2019年高三数学最新信息卷三文

2019年高考高三最新信息卷文 科 数 学（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·江师附中]集合{}12A x x =-≤≤，{} 1B x x =<，则()A B =R ð（ ）A ．{}1x x >B ．{}1x x ≥C ．{}12x x <≤D ．{}12x x ≤≤2．[2019·呼和浩特调研]若复数()()2i 1i a ++（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．123．[2019·蚌埠质检]高三第一学期甲、乙两名同学5次月考的地理学科得分的茎叶图如图所示，其中两竖线之间是得分的十位数，两边分别是甲、乙得分的个位数．则下列结论正确的是（ ）A ．甲得分的中位数是78B ．甲得分的平均数等于乙得分的平均数C ．乙得分的平均数和众数都是75D ．乙得分的方差大于甲得分的方差4．[2019·惠来一中]平面向量a 与b 的夹角为π3，()2,0=a ，1=b ，则2-=a b （ ） A．BC ．0D ．2 5．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（ ）A ．12k ≤B ．11k ≤C ．10k ≤D ．9k ≤ 6．[2019·四川诊断]几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A ．729B ．428C ．356D ．243 7．[2019·唐山一中]已知01b a <<<，则在b a ，a b ，a a ，b b 中最大值是（ ） A ．a b B ．a a C ．b a D ．b b 8．[2019·宜宾诊断]已知直线1l ：360x y +-=与圆心为()0,1M的圆相交于A ，B 两点，另一直线2l ：22330kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为（ ） A．B．C．)51 D．)51 9．[2019·吉林实验中学]一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ） ABCD10．[2019·四川诊断]已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象向左 平移π6个单位后所得图象关于y 轴对称，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ．5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z B ．πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z C ．5ππ2π,2π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z D ．π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z11．[2019·衡水二中]数列{}n a 中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从作到右分别排2a ，3a ；第三行3项，以此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足2000n S >的最小正整数n 的值为（ ）A ．27B ．26C ．21D ．2012．[2019·六盘山中学]定义域为R 的奇函数()f x ，当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<恒成立，若()33a f =，()1b f =，()22c f =--，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >>第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·全国大联考]若实数x ，y 满足1223y x x y x y ≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩，则2z x y =+的最小值为_______．14．[2019·云师附中]在1和2之间插入2016个正数，使得这2018个数成为等比数列，则这个数列中所有项的乘积为______．15．[2019·南洋中学]已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()26f x x =-，则0x >时，不等式()f x x <的解集为_______．16．[2019蚌埠质检]设1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 是双曲线的右支上的点，满足212PF F F =，且原点O 到直线1PF 的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的离心率为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·保山统测]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． （1）求角C ； （2）若c =ABC △周长的最大值． 18．（12分）[2019·安庆二模]我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务和责任．某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准，为此，对全市家庭日常用水的情况进行抽样调查，并获得了n 个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表所示．（1）分别求出n ，a ，b 的值； （2）若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭平均用水量； （3）从样本中年用水量在[]50,60（单位：立方米）的5个家庭中任选3个，作进一步跟踪研究，求年用水量最多的家庭被选中的概率（5个家庭的年用水量都不相等）．19．