企业制定最佳的投资决策方案，根据不同项目的收益和风险，确定最优的投资方向。
五、市场营销5.1 定价策略：线性规划可以匡助企业确定最佳的定价策略，根据市场需求和成本考虑，确定最优的价格水平。
5.2 促销策略：线性规划可以优化促销策略，确定最佳的促销活动方案，提高产品销售量和市场份额。
线性规划的应用
线性规划的应用引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、管理学、工程学等。
本文将从几个方面介绍线性规划的应用。
一、生产计划优化1.1 资源分配：线性规划可以用于优化生产过程中的资源分配，例如确定每个生产环节的最佳产量，以最大化总产量。
1.2 供应链管理：线性规划可以用于优化供应链中的物流和库存管理，帮助企业降低成本、提高效率。
1.3 产能规划：线性规划可以用于确定最佳的产能规划，以满足市场需求并最大化利润。
二、运输与物流优化2.1 路线规划：线性规划可以用于优化货物的运输路线，以减少运输成本和时间。
2.2 车辆调度：线性规划可以用于优化车辆的调度，以提高运输效率和减少等待时间。
2.3 仓储管理：线性规划可以用于优化仓储设施的布局和货物的存储方式，以提高仓储效率。
三、投资组合优化3.1 资产配置：线性规划可以用于优化投资组合，帮助投资者确定最佳的资产配置比例，以最大化收益或降低风险。
3.2 风险控制：线性规划可以用于优化投资组合中的风险控制策略，例如确定最佳的资产分散度和投资限额。
3.3 绩效评估：线性规划可以用于优化投资组合的绩效评估指标，以帮助投资者评估和比较不同投资组合的表现。
四、资源调度优化4.1 人力资源调度：线性规划可以用于优化人力资源的调度，例如确定最佳的员工排班方案，以满足工作需求并最大化员工效率。
4.2 设备调度：线性规划可以用于优化设备的调度，例如确定最佳的设备使用顺序和时间安排，以提高设备利用率和生产效率。
4.3 能源调度：线性规划可以用于优化能源的调度，例如确定最佳的能源供应方案，以降低能源成本和环境影响。
五、市场营销优化5.1 定价策略：线性规划可以用于优化定价策略，帮助企业确定最佳的价格水平，以最大化利润或市场份额。
5.2 广告投放：线性规划可以用于优化广告投放策略，例如确定最佳的广告媒体和投放时间，以提高广告效果和回报率。
线性规划通过线性规划解决实际问题
线性规划通过线性规划解决实际问题线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于解决实际问题。
它能够帮助我们合理安排资源，最大化利益或最小化成本。
通过线性规划，我们可以得到一个最优的决策方案。
一、线性规划的基本概念和原理线性规划是一种在约束条件下求解线性目标函数的优化问题。
它的基本概念包括决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量: 在线性规划中，我们需要定义一些决策变量，它们代表着我们需要做出的决策或者选择的方案。
2. 目标函数: 目标函数是线性规划中需要优化的目标，可以是最大化利润、最小化成本等。
3. 约束条件: 约束条件是限制线性规划问题的条件，可以是资源的限制、技术要求等。
线性规划的原理是通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，然后通过求解数学模型来得到最优解。
二、线性规划的应用领域线性规划在实际中有着广泛的应用领域，下面举几个例子来说明：1. 生产计划: 一家制造厂需要决定如何安排生产计划，以最大化利润。
线性规划可以帮助厂商确定每种产品的生产数量，以及每种产品所需要的资源和人力安排。
2. 运输调度: 一个物流公司需要决定如何合理地调度运输车辆，以最小化运输成本。
线性规划可以帮助物流公司确定各个仓库之间的物流路径和货物的运输量。
3. 资源分配: 一个学校需要决定如何合理地分配教职工和学生的资源，以最大化教育效益。
线性规划可以帮助学校确定教职工的安排和学生的班级编排。
三、线性规划的解决步骤解决线性规划问题一般需要以下几个步骤：1. 建立模型: 根据实际问题，将问题转化为线性规划模型，包括确定决策变量、目标函数和约束条件。
2. 求解方法: 使用线性规划方法，如单纯形法、对偶法等，求解线性规划模型，得到最优解。
3. 解释结果: 对最优解进行解释和分析，确定最优决策方案。
四、线性规划方法的优势和局限性线性规划方法有一定的优势和局限性。
1. 优势：线性规划方法是一种成熟、有效、可靠的数学方法，能够提供合理的决策方案。
线性规划问题的解法与应用
线性规划问题的解法与应用线性规划是一种数学工具，被广泛应用于各个行业，例如生产、物流、财务等。
其基本思想是在各种限制条件下，求出某些目标的最优解，被称之为线性规划问题。
解决线性规划问题的方法有很多种，包括普通单纯性法、双纯性法、内点法等。
本文将简要介绍一些解决线性规划问题的方法，并探讨其应用。
一、普通单纯性法在解决线性规划问题时，大多数情况下会采用普通单纯性法。
普通单纯性法是通过对线性规划问题进行简化，来寻找一个最优解的算法。
具体而言，普通单纯性法是基于线性规划的一个关键特性实现的：也就是说，一个线性规划的可行解有一个凸的区域，而这个区域的顶点就是这个线性规划问题的最优解。
