理论力学13(1)
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理论力学第十三章达朗贝尔原理
aIN第十三章 达朗贝尔原理[习题13-1] 一卡车运载质量为1000kg 的货物以速度h km v /54=行驶。
设刹车时货车作匀减速运动，货物与板间的摩擦因数3.0=s f 。
试求使货物既不倾拿倒又不滑动的刹车时间。
解：以货物为研究对象，其受力如图所示。
图中， 虚加惯性力之后，重物在形式上“平衡”。
货物不滑动的条件是：即货物不滑动的条件是：)(1.5s t ≥…………(1) 货物不倾倒（不向前倾倒）的条件是：)(06.38.93030s g t ==≥…………(2) （1）（2）的通解是)(1.5s t ≥。
即，使货物既不倾拿倒又不滑动的刹车时间是)(1.5s t ≥。
[习题13-2] 放在光滑斜面上的物体A ，质量kg m A 40=，置于A 上的物体B ，质量kg m B 15=；力kN F 500=，其作用线平行于斜面。
为使A 、B 两物体不发生相对滑动，试求它们之间的静摩擦因素s f 的最小值。
解：以A 、B 构成的质点和系为研究对象，其受力如图所示。
在质心加上惯性力后，在形式上构成平面一般“平衡”力系。
以B 为研究对象，其受力如图所示。
由达朗伯原理得：305.05.0191.48.9866.0191.430sin 30cos 00=⨯+⨯=+≥a g a f s ，即： [习题13-3] 匀质杆AB 的质量kg m 4=，置于光滑的水平面上。
在杆的B 端作用一水平推力N F 60=，使杆AB 沿F 力方向作直线平动。
试求AB 杆的加速度a 和角θ的值。
解：以AB 杆为研究对象，其受力与运动分析如图所示。
由达朗伯原理得：[习题13-4] 重为1P 的重物A ，沿光滑斜面D 下降，同时借一绕过滑轮C 的绳子而使重为2P 的重物B 运动，斜面与水平成θ角。
试求斜面D 给凸出部分E 的水平压力。
解：以A 为研究对象，其受力与运动分析如图所示。
由达朗伯原理得：EN D0sin 11=--a gP T P B θ………(1) 以B 为研究对象，其受力与运动分析如图所示。
理论力学 第十三章达朗贝尔原理
二、质点系的达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
理论力学13—动能定理
13.3 动能定理
3. 理想约束及内力作功
• 对于光滑固定面和一端固定的绳索等约束，其约束力 都垂直于力作用点的位移，约束力不作功。
• 光滑铰支座和固定端约束，其约束力也不作功。
• 光滑铰链(中间铰链)、刚性二力杆及不可伸长的细绳 作为系统内的约束时，约束力作功之和等于零。
• 滑动摩擦力作负功。
• 当轮子在固定面上只滚不滑时，滑动摩擦力不作功。
O
力F在刚体从角j1转到j2所作的功为
W12
j2 j1
M
zdj
Mz可视为作用在刚体上的力偶
例1 如图所示滑块重P＝9.8 N，弹 簧刚度系数k＝0.5 N/cm，滑块在A 位置时弹簧对滑块的拉力为2.5 N， 滑块在20 N的绳子拉力作用下沿光 滑水平槽从位置A运动到位置B，求 作用于滑块上所有力的功的和。
常见力的功
2) 弹力的功
物体受到弹性力
的作用, 作用点的轨 A1
迹 为 图 示 曲 线 A1A2,
在弹簧的弹性极限内,
r1
弹性力的大小与其变
形量d 成正比。设弹
l0
簧原长为l0 , 则弹性 力为
F k(r l0 )r0
W12
A2 F dr =
A1
A2 A1
k
(r
l0
)r0
l 2 2
1 ml2 3
TAB
1 2
I
I
2 AB
mv2
6 sin2
1 mv2 3
T总
1 12
9M
4m v2
例3 长为l，重为P的均质杆OA由球铰链
O固定，并以等角速度 绕铅直线转动， 如图所示，如杆与铅直线的交角为a，
《理论力学》--第十三章 达朗贝尔原理(动静法)
例13-7 已知：如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20kg, 转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心 C不在转轴上,偏心距 e 0.1mm. 当轮盘以均转速 转动. n 12000 r min 求：轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 2 an e m s 158 m s 2 1000 30
2
FI man 3160 N 1 FNA FNB mg FI 2
1 20 9.8 3160N 1680N 2
(e) Fi 为作用于第i个质点上质点系外部物体的作用力. (i) Fi 为作用于第i个质点上质点系内部的力. (e) (i) Fi Fi Fi 0 i 1,2,, n
例13-2 已知:如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分布在轮缘 上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为m1 和m2 的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求:重物的加速度.
例13-1 已知: 求:
m 0.1kg , l 0.3m , 60
v, FT .
