2020高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲一元二次不等式知能训练轻松闯关文北师大版

【2019最新】精选高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲一
元二次不等式知能训练轻松闯关文北师大版
1．(2015·高考上海卷)下列不等式中，与不等式<2解集相同的是( )
A ．(x ＋8)(x2＋2x ＋3)<2
B ．x ＋8<2(x2＋2x ＋3) C.<
12D.> 解析：选B.依题意，注意到x2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2>0，因此不等式<2等价于x
＋8<2(x2＋2x ＋3)，故选B.
2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪，则a ＝( )
A ．2
B ．－2
．－C 12D. 解析：选B.根据不等式与对应方程的关系知－1，－是一元二次方程ax2＋x(a －1)－
1＝0的两个根，所以－1×＝－，所以a ＝－2，故选B.
3．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为( )
A ．[－1，1]
B ．[－2，2]
C ．[－2，1]
D ．[－1，2] 解析：选A.法一：当x≤0时，x ＋2≥x2，
所以－1≤x≤0；①
当x>0时，－x ＋2≥x2，所以0<x≤1.②
由①②得原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．
法二：作出函数y ＝f(x)和函数y ＝x2的图像，如图，由图知f(x)≥x2的解集为[－
1，1]．
4．(2016·广东省联合体联考)已知函数f(x)＝则使f(x)≥1的x 的取值范围为( )
A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3
B.
∪1)－∞，(．C ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤53，3∪1]－∞，(．D 解析：选D.不等式f(x)≥1等价于或解之得x≤1或≤x≤3，所以不等式的解集为(－
∞，1]∪，故选D.
5．关于x 的不等式x2－(a ＋1)x ＋a<0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是
( )
A ．(4，5)
B ．(－3，－2)∪(4，5)
C ．(4，5]
D ．[－3，－2)∪(4，5] 解析：选D.原不等式可化为(x －1)(x －a)<0，当a>1时得1<x<a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a≤5，当a<1时得a<x<1，则－3≤a<－2，故a∈[－3，－2)∪(4，
5]．
6．若不等式mx2＋2mx －4<2x2＋4x 对任意x 均成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－2，2]
B ．(－2，2)
C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)
D ．(－∞，2]
解析：选A.原不等式等价于(m －2)x2＋2(m －2)x －4<0，①当m ＝2时，对任意的x 不
等式都成立；②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0，
所以－2<m<2，
综合①②，得m 的取值范围是(－2，2]． ⎩⎪⎨⎪⎧－|x ＋1|，x≤0，x2－1，x>0，＝f(x)已知函数
)·合肥一模(2016．7 则不等式f(x)<0的解集为________．
解析：若x>0，由f(x)<0得x2－1<0，解得0<x<1.若x≤0，由f(x)<0得－|x ＋1|<0，解得x≤0且x≠－1，综上不等式的解为x<1且x≠－1，即不等式的解集为(－∞，
－1)∪(－1，1)．
答案：(－∞，－1)∪(－1，1)
8．若0<a<1，则不等式(a －x)>0的解集是________．
解析：原不等式即(x －a)<0，由0<a<1得a<，所以a<x<.
⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫
a<x<1a 答案： 9．(2016·九江一模)若关于x 的不等式x2－4x －2－a>0在区间(1，4)内有解，则实
数a 的取值范围是________．
解析：不等式x2－4x －2－a>0在区间(1，4)内有解等价于a<(x2－4x －2)max ，令g(x)
＝x2－4x －2，x∈(1，4)，所以g(x)<g(4)＝－2，所以a<－2.
答案：(－∞，－2)
10．已知a ∈[－1，1]，不等式x2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，则实数x 的取值范围
为________．
解析：把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f(a)＝(x －2)a ＋(x2－4x ＋4)， 则由f(a)>0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x ＋6>0，且f(1)
＝x2－3x ＋2>0即可，联立不等式解得x<1或x>3.
答案：{x|x<1或x>3}
11．若不等式ax2＋5x －2>0的解集是.
(1)求实数a 的值；
(2)求不等式ax2－5x ＋a2－1>0的解集．
解：(1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x －2＝0的两个根为，2，代入解得a ＝－2.
(2)由(1)知不等式为－2x2－5x ＋3>0，
即2x2＋5x －3<0，解得－3<x<，
即不等式ax2－5x ＋a2－1>0的解集为.
1．已知集合A ＝{x|x2－2x －3>0}，B ＝{x|x2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3，
4]，则有( )
A ．a ＝3，b ＝4
B ．a ＝3，b ＝－4
C ．a ＝－3，b ＝4
D ．a ＝－3，b ＝－4 解析：选D.法一：由题意得集合A ＝{x|x<－1或x>3}，又A∪B＝R ，A∩B＝(3，4]，所以集合B 为{x|－1≤x≤4}，由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得a ＝－
3，b ＝－4.
法二：易知A ＝{x|x<－1或x>3}，又A∩B＝(3，4]，可得4为方程x2＋ax ＋b ＝0的
一个根，则有16＋4a ＋b ＝0，经验证可知选项D 正确．
2．(2016·西安交大附中模拟)已知f(x)＝x2－2ax ＋2(a ∈R)，当x ∈[－1，＋∞)时，
f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围．
解：法一：f(x)＝(x －a)2＋2－a2，此二次函数图像的对称轴为x ＝a.
①当a ∈(－∞，－1)时， f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
f(x)min ＝f(－1)＝2a ＋3.
要使f(x)≥a 恒成立，
只需f(x)min≥a，
即2a ＋3≥a，
解得－3≤a<－1；
②当a ∈[－1，＋∞)时，f(x)min ＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求a 的取值范围是[－3，1]．
法二：令g(x)＝x2－2ax ＋2－a ，由已知，得x2－2ax ＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒
成立，
⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a<－1，
g （－1）≥0.
或a)≤0－4(2－4a2＝Δ即 解得－3≤a≤1，所以a 的取值范围是[－3，1]．
3．某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP 公司可供选择．公司A 每小时收费1.5元；公司B 在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP 公司较省钱？
解：假设一次上网x(x<17)小时，则公司A 收取的费用为1.5x 元，
公司B 收取的费用为1.7＋(1.7－0.1)＋(1.7－0.2)＋…＋[1.7－(x －1)×0.1]＝
(元)．
由>1.5x(0<x<17)，
整理得x2－5x<0，解得0<x<5，
故当0<x<5时，公司A 收费低于公司B 收费，当x ＝5时，A ，B 两公司收费相等，当5<x<17时，公司B 收费低，所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A 的费用少；为5小时时，选择公司A 与公司B 费用一样多；超过5小时小于17小时时，选
择公司B 的费用少．。