13.3 同位角、内错角、同旁内角
同位角、内错角、同旁外角、垂线
同位角、内错角、同旁内角一、知识归纳1、同位角：∠1和∠8这两个角分别在l2、l3的同一方（上方或下方），并且都在直线l1的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角．2、内错角：∠3和∠8这两个角都在直线l2、l3之间，并且分别在直线l1的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角．3、同旁内角：∠3和∠5都在直线l2、l3之间，但它们在直线l1的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．二、例题讲解例1、（1）下图中，∠1和∠2不是同位角的是（）（2）如图，能与∠α构成同位角的角有（）A．4个B．3个C．2个D．1个（3）如图，与∠B是同旁内角的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个（4）如图所示①AB与BC被AD所截得的内错角有_____________；②DE与AC被AD所截得的内错角有_____________；③DE与AC被BC所截得的同位角有_____________；④∠5、∠7是_____________被_____________直线所截得的_____________角；⑤∠1、∠4是_____________被_____________所截得的_____________角；⑥∠B、∠7是_____________被_____________所截得的_____________角．（5）如图，直线AB、CD、EF两两相交，请指出∠1与其它有标号的角是什么角？例2、（1）如图，下列判断错误的是（）A．∠1和∠2是同旁内角B．∠3和∠4是内错角C．∠5和∠6是同旁内角D．∠5和∠8是同位角（2）如图，指出∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中是同位角的有__________对，是内错角的有__________对，是同旁内角的有__________对．一、选择题1、如图所示，∠1和∠2是同位角的是（）A．②③B．①②③C．④D．①④2、∠1与∠2不是内错角的是（）3、如图所示，直线AB，CD，EF两两相交，图中共有同旁内角（）A．1对B．3对C．6对D．12对4、如图所示，有以下四种说法：①∠1和∠4是同位角；②∠3和∠5是内错角；③∠2和∠6是同旁内角；④∠2和∠5是同位角，其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5、如图所示，AB，BE被AC所截，下列说法不正确的是（）A．∠1与∠2是同旁内角B．∠1与∠ACE是内错角C．∠B与∠4是同位角D．不能得到内错角∠1与∠3二、填空题6、如图所示，∠1和∠2是两条直线____________与____________被第三条直线____________所截的____________角；∠5和∠6是两条直线____________与____________被第三条直线____________所截的____________角；∠2和∠6是两条直线____________与____________被第三条直线____________所截的____________角．7、如图所示，∠ABD的同位角有____________，内错角有____________，同旁内角有____________；∠BGH的同位角有____________，内错角有____________，同旁内角有____________．8、如图所示，直线AB，CD被BD所截构成∠3和__________是内错角，AD，BC被BD所截构成的∠1和∠2是___________角，AD，BC被AB所截构成的∠5和∠ABC是___________角，∠6和∠ABC是____________角．三、综合题9、如图所示，∠1和∠E，∠2和∠3，∠3和∠E都是什么角，它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截得的?10、如图所示，平行直线EF，MN被相交直线AB，CD所截，请问图中有多少对同旁内角?垂线一、知识归纳1、垂直：当两条直线所有的角为90°时，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，AB与CD相交于O，当交角90°时，称AB与CD垂直，记作AB⊥CD于O. 其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.两直线垂直的位置关系是用角来刻画的．2、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．3、垂线段最短．4、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．注意：垂线段：是一个几何图形；距离：是一个数量，这个数量是垂线段的长度．5、正确理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念.如上图（1）AB与CD相交，当交角90°时，称AB与CD垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线；如图（2）过P到这条直线所引的直线中，点P与垂足E之间的线段PE叫做垂线段；P到垂足E之间的距离叫点到直线的距离；如图3，点M和点N之间的线段的长度叫两点间距离．二、例题讲解例1、（1）下列条件中，位置关系互相垂直的是（）A．相邻两角的角平分线B．互为对顶角的两角的角平分线C．互为邻补角的两角的角平分线D．互为补角的两角的平分线（2）甲、乙、丙、丁四个同学在判断时针与分针在某一时刻是否互相垂直时，有下列几种说法，其中完全正确的是（）A．甲说3点和3点半B．乙说6点一刻和6点3刻C．丙说9点和12点3刻D．丁说3点和9点例2、如图，根据下列语句画图：（1）过点P画射线AM的垂线，Q为垂足；（2）过点P画射线BN的垂线，交射线BN反向延长线于Q点；（3）过点P画线段AB的垂线，交线段AB延长线于Q点．