解:
v2 FI man m l sin mg FT FI 0
Fb Fn
0, FT cos mg 0 0, FT sin FI 0
Fs f s FN f s m1 m2 g
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
D
§ 13-4
绕定轴转动刚体的轴承动约束力
F
x
0 FA x FB x FR x FI x 0
F
y
0 FA y FB y FR y FI y 0
理论力学第13章动能定理
详细描述
在理论力学中，动能被定义为物体运动时的能量，其大小与物体的质量和速度有关。根据牛顿第二定律，物体的动量改变量等于作用在物体上的外力的冲量。因此，如果一个力在一段时间内作用在一个物体上，那么这个力就会使物体的动量发生改变，从而产生动能的变化。
动能的定义
外力的功
外力的功等于力的大小与物体在力的方向上发生的位移的乘积。
总结词
外力的功是指力对物体运动所产生的效应，其大小等于力的大小与物体在力的方向上发生的位移的乘积。这是物理学中功的定义，也是计算外力对物体所做功的基本方法。
详细描述
VS
系统动能的增量等于合外力对系统所做的功。
详细描述
系统动能的增量是指在一个过程中，系统动能的增加量。这个增量可以通过计算合外力对系统所做的功来得到。如果合外力对系统做正功，则系统动能增加；如果合外力对系统做负功，则系统动能减少。因此，系统动能的增量与合外力对系统所做的功有直接的关系。
总结词
系统动能的增量
03
CHAPTER
动能定理的应用
适用于单个质点在力的作用下运动的情况，计算质点的动能变化。
单个质点的动能定理指出，质点在力的作用下运动时，外力对质点所做的功等于质点动能的增量。这个定理是理论力学中研究质点运动的基本定理之一，可以用来解决各种实际问题。
总结词
详细描述
单个质点的动能定理
动能定理是能量守恒定律在动力学中的具体表现，是解决动力学问题的有力工具。
动能定理适用于一切宏观低速的物体，对于微观、高速适用于狭义相对论。
动能定理适用于直线运动，对于曲线运动需要积分形式进行处理。
动能定理的适用范围
02
CHAPTER
动能定理的基本内容
总结词
在理论力学中，动能被定义为物体运动时的能量，其大小与物体的质量和速度有关。根据牛顿第二定律，物体的动量改变量等于作用在物体上的外力的冲量。因此，如果一个力在一段时间内作用在一个物体上，那么这个力就会使物体的动量发生改变，从而产生动能的变化。
动能的定义
外力的功
外力的功等于力的大小与物体在力的方向上发生的位移的乘积。
总结词
外力的功是指力对物体运动所产生的效应，其大小等于力的大小与物体在力的方向上发生的位移的乘积。这是物理学中功的定义，也是计算外力对物体所做功的基本方法。
详细描述
VS
系统动能的增量等于合外力对系统所做的功。
详细描述
系统动能的增量是指在一个过程中，系统动能的增加量。这个增量可以通过计算合外力对系统所做的功来得到。如果合外力对系统做正功，则系统动能增加；如果合外力对系统做负功，则系统动能减少。因此，系统动能的增量与合外力对系统所做的功有直接的关系。
总结词
系统动能的增量
03
CHAPTER
动能定理的应用
适用于单个质点在力的作用下运动的情况，计算质点的动能变化。
单个质点的动能定理指出，质点在力的作用下运动时，外力对质点所做的功等于质点动能的增量。这个定理是理论力学中研究质点运动的基本定理之一，可以用来解决各种实际问题。
总结词
详细描述
单个质点的动能定理
动能定理是能量守恒定律在动力学中的具体表现，是解决动力学问题的有力工具。
动能定理适用于一切宏观低速的物体，对于微观、高速适用于狭义相对论。
动能定理适用于直线运动，对于曲线运动需要积分形式进行处理。
动能定理的适用范围
02
CHAPTER
动能定理的基本内容
总结词
13动量矩定理
r2
O
r1
M
B
m2 g
mg
A
m1 g
理论力学 第二节 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
解:取系统为研究对象进行受力分析和运动分析 1、受力分析
2、运动分析
Foy
FN
B
v1 r1
v2 r2
v2
M
r2
O
r1
系统对O轴的动量矩和外力矩：
LO J O m1r12 m2 r22
F1 F1
解得主动轮与从动轮的角加速度分别为：
MR 2 1 J1 R 2 J 2 r 2
MRr 2 J1 R 2 J 2 r 2
理论力学 第十三章 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
第四节 刚体的平面运动微分方程
理论力学
第十三章
动量矩定理
第四节 刚体的平面运动微分方程
若平面运动刚体具有质量对称平面，且其运动平 面与该质量对称平面平行，则有:
第十三章
动量矩定理
三、质点系的动量矩定理
设质点系中有n个质点，其中第 i 个质点： d [M z mi vi ] = M z Fi e M z Fi i dt
n n d e [M z mi vi ] M z Fi M z Fi i dt i 1 i 1 i 1 n
O
A
B
理论力学 第二节 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
FO y
O
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。 运动分析： v =ｒ
FO x
M F m gr m gr
e z i 1 2
O
r1
M
B
m2 g
mg
A
m1 g
理论力学 第二节 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
解:取系统为研究对象进行受力分析和运动分析 1、受力分析
2、运动分析
Foy
FN
B
v1 r1
v2 r2
v2
M
r2
O
r1
系统对O轴的动量矩和外力矩：
LO J O m1r12 m2 r22
F1 F1
解得主动轮与从动轮的角加速度分别为：
MR 2 1 J1 R 2 J 2 r 2
MRr 2 J1 R 2 J 2 r 2
