理论力学13—动能定理
理论力学——动能定理
W12 M z dj
j1
j2
Mz可视为作用在刚体上的力偶
例1 如图所示滑块重P＝9.8 N，弹 簧刚度系数k＝0.5 N/cm，滑块在A 位置时弹簧对滑块的拉力为2.5 N， 滑块在20 N的绳子拉力作用下沿光 滑水平槽从位置A运动到位置B，求 作用于滑块上所有力的功的和。
第十三章 动能定理
• • • • •
力的功 质点和质点系的动能 动能定理 普遍定理的综合应用举例 功率· 功率方程· 机械效率
引言
前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质 点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。 本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改 变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定 理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质 点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。 同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的 联系。
13.1 力的功
13.1.2 变力的功 设质点M在变力F的作用下沿曲线运动，如图。 力 F 在微小弧段上所作的功称为力的元功 , 记为 dW, 于是有
δW F cos d s
力在全路程上作 的功等于元功之和 M M1
ds dr
M'
F
M2
W F cos ds
0
s
上式称为自然法表示的功的计算公式。
I 为AB杆的瞬心
v IA
系统分析
v l sin
v
C
T总 TA TAB
3 TA Mv 2 4
TAB
T总
2
A
1 2 I I AB 2
1 9 M 4m v 2 12
动能定理(3) 山东建筑大学理论力学
1 2
m1vE2
1 2
1 12
m1l 2
2 AB
vA
1 12
(9m2
2m1
sin 2
)v
2 A
A
m1g
m2g
ABC
B
E
vB
vE
A
T
1 12
(9m2
2m1
sin 2
)vA2
系统的总功率：
P m1g vE cos
m1g
vA 2
cot
代入功率方程：
dT ＝ dt i
dWi dt
i
Pi
B E
v2
0
Ws
v W
将上式对时间求导，并注意 dv a, ds v
dt
dt
解得：
a
WR 2
(JO
W g
R2 )
O
sP
v W
例 题 已知： m ，R, f ， 。
求： 纯滚时盘心的加速度。
解：取系统为研究对象
T1 0
T2
1 2
mvC2
1 2
JC 2
T2
3 4
mvC2
vC
R
s
C
vC
F mg
FN
结论与讨论
关于几个动力学定理 的综合应用
动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
分析和解决复杂系统的动力学问题时，选择哪一个定理的 原则是：
1、所要求的运动量在所选择的定理中能不能比较容易地 表达出来；
2、在所选择的定理表达式中，不出现相关的未知力。
对于由多个刚体组成的复杂系统，求解动力学问题时，如 果选用动量定理或动量矩定理，需要将系统拆开，不仅涉及 的方程数目比较多，而且会涉及求解联立方程。
理论力学课件第13章：动能定理
求:切削力F的最大值。
解: P有用 P输入 P无用 3.78kw
P有用
F
F
d · n
2 30
60
60 3.78
F dn P有用 0.1 42 17.19kN
当 n 112r / min 时
F 60 3.78 6.45kN
0.1112
例13-8:
已知 :m ，l0 ，k ， R ， J。
系的所有力的功率的代数和.