因此，普通单纯性法通过不断地沿着顶点移动来查找最优解。
普通单纯性法的优点在于算法复杂度较低，适用于许多简单的线性规划问题。
然而，由于它的原理，普通单纯性法可能会在特定情况下变得相当低效，因此我们将考虑其他方法。
二、双纯性法双纯性法是一种更复杂但最终更有效的线性规划解法。
与普通单纯性法不同的是，双纯性法以两个方法的组合方式来寻找最优解。
首先，与普通单纯性法一样，它通过着眼于最优解所在的多维坐标系的顶点来寻找最优解。
然后，它采用对迭代过程进行精细检查来确保它没有跨过最优解。
双纯性法比普通单纯性法更准确，因为它在每一步操作时都会重新确定一个可行解的凸区域，而不是只沿着现有凸区域的边界线来确定最优解。
尽管双纯性法比普通单纯性法更复杂，但在大多数情况下，它可以在更短的时间内发现最优解。
三、内点法相比之下，内点法是一种数学计算质量不错的算法，它不依赖于这个可行域的顶点。
相反，内点法使用了每个可行域内部的点，即“内点”，来寻找目标函数的最优解。
具体地说，它会构建一个搜索方向，然后在可行域的内部沿着这个方向探索最优解。
这个方法非常适用于那些具有较大维度和复杂约束条件的线性规划问题。
除此之外，值得一提的是，在线性规划的解决过程中，其中一个非常重要的问题是约束条件的表示。
线性规划的应用
线性规划的应用一、引言线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于生产计划、资源分配、运输问题等领域。
本文将介绍线性规划的基本概念和应用案例，并详细解释如何使用线性规划方法解决实际问题。
二、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。
例如，最大化利润或最小化成本。
2. 约束条件：线性规划问题必须满足一组线性等式或不等式，称为约束条件。
这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
3. 决策变量：线性规划问题中需要做出决策的变量称为决策变量。
例如，生产数量、资源分配等。
4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。
线性规划问题的解必须是可行解。
三、线性规划的应用案例1. 生产计划问题假设一家公司有两种产品A和B，每种产品的生产需要一定的资源和时间。
公司希望确定每种产品的生产数量，以最大化利润。
通过线性规划，可以建立目标函数和约束条件，求解出最优的生产计划。
2. 资源分配问题一个工厂有多个生产线，每个生产线可以生产不同的产品。
工厂希望确定每个生产线的产量，以最大化总产量。
通过线性规划，可以将总产量视为目标函数，将每个生产线的产量视为决策变量，建立约束条件，求解出最优的资源分配方案。
3. 运输问题一个物流公司需要将货物从多个供应商运送到多个客户，每个供应商和客户之间的运输成本不同。
公司希望确定每个供应商和客户之间的货物运输量，以最小化总运输成本。
通过线性规划，可以建立目标函数和约束条件，求解出最优的运输方案。
四、线性规划的解法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制等式或不等式的图形来找到最优解。
最优解通常出现在图形的顶点处。
2. 单纯形法：对于高维线性规划问题，可以使用单纯形法求解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断调整决策变量的取值，逐步接近最优解。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划是线性规划的扩展，适用于需要做出离散决策的问题。
线性规划的应用
线性规划的应用一、引言线性规划是一种数学优化方法，可用于解决各种实际问题。
本文将介绍线性规划的基本概念和应用领域，并通过具体案例展示其在实际问题中的应用。
二、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数被称为目标函数。
目标函数通常表示为各个决策变量的线性组合。
2. 约束条件：线性规划问题必须满足一组线性不等式或等式的约束条件。
这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
3. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，其取值对问题的解决方案产生影响。
4. 可行解：满足约束条件的决策变量取值称为可行解。
5. 最优解：在满足约束条件的可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
三、线性规划的应用领域线性规划广泛应用于各个领域，包括生产计划、资源分配、运输问题、投资组合、市场营销等。
下面将通过一个生产计划的案例来说明线性规划在实际问题中的应用。
案例：生产计划问题某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，每单位产品B的利润为15元。