例3、如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列的结论中正确的是个数是（）①点B到AC的垂线段是线段AB②线段AC是点C到AB的垂线段③线段AD是点D到BC的垂线段④线段BD是点B到AD的垂线段A．1 B．2 C．3 D．4例4、（1）如图，直线AB⊥CD于点O，点M是OC上的一个定点，点P是直线AB上的一个动点，则（）A．PM>OM B．PM<OMC．PM≥OM D．PM≤OM（2）到直线l的距离等于2cm的点有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个（3）直线l上有A、B、C三点，直线l外有一点P，若PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝2cm，那么P点到直线l的距离（）A．等于2cm B．小于2cmC．不大于2cm D．大于2cm而小于3cm（4）如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝acm，BC＝bcm，则BD的取值范围是（）A．小于bcmB．大于acmC．大于acm或小于bcmD．大于bcm且小于acm例5、（1）如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥AB于O，则图中∠1与∠2的关系是___________．（2）如图，将一张长方形的白纸折叠，使BD折到BD′处，BE折到BE′处，并且BD′与BE′在同一直线上，那么AB与BC 的位置关系是__________．（3）过一个钝角的顶点分别作这个角两边的垂线，若这两条垂线的夹角为40°，则此钝角为（）A．140°B．160°C．120°D．110°例6、（1）如图，点O为直线AB上一点，ON平分∠BOC，OM⊥ON，试说明OM平分∠AOC的理由．（2）如图，AB⊥BC于B，AB＝4，BC＝3，AC＝5，求B到AC的距离．一、选择题1、P为直线l上一点，Q为l外一点，下面画图一定可能的是（）A．由P画l的垂线过Q点B．由Q画l的垂线过P点C．连接PQ使PQ⊥l D．过P或Q作l的垂线2、已知直线l外一点P，则点P到直线l的距离是指（）A．点P到直线l的垂线的长度 B．点P到l的垂线C．点P到直线l的垂线段的长度 D．点P到l的垂线段3、已知OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC=2∶3，则∠BOC的度数是（）A．30°B．150°C．30°或150° D．以上都不对4、点P为直线l外一点，点A，B，C在直线l上，若PA=4cm，PB=5cm，PC=6cm，则点P到直线l的距离是（）A．4cm B．小于4cmC．不大于4cm D．5cm5、如图所示，OA⊥BC，OM⊥ON，则图中互余的角有（）A．1对B．2对C．3对D．4对6、如图所示，∠PQR=138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT等于（）A．42°B．64°C．48°D．24°二、填空题7、如图所示，计划把池中的水引到C处，可过C点引CD⊥AB于D，然后沿CD开渠，可使所在的渠道最短，说明这种设计的依据是__________________．8、画图并回答：如图所示，已知点P在∠AOC的边OA上．（1）过点P画OA的垂线交OC于点B；（2）画点P到OB的垂线段PM；（3）指出上述所作的图中，线段___________的长表示P点到OB边的距离；（4）比较PM与OP的大小，并说明理由．三、综合题9、如图所示，O是直线AB上一点，OF，OC，OE是射线，OE⊥OF，若∠BOC=2∠COE，∠AOF比∠COE的4倍小8°，求∠EOC的度数．10、如图所示，∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边与∠2的两边分别垂直，又∠1∶∠2=5∶13，求∠1，∠2的度数．11、如图所示，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N是分别位于AB两侧的村庄．（1）设汽车行驶到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出P，Q的位置（保留画图痕迹）；（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M，N两村越来越近？在哪一段路上离N村越来越近，而离村庄M却越来越远？（分别用文字表达你的结论，不必证明）。
知识点同位角内错角同旁内角
知识点：同位角、内错角、同旁内角如图6，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”。
①∠1与∠5，这两个角分别在AB、CD的上方，并且在EF的右侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角。
例如，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角。
②∠3与∠5，这两个角都在AB、CD之间，并且∠3在EF的左侧，∠5在EF的右侧，像这样的一对角叫做内错角。
例如，∠4与∠6是内错角。
③∠3和∠6在直线AB、CD之间，并且在EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角。
例如，∠4与∠5是同旁内角。
要点诠释：(1)同位角、内错角、同旁内角是指具有特殊位置关系的两个角，是成对出现的。
(2)这三类角必须是由两条直线被第三条直线所截形成的。
(3)同位角特征：截线同旁；被截两线的同方向。
内错角特征：截线两旁；被截两线之间。
同旁内角特征：截线同旁；被截两线之间。
(4)这三类角是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，即∠1、∠2、∠3、∠4中一个与∠5、∠6、∠7、∠8中一个，它们有可能成为同位角、内错角和同旁内角。