理论力学 第十三章 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
第四节 刚体的平面运动微分方程
理论力学
第十三章
动量矩定理
第四节 刚体的平面运动微分方程
若平面运动刚体具有质量对称平面，且其运动平 面与该质量对称平面平行，则有:
第十三章
动量矩定理
三、质点系的动量矩定理
设质点系中有n个质点，其中第 i 个质点： d [M z mi vi ] = M z Fi e M z Fi i dt
n n d e [M z mi vi ] M z Fi M z Fi i dt i 1 i 1 i 1 n
O
A
B
理论力学 第二节 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
FO y
O
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。 运动分析： v =ｒ
FO x
M F m gr m gr
e z i 1 2
理论力学13-动能定理
理论力学13-动能定理
动能定理是理论力学中重要的定理之一，描述了物体动能的变化与外力做功 的关系。它为解决各种实际问题提供了有力的工具。
动能的定义与计算方法
动能定义
动能是物体由于运动而具有的能量。
动能计算方法
动能等于物体质量与速度平方的乘积乘以常数1/2。
举例
例如，一个质量为m的物体速度为v，它的动能为Ek=1/2mv^2。
碰撞实验
通过观察简谐摆的运动过程， 可以验证动能定理在实验中 的有效性和准确性。
利用碰撞实验可以验证动能 定理在不同碰撞情况下的适 用性。
滚动小球实验
通过观察滚动小球的动能变 化，可以验证动能定理在滚 动运动中的应用。
结论和要点
结论
动能定理是描述物体动能变化与外力做功关系的重要定理。
要点
动能定理的表达式是功等于动能的变化量，可以通过实验验证。
动能定理的提出及其重要性
1 提出背景
动能定理最早由牛顿提出，是牛顿运动定律的一部分。
2 重要性
动能定理能够精确描述物体动能的变化与外力做功的关系，对研究运动学和动力学等科 学领域具有重要意义。
动能定理的表达式及推导过程
动能定理表达式 推导过程 推导公式
功等于动能的变化量 根据牛顿第二定律和功的定义推导得出 W = ΔK = (1/2)mvf^2 - (1/2)mvi^2
动能定理在实际问题中的应用
1
碰撞问题
2
动能定理在研究碰撞问题中起到关 键作用，如弹性碰撞和非弹性碰撞。
3
机械能守恒
动能定理与势能定理结合可以帮助 解决机械能守恒的问题。
动能定理与其他物理定律的 关系
动能定理与动量定理、能量守恒定 律等相互关联，共同构成了理论力 学的核心部分。
动能定理是理论力学中重要的定理之一，描述了物体动能的变化与外力做功 的关系。它为解决各种实际问题提供了有力的工具。
动能的定义与计算方法
动能定义
动能是物体由于运动而具有的能量。
动能计算方法
动能等于物体质量与速度平方的乘积乘以常数1/2。
举例
例如，一个质量为m的物体速度为v，它的动能为Ek=1/2mv^2。
碰撞实验
通过观察简谐摆的运动过程， 可以验证动能定理在实验中 的有效性和准确性。
利用碰撞实验可以验证动能 定理在不同碰撞情况下的适 用性。
滚动小球实验
通过观察滚动小球的动能变 化，可以验证动能定理在滚 动运动中的应用。
结论和要点
结论
动能定理是描述物体动能变化与外力做功关系的重要定理。
要点
动能定理的表达式是功等于动能的变化量，可以通过实验验证。
动能定理的提出及其重要性
1 提出背景
动能定理最早由牛顿提出，是牛顿运动定律的一部分。
2 重要性
动能定理能够精确描述物体动能的变化与外力做功的关系，对研究运动学和动力学等科 学领域具有重要意义。
动能定理的表达式及推导过程
动能定理表达式 推导过程 推导公式
功等于动能的变化量 根据牛顿第二定律和功的定义推导得出 W = ΔK = (1/2)mvf^2 - (1/2)mvi^2
动能定理在实际问题中的应用
1
碰撞问题
2
动能定理在研究碰撞问题中起到关 键作用，如弹性碰撞和非弹性碰撞。
3
机械能守恒
动能定理与势能定理结合可以帮助 解决机械能守恒的问题。
动能定理与其他物理定律的 关系
动能定理与动量定理、能量守恒定 律等相互关联，共同构成了理论力 学的核心部分。
理论力学(机械工业出版社)第十三章达朗伯原理习题解答
习 题13-1 如图13-16所示，一飞机以匀加速度a 沿与水平线成仰角b 的方向作直线运动。
已知装在飞机上的单摆的悬线与铅垂线所成的偏角为f ，摆锤的质量为m 。
试求此时飞机的加速度a 和悬线中的张力F T 。
图13-16ma F =I 0cos sin 0I T =-=∑βϕF F F xϕβsin cos IT F F =0sin cos 0I T =--=∑mg F F F y βϕ0sin cos sin cos I I =--mg F F βϕϕβ0sin )cos(I=-+mg F ϕβϕ mgma=+ϕβϕsin )cos()cos(sin βϕϕ+=g amg maF F )cos(cos sin cos sin cos I T βϕβϕβϕβ+===13-2 球磨机的简图如图13-17所示，滚筒作匀速转动，内装钢球及被粉碎的原料，当钢球随滚筒转到某一角度f 时，将脱离筒壁作抛射运动，由于钢球的撞击，从而破碎与研磨原料。
已知钢球脱离筒壁的最佳位置'4054︒=ϕ，滚筒半径R =0.6m 。
试求使钢球在'4054︒=ϕ处脱离滚筒的滚筒转速。
图13-172n I ωmR ma F == 0cos 0I N n =-+=∑F mg F F ϕ)cos (cos cos 22I N ϕωϕωϕg R m mg mR mg F F -=-=-=令0N =F0cos 2=-ϕωg RR g ϕωcos =min r/35.296.00454cos 8.9π30cos π30π30='︒⨯===R g n ϕω13-3 一质量为m 的物块A 放在匀速转动的水平转台上，如图13-18所示。