（12分）[2019·延庆一模]在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=︒，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA AB ⊥，2AB AC PA ===，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，过EF 的平面与面PCD 交于M ，N 两点．（1）求证：//EF MN ；（2）求证：平面EFMN ⊥平面PAC ；（3）设=DMDP λ，当λ为何值时四棱锥M EFDC -的体积等于1，求λ的值．20．（12分）[2019·柳州模拟]如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 为椭圆C 上任意一点，A 关于原点O 的对称点为B ，有114AF BF +=，且12F AF ∠的最大值π3． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若A '是A 于x 轴的对称点，设点()4,0N -，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A E '与x 轴相交于点M ，试求12NF MF ⋅的值．21．（12分）[2019·吉林调研]已知函数()()21ln ,02f x m x x m m =-∈>R ．（1）若2m =，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()y f x =在⎤⎦上有零点，求m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 [2019·执信中学]极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为πcos 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，射线π6θα=-，θα=，π3θα=+，π2θα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ． （）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程． （）求()f OA OC OB OD α=⋅+⋅，当ππ63α≤≤时，求()f α的值域． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·衡阳联考]已知函数()2f x x a x =++-． （1）若()f x 的最小值为3，求实数a 的值； （2）若2a =时，不等式()4f x ≤的解集为A ，当m ，n A ∈时，求证：42mn m n +≥+．绝密 ★ 启用前2019年高考高三最新信息卷 文科数学答案（三）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】∵{}1B x x =≥R ð，∴(){}12A B x x =≤≤R ð，故选D ．2．【答案】D【解析】∵()()()()2i 1i 2121i a a a ++=-++在复平面内所对应的点在虚轴上，∴210a -=，即12a =．故选D ．3．【答案】C【解析】甲的中位数为76，排除A 选项．平均数为5664767886725++++=， 方差为()()()()()22222156726472767278728672113.65⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦；乙的众数为75，平均数为6275758182755++++=，排除B 选项，且C 选项正确， 方差为()()()()()2222216275757575758175827550.85⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，排除D 选项．综上所述，故选C ．4．【答案】D【解析】∵()2,0=a ，∴2=a ，∴πcos 13⋅==a b a b ，∴22-==a b ．故选D ．5．【答案】D【解析】初始值12k =，1S =，执行框图如下：112121320S =⨯=≠，12111k =-=；k 不能满足条件，进入循环12111321320S =⨯=≠，11110k =-=；k 不能满足条件，进入循环； 132101320S =⨯=，1019k =-=，此时要输出S ，因此k 要满足条件，∴9k ≤． 故选D ．6．【答案】D【解析】由题得几何体原图是如图所示的四棱锥P ABCD -，底面是边长为9的正方形，高9PA =，∴几何体的体积为2199=2433V =⋅⋅．故选D ． 7．【答案】C 【解析】∵01b a <<<，∴x y a =和x y b =均为减函数，∴b a a a >，a b b b <， 又∵b y x =在()0,+∞为增函数，∴b b a b >，即在b a ，a b ，a a ，b b 中最大值是b a ，故选C ． 8．【答案】A 【解析】以()0,1M的圆的方程为()2215x y +-=， 联立()2236015x y x y +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得()2,0A ，()1,3B ，∴AB 中点为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 而直线2l ：22330kx y k +--=恒过定点33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，要使四边形的面积最大， 只需直线2l 过圆心即可，即CD 为直径，此时AB 垂直CD ，AB ， ∴四边形ACBD的面积最大值为1122S AB CD =⨯⨯==A ．9．【答案】C【解析】设正三棱锥底面中心为O ，连接OP ，延长CO 交AB 于D ，则32CD OC =．∵O 是三棱锥P ABC -的外接球球心，∴1OP OC ==，∴32CD =，∴BC∴211133P ABC ABC V S OP -⋅=⨯=△．故选C ．10．【答案】B【解析】由()f x 的最小正周期为π，∴2ω=，()f x 的图象向左平移π6个单位后所得图象对应的函数为πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因其图象关于y 轴对称，∴πππ32k ϕ+=+，k ∈Z ， ∵π2ϕ<，则π6ϕ=，∴()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，得ππππ36k x k -+≤≤+，k ∈Z ．