机床
dT dt
P输入 P有用 P无用
或
P输入
P有用
P无用
dT dt
3、机械效率
有效功率 机械效率
P有效
P有用
dT dt
P有效
P输入
多级传动系统 12 n
例13-7
已知: P输入 5.4kw, P无用 P输入 30%
d 100mm, n 42r / min , n ' 112r / min
2 1
M
zd
若 M z 常量
则 W12 M z (2 1)
4. 平面运动刚体上力系的功
由 vi vC viC 两端乘dt,有 dri drC driC 作用在 Mi 点的力 Fi 的元功为 δWi F idri Fi drC Fi driC
其中 Fi driC Fi cos MC d M C (Fi )d
W
Fxdx
Fy dy
Fz dz
力 F 在 M1 ~ M 2 路程上的功为
W12
M2 M1
δW
M2 M1
F ·dr
三、几种常见力的功 1、重力的功
质点
Fx Fy 0 Fz mg
W12
z2 z1
第八章 动能定理
第八章动能定理引言应用动力学基本方程是解决运动变化与力之间的关系的基本方法，但在许多实际问题中，特别是研究运动过程较复杂的质点系问题时，要列出每一个质点的运动方程十分困难。
动能定理建立了物体动能变化与受力所作的功之间的关系，应用动能定理解决动力学问题，淡化了具体的运动过程，使计算得到简化。
在物理中，质点的动能定理已作为重点内容进行了研究。
在理论力学中，动能定理的基本意义与物理所讲的完全相同。
为了避免重复，在本章，重点对动能定理的应用范围进行拓宽。
基本要求1、加深对功和动能概念的理种功和动能的求法，2、加深对动能定理的理解，理的应用。
3、了解功率和效率的概念第一节力的功一、功的概念物体受力的作用后，其运动状态将发生改变，这种改变不仅与力的大小和方向有关，还与物体在力的作用下所走过的路程有关。
功就是描述力在一段路程中对物体的积累效应，我们将（不变的）力Ｆ在物体运动方向上的投影F cos 与物体所走过的路程S的乘积，称为力Ｆ在路程S中对物体所作的功。
即：W F S =cos α在上式中，α表示力F 与运动方向的夹角，α<90°时，力作正功；反之力做负功。
可见，功是一个只有大小、正负而没有方向的量，是一个代数量。
功的单位由力和路程的单位来确定，在国际单位制中，功的单位是焦耳（J ），即：焦耳＝牛顿⨯米（1J 1N m =⋅）若在变力Ｆ作用下物体沿曲线运动，则可将路程S 分成为无限多个小微段dS，并将dS 视为直线，将该微段内的力Ｆ视为常力。
力在此微段上所作的功称为元功，用dW 表示。
即dW F dS =⋅cos α若求变力Ｆ在一段路程S 上所作的功，可对元功积分。
即：W dW F dSSS ==⎰⎰cos α二、几种常见力的功 1、重力的功重力的功等于物体的重力与物体重心始末位置的高度差的乘积，即W G h =±可见，重力的功只与物体的始末位置有关，而与物体运动的具体路径无关。
理论力学第13章动能定理
在理论力学中，动能被定义为物体运动时的能量，其大小与物体的质量和速度有关。根据牛顿第二定律，物体的动量改变量等于作用在物体上的外力的冲量。因此，如果一个力在一段时间内作用在一个物体上，那么这个力就会使物体的动量发生改变，从而产生动能的变化。
动能的定义
外力的功
外力的功等于力的大小与物体在力的方向上发生的位移的乘积。
总结词
外力的功是指力对物体运动所产生的效应，其大小等于力的大小与物体在力的方向上发生的位移的乘积。这是物理学中功的定义，也是计算外力对物体所做功的基本方法。
详细描述
VS
系统动能的增量等于合外力对系统所做的功。
详细描述
系统动能的增量是指在一个过程中，系统动能的增加量。这个增量可以通过计算合外力对系统所做的功来得到。如果合外力对系统做正功，则系统动能增加；如果合外力对系统做负功，则系统动能减少。因此，系统动能的增量与合外力对系统所做的功有直接的关系。
