2017-2018年高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质练习新人教A版必修5

2.4 第2课时 等比数列的性质

A 级 基础巩固

一、选择题 1.2＋1与2－1，两数的等比中项是( )

A ．1

B ．－1

C ．±1 D.12

解析：设等比中项为b ，则b 2＝(2＋1)·(2－1)＝1，所以b ＝±1.

答案：C

2．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝2，a 4＋a 5＋a 6＝4，则a 10＋a 11＋a 12等于( )

A ．32

B ．16

C ．12

D ．8

解析：a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝42

＝2， 所以a 10＋a 11＋a 12＝(a 1＋a 2＋a 3)q 9＝2·(23)＝24＝16.

答案：B

3．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n

等于( )

A.32

B.32或23

C.23 D ．以上都不对

解析：不妨设12是x 2－mx ＋2＝0的根，则其另一根为4，所以m ＝4＋12＝92

， 对方程x 2－nx ＋2＝0，设其根为x 1，x 2(x 1

所以等比数列为12

，x 1，x 2，4， 所以q 3＝412

＝8，所以q ＝2， 所以x 1＝1，x 2＝2，

所以n ＝x 1＋x 2＝1＋2＝3，

所以m n ＝92×3＝32

. 答案：A

4．在1与100之间插入n 个正数，使这n ＋2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为

( )

A ．10n

B ．n 10

C ．100n

D ．n 100

解析：设这n ＋2个数为a 1，a 2，…，a n ＋1，a n ＋2， 则a 2·a 3·…·a n ＋1＝(a 1a n ＋2)n 2＝(100)n 2＝10n .

答案：A 5．等比数列{a n }中，a n ∈R *，a 4·a 5＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 8的值为( )

A ．10

B ．20

C ．36

D ．128

解析：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 8＝

log 2(a 1·a 2·a 3·…·a 8)＝

log 2(a 4a 5)4＝4log 232＝20.

故选B.

答案：B

二、填空题

6．等比数列{a n }中，a 1＜0，{a n }是递增数列，则满足条件的q 的取值范围是______________．

解析：由a n ＋1＞a n ⇒a 1q n ＞a 1q

n －1， 因为a 1＜0，

所以q n ＜q n －1⇒q n ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－1q ＜0对任意正整数n 都成立． 所以q ＞0且1－1q

＜0解得：0＜q ＜1. 答案：0＜q ＜1

7．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝______________． 解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，

所以a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)(n ≥1)，

即(a n ＋3)是以a 1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，a n ＋3＝4·2

n －1＝2n ＋1， 所以该数列的通项a n ＝2

n ＋1－3. 答案：2n ＋1－3

8．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公

式a n ＝________．

解析：因为{a n }单调递增，所以q >0，

又a 25＝a 10>0，所以a n >0，q >1，

由条件得2⎝ ⎛⎭

⎪⎫a n a n ＋1＋a n ＋2a n ＋1＝5，

即2⎝ ⎛⎭

⎪⎫1q ＋q ＝5， 所以q ＝2或q ＝12

(舍)， 由a 25＝a 10得(a 1q 4)2＝a 1q 9

，

所以a 1＝q ＝2，故a n ＝2n .

答案：2n

三、解答题

9．已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数． 解：法一：设该数列的公比为q ，项数为2n ，则S 偶＝qS 奇⇒a 1（1－q 2n ）1－q

＝85＋170， 所以22n

－1＝255.所以2n ＝8.

故这个数列的公比为2，项数为8.

法二：设该数列的公比为q ，项数为2n ，则 S 奇＝a 1[1－（q 2）n ]1－q 2＝85， S 偶＝a 1q [1－（q 2）n ]1－q 2＝170. 所以n ＝4，q ＝2.

10．三个正数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于712

，求这三个数． 解：设三个数为a q

，a ，aq (a ，q >0)， 由题⎩⎪⎨⎪⎧a q ＋a ＋aq ＝21

q a ＋1a ＋1aq ＝712

，

所以⎩⎪⎨⎪⎧a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋1＋q ＝211a ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＋1＋1q ＝712⇒a 2

＝21×127＝36， 所以a ＝6，q ＝2或12

， 所以三个数为3，6，12或12，6，3.

B 级 能力提升