即()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选B ．11．【答案】C【解析】设满足2000n S >的最小正整数为n ，项n a 在图中排在第i 行第j 列（i ，*j ∈N 且j i ≤），∴有()()()()21231231231231i j n S -=-+-+⋯+-+-()()()()()23123333212313321231i j i j i i -=+++⋯+--+-=---+-323232000i j i =+⋅-->，则6i ≥，6j ≥，即图中从第6行第6列开始，和大于2000，∵前6行共有12621+++=项，∴最小正整数n 的值为21．故选C ．12．【答案】D【解析】构造函数()()g x xf x =，∵()f x 是奇函数，∴()()g x xf x =为偶函数，当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<恒成立，即()0g x '<，∴()()g x xf x =在(),0x ∈-∞时为单调递减函数；()()g x xf x =在()0,x ∈+∞时为单调递增函数， 根据偶函数的对称性可知()33a f =，()1b f =，()22c f =--，∴a c b >>．故选D ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】11- 【解析】作出不等式组1223y x x y x y ≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示． 平移直线20x y +=，可知当直线过点C 时，z 有最小值， 联立223x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得58x y =⎧⎨=-⎩，故()5,8C -， 则z 的最小值为()52811+⨯-=-．故答案为11-． 14．【答案】10092 【解析】根据等比数列的性质可得120182201732016100910102a a a a a a a a ===⋯==， ∴这个数列中所有项的乘积为10092，故答案为10092． 15．【答案】()2,+∞ 【解析】∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴当0x >时，0x -<， ∴()26f x x -=-，由奇函数可()26f x x =-+， ∴不等式()f x x <可化为206x x x >⎧⎨-+<⎩，解得2x >； ∴0x >时，不等式()f x x <的解集为()2,+∞，故答案为()2,+∞． 16．【答案】53 【解析】设122F F c =，则22PF c =，故122PF a c =+． 取1PF 的中点为M ，连接2F M ，则21F M PF ⊥，故2F M 是O 到1PF 距离的两倍， ∴22F M a =，在21F MF △中，有()22244a c a c ++=，∴2a c b +=，两边平方有225230a ac c +-=即23250e e --=，∴53e =，填53．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）2π3C =；（2）4+【解析】（1）由22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得22cos a b c A +=．根据正弦定理，得sin 2sin 2cos sin A B A C +=，化为()sin 2sin 2cos sin A A C A C ++=， 整理得到sin 2sin cos A A C =-，∵sin 0A >，故1cos 2C =-，又0πC <<，∴2π3C =．（2）由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，故2212a b ab ++=，整理得到()2212122a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，故4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，∴周长的最大值为224++=+．18．【答案】（1）200n =，0.0025a =，0.0125b =；（2）27.25；（3）35．【解析】（1）用水量在[)20,30内的频数是50，频率是0.025100.25⨯=，则502000.25n ==．用水量在[)0,10内的频率是250.125200=，则0.1250.012510b ==．用水量在[]50,60内的频率是50.025200=，则0.0250.002510a ==．（2）估计全市家庭年均用水量为50.125150.19250.25+350.23+450.18+550.025⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯ ()50.1250.57 1.25 1.61 1.620.2755 5.4527.25=+++++=⨯=．（3）设A ，B ，C ，D ，E 代表年用水量从多到少的5个家庭，从中任选3个，总的基本事件为ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE 共10个，其中包含A 的有ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，共6个． ∴63105P ==．即年用水量最多的家庭被选中的概率是35．19．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）34λ=．【解析】（1）在平行四边形ABCD 中 ，由E ，F 分别为BC ，AD 的中点，得//EF CD ， ∵CD ⊂面PCD ，EF ⊄面PCD ，∴//EF 面PCD ， 过EF 的平面EFMN 与面PCD 交于MN ，∴//EF MN ． （2）证明：在平行四边形ABCD 中，∵AB AC =，135BCD ∠=︒，∴AB AC ⊥， 由（1）得//EF AB ，∴EF AC ⊥． ∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，且PA AB ⊥，面PAB 面ABCD AB =， 且PA ⊂面PAB ，∴PA ⊥底面ABCD ， 又∵EF ⊂底面ABCD ，∴PA EF ⊥， 又∵PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， ∴EF ⊥平面PAC ，∴EF ⊂平面EFMN ，∴平面EFMN ⊥平面PAC ． （3）由题得2EFMN S =，∴112133M EFDC EFDC V S h h -=⋅=⨯⨯=，∴32h =， ∵33224DM DP ==，∴34λ=． 