公司有两个生产车间，生产车间1每天可生产产品A 4个单位或产品B 6个单位；生产车间2每天可生产产品A 6个单位或产品B 3个单位。
公司每天的生产时间为8小时。
假设公司希望最大化每天的利润，请问应该如何安排生产计划？解决方案：1. 确定决策变量：- x1：生产车间1生产的产品A的单位数- x2：生产车间1生产的产品B的单位数- x3：生产车间2生产的产品A的单位数- x4：生产车间2生产的产品B的单位数2. 建立目标函数和约束条件：目标函数：最大化利润- 目标函数：maximize 10x1 + 15x2 + 10x3 + 15x4约束条件：生产时间和生产能力的限制- 生产时间约束：4x1 + 6x2 + 6x3 + 3x4 <= 8- 生产能力约束：x1, x2, x3, x4 >= 03. 求解最优解：使用线性规划求解器，可以得到最优解，即每天生产2个单位的产品A和1个单位的产品B，每天的利润为40元。
线性规划应用线性规划解决实际问题
线性规划应用线性规划解决实际问题线性规划应用：线性规划解决实际问题线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于解决各种实际问题。
通过对线性函数和线性不等式进行约束，线性规划能够找到最佳解，使得目标函数在约束条件下达到最大或最小值。
在本文中，将探讨线性规划在解决实际问题方面的应用。
一、生产问题的线性规划在生产过程中，线性规划可以帮助企业制定最佳的生产方案。
例如，某家制造公司生产两种产品A和B，每天的生产时间有限。
产品A每单位可以获得100元的利润，产品B每单位可以获得80元的利润。
根据市场需求，每天销售量的上限是200个单位的A和150个单位的B。
此外，生产一个单位的产品A需要2小时，而生产一个单位的产品B需要3小时。
企业想要最大化每天的利润，应该如何分配生产时间？这个问题可以用线性规划来解决。
假设$x$代表生产的产品A数量，$y$代表生产的产品B数量。
则目标函数为$100x+80y$，约束条件为$2x+3y \leq T$，其中$T$为每天的生产时间（以小时为单位）。
另外还有约束条件$x \leq 200$（销售上限）和$y \leq 150$（销售上限），以及$x,y \geq 0$（生产数量非负）。
通过求解这个线性规划问题，可以得到最佳的生产方案，从而实现最大的利润。
二、资源分配问题的线性规划线性规划还可以应用于资源分配问题。
例如，某社区有一定数量的土地可供开发，而开发商希望在这块土地上建造住宅和商业用地，以获得最大的利润。
由于土地有限，住宅和商业面积的总和不能超过土地面积。
此外，开发商希望确保住宅面积至少是商业面积的2倍。
在给定土地面积和其他约束条件的情况下，该如何确定住宅和商业面积的最佳分配？这个问题可以建模为一个线性规划问题。
假设$x$代表住宅面积，$y$代表商业面积。
则目标函数为$x+y$，约束条件为$x+y \leq A$，其中$A$表示土地面积。
另外还有约束条件$x \geq 2y$（住宅面积至少是商业面积的2倍），以及$x,y \geq 0$（面积非负）。
线性规划求解在客户服务中心排班问题中的应用
线性规划求解在客户服务中心排班问题中的应用作者：赵红艳来源：《电脑知识与技术·学术交流》2008年第06期摘要：线性规划被广泛地应用于工业、交通、国防、经济、管理等领域，已成为现代科学管理的重要手段和管理决策的有效方法，在管理中的有代表性的应用案例有资源分配问题、员工的排班问题、运输问题、投资问题和成本效益平衡问题等。
Exce的普及性和易学性也会让读者感到利用计算机求解线性规划十分容易。
本文给出运用规划求解，解决客户服务中心每个班次的上班人数，使在满足客户服务的情况下，达到成本最低。
关键词：线性规划；规划求解；客户中心；排班中图分类号：TP311文献标识码：A文章编号：1009-3044(2008)06-10ppp-0cThe Application of Settlement by Linear Programming in the Stuff Shift Arrangement of Consumer Service CenterZHAO Hong-yan(Shandong Yingcai Vocational Technology College, Jinan 250104, China)Abstract: Linear programming has been applied in industry, communications, economy, and management widely, and it has become an important and efficient means of modern scientific management. The balances of resource allocation, the stuff shift arrangement, the investment and cost are the representative applied cases in management. Excel is popular