总结词
系统动能的增量
03
CHAPTER
动能定理的应用
适用于单个质点在力的作用下运动的情况，计算质点的动能变化。
单个质点的动能定理指出，质点在力的作用下运动时，外力对质点所做的功等于质点动能的增量。这个定理是理论力学中研究质点运动的基本定理之一，可以用来解决各种实际问题。
总结词
详细描述
单个质点的动能定理
动能定理是能量守恒定律在动力学中的具体表现，是解决动力学问题的有力工具。
动能定理适用于一切宏观低速的物体，对于微观、高速适用于狭义相对论。
动能定理适用于直线运动，对于曲线运动需要积分形式进行处理。
动能定理的适用范围
02
CHAPTER
动能定理的基本内容
总结词
理论力学13-动能定理
动能定理是理论力学中重要的定理之一，描述了物体动能的变化与外力做功 的关系。它为解决各种实际问题提供了有力的工具。
动能的定义与计算方法
动能定义
动能是物体由于运动而具有的能量。
动能计算方法
动能等于物体质量与速度平方的乘积乘以常数1/2。
举例
例如，一个质量为m的物体速度为v，它的动能为Ek=1/2mv^2。
碰撞实验
通过观察简谐摆的运动过程， 可以验证动能定理在实验中 的有效性和准确性。
利用碰撞实验可以验证动能 定理在不同碰撞情况下的适 用性。
滚动小球实验
通过观察滚动小球的动能变 化，可以验证动能定理在滚 动运动中的应用。
结论和要点
结论
动能定理是描述物体动能变化与外力做功关系的重要定理。
要点
动能定理的表达式是功等于动能的变化量，可以通过实验验证。
动能定理的提出及其重要性
1 提出背景
动能定理最早由牛顿提出，是牛顿运动定律的一部分。
2 重要性
动能定理能够精确描述物体动能的变化与外力做功的关系，对研究运动学和动力学等科 学领域具有重要意义。
动能定理的表达式及推导过程
动能定理表达式 推导过程 推导公式
功等于动能的变化量 根据牛顿第二定律和功的定义推导得出 W = ΔK = (1/2)mvf^2 - (1/2)mvi^2
动能定理在实际问题中的应用
1
碰撞问题
2
动能定理在研究碰撞问题中起到关 键作用，如弹性碰撞和非弹性碰撞。
3
机械能守恒
动能定理与势能定理结合可以帮助 解决机械能守恒的问题。
动能定理与其他物理定律的 关系
动能定理与动量定理、能量守恒定 律等相互关联，共同构成了理论力 学的核心部分。
第十二章 动能定理
2. 受力分析 只有重力做功。
3. 建立动力学方程 用动能定理。
v C
A
c
θ
R
★理论力学电子教案
vC (R r) vC / r (R r)/ r
第12章 动能定理
T1 0
T2
1 2
m vC2
1 2
JC2
3 4
m(R
r )22
W12 mg (R r)(1 cos )
力功之和可以不为零。如引力。
2. 刚体间的理想约束做功之和为零。
为什么？
★理论力学电子教案
第12章 动能定理
12
五、功率
单位时间内力（或力偶）所做的功。
P
W
F
dr
F
v
dt dt
力做功之功率
或P W M d M 力偶(力矩)做功之功率
dt
dt
功率的单位：瓦(W)
1.重力功
F FW k
W12
M 2 F
dr
z2
FW
dz FW
z1 z2
M1
z1
2.弹F性力k功r l0 r0
其中r0为r方向的单位矢量，l0为原长
W
F
dr
kr
l0 r0 dr
kr l0 r dr kr l0 dr r
1W 1N 1m / s
★理论力学电子教案
第12章 动能定理
13
例题 鼓轮内半径为r，外半径为R，在常力F作用下作 纯滚动。试求F在s上所作的功。
理论力学课件：动能定理
动能定理
【例12-8】 C618车床的主轴转速n=42r/min时,其切削力
P=14.3kN,若工件直径d=115mm,电动机到主轴的机械效率
η=0.76。求此时电动机的功率为多少?
