理论力学课后习题答案 第10章 动能定理及其应用 )

C

v ϕ

A

B

C r

v 1

v 1

v 1

ωϕ(a)

C

C

ωC

v ωO

(a)

第10章 动能定理及其应用

10－1 计算图示各系统的动能：

1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘上A 、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为v B ，= 45º（图a ）。

2．图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b ）。

3．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。细圆环在水平面上作

纯滚动，图示瞬时角速度为

（图c ）。

解：

1．2

22222163)2(2121)2(212121B

B B

C C C mv r v mr v m J mv T =⋅+=+=

ω 2．2

22122222214321)(21212121v m v m r v r m v m v m T +=⋅++=

3．2

2222222)2(2

12121ωωωωmR R m mR mR T =++=

10－2 图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。当杆与铅垂线的夹角为ϕ时，试求系统的动能。

解：图（a ）

B A T T T +=

)2

121(21222211ωC C J v g W v g W ++=

21

221121212211122]cos 22)2

[(22ωϕωω⋅⋅+⋅++++=l g

W l l v l v l g W v g W

]cos 3

1

)[(2111221222121ϕωωv l W l W v W W g +++=

10－3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。曲柄的重力为Q F ，角速度为ω，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。

解：

C OC T T T +=

2222)21(212121C C C C OC O r m v m J ωω++= 22P 2P 22Q )2(41)2(21])2(31[21r

r r g F r g F r g F ωωω++=

习题10－2图

习题10－3图

B

v A C

θ

(a)

v

O

ω

A

习题10－1图

(b)

(c)

A

)92(3P Q 22F F g

r +=ω 10－4 图示一重物A 质量为m 1，当其下降时，借一无重且不可伸长的绳索使滚子C 沿水平轨道滚动而不滑动。绳索跨过一不计质量的定滑轮D 并绕在滑轮B 上。滑轮B 的半径为R ，与半径为r 的滚子C 固结，两者总质量为m 2，其对O 轴的回转半径为ρ。试求重物A 的加速度。

解： 将滚子C 、滑轮D 、物块A 所组成的刚体系统作为研究对象，系统具有理想

设系统在物块下降任意距离s 时的动能

动能：2

2221212121C C C A J v m v m T ω++=

其中r R v A C -=ω，r

R r v r v A C C -==ω，

2

2ρm J C =

22

22212

2222221])

([21])(1)([21A A v r R r m m v r R m r R r m m T -++=-+-+=ρρ 力作的功：gs m W 1=

应用动能定理：gs m v r R r m m A 12

2

222

1])([21=-++ρ 将上式对时间求导数：s g m a v r R r m m A A 12

2

22

1])([=-++ρ 求得物块的加速度为：)

()()(222212

1ρ++--=r m r R m r R g m a A

10－5 图示机构中，均质杆AB 长为l ，质量为2m ，两端分别与质量均为m 的滑块铰接，两光滑直槽相互垂直。设弹簧刚度为k ，且当θ = 0˚时，弹簧为原长。若机构在θ = 60˚时无初速开始运动，试求当杆AB 处于水平位置时的角速度和角加速度。

解：应用动能定理建立系统的运动与主动力之间的关系。

动能：2

222

12121AB O B A J mv mv T ω++=

其中：AB A l v θωsin =；AB B l v θωcos =；223

1

ml J O =

2

222226

53121AB

AB AB ml ml ml T ωωω=+= 外力的功：])cos ()60cos [(2

)sin 60(sin 22)sin 60(sin 22θθθl l l l k l mg mgl W --︒-+-︒+-︒=

T = W ；2

265AB ml ω])cos 1(4

1[2)sin 23(222θθ--+-=l k mgl （1）

当0=θ时：8

32kl

mgl W +=

2265AB ml ω832kl mgl +=；ml

kl mg m k g l AB 203324203536+=

+=ω 对式（1）求导：AB AB ml αω23

5θθθθθ sin )cos 1(22cos 22---=l k mgl ； 习题10－4图

习题10－5图