(5)两条直线被第三条直线截成的八个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。
(6)如何巧妙识别三线八角，下面介绍几种方法：①巧记口诀来识别可按以下口诀来识别：“一看三线，二找截线，三查位置来分辨”。
所谓“看三线”：因为这三种角是由两条直线被第三条直线所截而成的，所以，一组同位角(或内错解、或同旁内角)的四条边应分别在这三条直线上，否则就一定不是这三种角。
所谓“找截线”：既然一对角的四条边分别在这三条直线上，因此必定各有一条边共线，这条直线就是截线。
“再以位置来分辨”：同位角一定在截线的“同旁”，被截线的“同侧”；内错角一定在两条被截线的“内部”，在截线的“异侧”；而同旁内角一定在截线的“同旁”，两条被截线的“内部。
”②借助方位来识别根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别。
同位角、内错角、同旁内角
两条直线AB和CD被第 三条直线EF所截成的 角共有几个？
E
A
87
56
B
答：8个（一般称为三线八角）
43
C
12
D
直线EF----截线
直线AB、CD----被截直线 F
复习 同位角 内错角 同旁内角 举例 练习 结束
如图所示，三线八角中上面四个角与
下面四个角是不共顶点的，这节课我
们要学习其中没有公共顶点的两个角
观察∠3和∠6两角与截线及被截线 的位置关系有何特点:
两角各有一边在同一直线上（截线）
87
56
6
43
3
12
复习 同位角 内错角 同旁内角 举例 练习 结束
观察∠3和∠6两角与截线及被截线的 位置关系有何特点:
两个角在截线的同一侧（右侧）
87
56
6
43
3
12
开始 同位角 内错角 同旁内角 举例 练习 结束
(或反置)
同旁内角
在两条被截直线之内， 在截线同侧
形如字母“U”
复习 同位角 内错角 同旁内角 举例 练习 结束
试一试：
请同学们分别用双手的大拇指，食 指各组成一个角，两食指相对成一 条线，保持在同一平面内，分别进 行尝试，看可以组成哪些角。
复习 同位角 内错角 同旁内角 举例 练习 结束
例：如图直线DE、BC被直线
基础练习2：
（1）如图，直线AD、BC 被直线AC所截，找出图中由 AD、BC被直线AC所截而成的
内错角是 ∠1和 ∠2 。 （2）∠3和∠4是直线 AB和
构成内错角。
A
3
B
DC被
1 4
2
同位角、内错角、同旁内角(含问题详解)
1.1 同位角、错角、同旁角◆目标指引1．经历观察、比较、动手操作等过程，培养识图能力和思维能力．2．体会两条直线被第三条直线所截产生的同位角、错角、同旁角概念．3．会识别两条直线被第三条直线所截产生的同位角、错角、同旁角．4．培养由较复杂的图形中分解出简单的、基本图形的能力．◆要点讲解1．两条直线被第三条直线所截时，构成了八个角，简称“三线八角”．2．两条直线被第三条直线所截时，•要分清是哪两条直线被哪一条直线所截（即第三条直线）．3．每对同位角（或错角或同旁角）的四条边仅涉及三条直线，•两个角的边涉及的同一条直线就是截其余两条直线的“第三条直线”，其余涉及的两条即为被截的两条直线． 4．通过一定数量的变式图形的辨认，大量正反例子的辨认来形成同位角、•错角、同旁角的正确认识．◆学法指导1．在被截两条直线的同一方向，•在截线（即第三条直线）的同一侧的一对角为同位角；在被截两条直线之间，在截线（即第三条直线）的两侧的一对角为错角；在被截两条直线之间，在截线（即第三条直线）的同一侧的一对角为同旁角．2．在同位角、错角、•同旁角中的“同”指在被截两条直线的同一方向或截线（即第三条直线）的同一侧：“”指被截两条直线之间；“错”指在截线（即第三条直线）的两侧． 3．同位角的形状像英文字母“F”；错角的形状像英文字母“Z”；•同旁角的形状像英文字母“C”或“n”．4．同位角、错角、•同旁角都是两条直线被第三条直线所截形成的没有公共顶点的一些所对的角．如果两角由四条直线构成（即它们没有公共截线），那么肯定既不是同位角，也不是错角、同旁角．5．对于有些较复杂的图形，刚开始识别时有一定困难，•解决这一困难的有效措施是：将指定的三条直线用有色笔描出来，突出研究截线，再去辩认角．若图形不标准，可根据情况把线段（或射线）向两边（或一边）作适当延长．例题分析【例1】如图所示，∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4•分别是哪两条直线被哪一条直线所截而成的？它们是同位角、错角、同旁角中的哪一类角？【分析】由于∠1和∠4的公共边是BD，则BD为截线，AB，CE为被截直线，且∠1•和∠4在BD同一侧，在AB和CE的同一方向，∠2和∠3的公共边是AC，则AC为截线，CE，AB为被截直线，且∠2和∠3在AC的两侧，在AB和CE之间．∠3和∠4的公共边是AB，则AB为截线，AC、BC为被截直线，且∠3和∠4在AB的同一侧，在BC和AC之间．【解】∠1和∠4是直线AB和CE被直线BD所截而成的同位角．∠2和∠3是直线AB和CE被直线AC所截而成的错角．∠3和∠4是直线AC和BC被直线AB所截而成的同旁角．【注意】识别同位角、错角、同旁角的方法是：首先分清“两条直线”和“第三条直线”，再用“两条直线”分外，“第三条直线”分两旁来确定每一个角的位置．【例2】如图所示，直线DE交射线BA和BC于点E和D，请找出∠1•的同位角与∠B的同旁角．【分析】∠1的同位角应与∠1有一条公共边DE或BC，若公共边是DE，则DE是截线，BA和BC是被截两线．此时在直线DE同一侧，在直线BA和BC同一方向的角是∠5；•若公共边是BC，则BC为截线，DE和BA为被截两线，此时在BC同一侧，DE和BA同一方向的角是∠B．同理，∠B的同旁角也有两个．【解】∠1的同位角是∠5与∠B．∠B的同旁角是∠2与∠3．【注意】（1）三条线两两相交，任何一条线都可以看作是截线，•而其余两条为截线，故需要分类讨论．（2）找同位角、错角、同旁角应根据图形特点找出与角有关的线，•剔除与相关的角无联系的线．（3）若图形不标准，•可视情况把线段（或射线）向两边（或一边）延长或者剔除一部分线段．【例3】平行线EF、MN与两相交直线AB、CD相交成如图的图形．请你找出图中共有多少对同旁角？