解 由式(12-12)得切削力P 的功率:
动能定理
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
动能定理
动能定理
12.4 功率 功率方程
1.功率
在单位时间内力所做的功称为功率。它是衡量机器工作
能力的一个重要指标。
δW 是dt时间内力的元功,则功率为
动能定理
由于元功为δW =Ft·ds,因此
即,力的功率等于切向力与力作用点速度的乘积
力矩的元功为δW =M·dφ,则
即,力矩的功率等于力矩与物体转动角速度的乘积。
动能定理
动能定理
12.1 力的功
12.2 质点 质点系的动能
12.3 质点与质点系的动能定理
12.4 功率 功率方程
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
12.6 动力学普遍定理及综合应用
思考题
动能定理
12.1 力 的 功
工程实际中,一物体受力的作用所引起运动状态的变化,
不仅取决于力的大小和方向,而且与物体在力的作用下经过
的功。
动能定理
图12-15
动能定理பைடு நூலகம்
【例12-4】 在图12-16中,为测定摩擦系数f,把矿车置于
斜坡上的A 点处,让其无初速下滑。当它达到B 点时,靠惯性
又往前滑行一段路程,在C 点处停止。求摩擦系数f0,已知S1、
S2 和h。
图12-16
动能定理
理论力学复习要点整理
理论⼒学复习要点整理第⼀章静⼒学公理和物体的受⼒分析1.静⼒学是研究物体在⼒系作⽤下的平衡条件的科学。
2.静⼒学公理公理1 ⼆⼒平衡公理：作⽤于刚体上的两个⼒，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个⼒⼤⼩相等、⽅向相反且作⽤于同⼀直线上。
F=-F’⼯程上常遇到只受两个⼒作⽤⽽平衡的构件，称为⼆⼒构件或⼆⼒杆。
公理2 加减平衡⼒系公理：在作⽤于刚体的任意⼒系上添加或取去任意平衡⼒系，不改变原⼒系对刚体的效应。
推论⼒的可传递性原理：作⽤于刚体上某点的⼒，可沿其作⽤线移⾄刚体内任意⼀点，⽽不改变该⼒对刚体的作⽤。
公理3 ⼒的平⾏四边形法则：作⽤于物体上某点的两个⼒的合⼒，也作⽤于同⼀点上，其⼤⼩和⽅向可由这两个⼒所组成的平⾏四边形的对⾓线来表⽰。
推论三⼒平衡汇交定理：作⽤于刚体上三个相互平衡的⼒，若其中两个⼒的作⽤线汇交于⼀点，则此三个⼒必在同⼀平⾯内，且第三个⼒的作⽤线通过汇交点。
公理4 作⽤与反作⽤定律：两物体间相互作⽤的⼒总是同时存在，且其⼤⼩相等、⽅向相反，沿着同⼀直线，分别作⽤在两个物体上。
公理5 钢化原理：变形体在某⼀⼒系作⽤下平衡，若将它钢化成刚体，其平衡状态保持不变。
对处于平衡状态的变形体，总可以把它视为刚体来研究。
3.约束和约束⼒限制⾮⾃由体某些位移的周围物体，称为约束。
约束对⾮⾃由体施加的⼒称为约束⼒。
约束⼒的⽅向与该约束所能阻碍的位移⽅向相反。
１．柔性体约束２．光滑接触⾯约束３．光滑铰链约束4.物体的受⼒分析和受⼒图画物体受⼒图时，⾸先要明确研究对象（即取分离体）。
物体受的⼒分为主动⼒和约束⼒。
要注意分清内⼒与外⼒，在受⼒图上⼀般只画研究对象所受的外⼒；还要注意作⽤⼒和反作⽤⼒之间的相互关系。
常见问题问题⼀画受⼒图时，严格按约束性质画，不要凭主观想象与臆测。
第⼆章平⾯⼒系本章总结1. 平⾯汇交⼒系的合⼒（ 1 ）⼏何法：根据⼒多边形法则，合⼒⽮为合⼒作⽤线通过汇交点。
（ 2 ）解析法：合⼒的解析表达式为2. 平⾯汇交⼒系的平衡条件（ 1 ）平衡的必要和充分条件：（ 2 ）平衡的⼏何条件：平⾯汇交⼒系的⼒多边形⾃⾏封闭。
理论力学基础 动能定理
M2 M1
(
Fx
dx
Fy
dy
Fzdz)
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第十二章 动能定理
三、重力之功 Fx Fy 0 Fz mg
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