and easy to learn, which makes the linear program settled by computer easy for people. Settlement by programming is explained in this article, which is used to give the most reasonable number of people in each shift in the consumer service center, in purpose of using the lowest cost to meet the consumer's need.Key words: linear programming; the settlement of programming; consumer service center; stuff shift arrangement1 引言线性规划是运筹学的一个分支，它的应用已愈来愈深入到社会生产和经济活动的各个领域。
线性规划问题的解法与应用
线性规划问题的解法与应用线性规划是一种数学优化方法，用于求解最大化或最小化目标函数的线性约束问题。
线性规划问题的解法涉及到多种算法和技巧，并且具有广泛的应用领域。
本文将介绍线性规划问题的解法以及其在实际应用中的案例。
一、线性规划问题的基本形式线性规划问题的基本形式可以表示为：Max (or Min) Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z为目标函数，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数中各变量的系数；a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件中各变量的系数；b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数；x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。
二、线性规划问题的解法线性规划问题的解法通常包括下列步骤：1. 建立模型：根据实际问题和约束条件，确定目标函数和约束条件的形式，并定义决策变量。
2. 简化模型：对模型进行适当的变化和转化，以便于求解。
例如，可以通过引入松弛变量、人工变量或者对偶问题来简化原始问题。
3. 求解模型：根据简化后的模型，通过线性规划算法求解最优解。
常用的线性规划算法包括单纯形法、内点法、分支定界法等。
根据具体情况选择合适的算法。
4. 分析并优化解：分析最优解的意义和解的特点，并进行问题的优化。
如果最优解满足实际需求，则问题得到解决；否则，可以对模型进行进一步优化或者调整。
三、线性规划问题的应用线性规划问题的应用非常广泛，几乎涉及到所有需要进行决策的领域。
以下是一些常见的线性规划应用案例：1. 生产计划问题：生产计划通常需要在有限的资源下最大化产量或者利润。
线性规划可以帮助确定最佳的生产计划，以实现最大化目标。
线性规划方法在优化调度问题中的应用分析
线性规划方法在优化调度问题中的应用分析线性规划是一种优化问题求解方法，它通过确定一组决策变量的取值，使得目标函数达到最大或最小值，并且满足一定的约束条件。
线性规划在各个领域都有广泛的应用，特别是在优化调度问题中具有重要的意义。
本文将分析线性规划在优化调度问题中的应用。
首先，线性规划在生产调度中的应用非常广泛。
在生产过程中，我们通常需要确定不同产品的生产数量，以满足市场需求，并且要合理分配资源以最大化利润。
线性规划可以帮助我们确定每种产品的生产数量，使得总利润最大化。
同时，线性规划还可以考虑生产过程中的各种约束条件，比如设备的使用时间、人力资源限制等，以保证生产过程的顺利进行。
其次，线性规划在物流调度中也有重要的应用。
物流调度是指在各种约束条件下，合理安排物流车辆的调度，以实现物流效率的最大化。
线性规划可以帮助我们确定各个物流中心的货物调拨方案，以最大化整个物流系统的运输效率。
同时，线性规划还可以考虑各种约束条件，如道路拥堵、运输成本等因素，以确保物流过程的顺利进行。
此外，线性规划在航班调度中也有广泛的应用。
航班调度是指在满足各种航空安全和飞行约束条件下，合理安排航班的起飞和降落时间，以实现航班调度的最优化。
线性规划可以帮助我们确定每个机场的航班起降时间，以最大化整个航班系统的效率。
同时，线性规划还可以考虑各种因素，如航班的客流量、飞机的维修时间等，以确保航班调度的顺利进行。
最后，线性规划在资源调度中也有重要的应用。
资源调度是指在满足各种约束条件下，合理分配有限的资源以最大化利用效率。
线性规划可以帮助我们确定每个任务对资源的需求量，以及资源的分配方案，以最大化整个系统的利用效率。
同时，线性规划还可以考虑各种限制条件，如资源供应的可行性、资源利用的效率等，以确保资源调度的顺利进行。
综上所述，线性规划在优化调度问题中具有广泛的应用。
它可以帮助我们确定决策变量的取值，使得目标函数达到最大或最小值，并满足一定的约束条件。
运筹学算法的使用方法