【分析】因为每一个“三线八角”基本图形中都有2对同旁角，从图中可以分解出下列4类基本图形（图1，图2，图3，图4）．图1 图2图3 图4对于图1，三条直线AB、CD、EF两两相交，找同旁角时，有三种情形：•两直线AB和CD被第三条直线EF所截；两直线AB和EF被第三条直线CD所截；两直线CD和EF被第三条直线AB所截．因此，对于图1，可分解出三个基本图形，每个基本图形有2对同旁角，共有6对同旁角．类似地，对图2，也可分解出三个基本图形，共有6对同旁角．对于图3，由于EF和MN两直线平行，所以只有这一个基本图形，从而有2•对同旁角．类似地，对于图4，也只有2对同旁角．【解】图中共有16对同旁角．【注意】将复杂的图形分解为基本图形，是解决几何问题的重要方法．◆练习提升一、基础训练1．如图所示，AB、CD分别交EF于G、M，GH、MN分别与AB、CD交于G、M，•有下列结论：①∠1与∠4是同位角；②∠2与∠5是同位角；③∠EGB与∠GMD是同位角；④∠3与∠4是同旁角．其中正确的结论个数有（）A．4个 B．3个 C．8对 D．12对3．下图中，∠α和∠β不是同位角的是（）A B C D4．如图所示，E是BC延长线上一点，则直线AB和CD被AC所截而成的错角是（）A．∠2与∠3 B．∠1与∠4 C．∠D与∠5 D．∠1与∠ACE(第4题) (第5题)5．如图所示，已知直线MN分别交AB、AC于点D、E．（1）直线DE和BC被AB所截而成的同位角是______，同旁角是______．（2）∠2与∠6是直线_____和_____被直线_____所截而成的错角．（3）∠A与∠3是直线_____和_____被直线_____所截而成的_______．6．如图所示，回答下列问题：（1）∠1和∠B构成什么角？（2）∠2和∠A构成什么角？（3）∠B和哪些角构成同旁角？7．如图所示，直线a和直线b被直线L所截而成的同位角、错角、同旁角分别有多少对？请写出这些同位角、错角、同旁角．8．如图所示，BD是四边形ABCD的对角线，E是CD延长线上一点．（1）∠1与∠2是哪两条直线被哪条直线所截得的什么角？（2）AB和CD被BD所截，其错角是哪一对角？9．如图所示，若以AB、CD为两条被截直线，那么第三条直线有几种可能？•都出现什么角？分别写出来．10．如图所示，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的一点，连结DE、•EF．（1）∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截得的什么角？（2）∠1和∠B是哪两条直线被哪一条直线所截得的什么角？∠EFC和∠C呢？二、提高训练11．下列图中，∠1与∠2不是同旁角的是（）12．如图所示，下列判断正确的是（）A．4对同位角，4对错角，2对同旁角B．4对同位角，4对错角，4对同旁角C．6对同位角，4对错角，4对同旁角D．以上判断都不对13．如图所示，直线a∥b∥c，则图中共有错角（）A．4对 B．6对 C．8对 D．10对14．如图所示，直线DE和BC被直线AB所截．（1）∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4各是什么角？（2）∠1与∠5是错角吗？（3）如果∠1=∠4，那么∠1=∠2呢？∠1和∠3互补吗？为什么？15．如图所示，直线a、b被直线c所截，若∠1的同旁角等于60°56′，求∠1的错角的度数．三、拓展训练16．如图所示，如果与∠1成同位角的角的个数为a，与∠1成错角的角的个数为b，那么a、b的大小关系是：a_____b．（填“>”、“=”或“<”）(第16题) (第17(1)题) (第17(2)题) 17．（1）如图所示，直线a，b，c两两相交于A，B，C三点，则图中有______对对顶角；有______对同位角；有______对错角；______对同旁角．（2）如图所示，若四条直线两两相交于不同点，则图中有_____对对顶角；• 有______对同位角；有_____对错角；______对同旁角．（3）若n条直线两两相交于不同点，则图中有____对对顶角；有_____对同位角；有_____对错角；有_____对同旁角．答案:1．B 2．B 3．A 4．B5．（1）∠1和∠B，∠6和∠B （2）AB，AC，DE （3）•AB，•DE，AC，同位角6．（1）同位角（2）错角（3）∠3，∠A，∠BCD7．4对同位角：∠1•与∠6，∠4与∠5，∠2与∠8，∠3与∠7；2对错角：∠3与∠6，∠4与∠8；2对同旁角：∠4与∠6，∠3与∠88．（1）∠1与∠2是BC、AD被BD所截而成的错角．（2）∠ABD与∠BDC9．略（提示：分四种情况，第三条直线可能是AD，AC，CE或BC．）10．（1）∠1和∠2是AB，EF被DE所截得的错角（2）∠1和∠B是DE，BC•被AB•所截得的同位角；∠EFC和∠C是EF，EC被FC所截得的同旁角11．B 12．C 13．B14．（1）错角、•同旁角、同位角（2）不是（3）∠1=∠2，∠1+∠3=180°．理由略15．119°4′16．<17．（1）6，12，6，6 （2）12，48，24，24（3）n（n-1），2n（n-1）（n-2），n（n-1）（n-2），n（n-1）（n-2）（提示：三条直线两两相交共有3个三线八角的基本图形，•四条直线两两相交于不同点共有12个三线八角的基本图形，n条直线两两相交于不同点共有12n（n-1）（n-2）个三线八角的基本图形，而每个三线八角基本图形有4对同位角，2对错角，2对同旁角）。
《同位角、内错角、同旁内角》的说课稿
《同位角、内错角、同旁内角》的说课稿一、教材分析1、《同位角、内错角、同旁内角》是人教版新课标实验教材初中数学七年级下学期第五章《相交线与平行线》的第一节第三课时内容。
2、地位和作用由于角的形成与两条直线的相互位置有关，学生已有的概念是两相交直线所形成的有公共顶点的角（邻补角、对顶角等）即两线四角，在此基础上引出了这节课：两直线被第三条直线所截形成的没有公共顶点的八个角的位置关系——同位角、内错角、同旁内角。
研究这些角的关系主要是为了学习平行线做准备，同位角、内错角、同旁内角的判定恰恰是后面顺利地学习平行线的性质与判定的基础和关键。