20．【答案】（1）22143x y +=；（2）126NF MF ⋅=． 【解析】（1）∵点A 为椭圆上任意一点，A 关于原点O 的对称点为B ，∴12AF BF =， 又114AF BF +=，∴2124BF BF a +==，∴2a =， 又12F AF ∠的最大值为π3，知当A 为上顶点时，12F AF ∠最大， ∴2a c =，∴1c =，∴2223b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）由题意可知直线NA 存在斜率，设直线NA 的方程为()4y k x =+， 由()224143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得()2222433264120k x k x k +++-=． ∵直线与椭圆交于两点，∴()()()22223244364120k k k ∆=-+->，解得1122k -<<． 设()11,A x y ，()22,E x y ，则()11,A x y '-，且21223243k x x k -+=+，2122641243k x x k -=+，① 直线A E '的方程为()211121y y y y x x x x ++=--， 令0y =，得()1212211112211121212248M x x x x x y x y x y x y x x y y y y x x ++-+=+==++++，② 由①②得()()222226412128132843M k k x k k --==--++．∴点M 为左焦点()11,0F -，因此13NF =，22MF =，∴126NF MF ⋅=．21．【答案】（1）2230x y --=；（2）2e e,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）2m =时，()112f =-，()2f x x x '=-，∴()11f '=．故所求切线方程为112y x +=-，即2230x y --=．（2）依题意())1mf x x x x x x =-=-'，①当0e m <≤时，()0f x '≤，()f x在⎤⎦上单调递减，依题意，()0e 0f f ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，解得2e e 2m ≤≤，故此时e m =．②当2e m ≥时，()0f x '≥，()f x在⎤⎦上单调递增，依题意，()0e 0f f ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩，即2ee 2m m ≤⎧⎪⎨≥⎪⎩，此不等式无解．（注：亦可由2e m ≥得出()0f x >，此时函数()y f x =无零点）③当2e e m <<时，若x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，x ⎤∈⎦，()0f x '<，()f x 单调递减，由e m >时，e02m f -=>．故只需()e 0f ≤，即21e 02m -≤， 又2e e 2≤，故此时2e e 2m <≤， 综上，所求的范围为2e e,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）2a =，()(2214x y -+=，40x -=；（2）⎡⎣．【解析】（）21ππ:4cos cos sin sin 33C ρρθρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即222x y x +=+，化为直角坐标方程为()(2214x y -+=．把2C的方程化为直角坐标方程为20x a +-=， ∵1C 曲线关于曲线2C对称，故直线20x a +-=经过圆心(，解得2a =， 故2C的直角坐标方程为40x +-=． （）当ππ63α≤≤时，ππ4cos 4sin 63OA αα⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，π4cos 3OB α⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ππ4cos 4cos 33OC αα⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，πππ4cos 4sin 233OD αα⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()ππ16sin cos 16cos sin 33f OA OB OC OD ααααα⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π8sin 28sin 212sin 2πn 2263ααααα⎛⎛⎫=+⎫=-- ⎪⎝=+⎪⎝⎭⎭ ， 当ππ63α≤≤时，ππ5π2626α≤+≤，π26α⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭ 故()f α的值域为⎡⎣． 23．【答案】（1）1a =或5-；（2）见解析． 【解析】（1）∵()()()222f x x a x x a x a =++-≥+--=+， （当且仅当()()20x a x +-≤时取=号） ∴23a +=，解得1a =或5-． （2）当2a =时，()2,2224,222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪≥⎩， 当2x <-时，由()4f x ≤，得24x -≤，解得2x ≥-；又2x <-，∴不等式无实数解； 当22x -≤<时，()4f x ≤恒成立，∴22x -≤<； 当2x ≥时，由()4f x ≤，得24x ≤，解得2x =； ∴()4f x ≤的解集为[]2,2A =-． ()()()()2222224481642mn m n m n mn m n mn +-+=++-++ ()()()()22222222221644416444m n m n m n m n m n =+--=-+-=--． ∵m ，[]2,2n ∈-，∴()240m -≤，()240n -≤，∴()()22440mn m n +-+≥， 即()()2244mn m n +≥+，∴42mn m n +≥+．。