运筹学算法的使用方法运筹学是一门研究如何通过数学模型和优化方法来解决实际问题的学科。
它涉及到许多算法和技巧，可以帮助我们在各种场景下进行决策和规划。
本文将介绍几种常用的运筹学算法及其使用方法，帮助您更好地应用运筹学于实际问题中。
一、线性规划线性规划是运筹学中最基本也是最常用的方法之一。
它的目标是在给定的约束条件下，寻找使目标函数最大化或最小化的最佳决策方案。
线性规划的模型可以表示为以下形式：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, …, xₙ ≥ 0其中，x₁, x₂, …, xₙ为待决策的变量，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, …, aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, …, bₙ为约束条件的边界。
要求解线性规划问题，可以使用单纯形法、内点法等算法。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求变量的取值必须是整数。
整数规划广泛应用于许多实际问题，如生产计划、货物配送、员工排班等。
解决整数规划问题的算法主要包括分支定界法、割平面法、动态规划法等。
这些算法可以将整数规划问题转化为线性规划问题，并通过逐步迭代来搜索最优解。
三、网络流优化网络流优化是研究网络中最大吞吐量、最短路径、最小费用等问题的一类方法。
它可以应用于交通路网规划、电力调度、物流配送等领域。
在网络流优化中，常用的算法有最小费用流算法、最大流算法、最小费用最大流算法等。
这些算法可以帮助我们找到网络中的最优方案，并且具有良好的可扩展性和效率。
四、排队论排队论是研究排队系统的数学模型和解决方法的学科。
它可以应用于餐厅、银行、交通等场景中的排队问题。
排队论的模型包括顾客到达模型、服务模型和排队模型。
线性规划算法的应用案例
线性规划算法的应用案例线性规划是应用最广泛的数学优化方法之一，也是一种非常有效的运筹学技术。
它的基本思想是将问题建模成一组线性方程和线性不等式的组合，通过寻找最优解来实现目标最大化或最小化。
线性规划算法广泛应用于制造业、金融、物流和交通等领域，以下将介绍几个重要的应用案例。
1. 生产计划和调度线性规划算法可以用于制造业的生产计划和调度。
例如，在一家造纸厂中，有若干个可用的生产线、仓库和运输车辆，需要考虑原材料的成本、工人的人工费用、工厂的能耗费用以及运输的成本等因素，制定出最佳的生产计划和调度方案。
对于这类问题，可以将目标函数设置为生产成本最小化或产出效率最大化，约束条件包括原材料的库存量、生产线的容量和物流的时间窗口等。
通过使用线性规划算法，可以得到最佳的生产计划和调度方案，使得企业的生产效率和盈利能力得到提升。
2. 市场营销和广告投放线性规划算法可以帮助企业制定最佳的市场营销和广告投放方案。
例如，在一家快递公司中，需要制定如何调整价格策略、开拓市场份额、投放广告等方案，以达到最大化利润或最小化成本的目标。
对于这类问题，可以将目标函数设置为销售额最大化或成本最小化，约束条件包括市场份额的限制、广告投放预算的限制等。
通过使用线性规划算法，可以得到最佳的市场营销和广告投放方案，提高企业的营销效率和市场竞争力。
3. 交通运输和物流配送线性规划算法可以用于交通运输和物流配送领域。
例如，在一个物流中心中，需要规划配送路线和运输车辆的分配，以最小化交通堵塞和物流成本的影响。
对于这类问题，可以将目标函数设置为运输成本最小化或配送效率最大化，约束条件包括车辆数量的限制、货物配送时间的限制等。
通过使用线性规划算法，可以得到最佳的路线规划和车辆分配方案，提高企业的配送效率和物流运转效率。
4. 金融投资和风险管理线性规划算法可以用于金融投资和风险管理领域。
例如，在一个投资银行中，需要制定最佳的投资组合和股票交易策略，以最大化收益和降低风险。
呼叫中心人员排程,线性规划案例研究
呼叫中心人员排程问题
小组成员：
1、问题背景
加利福利亚儿童医院由于混乱、分散的预约和挂号程序而收到 了大量的客户投诉 父母亲们通常不知道去哪一个门诊部或者部门说明孩子的病情 最合适，他们必须花大量的时间找到正确的电话号码，然而各 个门诊部和部门互不交流。 儿童医院决定通过建立一个呼叫中心专门用于处理预约和挂号 计划开放时间：每个工作日的7:00AM~9:00PM 医院为许多说西班牙语的病人提供服务，平均20%的电话来 自于说西班牙语的人 一个操作人员平均每小时可以处理6个电话，有全职和兼职的 员工可以配备给呼叫中心
h. 为了改进服务或使得运作成本最低， Lenny还应当考虑
呼叫中心的其他什么特征？
•给接电话的员工进行技能培训，提高人员的工 作效率 •可以考虑每小时换一次班或者不换班的情况 •可以加入自动应答系统
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求和 1680 6 12 13 13 11 5 2 2 3 4 5 3 2 1 1 1
解决方案 x1 x2 x3 x4 x5 y1 y2 y3 y4 y5 m5 m6 6 13 4 0 2 2 3 2 2 1 5 0
