弧弦圆心角

·
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等
所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
A

●
D
D 在同圆或等圆中,如果轮换下面五组条件:
A
B
O
B
●
O
●
O′
┏ A′ D′ B′ 由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ ⌒ ⌒ ②AB=A′B′ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′
②AB=A′B′
⌒ ⌒
A′
B′
③AB=A′B′
圆心角
圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的
距离(如线段OD).
如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和
∠A′OB′, 将其中的一个旋转一个角度,使得OA和 O′A′重合.
D
A
●
D′ O
A′
A
O D
C
B
思考
如图，已知AB、CD为 O 的两条弦，
BC ，求证AB＝CD. AD
C B O D A
7如图，已知AD=BC、求证AB=CD
A C
.
D
O
B
变式：如图，如果弧AD=弧BC，求证：AB=CD
8如图M、N为AB、CD的中点,且AB=CD.
求证：∠AMN＝∠CNM
A C
推论
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②
两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一 组量相等,那么它们所对应的其余各组量 都分别相等.
D
A
●
D O
A
●
B
B
O
●
O′
┏ A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
B

A
O
·
AOE 180 3 35


75

2已知：如图，点P在⊙O上,点O在∠EPF的 平分线上，∠ EPF的两边交⊙O于点A和B。
求证：PA=PB.
B
E
P
O A
F
3已知：如图，点O在∠EPF的平分线上， ⊙O和∠ EPF的两边分别交于点A，B和C，D。 求证：AB＝CD
注意前提： 在同圆或等圆中
B F C
下列说法正确吗？为什么？ 在⊙O和⊙O’中，∵∠AOB＝∠A’O’B’∴AB＝A’B’ 在⊙O和⊙O’中，∵AB＝A’B’，∴弧AB＝弧A’B’
D
五、例题
AB AC 例如图在⊙O中， ＝ ，∠ACB=60°， 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明：∵ ， AB AC ∴ AB=AC, △ABC等腰三角形． 又∠ACB=60°，
⌒ ⌒
已知AB和CD是⊙O的两条弦，OE和OF分别是AB 和CD的弦心距，如果AB＞CD,那么OE和OF有什么 关系？为什么？
A C
F
E
•O D
B
把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份 的圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧 叫做1°的弧。
n°弧
C D
一般地，n°的圆心角 对着n°的弧。
n°圆心角
B
D A
D′ D B′ B
A′ A
●BΒιβλιοθήκη B′●OO

你能发现那些等量关系?说一说你的理由.
练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦． CD AOB COD AB （1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
CD ，那么____________，_____________． AOB COD AB=CD AB CD AB=CD （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________． AB
求证：E、F、H、G四等分圆周。
E
D G
A
O
B
F
C
H
M
• O B D N
9、如图，已知AB、CD是⊙O中互相垂直的两 条直径，又两条弦AE、CF垂直相交与点G，
试证明：AE=CF
C P A ┌ G E
.
O
B F
D
10已知：如图， ⊙O的两条半径 OA⊥OB，C、D是弧AB的三等分点。 求证：CD＝AE＝BF。
A E C F
D
O
B
11、已知：如图， ⊙O的两条直径AB⊥CD， 四条弦AE//FD//CG//HB。
一、思考
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
圆是中心对称图形，
它的对称中心是圆心.
·
二、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O· B
三、
探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发 现哪些等量关系？为什么？ A′ A′ B B B′ B′
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然 ∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
四、定理
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所 同圆或等圆中， 两个圆心角、 相等 对的圆心角_____， 所对的弦________，所对的 两条弧、两条 相等 弦中有一组量 相等 弦的弦心距________ 。 ； 相等，它们所 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所 对应的其余各 组量也相等． 相等 相等 对的圆心角______，所对的弧_________，所对 的弦的弦心距________ ． 相等
（2）如果
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？ OE OF , E B 证明： OE AB, OF CD A 1 1 AE AB, CF CD O 2 2 D 又 AB＝CD AE＝CF F 又 OA＝OC Rt AOE Rt COF C OE OF .
因此， 与 ' B ' AB A
' B ', AB A
重合，AB与A′B′重合．
AB A ' B '.
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等
所对的弦相等.
A B A′
●
A
O
B B′
可推出
●
O
●
O′
由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′
B ∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA. O A
·
C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
练习
BC 1如图，AB是⊙O 的直径， ＝CD DE , ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． 解：
E D C
BC CD DE
BOC=COD=DOE=35
B
A P O C D
E
F
4已知：如图， ⊙O的弦AB，CD相交于点P， ∠DPO=∠ BPO 。 A 求证：AB＝CD
C P
O D
B
5、已知：在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆 的1/3，圆的半径为2cm。求AB的长。 6、已知AB和CD为⊙O的两条直径，弦EC//AB,弧EC 的度数为40°，求∠BOD的度数。 E
O A
1°圆心角
B
1°弧
圆心角的度数 和它所对的弧 的度数相等。
如图，AB、CD是⊙O的两条弦， OE、OF为AB、CD的弦心距， 如果AB＝CD，那么 ， 如果OE＝OF，那么 ， 如果弧AB＝弧CD，那
， ， ；
； ；
么 ， ， 如果∵∠AOB＝∠COD，那 么 ， ，
。
O
A
E