这一节内容起到了承上启下的作用：两线四角承上三线八角启下平行线的判定和性质。
二、教学目标设计由于本节课只有一课时，主要让学生理解同位角、内错角、同旁内角的概念，明确构成同位角、内错角、同旁内角的条件。
所以，教学目标体现在：（一）1、明确构成同位角、内错角、同旁内角的条件，理解同位角、内错角、同旁内角的概念。
2、结合图形识别同位角、内错角、同旁内角。
3、通过变式或复杂图形找出同位角、内错角、同旁内角，培养学生的识图能力。
让学生找到在千变万化的图形中的不变之处，能够抓住概念的重点。
（二）1、从复杂图形分解为基本图形过程中，渗透化繁为简，化难为易的化归思想，从图形变化过程中，使学生认识几何图形的位置美。
2、通过观察，探究“三线八角”的过程培养学生的观察、抽象能力；发展图形观念，积极参与数学活动与他人合作交流的意识。
三、教学重点及难点：（一）重点：根据图形识别哪两条直线被哪条直线所截构成的同位角、内错角、同旁内角。
（二）难点：在复杂图形中辨别同位角、内错角、同旁内角。
（三）教学疑点及解决办法：正确理解新概念，引导学生讨论、归纳三类角的特征，并以练习加以巩固。
四、教法、学法（一）教法：教学有法，但无定法，一节课中不能是单一的教法，在这节课中我主要采用的教法有：观察法、讲授法、启发教学法等。
人教版数学七年级下册-同位角、内错角、同旁内角 教材内容解析与重难点突破
同位角、内错角、同旁内角教材内容解析与重难点突破1.教材分析本节内容主要是学习同位角、内错角、同旁内角的概念，在研究了两条相交直线构成的角(对顶角，邻补角)的基础上进一步探究平面内三条直线相交形成的不共顶点的角的位置关系，主要学习同位角、内错角、同旁内角的概念．它是进一步学习平行线的判定和性质的必要准备.教科书通过两条直线相交的四个角的知识为基础，引出一条直线分别与两条直线相交构成的八个角中，通过分类讨论思想，把不共顶点的两个角的位置关系分为同位角、内错角、同旁内角三类.紧接着，通过一个例题来让学生学习同位角、内错角、同旁内角的概念，教学时可根据情况适当要求学生说明同位角、内错角与同旁内角是哪两条直线被哪一条直线所截得到的，为后面学习平行线的性质与判定做好铺垫．2.重难点突破复杂图形中同位角、内错角、同旁内角的辨认突破建议：①两条直线被第三条直线所截形成的不同顶点的角中，若两个角都在两条直线的同一方向，并且在第三条直线(截线)的同侧，则这样的一对角称作同位角；两条直线被第三条直线所截形成的不同顶点的角中，若两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线(截线)的两侧，则这样的一对角称作内错角；两条直线被第三条直线所截形成的不同顶点的角中，若两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线(截线)的同一旁，则这样的一对角称作同旁内角．②两条直线被第三条直线所截形成的不同顶点的八个角中，某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定.在复杂的图形中判别这三类角时，应从角两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一条直线上，此条直线为截线，而另外不在同一条直线的两边，它们所在的直线为被截的两条直线.例1.如图，直线是与的截线.找出∠1的同位角，标上∠2，找出∠1的同旁内角，标上∠3.下列标示∠1、∠2、∠3正确的位置图是().解析：同位角位于截线的同侧，被截直线的同一方向上；同旁内角位于截线的同侧，且位于被截直线之间.根据同位角和同旁内角的定义可知，只有C是正确的.答案应选C.例2.如图所示，内错角共有对；同位角共有对.解析：根据内错角与同位角的定义在图中进行识别得，内错角有4对，分别是∠1与∠2，∠1与∠9，∠5与∠7，∠4与∠6；同位角有6对，分别是∠1与∠4，∠1与∠7，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8，∠5与∠9.故本题答案为4，6.。
同位角、内错角、同旁内角第三版
13．3同位角、内错角、同旁内角上海市民办新北郊初级中学李周婷【教学目标】1、了解同位角、内错角、同旁内角的概念；2、会识别同位角、内错角、同旁内角；3、经历概念的形成过程，体会类比化归、分类讨论的思想方法，养成乐于探索、合作学习的习惯。
【教学难点重点】重点：同位角、内错角、同旁内角概念的理解；难点：在具体图形中运用概念辨别同位角、内错角、同旁内角。
【教学过程】一、创设情景，引入新课 1、知识回顾:①同一平面上不重合的两条直线有 和 两种位置关系，两直线相交形成 个小于平角的角。
②如图1，形成具有哪些关系的角？ 2、实例（如图2）引出截线与被截线的概念 3、介绍“三线八角”图（如图3），引出课题图1 图2 图3二、合作交流,探索新知1、问题探究，师生共同得出同位角概念 ①问题：∠1与∠5具有什么样的位置关系？②得出概念：∠1与∠5都在截线l 的同旁，又分别处在直线a 、b 相同一侧的位置。
具有这样位置关系的一对角叫做同位角。
③找“三线八角”图中其他同位角al 1 2 34lab4 1 237 6 5 82、小组合作探索内错角、同旁内角的位置特征探索：小组合作完成∠2与∠8 、 ∠2与∠5的位置关系并填表3、实际应用，辨析巩固辨一辨：下列各图中∠1与∠2是同位角吗？师生归纳：1分、2看、3找、4辨三、例题讲解，变式应用例1：如图4，直线a 、b 被直线l 所截，分别指出图中的同位角、内错角、同旁内角，并任选一对角说明它们是哪两条直线被哪一条直线所截得到的。
6图4 图5 图变式1：如图5，让a 、b 两条直线交于一点，生成∠9，探索∠9与原有角的位置关系。
（1）直线a 、l 被直线b 所截，∠9与∠3是 _________（2）∠9与∠8是直线 ________ 被直线_____所截形成的______ （3）∠9还与哪些角成内错角？（4）由直线b 、l 被直线a 所截得到的同旁内角有 _________变式2：如图6，图中共有几对同旁内角？（小组讨论交流，师生总结方法）lab412 3 7 65 8lab4123 7 65 89lab41 2 3 7 6512 9810111 2 121 21 2四、课堂练习，拓展提高1、课堂练习如图7，指出图中所有的同位角，并说明每对同位角是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的？2、拓展：小组活动：利用三根木条，根据下面要求构图：（1）恰好有2对同位角；（2）恰好有3对同旁内角；（3）同时满足以上两个条件。