已知物块的重心距转轴的距离为r ，物块与台面之间的静摩擦因数为s μ。
试求物块不致因转台旋转而滑出时水平转台的最大转速。
图13-182n I ωmr ma F == 00N =-=∑mg F F ymg F =N00I =-=∑F F F x0N s 2=-F mr μω 0s 2=-mg mr μωrgs μω=rgn s max π30π30μω==13-4 离心调速器的主轴以匀角速度w 转动，如图13-19所示。
理论力学 动能定理
理论力学
第十三章 动 能 定 理
§13-1 力的功 一、 常力在直线运动中的功
W F cos s
上式也可以写成
W F s
功是代数量，在国际单位制中，功的单位为 J（焦耳）。
§13-1 力的功 二、变力在曲线运动中的功 力在无限小位移dr中作的功称为 元功： W F cos d s 力在全路程上作的功等 于元功之和： s W 0 F cos d s M W F d r W M11F d r 上两式也可写成以下矢量点乘形式： 在直角坐标系中，i，j，k为三坐标轴的单位矢量，则
例: 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两 盘中心线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重 物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计， 绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)
P
P
Q
§13-3 动能定理 解：取系统为研究对象
A
P
vB
P
W M Qh
T1 0
( h/R)
h a v
Q
B
C1
1 1Q 2 1 2 2 T2 J O A v J CB 2 2g 2
由运动分析知：
v 1 P 2 2 1Q 2 1 3P 2 2 A R A v R B R 2 2g 2g 2 2g vB v v2 B (8Q 7 P) 2R 2 R 16g
得
0 28.80 388.4
2
0 3.67rad/s
§13-3 动能定理 例: 均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计， 平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系 统初始静止。求：滑块的加速度。 解：取整体为研究对象 W 2mg S sin f mgScos mg mg S (2 sin f cos ) FB F v mg 1 2 1 2 1 1 2 2 NB T1 0 T2 mv mv mr FA F 2 2 2 2 NA 运动学关系：
第十三章 动 能 定 理
§13-1 力的功 一、 常力在直线运动中的功
W F cos s
上式也可以写成
W F s
功是代数量，在国际单位制中，功的单位为 J（焦耳）。
§13-1 力的功 二、变力在曲线运动中的功 力在无限小位移dr中作的功称为 元功： W F cos d s 力在全路程上作的功等 于元功之和： s W 0 F cos d s M W F d r W M11F d r 上两式也可写成以下矢量点乘形式： 在直角坐标系中，i，j，k为三坐标轴的单位矢量，则
例: 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两 盘中心线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重 物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计， 绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)
P
P
Q
§13-3 动能定理 解：取系统为研究对象
A
P
vB
P
W M Qh
T1 0
( h/R)
h a v
Q
B
C1
1 1Q 2 1 2 2 T2 J O A v J CB 2 2g 2
由运动分析知：
v 1 P 2 2 1Q 2 1 3P 2 2 A R A v R B R 2 2g 2g 2 2g vB v v2 B (8Q 7 P) 2R 2 R 16g
得
0 28.80 388.4
2
0 3.67rad/s
§13-3 动能定理 例: 均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计， 平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系 统初始静止。求：滑块的加速度。 解：取整体为研究对象 W 2mg S sin f mgScos mg mg S (2 sin f cos ) FB F v mg 1 2 1 2 1 1 2 2 NB T1 0 T2 mv mv mr FA F 2 2 2 2 NA 运动学关系：
理论力学第13章动量矩定理
mi
rC x′
C
y′ y
mi vi mvC
LC ri mi vi
x
LO rC mvC LC
LO rC mvC LC
dLO d (e) (rC mvC LC ) r i Fi dt dt
r i rC ri
drC dLC d (e) i Fi ( e ) mvC rC mvC r C Fi r dt dt dt
v R
应用动量矩定理
O
FOx
mg
M
(e)
WR
dLO (e ) M dt
WR 2 a W 2 (JO R ) g
P
v
JO W dv ( R) WR R g dt
W
z
例 题3
z
求：此时系统的角速度 解：取系统为研究对象
M
A
(e ) z
0
A
B
a l
a
B
Lz 恒量
l
由质心坐标公式，有
z
vi z′ ri r′ i rC x′
C
mi
y′ y
O
mi ri mrC 0
x
LC ri mi vir
§13-6 刚体的平面运动微分方程
LC J C
由质心运动定理和相对于质 心的动量矩定理，有：