解得：X= (6,13,4,0,2)T Y=(2,3,2,2,1)T M=(5,0)T Z=1640
d. 由于许多全职的操作人员不想工作到太晚，因此Lenny只能找 到一个合格说英语的操作人员愿意从1PM开始工作。根据 这个新的约束，每一个工作轮换需要多少个讲西班牙语的全 职操作人员、讲英语的全职工作人员和兼职人员？
线性规划与人员安排
线性规划与人员安排
人员安排是每个社会管理者必备的技能，是让各种计划严密有序实施的关键。
随着社会的不断发展，服务行业的普及，现代社会的组织架构变得越来越复杂，因此选择相关管理技术来在限制条件下优化人员安排，也就成为迫在眉睫的任务。
线性规划是当前最普遍的人员安排方法之一。
它通过数学来分配任务，根据具
体情况判断最优可行方案。
此外，线性规划也可以根据公司状况制定最合理的分配方案，以保证更加恰当的使用资源。
如何有效地利用线性规划来提高效率，成为当下社会管理者的主要考题。
首先，了解公司的需求，识别影响因素，以便确定更加合理的资源分配模式；其次，需要建立一个可行的模型，建立工作人员的任务安排，包括时间限制和资源约束等；最后，按照规定的方法，利用线性规划计算机软件，执行计算和分配，提高历史处理结果的效率。
综上所述，线性规划是一种有效的人员安排方法，它可以使公司能够更加合理的分配人力资源，提高管理效率，提升企业运作能力。
如果正确使用，不仅可以改善企业的效率，还可以为员工和家庭带来更好的生活娱乐。
探究排队人数与窗口数的线性规划问题
探究排队人数与窗口数的规划问题1、摘要：1.1 本论文的背景和意义在经济飞速发展人口与急速膨胀的今天，基本上我们做什么事都免不了排队。
小到等卫生间，大到春运，排队成为了我们生活重要的组成部分。
快节奏的生活使排队变成了一个漫长而煎熬的过程，我们都希望自己所在的队伍能够短一点再短一点，排队的时间能够少一点再少一点，然而商家不可能无止境地开设窗口，所以问题就集中在商家开设窗口的成本与顾客在排队时付出的时间成本问题上了。
在这个论文中，我们从商家与顾客两个角度一起考虑，将等待时间与商家所开窗口数联系起来，再将成本带入，并找到了一个能使双方投入最少的一个极值。
在这个研究中，我们不把这两方看成是对立的“商人”“客人”，更像是与自己利益休戚相关的“伙伴”，将对方的利益与自己的紧密联系起来，从而就达到“双赢”的目的。
1.2本论文的主要方法和研究进展在研究中，我们首先建立了一个简单的数学模型，来观察统计在排队中会出现的问题，我们用了抓阄的方法来选取1~10的随机数，设置一个排队等待时间的模型，分了两种情况，发现了在排队办理业务中窗口的设计合理与否对于顾客等待时间呈负相关，由此我们模拟了一个接近于现实生活中的情况，计算当顾客为50人时，合适的窗口数为多少，得到了一个函数公式并求出了极值。
从我们构造的模型中得到的计算结果来看，当人数一定时，开设人数一半左右的窗口数是最好的，但是由于各种限制，所以可能结论并不是最合适的。
但是这个研究还是给了我们启示：在有关成本与利润的问题中，变量时多方面的，但是在某些方面，总会有一个最值可以通过数学方法求出，使利润最高或成本最低。
1.3本论文的关键词：排队、银行、顾客、成本、双赢2、引言：随着市场经济的发展，越来越多的业务需要办理，但是由于设计的不合理，商家所设置的窗口无法适应客户的需求。
当出现一些情况，如节假日或某些特殊状况时引起“排长队”而导致顾客流失的问题；或者由于估计错误导致生产资料的浪费，因此我们想找出窗口与客流量之间的关系，进而解决这个问题：既不出现过长的排队，也不会导致浪费。
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线性规划求解在客户服务中心排班问题中的应用赵红艳（山东英才职业技术学院，山东济南２５０１０４）摘要：线性规划被广泛地应用于工业、交通、国防、经济、管理等领域，已成为现代科学管理的重要手段和管理决策的有效方法，在管理中的有代表性的应用案例有资源分配问题、员工的排班问题、运输问题、投资问题和成本效益平衡问题等。
Ｅｘｃｅ的普及性和易学性也会让读者感到利用计算机求解线性规划十分容易。
本文给出运用规划求解，解决客户服务中心每个班次的上班人数，使在满足客户服务的情况下，达到成本最低。
关键词：线性规划；规划求解；客户中心；排班中图分类号：ＴＰ３１１文献标识码：Ａ文章编号：１００９－３０４４（２００８）０６－１１１４３－０５ＴｈｅＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＳｅｔｔｌｅｍｅｎｔｂｙＬｉｎｅａｒＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｉｎｔｈｅＳｔｕｆｆＳｈｉｆｔＡｒｒａｎｇｅｍｅｎｔｏｆＣｏｎｓｕｍｅｒＳｅｒｖｉｃｅＣｅｎｔｅｒＺＨＡＯＨｏｎｇ－ｙａｎ（ＳｈａｎｄｏｎｇＹｉｎｇｃａｉＶｏｃａｔｉｏｎａｌＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＣｏｌｌｅｇｅ，Ｊｉｎａｎ２５０１０４，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｈａｓｂｅｅｎａｐｐｌｉｅｄｉｎｉｎｄｕｓｔｒｙ，ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，ｅｃｏｎｏｍｙ，ａｎｄｍａｎａｇｅｍｅｎｔｗｉｄｅｌｙ，ａｎｄｉｔｈａｓｂｅｃｏｍｅａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔａｎｄｅｆｆｉｃｉｅｎｔｍｅａｎｓｏｆｍｏｄｅｒｎｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃｍａｎａｇｅｍｅｎｔ．Ｔｈｅｂａｌａｎｃｅｓｏｆｒｅｓｏｕｒｃｅａｌｌｏｃａｔｉｏｎ，ｔｈｅｓｔｕｆｆｓｈｉｆｔａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ，ｔｈｅｉｎｖｅｓｔ－ｍｅｎｔａｎｄｃｏｓｔａｒｅｔｈｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｖｅａｐｐｌｉｅｄｃａｓｅｓｉｎｍａｎａｇｅｍｅｎｔ．Ｅｘｃｅｌｉｓｐｏｐｕｌａｒａｎｄｅａｓｙｔｏｌｅａｒｎ，ｗｈｉｃｈｍａｋｅｓｔｈｅｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｓｅｔ－ｔｌｅｄｂｙｃｏｍｐｕｔｅｒｅａｓｙｆｏｒｐｅｏｐｌｅ．Ｓｅｔｔｌｅｍｅｎｔｂｙｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｉｓｅｘｐｌａｉｎｅｄｉｎｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅ，ｗｈｉｃｈｉｓｕｓｅｄｔｏｇｉｖｅｔｈｅｍｏｓｔｒｅａｓｏｎａｂｌｅｎｕｍｂｅｒｏｆｐｅｏｐｌｅｉｎｅａｃｈｓｈｉｆｔｉｎｔｈｅｃｏｎｓｕｍｅｒｓｅｒｖｉｃｅｃｅｎｔｅｒ，ｉｎｐｕｒｐｏｓｅｏｆｕｓｉｎｇｔｈｅｌｏｗｅｓｔｃｏｓｔｔｏｍｅｅｔｔｈｅｃｏｎｓｕｍｅｒ＇ｓｎｅｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ；ｔｈｅｓｅｔｔｌｅｍｅｎｔｏｆｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ；ｃｏｎｓｕｍｅｒｓｅｒｖｉｃｅｃｅｎｔｅｒ；ｓｔｕｆｆｓｈｉｆｔａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ１引言线性规划是运筹学的一个分支，它的应用已愈来愈深入到社会生产和经济活动的各个领域。
描述线性规划问题的抽象的数学式子是线性规划问题的数学模型。
建立数学模型后，求解满足约束条件的目标函数的最优解是解决线性规划问题的关键。
数学中常用的方法是图解法和单纯形法，而图解法只适用于两个变量的目标函数，单纯形法则计算量相当大，步骤繁琐，容易出错。
在Ｅｘｃｅｌ中建立电子表格模型，并利用它提供的“规划求解”工具，能轻松快捷地求解模型的解。
Ｅｘｃｅｌ是分析和求解线性规划问题很好的工具，它不仅可以很方便地将线性规划模型所有的参数录入电子表格，而且可以利用规划求解工具迅速找到模型的解。
Ｅｘｃｅ中的这个工具叫规划求解，可以方便地求解线性规划模型。
２线性规划在话务员排班问题中的具体应用用Ｅｘｃｅｌ解线性规划，必须在Ｅｘｃｅｌ系统中加载“规划求解”项目，“规划求解”加载宏是Ｅｘｃｅｌ的一个可选加载模块，在安装Ｅｘ－ｃｅｌ时，只有在选择“定制安装”或完全安装时才可以选择装入这个模块。
如果没有，可以启动Ｅｘｃｅｌ软件，进入Ｅｘｃｅｌ用户界面，然后通过“工具”菜单的“加载宏”选项打开“加载宏”对话框来添加“规划求解”，如图１所示。
下面介绍线性规划在话务员排班问题中的具体应用过程。
某公司新建了一个客户中心，雇用了多名话务员工作，他们每天工作３节，每节３小时，每节开始时间为０点、３点钟、６点钟，９点、１２点、１５点、１８点、２１点，为方便话务员上下班，管理层安排每位话务员每天连续工作３节，根据调查，对于不同的时间，由于业务量不同，需要的话务员的人数也不相同，公司付的薪水也不相同，有关数据见表１。
那如何安排话务员才能保证服务人数，又使总成本最低呢？这个问题实际上是一个成本效益平衡问题。
公司在向客户提供满意服务水平的同时要控制成本，因此必须寻找成本与效益的平衡。
由于每节工作时间为３小时，一天被分为８班，每人连续工作３节，为建立数学模型，对应于一般成本效益平衡问题，我们首收稿日期：２００８－０１－２３作者简介：赵红艳（１９７４－），女，河北保定人，讲师，硕士，主要研究方向：数据库、数据挖掘。
图１“加载宏”对话框表１各时间段所需的人数及应付薪水的对照表先必须明确包含的活动数目，活动一个单位是对应于分派一个话务员到该班次，效益的水平对应于时段。
收益水平就是该时段里上下班的话务员数目，各活动的单位效益贡献就是在该时间内增加的在岗位话务员数目。
成本效益平衡问题参数表如表２。