同位角内错角和同旁内角的关系
同位角内错角和同旁内角的关系同位角和内错角是几何学中常见的概念。
在平面几何中，同位角是指两条平行直线被一组相交的直线切割所形成的四个角，而内错角是指在两条平行直线被一组相交的直线切割时，其中一条直线上的两个错角。
本文将探讨同位角内错角和同旁内角之间的关系。
1. 同位角内错角的特点同位角内错角有以下特点：- 同位角内错角互补，互补角之和为180度。
- 同位角内错角具有相等的性质，即两个同位角内的错角大小相等。
2. 同位角内错角的应用同位角内错角的性质在几何学的证明和应用中有广泛的运用。
例如，在证明两条直线平行时，我们可以利用同位角内错角的性质来推导结论。
具体而言，如果我们可以证明同位角的内错角相等，那么可以得出两条直线是平行的结论。
3. 同旁内角的特点同旁内角也是几何学中常见的概念，它是指两条平行线被一条横切线切割所形成的内角。
同旁内角有以下特点：- 同旁内角相等，即两个同旁内角的度数相等。
- 同旁内角补角相等，即两个同旁内角的补角之和为180度。
4. 同旁内角与同位角内错角的关系同位角内错角和同旁内角之间存在一定的关系。
当一条直线与两条平行线相交时，同位角内错角和同旁内角有以下关系：- 同位角内错角和同旁内角互补，即同位角的内错角与同旁内角的度数之和为180度。
- 同位角内错角的度数等于同旁内角的度数。
通过以上关系可以得出结论，在平面几何中，同位角内错角和同旁内角是相互相关的。
它们的性质可以互相推导和运用，有助于解决与平行线和相交直线有关的几何问题。
综上所述，同位角内错角和同旁内角之间的关系十分密切。
它们在几何学的证明和应用中有着重要的地位，为求解与平行线和相交直线相关的问题提供了有力的工具。
熟练掌握同位角内错角和同旁内角的性质，对于深入理解几何学的基本概念和推导方法具有重要意义。
沪教版(上海)数学七年级第二教学设计：13.3同位角、内错角、同旁内角
4.小组合作题：请学生以小组为单位，共同完成课本第11题，该题目需要学生进行观察、分析、讨论，培养学生的团队协作能力和几何直观。
5.总结反思题：要求学生撰写一篇关于本节课学习心得的短文，内容包括自己在学习过程中的收获、困惑以及解决方法，促使学生主动反思，提高学习效率。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性，引导学生通过观察、实践、讨论等方式，深入理解同位角、内错角、同旁内角的概念和性质，提高解决问题的能力。同时，注重培养学生的几何直观和逻辑思维能力，使学生在掌握知识的同时，提升学科素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.教学重点：
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我将引导学生完成以下任务：
1.概括本节课所学知识：让学生用自己的话总结同位角、内错角、同旁内角的概念和性质，加深印象。
2.反思学习过程：鼓励学生反思在学习过程中遇到的困难和问题，分享自己的解决方法，提高学习效率。
3.感悟几何美：引导学生发现几何图形中的对称美和逻辑美，培养学生对几何学的兴趣和热爱。
4.学会运用图形的对称性质，发现并运用同位角、内错角、同旁内角在几何图形中的关系，提高解决问题的能力。
（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，学生将经历以下过程与方法：
1.通过观察、分析几何图形，培养学生对同位角、内错角、同旁内角的直观认识。
2.通过实际操作、画图、计算等实践活动，引导学生发现同位角、内错角、同旁内角的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
沪教版（上海）数学七年级第二教学设计：13.3同位角、内错角、同旁内角
同位角同旁内角内错角的概念
同位角同旁内角内错角的概念
三角学是数学中最基础的知识，也是所有数学研究的基础。
三角学的基本概念是同位角同旁内角内错角，这一概念很重要，在数学中，几乎所有的问题都可以用同位角同旁内角内错角的概念来解决。
本文就同位角同旁内角内错角的概念进行讨论。
首先，什么是同位角？同位角是指两个不同角的夹角，它们有相同的标准和度数。
它们位于同一线段上，但是有着不同的姿势。
比如，角比较小的时候，这种同位角称为小角，角较大的时候，这种同位角称为大角。
第二，什么是同旁内角？同旁内角是指在相同两条边上的两个内角，它们有相同的度数和标准。
同旁内角是三角形的基本要素，因为每一个三角形都有三个内角，有两个是相同的，就称之为同旁内角。
最后，什么是内错角？内错角是指当一个角的度数小于了另一个角的度数时，称之为内错角。
换句话说，一个三角形的内错角是指这个三角形的两个同旁内角之间的差值，也就是说，它们的度数的差值大于零，这时可以称之为内错角。
此外，很多数学问题都能够用这些概念来解决，比如：计算三角形的面积、外角、内角、边的长度等。
以及用这些概念去推理三角形的属性：比如判断它们的形状、算出三角形边长的夹角、确定三角形的正三角形性质等。
当然，这些概念也可以用来推理复杂几何图形的关系，比如确定两个几何图形之间是否相等等问题。
总之，同位角同旁内角内错角的概念在数学中非常重要，它们不仅可以用来解决三角学中的基本问题，也可以用来解决更复杂的几何
图形关系问题。
该概念在数学中具有重要的意义，需要大家深入了解和思考，使得每个人都能够掌握和应用。
同位角、内错角、同旁内角
Z 形状
A
8
F
7
6 5
4
2
问题3：观察∠4与∠5的位置关系
① 在直线EF的同旁 同旁内角：
E
2 1 3 6
②在直线AB、CD的之间
4
5
B
A C
4 5
7
8
D
F 图形特征：在形如“U”的图形中有同旁内角。
图中还有其它的同旁内角吗？若有，请你找出来.