y
Fn
y′
D
F2 F1
maC Fi ( e ) d (e) J C J C M C ( Fi ) dt
用于质点系的外力对质心的主矩 ，这就是质点系相对于质心(平移
系)的动量矩定理。
理论力学13虚位移原理
哈密顿原理的应用
在分析力学中，拉格朗日方程是描述系统动力学的关键方程。通过应用虚位移原理，可以推导出拉格朗日方程的形式和求解方法。
拉格朗日方程的推导
在分析力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的推导过程
定义
01
虚功是系统在虚位移上所做的功，等于作用力与虚位移的点积。
虚功原理表述
02
对于一个处于平衡状态的力学系统，所有外力在任何虚位移上所做的虚功总和为零。
理论与其他物理场的结合
在多物理场问题中，可以将虚位移原理与热力学、电磁学等领域的基本原理结合起来，以解决更为复杂的工程问题。
对理论的发展和推广
THANKS
感谢您的观看。
理论力学13虚位移原理
目录
虚位移原理的概述 虚位移原理的基本概念 虚位移原理的应用 虚位移原理的推导过程 虚位移原理的限制和推广
01
CHAPTER
虚位移原理的概述
虚位移
在理想约束条件下，系统发生的微小位移。
虚位移原理
在平衡状态下，系统所受的外力对任意虚位移所做的总虚功为零。
虚功
在虚位移过程中，作用力对机构所做的功称为虚功。
虚速度和虚加速度的推导
05
CHAPTER
虚位移原理的限制和推广
VS
虚位移原理主要适用于分析力学中，特别是对刚体和弹性体的平衡问题进行分析。
限制条件
虚位移原理仅适用于保守系统，即系统中不存在非保守力（如摩擦力）的情况。同时，该原理假定系统处于平衡状态，对于动态问题不适用。
适用范围
适用范围和限制条件
虚位移原理在工程领域中也有广泛应用，如机构分析、机器人学、车辆动力学等领域。
01
02
在分析力学中，拉格朗日方程是描述系统动力学的关键方程。通过应用虚位移原理，可以推导出拉格朗日方程的形式和求解方法。
拉格朗日方程的推导
在分析力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的推导过程
定义
01
虚功是系统在虚位移上所做的功，等于作用力与虚位移的点积。
虚功原理表述
02
对于一个处于平衡状态的力学系统，所有外力在任何虚位移上所做的虚功总和为零。
理论与其他物理场的结合
在多物理场问题中，可以将虚位移原理与热力学、电磁学等领域的基本原理结合起来，以解决更为复杂的工程问题。
对理论的发展和推广
THANKS
感谢您的观看。
理论力学13虚位移原理
目录
虚位移原理的概述 虚位移原理的基本概念 虚位移原理的应用 虚位移原理的推导过程 虚位移原理的限制和推广
01
CHAPTER
虚位移原理的概述
虚位移
在理想约束条件下，系统发生的微小位移。
虚位移原理
在平衡状态下，系统所受的外力对任意虚位移所做的总虚功为零。
虚功
在虚位移过程中，作用力对机构所做的功称为虚功。
虚速度和虚加速度的推导
05
CHAPTER
虚位移原理的限制和推广
VS
虚位移原理主要适用于分析力学中，特别是对刚体和弹性体的平衡问题进行分析。
限制条件
虚位移原理仅适用于保守系统，即系统中不存在非保守力（如摩擦力）的情况。同时，该原理假定系统处于平衡状态，对于动态问题不适用。
适用范围
适用范围和限制条件
虚位移原理在工程领域中也有广泛应用，如机构分析、机器人学、车辆动力学等领域。
01
02
理论力学 第13章 虚位移原理及拉格朗日方程
主动力作用点的坐标为
变分得
Theoretical Mechanics
弹簧DE在图示位置的长度为2lcos ，其原长为l，伸长量＝2l cos –l＝ (2cos –1)l，于是弹簧作用于D、E上的
拉力的大小为
将以上关系代入虚功方程
13.4 例 题 分 析
变分法一般应用于力的投影、力的作用点的坐标容易用广 义坐标表示的情况下。
若
则该系统处于随遇平衡状态。
Theoretical Mechanics
返回首页
13.1 主要内容
13.1.5 动力学普遍方程 在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质 点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所做虚功之和 等于零，即
这就是动力学普遍方程（也称为达朗贝尔—拉格朗日方程）。 写成直角坐标系上的投影式为
h=1,2,…,k
这是一个方程组，方程的数目等于质点系的自由度数， 称之为第二类拉格朗日方程，简称为拉格朗日方程。它揭示 了系统动能的变化与广义力之间的关系。
若引入拉格朗日函数：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Theoretical Mechanics
保守系统的拉格朗日方程。 返回首页
13.2 基本要求
Theoretical Mechanics
通方程解决动力学问题。
５.能正确运用拉格朗日方程求解动力学问题，并判断物体
运动的稳定性。
Theoretical Mechanics
返回首页
13.3 重点讨论
Theoretical Mechanics
返回首页
13.3 重点讨论
13.3 重点讨论
用虚位移原理求解质点系的平衡问题，其实质是利用动力学
中虚功的概念。对于理想约束系统，其约束力不包括在虚功方
变分得
Theoretical Mechanics
弹簧DE在图示位置的长度为2lcos ，其原长为l，伸长量＝2l cos –l＝ (2cos –1)l，于是弹簧作用于D、E上的
拉力的大小为
将以上关系代入虚功方程
13.4 例 题 分 析
变分法一般应用于力的投影、力的作用点的坐标容易用广 义坐标表示的情况下。
若
则该系统处于随遇平衡状态。
Theoretical Mechanics
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13.1 主要内容