表２成本效益平衡问题参数表决策变量ｘｉ表示分派到第ｉ班的话务员人数（ｉ＝１，２，３，４，５，６，７，８），约束条件为：０－３时间段：ｘ１＋ｘ７＋ｘ８≥８（最低可接受水平）３－６时间段：ｘ１＋ｘ２＋ｘ８≥６６－９时间段：ｘ１＋ｘ２＋ｘ３≥１５９－１２时间段：ｘ２＋ｘ３＋ｘ４≥２０１２－１５时间段：ｘ３＋ｘ４＋ｘ５≥２５１５－１８时间段：ｘ４＋ｘ５＋ｘ６≥２３１８－２１时间段：ｘ５＋ｘ６＋ｘ７≥１８２１－０时间段：ｘ６＋ｘ７＋ｘ８≥１０非负约束：ｘｉ≥０ｉ＝１，２，３，４，５，６，７，８目标函数为最小化成本：Ｚ＝８４ｘ１＋８０ｘ２＋７０ｘ３＋６２ｘ４＋６２ｘ５＋６６ｘ６＋７２ｘ７＋８０ｘ８填充数据：首先将要求解模型的所有相关信息和公式填入电子表格中。
在应用规划求解工具以前，要首先确认在Ｅｘｃｅｌ电子表格中包括决策变量、目标函数、约束函数三种信息的单元格或单元格区域。
本例中决策变量在Ｄ１４到Ｋ１４单元格中；目标函数的系数在第１３行；约束函数在第５－１２行。
如图２所示。
图２数据添加界面选取“工具”→“规划求解”命令后，弹出图３所示的“规划求解参数”对话框。
图３“规划求解参数”对话框“规划求解参数”对话框的作用就是让计算机知道模型的每个组成部分放在电子表格的什么地方，我们可以通过键入单元格（或单元格区域）的地址或用鼠标在电子表格相应的单元格（或单元格区域）点击或拖动的办法将有关信息加入到对话框相应的位置。
２．１设置目标单元格在此文本框中应指定目标函数所在单元格的引用位置，此目标单元格，经求解后获得某一特定数值、最大值或最小值。
由此可见，这个单元格必须包含公式。
本例中由于目标函数在Ｌ１３单元格，所以输入“Ｌ１３”。
２．２设置求解值的类型在此指定是否需要对目标单元格求取最大值、最小值或某一指定数值。
如果需要让目标函数为某一指定数值，则要在右侧编辑框中键入。
本例是求目标函数最小化，所以选最小值。
２．３设定可变单元格可变单元格指定决策变量所在的各个单元格、不含公式，可以有多个区域或单元格，求解时其中的数值不断调整，直到满足约束条件，并且“设置目标单元格”编辑框中指定的单元格达到目标值。
可变单元格必须直接或间接与目标单元格相联系。
本例的决策变量在Ｄ１４－Ｋ１４的几个单元格中，所以在此键入Ｄ１４：Ｋ１４单元格引用区域。
２．４添加约束条件显示“添加约束”对话框。
图４“添加约束”对话框在添加约束对话框中有三个选项，其中：２．４．１单元格引用位置指定需要约束其中数据的单元格或单元格区域，一般在此处添加约束函数不等式左侧的函数表达式的单元格或单元格区域。
本例输入“Ｌ５：Ｌ１２”。
２．４．２约束值在此指定对“单元格引用位置”编辑框中输入的内容的限制条件。
即，对于单元格引用及其约束条件，选定相应的需要添加或修改的关系运算符（＜＝、＝、＞＝、Ｉｎｔ或Ｂｉｎ），然后在右侧的编辑框中输入数字、单元格或区域引用及公式等约束条件。
本例输入“Ｎ５：Ｎ１２”。
２．４．３添加其他约束单击此按钮可以在不返回“规划求解参数”对话框的情况下继续添加其它约束条件。
再添加引用位置“Ｄ１４：Ｋ１４”＞０的约束。
按“确定”键，回到“规划求解”参数对话框，我们发现“约束”一栏中已经显示了我们刚刚添加的约束。
设置好以上约束条件后，显示的结果如下：图５“规划求解参数”设置好的对话框由于本例所有的不等式都是“＜＝”，所以利用单元格引用区域一次添加，否则，要分几次添加约束。
２．５设置选项单击显示“规划求解参数”对话框中的“选项”按钮，显示如下对话框。
在其中装入或保存规划求解模型，并对求解运算的高级属性进行设定。
本例中的模型是线性的，而且所有变量都是非负的，所以在选中“采用线性模型”和“假定非负”两个复选框，本对话框的其它选项采用默认值。
图６“规划求解参数”对话框２．６对定义好的问题进行求解，并生成敏感性报告单击“求解”按钮后，经过几秒钟的计算，弹出“规划求解结果”对话框，选择“保存规划求解结果”，并自动生成敏感性报告。
图７“规划求解结果”对话框２．６．１得到决策变量的最优解图８决策变量的最优解由图８看出，即第一班安排４人上班，第二班安排２人上班，第三、四、五、六、七班分别安排９、９、８、６、４人，第八班不安排人，在满足各时段的最低人数需求的同时花费最少的薪金支出（２８６４元）。
２．６．２生成敏感性报告在“规划求解结果”对话框中选择“敏感性报告”，会生成如下的敏感性报告。
图９敏感性报告在“规划求解参数”对话框的“目标单元格”编辑框中所指定的公式的微小变化，以及约束条件的微小变化对求解结果都会有一定的影响。
此报告提供关于求解结果对这些微小变化的敏感性的信息。
由上图的敏感性分析报告知：目标函数中１班的系数为８４，在其它系数不变的情况下，系数变化范围在８４－６０～８４＋６０，即２４～１４４变化时，不影响最优解。
并可以得到其他班次的敏感性分析。
目标函数中８班的系数为８０，在其它系数不变的情况下，系数变化范围在８０－３０～８４＋无穷大，即５０～无穷大变化时，不影响最优解。
０－３点约束的影子价格为３６，有效范围：６～１２人，增加改班次人数会增加目标值，证明该约束有效。
１２－１５点约束的影子价格为０，显示该约束是无效的。
参考文献：［１］李荣钧，邝英强．运筹学［Ｍ］．华南理工大学出版社，２００２．［２］迪米特里斯・伯特西马斯，罗伯特・Ｍ・弗罗因德著，李中新译．数据、模型与决策［Ｍ］．中信出版社，２００４．。