质点系
第
一 节
W m g(z z )
12
i
i1
i2
力
的
功
由 mzC mi zi
量分别为m和2m，且OC＝AC＝BC＝l，滑块A和
第 B重量均为m。常力偶M作用在曲柄上，设＝0
三 节 动
时系统静止，求曲柄角速度和角加速度 (以转角
表示)。
vB
能
定 理
K
vA
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第十二章 动能定理
例题六 图示系统中，滚子A 、滑轮B 均质，重
量和半径均为Q 及r，滚子沿倾角为 的斜面向
W d r F
三
节 m d v d r mdv d r mdv v mvdv
动 能 定
dt
d
(
1
dt
mv2 )
理
2
动能定理的微分形式: W d ( 1 mv2 )
2
动能定理的积分形式:
W
1 2
mv22
1 2
mv12
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
下滚动而不滑动，借跨过滑轮B的不可伸长的绳
第 索提升重P的物体，同时带动滑轮B绕O轴转动，
理论力学动能定理
的等效力（其力矢为力系的主矢）在质心的位移上所作
的功。
③ 作用在定轴转动刚体上的力的功
作用在定轴转动刚体上的力系的元功为
dW dWi ω M z (Fi )dt M z (Fi )d M z d
作用在定轴转动刚体上的力系的功等于力系向转轴 简化的等效力偶（其力偶矩为力系对转轴的主矩）在刚 体的角位移上所作的功。
drAB
B
drAB // FB
y
drAB可以分解为平行于FB与垂直于FB的两部分，即
drAB drAB // drAB
内力元功之和
dW i FB drAB FB (drAB// drAB ) FBdrAB //
当A、B的距离变化时，内力的元功之和不等于零。
工程中常用的弹簧力的功就是内力的功。设弹簧的
② 作用在平移刚体上的力的功
设力F在质点系上的作用点的速度为v，则在时间dt
内，力F的元功为
dW F dr F vdt
刚体平移时，在任一瞬时刚体上的各点的速度相同， 则作用在刚体上的力系的元功为
dW Fi dri Fi vdt Fi drC FR drC
例如质点系在重力场中各质点的z坐标为 时为零势能点位置，则各质点z坐标为 时的势能为
z10 , z20 ,, zn0
z1 , z2 , , zn
V mi g ( zi zi 0 )
质点系的重力势能可写为
V mg ( zC zC 0 )
(4) 有势力的功
设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从 点M1到点M2，该力所作的功为W12。若取M0为零势能点， 则从M1到M0和从M2到M0有势力所作的功分别为M1和M2 位置的势能V1和V2。因有势力的功与轨迹形状无关，而 由M1经过M2到达M0时，有势力的功为
动能定理
解：设系统从初始到任意位置，重
物上升s。画出所有主动力和相关运
动量，如图。
s
OB
设初始动能：T0 = 0 任意位置动能：
A C
Q va
T TP TB TA
1 P v2 1 1 Q r 2 2
2g 22g
vC aC
Q
P
s
1 2
Q g
vC2
1 2
8/27
五、约束力的功 ①柔性体约束
F
提问：约束力作功吗？
绳索始终紧绷，从B点到切点（记为C） 可视为刚体，做平面一般运动 , 依基点法速度公式
vB vC vBC
由速度投影定理
vC vB cos
若限定柔性体约束 为质点系内部约束
不可伸长的绳索， 其约束力元功之和 为零
drC drB cos
WN 0
在一定意义下，约束力不作功，这给
理想约束
我们分析解决问题带来很大方便。
10/27
§9-3 质系和刚体的动能
动能：描述物体（整体）机械运动强度的量。
一、质点 T 1 mv2
2
二、质点系
T
1 2
mi vi 2
三、平动刚体
T 1 Mv2 2
四、定轴转动刚体
T
1 2
I z 2
11/27
五、柯尼希定理——“动能的合成”