13.1.5 动力学普遍方程 在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质 点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所做虚功之和 等于零，即
这就是动力学普遍方程（也称为达朗贝尔—拉格朗日方程）。 写成直角坐标系上的投影式为
h=1,2,…,k
这是一个方程组，方程的数目等于质点系的自由度数， 称之为第二类拉格朗日方程，简称为拉格朗日方程。它揭示 了系统动能的变化与广义力之间的关系。
若引入拉格朗日函数：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Theoretical Mechanics
保守系统的拉格朗日方程。 返回首页
13.2 基本要求
Theoretical Mechanics
通方程解决动力学问题。
５.能正确运用拉格朗日方程求解动力学问题，并判断物体
运动的稳定性。
Theoretical Mechanics
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13.3 重点讨论
Theoretical Mechanics
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13.3 重点讨论
13.3 重点讨论
用虚位移原理求解质点系的平衡问题，其实质是利用动力学
中虚功的概念。对于理想约束系统，其约束力不包括在虚功方
理论力学13—达朗贝尔原理
(e)
(i)
F i ? F i ? FIi ? 0 (i ? 1,2, ???, n)
质点系中第 i个质点上作用的外力、内力和它的惯性
力在形式上组成平衡力系。由静力学知，空间任意
力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一
点的主矩等于零，即
Σ Fi(e) ? ΣFi(i) ? ΣFIi ? 0
ΣM
O (Fi(e) )
得
FIR ? ΣFIi ? ? ΣFi(e) ? ? maC
此式表明：无论刚体作什么运动 , 惯性力系的主矢都等 于刚体的质量与其质心加速度的乘积 , 方向与质心加速 度的方向相反 。
arccos(
3g
2lw
2
)
例 3 已知：m ，R， w。 求：轮缘横截面的张力。
解： 取上半部分轮缘为研究对象
F?i
?
m
2?R
Rd?
?Rw2
? Fy ? 0 ? F?i sin? ? 2FT ? 0
? FT
?
1 2
?
0
m Rw 2 sin?d? 2?
? mRw 2 2?
R O
w
y
FIi
d?
? O
第十三章 达朗贝尔原理
? 达朗贝尔原理 ? 刚体惯性力系的简化
引言
前面介绍的动力学普遍定理 , 为解决质点 系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗 贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题提 供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是： 用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学 的不平衡问题, 因此这种方法又叫动静法。由 于静力学研究平衡问题的方法比较简单 , 也容 易掌握, 因此动静法在工程中被广泛使用。
? FI ?
理论力学第13章-动能定理
k C
G
W1 G h 9.8 5 49N c m （a）
（b）
弹性力的功：1 0, 2 AC BC AB 2 202 52 40 1.23c m
W2
k 2
2 1
2 2
40 2
0 1.232
30.3N c m
所有力的功 W W1 W2 49 30.3 18.7N c m 0.187J
13 动能定理
13.1 力的功、功率 13.1.1 功的表达式 力的功( Work )是力在一段路程上对物体作用的累
积效果，其结果将导致物体能量的变化。
设质量为 m 的质点 M，受力 F 作用，质点在惯
性参考系中运动的元位移为 d r。
力的元功 ：力F 在元位移上 累积效果
dW F dr
（13-1）
与其角速度平方的乘积之半。
根据平行轴定理
JP JC M d2
M 为刚体的质量，d = P C ，J C 为对于质心的转动惯量。
T 1 2
JC M d2
2
1 2
JC
2
1 2
M
d
2
因为 d vC
T
1 2
M
v
2 C
1 2
JC
2
（13-21）
即作平面运动的刚体的动能，等于随质心平动的动能与
绕质心转动的动能的和。
P
M
z
dj
dt
M
z
（13-15）
即力矩的功率，等于力矩与刚体转动角速度的乘积。
功率计量单位为焦耳/秒 ( J / s )，瓦 ( W )：
1W 1J/s 1N m/s
（2）机械效率。P输入、P输出、P损耗 分别表示输入功
13-理论力学-第三部分动力学第十三章达朗贝尔原理
由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体
(人手)产生的反抗力（反作用力），称为小车的惯性力。 F' F ma
动力学/达朗伯原理
二、质点的达朗贝尔原理
非自由质点M，质量m，受主动
FI
力 为
F
a
，约束反力 FN ，获得的加速度
。 由牛顿第二定律：
FN
F
FN
ma
F FN ma 0
▼任意点
Mi 切向加速度
a i
法向加速度
ain
▼
Mi 虚加上的惯性力
FIi
mi
ai
，
FIin
miain
α
所有的点组成一个平面内的惯性力系
α
ain aiτ
FIiτ
FIin
动力学/达朗伯原理
▼
Mi 虚加上的惯性力
FIi
mi
ai
，
FIin
miain
▼O为转轴 z与质量对称平面的交点，向O点简化：
理论力学
第三部分 动 力 学
第十三章
达 朗 贝尔原 理
2021年7月22日
动力学/达朗伯原理
第十三章