C
3 7 4 2 6
E 1 5 D B 7 同旁内角是
②每个角有一边在截线上，另一边在被截 直线上；
探索交流
根据所给图形填空
①∠1与∠2是直线（ AB ）与直线（ AC ）被 （ DE）所截得到的， 是一对内错角；
②∠A与∠2是直线（ AB ）与直线（DE）被 （ AC ）所截得到的， 是一对同位角； ③∠1与∠B是直线（ DE ）与直线（BC）被 （ AB ）所截得到的， 是一对同位角；
请你简单概括一下找截线与被截线的方法。
探索交流
问题：根据所给的图形，按要求找角，并说 明它们是哪两条直线被哪条直线所截得到的。 ①∠1的内错角是： ∠3
②∠D的同位角是: ∠5 ∠ACE
③∠2的同旁内角是:∠D ∠3
考你眼力 识别哪些角是同位角、内错角、
同旁内角。
1 1 （2）
同位角
1 2 （1）
被截直线
问题1、观察∠1与∠5的位置关系
①在直线EF的同旁 同位角： E ②在直线 AB 、 CD 的同一侧 1
2
A C
3
6
4 5 7 8
B
1 5
F
图形特征：在形如“F”的图形中有同位角 。
图中还有其它的同位角吗？若有，请你找出来. C 3 6 A 5 2 E 1 4 D B 2 同位角是
同位角、内错角、同旁内角
同位角、内错角、同旁内角一、知识结构二、重点难点分析本节教学的重点是同位角、内错角、同旁内角的概念．难点为在较复杂的图形中辨认同位角、内错角、同旁内角．掌握同位角、内错角、同旁内角的相关概念是进一步学习平行线、四边形等后续知识的基础．（1）两条直线被第三条直线所截，构成八个角（简称“三线八角”），其中同位角4对，内错角2对，同旁内角2对．（2）准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．（3）在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．（4）在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系．三、教法建议1．上节课讨论了两条直线相交以后所形成的四个角，这一节课是进一步讨论三条直线相交后所形成的八个角，所以在教课过程，要运用基本图形结构将所学的知识及其内在联系向学生展示．2．在讲三线八角概念时，一定要细致地分析、顾名思义，把握住两个关键的环节，“三条线与一条线”，尽量给出变式的图形，让学生分辨清楚．3．这节课虽然不涉及两条直线平行后被第三条直线所截的问题，但在可能的情况下，将平行线的图形让学生见到，对下一步的学习很有好处，例如，平行四形中的内错角，学生开始接受起来有一定困难，在这一课时中，出现这个基本图形，为以后学习打下基础．教学设计示例六、师生互动活动设计1．通过一组练习创设情境，复习基础知识，引入新课．2．通过学生阅读书本，教师设问引导，练习巩固讲授新课．3．通过师生互答完成课堂小结．七、教学步骤（一）明确目标使学生掌握“三线八角”，并能在图形中进行辨识．（二）整体感知以复习旧知创设情境引入课题，以指导阅读、设计问题、小组讨论学习新知，以变式练习巩固新知．（三）教学过程创设情境导入回答下列问题：1．如图，∠1与∠3，∠2与∠4是什么角？它们的大小有什么关系？2．如图，∠1与∠2，∠l与∠4是什么角？它们有什么关系？3．如图，三条直线AB、CD、EF交于一点O，则图中有几对对顶角，有几对邻补角？4．如图，三条直线AB、CD、EF两两相交，则图中有几对对项角，有几对邻补角？5．三条直线相交除上述两种情况外，还有其他相交的情形吗？学生答后，教师出示复合投影片1，在（1、2题的）图上添加一条直线CD，使CD 与EF相交于某一点（如图），直线AB、CD都与EF相交或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，这样图中就构成八个角，在这八个角中，有公共顶点的两个角的关系前面已经学过，今天，我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系．【板书】2.3同位角、内错角、同旁内角【教法说明】通过复合投影片演示了同位角、内错角、同旁内角的产生过程，并从演示过程中看到，这些角也是与相交线有关系的角，两条直线被第三条直线所截，是相交线的又一种情况．认识事物间是发展变化的辩证关系．尝试指导，学习新知1．学生自己尝试学习，阅读课本第67页例题前的内容．2．设计以下问题，帮助学生正确理解概念．（1）同位角：∠4和∠8与截线及两条被截直线在位置上有什么特点？图中还有其他同位角吗？（2）内错角：∠3和∠5与截线及两条被截直线在位置上有什么特点？图中还有其他内错角吗？（3）同旁内角：∠4和∠5与截线及两条被截直线在位置上有什么特点？图中还有其他同分内角吗？（4）同位角和同分内角在位置上有什么相同点和不同点？内错角和同旁内角在位置上有什么相同点和不同点？（5）这三类角的共同特征是什么？3．对上述问题以小组为单位展开讨论，然后学生间互相评议．4．教师对学生讨论过程中所发表的意见进行评判，归纳总结．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的不同旁找内错角，因此在“三线八角”的图形中的主线是截线，抓住了截线，再利用图形结构特征（F、Z、U）判断问题就迎刃而解．【教法说明】让学生自己尝试学习，可以充分发挥学生的积极性、主动性和创造性，几个问题的设计目的是深化教学重点，使学生看书更具有针对性，避免盲目性．学生互相评价可以增加讨论的深度，教师最后评价可以统一学生的观点，学生在议议评评的过程中明理、增智，培养了能力．例题如图，直线DE、BC被直线AB所截，（1）∠l与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4各是什么关系的角？（2）如果∠1＝∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？［教法说明］例题较简单，让学生口答，回答“为什么”只要求学生能用文字语言把主要根据说出来，讲明道理即可，不必太规范，等学习证明时再严格训练．变式训练，巩固新知投影显示（投影片3）【教法说明】本题是对简单变式图形的训练，以培养学生的识图能力，第2题指明第三条直线是c，即a和b被c所截，如c和a被占所截，则结果截然不同，因此遇到题目先分清哪两条直线被哪一条直线所栽，这是解题的关键和前提．【教法说明】本组练习是由同位角、内错角和同旁内角找出构成它们的“三线”，或是由“三线八角”图形判断同位角、内错角、同旁内角．这两者都需要进行这样的三个步骤，一看角的顶点；二看角的边；三看角的方位．这“三看”又离不开主线——截线的确定，让学生知道：无论图形的位置怎样变动，图形多么复杂，都要以截线为主线（不变），去解决万变的图形，另外遇到较复杂的图形，也可以从分解图形入手，把复杂图形化为若干个基本图形．如第2题由已知条件结合所求部分，对各个小题分别分解图形如下：【教法说明】学生在较复杂的图形中，对找这一类的同位角，找这一类的内错角，找这一类的同旁内角有一定困难，为此安排本组选择题，有利于突破难点，第2题中学生对C、D两个图形易混淆，要加强对比以便解决教学疑点。
3.同位角、内错角、同旁内角
1.下列选项中∠1与∠2不是同位角的是( C )
2.在图中所标识的角中,说法正确的是( C ) (A)∠1和∠2是内错角 (B)∠1和∠4是同旁内角 (C)∠2和∠4是内错角 (D)∠3和∠4是同位角
3.如图所示,直线a,b被直线c所截,∠1=40°,∠2=105°,则∠1的同位角的度数是
75°;∠4的内错角的度数是 40° ;∠3的同旁内角的度数是
3.同位角、内错角、同旁内角
一、截线与被截线 直线a,b被直线l所截,直线l叫做截线,直线a,b叫做被截直线. 注意:两个角的公共边所在的直线是截线,其余两边是两条被截直线.
