数线段及延伸

“数线段”问题及其变种
先看最基本的问题形式：
【1】下面三张图中各有几条不同的线段：
现在我们是白手起家，没有任何捷径可走，还好这几条线段中的分割点都不太多，所以我们可以尝试数出答案。

在开始计数之前，我先杜撰一个概念，以方便后面的说明：以图三为例，将MA、AB、BC这样中间没有分割点的线段叫做“基线段”。

MB显然不是“基线段”，因为MB上有分割点A。

我们可以发现图三中共有4条基线段，它们是：MA、AB、BC、CN。

好了回到题目，我们从图一开始数。

先数出基线段的数量，共有2条；
这两条基线段又组成了整条线段MN，共1条；
总共的线段数：2+1＝3。

用同样的方法来观察图二：
基线段数量：3条；
由2条基线段组成的线段2条：MB、AN；
由3条基线段组成的线段1条：MN；
共有线段：3+2+1＝6条。

现在你也许已经心有所悟，甚至已经跃跃欲试了，让我们怀着激动的心情用同样的方法来观察图三：
基线段数量：4条
由2条基线段组成的线段3条：MB、AC、BN
由3条基线段组成的线段2条：MC、AN
由4条基线段组成的线段1条：MN
共有线段：4+3+2+1＝10条。

聪明的你一定看出来了，整个图形不同线段的数量P与基线段的数量有关：
设基线段的条数为n，则由n条首尾相连且在同一直线上的基线段所组成的图形中，共有不同线段条数：
P＝n+(n-1)+(n-2)+…+1
公式不难记：“倒着加，加到一”。

如果你知道一些排列组合的知识，可以对这一公式进行证明：图形中任意两个点进行组合可以构成一条线段，详情略去。

【2】下图中有几个角：
图四
我们可以做一条辅助线来将“数角”问题转化为我们已经掌握的“数线段”问题，我们需要一条与这几条射线同时相交的辅助线：
图五
很显然，在辅助线上，每一条“基线段”都对应一个角，所以算出不同线段的数量，就得到了不同角的数量。

这种体力活不是我所喜欢的，还是留给勤劳的你吧。

算完了，不妨再数一数，验证一下。

【3】下图中有几个长方形：
图六
现在要你算这道题，一定是在侮辱你的智商！同上，体力活仍然留给可爱的你。

【4】下图中有几个长方形：
图七
很明显这是由上题变化而来。

实际上我亮出上一题的目的就是为本题做准备。

细心的你也许发现：我甚至在上一题的图形中特意留出了本题所需字母的位置。

（上题中ABCD之后并没有按照顺序直接接EF）。

上一题的答案当然毫无问题，共有6个长方形！
那么拦腰一刀，加上EF之后呢？我们先看AGHC这个长方形：
如右图，在被线段EK拦腰一刀之后，AGHC这个长方形变成了3个。

也就是说：点E的出现在线段AC上变出了3条不同线段，而AG
方向线段数并没有发生变化，所以得到的长方形数是1×3＝3个。

本题的图七正是上题的图六被EF拦腰一刀得来，图六中的每一个长方形，都被拦腰一刀，变成了3个。

即：
图七中长方形数＝图六中长方形数×3
“图六中长方形数”实际上是横向(AB方向)的线段数，而3是纵向线段数。

所以图七的终极算法应该是：
长方形数＝横向线段数×纵向线段数
此题最终的答案：
横向线段数：3+2+1＝6
纵向线段数：2+1＝3
所有长方形的数量：3×6＝18
如果你对这种算法不放心，我们可以用最简单也最笨的方法——“数”。

为了方便计数，我们给所有“基长方形”(中间没有分割线的长方形)编号并以不同颜色表示：
图八
为了简便，我们用区域编号的组合来表示长方形，比如“12”表示区域1和区域2组成的长方形AILE，其余123、1254可以类推。

我们按照包含“基长方形”的数量将图中的长方形进行分类：
包含1个“基长方形”，6个： 1、2、3、4、5、6
包含2个“基长方形”，7个： 12、23、45、56、14、25、36
包含3个“基长方形”，2个： 123、456
包含4个“基长方形”，2个： 1254、2365
包含5个“基长方形”，0个：不可能存在
包含6个“基长方形”，1个： 123456
这样，6+7+2+2+1＝18个，“数”出来的结果与“算”出来的结果是一致的。