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理是十八世纪为解决机器动力学问题 提出的，实质就是在动力学方程中引入惯性力，将动 力学问题从形式上转化为静力学中的力的平衡问题， 应用静力学的平衡理论求解。
本章介绍动力学的这一重要原理——达朗伯尔原 理 (也称动静法)。
FA
mg 4
cos0
FAτ
（与图示反向）
FAn
FIR
动力学/达朗伯原理
●用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：
理论力学第十三章 动量定理和动量矩定理
在t1到t2时间间隔内，变力F的冲量则为
冲量是矢量，它与力F的方向一致。在国际单位制中，冲量的单位是N·s, 它与动量的单位相同
§13－1 动量定理
动量定理
I. 质点的动量定理
(1) 动量定理的微分形式
质点动量的微分等于作用于该质点上的各力元冲量的矢量和。
（2）动量定理的积分形式
质点动量在任一时间间隔内的变化，等于作用于该质点上各力在同一时间 间隔内的冲量的矢量和。
若作用于质点系的外力的矢量和恒等于零．则该质点系的动 量保持不变。 若作用于质点系的外力在轴x上投影的代数和等于零，即∑F(xe)=0，可得
若作用于质点系的外力在某轴上的投影代数和恒等于零，则 该质点系的动量在该轴上的投影保持不变。
§13－1 动量定理
例13-1 质量为75kg的跳伞运动员，从飞机中跳出
解鼓轮作平面运动其受力如图所示建立鼓轮平面运动微分方程为123因鼓轮沿平直轨道作无滑动的滚动故有如下关系将上述关系和代入式34将式4与式1联立求解得轮心0的加速度为由此得到使鼓轮作无滑动滚动时的摩擦力为135动力学普遍定理的综合应用一般方法11首先判断是否是某种运动守恒问题如动量守恒质心运动守恒动量矩守恒或相对于质心的动量矩守恒等
(1)判定给定问题是否可用动量定理或质心运动定理求解。求约束反力、速 度和加速度时可用动量定理或质心运动定理；求质心速度、质心位置或质点 系内部质点速度的改变时多用动量守恒定律或质心运动守恒定律。
(2)根据题意选择研究对象。研究对象可以是单个质点、质点系内部部分质 点或整个质点系。
(3)受力分析。受力图中只画外力，不画内力。分析作用在研究对象上的外力 主矢或外力在某轴上投影的代数和是否为零，若为零可选择动量守恒或质心 运动守恒定律求解。
冲量是矢量，它与力F的方向一致。在国际单位制中，冲量的单位是N·s, 它与动量的单位相同
§13－1 动量定理
动量定理
I. 质点的动量定理
(1) 动量定理的微分形式
质点动量的微分等于作用于该质点上的各力元冲量的矢量和。
（2）动量定理的积分形式
质点动量在任一时间间隔内的变化，等于作用于该质点上各力在同一时间 间隔内的冲量的矢量和。
若作用于质点系的外力的矢量和恒等于零．则该质点系的动 量保持不变。 若作用于质点系的外力在轴x上投影的代数和等于零，即∑F(xe)=0，可得
若作用于质点系的外力在某轴上的投影代数和恒等于零，则 该质点系的动量在该轴上的投影保持不变。
§13－1 动量定理
例13-1 质量为75kg的跳伞运动员，从飞机中跳出
解鼓轮作平面运动其受力如图所示建立鼓轮平面运动微分方程为123因鼓轮沿平直轨道作无滑动的滚动故有如下关系将上述关系和代入式34将式4与式1联立求解得轮心0的加速度为由此得到使鼓轮作无滑动滚动时的摩擦力为135动力学普遍定理的综合应用一般方法11首先判断是否是某种运动守恒问题如动量守恒质心运动守恒动量矩守恒或相对于质心的动量矩守恒等
(1)判定给定问题是否可用动量定理或质心运动定理求解。求约束反力、速 度和加速度时可用动量定理或质心运动定理；求质心速度、质心位置或质点 系内部质点速度的改变时多用动量守恒定律或质心运动守恒定律。
(2)根据题意选择研究对象。研究对象可以是单个质点、质点系内部部分质 点或整个质点系。
(3)受力分析。受力图中只画外力，不画内力。分析作用在研究对象上的外力 主矢或外力在某轴上投影的代数和是否为零，若为零可选择动量守恒或质心 运动守恒定律求解。
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※
科氏加速度aC=2×vr的 产生是由于牵连转动和相 对运动相互影响的结果。 其中一部分是由于相对运 动改变了牵连点的位置,使 牵连速度发生了变化而产 生的附加加速度;另一部分 是牵连转动使相对速度的 方向发生改变而产生的附 加加速度。
vr C ve
A
M
O
注意事项:
1. 注意牵连运动为平动与牵连运动为定轴转动 时，求加速度的公式形式不同。 牵连运动为平动
va = r = r0, 故 ve= vasin = r0sin
而
O
OM = r/sin
= ve /OM = r20 /(r2+h2)
例3. 己知 , OC = r ,在图示 位置AB⊥CO, CD = OD。求 此时顶杆AB的速度。 解: 动点: 顶杆上的A点, 定 系: 地面 , 动系: 园盘。 速度合成图如图示。 vr
B
va ve
A C D
O
v a = v e = r
例4. 己知AB、CD平动, 夹角为 ; v1⊥AB , v2 ⊥CD 。 v1 , v2 为已知。 求交点M的速度。
v1
A
v2
D
M
B
C
解: 此题用常规的办法来求解会有些问题。设动 点为交点M, 分别取AB和CD为动系。 ve1 = v1 , vr1 沿BA #1. 动系AB vM = v1 + vr1
解:
O
vr
M B
va
u
动点: 滑块M , 定系: 地面 , 动系: AB。
速度合成图如图示, ve = u, 故
ve
va = ve / cos = 2 u
= va / R = 2 u / R
例2. 己知 OC = h , CM = r , = 0t ; 求 = 90º 时, OA杆转动的角速度。 解: va v r A 动点: 滑块M , 定系: ve 地面 , 动系: OA。 C M 速度合成图如图示,
arn
M
art
ae
x:
aMx= a0 r2
y:
aMy=r
aM a
2 Mx
a
2 My
习题: P.160 5.4,6,8,12
谢谢大家!