注：力偶作用的刚体可作任意运动。
力矩：
W
2 1
mO
(
F
)d
注：仅限于定轴转动刚体。
v
a
7/27
三、力系的功 功是标量，故
( A)
Rr
M
W Wi s W Wi
F' F
理论力学课件 第十二章 动能定理
FRO
r1 r2 O
mg
解：取整体为研究对象，受力分析如图所示。 v1
A
v2
B
系统对O点的动量矩为
m1 g
m2 g
LO m1v1r1 m2v2r2 J0 (m1r12 m2r22 JO )
系统所受全部外力对O点的动量矩为
MO (F e ) m1gr1 m2gr2
质点系的动量矩定理为 dLO dt
WFN 0
WF F s fmgs cos 30 8.5 J
WF
1 2
k
(12
2 2
)
100 (0 0.52) 2
12.5 J
W Wi 24.5 0 8.512.5 3.5 J
12.2 质点和质点系的动能
12.2.1 质点的动能
设质量为m的质点，某瞬时的速度为v，则质点质量与其速度平方乘积的
路径无关。若质点下降，重力的功为正；若质点上升，重力的功为负。
对于质点系，重力的功等于各质点的重力功的和，即
上式也可写为
W12 mi g(zi1 zi2) W12 mg(zC1 zC2 )
2．弹力的功
设有一根刚度系数为k，自由长为l0的弹 簧, 一端固定于点O, 另一端与物体相连接，
如图所示。求物体由M1移动到M2过程中，弹 力F所做的功。
W12
M2 M1
(Fx
d
x
Fy
d
y
Fz
d
z)
12.1.3 常见力的功
1．重力的功
z M1 M
mg
设质点M的重力为mg，沿曲线由M1运动到
M2
M2，如图所示。因为重力在三个坐标轴上的
投影分别为Fx=Fy=0,Fz=-mg，故重力的功为
理论力学第十二章 动能定理
§12－1 力的功
II. 弹性力的功
一端固定的弹簧与一质点M相连接，弹簧的原始长 度为l0,在弹性变形范围内，弹簧弹性力F的大小与其 变形量δ成正比，即
F=kδ
当质点M由M运动时，弹性力的功仍按上式计算，即弹性力的功也 只决定于弹簧初始位置与终了位置的变形量，而与质点的运动轨迹无关。
由于功只有正负值， 不具有方向意义，所 以功是代数量。
§12－1 力的功
II. 变力的功
设质点M在变力F作用下作曲线运动，当质点从M1 沿曲线运动到M2时,力F所做的功的计算可处理为： (1)整个路程细分为无数个微段dS；(2)在微小路程上, 力 F 的 大 小 和 方 向 可 视 为 不 变 ； (3)dr 表 示 相 应 于 dS 的微小位移，当dS足够小时,∣dr∣=dS。根据功的 定义，力F在微小位移dr上所做的功(即元功)为
直角坐标形式为
力F在曲线路程 上所做的功等于该力在各微段的元功之和，即
§12－1 力的功
Ⅲ. 合力的功
合力在任一路程上所做的功等于各分力在同一路程上所作功的代数和。即
常见力的功
I. 重力的功
设有一重力为G的质点,自位置M1沿某曲线运动至M2 ,
上式表明,重力的功等于质点的重量与其起始位置与终了位置 的高度差的乘积,且与质点运动的轨迹形状无关.
第十二章 动能定理
主要研究内容
力的功 功率与机械效率 动能 动能定理
§12－1 力的功
功的概念
功是度量力的作用的一个物理量。它反映的是力在一段路程上对物体作用 的累积效果，其结果是引起物体能量的改变和转化。力的功包含力和路程 两个因素。
I. 常力的功
设有大小和方向都不变的力F作用在物体上，力的 作用点向右作直线运动。则此常力F在位移方向的投 影Fcosα与位移的大小S的乘积称为力F在位移S上所 做的功，用W表示，即 W=S·Fcosa 。可知，当a<90 度时，功W为正值，即力F做正功；当a>90度时，功 W为负值，即力F做负功；当a=90度时，功为零，即 力与物体的运动方向垂直，力不做功。
南航理论力学习题答案
第十三章动 能 定 理1．如图所示，半径为R ，质量为m 1的均质滑轮上，作用一常力矩M ，吊升一质量为m 2的重物。
当重物上升高度h 时，力矩M 所作的功为（ ）。