二、特殊位置的角
1.同位角
∠1与∠5处于直线l的 同一侧 ,且分别在直线a,b的 同一方,这样位置的一对角就
是 同位角.图中同位角还有 ∠2与∠, 6 ∠3与∠,7
75°.
4.如图,∠1与哪个角是内错角,与哪个角是同旁内角?∠2与哪个角是内错角,与 哪个 角是同旁内角(只需写一个角)?它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的?
解:∠1与∠DAB是内错角,它们是直线DE,BC被直线AB所截形成的; ∠1与∠EAB是同旁内角,它们是直线DE,BC被直线AB所截形成的; ∠2与∠EAC是内错角,它们是直线DE,BC被直线AC所截形成的; ∠2与∠DAC是同旁内角,它们是直线DE,BC被直线AC所截形成的. (答案不唯一)
内错角
在两被截直线的内部,在截线的两侧内部交 错
同旁内角
在两被截直线的内部,截线的同侧
基本模型
探究点:相交线中角的识别 【例题】如图,用数字标出的八个角中,同位角、内错角、同旁内角分别有哪些?请把 它们一一写出来.
【导学探究】
1.根据两直线被第三条直线所截,所形成的角中,两角在两条直线的
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教学内容：13.3 同位角、内错角、同旁内角
教学目标
1．理解并识别同位角、内错角、同旁内角．
2．从复杂图形分解为基本图形的过程中，渗透化繁为简，化难为易的化归思想；从图形变化过程中，形成辩证唯物主义观点．
教学重点及难点
同位角、内错角、同旁内角的概念．
在较复杂的图形中辨认同位角、内错角、同旁内角．
教学过程
一、创设情境，复习导入
教师提出问题，学生讨论后回答：
1．如图，三条直线AB、CD、EF交于一点O，则图中有几对对顶角，有几对邻补角？
直线AB与直线CD相交得到2对对顶角，4对领补角
直线CD与直线EF相交得到2对对顶角，4对领补角
直线AB与直线EF相交得到2对对顶角，4对领补角
所以共有6对对顶角，12对领补角
2．三条直线相交除上述情况外，还有其他相交的情形吗？
教师作图，直线a、b都与直线l相交或者说两条直线a、b被第三条直线l所截，这样图中就构成八个角.
三线八角：在同一平面内，直线l与直线a、b分别相交于点P、Q,可以说成“直线a、b被直线l所截”，直线l叫做截线.
那么，所得到的八个角中，每两个角之间的位置关系除了对顶角和邻补角外，还有其他的位置关系吗？板书课题：13.3同位角、内错角、同旁内角
二、学习新课
探究新知，讲授新课
1．同位角：
观察：
板书图：
观察，∠1和∠5有怎样的位置关系？
得出结论：象∠1和∠5都在截线l的同旁，又分别处在两直线a、b相同一侧的位置，具有这样位置关系的一对角就叫做同位角.
板书：在截线的同旁，又分别处在两直线a、b相同一侧的位置，具有这样位置关系的一对角就叫做同位角.
师：除了∠1和∠5，图上还有哪些角可以称作同位角呢？
生：∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8.
2．内错角：
观察：∠4和∠6有怎样的位置关系？
板书：在截线的两旁，又在直线a、b之间的一对角叫做内错角.
除了∠4和∠6，还有内错角吗？辨析内错角和同位角.
3．同旁内角：
师：那么∠4和∠5在截线的同侧，又刚好在直线a、b的内侧，我们能不能也给这对角一个称呼呢？看看我们今天这节课的标题，它应该属于那一种角呢？
板书：截线的同旁，又在直线a、b之间的一对角：同旁内角.
师：图中还有同旁内角吗？
生：∠3和∠6.
4．融汇贯通：
思考：
1、同位角和同旁内角在位置上
2、内错角和同旁内角在位置上
有什么相同点和不同点？
3、这三类角的共同特征是什
么？（都以截线为公共边）
板书：
教师对学生讨论过程中所发表
的意见进行引导，归纳总结．
练习：书48页练习.
三、例题讲解：
1．例一：口答题
（1）如图，找出下图中所有的同位角、内错角、同旁内角
（2）如图，直线a、b被c所截成的角中，找出同位角、内错角、同旁内角.（同P62）
2．例二：
如图，直线DE、BC被直线AB所截，（1）∠l与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4各是什么关系的角？（2）如果∠1＝∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？
3．练习
2、如图，图中共有多少对同旁内角？
3、如图，与∠1构成同位角的共有几个角？
四、总结、扩展
1．本节研究了一条直线分别和两条直线相交，所得八个角的位置关系，掌握辨别这些角位置关系的关键是分清哪条线是截线，哪些线是被截直线，在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的不同旁找内错角，只要抓住三线中的主线——截线，就能正确识别这三类角．
五、作业
练习册12.3
堂堂练12.3。