O
aa = a r + ae
x
即牵连运动为平动时,动点的绝对加速度等于它 的相对加速度与牵连加速度的矢量和。
5.3.3 牵连运动为定轴转动时的加速度合成
牵连运动为定轴转动时加速度合成定理与牵 连运动为平动时具有不同的形式。
aa = a r + ae + aC
式中aC=2×vr , 称为科氏加速度。 即牵连运动为定轴转动时,动点的绝对加速度等 于它的相对加速度、牵连加速度与科氏加速度的 矢量和。
C
M
B
vM v v
2 1 2 r1
2 2 v1 v2 2v1v2cos sin
5.3 加速度合成定理
5.3.1 基本概念
aa= dva / dt = d2r / dt2
相对加速度(ar): 动点相对于动系的加速度,即动 点的相对速度对时间的相对导数
•• •• •• ar= dvr / dt = x' i' + y'j' + z'k'
•
•
•
～
当牵连运动为平动时, i'、j'、k'为常矢量，故 ～ • v = r dvr / dt = dvr / dt = ar
牵连运动为平动时, 动系上各点在任一瞬时的速度 都相等，即有
drO' v e vO ' dt
v e = rO ' = a e
因此
• ••
z z' rO'
M
y' O' x' y
aC
vr
vr按的转向 转过90º就是 aC的方向
例5. 小车以不变的加速度a0作直线运动,车上飞 轮的半径为r,转动的角速度和角加速度分别为 和。求轮缘上一点M的绝对加速度(OM水平)。 a0
r
O M
解: (1) 动点: M , 定系: 地 面 , 动系: 小车。 (2) 运动分析
va = vr + 注意事项: 1. 上述结论适用于任何形式的相对运动和牵连 运动。 2. 注意公式的矢量性和瞬时性。 3. 在定理的应用中常用几何法,作速度合成图, 最后归结为解三角形。
例1. 正弦平动机构如 图示,已知u,OM = R。 用合成法求 = 45º时 A OM的角速度。
绝对加速度(aa): 动点相对于定系的加速度
～
牵连加速度( ae ): 牵连点相对于定系的加速度。
5.3.2 牵连运动为平动时的加速度合成
由速度合成定理可知
va = vr + ve
上式两边求时间导数得 因为
aa= va= vr+ ve
• • • vr= dr'/ dt = x' i' + y' j' + z' k'
#2. 动系CD ve2 = v2 , vr2 沿CD vM = v2 + vr2 v1
A
v2 vr2
D
vr1 v1 + vr1 = v2 + vr2
C
M
B
v1 + vr1 = v2 + vr2
上式沿⊥CD方向投影得 v1 cos + vr1 sin = v2
A
+
v1
v2 vr2
D
vr1 vr1 = (v2 － v1 cos )/ sin
牵连运动为定轴转动
aa = ar + ae
aa = ar + ae + aC
2. 在定理的应用中常用解析法。在平面问题中， 将公式投影到两个坐标轴上, 可得两个独立 的标量方程, 解两个未知数。注意投影时应 保持公式的原有形式不变。
3. 在平面问题中, 因为⊥vr
aC=2vr
aC=2×vr
理论力学
第15讲
理论力学
点的合成运动(二)
5.2 速度合成定理 5.2.2 速度合成定理
M'
r =rm+ r'
m'
z z'
M(m)
y' O' O x
r r' rm z'
y'
va= ve+ vr
y
上述结果表明,无论牵连运动为平动还是定轴 转动,动点的绝对速度均等于其相对速度与牵连 速度的矢量和。即
相对运动: 园周运动 绝对运动: 曲线运动 牵连运动: 平动 (3) 加速度分析
a0
r
O
M
aM
方向 大小 ? ?
ae a0
art
r
arn
r2
a0
(4) 根据牵连运 动为平动的加速 度合成定理得
y
x
r
O
aM= ae+art+arn
(5) 取直角坐标 系如图,将上式沿 二坐标轴方向投 影。