① Mh /R② m 2gh③ Mh/R －m 2gh④ 0正确答案：①2．三棱柱B 沿三棱柱A 的斜面运动，三棱柱A 沿光滑水平面向左运动。
已知A 的质量为m 1，B 的质量为m 2；某瞬时A 的速度为v 1，B 沿斜面的速度为v 2。
则此时三棱柱B 的动能为 （ ）。
① 22221v m ② 2212)(21v v m − ③ )(2122212v v m − ④ ]sin )cos [(212222212θθv v v m +− 正确答案：④3．一质量为m ，半径为r 的均质圆轮以匀角速度ω沿水平面作纯滚动，均质杆OA 与圆轮在轮心O 处铰接，如图所示。
设OA 杆长l = 4r ，质量M = m /4。
在图示杆与铅垂线的夹角φ = 60°时，其角速度ωOA = ω/2，则此时该系统的动能为（ ）。
① 222425ωmr T =② 221211ωmr T = ③ 2267ωmr T = ④ 2232ωmr T = 正确答案：③4．均质圆盘A ，半径为r ，质量为m ，在半径为R 的固定圆柱面内作纯滚动，如图所示。
则圆盘的动能为（ ）。
① 2243ϕ mr T = ② 2243ϕ mR T = ③ 22)(21ϕ r R m T −= ④ 22)(43ϕ r R m T −= 正确答案：④5．图示均质圆盘沿水平直线轨道作纯滚动，在盘心移动了距离s 的过程中，水平常力F T 的功A T =（ ）；轨道给圆轮的摩擦力F f 的功A f =（ ）。
① F T s② 2F T s③ 0④ －F f s正确答案：② ③6．图示二均质圆盘A 和B ，它们的质量相等，半径相同，各置于光滑水平面上，分别受到F 和F ′的作用，由静止开始运动。
质点和质点系的动能定理
由动能定理，有
M
m2 g
sin
r
m2 g
cos
r
1 4
m1
2m2
r 22
得
2 M m2gr(sin f cos )
r
m1 2m2
将上式两边对时间t求导，并注意d/dt=ω，得鼓轮的角加速度为
2[M m2gr(sin f cos )]
r 2 (m1 2m2 )
目录
动能定理\质点和质点系的动能定理 【例8.6】 物块A质量为m1，挂在不可伸长的绳索上,绳索跨过定
T1=0
设物块下滑s=2m时的速度为v，其动能为
T2
1 2
mv2
51v2
在物块由静止到下滑2m 的过程中，
作用于物块上的重力的功为
W1 mg sin s 1000 N
2 2 m 1414 J 2
摩擦力的功为
W2 mg cos f s 1000 N
2 0.1 2 m -141.4 J 2
目录
动能定理\质点和质点系的动能定理
【解】 取鼓轮和重物组成的
质点系为研究对象，其上作用的 外力有：重物的重力m2g，斜面 的法向反力FN，摩擦力Ff，鼓轮 上的力矩M，以及鼓轮的重力和 轴承处的约束反力（图中未画 出）。
开始时，系统处于静止，其动能为
T1=0
设当鼓轮转过角时的角速度为，则重物的速度为 v=r
目录
动能定理\质点和质点系的动能定理 【例8.5】 一不变的力矩M作用在铰车的鼓轮上，轮的半径为r，
质量为m1。缠绕在鼓轮上的绳子系一质量为m2的重物，使其沿倾角
为的斜面上升（如图）。已知重物与斜面间的动摩擦因数为f，绳
子质量不计，鼓轮可视为均质圆柱。在开始时，此系统处于静止。
第十二章 动能定理
③ 作用在纯滚轮上的摩擦力的功 接触点为瞬心，滑动摩擦力 作用点没动，此时滑动摩擦 力也不做功。
W F d rp 0
如果不是纯滚动，有相对滑 动，则摩擦力作负功。
13
§13 - 2 质点和质点系的动能 1 质点的动能
T
2 2
1 2
mv
2
动能是恒正的标量，
单位:
是瞬时量。
2
kg m / s kg m / s m N m J
( mi ri )
2
所以，刚体定轴转动的动能为:
Jz
T
1 2
J z
2
15
(3) 平面运动刚体的动能
设刚体作平面运动，如图。
C
由定轴转动刚体动能的公式
T
1 2
1
J p
2
rc p
2 C
由平行轴定理，有: 所以:
2
J p JC m r
1 2
2 C 2
T J C m r
m2g
2
d T [] 2vB d vB
Wi m3 g d s
2
vB
ds
m3g
d vB ds 两边同除d t，得: []v m3 g B dt dt m3 所以: a g B []
29
例 3
已知：两相同均质杆, m, l , 水平面光滑。初始静 止，高为h。设杆在铅垂 面内落下。 求：铰链D与地面接触时 的速度。
1
FDy
vo
F
m1g
FDx m2g m3g
2
vB
FN
受力如图。 求加速度可用动能定理的微分形式。
计算一般位置的动能
理论力学第13章-动能定理
k C
G
W1 G h 9.8 5 49N c m （a）
（b）
弹性力的功：1 0, 2 AC BC AB 2 202 52 40 1.23c m
W2
k 2
2 1
2 2
40 2
0 1.232
30.3N c m
所有力的功 W W1 W2 49 30.3 18.7N c m 0.187J
13 动能定理
13.1 力的功、功率 13.1.1 功的表达式 力的功( Work )是力在一段路程上对物体作用的累
积效果，其结果将导致物体能量的变化。
设质量为 m 的质点 M，受力 F 作用，质点在惯
性参考系中运动的元位移为 d r。
力的元功 ：力F 在元位移上 累积效果
dW F dr
（13-1）
与其角速度平方的乘积之半。
根据平行轴定理
JP JC M d2
M 为刚体的质量，d = P C ，J C 为对于质心的转动惯量。
T 1 2
JC M d2
2
1 2
JC
2
1 2
M
d
2
因为 d vC
T
1 2
M
v
2 C
1 2
JC
2
（13-21）
即作平面运动的刚体的动能，等于随质心平动的动能与
绕质心转动的动能的和。
P
M
z
dj
dt
M
z
（13-15）
即力矩的功率，等于力矩与刚体转动角速度的乘积。
功率计量单位为焦耳/秒 ( J / s )，瓦 ( W )：
1W 1J/s 1N m/s
（2）机械效率。P输入、P输出、P损耗 分别表示输入功
理论力学 概念及判断
理论力学复习题(基本概念)一、分析力学1． 约束：2．完整系统：3．广义坐标：4．虚位移：5．理想约束：6．达朗伯原理：7．虚位移原理：8．哈密顿原理：9．完整约束：10．非完整约束：11．自由度：12拘束： 13．达朗伯惯性力：14．虚功：15．有势力 1． 利用虚位移原理解题的基本步骤？ 2． 利用拉格朗日方程解题的基本步骤？3． 利用虚位移原理解题的基本方法有哪两种？ 4． 分析力学的研究对象、任务与方法？ 5． 计算广义力的两种方法？6． 有势力作用下的拉格朗日第二类方程？ 7． 拉格朗日第二类方程的首次积分有哪二类？ 哈密顿正则方程的首次积分有哪二类1、 力系向一点简化，其主矢为0=R，则（C ）。
A 、力系一定是平衡力系。
B 、力系一定不是平衡力系。
C 、当其主矩也为零时，力系是平衡力系。
D 、是一力螺旋。
2、 平面力偶系独立的平衡方程有（A ）个。
A 、一。
B 、二。
C 、三。
D 、四。
3、 当刚体作平面运动时，其独立的动力学标量方程有（C ）个。
A 、一。
B 、二。
C 、三。
D 、四。
4、 动力学普遍定理是（A ）定理、（A ）定理和（）定理。
A 、动量、动量矩、动能。
B 、动量、质心运动、动能。
C 、质心运动、动量矩、动能。
D 、动量、质心运动、动量矩。
5、 质点系的动量在x 方向守恒，则外力（A ）。
A 、在x 方向投影之和为零。
B 、在y 方向投影之和为零。
C 、在z 方向投影之和为零。
D 、不能判断。
6、 作用在刚体上的所有外力都通过其质心，则刚体（C ）。
A 、动量守恒。
B 、动量不守恒。
C 、动量矩守恒。
D 、动量矩不守恒。
7、 质点系的内力（D ）A 、不改变质点系动能。
B 、不改变每个质点的动能。
C 、不改变质点的相对运动D 、不改变质点系质心运动。
8、 保守力的功与（B ）A 、路径有关。
B 、路径无关。
C 、时间有关。
D 、速度有关。